种群的相互竞争模型中数值计算与结果分析
种群的相互竞争模型中数值计算与结果分析
河北大学《数学模型》实验实验报告
一、实验目的
1.学会编写程序段。
2.能根据m文件的结果进行分析。
3.根据图像进行比较和分析。
二、实验要求
8-1捕鱼业的持续收获
运行下面的m文件，并把相应结果填空，即填入“_________”。
clear;clc;
%无捕捞条件下单位时间的增长量：f(x)=rx(1-x/N)
%捕捞条件下单位时间的捕捞量：h(x)=Ex
%F(x)=f(x)-h(x)=rx(1-x/N)-Ex
%捕捞情况下渔场鱼量满足的方程：x'(t)=F(x)
%满足F(x)=0的点x为方程的平衡点
%求方程的平衡点
syms r x N E; %定义符号变量
Fx=r*x*(1-x/N)-E*x; %创建符号表达式
x=solve(Fx,x) %求解F(x)=0（求根）
%得到两个平衡点，记为：
% x0=______________ , x1=___________
x0=x(2);
x1=x(1);%符号变量x的结构类型成为<2×1sym>
%求F(x)的微分F'(x)
syms x; %定义符号变量x的结构类型为<1×1sym>
dF=diff(Fx,'x');
dF=simple(dF) %简化符号表达式
%得 F'(x)=________________
%求F'(x0)并简化
dFx0=subs(dF,x,x0); %将x=x0代入符号表达式dF
dFx0=simple(dFx0)
%得 F’(x0)=_______
%求F’(x1)
dFx1=subs(dF,x,x1)
%得 F’(x1)=________
%若 E
%若 E>r，则结果正好相反。
%在渔场鱼量稳定在x0的前提下（E %通过分析（见教材p216图1），只需求x0*使f(x)达到最大，且hm=f(x0*)。 syms r x N fx=r*x*(1-x/N); df=diff(fx,'x'); x0=solve(df,x) %得 x0*=______ hm=subs(fx,x,x0) %得 hm=_______ %又由 x0*=N(1-E/r)，可得 E*=______ %产量模型的结论是： %将捕捞率控制在固有增长率的一半（E=r/2）时，能够获得最大的持续产量。8-2种群的相互竞争（1） 补充如下指出的程序段，然后运行该m文件，对照教材上的相应结果。clear;clc; %甲乙两个种群满足的增长方程： % x1'(t)=f(x1,x2)=r1*x1*(1-x1/N1-k1*x2/N2) % x2'(t)=g(x1,x2)=r2*x2*(1-k2*x1/N1-x2/N2) %求方程的平衡点，即解代数方程组 % f(x1,x2)=0 g(x1,x2)=0 8-3种群的相互竞争（2） 补充如下指出的程序段，然后运行该m文件，对照教材上的相应结果。clear;clc; %甲乙两个种群满足的增长方程： % x1'(t)=f(x1,x2)=r1*x1*(1-x1/N1-k1*x2/N2) % x2'(t)=g(x1,x2)=r2*x2*(1-k2*x1/N1-x2/N2) %求方程的平衡点，即解代数方程组 % f(x1,x2)=0 g(x1,x2)=0 编写出该程序段。 三、实验内容 8-1捕鱼业的持续收获——产量模型 %文件名：p178.m clear;clc; %无捕捞条件下单位时间的增长量：f(x)=rx(1-x/N) %捕捞条件下单位时间的捕捞量：h(x)=Ex %F(x)=f(x)-h(x)=rx(1-x/N)-Ex %捕捞情况下渔场鱼量满足的方程：x'(t)=F(x) %满足F(x)=0的点x为方程的平衡点 %求方程的平衡点 syms r x N E; %定义符号变量 Fx=r*x*(1-x/N)-E*x; %创建符号表达式 x=solve(Fx,x) %求解F(x)=0（求根） %得到两个平衡点，记为： % x0=N(1-x/N) , x1=0 x0=x(2); x1=x(1);%符号变量x的结构类型成为<2×1sym> %求F(x)的微分F'(x) syms x; %定义符号变量x的结构类型为<1×1sym> dF=diff(Fx,'x'); dF=simple(dF) %简化符号表达式 %得 F'(x)=___________ %求F'(x0)并简化 dFx0=subs(dF,x,x0); %将x=x0代入符号表达式dF dFx0=simple(dFx0) %得F’(x0)=E-r %求F’(x1)=r-E dFx1=subs(dF,x,x1) %得F’(x1)=r-E %若 E %若 E>r，则结果正好相反。 %在渔场鱼量稳定在x0的前提下（E %通过分析（见教材p178图1），只需求x0*使f(x)达到最大，且hm=f(x0*)。 syms r x N fx=r*x*(1-x/N); a)df=diff(fx,'x'); x0=solve(df,x) %得 x0*=N/2 hm=subs(fx,x,x0) %得 hm=(r*N)/4 %又由 x0*=N(1-E/r)，可得 E*=r/2 %产量模型的结论是： %将捕捞率控制在固有增长率的一半（E=r/2）时，能够获得最大的持续产量。 [提示] 符号简化函数simple的格式： simple(S) 对符号表达式S尝试多种不同的算法简化，以显示S表达式的长度最短的简化形式。变量替换函数sub的格式： Subs(S,OLD,NEW) 将符号表达式S中的OLD变量替换为NEW变量。 8-2种群的相互竞争 %文件名：p186.m clear;clc; %甲乙两个种群满足的增长方程： % x1'(t)=f(x1,x2)=r1*x1*(1-x1/N1-k1*x2/N2) % x2'(t)=g(x1,x2)=r2*x2*(1-k2*x1/N1-x2/N2) %求方程的平衡点，即解代数方程组 % f(x1,x2)=0 % g(x1,x2)=0 %得4个平衡点： % P(1)=P1（N1，0） % P(2)=P2（0，N2） % P(3)=P3（N1*(-1+k1)/(-1+k2*k1)，N2*(-1+k2)/(-1+k2*k1)） % P(4)=P4（0，0） %平衡点位于第一象限才有意义，故要求P3：k1,k2同时小于1，或同时大于1。 %判断平衡点的稳定性（参考教材p200） fx1=diff(f,'x1'); fx2=diff(f,'x2'); gx1=diff(g,'x1'); gx2=diff(g,'x2'); A=[fx1,fx2;gx1,gx2] syms x1 x2; p=subs(-(fx1+gx2),{x1,x2},{P(:,1),P(:,2)}); p=simple(p);%简化符号表达式p q=subs(det(A),{x1,x2},{P(:,1),P(:,2)}); q=simple(q); [P p q] %得到教材p186表2的前3列，经测算可得该表的第4列，即稳定条件。 8-3种群的相互竞争（2） 求微分方程组 ??? ????--=--=??)1()()1()(2211222222111111N x N x x r t x N x N x x r t x σσ 的数值解，分别画出教材p189中的图5-1，图5-2，图5-3。 有关数据参见教材p188中“计算与验证”。 [提示] （1）求微分方程组的数值解可参考教材p139的程序。 （2）在figure(1)中画图5-1，在figure(2)中画图5-2，在figure(3)中画图5-3。在程序中，figure(图形编号)用于定位对应图形。 （3）使用text(x,y,’标识文本’)，坐标点(x,y)在“标识文本”的左边，调整(x,y)值，使“标识文本”放在图中的适当位置。 （4）用axis([xmin xmax ymin ymax])控制坐标的刻度范围。 （5）用grid on 打开网格，grid off 关闭网格。 （6）用hold on 把要画的图形保持在之前在同一figure 上所画的图形中（同一坐标系）。 （7）图5-3中的两“点线”直线，一条的两个端点为(0,1)和(1,0)，另一条的两个端点为(0,2)和(1.6,0)。 四、实验结果及其分析 8-1捕鱼业的持续收获 ——产量模型 8-2种群的相互竞争（1） 1.实验代码： syms r1 r2 N1 N2 k1 k2 x1 x2; f=r1*x1*(1-x1/N1-k1*x2/N2); g=r2*x2*(1-k2*x1/N1-x2/N2); [x1,x2]=solve(f,g,x1,x2) P=[x1,x2]; fx1=diff(f,'x1'); fx2=diff(f,'x2'); gx1=diff(g,'x1'); gx2=diff(g,'x2'); A=[fx1,fx2;gx1,gx2] syms x1 x2; p=subs(-(fx1+gx2),{x1,x2},{P(:,1),P(:,2)}); p=simple(p); q=subs(det(A),{x1,x2},{P(:,1),P(:,2)}); q=simple(q); [P p q] 2.实验结果 8-3种群的相互竞争（2） 1.实验代码 %脚本文件 function f=fun(t,x) r1=2.5;r2=1.8; N1=1.6;N2=1; k1=0.5;k2=1.6; f=[r1*x(1).*(1-x(1)./N1-k1.*(x(2)./N2));r2*x(2).*(1-k2*x(1)./N1-x(2)./N2)]; % [t,x]=ode45('fun',[0 8],[0.1;0.1]); plot(t,x(:,1),t,x(:,2)); axis([0 8 0 2]); grid on; [t,x]=ode45('fun',[0 8],[1;2]); plot(t,x(:,1),t,x(:,2)); axis([0 8 0 2]); grid on; [t,x]=ode45('fun',[0 8],[0.1;0.1]); plot(x(:,1),x(:,2)); hold on; [t,x]=ode45('fun',[0 8],[1;2]); plot(x(:,1),x(:,2)); x1=0:0.1:1; y1=-x1+1; x2=0:0.1:2; y2=-1.25*x2+2; 2.实验结果 一、介绍一个竞争优势的分析模型 徐星投资张东伟推荐一本书《企业战略博弈》，很不错。 若某行业不存在竞争优势，最终起决定作用的是经营效率；若企业存在竞争优势，企业的战略决策，更应该是为了管理竞争优势，维持护城河或者打造更厚的护城河，从而保持公司超过市场平均水平的盈利能力。市场是逐利的，如果一个行业没有竞争壁垒或者很多的竞争壁垒，很容易被新进入者打破市场竞争格局，竞争加剧使行业盈利水平下降，不会比总体社会资本收益率高多少，甚至更差。 作者认为真正的竞争优势只有少数几种类型。竞争优势可能来源于先进的生产技术和/或更好的资源渠道（供应优势），也可能来源于消费者偏好（需求优势），或者是规模经济与某种程度的消费者偏好的组合（供应与需求相互作用）。此外还有来自于政府干预带来的优势，如进入许可等。笔者认为作者在模型中提出作为竞争优势的具体某点可以探讨，比如是不是全面、这些具体的点对多种行业分析有多大的适应性等。但作者从供应、需求以及供给需求相互结合的角度谈竞争优势，这种分析框架还是很有包容性的。 （一）供应优势：低竞争成本 拥有潜在对手无法复制的低成本结构，是在位企业最重要的竞争优势之一，这种优势会阻止大部分明智的企业进入这个市场。低成本结构来源于什么？ 1、来源于低投入成本。在全球化发展日趋迅速甚至变成地球村的时代，拥有低投入成本竞争优势的企业很多。但有些是资源独占性企业，优势可以持续存在，比如一些独占资源的矿业。还有一些公司拥有更好的原材料渠道或者地理位置，也会带来一定的竞争优势。 2、来源于专有技术或生产工艺。最基本的形势是受专利保护的产品系列或生产过程，这个都容易理解，比如很多工业制品、医药制品等，在专利保护期内，拥有很强的竞争优势。在具有复杂生产过程的行业中，学习和经验是降低成本的主要途径，并关系到产品的质量、产品成品率。但技术更新过快的行业，生产工艺的优势就可能算不上壁垒，因为获得的经验积累可能迅速过时，因而损坏成本优势。很多电子产品产品就是如此，电视、手机、半导体等。另外，就是技术进步缓慢但产品的生产工艺不够复杂或者技术含量低的产品也难以有持续竞争优势，比如面包机、豆浆机、微波炉等。而复杂的工艺比如化工行业烟台万华却可以保持很多年。 （二）需求优势：客户忠诚 这种客户忠诚度，包括客户真正的忠诚比如对某个品牌的喜欢，更包括被迫忠诚比如是因为没有办法或者代价太高。 1、习惯。比如对一些品牌的依赖，而往往这些品牌不仅仅是通过打广告提高知名度来获得的，还有文化渊源、历史沉淀等。我们可以注意一下，市场上充斥着大量有品牌但不能获得高于平均水平回报率的品牌，大多品牌不能成为竞争优势。口味爱好很好的竞争优势，比如某个牌子的香烟、某个牌子的酒，细微的差别都能被客户察觉，并习惯性依赖。只有当购买频繁并且实际上无意识地进行的 数学实验设计 课题： 两种群相互竞争模型如下： ()1(11)12()2(12)12x y x t r x s n n x y y t r y s n n ? =--??? ?=--?? 其中x （t ），y(t)分别是甲乙两种群`的数量，r1，r2为它们的固有增长率，n1，n2为它们的最大容量。s1的含义是，对于供养甲的资源而言，单位数量乙（相对n2）的消耗量为单位数量甲（相对n1）消耗的s1倍，对于s2也可做相应的解释。 分析： 这里用x (t)表示甲种群在时刻t 的数量，即一定区域内的数量。y(t)表示乙种群在时刻t 的数量。假设甲种群独立生活时的增长率（固有增长率）为r1，则x (t)/ x=r1，而种群乙的存在会使甲的增长率减小，且甲种群数量的增长也会抑制本身数量的增长，即存在种间竞争。这里，我们设增长率的一部分减少量和种群乙的数量与最大容纳量的比值成正比，与s1（s1表示最大容纳量乙消耗的供养甲的资源是最大容纳量甲消耗该资源的s1倍）成正比。另一部分的减少量和种群甲的数量与甲的最大容纳量的比值成正比。则我们可以得到如下模型： x(t)=r1*x*(1-x/n1-s1*y/n2) 同样，我们可以得到乙种群在t时刻的数量表达式：y(t)=r2*y*(1-s2*x/n1-y/n2) 如果给定甲、乙种群的初始值，我们就可以知道甲、乙种群数量随时间的演变过程。 对于上述的模型，我们先设定好参数以后，就可以用所学的龙格库塔方法及MATLAB 软件求其数值解； 问题一： 设r1=r2=1,n1=n1=100,s1=0.5,s2=2, 初值x0=y0=10，计算x(t),y(t)，画出它们的图形及相图(x,y)，说明时间t充分大以后x(t),y(t)的变化趋势（人民今天看到的已经是自然界长期演变的结局）。 编写如下M文件： function xdot=jingzhong(t,x) r1=1;r2=1;n1=100;n2=100;s1=0.5;s2=2; xdot=diag([r1*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2),r 2*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)])*x; 然后运行以下程序： ts=0:0.1:10; x0=[10,10]; [t,x]=ode45(@jingzhong,ts,x0); [t,x] plot(t,x),grid, 波特五力模型 新进入者威胁。新竞争者的加入必然会打破市场平衡，引发现有竞争者的竞争反应，也就不可避免地需要调入新的资源用于竞争，因此使收益降低。 替代品的威胁。市场上可替代你的产品和服务的存在意味着你的产品和服务的价格将会受到限制。 买方的讨价还价能力。如果买方拥有讨价还价能力，他们一定会利用它。这会减少你的利润，其结果是影响收益率。 供方的讨价还价能力。与买方相反，供方会设法提高价格，其结果同样会影响你的收益率。 现有竞争者的竞争能力。竞争会导致对市场营销、研究与开发的投入或降价，结果同样会减少你的利润。 竞争对手 企业间的竞争是五种力量中最主要的一种。只有那些比竞争对手的战略更具优势的战略才可能获得成功。为此，公司必须在市场、价格、质量、产量、功能、服务、研发等方面建立自己的核心竞争优势。 影响行业内企业竞争的因素有：产业增加、固定（存储）成本/附加价值周期性生产过剩、产品差异、商标专有、转换成本、集中与平衡、信息复杂性、竞争者的多样性、公司的风险、退出壁垒等。 新进入者 企业必须对新的市场进入者保持足够的警惕，他们的存在将使企业做出相应的反应，而这样又不可避免地需要公司投入相应的资源。 影响潜在新竞争者进入的因素有：经济规模、专卖产品的差别、商标专有、资本需求、分销渠道、绝对成本优势、政府政策、行业内企业的预期反击等。 购买者 当用户分布集中、规模较大或大批量购货时，他们的议价能力将成为影响产业竞争强度的一个主要因素。 决定购买者力量的因素又：买方的集中程度相对于企业的集中程度、买方的数量、买方转换成本相对企业转换成本、买方信息、后向整合能力、替代品、克服危机的能力、价格/购买总量、产品差异、品牌专有、质量/性能影响、买方利润、决策者的激励。 替代产品 在很多产业，企业会与其他产业生产替代品的公司开展直接或间接的斗争。替代品的存在为产品的价格设置了上限，当产品价格超过这一上限时，用户将转向其他替代产品。 决定替代威胁的因素有：替代品的相对价格表现、转换成本、客户对替代品的使用倾向。 供应商 供应商的议价力量会影响产业的竞争程度，尤其是当供应商垄断程度比较高、原材料替代品比较少，或者改用其他原材料的转换成本比较高时更是如此。 一、政策制定的理论模型 什么是模型 模型是现实世界某些方面的简单化呈现。它可以是： －－一个实体的呈现（如飞机模型） －－一种图示（如流程图） －－一种公式（如S=v〃t） －－一段文字表述的概念（如“桌子是由一个面板及其下面的四条木棍支撑而成的一种家具”） 什么是政策分析模型 政策分析模型是公共政策的一种的简单化呈现。通常以概念的方式出现（概念模型） 政策分析模型有何作用 1.简化我们对公共政策的思维 2.指出政策议题的重要方面 3.通过将注意力在政治生活的重要特征，有助于我们进行有效的沟通 4.提出公共政策中不重要的因素，加深我们的了解 5.解释公共政策的要素，预测其影响 人们很少能选定那些一劳永逸、自成一体、所有人都能领会的政策。政策分析的目的不是产生某种一锤定音的政策建议，而是要帮助人们对现实可能性和期望之间有逐渐一致的认识，产生一种新型的社会相互关系与“社会心理”模式。 ——米切尔〃怀特主要的政策制定理论模型 1.精英模型 2.团体模型 3.多元模型 4.完全理性模型 5.有限理性模型 6.渐进模型 7.混合扫描模型 8. 系统模型 从完全理性的假设(最优) →有限理性（满意） →非理性的假设（合理） （一）精英模型 代表人物及著作：1970年托马斯.戴伊(Thomas Dye)和哈蒙.齐格勒(Harmon Zeigler)在《民主的嘲讽》中总结了前辈的精英理论 基本内容：精英决策模型是将公共政策看成是反映占统治地位的精英（elite）们的价值和偏好的一种决策理论。 从政治精英到社会精英 从圣西门到拉斯韦尔 基本要点：社会可以划分为拥有权力的少数人，以及不拥有权 关于“新古典经济增长理论（索洛模型）”的理解 1/ 哈罗德与多马两位经济学者假定生产过程中的资本－产出比保持不变，从而得出经济系统不能自行趋于稳定的结论。但在二十世纪五十年代，托宾、索洛、斯旺和米德等人则分别证明，如果放弃资本－产出比保持不变的假定，也即假定资本与劳动之间完全可替代，则经济系统会自行趋于充分就业的均衡。这一结论与凯恩斯学派之前的古典学派的观点一致，所以西方经济学将这几位经济学家的相似论证统称为新 古 典经济增长理论。 我们用Y表示某经济系统的产出量，L表示该经济系统的劳动投入量，K表示该经济系统的资本投入 量，A表示该经济系统的技术水平，则经由柯布道格拉斯生产函数，我们有： 产出的增量（△Y）=资本的边际产量×资本投入的增量（△K）+劳动的边际产量×劳动投入的增量（△L）+技术水平的边际产量×技术进步的增量（△A） 在上式两边同除以产量Y，并在等号右边第一项的分子分母同乘以K、第二项的分子分母同乘以L，从而有： 经济增长率=资本投入的产出弹性×资本投入的增长率+劳动投入的产出弹性×劳动投入的增长率+ 技术进 步率. 根据经济理论，当生产要素市场实现均衡的时候，生产要素的价格应该等于它的边际产量，因此，“资本投入的产出弹性”和“劳动投入的产出弹性”分别相当于资本和劳动这两种生产要素的所有者在国民收入中所享 有的份额。 例如，具体地假定某经济系统的（C－D）生产函数为Y=A(K^a)(L^(1-a))，其中，a为正参数（资本投入的产出弹性或资本生产要素在国民收入中所享有的份额）。显然，这是一个线性齐次生产函数，这意味着我们隐含地假定该经济系统正处于规模报酬不变的状态。我们对这个具体形式的生产函数先求自然对数、再求微分，最终可得：人均产出的增长率=人均资本存量的增长率×a+技术进步率。可见，人均经济增长率的高低取决于人均资本存量的增长率和技术进步的速度。现在假定经济系统已经处于均衡状态，即投资需求（I）=储蓄（S）。再假定储蓄函数为S=sY，并且假定不存在设备更新问题，则有S =I=△K=sY。 如果再假定技术水平不变，则根据“经济增长率=资本投入的产出弹性×资本投入的增长率+劳动投入的产出弹性×劳动投入的增长率+ 科学技术进步率”，有：经济增长率=a×资本投入的增长率+(1-a)×劳动投入的增长率。进而有：经济增长率=a(△K/K)+(1-a)×劳动投入的增长率；经济增长率=a(sY/K)+(1-a)×劳动投入的增长率。再考虑到资本投入的产出弹性a=(△Y/Y)/(△K/K)，因而有：经济增长率=s(△Y/△K)+(1-a)×劳动投入的增长率。上式中，(△Y/△K)相当于哈罗德模型中的资本－产出比（v）的倒数。可见，若再假定劳动投入的数量既定，则有：经济增长率=s(△Y/△K)=s/v。这一结果与哈罗德－多马模型的结论一致。 2/ 不过，新古典经济增长模型认为，产量与资本投入之间的技术关系，进而劳动投入的数量不会固定不变。这样一来，如果“经济增长率＞资本投入的增长率”，即产量的增长速度快于资本存量的增长速度，则说明资本的生产效率较高，这会刺激企业以资本替代劳动。这一过程的结果会导致资本的边际产量递减，伴随着劳动投入增长率的下降，最终经济增长的速度会趋于减缓。反之，如果“经济增长率<资本投入的增长率”，即产量的增长速度低于资本存量的增长速度，则说明资本的生产效率较低，这会刺激企业以劳动替代资本。这一过程的结果会导致资本的边际产量随着劳动投入增长率的提高而递增，最终经济增长的速度会趋于加速。可见，只有在“经济增长率=资本投入的增长率” 的时候，企业才不存在调整资本存量的意愿，从而劳动投入也会固定，从而生产要素投入的比例也就稳定下来。因此，当经济系统实现均衡的 两种群相互竞争模型如下： 1112 2221(1)(1)dx x y r x s dt n n dy y x r y s dt n n =--=-- 其中x(t),y(t)分别为甲乙两种群的数量，1r ，2r 为它们的固有增长率，1n ，2 n 为它们的最大容量。1s 的含义是，对于供养甲的资源来说，单位数量的乙（相对2n ）的消耗为单位数量甲（相对1n ）消耗的1s 倍，对2s 可以作相应解释。 经过计算，该模型无解析解，故用数值方法研究，为此提出以下问题： （1） 设r1=r2=1,n1=n2=100,s1=0.5,s2=2,初值x0=y0=10,计算x(t),y(t),画出 它们的图形及图（x,y ），说明时间t 充分大了以后x(t),y(t)的变化趋 势。 （2） 改变r1,r2,n1,n2,x0,y0,但s1,s2不变（或保持s1<1,s2>1），计算并分 析所得结果，若s1=1.5(>1),s2=0.7(<1),再分析结果。由此可以得到 什么结论，请作出解释。 （3） 试验当s1=0.8,s2=0.7时会有什么结果，当s1=1.5,s2=1.7时，又会有 什么结果。 模型求解： 程序如下： fun.m: function dx=fun(t,x,r1,r2,n1,n2,s1,s2) dx=[r1*x(1)*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2);r2*x(2)*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)]; p3.m: h=0.1;%所取时间点间隔 ts=[0:h:30];%时间区间 x0=[10,10];%初始条件 opt=odeset('reltol',1e-6,'abstol',1e-9);%相对误差1e-6，绝对误差1e-9 [t,x]=ode45(@fun,ts,x0,opt,1,1,100,100,0.5,2);%使用5级4阶龙格—库塔公式计算%后面的参数传给fun,分别是r1,r2,n1,n2,s1,s2 [t,x]%输出t,x(t),y(t) plot(t,x,'.-'),grid%输出x1(t), x2(t)的图形 gtext('x1(t)'),gtext(' x2(t)'),pause plot(x(:,1),x(:,2),'.-'),grid,%作相轨线 gtext('x1'),gtext('x2'); 运行结果[t,x]为： ans = 0 10.0000 10.0000 0.1000 10.8805 10.7120 0.2000 11.8235 11.4454 0.3000 12.8309 12.1962 0.4000 13.9044 12.9595 0.5000 15.0453 13.7295 …… 河北大学《数学模型》实验实验报告 一、实验目的 1.学会编写程序段。 2.能根据m文件的结果进行分析。 3.根据图像进行比较和分析。 二、实验要求 8-1捕鱼业的持续收获 运行下面的m文件，并把相应结果填空，即填入“_________”。 clear;clc; %无捕捞条件下单位时间的增长量：f(x)=rx(1-x/N) %捕捞条件下单位时间的捕捞量：h(x)=Ex %F(x)=f(x)-h(x)=rx(1-x/N)-Ex %捕捞情况下渔场鱼量满足的方程：x'(t)=F(x) %满足F(x)=0的点x为方程的平衡点 %求方程的平衡点 syms r x N E; %定义符号变量 Fx=r*x*(1-x/N)-E*x; %创建符号表达式 x=solve(Fx,x) %求解F(x)=0（求根） %得到两个平衡点，记为： % x0=______________ , x1=___________ x0=x(2); x1=x(1);%符号变量x的结构类型成为<2×1sym> %求F(x)的微分F'(x) syms x; %定义符号变量x的结构类型为<1×1sym> dF=diff(Fx,'x'); dF=simple(dF) %简化符号表达式 %得 F'(x)=________________ %求F'(x0)并简化 dFx0=subs(dF,x,x0); %将x=x0代入符号表达式dF dFx0=simple(dFx0) %得 F’(x0)=_______ %求F’(x1) dFx1=subs(dF,x,x1) %得 F’(x1)=________ %若 E 自然界的多种群模型分析 小组成员：杨宏志 09053055 曾云霖 09053057 赵恒宇 09053060 目录 摘要第3页 关键词第3页 问题重述第3页 符号说明第4页 基本假设第4页 问题分析第4页 正文第5页 总结与思考第12页 参考文献第13页 （注：正文中包括对模型的建立，模型的具体检验，模型的改进，改进模型的检验以及问题的扩展深化。） 自然界的多种群模型分析 摘要：在我们生活的大自然中，有着太多太多的秩序和规则。种群之间的你争我斗，弱肉强食也是非常激烈。种群，顾名思义就是指同一种生物的一个集合。不同种群之间的关系大致分为四种：捕食与被捕食关系，互利共生关系，相互竞争关系和寄生与寄主关系。我们这次的建模就是围绕着种群之间的关系来展开的，下面我将从这几个方面来进行分类讨论，由于寄生与寄主的关系不是很常见，关系也比较简单，在此便不再赘述。 捕食与被捕食关系：这种关系很简单，大家也能很容易地理解，通俗地解释，就是指一种生物以另一种生物为食，举个例子大家也许会更容易地理解。比如说狼和羊的关系，狼是捕食者，羊是被捕食者，狼以羊为食，是羊的天敌。 互利共生关系：指两种生物共同生活在一个区域有助于提高另一种生物的种群密度，假如其中一种生物的数量减少，也会影响另一种生物的数量，使其数量减少。比如草地和森林优势植物的根多与真菌共生形成菌根，多数有花植物依赖昆虫传粉，大部分动物的消化道也包含着微生物群落，最典型的就是大豆与根瘤菌。大豆给根瘤菌提供养分，根瘤菌给大豆提供氮元素。 相互竞争关系：有种内和种间两种竞争方式。这里是指两种共居一起，为争夺有限的营养、空间和其他共同需要而发生斗争的种间关系。竞争的结果，或对竞争双方都有抑制作用，大多数的情况是对一方有利，另一方被淘汰，一方替代另一方。举个例子，牛和羊生活在共同的一片草地上，因为这两种生物都以草为食，它们之间不存在其他关系，所以它们之间是竞争关系。 以上就是三种种群之间的关系，下面我们就从这三个方面对物种种群密度的变化进行分析。在以下的讨论中我们将建立微分方程的数学模型，对生物多种群之间各种关系进行 关键词：生物种群，数量，关系，互相作用，竞争 罗默《高级宏观经济学》（第3版）第1章 索洛增长模型 跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。 以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。 1.1 增长率的基本性质。利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明： （a ）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若()()()Z t X t Y t =，则 （b ）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若()()()Z t X t Y t =，则 （c ）如果()()Z t X t α =，则()()()()//Z t Z t X t X t α= 证明：（a ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式： 因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式： 再简化为下面的结果： 则得到（a ）的结果。 （b ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式： 因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式： 再简化为下面的结果: 则得到（b ）的结果。 （c ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式： 又由于()()ln ln X t X t αα??=??，其中α是常数，有下面的结果： 则得到（c ）的结果。 1.2 假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >，在1t 时刻下降为0，在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ，在2t 时刻之后不变且等于a 。 （a ）画出作为时间函数的X 的增长率的图形。 （b ）画出作为时间函数的ln X 的图形。 答：（a ）根据题目的规定，X 的增长率的图形如图1-1所示。 从0时刻到1t 时刻X 的增长率为常数且等于a （0a >），为图形中的第一段。X 的增长率从0上升到a ，对应于图中的第二段。从2t 时刻之后，X 的增长率再次变为a 。 图1-1 时间函数X 的增长率 （b ）注意到ln X 关于时间t 的导数（即ln X 的斜率）等于X 的增长率，即： 因此，ln X 关于时间的图形如图1-2所示：从0时刻到1t 时刻，ln X 的斜率为a （0a >）， 种群相互依存模型 1) 问题的提出 自然界中处于同一环境下两个种群相互依存而共生的现象是很普遍的。比方植物与昆虫，一方面植物为昆虫提供了食物资源，另一方面，尽管植物可以独立生存，但昆虫的授粉作用又可以提高植物的增长率。事实上，人类与人工饲养的牲畜之间也有类似的关系。 我们关心两个相互依存的种群，它们之间有着类似于在农业社会中人和牛的关系。其发展和演进有着一些什么样的定性性质呢？ 2）模型假设 以)(1t x 、)(2t x 表示处于相互依存关系中甲、乙二种群在时刻t 的数量， 1． 种群数量的增长率)2,1)((=i t x i 与该种群数量)2,1)((=i t x i 成正比，同时也与有闲资源)2,1)((=i t s i 成正比； 2． 两个种群均可以独立存在，而可被其直接利用的自然资源有限，均设为“1”，)2,1(=i N i 分别表示 甲、乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量；此外，两种群的存在均可以促进另一种群的发展，我们视之为另一种群发展中可以利用的资源， )2,1(=i i σ为二折算因子，21/N σ表示一个单位数量的乙可充当种群甲的生存资源的量，12 /N σ表示一个单位数量的甲可充当种群乙的生存 资源的量； 3． )2,1(=i r i 分别表示甲、乙二种群的固有增长率。 3） 模型建立 根据模型假设，可得如下数学模型： 经化简，得： ＝ ???-?+??=?+-??=)//1()//1(2211222222111111N x N x x r x N x N x x r x σσ 4）模型求解 与种群竞争模型相同，我们只求解模型方程的平衡点，并讨论其稳定性，从而对两种群的变化趋势作出判断。 为此，令 ???=-?+??=?+-??0)//1(0)//1(22112222211111N x N x x r N x N x x r σσ， 求得该模型的四个平衡点： )0,0(1P 、)0,(12N P 、),0(23N P 、???? ????-+??-+22121211411,11N N P σσσσσσ。 可知，只有在21的情况下，平衡点4是稳定的。此时甲、乙两种群将分别趋向于非零的有限值；否则由于二者均能独立生存又相互提供食物，将使二者均趋向无穷。 5）练习题5的解答 在种群相互依存的模型中，按以下四种情况作相轨线示意图，并解释平衡点的意义。 (1) σ1<1,σ1σ2<1 (2) σ2>1,σ1σ2>1 公共政策分析（第二版）陈庆主编 公共政策分析模型 完全理性决策模型 理性决策模型，也被部分人成为科学决策模型。他的基本出发点是，人们在决策是遵循最大化原则，抉择最优方案，谋求最大效益。作为决策的主体，始终坚持理性化活动，不存在任何非理性成分。 （一）这种模式通常包含了下列基本内容: 1、决策者面临的是一个既定的问题，该问题同其他问题的区别非常明显，或者至少同其他问题相比，它是最重要的。 2、决策者选择决定的各种目的、价值或目标是明确的，或是希望利益最大，或是希望损失最小，而且可以依据不同目标的重要性进行排序。 3、决策者有可供选择的两个以上的方案，面对着这些方案，通常在逐一选择的基础上，选取其中一个。假如方案基本是相同的，通常会作相同的决定。 4、决策者对同一个问题会面临着一种或多种自然状态。它们是不以人们意志为转移的不可控因素。 5、决策者会将每一个方案，在不同的自然状态下的受益值(程度)或损失值(程度)计(估)算出来，经过比较后，按照决策者的价值偏好，选出其中最佳者。 （二）理性决策在实际中必须具备以下基本条件: 1、决策过程中必须获得全部有效的信息。 2、寻找出与实现目标相关的所有决策方案。 3、能够准确地预测出每一个方案在不同的客观条件下所能产生的结果。 4、非常清楚那些直接或间接参与公共政策制定的人们的社会价值偏向与其所占的相对比重。 5、可以选择出最优化的决策方案。 （三）评价 理性决策模型所要求达到的基本条件，在现实生活中几乎是无法实现的。因此它遭到了许多学者的强烈批评。其中最突出的是查尔斯·林德布洛姆与赫伯特·西蒙。 林德布洛姆指出:决策者并不是面对一个既定问题，而只是首先必须找出和说明问题。问题是什么?不同的人会有不同的认识与看法。比如物价迅速上涨，需要对通货膨胀问题做出反应。 首先，明确这一问题的症结所在，往往十分困难。因为不同的利益代表者，会从各自的利益看待这些问题，围绕着通货膨胀存在不存在，若存在，其程度和影响怎样，以与产生通货膨胀的原因是什么等问题，人们都会有不同的回答。 其次，决策者受到价值观的影响，选择方案往往会发生价值冲突。比较、衡量、判断价值冲突中的是与非是极其困难的。靠分析是无法解决价值观矛盾的，因为分析不能证明人的价值观，也不可能用行政命令统一人们的价值观。 再次，有人认为"公共利益"可以作为决策标准，林德布洛姆批评 1. 已知微分方程组 ???????=-+=++00y x dt dy y x dt dx 满足初始条件0|,1|00====t t y x ． （1） 求上述微分方程组初值问题的特解(解析解)，并画出解函数 ()y f x =的图形． （2） 分别用 ode23、ode45 求上述微分方程组初值问题的数值解(近似 解)，求解区间为[0,0.5]t ∈．利用画图来比较两种求解器之间的差 异． 2．分别用Euler 折线法和四阶 Runge-Kutta 法求解微分方程初值问题 ? ??=-=1)0(,cos 'y x e y y x 的数值解(步长h 取0.1)，求解范围为区间[0,3] ． 3、设想自然界有两个种群为了争夺有限的同一食物来源和生活空间时，从长远的眼光来审视，其最终结局是它们中的竞争力弱的一方首先被淘汰，然后另一方独占全部资源而以单种群模式发展；还是存在某种稳定的平衡状态，两个物种按照某种规模构成双方长期共存？ 试建立两种群相互竞争的数学模型，并讨论该模型是否有解析解？若无解析解，就用数值方法求解模型，通过改变各种参数进行讨论和结果解释。 模型建立： 两种群相互竞争模型如下： 1112 2221(1)(1)dx x y r x s dt n n dy y x r y s dt n n =--=-- 其中x(t),y(t)分别为甲乙两种群的数量，1r ，2r 为它们的固有增长率，1n ，2n 为它们的最大容量。1s 的含义是，对于供养甲的资源来说，单位数量的乙（相对 2n ）的消耗为单位数量甲（相对1n ）消耗的1s 倍，对2s 可以作相应解释。 经过计算，该模型无解析解，故用数值方法研究，为此提出以下问题： （1） 设r1=r2=1,n1=n2=100,s1=0.5,s2=2,初值x0=y0=10,计算x(t),y(t),画出 它们的图形及图（x,y ），说明时间t 充分大了以后x(t),y(t)的变化趋 势。 （2） 改变r1,r2,n1,n2,x0,y0,但s1,s2不变（或保持s1<1,s2>1），计算并分 析所得结果，若s1=1.5(>1),s2=0.7(<1),再分析结果。由此可以得到 什么结论，请作出解释。 （3） 试验当s1=0.8,s2=0.7时会有什么结果，当s1=1.5,s2=1.7时，又会有 什么结果。 模型求解： 程序如下： fun.m: function dx=fun(t,x,r1,r2,n1,n2,s1,s2) dx=[r1*x(1)*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2);r2*x(2)*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)]; p3.m: h=0.1;%所取时间点间隔 ts=[0:h:30];%时间区间 x0=[10,10];%初始条件 opt=odeset('reltol',1e-6,'abstol',1e-9);%相对误差1e-6，绝对误差1e-9 [t,x]=ode45(@fun,ts,x0,opt,1,1,100,100,0.5,2);%使用5级4阶龙格—库塔公式计算 %后面的参数传给fun,分别是r1,r2,n1,n2,s1,s2 [t,x]%输出t,x(t),y(t) plot(t,x,'.-'),grid%输出x(t),y(t)的图形 gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),pause plot(x(:,1),x(:,2),'.-'),grid,%作y(x)的图形 gtext('x'),gtext('y'); 运行结果[t,x]为： ans = 0 10.0000 10.0000 0.1000 10.8805 10.7120 0.2000 11.8235 11.4454 0.3000 12.8309 12.1962 0.4000 13.9044 12.9595 0.5000 15.0453 13.7295 …… 29.4000 100.0000 0.0000 29.5000 100.0000 0.0000 29.6000 100.0000 0.0000 29.7000 100.0000 0.0000 29.8000 100.0000 0.0000 29.9000 100.0000 0.0000 30.0000 100.0000 0.0000 最后数值稳定在x=100,y=0上，即物种甲达到最大值，物种乙灭绝。 1．求微分方程的解析解, 并画出它们的图形， (1)y ’= y + 2x , y (0) = 1, 0 当固定参数b=2, c=4时，试讨论随参数a 由小到大变化（如a ∈(0,0.65))而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？ 用matlab 编程 建立rossler.m 文件： function r=rossler(t,x) global a; global b; global c; r=[-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);b+x(3)*(x(1)-c)]; 建立exp4-3.m 如下： global a; global b; global c; b=2; c=4; t0=[0,200]; for a=0:0.03:0.65 [t,x]=ode45('rossler',t0,[0,0,0]); subplot(1,2,1); plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b'); title('x(红色),y(绿色),z(蓝色)随t 变化情况');xlabel('t'); subplot(1,2,2); plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)) title('相图');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z'); end (1)当a=0时，图像如下： 所以当a=0时，(x,y,z)收敛于（0,0.5,0.5） (2)当a=0.12时，图像如下： x(红色),y(绿色),z(篮色)随t 变化情况t 相图 z 索洛模型描述的是资本、技术水平、储蓄、劳动与经济增长之间的关系。要推导索洛模型，首先来看经典的经济增长理论。 生产函数： ),(L K F A Y ?= (1) Y=实际GDP 产出 A=技术水平 K=资本存量 L=劳动力 总产出的变动可以分解成技术水平、资本、劳动三种要素的变动，故得到实际GDP 的增长率： )()(L L K K A A Y Y ?+?+?=?βα (2) 经典的增长理论假设技术水平A 已经给定，要素的边际产量递减且规模报酬为零，故(2)式可以变为： )()1()(L L K K Y Y ???+??=?αα (3) 现在来推导索洛模型。索洛模型研究的是每个工人的实际GDP （L Y y =）和每个工人的资本(L K k =)之间的关系。 将y 对Y 和L 进行全微分之后可以得到以下公式： L L Y Y y y ???=? (4) 即：每个工人的实际GDP 增长率=实际GDP 增长率—劳动增长率 同理可得： L L K K k k ???=? (5) 即：每个工人的实际GDP 增长率=资本增长率—劳动增长率 由(3)式可得： )(L L K K L L Y Y ???=???α (6) 把(4)式、（5）代入得： )(k k y y ?=?α (7) 至此，我们可以得出结论：在技术水平外生给定的条件下，每个工人的实际GDP 增长率取决于平均资本增长率。 下面再来推导决定每个工人的实际GDP 增长率的两个条件——实际GDP 增长率K K ?和劳动增长率L L ?。 我们在国民收入核算中学过，国内生产净值(NDP)等于GDP 减去资本存量的折旧。而国民收入等于国内生产净值，它又流向了两个方向：消费C 和实际储蓄。写成方程即： 两种群间的相互竞争 摘要 本文针对两种群间的竞争问题作了详细的论述，主体分为两部分，第一部分主要通过理论分析的方法来阐述模型，第二部分主要利用MATLAB通过数值分析的方法从另一个角度来阐述模型，两个部分相辅相成，从不同的角度对同一个模型进行分析，并在最后得到一致的结果。另外本文在第一部分主要以理论的方式对模型进行数学上的描述，在第二部分主要以生物间的角度对模型进行描述，与此同时对第一部分作一个总结。 关键词：稳定性平面动力系统增广相空间轨线 一、问题提出 两种群竞争模型很好的描述了种群间的各种关系，而如果从发展的眼光来看待问题，我们不禁对两种群在未来很长一段时间内的状态产生兴趣，换句话说，我们要研究的是在无穷远的将来，两个种群的数量变化关系，这对我们进一步研究生物学的各种问题是有意义的。 二、基本假设 假设1： 有甲乙两个种群，它们独自生存时的数量变化服从Logistic 规律。 假设2： 两种群一起生存时，乙种群对甲种群增长的阻滞作用与乙种群的数 量成正比，甲种群对乙种群增长的阻滞作用与甲种群的数量也成正比。 三、问题分析 根据“假设1”，我们容易得到方程组如下 112 2()(1)()(1) dx t x r x dt n dy t y r y dt n ?=-?? ? ?=-?? （1） 其中()x t ，()y t 分别为甲乙两种群随时间变化的数量；1r ，2r 为它们的固有增长率；1n 和2n 为环境允许条件下，甲乙两种群的最大数量。 再由“假设2”，对方程组（1）变形，我们得到方程组如下 1112 2212() (1)()(1)dx t x y r x s dt n n dy t x y r y s dt n n ?=--??? ?=--?? （2） 其中1s 的含义是，对于供养甲种群的资源而言，单位数量乙（相对于2n ）的消耗为单位数量甲（相对于1n ）消耗的1s 倍；2s 的含义是，对于供养乙种群的资源而言，单位数量甲（相对于1n ）的消耗为单位数量乙（相对于2n ）消耗的2s 倍。 我们所要研究的问题是当t →+∞时，()x t 与()y t 的极限状态，即稳定性，这是本文 种群的相互竞争模型中数值计算与结果分析 河北大学《数学模型》实验实验报告 一、实验目的 1.学会编写程序段。 2.能根据m文件的结果进行分析。 3.根据图像进行比较和分析。 二、实验要求 8-1捕鱼业的持续收获 运行下面的m文件，并把相应结果填空，即填入“_________”。 clear;clc; %无捕捞条件下单位时间的增长量：f(x)=rx(1-x/N) %捕捞条件下单位时间的捕捞量：h(x)=Ex %F(x)=f(x)-h(x)=rx(1-x/N)-Ex %捕捞情况下渔场鱼量满足的方程：x'(t)=F(x) %满足F(x)=0的点x为方程的平衡点 %求方程的平衡点 syms r x N E; %定义符号变量 Fx=r*x*(1-x/N)-E*x; %创建符号表达式 x=solve(Fx,x) %求解F(x)=0（求根） %得到两个平衡点，记为： % x0=______________ , x1=___________ x0=x(2); x1=x(1);%符号变量x的结构类型成为<2×1sym> %求F(x)的微分F'(x) syms x; %定义符号变量x的结构类型为<1×1sym> dF=diff(Fx,'x'); dF=simple(dF) %简化符号表达式 %得 F'(x)=________________ %求F'(x0)并简化 dFx0=subs(dF,x,x0); %将x=x0代入符号表达式dF dFx0=simple(dFx0) %得 F’(x0)=_______ %求F’(x1) dFx1=subs(dF,x,x1) %得 F’(x1)=________ %若 E Solow 模型之详细推导 参考资料： 戴维·罗默 《高级宏观经济学》 龚六堂 《经济增长理论》 研究生一年级 《高级宏观经济学》、《动态优化》课堂笔记 Solow 模型含四个变量：产出（Y ）、资本（K ），劳动（L ）、技术进步（A ）。 生产函数的形式为： ()((),()())Y t F K t A t L t = 满足： ①二阶连续可微； (,)F ??②对变量非减且严格凹（即资本和劳动力的边际生产率都是递减的） ； (,)F ??③生产函数是常数规模回报的，即对任意λ>0，有 (,)(,F K AL F K AL )λλλ=， （1） 从而可得到欧拉（Euler ）方程： (,)(,)(,)F K L F K L F K L K L K L ??=+??； ④生产函数满足Inada 条件，即 00lim (,),lim (,)lim (,)0lim (,)0K L K L K L K L F K L F K L F K L F K L →→→∞→∞ =∞=∞==，。 通常所讲的Cobbel-Douglas 生产函数满足此条件： ()()()()Y t A t K t L t αβ=，0,1αβ<<。 规模报酬不变的假定使我们得以使用密集形式的生产函数。 11(,1)(,)K F F K AL Y AL AL AL ==， （2） 令 K k AL =表示每单位有效劳动的平均资本数量， Y y AL =表示每单位有效劳动的平均产出 那么可将（2）式写为： (,1)()y F k f k == 假定储蓄率为，资本折旧为s δ，人口增长率既定，为L n L =&，技术进步率也既 § 7 种 群 的 相 互 竞 争* [问题的提出] 当某个自然环境中只有一种生物的群体(生态学上称为种群) 生存时，人们常用Logisdc 模型来描述这个种群数量的演变过程，即 )(t x 是种群在时刻t 的数量，r 是固有增长率，N 是环境资源容许的种群最大数量， 在1．5节和6．1节我们曾应用过这种模型．由方程(1)可以直接得到，0x =N 是稳定平衡点，即r ∞→时)(t x →N ．从模型本身的意义看这是明显的结果． 如果一个自然环境中有两个或两个以上种群生存，那么它们之间就要存在着或是相互竞争，或是相互依存，或是弱肉强食(食饵与捕食者)的关系．本节和下面两节将从稳定状态的角度分别讨论这些关系． 当两个种群为了争夺有限的同一种食物来源和生活空间而进行生存竞争时，最常见的结局是竞争力较弱的种群灭绝，竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量．人们今天可以看到自然界长期演变成的这样的结局．例如一个小岛上虽然有四种燕子栖息，但是它们的食物来源各不相同，一种只在陆地上觅食，另两种分别在浅水的海滩上和离岸稍远的海中捕鱼，第四种则飞越宽阔的海面到远方攫取海味，每一种燕子在它各自生存环境中的竞争力明显的强于其他几种．本节要建立一个模型解释类似的现象，并分析产生这种结局的条件． [模型建立] 有甲乙两个种群，当它们独自在一个自然环境中生存时，数量的演变均遵从logistic 规律．记)(1t x ，)(2t x 是两个种群的数量，1r ，2r 是它们的固有增长率，1N ，2N 是它们的最大容量．于是对于种群甲有 其中因子??? ? ?? - 111N x 反映由于甲对有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作用，1 1 N x 可解释为相对于1N 而言单位数量的甲消耗的供养甲的食物量(设食物总量为介绍一个竞争优势的分析模型
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