概率论与数理统计常见问题解答
概率论与数理统计常见问题解答
1.概率论研究的对象是什么？现实生活中有两类现象。
必然现象：一定条件下，结果是肯定的。如：一定大气压下，水加温到100℃：沸腾随机现象：一定条件下，结果不肯定的。如：实弹射击，打一发子弹：可能中或不中
概率论是研究随机现象规律性的一门学科。
2.随机现象有规律性吗？有。
例如：两人打枪。
甲是神枪手，乙是普通射手。如果打一发子弹，甲可能打中也可能打不中，乙也可能打中也可能打不中，看不出什么规律。
如果两人比赛，各打10组，每组100发子弹，结果是：
我们可以看出规律性：甲可说几乎每发必中，乙只有大约一半的可能性打中。这种规律性称为统计规律性。在大量试验中才显示出来，不是个别试验显示的特性。
3.随机现象的规律性如何指导实践？
例如：农业生产上选择品种，如果当地发生旱灾的可能性大，水灾的可能性小，就应选择耐旱的品种，反之则应选择耐涝的品种。
在统计学中，以“小概率事件”判断原理来进行假设检验，例如：厂方声称，产品的废品率为5%，随机检查，发现“5个产品有2个次品”。这时，应当拒绝“废品率为5%” 。为什么？
因为“5个产品有2个次品”是小概率事件（用概率的方法可计算），在一次试验中一般不可能发生，现在居然发生了，应怀疑原假设。
可能性小的事并不等于不发生
例如：地震。某地某日发生大地震的可能性是非常小的，但就整个地球来说，一年总要发生几次大地震。
例1：甲、乙两位棋手棋艺相当。他们在一项奖金为1000元的比赛相遇。比赛为五局三胜制。已经进行了三局的比赛，结果为甲二胜一负。现因故要停止比赛，问应该如何分配这1000元比赛奖金才算公平？
奖金分配方法：平均分，对甲欠公平，按一定的比例分配，甲拿大头，乙拿小头，甲拿2/3，乙拿1/3，合理吗？
例2：在第43届世界乒乓球锦标赛中，中国队与瑞典队争夺冠亚军，当时瑞典队上场队员只有瓦尔德内尔、佩尔松和卡尔松，其中卡尔松怕削球手，于是中国队排出了以下阵容：王涛马文革丁松马文革王涛
决策时已经估计到瑞典队有两种可能的选择：
或以卡尔松打第三单打去碰削球手丁松
或以佩尔森打第三单打，以便卡尔松避开丁松
最后，中国队战胜瑞典队（3：2），夺回了阔别六年之久的斯韦思林杯。
请根据下面两种数据，计算中国队获胜的概率。
第一种
第二种
4.什么是随机事件？
随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。
应该注意的是，事件的结果是相应于"一定条件"而言的。
因此，要弄清某一随机事件，就必须明确何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果。
例如，某人作试验"向上抛掷一枚质地均匀的硬币","质地均匀的硬币"是条件，在此条件下，硬币落地时正面向上(或反面向上)则是结果；
例如，某气象台每天中午观察风速，则时间、地点是条件，观察到的风速是结果。
5.如何理解"随机试验"这一概念？
凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验。
一个试验如果满足下述条件，则被称之为随机试验：
(1)试验可以在相同的情形下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
例如，"从盛有3个排球、2个足球的筐子里任取一球"就是一次随机试验，"取出的是排球"则是试验的结果。
6."频率"与"概率"之间有何关系？
随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，当试验次数很多时，它具有一定的稳定性，即稳定在某一常数附近，而偏离的它可能性很小。
为了说明这种规律，我们把这个常数称为这个随机事件的概率。它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率。
例如，一根棒在一定条件下具有"长度"这一特性，而我们通常用某次测量的结果作为其长度。
7.如何理解“互斥问题”
互斥事件是对两个事件而言的。若有A、B两个事件，当事件A发生时事件B就不发生；当事件B发生时事件A就不发生(也就是说，事件A、B不可能同时发生)，我们就把这种不可能同时发生的两个事
件叫做互斥事件，也有人把它们叫做不相容事件。
8."互斥"与"等可能"的区别是什么？
"互斥事件"和"等可能事件"是迥然不同的两个概念。
在一次试验中，由于某种对称性条件使得若干个随机事件中每一事件发生的可能性是完全相同的，则称这些事件为等可能事件。在数目上它可为2个或多个。
而互斥事件仅指不可能同时发生的两个事件。
例如：掷一个均匀骰子，"出现1或2"与"出现2或3"这两个事件是等可能的，但它们不是互斥事件。
9."互斥"和"对立"的关系如何？
"互斥事件"和"对立事件"都是就两个事件而言的。
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件。因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说,"互斥"是"对立"的必要但不充分的条件。
例如："出现1点"和"出现2点"是互斥的，但不是对立的，因为有可能1点和2点都不出现。
又如：掷一个硬币，"出现正面"和"出现反面"是对立的。
应用公式P(A+B)=P(A)+P(B)解决问题时，首先要注意前提：A、B两事件必须互斥。
因为一般地，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
10.如何灵活运用公式？
求某个事件的概率时，常遇到求“至少...”或“至多...” 等事件概率的问题。
若从正面考察这些事件，它们往往是诸多事件的和或积，求解时很繁琐。但“至少...”、“至多...”这些事件的对立事件往往比较简单，且其概率也很容易求出。
此时，不妨来一个逆向思考，先求其对立事件的概率，然后再求原来事件的概率。
这就需要运用公式了。
11.如何理解“独立事件”？
在实际生活中，我们常常注意到事件之间的联系。例如：“昨天晚上没休息好”和“今天考试成绩差”是有联系的。虽然没休息好不一定导致成绩不好，但增大了成绩不好的可能性。
又如：“某人买彩票没中奖”和“某人听见乌鸦叫”这两个事件，可以认为是互不相关的，因为某人是否听见乌鸦叫，并不影响他中奖的可能性。
“两个事件互不影响”抽象为数学模型，就得到“独立事件”的数学概念，但我们还要注意两者之间的差别。前一句话，是日常生活用语，是不准确的，如果用它来代替“独立事件”的概念，就会产生错误。
例如：“广州下雨”和“北京在同一天下雨”这两个事件，一般均看作独立的。
又如掷一个均匀的骰子，“出现偶数点”和“出现1或2”这两个事件是互相独立的，
但如果骰子不是均匀的，那么这两个事件就不一定互相独立的。
所以，判定两个事件是否相互独立，一定要按定义，即根据条件
是否成立来决定。
有一个例子，说明A、B、C三个事件中任意两个事件互相独立，但它们总体并不相互独立。
例：同时抛掷两个均匀的硬币
A={第一个硬币出现正面}
B={第二个硬币出现反面}
C={两个硬币同时出现正面，或同时出现反面}，则
，
，
但，可见A、B、C两两互相独立，但三个事件总体并不互相独立。
这个例子正确说明，我们对“两个事件互不影响”的直观概念和“全体相互独立事件”的数学概念是有一定差别的。
12.“互斥”与“相互独立”的有什么区别？
“互斥事件”与“相互独立事件”是两个不同的概念，二者不能混淆。
两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同的。
若A、B互斥，且，，则它们不可能互相独立，因为A发生的条件下，B不可能发生，即，所以A、B不是互相独立。
教你一招
应用公式解决实际问题时，首先要注意公式应用的前提：这n个事件是相互独立的.
13.如何认识"独立重复试验"？
进行一系列试验，在每次试验中事件A或者发生、或者不发生。假设每次试验的结果与其它各次试验的结果无关，即事件A的概率P(A)在整个系列试验中保持不变，这样的一系列试验叫独立重复试验。
"重复"是指在多次试验中，每次P(A)=p保持不变."独立"是指每次试验的结果互不影响，
若以C i记为第i次试验的结果A或（i=1,2,...,n）,则"独立"指
14.如何正确看待"小概率事件"？
"小概率事件"是指发生的概率很小（比如小于1%，当然，对不同的实际问题有不同的要求）的事件。对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均要做很多次才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。
不过应注意两点：一是这里的"几乎不可能发生"，是针对"一次试验"来说的，因为如果一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小，但只要实验次数很多，而且试验是独立进行的，则这一事件的发生几乎是肯定的；二是当我们运用"小概率事件几乎不可能发生的原理"进行推断时，也有犯错误的可能。
15.摸球游戏中谁是真正的赢家
在街头巷尾常见一类“摸球游戏”．游戏是这样的：一袋中装有16个大小、形状相同，光滑程度一致的玻璃球．其中8个红色、8个白色．游戏者从中一次摸出8个，8个球中．当红白两种颜色出现以下比数时．摸球者可得到相应的“奖励”或“处罚”：
A B C D E
结果（比数）8:0 7:1 6:2 5:3 4:4
奖金（元）10 1 0.5 0.2 -2
注：表中“-2”表示受罚2元
此游戏（实为赌博），从表面上看非常有吸引力，5种可能出现的结果,有4种可得奖,且最高奖达10元,而只有一种情况受罚,罚金只是2元．因此就吸引了许多人特别是好奇的青少年参加,结果却是受罚的多，何以如此呢？其实,这就是概率知识的具体应用：现在是
从16个球中任取8个,所有可能的取法为种,即基本事件总数有限,又因为是任意抽取,保证了等可能性,是典型的古典概型问题．由古典概率计算公式,很容易得到上述5种结果．其对应的概率分别是：
假设进行了1000次摸球试验，5种情况平均出现的次数分别为：0、10、122、487、381次，经营游戏者预期可得
10×0＋1×10＋0.5×122＋0.2×487-2×381=593.6（元）．
这个例子的结论可能会使我们大吃一惊，然而正是在这一惊之中．获得了对古典概率更具体、更生动的知识．
16.如何理解"随机变量"？
研究随机现象时，我们通常只关心结果的某些数量方面。例如，掷一个骰子，我们只关心向上一面的点数，而不关心骰子落在哪里。在随机试验中，如果一个变量随着试验结果的不同而取不同的值，它就是随机变量，也可以说，随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数。
17.随机变量与普通函数有什么区别？
随机变量的定义域是样本空间，也就是说，当一个随机试验的结果确定时，随机变量的值也确定下来。因此，如不与某次试验联系，就不能确定随机变量的值。
所谓随机变量，实际上是用变量对试验结果的一种刻画，是试验结果(即样本点)和实数之间的一个对应关系，不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实数x，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量是试验结果(即样本点)。随机变量的取值随试验结果而定。
18."离散"与"连续"随机变量有什么区别
离散型随机变量和连续型随机变量都是用来刻画随机试验所出现的结果的，但二者之间又有着重要的区别：
对于离散型随机变量而言，它所可能取的值为有限个或至多可列个；
而连续型随机变量的取值则不然。
19.如何理解"随机变量的函数"？
一般地，若ξ是随机变量，f(x)是x的函数，则f(ξ)也是随机变量。也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量。
20.如何理解“二项分布”？
二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位。
二项分布实际上是对n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率的阐述，或者说，当随机变量ξ是n次独立重复试验中某事件恰好发生的次数时，其概率分布称作二项分布。
这里之所以把这种分布称作二项分布，是因为恰是二项展开式
中的第k+1项的值。
21.二项分布的数学期望有什么特点？
设在一次试验中某事件发生的概率是p，η是一次试验中此事件发生的次数，令
q=1-p则P(η=0)=q，P(η=1)=p,从而Eη=0×q+1×p=p
由此可知，在一次试验中该事件平均发生p次。我们有理由猜想，在n次独立重复试验中，该事件平均发生np次，即若ξ～B(n,p)，则Eξ=np，这就是ξ的二项分布的期望的特点。
21.如何理解方差、标准差的意义？
随机变量ξ方差的意义在于描述随机变量稳定与波动、集中与分散的状况。标准差则体现随机变量取值与其期望值的偏差。标准差是方差的平方根，在量纲上它与数学期望一致。
在实际问题中，若有两个随机变量ξ1、ξ2，且Eξ1=Eξ2或Eξ1与Eξ2比较接近时，我们常用Dξ1与Dξ2来比较这两个随机变量。差值大的，则表明该随机变量的取值较为离散，反之则表明它较为集中。同样，标准差的值较大，则表明该随机变量的取值与其期望值的偏差较大，反之，则表明此偏差较小。
22.为什么要了解数学期望？
现在社会上正流行各种彩票、奖卷等，那么对购买者和销售者最关心的是什么？其实就是数学期望，这时数学期望可以被购买者视为平均获利，让我们来观察一个最简单例子：例：张三对李四说：让我们打一个赌，如果你赢了，你得100元，如果我赢了，你付1元，请问李四会参加吗？
如果你是李四的话，你如果回答参加，那么未免操之过急了。为什么？
其实你已经在思考这是一个什么样的赌局，换而言之，李四的获利期望是多少呢？
假设一，李四获利的概率为0，张三获胜的概率为1，则期望为
100*0+(－1)*1=－1(元)
李四定付出1元。这时即使李四获胜后得利1万元，甚至1百万，1亿。期望仍为－1，为什么，因为李四获胜概率为0。
假设二，李四获胜的概率为0.0001，张三获胜的概率为0.9999，则期望为
100×0.0001＋（－1）×0.9999＝－0.9899（元）
这时李四仍不应该参加。而此时若获胜后得1万元，失利后付出1元。则期望为
10000×0.0001＋（－1）×0.9999＝0.0001（元）
这时李四才建议参加。但请你注意，这一期望值是在你多次参与（如赌局超过10万，甚至100万局）的一个活期望值，并不是说李四赌了2―3局就获利0.0001元，为什么？因为李四获胜概率为0.0001（即万分之一），而2—3局中。李四获胜一局的概率才约为0.0003，为什么？
因为。
上面的这个例子虽然简单，但很生动，对理解数学期望有很大的帮助，请同学们仔细体会。以后当你在社会上碰到一些人推销、热买等所谓的“好事”时，请你多想想数学期望和概率。
23.为什么要学习数字特征？
本章的内容似乎数学味有些浓，其实只是计算定义稍多一些而已。而学习的关键在于理解为什么要定义这些数字特征（如期望，方差，矩等）。
例如，当我们聊起一些人的特征时，你会说："张三很好认，他的下巴偏左有一颗痣"。这时"一颗痣"就是这个人的形象特征。有了这个特征，你很快就会认出张三了（不是吗？），如鲁迅名著中的"圆规"，神话小说的"二郎神"（三只眼），在你的脑海中立即会有一个所对应的活生生的人。所以数字特征并不可怕，它是我们采率统计方法的好帮手。
故而，当有一个人问你："你们班的同学身高怎样？"时，你的一种回答方式是："我们班上张三身高……，李四身高……，王五身高……，……"如果你们班有100人，你可能要照此回答15-20分钟，真像给皇帝的奏折，翻了一页又一页，你可能觉得烦了。对的，这就是因为你没有用好数字特征。如果你采用另一种回答方式："我们班上大概是1米7几吧"，这个回答多么简洁形象。你的回答采用了数学期望（平均值）的思想了。事实上，你们班上可能有人1.83米，可能有人1.52米，有高有矮。
实际上，在现实生活中，我们经常会采用第2种方式回答。它事实上是将班上的人的身高求和再除以100，所求得的平均值，而这个现象用数学语言来说，就是每个同学身高的表现概率是相等的，即百分之一，则数学期望为
这时你如果回答中的"1米7几"就是上式计算的结果，也就是数字特征中的一个，那么它就是这个班同学身高的数学期望。你说数字特征难学吗？
当然，如果提问者提出"你们班上的同学身高请一一报告"时，你就不得不采用第一种回答方式了。
24.为什么要学习中心极限定理?
本章的学习内容是人们长期以来关心的"问题的问题"，也就是当您多问几个"为什么"后的结果．
例如，广东省的高考成绩是采取标准分制的，这样使得招生录取工作每年可控制在相对稳定的范围内进行，那么您或者会问："为什么可采取标准分制？标准分如何产生?"，如果我告诉您：" 我们假设全省的考生成绩服从正态分布，从而换算出每个人的标准分"，那您可能马上接着问："为什么考生成绩服从正态分布？"这其实就是中心极限定理所需要告诉大家的事实．
请您先看一看中心极限定理这一节，好吗？
25.如何理解方差、标准差的意义？
随机变量ξ方差的意义在于描述随机变量稳定与波动、集中与分散的状况。标准差则体现随机变量取值与其期望值的偏差。标准差是方差的平方根，在量纲上它与数学期望一致。
在实际问题中，若有两个随机变量ξ1、ξ2，且Eξ1=Eξ2或Eξ1与Eξ2比较接近时，我们常用Dξ1与Dξ2来比较这两个随机变量。差值大的，则表明该随机变量的取值较为离散，反之则表明它较为集中。同样，标准差的值较大，则表明该随机变量的取值与其期望值的偏差较大，反之，则表明此偏差较小。
26.拥挤的水房（德莫弗－拉普拉斯定理的例子）
某校有学生5000人，有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向学校总务处提议增设水龙头。
学校总务处很重视学生意见，为此召开专门研究会，但在增设多少个水龙头上发生争执，于是希望您给学校总务处参谋参谋。
如果您经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1％的时间要占用一个水龙头，现有水龙头数量为45个，请问：
1．未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？
2．需至少要装多少个水龙头，才能以95％以上的概率保证不拥挤？
解：
1.同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数ξ服从二项分布B（5000，0.01），则直接计算为
直接计算相当麻烦，我们采用近似公式.已知n=5000,p=0.01，q=0.99，
np=50.
,故
，从而
怪不得同学们有不少的抱怨。拥挤的概率竟达到0.7611。
2.欲求m，使得
查标准正态分布函数表知.
故需要装62个水龙头。
问题的变形：
1．需至少安装多少个水龙头，才能以99%以上的概率保证不拥挤？
2．若条件中已有水龙头数量改为55个，其余的条件不变,1,2两问题结果如何？
3．若条件中的每个学生占用由1%提高到1.5%，其余的条件不变，则1，2两问题结果如何？
27.（第5章）戏院设座问题
甲、乙两戏院在竞争500名观众，假设每个观众完全随意地选择一个戏院，且观众之间选择戏院是彼此独立的，问每个戏院至少应该设多少个座位才能保证观众因缺少座位而离开的概率小于5%?
解由于两个戏院的情况相同，故只需考虑甲戏院即可。设甲戏院需设m个座位，定义
，i=1,2,…,500
依题意，
若用x表示选择甲戏院的观众总数，则，问题化为求m使
因为,由中心极限定理近似地
故，
查标准正态分布表知，
从而解得，即每个戏院至少应该设269个座位。
注释：此题可设计模拟试验：假设两个戏院各有269个座位，每天同时各放一场电影，设每天有500人来看电影。输入观察天数，输出因甲戏院缺座位而有观众离开的天数及其频率。
28.如何理解“简单随机抽样的公平性”？
所谓简单随机抽样的公平性，是指在简单随机抽样过程中，每个个体被抽取的概率都相等。即若从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，在整个抽样过程中每个个体
被抽取的概率都等于是。
简单随机抽样的特点是什么？根据简单随机抽样的定义，可以看到有以下特点：
(1)它要求被抽取样本的总体的个体数有限。这样，便于通过随机抽取的样本对总体进行分析。
(2)它是从总体中逐个地进行抽取。这样，便于在抽样实践中进行操作。
(3)它是一种不放回抽样。由于抽样实践中多采用不放用抽样，使其具有较广泛的实用性，而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，便于进行有关的分析和计算。
(4)它是一种等概率抽样。不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的概率也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性。
29."频率分布"与"相应的总体分布"有何关系？
"频率分布"是指样本的频率分布，"总体分布"是指与样本相应的总体取值的概率分布规律。
频率分布将随着样本容量的增大更加接近总体分布，当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时，频率分布直方图就会演变成一条光滑曲线--反映总体分布的概率密度曲线。
基于频率分布与相应的总体分布的关系，且通常我们并不知道一个总体的分布，因此，常常从总体中抽取一个样本，用样本的频率分布去估计相应的总体分布。
30.进行“假设检验”的步骤是什么？
就正态总体而言，进行假设检验可归结为如下三步：
(1)提出统计假设.统计假设里的变量服从正态分布.
(2)确定一次试验中的取值a是否落入范围
(3)作出推断:如果 , 则接受统计假设。
如果不成立, 由于这是小概率事件,就拒绝统计假设。
概率论与数理统计期末复习20题及解答
概率论与数理统计期末复习20题及解答 【第一章】 随机事件与概率 1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率. 2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率． 3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101” ，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率. 4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率． 【第二章】 随机变量及其分布 5、设连续随机变量X 的分布函数为 +∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(． （1）求系数A 及B ；（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率；（3）求X 的概率密度． 6、设随机变量X 的概率密度为 ???≤≤=其它, 0, 10,)(x ax x f ， 求：（1）常数a ；（2）)5.15.0(< 习 题八 某油品公司的桶装润滑油标定重量为10千克。商品检验部门从市场上 随机抽取10桶，称得它们的重量(单位：千克)分别是,,,,,,,,,. 假设每桶油实际重量服从正态分布.试在显着性水平01.0=α下，检验该公司的桶装润滑油重量是否确为10千克，试给出检验的p 值的计算公式. 解：问题归结为检验如下假设 10:10:10≠↔=μμH H 此处n=10，01.0=α，S=.25.321=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-αn t ，于是拒绝域为 253.010 246.025.325.30=⨯ =⨯ ≥-n S X μ 而253.006.01006.100<=-=-μX ，所以我们接受原假设，即桶装润滑油重量确为10千克。可以算得，该检验的P 值为 {}5.0771.010/246.01006.10/10 =≥=⎪⎭ ⎪ ⎬⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧-≥--n T P n S X P μ 假设香烟中尼古丁含量服从正态分布，现从某牌香烟中随机抽取20支，其尼古丁含量的平均值6.18=X 毫克，样本标准差S=毫克，取显着性水平01.0=α，我们能否接受“该种香烟的尼古丁含量的均值18=μ毫克” 的 断言 解：问题归结为检验如下假设 18:18:10≠↔=μμH H 此处n=20，01.0=α，S=.86.221=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-αn t ，于是拒绝域为 53.120 4.286.29.2||0=⨯ =⨯ ≥-n S X μ 而53.16.0186.18||0<=-=-μX ，所以我们接受原假设，即我们接受“该种香烟的尼古丁含量的均值18=μ毫克”的断言. (1)考虑正态总体),(2σμN 和假设检验问题 0100::μμμμ>↔≤H H 证明:当2σ已知时，则拒绝域为 ασ μZ n X ≥ -0 的检验的显着性水平为α。 若2σ未知 则拒绝域为 )(10ασ μ-≥ -n t n X 的检验的显着性水平为α. (2)在习题中， 对4.2=σ毫克和S=毫克两种情况，我们能否接受“该牌的香烟尼古丁含量不超过毫克”的断言 证明：(1)取显着水平α>0，对于正态总体),(2σμN 和假设检验问题 0100::μμμμ>↔≤H H 因0H 中的均值μ都比1H 中的μ小，所以从直观上看，较合理的检验法则应当是：若观察值X 与0μ的差过分大，即0μ-X >c 时，我们拒绝接受0H .采用与书中类似的讨论，可以推出 ασ Z n c = 于是拒绝域为 ασ μZ n X ≥ -0 概率论与数理统计重点总结及例题 解析(总15页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-- --内页可以根据需求调整合适字体及大小-- 概率论与数理统计重点总结及例题解析 一：全概率公式和贝叶斯公式 例：某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9%, 12% 。现从该厂产品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格产品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。（同步45页三、1） 解：设A1，A2，A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B表示产品不合格，则A1，A2，A3为一个完备事件组。P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6, P(B| A1)＝，P(B| A2)＝，P(B| A3)＝。 由全概率公式P(B) = P(A1)P(B| A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) = 由贝叶斯公式：P(A1| B)＝P(A1B)/P(B) = 4/9 练习：市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍，第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率是多少（ 同步49页三、1）【】 练习：设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：（同步29页三、5） （1）取出的零件是一等品的概率； （2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。 解：设事件i A ={从第i 箱取的零件}，i B ={第i 次取的零件是一等品} （1）P(1B )=P(1A )P(1B |1A )+P(2A )P(1B |2A )= 5 2 301821501021=+ （2）P(1B 2B )=194.02121230 218 250210=+C C C C ,则 P(2B |1B )= ) () (121B P B B P = 二、连续型随机变量的综合题 例：设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨ ⎧<<=others x x x f 02 0)(λ 求：（1）常数λ；（2）EX ；(3)P{1 概率论与数理统计统计课后习题答案(有过程) 第一章习题解答 1．解：（1）Ω=｛0，1，…，10｝； （2）Ω=｛，1，…，100n｝，其中n为小班人数；n （3）Ω=｛√,×√, ××√, ×××√,…｝,其中√表示击中，×表示未击中； （4）Ω=｛（x,y）｝。 2．解：（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员； （2）当全学院运动员都是三年级学生时，关系式是正确的； （3）全学院运动员都是三年级的男生，ABC=C成立； （4）当全学院女生都在三年级并且三年级学生都是女生时，=B成立。 3．解：（1）ABC；（2）AB；（3）；（4）；（5）； （6） 4．解：因，则P（ABC）≤P（AB）可知P（ABC）=0 所以A、B、C至少有一个发生的概率为 P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=3×1/4-1/8+0 =5/8 5．解：（1）P（A∪B）= P（A）+P（B）-P（AB）=0.3+0.8-0.2=0.9 P(A)=P（A）-P（AB）=0.3-0.2=0.1 （2）因为P（A∪B）= P（A）+P（B）-P（AB）≤P（A）+P（B）=α+β, 所以最大值maxP （A∪B）=min(α+β,1)； 又P（A）≤P（A∪B），P（B）≤P（A∪B）,故最小值min P（A∪B）=max(α,β) 6．解：设A表示事件“最小号码为5”，B表示事件“最大号码为5”。 223由题设可知样本点总数，。 2C52C411所以； 7．解：设A表示事件“甲、乙两人相邻”， 若n个人随机排成一列，则样本点总数为n!，， 1 若n个人随机排成一圈.可将甲任意固定在某个位置，再考虑乙的位置。表示按逆时针方向乙在甲的第i个位置，。则样本空间 ，事件所以 8．解：设A表示事件“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中有数8”，则其对立事件A表示“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中没有数8”，即号码中每一位都可从除8以外的其他9个数中取，因此A包含的基本事件数为，样本点总数为104。故 94 9．解：设A、B、C分别表示事件“恰有2件次品”、“全部为正品”、“至少有1件次品”。4224由题设知样本点总数， 而，所以n10n6 10．解：设A、B、C、D分别表示事件“5张牌为同一花色”、“3张同点数且另2张牌也同点数”、“5张牌中有2个不同的对（没有3张同点）”、“4张牌同点数”。 第1章 概率论的基本概念 §1 .8 随机事件的独立性 1. 电路如图，其中A,B,C,D 为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路（用T 表示）的概率。 A B L R C D 1. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相 互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。 第1章作业答案 §1 .8. 1： 用A,B,C,D 表示开关闭合，于是 T = AB ∪CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D 的相互独立性 P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) = P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D) 424222p p p p p -=-+= 2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88. 第2章 随机变量及其分布 §2.2 10-分布和泊松分布 1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布，求 (1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率； 2 设随机变量X 有分布律： X 2 3 , Y ～π(X), 试求： p 0. 4 0.6 （1）P(X=2,Y ≤2)； (2)P(Y ≤2)； (3) 已知 Y ≤2, 求X=2 的概率。 §2.3 贝努里分布 2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？ §2.6 均匀分布和指数分布 2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。 §2.7 正态分布 1 随机变量X ～N (3, 4), (1) 求 P(2 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=⋃)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 疑难解析系统 (概率论与数理统计中的疑难问题) 目录 第一章事件与概率………………………………………………3-4第二章条件概率与独立性………………………………………5-6第三章随机变量及其分布………………………………………7-8第四章多维随机变量及其分布…………………………………9-10第五章数字特征…………………………………………………11-14第六章数理统计的基本概念……………………………………15-17第七章参数估计…………………………………………………18-21第八章假设检验…………………………………………………22-23 第一章 概率论基本概念 1．什么是统计规律性？什么是随机现象？ 答 在一定条件下发生，其结果是多样的，因而在现象发生前不能预知确切结果的不确定现象，其结果在大量重复试验中呈现出一种规律性. 由于这种规律是根据统计数据分析出来的，因而称为统计规律性。 在一次试验或观察中结果不能预先确定，而在大量重复试验中结果具有统计规律性的现象称为随机现象. 随机现象是概率论与数理统计的主要研究对象. 2．如何理解互逆事件与互斥事件？ 答 如果两个事件A 与B 必有一个发生，且至多有一个发生，则、A B 为互逆事件. B A =. 如果两个事件A 与B 不能同时发生，则、A B 为互斥事件. 如考试及格与不及格是互逆也是互斥的，但考试70分和80分互斥却不互逆. 区别互逆与互斥的关键是，当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆. 而互斥适用于多个事件的情形. 互斥事件的特征是，在一次试验中两者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且至多发生一个. 3．如何用已知事件来表达与其有关的其它事件？ 答 首先要了解所讨论试验中事件的构成，所需表达事件与已知事件的关系，然后运用这些关系与运算法则将事件表达出来. 例如，设S 为事件05x ≤≤，A 为事件12x ≤≤，B 为事件02x ≤≤，则 02x ≤≤为事件B 或A B U ， 12x ≤≤为事件A 或BA ， 25x <≤为事件S B -或B ， 01x ≤<为B A -. 4．样本空间与必然事件之间有什么关系？ 答 样本空间是随机试验E 的所有可能结果的集合，而必然事件是指随机试验中一定会出现的结果. 虽然在一次试验中只有样本空间的一个元素发生，但在把样本空间视作一个整体时，我们说它在每次试验中都发生了. 因此，可以说样本空间是必然事件. 5．在什么情况下，随机事件A 的频率可以作为它的概率的近似值？ 答 随机事件A 的频率()n f A 反映事件A 在多次重复试验中发生的频繁程度. 当n 增大时，频率在概率()P A 附近摆动. 因此，每一个从独立重复试验中测得的频率，都可以作为概率()P A 的近似值. 而且，一般n 越大，近似程度越好. 事实上，当n 增大时，频率大量集中于包含()P A 的一个小区间. 任选区间中一值作为概率的近似值，称为统计概率. 在解题时，当n 较大时，可取统计概率为()/A P A n n ≈. 概率论与数理统计常见问题解答 1.概率论研究的对象是什么？现实生活中有两类现象。 必然现象：一定条件下，结果是肯定的。如：一定大气压下，水加温到100℃：沸腾随机现象：一定条件下，结果不肯定的。如：实弹射击，打一发子弹：可能中或不中 概率论是研究随机现象规律性的一门学科。 2.随机现象有规律性吗？有。 例如：两人打枪。 甲是神枪手，乙是普通射手。如果打一发子弹，甲可能打中也可能打不中，乙也可能打中也可能打不中，看不出什么规律。 如果两人比赛，各打10组，每组100发子弹，结果是： 我们可以看出规律性：甲可说几乎每发必中，乙只有大约一半的可能性打中。这种规律性称为统计规律性。在大量试验中才显示出来，不是个别试验显示的特性。 3.随机现象的规律性如何指导实践？ 例如：农业生产上选择品种，如果当地发生旱灾的可能性大，水灾的可能性小，就应选择耐旱的品种，反之则应选择耐涝的品种。 在统计学中，以“小概率事件”判断原理来进行假设检验，例如：厂方声称，产品的废品率为5%，随机检查，发现“5个产品有2个次品”。这时，应当拒绝“废品率为5%” 。为什么？ 因为“5个产品有2个次品”是小概率事件（用概率的方法可计算），在一次试验中一般不可能发生，现在居然发生了，应怀疑原假设。 可能性小的事并不等于不发生 例如：地震。某地某日发生大地震的可能性是非常小的，但就整个地球来说，一年总要发生几次大地震。 例1：甲、乙两位棋手棋艺相当。他们在一项奖金为1000元的比赛相遇。比赛为五局三胜制。已经进行了三局的比赛，结果为甲二胜一负。现因故要停止比赛，问应该如何分配这1000元比赛奖金才算公平？ 奖金分配方法：平均分，对甲欠公平，按一定的比例分配，甲拿大头，乙拿小头，甲拿2/3，乙拿1/3，合理吗？ 例2：在第43届世界乒乓球锦标赛中，中国队与瑞典队争夺冠亚军，当时瑞典队上场队员只有瓦尔德内尔、佩尔松和卡尔松，其中卡尔松怕削球手，于是中国队排出了以下阵容：王涛马文革丁松马文革王涛 概率论与数理统计重点总结及例题解析 一：全概率公式和贝叶斯公式 例:某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9％， 12% 。现从该厂产品中任意抽取一件，求:（1）取到不合格产品的概率;（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。（同步45页三、1） 解:设A1，A2,A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,B表示产品不合格，则A1,A2,A3为一个完备事件组。P（A1）=1/2, P(A2）=1/3， P(A3)=1/6， P（B｜ A1)＝0。08，P（B｜ A2）＝0。09，P（B｜ A3)＝0。12. 由全概率公式P（B） = P(A1)P（B｜ A1）+ P（A2)P(B| A2）+ P(A3）P(B| A3) = 0.09 由贝叶斯公式：P（A1｜ B）＝P(A1B）/P(B) = 4/9 练习:市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍,第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％,2％，4％。若在市场上随机购买一件商品为次品,问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？(同步49页三、1）【0.4 】 练习:设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品,先从两箱中任挑一箱,再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：(同步29页三、5） （1）取出的零件是一等品的概率； （2)在先取的是一等品的条件下,后取的仍是一等品的条件概率. 解：设事件i A ={从第i 箱取的零件},i B =｛第i 次取的零件是一等品｝ （1）P （1B )=P(1A )P （1B |1A ）+P （2A )P(1B ｜2A )=5 230 182150 1021=+ （2)P （1B 2B ）=194.02121230 218 250210=+C C C C ,则 P （2B |1B )=) ()(121B P B B P = 0.485 二、连续型随机变量的综合题 例:设随机变量X 的概率密度函数为 ⎩ ⎨ ⎧<<=others x x x f 02 0)(λ 求：（1)常数λ;（2）EX ；（3)P{1〈X<3｝；（4)X 的分布函数F （x)（同步47页三、2） 解：(1）由⎰⎰==∞+∞-2 01)(xdx dx x f λ得到λ＝1/2 （2)3 4 21)(2 2 ===⎰⎰∞ +∞-dx x dx x xf EX (3)⎰⎰===<<3 12 14 321 )(}31{xdx dx x f x P (4)当x<0时,⎰∞-==x dt x F 00)( 当0≤x<2时，⎰⎰⎰∞-∞-=+==x x x tdt dx dt t f x F 0 024 1210)()( 当x ≥2时，F(x ）=1 故 2 01()02412 x F x x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩ 练习：已知随机变量X 的密度函数为⎩ ⎨ ⎧≤≤+=others x b ax x f 01 0)( 高教版概率论与数理统计教程习题解答 本教程的习题有必要详细解答，以加深读者对于概率论与数理统 计的理解。下面是本教程的习题解答： 第一章事件与概率 1.1 基础习题 (1) 设试验E只有3个元素，它们的概率分别为P(A)=0.4、 P(B)=0.2、P(C)=0.4，试求： (a) 事件E的概率。 (b) 不存在元素D，它的概率为0，试求E在 D 发生的情形下的 概率。 (a) 事件E的概率为P(E) = P(A) + P(B) + P(C) = 0.4 + 0.2 + 0.4 = 1。 (b) 由全概率公式可知： P(E|D) = P(A|D) + P(B|D) + P(C|D) 但是，由于不存在元素D，因此没有任何元素与D相关，也就无法计算条件概率P(A|D)等等。因此，E在D发生的情形下没有概率。 (2) 已知一个箱子里装有4个红球和6个白球，任取一个球，求： (a) 取出的球是红球的概率。 (b) 在已知取出的球是白球的情况下，再次取出的球是红球的概率。 (a) 取出的球是红球的概率为： P(红球) = 4 / 10 = 2 / 5 (b) 在已知取出的球是白球的情况下，第二次取出的球是红球的概率为： P(第二次红球|第一次白球) = P(第一次白球和第二次红球) / P(第一次白球) 由乘法原理得： P(第一次白球和第二次红球) = P(第一次白球) × P(第二次红球|第一次白球) P(第一次白球) = 6 / 10 P(第二次红球|第一次白球) = 4 / 9 因此： P(第二次红球|第一次白球) = (6 / 10) × (4 / 9) = 8 / 45 1.2 提高习题 (1) 已知 P(A) = P(B) = P(C) = 1 / 3，何时事件A、B、C两两独立？ 概率论与数理统计学习方法问答 1.概率的公式、概念比较多，怎么记？ 答：我们看这样一个模型，这是概率里经常见到的，从实际产品里面我们每次取一个产品，而且取后不放回去，就是日常生活中抽签抓阄的模型。现在我说四句话，大家看看有什么不同，第一句话“求一下第三次取到十件产品有七件正品三件次品，我们每次取一件，取后不放回”，下面我们来求四个类型，第一问我们求第三次取得次品的概率。第二问我们求第三次才取得次品的概率。第三问已知前两次没有取得次品第三次取到次品。第四问不超过三次取到次品。大家看到这四问的话我想是容易糊涂的，这是四个完全不同的概率，但是你看完以后可能有很多考生认为有的就是一个类型，但实际上是不一样的。 先看第一个“第三次取得次品”，这个概率与前面取得什么和后面取得什么都没有关系，所以这个我们叫绝对概率。第一个概率我想很多考生都知道，这个概率应该是等于十分之三，用古代概率公式或者全概率公式求出来都是十分之三。这个概率改成第四次、第五次取到都是十分之三，就是说这个概率与次数是没有关系的。所以在这里我们可以看出，日常生活中抽签、抓阄从数学上来说是公平的。 拿这个模型来说，第一次取到和第十次取到次品的概率都是十分之三。下面我们再看看第二个概率，第三次才取到次品的概率，这个事件描述的是绩事件，这是概率里重要的概念，改变表示同时发生的概率。但是这个与第三次的概率是容易混淆的，如果表示的可以这样表述，如果用A1表示第一次取到次品，A2表示第二次取到次品，A3是第三次取到次品。 如果A表示第一次不取到次品，B表示第二次不取到次品，C表示第三次不取到次品，求AB C绩事件发生的概率。第三问表示条件概率，已知前两次没有取到次品，第三次取到次品P （C|AB），第三问求的就是一个条件概率。我们看第四问，不超过三次取得次品，这是一个和事件的概率，就是P（A＋B＋C）。从这个例子大家可以看出，概率论确实对题意的理解非常重要，要把握准确，否则就得不到准确的答案。 2.概率的数理统计要怎么复习？什么叫几何型概率？ 答：几何型概率原则上只有理工科考，是数学一考察的对象，最近两年经济类的大纲也加进来了，但还没有考过，数学三、数学四的话虽然明确写在大纲里，还没有考。明年是否可能考呢？几何概率是一个考点，但不是一个考察的重点。我个人认为一是它考的可能性很 第一章 随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解 所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x 2+y 2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A 、B 、C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 和C 不发生； （2）A 与B 都发生，而C 不发生； （3）A 、B 、C 都发生； （4）A 、B 、C 都不发生； （5）A 、B 、C 不都发生； （6）A 、B 、C 至少有一个发生； （7）A 、B 、C 不多于一个发生； （8）A 、B 、C 至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下 (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B B C A C A B B C C A 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示该生 是三年级学生，事件C 表示该学生是运动员，则 （1）事件AB 表示什么？ （2）在什么条件下ABC =C 成立？ （3）在什么条件下关系式C B ⊂是正确的？ （4）在什么条件下A B =成立？ 解 所求的事件表示如下 （1）事件AB 表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC =C 成立. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B ⊂是正确的. （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 3.将3个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的概率 （1）A ---任意3个盒子中各有一球；（2）B ---任意一个盒子中有3个球； （3）C---任意1个盒子中有2个球，其他任意1个盒子中有1个球。 解：（1）834!3)(334==C A P （2）1614)(31 4==C B P （3）169 4)(3 132314= =C C C C P 三、2．一批产品共20件，其中一等品9件，二等品7件，三等品4件。从这批产品中任 取3件，求: (1) 取出的3件产品中恰有2件等级相同的概率； （2）取出的3件产品中至少有2件等级相同的概率。 解：设事件i A 表示取出的3件产品中有2件i 等品，其中i =1，2，3； （1）所求事件为事件1A 、2A 、3A 的和事件，由于这三个事件彼此互不相容，故 )()()()(321321A P A P A P A A A P ++=++3 20 1 16 241132711129C C C C C C C ++==0.671 （2）设事件A 表示取出的3件产品中至少有2件等级相同，那么事件A 表示取出的 3件产品中等级各不相同，则779.01)(1)(3 20 14 1719=-=-=C C C C A P A P 2.玻璃杯成箱出售，每箱20只.假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1. 一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员任取一箱,而顾客随机的察看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退还.试求顾客买下该箱的概率。 解:设=i A “每箱有i 只次品” （),2,1,0=i , =B “买下该箱” . )|()()|()()|()()(221100A B P A P A B P A P A B P A P B P ++= =94.01.01.018.0420 418 420419≈⨯+⨯+⨯C C C C 1.一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人看管的概率：第一台等于0.9，第 二台等于0.8，第三台等于0.7。求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人看管的概率。 解：设事件i A 表示第i 台车床不需要照管，事件i A 表示第i 台车床需要照管，（i =1，2，3）， 根据题设条件可知： 1.0)(,9.0)(11==A P A P 第一章 概率论基本概念 1．什么是统计规律性？什么是随机现象？ 答 在一定条件下发生，其结果是多样的，因而在现象发生前不能预知确切结果的不确定现象，其结果在大量重复试验中呈现出一种规律性. 由于这种规律是根据统计数据分析出来的，因而称为统计规律性。 在一次试验或观察中结果不能预先确定，而在大量重复试验中结果具有统计规律性的现象称为随机现象. 随机现象是概率论与数理统计的主要研究对象. 2．如何理解互逆事件与互斥事件？ 答 如果两个事件A 与B 必有一个发生，且至多有一个发生，则、A B 为互逆事件. B A =. 如果两个事件 A 与 B 不能同时发生，则、A B 为互斥事件. 如考试及格与不及格是互逆也是互斥的，但考试70分和80分互斥却不互逆. 区别互逆与互斥的关键是，当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆. 而互斥适用于多个事件的情形. 互斥事件的特征是，在一次试验中两者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且至多发生一个. 3．如何用已知事件来表达与其有关的其它事件？ 答 首先要了解所讨论试验中事件的构成，所需表达事件与已知事件的关系，然后运用这些关系与运算法则将事件表达出来. 例如，设S 为事件05x ≤≤，A 为事件12x ≤≤，B 为事件02x ≤≤，则 02x ≤≤为事件B 或A B ， 12x ≤≤为事件A 或BA ， 25x <≤为事件S B -或B ， 01x ≤<为B A -. 4．样本空间与必然事件之间有什么关系？ 答 样本空间是随机试验E 的所有可能结果的集合，而必然事件是指随机试验中一定会出现的结果. 虽然在一次试验中只有样本空间的一个元素发生，但在把样本空间视作一个整体时，我们说它在每次试验中都发生了. 因此，可以说样本空间是必然事件. 5．在什么情况下，随机事件A 的频率可以作为它的概率的近似值？ 答 随机事件 A 的频率 ()n f A 反映事件A 在多次重复试验中发生的频繁程度. 当n 增大时，频率在概率()P A 附 近摆动. 因此，每一个从独立重复试验中测得的频率，都可以作为概率()P A 的近似值. 而且，一般n 越大，近似程度越好. 事实上，当 n 增大时， 频率大量集中于包含()P A 的一个小区间. 任选区间中一值作为概率的近似值，称为统计概率. 在解题时，当n 较大时，可取统计概率为()/A P A n n ≈. 6．概率是否可以看做频率的极限？ 答 这样理解是不恰当的. 因为如上题所述，当n →∞时，()n f A 在()P A 附近摆动，与高等数学中极限的 N ε-概念是不同的. 由于概率是随机现象的可能性的赋值，对于任给的0ε>，存在偶然的因素，可能找不到()N ε，从而得不到|()()|n f A P A ε-<. 7．怎样理解古典概型的等可能假设？ 2103最新概率论与数理统计试题库及答案< 数理统计>试题 一、填空题 1．设1621,,,X X X 是来自总体),4(~2σN 的简单随机样本，已知，令 ∑==16 1 161i i X X ，则统计量 σ-164X 服从分布为（必须写出分布的参数）。 2．设),(~2σμN X ，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体中抽取的样本，则的矩估计值为。 3．设]1,[~a U X ，n X X ,,1 是从总体中抽取的样本，求的矩估计为。 4．已知2)20,8(1.0=F ，则=)8,20(9.0F 。 5．和都是参数a 的无偏估计，如果有 成立 ，则称是比有效的估计。 6．设样本的频数分布为 X 0 1 2 3 4 频数 1 3 2 1 2 则样本方差=_____________________。 7．设总体X~N （μ，σ²），X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的样本，为样本均值，则D （）＝________________________。 8．设总体X 服从正态分布N （μ，σ²），其中μ未知，X 1，X 2，…，X n 为其样本。若假设 检验问题为1H 1H 2120≠↔σσ：＝：，则采用的检验统计量应________________。 9．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值（x 1,x 2,…，x n ）落入 W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为_____________________。 10．设样本X 1，X 2，…，X n 来自正态总体N （μ，1），假设检验问题为：， ：＝：0H 0H 10≠↔μμ 则在H 0成立的条件下，对显著水平α，拒绝域W 应为______________________。 11．设总体服从正态分布 (,1)N μ，且未知，设1,,n X X 为来自该总体的一个样本，记 1 1n i i X X n ==∑，则的置信水平为1α-的置信区间公式是；若已知10.95α-=，则要使上 面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n 至少要取____。 12．设n X X X ,,,21 为来自正态总体2 (,)N μσ的一个简单随机样本，其中参数和均未知， 记11n i i X X n ==∑，2 2 1()n i i Q X X ==-∑，则假设：0μ=的检验使用的统计量是。（用和 表示） 13．设总体 2~(,)X N μσ，且已知、未知，设123,,X X X 是来自该总体的一个样本，则21231 ()3X X X σ+++，12323X X X μσ++， 222 123X X X μ++-，(1)2X μ+中是统计量的有。 14．设总体的分布函数()F x ，设 n X X X ,,,21 为来自该总体的一个简单随机样本，则 n X X X ,,,21 的联合分布函数。 15．设总体服从参数为的两点分布，（01p <<）未知。设1 ,,n X X 是 来自该总体的一个样本，则21 11 1 ,(),6,{},max n n i i n i n i n i i X X X X X X pX ≤≤==--+∑∑中是统计量 的有。 16．设总体服从正态分布(,1)N μ，且未知，设 1, ,n X X 为来自该总体的一个样本，记 11n i i X X n ==∑，则的置信水平为1α-的置信区间公式是。 17．设2~(,)X X X N μσ， 2 ~(,)Y Y Y N μσ，且与相互独立，设1,,m X X 为来自总体的一 个样本；设1, ,n Y Y 为来自总体的一个样本；和分别是其无偏样本方差，则22 22 //X X Y Y S S σσ服从的 分布是。 概率论与数理统计 第一部份 习题 第一章 概率论基本概念 一、填空题 1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。 2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。 3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率 为 。 4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。 5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。 6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。 7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。 8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。 9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率 为 。 10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。 11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。 12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。 13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。 14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。 15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。 概率论与数理统计习（第四版）题解答 第一章 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算 一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”． （1）写出试验的样本点及样本空间； （2）把事件A 及B 分别表示为样本点的集合； （3）事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的 集合． 解：设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( =i ，则 （1）样本点为654321,,,,,ωωωωωω；样本空间为}.,,,,,{654321ωωωωωω=Ω （2）},,{642ωωωA =； }.,{63ωωB = （3）},,{531ωωωA =，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB =，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωB A =⋃，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB =，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；},{B A 51ωω= ，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除” 二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点： （1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A —“点数之和大于10”，B —“点 数之和小于15”． （2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3 只，A —“最小号码为1”． 解：(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( =i ，则 },,,{1843ωωω =Ω； },,,{181211ωωωA =；}.,,,{1443ωωωB = (2) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ≠≠= ，则 },,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω=Ω }.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA = 三、设C B A ,,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A 发生, B 与C 都不发生； (2) C B A ,,都发生； (3) C B A ,,中至少有两个发生； (4) C B A ,,中至多有两个发生． 解：(1) C B A ； (2) ABC ； (3) ABC C AB C B A BC A ⋃⋃⋃或CA BC AB ⋃⋃ (4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃或C B A ⋃⋃或.ABC 四、一个工人生产了n 个零件，以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品（n i ≤≤1）．用i A 表示下列事件： 概率论与数理统计(第四版)习题答案全 概率论与数理统计习（第四版）题解答 第一章 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算 一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”． （1）写出试验的样本点及样本空间； （2）把事件A 及B 分别表示为样本点的集合； （3）事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的 集合． 解：设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( =i ，则 （1）样本点为654321,,,,,ωωωωωω；样本空间为}.,,,,,{654321ωωωωωω=Ω （2）},,{642ωωωA =； }.,{63ωωB = （3）},,{531ωωωA =，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB =，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωB A =⋃，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB =，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；},{B A 51ωω= ，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除” 二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点： （1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A —“点数之和大于10”，B —“点 数之和小于15”． （2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3 只，A —“最小号码为1”． 解：(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( =i ，则 },,,{1843ωωω =Ω； },,,{181211ωωωA =；}.,,,{1443ωωωB = (2) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ≠≠= ，则 },,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω=Ω }.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA = 三、设C B A ,,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A 发生, B 与C 都不发生； (2) C B A ,,都发生； (3) C B A ,,中至少有两个发生； (4) C B A ,,中至多有两个发生． 解：(1) C B A ； (2) ABC ； (3) ABC C AB C B A BC A ⋃⋃⋃或CA BC AB ⋃⋃ (4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃或C B A ⋃⋃或.ABC 四、一个工人生产了n 个零件，以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品（n i ≤≤1）．用i A 表示下列事件：概率论与数理统计习题详细解答
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