概率论试题与答案
一、填空题：(每题4分，共24分)
1．已知事件A 与B 相互独立，()0.4P A =，()0.7P A B +=，则概率()P B A 为 。
2．某次考试中有4个单选选择题，每题有4个答案，某考生完全不懂，只能在
4个选项中随机选择1个答案，则该考生至少能答对两题的概率为 ， 3．若有 ξ～(0,1)N ，η=21ξ-，则η～N （ ， ）
4．若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且DX EX -=4,则参数λ＝
5．设连续型随机变量ξ的概率密度为2(1)01()0x x f x -<<⎧=⎨⎩其他，且2ηξ=，则
η的概率密度为 。
6．设总体2~(,)X N μσ的分布，当μ已知，12,,n X X X 为来自总体的样本，则
统计量∑=-n
i i X 12)(
σ
μ
服从 分布。
二、选择题：(每小题4分，共20分)
1. 设事件,,A B C 是三个事件，作为恒等式，正确的是（ ） A.()ABC AB C
B = B.A B
C ABC =
C.()A B A B -=
D.()()()A B C A C BC =
2.n 张奖券有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，其中至少有一人中奖的概
率是（ ）。
A.11
k m n m k
n
C C C -- B. k n m C C. k n k m
n C C --1 D. 1r n
m k r n
C C =∑
3. 设EX μ=，2DX σ=，则由切比雪夫不等式知(4)P X μσ-≤≥（ ） A.
1416 B. 1516 C. 15 D. 1615
4. 如果随机向量),(ηξ的联合分布表为：
则协方差),cov(ηξ=（ ）
A.-0.2
B. –0.1
C.0
D. 0.1 5. 设总体 ξ～2(,)N μσ ，（12,,
n X X X ）是 ξ 的简单随机样本，则为使
12
11
ˆ()n i i
i C X X θ
-+==-∑为2σ的无偏估计，常数C 应为( ) A.
1n B. 11n - C. 1
2(1)
n - D. 12n - 三、计算题：
待用数据（0.9750.9750.950.95(35) 2.0301,(36) 2.0281,(35) 1.6896,(36) 1.6883t t t t ====，
8413.0)1(=Φ,9772.0)2(=Φ975.0)96.1(=Φ,95.0)645.1(=Φ）
1．三个人同时射击树上的一只鸟，设他们各自射中的概率分别为0.5，0.6，0.7。若无人射中鸟不会坠地；只有一人射中的鸟坠地的概率为0.2；两人射中的鸟坠地的概率为0.6；三人射中的鸟一定坠地的； (1) 当三个人同时向鸟射击实，问分别有一人、两人、三人射中鸟的概率？(2) 三人同时向鸟射击一次,求鸟坠地的概率？
2．已知随机变量ξ的概率密度为()x x Ae ϕ-= ，x -∞<<+∞ 求：（1）系数A ；（2）求概率(01)P ξ<<;(3) ξ的分布函数。
3．已知随机变量(,)X Y 的概率密度
(34)0,012(,)0x y x y e f x y -+≤≤⎧=⎨
⎩
其他
求(1)二维随机变量(,)X Y 的边缘概率密度; (2)Y X + 的概率密度。 4．设总体ξ～],0[θU ，待定参数0>θ。12,,
n X X X 是来自总体的样本。 (1)
求θ的极大似然估计；（2）求θ的矩估计θˆ；（3）证明：矩估计量θˆ为参数θ的无偏估计。（14分）
5．（共10分）某中学入学考试中，设考生的数学考试成绩服从正态分布，从中
任取36位考生的成绩，其平均成绩为66.5分，标准差为15分。 (1) 问在0.05的显著性水平下，是否认为全体考生的数学平均成绩为70分？ (2) 给出全体考生的数学平均成绩在置信水平为0.95下的置信区间。 答案
一．1． 0.5 ； 2. 25667； 3 . （-1，4）； 4. 2; 5. ⎪⎩
⎪
⎨⎧<<-=其他，
,
0,10,11
)(y y
y p
6. 2()n χ.
二．1. B; 2. C; 3. B; 4. B; 5. C.
三．1 解：设{}i A i =第个人射中，（i=1,2,3）
，由题意知 123()0.5,()0.6;()0.7P A P A P A === （1）又设B 0={三人都射不中}；B 1={一人射中}；B 2={恰有两人射中}；B 3={三人同时射中}，C={鸟坠地}
0123()0,()0.2,()0.6,()1,P C B P C B P C B P C B ====0()0.06,P B = 1()0.29,P B = 2()0.44,P B = 3()0.21P B = （2）由全概公式
3
0()()()02.53(2i i i P C P B P C B ===∑分）
2．解：（1）由于()1x
X dx Ae dx ϕ+∞+∞
--∞
-∞
==⎰⎰
21x A e dx +∞-=⎰ 故1
2
A =
（2）(01)P ξ<<11
100111()221211x x
e e dx e ----==-=⎰（分）（分）（分）
（3）0110122
()111210222222
x x
x x x x x x x x e dx e x F x e dx e dx e dx e x -∞--∞---∞⎧=<⎪⎪==⎨⎪+=-≥⎪⎩⎰⎰⎰⎰（分）（分）（分）
3．（1）(34)300123()(,11)01x y x x x e
dy e f x f x y dy +∞
-+-+∞
-∞
⎧≤=⎪==⎨⎪⎩
⎰⎰
（分）（分）（分）
其他
(34)400124()(,1101)x y y y y
e
dx e f x f x y dy +∞
-+-+∞
-∞
⎧≤=⎪==⎨
⎪⎩
⎰⎰
其他
（分）（分）（分）
(4)
0,0()(,)12,022z z x z f z f x z x dx e dx z +∞---∞
<⎧
⎪
=-=⎨≥⎪⎩⎰
⎰（分）（分） ⎩⎨⎧
≥-<=--0
,12120,043z e e z z
z 4．似然函数为n
L θ
θ1
)(=， θθln )(ln n L -=
令
0)(ln <-=θ
θθn d L d 解得i
n i X ≤≤=1max ˆθ （2） 因为2
θ
=
EX ，故矩估计量得X 2ˆ=θ
θθθ====∑∑==n i n i i n EX n X E E 112
222ˆ。
5．解：（1）设考生的数学考试成绩作为总体2~(,)X N μσ,由题意知
66.5,15X S ==。
01:70,:70.H H μμ=≠
构造统计量X T =
且4.13615|705.66|||=⋅-=
T 而0.97512
(1)(35) 2.0301t
n t α
-
-==，即12
(1)T t
n α
-
<-
故可以认为这次全体考生的数学平均成绩为70分。
（2）
因为T =
(1)t n -故查表满足
{}12
(1)
1P t
n α
α-
≤-=-的临
界值得到置信水平为0.95的区间
1122
((X t n X t n αα
--⎡⎤--+-⎢⎣ 即区间]57525.71,42475
.61[。
一、 填空题（共20分，每小题4分）
1. 设事件,A B 仅发生一个的概率为0.3,且()()0.5,P A P B +=则,A B 至少有一个发生的概率为 。
2. 设离散型随机变量X 的分布函数为
022()2351
3x F x x x
<-⎧⎪⎪
=-≤<⎨
⎪⎪≤⎩ 则X 的分布律为
3. 设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，用切比雪夫不等式估计得到
(|3|4)P X -≥≤ 。
4. 若随机变量~[1,6]U ξ,则方程210x x ξ++=有实根的概率为 。
5. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体)4,0(N 的一个简单随机样本， 则当
a = ,
b = ,时统计量221234(2)(34)X a X X b X X =-+-服从2χ分布。
二、 选择题（共20分，每小题4分）
1．若对任意的随机变量X ，EX 存在，则))((EX E E 等于（ ） 。
A ．0
B ．X
C ．EX
D ．2)(EX 2．设A 和B 是任两个概率不为0的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） （A ）A 和B 不相容
（B ）A 和B 相容
（C ）()()()P AB P A P B =
（D ）()()P A B P A -=
3. 设袋中有a 只黑球，b 只白球，每次从中取出一球，取后不放回，从中取两次，则第二次取出白球的概率为（ ）。
A ．2
2
)
(b a b + B ．)1)(()1(-++-b a b a b b C ．11-+-b a b D ．)(b a b + 4. 在下列函数中，可以作为随机变量的概率密度函数的是（ ）
A. 2,01
()0,x x f x <<⎧=⎨⎩
其他
B ．2
,01()0
,
x x f x ⎧<<=⎨
⎩其他
C ．cos ,0()0,x x f x π
≤≤⎧=⎨⎩其他 D ．2,0()0
,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩
5．若2
1
),5,2(~),3(~,-=Y X N Y P X ρ,且22+-=Y X Z ，则DZ=( )
A ．158-
B ．1528+
C ．1513-
D ．15223+
三、 计算证明题 ( 共60分 )
1．（10分） 设有2台机床加工同样的零件，第一台机床出废品的概率为0.03，第二台机床出废品的概率为0.06，加工出来的零件混放在一起，并且已知第一台机床加工的零件比第二台机床多一倍。 （1） 求任取一个零件是废品的概率
（2） 若任取的一个零件经检查后发现是废品，则它是第二台机床加工的
概率。
2．（14分）若D 是以点（0，0），（-1，1），（1，1）为顶点的三角形内部区
域，二维随机变量（,X Y ）在区域D 内服从均匀分布 （1） 求出（,X Y ）的联合概率密度函数（4分）
（2） 1
()2
P Y x ≤ （4分）
（3） 求Z X Y =+概率密度的函数 （6分）
3．（12分）假设生产线上组装每件产品的时间服从指数分布，统计资料表明该生产线每件产品的组装时间平均为5分钟，各件产品的组装时间彼此独立。试用中心极限定理求：
（1） 组装100件产品需要6到10小时的概率；（6分）
（2） 以95%的概率在8个小时之内最多可以组装多少件产品？（6分） (9974.0)8.2(=Φ,(1)0.8413,(2)0.9772,(1.65)0.95,(3)0.9987)Φ=Φ=Φ=Φ=
4．设总体X 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其他，，0
1011),(12x x x f θθ
θθ 其中1>θ是未知参数，),,,(21n x x x 是总体X 的样本观测值， 求：(1) θ的矩估计 （4分）
(2) θ的极大似然估计L ^
θ，并问L ^
θ是θ的无偏估计吗？请说明理由。（8分）
5．（12分）机器自动包装某食品，设每袋食品的净重服从正态分布，规定
每袋食品的标准质量为500g 。某天开工后，为了检查机器是否正常工作，从包装好的食品中随机抽取9袋检查，测得净重为
497, 507, 510, 475, 488, 524, 491, 515, 512
在下列两种情况下检验包装机是否工作正常（显著性水平为0.05α=）。 (1) 若2σ未知，该选用什么统计量，什么分布？
(2) 若2σ=16，通过Excel 计算得到以下表格，问判断包装机是否工作正
常。 z-检验: 双样本均值分析
变量 1 变量 2 平均 502.1111111 500
已知协方差 16 1E-11 观测值 9 1
假设平均差 0 Z 1.583333333
P(Z<=z) 单尾 0.056672755 z 单尾临界 1.644853627
P(Z<=z) 双尾 0.113345509 z 双尾临界 1.959963985
备查的临界值
答案
一．1．0.4; 2. 23(2),(3)55
P X P X =-===; 3. 163; 4. 0.8; 5. 201, 100
1. 二．1.C;
2. D;
3.D;
4. A;
5. D.
三．1 解：(1)设B ={取出的零件是废品}，1A ={零件是第一台机床生产的}， 2A ={零件是第二台机床生产的}，则122
1(),()33
P A P A ==, 由全概率公式得：
112221()(|)()(|)()0.030.060.0433
P B P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯= (2)222(|)()0.02
(|)0.5()0.04
P B A P A P A B P B =
==
2．解：(1) 联合概率密度为 1(,)(,)0其他x y D
p x y ∈⎧=⎨
⎩
(2) 1
()02
P Y X ≤=
(3)根据卷积公式()(,)Z p z p x z x dx +∞
-∞=-⎰，得：
21
00102()(,),022
002其他
z Z z z z z p z p x z x dx dx z z +∞-∞-<⎧
⎪⎧
-
≤<⎪⎪=-=≤<=⎨⎨⎪⎪⎩≥⎪⎩
⎰⎰
3 解：（1）令i ξ为第i 件产品的组装时间，则1
~()5
i E ξ
9746
.0)8.2(1)2()8.2()2(}5
1005
10060051005
10051005
100360{
}600360{2
2
100
1
2100
1
=+-=--=⨯⨯-≤
⨯⨯-≤
⨯⨯-=≤≤∑∑==ΦΦΦΦi i
i i P P ξ
ξ （2
）1
5(480)0.95n
i
n
i i n
P P ξ
ξ=-≤=≤
=Φ=∑∑
得81n =
4 解：（1）21
1
111
10011111011EX x x dx x dx x θθ
θθθθθθ
θ----====--⎰⎰ ∴矩估计为1
X
θ=
（2）设12,,...,n X X X 是来自总体的样本，1,...,n x x 为相应的样本观测值
似然函数为：22111111()()1
1n
n n i i i i L x x θθ
θθ
θθθ----====--∏
∏ n
i i L n x θθθθ=-=--+-∑12ln(())ln(1)ln()1 令
n
i i x d L n
d θθθθ==--=--∑12
ln()ln(())01(1) 解得：n
i
i L x n
θ==-
∑^
1
ln()
1
2221
1111111
0011101
E X x x dx x x x x dx θθθ
θ
θθθθ---++----=⋅=⋅-=--⎰⎰(ln )ln ln
^
1
1()1(ln )1(1)n
L i i E E X n θθθ==-=--=∑
^
L θ∴是θ的无偏估计
5解： （1）2σ未知时要选的统计量为：1
n X T -= 8(即n-1)的t 分布 （2）令01:500,500H H μμ=≠：
从表格可以看出，0.113345509>=0.05p α=,
∴不拒绝0H
(或则，z=1.583333333<1.959963985 即观测值落在接受域 ∴不拒绝0H ）
一. 填空题（共20分，每空格4分）
1.设事件A,B 相互独立，且5.0)(,
2.0)(==B P A P ，则)(B A B P ⋃＝ 2.设随机变量ξ的分布函数为F(x)，则18+=ξη的分布函数为
3.设θ是[]ππ,-上均匀分布的随机变量，θηθξcos ;sin ==，求ηξ,
的相关系数
4．设随机变量ξ的期望ξE 与方差ξD 都等于λ，又3)]4)(3[(=--ξξE ，则λ＝ 5. 设离散型随机变量ξ的分布函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤--<=0
10107
.0100)(x x x x F
则ξ的分布律为 。 二、选择题（共16分，每小题4分）
1．设总体),(~2
σμξN ，（n X X X ,,,21 ）是ξ的样本， ∑==n
i i X n X 1
1是ξ的样
本均值，以下( )是总体方差2σ的无偏估计.
A ．2121X X n n i i -∑=
B ．212
11X n
n X n n i i --∑=
C ．21211X X n n i i --∑=
D ．21
2111X n n X n n i i ---∑= 2．设),5(~),1,0(~2χηξN ηξ,相互独立,则
5
ηξ
～（ ） A.t(4) B.t(5) C.F(2) D.
)5(2χ
3. 设~X ),(2
σμN ，~Y )(λE ，则不正确的是（ ）
A ．λ
μ1
)(+
=+Y X E B ．2
2
1
)(λ
σ+
=+Y X D
C ．2
22222
)(λ
μσ+
+=+Y X E D ．2
22σμ+=EX ，2
22
λ
=EY
4. 设袋中有a 只黑球，b 只白球，每次从中取出一球，取后不放回，从中取两次，
则第二次取出黑球的概率为（ ）。
A ．)(b a a +
B ．11-+-b a a
C ． )1)(()1(-++-b a b a a a
D ．2
2)
(b a a +
三、判断题（共4分，每小题2分。对"√"，错"×"）
1.( )设X ～)1,0(N ，则2
1
)0()0(=
≤= 四、（共10分）如果A 、B 、C 两两独立，且ABC=Φ 1. 如果P(A)=P(B)=P(C)=y,计算()P A B C --，并求y 的最大值 2. 如果P(A)=P(B)=P(C ）< 21,且16 9 )(=⋃⋃C B A P ,求P(C) 五、（共10分）一台机器制造直径为ξ的轴，另一台机器制造内径为η的轴套，设 ()ηξ,的密度函数为2500, 0.490.51;0.510.53 (,)0, x y p x y <<<<⎧=⎨ ⎩其它 (1)求ηξ-的概率密度函数 (2)如果轴套内径比轴的直径大于0.004,但不大于0.036,二者能配合成套，现随机选取，问二者配合成套的概率？ 六、（共10分）设二维随机变量),(ηξ的联合密度为 ⎩⎨ ⎧>>=--其它,00 ,0,),(43y x ke y x p y x 1.求常数k ? 2.求相应的分布函数？ 3.求(01,02)P ξη<<< 七、（共10分）如果在1500件产品中有100件不合格品，从中任意抽取15件进行检查，求从中查出的不合格品数的数学期望？ 八、（共10分）为检验饮用水合格率，随机抽取50升，化验每升水中A 种细菌的 大似然估计的方法）？ 设装配时间总体服从正态分布2 2 (,),, N 均未知。是否可以认为装配时间的 均值显著大于10？（取 0.05） 备查的临界值 通过Excel 计算得到以下表格： 列1 平均 10.2 标准误差 0.114017543 中位数 10.15 众数 9.6 标准差 0.509901951 方差 0.26 峰度 -0.817841244 偏度 0.521388375 区域 1.6 最小值 9.6 最大值 11.2 求和 204 观测数 20 答案： 一．1．4/9； 2. )8 1 (-y F ; 3. 0; 4. 3; 5. 7.0)10(=-=ξP ,3.0)0(==ξP 二．D ， B ， B ， A 三．对，错 四．(1)由于A 、B 、C 两两独立,则满足 222()()(),()()(),()()(), P AB P A P B y P BC P B P C y P AC P A P C y ====== 又ABC =∅则()0P ABC =, 2()()()()()2000.5P A B C P A P AB P AC P ABC y y y --=--+=-≥⇒≤≤,故y 的 最大值为0.5. (2) 2 ()()()()()()()() 93()3[()]()0.25,16 P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC P C P C P C =++---+⇒=-⇒= 而另外的一个解()0.750.5P C =>舍去. 五．解：(1) ()()(,)y x z F z P z p x y dxdy ηξ-≤=-≤=⎰⎰ 当0z <时，()0F z =； 当00.02z ≤<时， 0.51 0.51 20.510.51 0.51()(,)25002500(0.51)1250z x z z y x z F z p x y dxdy dx dy z x dx z +---≤== ==+-=⎰⎰⎰ ⎰ ⎰ 当0.020.04z ≤<时， 0.530.51 0.53 0.49 0.51 0.530.51 0.530.49 ()(,)250025002500(0.51)25000.02(0.04) 1250(0.04)z z x z y x z z F z p x y dxdy dx dy dx dy z x dx z z z -+--≤-===+=+-+-=-⎰⎰⎰ ⎰ ⎰ ⎰ ⎰ 当0.04z ≥时，()1F z = ηξ-的概率密度函数2500, 00.02()502500,0.020.040,z z p z z z ≤<⎧⎪ =-≤<⎨⎪⎩ 其他 0.0360.020.0360.004 0.004 0.02 22(0.004 0.036) ()2500(502500)(0.02)(0.004)2500 0.96 P p z dz zdz z dz 六．（1）34300 4 1212 x y x k k ke dxdy e dx k （2）0,0x y 时 340 03400 34(,) 1212(1)(1) x y t s x y t s t s F x y e dtds e dt e ds e e （3）(01,02)P ξη<<<< 3 8 11 (1,2)(0,2)(1,0) (0,0) 1F F F F e e e 七．解：设 11215 0i i i i 第个产品为不合格 ，，，第个产品为合格 则i 的分布律为 故1 15 i E 。 设为查得的不合个品数，则1 n i i E =1 。 八．解：设一升水中A 细菌的个数~P （）分布 故01e P k k k （=k ）=，，，，！ 又E ，故求的极大似然估计 似然函数 1 i i x n n i i i e e L x x i x n i=1 （ ）=！ ！ 两边取对数，对求导，令其为0 解 1 九．解：0110H H ：，：>10 构造T 统计量/x t t s n （n-1） n=20,查得0.050.05(201)(19) 1.7291t t .算得10.2,0.5099x s 知的T 统计量观测值为 1.7540.5099/20 t >1.7291 故拒绝0H . 概率论与数理统计练习题集及答案 一、选择题： 1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为 A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++ C 321321321A A A A A A A A A ++ D 321A A A 2．掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为 A 365 B 364 C 363 D 36 2 3．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则 A )(1)( B P A P -= B )()()(B P A P AB P = C 1)(=+B A P D 1)(=AB P 4．随机变量X 的概率密度为⎩ ⎨⎧<≥=-000)(2x x ce x f x ,则=EX A 21 B1 C2 D 4 1 5．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是 A +∞<<∞-+=x x x F ,11)(2 1 B ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0 01)(2 x x x x x F C +∞<<∞-=-x e x F x ,)(3 D +∞<<∞-+ =x x x F ,arctan 21 43)(4π 6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度 )(y f Y 为 A )2(2y f X - B )2(y f X - C )2 (21y f X -- D )2 (2 1y f X - 7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表 h g p f e d x c b a x p y y y X Y Y j X i 6 1818121321,且X 与Y 相互独立,则=h A 81 B 8 3 C 4 1 D 3 1 8．设随机变量]5,1[~U X ,随机变量)4,2(~N Y ,且X 与Y 相互独立,则 =-)2(Y XY E A3 B6 C10 D12 9．设X 与Y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正,若EY EX EXY ⋅=,则下列结论不正确的是 A X 与Y 相互独立 B X 与Y 不相关 C 0),cov(=Y X D DY DX Y X D +=+)( 答案： 1. B 2. A 6. D 7. D 8. C 9. A 1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为 C A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++ 〈概率论〉试题 一、填空题 1．设A、B、C是三个随机事件。试用A、B、C分别表示事件 1）A、B、C 至少有一个发生 2）A、B、C 中恰有一个发生 3）A、B、C不多于一个发生 2．设A、B为随机事件，，，.则＝ 3．若事件A和事件B相互独立, ，则 4。将C，C,E,E,I，N，S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0。5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量分布律为则A=______________ 7。已知随机变量X的密度为,且，则________ ________ 8。设～，且,则_________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________ 10。若随机变量在(1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是 11.设，，则 12。用（)的联合分布函数F（x,y）表示 13。用（）的联合分布函数F（x，y）表示 14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y）在区域D上服从均匀分布，则（x，y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。 15。已知，则＝ 16.设，且与相互独立,则 17。设的概率密度为，则＝ 18。设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在［0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0，22），X3服从参数为=3的泊松分布,记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）= 19。设，则 20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时，近似有 ~ 或～。特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有~ 或～. 21.设是独立同分布的随机变量序列，且,那么 依概率收敛于。 22.设是来自正态总体的样本，令则当 时～。 23。设容量n = 10 的样本的观察值为(8，7，6,9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差= 24。设X1，X2，…X n为来自正态总体的一个简单随机样本，则样本均值服从 二、选择题 1。设A,B为两随机事件，且，则下列式子正确的是 （A）P （A+B） = P (A);（B） （C）（D） 2。以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为 （A）“甲种产品滞销,乙种产品畅销”；（B）“甲、乙两种产品均畅销” （C）“甲种产品滞销"; （D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。 3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球.则第二人取到黄球的概率是 （A）1/5 （B）2/5 （C)3/5 （D）4/5 4。对于事件A，B，下列命题正确的是 （A）若A,B互不相容，则与也互不相容。 (B）若A,B相容,那么与也相容. 《概率论》考试试题（含答案） ................................................................................................... 1 解答与评分标准 . (3) 《概率论》考试试题（含答案） 一．单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设事件A 和B 的概率为12 (),()23 P A P B = = 则()P AB 可能为（ ） (A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6 2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（ ） (A) 12; (B) 225; (C) 425; (D)以上都不对 3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ ） (A) 518; (B) 13; (C) 1 2 ; (D)以上都不对 4．某一随机变量的分布函数为()3x x a be F x e +=+，则F (0)的值为（ ） (A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对 5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ） (A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对 二．填空题（每小题3分，共15分） 1．设A 、B 是相互独立的随机事件，P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B =_____. 2．设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξξξ==，则n =______. 3．随机变量ξ的期望为()5E ξ=，标准差为()2σξ=，则2 ()E ξ=_______. 4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________. 5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为2()22 a f x x x = ++，a 为常数，则P (ξ≥ 0)=_______. 三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=⋃)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 概率论与数理统计 试卷及其答案 一、填空题（每空4分，共20分） 1、设随机变量ξ的密度函数为2 (0,1)()0ax x x φ⎧∈=⎨ ⎩其它 ，则常数a = 3 。 2、设总体2 (,)X N μσ，其中μ与2 σ均未知，12,, ,n X X X 是来自总体X 的 一个样本，2σ的矩估计为 21 1 ()i n i i X X n ==-∑ 。 3、已知随机变量X 的概率分布为{}, 1,2,3,4,5,15k P X k k ===则 1()15P X E X ⎧⎫ <=⎨⎬⎩⎭ ___ 0.4___。 4、设随机变量~(0,4)X U ，则(34)P X <<= 0.25 。 5、某厂产品中一等品的合格率为90%，二等品合格率80%，现将二者以1：2的比例混合，则混合后产品的合格率为 5/6 。 二、计算题（第1、2、3题每题8分，第4题16分，第5题16分，共 56分） 1、一批灯泡共20只，其中5只是次品，其余为正品。做不放回抽取，每次取一只，求第三次才取到次品的概率。 解：设i A 表示第i 次取到次品，i=1,2,3，B 表示第三次才取到次品， 则 123121312()()()()() 1514535201918228 P B P A A A P A P A A P A A A === ⨯⨯= 2、设X 服从参数为λ的指数分布，其概率密度函数为0()00 x e x f x x λλ-⎧≥=⎨ <⎩， 求λ的极大似然估计。 解：由题知似然函数为： 1 1 ()(0)i n i i i x i n x n i i L e e x λ λλλλ==-=-=∑=∏=≥ 对数似然函数为： 1 ln ()ln i n i i L n x λλλ===-∑ 由 1 ln ()0i n i i d L n x d λλλ===-=∑，得： *1 1 i n i i n x x λ=== = ∑ 因为ln ()L λ的二阶导数总是负值，故* 1 X λ= 3、设随机变量X 与Y 相互独立,概率密度分别为: ,0()0, 0x X e x f x x -⎧>=⎨ ≤⎩,1,01 ()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其他, 求随机变量Z X Y =+的概率密度 解： ()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞ =-⎰ 1 ,01 ,10,0z x z x z e dy z e dy z z ---⎧<<⎪⎪=≥⎨⎪≤⎪ ⎩⎰⎰ 11,01,10,0z z z e z e e z z ---⎧-<<⎪=-≥⎨⎪≤⎩ 4、 设随机变量X 的密度函数为 222 习题七 ( A ) 1、设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，n X X X ,,,21 为取自 X 的一个样本，试求参数p 的矩估计量与极大似然估计量. 解：由题意，X 的分布律为： ()(1) ,0k N k N P X k p p k N k -⎛⎫==-≤≤ ⎪⎝⎭ . 总体X 的数学期望为 (1)(1) 011(1)(1)1N N k N k k N k k k N N EX k p p N p p p k k ----==-⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ -⎝⎭ ⎝⎭∑∑ 1 ((1))N N p p p N p -=+-= 则E X p N =.用X 替换E X 即得未知参数p 的矩估计量为ˆX p N =. 设12,,n x x x 是相应于样本12,,n X X X 的样本值，则似然函数为 1 1 121 1 (,,;)()(1)n n i i i i n n x nN x n i i i i N L x x x p P X x p p x ==- ==∑∑⎛⎫= == ⋅- ⎪⎝⎭ ∏∏ 取对数 1 1 1ln ln ln ()ln(1)n n n i i i i i i N L x p nN x p x ===⎛⎫ = +⋅+-⋅- ⎪⎝⎭∑ ∑∑， 1 1 ln (1) n n i i i i x nN x d L dp p p ==-= - -∑∑. 223 令 ln 0d L dp =，解得p 的极大似然估计值为 1 1ˆn i i x n p N ==∑. 从而得p 的极大似然估计量为 1 1ˆn i i X X n p N N === ∑ . 2,、设n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,X 的概率密度为 2 2,0(;)0,x x f x θθθ⎧<<⎪ =⎨⎪⎩ 其它. 其中参数0θ>，求θ的矩估计. 解：取n X X X ,,,21 为母体X 的一个样本容量为n 的样本，则 2 22()3 x E X xf x dx x dx θθθ +∞-∞ = =⋅ =⎰ ⎰ 32 E X θ⇒= 用X 替换E X 即得未知参数θ的矩估计量为3ˆ2 X θ= . 3、设12,,,n X X X 总体X 的一个样本, X 的概率密度为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧≤>=--0 ,0,0,);(1x x e x x f x α λαλαλ 其中0>λ是未知参数，0>α是已知常数,求λ的最大似然估计. 解：设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为 一、填空题：(每题4分，共24分) 1．已知事件A 与B 相互独立，()0.4P A =，()0.7P A B +=，则概率()P B A 为 。 2．某次考试中有4个单选选择题，每题有4个答案，某考生完全不懂，只能在 4个选项中随机选择1个答案，则该考生至少能答对两题的概率为 ， 3．若有 ξ～(0,1)N ，η=21ξ-，则η～N （ ， ） 4．若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且DX EX -=4,则参数λ＝ 5．设连续型随机变量ξ的概率密度为2(1)01()0x x f x -<<⎧=⎨⎩其他，且2ηξ=，则 η的概率密度为 。 6．设总体2~(,)X N μσ的分布，当μ已知，12,,n X X X 为来自总体的样本，则 统计量∑=-n i i X 12)( σ μ 服从 分布。 二、选择题：(每小题4分，共20分) 1. 设事件,,A B C 是三个事件，作为恒等式，正确的是（ ） A.()ABC AB C B = B.A B C ABC = C.()A B A B -= D.()()()A B C A C BC = 2.n 张奖券有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，其中至少有一人中奖的概 率是（ ）。 A.11 k m n m k n C C C -- B. k n m C C. k n k m n C C --1 D. 1r n m k r n C C =∑ 3. 设EX μ=，2DX σ=，则由切比雪夫不等式知(4)P X μσ-≤≥（ ） A. 1416 B. 1516 C. 15 D. 1615 4. 如果随机向量),(ηξ的联合分布表为： 《概率论》练习题 一、 填空题：（请将正确答案直接填在横线上，每小题3分） 1．设A 、B 、C 是三个事件，则A 、B 、C 中至多有2个事件发生可表示为 ABC 。 2．设A 、B 、C 是三个事件，则A 不发生但 B 、C 中至少有1 个事件发生可表示为 。 3．设随机变量X 服从泊松分布，且P （X=1）=P （X=2），E （3X-1）= 5 。 4.把三个不同的球随机地放入三个不同的盒中，则出现两个空盒的概率为__1/9________。 5．一批零件的次品率为0.2，连取三次，每次一件（有放回），则三次中至少有一次取到次品的概率为 0.488 。 6.设随机变量X 服从U(0, 2)分布，则2X Y =在(0, 4 )内的概率分布密度为 p Y )(y =?????其它 ,0,4 0,41 y y 。 7设A, B, C 是三个随机事件，则A, B, C 至少发生两个可表示为 AC BC AB ??或 BC A C B A C AB ABC ??? 。. 8、设P (A ) = 0.7, P (A － B ) = 0.3 , 则 )(AB P 0.6 。 9、设随机变量X 的概率分布为{},1,2,3,4,5P X k Ck k ===（） 则C = 15 1 。 10、设随机变量X 服从区间(2,6)上的均匀分布(2,6)U , 则(31)E X += 13 。 11、设X 服从正态分布(1,6)N -，则D(-2X+1)= 24 。 12. 设随机变量X 和Y 相互独立，其概率分布分别为： 则P ｛X=Y ｝= 2 1 。 13、设A 、B 、C 是三个事件, 则A 、B 、C 中至少有1个事件发生可表示为 A B C 。 14、设事件A 、B 、C 相互独立，()()()1 3 P A P B P C ===，则)(C B A P ?? 1927 。 15、设随机变量X 的概率分布为:P{X=k}= C k (k=1,2,3,),则C= 6C = 。 16、设随机变量X 服从泊松分布, 且P(X=1)=P(X=2),则D(2X-1)= 8 。 17、设X 服从正态分布(1,4)N ，则D(2X-4)= 16 。 18. 设二维随机变量（X,Y ）的联合分布律为： 概率论与数理统计试题库 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则 α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===⋅⋅⋅则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =⎩ ⎨⎧<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 8081，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 概率论复习题及答案 概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设A, B, C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) A, B, C 都不发生；(2) A, B, C 不都发生；(3) A, B, C 至少有一个发生；(4) A, B, C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C (2) ABC A B C (3) A B C (4) BC AC AB 2. 设A , B为两相互独立的随机事件, P( A) 0.4 , P( B) 0.6, 求P(A B), P(A B), P( A | B) 。 解：P(A B) P( A) P(B) P( AB) P(A) P(B) P(A)P( B) 0.76 ； P(A B) P( AB) P(A)P(B) 0.16, P( A|B) P( A) 0.4。 3. 设A, B 互斥，P(A) 0.5，P(A B) 0.9 ，求P( B), P(A B) 。 解：P(B) P(A B) P(A) 0.4, P(A B) P( A) 0.5 。 4. 设P( A) 0.5, P(B) 0.6, P(A | B) 0.5 ，求P(A B), P( AB) 。 解：P(AB) P(B)P(A | B) 0.3, P( A B) P( A) P(B) P( A B) 0.8, P( A B)P( A B)P(A)P(A)B 。0. 2 5. 设A, B, C 独立且P( A) 0.9, P(B) 0.8, P(C ) 0.7, 求P(A B C) 。 解：P(A B C) 1 P( A B C) 1 P( ABC ) 1 P( A) P(B)P(C ) 0.994 。 6. 袋中有 4 个黄球， 6 个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) P 2 C C 4 . 试题一 一、选择题（每题有且仅有一个正确答案，每题2分，共20分） 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ ）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ⊂B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ ） A.91 99 100 98 .02.0C B. i i i i C -=∑1001009 100 98.02.0 C. i i i i C -=∑100100 10 100 98 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 100 98.02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)()3 1 253(321=++ X X X E A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本 521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 2 3 21X X X X X c +++⋅ 服从t 分布。（ ） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设 X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ ） A. 6 )14(2 61-- x e π B. 3 2)14(2 61-- x e π C. 6 )14(2321-- x e π D. 2 3)14(2 61-- x e π 7、 321,,X X X 为总体),(2σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ ） A. 3212110351X X X ++ B. 321416131X X X ++ C. 3211252131X X X + + D. 3216 1 3131X X X ++ 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 概率论试题及答案 概率论作为一门应用广泛的数学学科，研究随机事件的发生概率和 规律。下面将介绍几个概率论试题及它们的答案，帮助读者更好地理 解概率论的基本概念和应用。 题目一：骰子问题 问题描述：假设有一枚六面骰子，每个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6。现在连续掷骰子20次，求掷出奇数点数的次数大于偶数点 数的概率是多少？ 解答：首先，观察到每次掷骰子的结果只可能是1、2、3、4、5、6这6个数字中的一个。而奇数有3个（1、3、5），偶数也有3个（2、4、6）。因此，每次掷骰子奇数点数的概率和偶数点数的概率是相等的，都为1/2。 那么，连续掷骰子20次，奇数点数的次数大于偶数点数的概率可 以通过计算二项分布来求解。记成功事件为掷出奇数点数的次数大于 偶数点数的次数，成功的次数可能为11、12、 (20) 根据二项分布的公式，可以计算每个可能成功次数对应的概率，并 将这些概率相加，即可得到最终的概率。 题目二：抽奖问题 问题描述：在一个抽奖活动中，共有100人参与抽奖，每人只能中 奖1次。现在有10个一等奖和20个二等奖，计算一个人中奖的概率。 解答：中奖的概率可以通过计算每个人中奖的概率，并将这些概率相加来求解。 首先，计算一个人中一等奖的概率。一等奖有10个，参与抽奖的人有100个，因此，一个人中一等奖的概率为10/100=1/10。 接下来，计算一个人中二等奖的概率。二等奖有20个，中奖概率为20/100=1/5。 最后，将中一等奖和中二等奖的概率相加，并得到一个人中奖的总概率为1/10+1/5=3/10=0.3。 题目三：扑克牌问题 问题描述：从一副扑克牌中任意抽取5张牌，计算抽出来的牌中至少有一张是红桃的概率。 解答：从一副扑克牌中任意抽取5张牌，抽出来的牌中至少有一张是红桃可以通过计算该事件的对立事件的概率来求解。 设事件A为抽出来的牌中至少有一张是红桃，事件B为抽出来的牌中没有红桃。 首先，计算事件B的概率。红桃有13张，而一副扑克牌有52张，所以剩下的非红桃牌有39张，抽出5张非红桃牌的概率为 C(39,5)/C(52,5)。 然后，事件A的概率等于1减去事件B的概率，即1- C(39,5)/C(52,5)。 第一部分 基本题 一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分，选错0分） 1. 事件表达式A B 的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生 (D) 事件A 与事件B 至少有一件发生 答：选D ，根据A B 的定义可知。 2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 答：选A ，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。 3. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布 (D) 自由度为2的F 分布 答：选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的χ2分布。 4. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( ) (A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3) 答：选C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, D (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。 5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计 (B) 1233 X X X ++是μ的无偏估计(C) 2 2X 是σ2 的无偏估计 (D) 2 1233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭ 是σ2的无偏估计 答：选B ，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。 6. 随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X 的数学期望E (X )的值为( ) (A) 2 (B) 3 (C) 3.5 (D) 4 答：选C ，因为在(a ,b )区间上的均匀分布的数学期望为(a +b )/2。 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。把答案填在题中横线上） 1. 已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (A B )= __________ 答：填0.18, 由乘法公式P (A B )=P (A )P (B |A )=0.6⨯0.3=0.18。 2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________ 答：填0.784，是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是1-0.216=0.784。 3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____ 答：填0.25或 1 4 ，由古典概型计算得所求概率为3 1053210.254C ⨯⨯==。 试卷八 一、填空题（满分15分） 1.已知,,且A与B相互独立，则 。 2.设随机变量X服从参数为二项分布，且，则 。 3.设,且，则。 4.已知DX=1，DY=2，且X和Y相互独立，则D(2X-Y)＝。 5.已知随机变量X服从自由度为n的t分布，则随机变量服从的分布是。 二、选择题（满分15分） 1.抛掷3枚均匀对称的硬币，恰好有两枚正面向上的概率是 。 （A）0.125，（B）0.25，（C）0.375，（D）0.5 2.有γ个球，随机地放在n个盒子中（γ≤n），则某指定的γ个盒子中各有一球的概率为。 （A）（B）（C） (D) 3.设随机变量X的概率密度为，则c＝。 （A）－（B）0 （C）（D）1 4.掷一颗骰子600次，求“一点”出现次数的均值为。 （A）50 （B）100 （C）120 （D）150 5.设总体X在上服从均匀分布，则参数的矩估计量为。 （A）（B）（C）（D） 三、计算题（满分60分） 1.某商店拥有某产品共计12件，其中4件次品，已经售出2件，现从剩下的10件产品中任取一件，求这件是正品的概率。 2.设某种电子元件的寿命服从正态分布N（40，100），随机地取5个元件，求恰有两个元件寿命小于50的概率。（， ） 3.在区间（0，1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于”的概率。 4.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.2，0.3，0.4，各部件的状态相互独立，求需要调整的部件数X的期望EX和方差DX。 5.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2％的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差。 （ 6.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可认 为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。（， ） 四、证明题 1.设A，B是两个随机事件，0 试卷一 一、填空〔每题2分，共10分〕 １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示"出现奇数点〞，表示"点数不大于3〞，则表示______________________。 ３．互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、， 则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择〔每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每题2分，共20分〕 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记"取到2只白球〞，则〔〕。 (A) 取到2只红球(B) 取到1只白球 (C) 没有取到白球 (D) 至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, "出现正面〞称为〔〕。 (A) 随机事件(B) 必然事件 (C) 不可能事件(D) 样本空间 3. 设A、B为随机事件，则〔〕。 (A) A (B) B (C) AB (D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则以下结论中肯定正确的选项是〔〕。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则以下式子正确的选项是〔〕。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则〔〕。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则 〔〕。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D)0.7 8. 进展一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为〔〕。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3 (D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则以下式子正确的选项是〔〕。 (A) (B) 试卷一 一、填空每小题2分,共10分 １．设是三个随机事件,则至少发生两个可表示为______________________; ２. 掷一颗骰子,表示“出现奇数点”,表示“点数不大于3”,则表示______________________; ３．已知互斥的两个事件满足,则___________; ４．设为两个随机事件,,,则___________; ５．设是三个随机事件,,,、,则至少发生一个的概率为___________; 二、单项选择每小题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内;每小题2分,共20分 1. 从装有2只红球,2只白球的袋中任取两球,记“取到2只白球”,则 ; A取到2只红球B取到1只白球 C没有取到白球D至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为 ; A随机事件B必然事件 C不可能事件D样本空间 3. 设A、B为随机事件,则 ; A A B B C AB Dφ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件,则下列结论中肯定正确的是 ; A与互斥B与不互斥 C D 5. 设为两随机事件,且,则下列式子正确的是 ; A B C D 6. 设相互独立,则 ; A B C D 7.设是三个随机事件,且有,则 ; A 0.1 B 0.6 C 0.8 D 0.7 8. 进行一系列独立的试验,每次试验成功的概率为p,则在成功2次之前已经失败3次的概率为 ; A p21–p3B4 p 1–p3 C5 p21–p3D4 p21–p3 9. 设A、B为两随机事件,且,则下列式子正确的是 ; A B C D 10. 设事件A与B同时发生时,事件C一定发生,则 ; A PA B = P C B P A + P B–P C≤1 C P A + P B–P C≥1 D P A + P B≤P C 三、计算与应用题每小题8分,共64分 1. 袋中装有5个白球,3个黑球;从中一次任取两个; 求取到的两个球颜色不同的概率; 2. 10把钥匙有3把能把门锁打开;今任取两把; 求能打开门的概率; 3. 一间宿舍住有6位同学, 求他们中有4个人的生日在同一个月份概率; 4. 50个产品中有46个合格品与4个次品,从中一次抽取3个, 求至少取到一个次品的概率; 5. 加工某种零件,需经过三道工序,假定第一、二、三道工序的次品率分别为0.2,0.1,0.1,并且任何一道工序是否出次品 与其它各道工序无关; 求该种零件的次品率; 6. 已知某品的合格率为0.95,而合格品中的一级品率为0.65; 求该产品的一级品率; 7. 一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的;开箱检验时,从中随机抽取10件,如果发现有次品,则认为该箱 产品不合要求而拒收;若已知该箱产品已通过验收, 求其中确实没有次品的概率; 8. 某厂的产品,按甲工艺加工,按乙工艺加工,两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8与0.9;现从该厂 的产品中有放回地取5件来检验, 求其中最多有一件次品的概率; 四、证明题共6分 设,;证明 试卷一 参考答案 一、填空 1. 或 2. 出现的点数恰为5 3. 与互斥 概率论习题 一、填空题 1、掷21n +次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是 . 2、把10本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率 . 3、一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率 . 4、已知()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则().P AB = 5、已知()0.3,()0.4,()0.5,P A P B P AB === 则(|).P B A B ⋃= 6、掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为 .. 7、设()0.4,()0.7,P A P A B =⋃= 若,A B 独立，则().P B = 8、设,A B 为两事件，11 ()(),(|),36P A P B P A B === 则(|).P A B = 9、设123,,A A A 相互独立，且2 (),1,2,3,3i P A i == 则123,,A A A 最多出现一个的概 率是 . 10、某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为 . 11、一枚硬币独立的投3次，记事件A =“第一次掷出正面”，事件B =“第二次掷出反面”，事件C =“正面最多掷出一次”。那么(|)P C AB = 。 12、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者.今从男女人数相 表示为互不相容事件的和是 。15、,,A B C 中不多于两个发生可表示为 。 二、选择题 1、下面四个结论成立的是（ ） .()().,.().()A A B C A B C B AB C A BC C A B B A D A B B A --=-⋃=∅⊂=∅ ⋃-=-⋃=若且则 《概率论》课程习题集 一、计算题 1. 10只产品中有2只次品, 在其中取两次, 每次任取一只，作不放回抽样，求下列 事件的概率：（1）两只都是正品；（2）一只是正品，一只是次品；（3）第二次取出的是次品。 2. 一个学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为p ，若第一次及格则 第二次及格的概率也为p ；若第一次不及格则第二次及格的概率为.2/p 求 （1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率； （2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率 3. 用某种方法普查肝癌，设：A ={ 检验反映呈阳性 }，C ={ 被检查者确实患有肝癌 }， 已知() () 5.C A P ,.C A P 90950==()5.C P 000=且现有一人用此法检验呈阳性，求此人真正患有肝癌的概率． 4. 两台机床加工同样的零件，第一台出现次品的概率是0.03, 第二台出现次品的概 率是0.02，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台的多一倍。 （1）求随意取出的零件是合格品的概率 （2）如果随意取出的零件经检验是次品，求它是由第二台机床加工的概率 5. 某人有5把钥匙,但忘了开房门的是哪一把,现逐把试开, 求∶(1) 恰好第三次打开房门锁的概率 (2) 三次内打开房门锁的概率 (3) 如5把钥匙内有2把是开房门的,三次内打开房门锁的概率 6. 设X 是连续型随机变量，其密度函数为()()⎩ ⎨⎧<<-=其它02 0242x x x c x f 求：（1）；常数c （2）{}．1>X P 7. 设X ～⎩⎨⎧≤≤=其他，02 ,)(x o cx x f 求（1）常数c ；（2）分布函数)(x F ； 8. 一工厂生产的某种元件的寿命X （以小时计）服从参数为σμ,160= 的正态分布。 若要求,80.0)200120(≥≤概率论与数理统计练习题集及答案
(完整)概率复习题及答案
《概率论》考试试题(含答案)
(完整版)概率论与数理统计习题集及答案
概率论与数理统计试卷及参考答案
概率论习题及答案习题详解
概率论试题与答案
概率论-题和答案
概率论与数理统计试题库及答案
概率论复习题及答案
概率论考试题以及解析汇总
概率论试题及答案
概率论试题含答案)
概率论试卷及答案
概率论试题及答案
概率论试题及答案
概率论习题及答案
概率论_习题集(含答案)