的香农公式：C ＝W log 2⎝ ⎛ ⎭⎪⎫1＋S N .它表示，在受噪音干扰的信道中，最 大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1 000的基础上，将带宽W 增大到原来的2倍，信号功率S 增大到原来的10倍，噪声功率N 减小到原来的1 5 ，则信息传递速度C 大约增加了( ) (参考数据：lg 2≈0.3) A ．87% B ．123% C ．156% D ．213% 6．已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧||log 2x ，x >0， －x 2－4x ＋4，x <0. 若函数g (x )＝f (x )－m 有 四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是( ) A ．(0，4) B ．(4，8) C ．(0，8) D ．(0，＋∞) 7．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数y ＝f (x )－x 3的零点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8.
2020新课标Ⅱ年高考数学总复习专题立体几何分项练习含解析理8
专题10 立体几何 一．基础题组 1. 【2013课标全国Ⅱ，理4】已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l ⊥m，l⊥n，lα，lβ，则( )． A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l 【答案】：D 【解析】因为m⊥α，l⊥m，lα，所以l∥α.同理可得l∥β. 又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D. 2. 【2012全国，理4】已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2， 122 CC ，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为( ) A．2 B．3 C．2 D．1 【答案】 D 又△AC C1为等腰直角三角形，∴CH=2.∴HM=1.
3. 【2011新课标，理6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为( ) (正视图) (俯视图) 【答案】D 【解析】 4. 【2006全国2，理4】过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为 A. 16 3 B. 16 9 C. 8 3 D. 32 9 【答案】:A
5. 【2006全国2，理7】如图,平面α⊥平面β,A ∈α,B ∈β,AB 与两平面α,β所成的角分别为 4π和6 π .过A ,B 分别作两平面交线的垂线,垂足为A ′,B ′,则AB ∶A ′B ′等于 A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶3 【答案】:A 6. 【2005全国3，理4】设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点， 且PA=QC 1，则四棱锥B —APQC 的体积为（ ） A ．16V B ．14 V C ．13 V D ．12 V 【答案】C 【解析】连接11,BA BC ，在侧面平行四边形11AAC C 中，∵1PA QC =， ∴ 四边形APQC 的面积1S =四边形11PQA C 的面积2S ， 记B 到面11AAC C 的距离为h ，∴113B APQC V S h -=，1121 3 B PQA C V S h -=， ∴11B APQC B PQA C V V --=，
2020届高考数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第8讲数列练习文
第8讲数列 [考情分析] 数列为每年高考必考内容之一，考查热点主要有三个方面：(1)对等差、等比数列基本量和性质的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n项和公式建立方程(组)求解，利用性质解决有关计算问题，属于中、低档题；(2)对数列通项公式的考查；(3)对数列求和及其简单应用的考查，主、客观题均会出现，常以等差、等比数列为载体，考查数列的通项、求和，难度中等． 热点题型分析 热点1 等差、等比数列的基本运算及性质 1.等差(比)数列基本运算的解题策略 (1)设基本量a1和公差d(公比q)； (2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． 2.等差(比)数列性质问题的求解策略 (1)解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解； (2)牢固掌握等差(比)数列的性质，可分为三类：①通项公式的变形；②等差(比)中项的变形；③前n项和公式的变形．比如：等差数列中，“若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)”；等比数列中，“若m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q(m，n，p，q∈N*)”． 1.已知在公比不为1的等比数列{a n}中，a2a4＝9，且2a3为3a2和a4的等差中项，设数列{a n}的前n项积为T n，则T8＝( ) A.1 2 ×37－ 1 6 B．310 C.318D．320答案 D 解析由题意得a2a4＝a23＝9.
设等比数列{a n }的公比为q ，由2a 3为3a 2和a 4的等差中项可得4a 3＝3a 2＋a 4，即4a 3＝ 3a 3 q ＋a 3q ，整理得q 2 －4q ＋3＝0，由公比不为1，解得q ＝3. 所以T 8＝a 1·a 2·…·a 8＝a 81q 28 ＝(a 81q 16 )·q 12 ＝(a 1q 2)8 ·q 12 ＝a 8 3·q 12 ＝94 ×312 ＝320 .故选D. 2.(2019·江苏高考)已知数列{a n }(n ∈N * )是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0， S 9＝27，则S 8的值是________． 答案 16 解析 解法一：由S 9＝27? 9 a 1＋a 9 2 ＝27?a 1＋a 9＝6?2a 5＝6?2a 1＋8d ＝6且a 5＝3. 又a 2a 5＋a 8＝0?2a 1＋5d ＝0，解得a 1＝－5，d ＝2. 故S 8＝8a 1＋ 8×8－1 2 d ＝16. 解法二：同解法一得a 5＝3. 又a 2a 5＋a 8＝0?3a 2＋a 8＝0?2a 2＋2a 5＝0?a 2＝－3. ∴d ＝ a 5－a 2 3 ＝2，a 1＝a 2－d ＝－5. 故S 8＝8a 1＋ 8× 8－1 2 d ＝16. 3.在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8·a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1 a 10＝________. 答案 －5 3 解析 由等比数列的性质可得，a 7·a 10＝a 8·a 9＝－98，∴1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝? ?? ?? 1a 7＋1a 10＋ ? ????1a 8＋1a 9＝a 7＋a 10a 7·a 10＋a 8＋a 9a 8·a 9 ＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8·a 9＝－53. 在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．如第1题要注意整体代换思想的运用，避免繁杂的运算出错；第3题易忽视等比数列性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q (m ，n ，p ，q ∈N * )”，而导致计算量过大. 热点2 求数列的通项公式 1.已知S n 求a n 的步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；
高考数学江苏专版三维二轮专题复习教学案：专题八-二项式定理与数学归纳法（理科）-含答案
江苏新高考 本部分内容在高考中基本年年都考，并以压轴题形式考查. ，主要考查组合计数；考复合函数求导和数学归纳法；考查计数原理为主，又涉及到数学归纳法；考查组合数及其性质等基础知识，考查考生的运算求解能力和推理论证能力；考查概率分布与期望及组合数的性质，既考查运算能力，又考查思维能力. 近年高考对组合数的性质要求较高，常与数列、函数、不等式、数学归纳法等知识交汇考查. 第1课时计数原理与二项式定理(能力课) [常考题型突破] 计数原理的应用 [例1] {1,2,3，…，3n}的子集中所有“好集”的个数为f(n)． (1)求f(1)，f(2)的值； (2)求f(n)的表达式． [解](1)①当n＝1时，集合{1,2,3}中的一元好集有{3}，共1个；二元好集有{1,2}，共1个；三元好集有{1,2,3}，共1个，所以f(1)＝1＋1＋1＝3. ②当n＝2时，集合{1,2,3,4,5,6}中一元好集有{3}，{6}，共2个； 二元好集有{1,2}，{1,5}，{2,4}，{3,6}，{4,5}，共5个； 三元好集有{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{4,2,3}，{4,2,6}，{4,3,5}，{4,5,6}，共8个； 四元好集有{3,4,5,6}，{2,3,4,6}，{1,3,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4,5}，共5个； 五元好集有{1,2,4,5,6}，{1,2,3,4,5}共2个，还有一个全集． 故f(2)＝1＋(2＋5)×2＋8＝23. (2)首先考虑f(n＋1)与f(n)的关系． 集合{1,2,3，…，3n,3n＋1,3n＋2,3n＋3}在集合{1,2,3，…，3n}中加入3个元素3n＋1,3n ＋2,3n＋3.故f(n＋1)的组成有以下几部分： ①原来的f(n)个集合；
2019年高考数学(理科)大二轮复习练习：专题二 函数与导数 专题能力训练8
专题能力训练8利用导数解不等式及参数的取值 范围 一、能力突破训练 1.设f(x)=x ln x-ax2+(2a-1)x,a∈R. (1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间; (2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围. 2.(2018全国Ⅲ,理21)已知函数f(x)=(2+x+ax2)·ln(1+x)-2x. (1)若a=0,证明:当-10时,f(x)>0; (2)若x=0是f(x)的极大值点,求a. 3.已知函数f(x)=ax+x ln x的图象在x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为3. (1)求实数a的值; (2)若f(x)≤kx2对任意x>0成立,求实数k的取值范围; (3)当n>m>1(m,n∈N*)时,证明:. 4.设函数f(x)=ax2-a-ln x,其中a∈R. (1)讨论f(x)的单调性; (2)确定a的所有可能取值,使得f(x)> -e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数). 5.设函数f(x)=a ln x,g(x)=x2. (1)记g'(x)为g(x)的导函数,若不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x-g(x)在x∈[1,e]内有解,求实数a的取值范围; (2)若a=1,对任意的x1>x2>0,不等式m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立.求m(m∈Z,m≤1)的值.
6.已知函数f(x)=-2(x+a)ln x+x2-2ax-2a2+a,其中a>0. (1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性; (2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解. 二、思维提升训练 7.已知函数f(x)= x3+x2+ax+1(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a<0时,试讨论是否存在x0∈,使得f(x0)=f.
高考数学(理)二轮专题练习【专题8】(1)函数与方程思想(含答案)
第1讲函数与方程思想 1．函数与方程思想的含义 (1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系． 2．和函数与方程思想密切关联的知识点 (1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0 时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式． (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要． (3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解． (4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论． (5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.
热点一 函数与方程思想在不等式中的应用 例1 (1)f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________. (2)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是__________． 答案 (1)4 (2)(－∞，－3)∪(0,3) 解析 (1)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1 x 3. 设g (x )＝3x 2－1 x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4 ，所以g (x )在区间????0，12上单调递增，在区间????12，1上单调递减， 因此g (x )max ＝g ???? 12＝4，从而a ≥4； 当x <0即x ∈[－1,0)时， f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3， 设g (x )＝3x 2－1 x 3，且g (x )在区间[－1,0)上单调递增， 因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4. (2)设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )在R 上为奇函数． 又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0， 所以x <0时，F (x )为增函数． 因为奇函数在对称区间上的单调性相同， 所以x >0时，F (x )也是增函数． 因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)． 所以，由图可知F (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)． 思维升华 (1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f (x )>0或f (x )<0恒成立，一般可转化为f (x )min >0或f (x )max <0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解． (1)若2x ＋5y ≤2－ y ＋5－ x ，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0 D ．x －y ≥0
新高考数学二轮专题复习高频考点强化训练8(附解析)
强化训练8 等差数列与等比数列——小题备考 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的) 1．[2022·山东威海三模]等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝4，S 9＝18，则公差d ＝ ( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 2．[2022·湖南常德一模]设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 4＝4，S 3＝S 2＋2，则a 1＝( ) A ．12 B ．1 C ．2 D ．2 3．[2022·湖南岳阳一模]已知等差数列{a n }满足a 2＝4，a 3＋a 5＝4(a 4－1)，则数列{a n }的前5项和为( ) A ．10 B ．15 C ．20 D ．30 4．[2022·湖南师大附中二模]设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则“a 1<0，且0a n ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．[2022·辽宁鞍山二模]设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋7 ，则 a 3b 3 ＝( ) A ．1 B ．511 C ．2217 D ．38 6．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式是a n ＝( ) A ．2n －1 B ．(n ＋1n )n ＋1 C ．n 2 D ．n 7．[2022·河北邯郸一模]“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2 022这2 022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为( ) A ．132 B ．133 C ．134 D ．135 8．[2022·北京北大附中三模]已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝n 2，其中n ＝1，2，3，…，则数列{a n }( ) A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)
高考数学二轮复习第一部分微专题强化练习题：等差数列与等比数列含解析
第一部分 一 9 一、选择题 1．(文)(2014·东北三省三校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6 ＝12，则S 7的值是( ) A ．21 B ．24 C ．28 D ．7 [答案] C [解析] ∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴2a 4＝a 1＋a 7＝8，∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×82＝28. [方法点拨] 1.熟记等差、等比数列的求和公式． 2．形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系用累加法可求出通项； 3．形如a n ＋1＝a n f (n )的递推关系可考虑用累乘法求通项a n ； 4．形如a n ＋1＝ka n ＋b (k 、b 为常数)可通过变形，设b n ＝a n ＋b k －1构造等比数列求通项a n . (理)在等比数列{a n }中，a 1＝a ，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}成等差数列，则S n 等于( ) A ．a n ＋ 1－a B ．n (a ＋1) C ．na D ．(a ＋1)n －1 [答案] C [解析] 利用常数列a ，a ，a ，…判断，则存在等差数列a ＋1，a ＋1，a ＋1，…或通过下列运算得到：2(aq ＋1)＝(a ＋1)＋(aq 2＋1)，∴q ＝1，S n ＝na . 2．(文)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6 S 4的值为( ) A.9 4 B.3 2 C.5 3 D ．4 [答案] A [解析] 由等差数列的性质可知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，由S 4 S 2＝4得S 4－S 2S 2 ＝3， 则S 6－S 4＝5S 2， 所以S 4＝4S 2，S 6＝9S 2，S 6S 4＝9 4 . (理)(2014·全国大纲文，8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )
2021届高考数学(文)二轮考前复习学案：第一篇专题8等差数列与等比数列含解析
专题8 等差数列与等比数列 1.等差数列必记结论 (1)若项数为偶数 2n,则 S 2n =n(a 1+a 2n )=n(a n +a n+1); S 偶-S 奇=nd; =. (2)若项数为奇数 2n-1,则 S 2n-1=(2n-1)a n ; S 奇-S 偶=a n ; = . 2.等比数列必记结论 (1)a k ,a k+m ,a k+2m ,…仍是等比数列,公 比 为 q m (k,m∈N *). 考向一 等差数列基本 量的计算 【典例】 (2020·全国Ⅱ 卷)记S n 为等差数列 的前n 项和.若a 1=-2,a 2+a 6=2①, 则=________. ① 根据基本量列方程 ② 前n 项和公式求解 考向二 等比数列基本 量的计算 【典例】(2020·全国Ⅰ 卷)设{a n }是等比数列,且 a 1+a 2+a 3=1,a 2+a 3+a 4=2,则a 6+a 7+a 8=( ) A.12 B.24 C.30 D.32 1.在公比为的等比数列 中,若 sin =,则cos 的值是
A.- B. C. D. 2.数列{a n}中,a1=2,a2=1,则+=(n∈N*),则a10等于( ) A.-5 B.- C.5 D. 3.若数列{x n}满足lg x n+1=1+lg x n(n∈N+),且x1+x2+x3+…+x100=100,则lg(x101+x102+…+x200)的值为 A.102 B.101 C.100 D.99 4.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则说法不正确的是 ( ) A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B.春分和秋分两个节气的晷长相同(2)若数列{a n}的项数为2n,则=q; (3)若项数为2n+1,则=q. 1.数列中的方程思想 无论是等差数列中的a1,n,d,a n,S n,还是等比数列中的a1,n,q,a n,S n,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和d(q),问题可迎刃而解 2.数列中的函数思想 数列是一种特殊
2023年高考数学二轮复习讲练测(新高考)专题08 立体几何解答题常考全归类(原卷版)
专题08 立体几何解答题常考全归类 【命题规律】 空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论．作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度． 【核心考点目录】 核心考点一：非常规空间几何体为载体 核心考点二：立体几何探索性问题 核心考点三：立体几何折叠问题 核心考点四：立体几何作图问题 核心考点五：立体几何建系繁琐问题 核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题 核心考点七：利用传统方法找几何关系建系 核心考点八：空间中的点不好求 核心考点九：创新定义 【真题回归】 1．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABC A B C 中，112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 的中点，E 为1AA 的中点，F 为CD 的中点． (1)求证：//EF 平面ABC ； (2)求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值； (3)求平面1 ACD 与平面1CC D 所成二面角的余弦值． 2．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．
(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ； (2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值． 3．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，//AB DC ，//DC EF ，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE ∠=∠=︒，二面角F DC B --的平面角为60︒．设M ，N 分别为,AE BC 的中点． (1)证明：FN AD ⊥； (2)求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值． 4．（2022·全国·统考高考真题）如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．
《三维设计》2022届高三数学(理)二轮复习 题型专题检测(八) 不 等 式 Word版含答案
题型专题检测(七) 不 等 式 1.已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1 2，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－1 2 D.12 2．(2021·贵阳监测)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2b ，c >d ，则a －c >b －d 3．(2021·长春质检)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( ) A ．(－∞，2－2 2]∪[2＋2 2，＋∞) B ．(－∞，－2 2]∪[2 2，＋∞) C ．[2－2 2，2＋2 2] D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 4．(2021·南昌一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1－y ≥0，x ＋y －4≤0， y ≥m ，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的差为2， 则实数m 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．－12 5．(2021·山西省考前质量检测)若关于x 的不等式4a x － 1<3x －4(a >0，且a ≠1)对于任意的x >2恒成立，则a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1 2 B.⎝⎛⎦⎤0，1 2 C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 6．(2021·邯郸摸底)已知x ，y ∈R ，且x ＋2y ＝1，则2x ＋4y 的最小值为________． 7．已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥0， －x ，x <0，则不等式x ＋x ·f (x )≤2的解集为________． 8．(2021·云南第一次检测)某校今年方案聘请女老师a 名，男老师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪ ⎧ 2a －b ≥5，a －b ≤2， a <7，设这所学校今年方案聘请老师最多x 名，则x ＝________. 9．定义区间(a ，b )，[a ，b )，(a ，b ]，[a ，b ]的长度均为d ＝b －a .用[x ]表示不超过x 的最大整数，记{x }＝x －[x ]，其中x ∈R .设f (x )＝[x ]·{x }，g (x )＝x －1，若用d 表示不等式f (x )k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围． 11．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/小时)．假 设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭ ⎫2＋x 2 360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式； (2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 12．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，对任意的x ∈R ，恒有f ′(x )≤f (x )． (1)证明：当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2； (2)若对满足题设条件的任意b ， c ，不等式f (c )－f (b )≤M (c 2－b 2)恒成立，求M 的最小值．
专题08 解决数列的综合问题-2021年高考数学二轮复习核心考点微专题(苏教版)(原卷版)
【真题感悟】 1．已知函数f (x )＝6(3)3,7,7 x a x x a x ---≤⎧⎨>⎩，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是________． 2.数列{a n }满足a n ＝n ＋λ2n －17 (其中λ为实常数)，n ∈N *，且a 8数列{a n }的最小项， a 9数列{a n }的最大项，则实数λ的取值范围为________． 3.已知数列{b n }满足b n ＝2λ⎝⎛⎭⎫－12n －1－n 2，若数列{b n }是单调递减数列，则实数λ的取值范围为________． 4.数列{a n }满足a n ＝n ＋c n (其中c 为实常数)，n ∈N *，且a 3为数列{a n }的最小项，则实数λ的取值范围为________． 【考向分析】 数列问题一直以来是高考的重点且位于压轴题的位置，而数列的特点是方法灵活，难度较大，本专题就数列中的单调性问题，奇偶性问题，存在性问题等热点问题加以探究，以便学生能更好的理解数列. 【典例导引】 （一）数列中的单调性问题 变式2 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2n －1. (1)求证：数列{a n ＋n }为等比数列； (2)记b n ＝a n ＋(1－λ)n ，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T 3为数列{T n }中的最小项，求λ的取值范围． （二）数列中的奇偶性问题 例2. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)设T n ＝∑i ＝1n (－1)·a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n ＜[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1恒成立，求实数λ的取值范围． 变式1 设函数f (x )＝2x ＋33x (x ＞0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝⎛⎭ ⎫1a n －1(n ∈N *，且n ≥2)． (1)求数列{a n }的通项公式；
2023高考数学二轮复习 专题2 培优点8 向量共线定理的应用(教师版)
培优点8 向量共线定理的应用 【方法总结】 向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁． 【典例】1 (1)若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足|3AM →－A B →－AC →|＝0，则△ABM 与△ ABC 的面积之比等于( ) A.34 B.14 C.13 D.12 【答案】 C 【解析】 ∵|3AM →－AB →－AC →|＝0，∴3AM →－AB →－AC →＝0，∴AB →＋AC →＝3AM →. 设BC 的中点为G ，则AB →＋AC →＝2AG →， ∴3AM →＝2AG →，即AM →＝23 AG →， ∴点M 在线段AG 上，且|A M →||A G →| ＝23. ∴S △ABM S △ABG ＝|AM →||AG →|＝23，易得S △ABG S △ABC ＝|BG →||BC →| ＝12， ∴ S △ABM S △ABC ＝S △ABM S △ABG ·S △ABG S △ABC ＝23×12＝13， 即△ABM 与△ABC 的面积之比等于13 . (2)在△ABC 中，AN →＝12AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋38 AC →，则实数m 的值为________．
【答案】 14 【解析】 方法一 ∵B ，P ，N 三点共线， ∴BP →∥PN →，∴存在实数λ，使得BP →＝λPN →(λ>0)， ∴AP →－AB →＝λ(AN →－AP →)， ∵λ>0，∴AP →＝11＋λ AB →＋λ1＋λ AN →. ∵AN →＝12AC →，AP →＝mAB →＋38 AC →， ∴AP →＝mAB →＋34 AN →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 11＋λ＝m ，λ1＋λ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，m ＝14. 方法二 ∵AN →＝12AC →，AP →＝mAB →＋38 AC →， ∴AP →＝mAB →＋34 AN →. ∵B ，P ，N 三点共线，∴m ＋34＝1，∴m ＝14 . 【典例】2 (1)(2020·河北省石家庄一中质检)在△ABC 中，D 为线段AC 的中点，点E 在边 BC 上，且BE ＝12 EC ，AE 与BD 交于点O ，则AO →等于( ) A.12AB →＋14 AC → B.14AB →＋14AC → C.14AB →＋12 AC → D.12AB →＋12 AC →
(江西专用)高考数学二轮复习 专题限时集训(八)第8讲 平面向量及其应用配套作业 文(解析版)
专题限时集训(八) [第8讲 平面向量及其应用] (时间：45分钟) 1．已知平面向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，3)，且a⊥b ，则实数x 的值为( ) A ．9 B ．1 C ．－1 D ．－9 2．已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量a ＝(sin A ，1)，b ＝(1，－cos B )，则a 与b 的夹角是( ) A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．不确定 3．已知△ABC 所在平面内有一点O ，使OA →＝2OB →＋5OC → ，则△ABC 与△OBC 的面积比为( ) A ．10 B ．6 C ．2 D ．1 4．设a ＝(cos23°，cos67°)，b ＝(cos68°，cos22°)，u ＝a ＋t b ，则|u |的最小值为( ) A.12 B.22 C ．1 D ．2 5．已知向量a 与b 的夹角为π 3，|a |＝2，则a 在b 方向上的投影为( ) A. 3 B. 2 C. 22 D.32 6．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( ) A.7 B.10
C.13 D ．4 7．若△ABC 是锐角三角形，向量p ＝(sin A ，cos A )，q ＝(sin B ，－cos B )，则p 与q 的夹角为( ) A ．锐角 B ．直角 C ．钝角 D ．以上均不对 8．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB → 等于( ) A.3 2 B. 3 C ．3 D ．2 3 9．如图8－1，非零向量OA →＝a ，OB →＝b ，且BC ⊥OA ，C 为垂足，若OC → ＝λa ，则λ＝( ) 图8－1 A.a ·b |a |2 B.a ·b |a ||b | C.a ·b |b | 2 D. |a |·|b | a ·b 10．已知点G 是△ABC 的重心，点P 是△GBC 内一点，若AP →＝λAB →＋μAC → ，则λ＋μ的取值范围是( ) A.12，1 B.23，1 C ．1，3 2 D ．(1，2) 11．已知点O 是△ABC 所在平面上的一点，CA ＝CB ，设a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC → ，若|a |＝4，|b |＝2，则c ·(a －b )的大小为________． 12．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝5，若O 为△ABC 中的外心，则AO →·BC → 的值为________．
【拿高分,选好题第二波】(新课程)高中数学二轮复习 精选第一部分 25个必考问题 专项突破专题训练8
训练8 数列的综合应用 (参考时间：80分钟) 一、填空题 1．在数列{a n }中，a 1＝4，a 2＝10，若{log 3(a n －1)}为等差数列，则T n ＝1a 2－a 1＋1 a 3－a 2 ＋…＋ 1 a n ＋1－a n 等于________． 2．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝2a 1，则4 m ＋ 1 n 的最小值为________． 3．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n 的最小值为________． 4．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2n a n ＋1 ，n ∈N * .设Tn 0 为数列{T n }的最大项，则n 0＝________. 5．已知等差数列{a n }满足2a 2－a 2 7＋2a 12＝0，且{b n }是等比数列，若b 7＝a 7，则b 5b 9＝________. 6．(2012·天一、某某、海门中学联考)在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2 012＝9，函数f (x )＝ x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 2 012)＋2，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为 ________． 7．(2012·宿迁联考)设y ＝f (x )是一次函数，f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝________. 8．(2012·宿迁联考)第30届奥运会在伦敦举行．设数列a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N * )，定义使 a 1·a 2·a 3…a k 为整数的实数k 为奥运吉祥数，则在区间[1,2 012]内的所有奥运吉祥数 之和为________． 9．(2012·某某模拟)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫ 1a n 的前n 项和为S n ，若 S 2n ＋1－S n ≤m 15 对n ∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________． 二、解答题 10．数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ∈N * ，n ≥2)，a 3＝27. (1)求a 1，a 2的值； (2)是否存在一个实数t ，使得b n ＝12n (a n ＋t )(n ∈N * )，且数列{b n }为等差数列？若存在， 求出实数t ；若不存在，请说明理由； (3)求数列{a n }的前n 项和S n .
圆锥曲线的综合问题 强化训练-2023届高三数学二轮专题复习(含解析)
冲刺2023年高考二轮 圆锥曲线的综合问题强化训练 （原卷+答案） 考点一 证明问题——等价转化，直击目标 圆锥曲线中证明问题的两种常见类型 圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上，某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)． 例 1已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0，－2)，B (3 2，－1)两点． (1)求E 的方程； (2)设过点P (1，－2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段 AB 交于点T ，点H 满足MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明：直线HN 过定点． 对点训练 已知直线y ＝3与曲线C ：x 2＋2py ＝0的两个公共点之间的距离为4√6. (1)求C 的方程； (2)设P 为C 的准线上一点，过P 作C 的两条切线，切点为A ，B ，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，且直线P A ，PB 与y 轴分别交于M ，N 两点，直线AB 的斜率为k 0.证明：k 1·k 2为定值，且k 1，k 0，k 2成等差数列． 考点二 定点问题——目标等式寻定点 解析几何中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)过定点的问题，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动，这类问题的求解一般分为以下三步： 一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)． 二求：求出定点坐标所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程．
2020版高考理科数学突破二轮复习新课标通用讲义：专题八 第1讲 数学文化 Word版含答案
第1讲数学文化 函数中的数学文化题 [典型例题] 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，给出下列命题： ①对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个； ②函数f(x)＝ln(x2＋x2＋1)可以是某个圆的“太极函数”； ③正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”； ④函数y＝f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形． 其中正确的命题为() A．①③B．①③④ C．②③D．①④ 【解析】过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个，故①正确； 函数f(x)＝ln(x2＋x2＋1)的图象如图1所示，
故其不可能为圆的“太极函数”，故②错误； 将圆的圆心放在正弦函数y ＝sin x 图象的对称中心上，则正弦函数y ＝sin x 是该圆的“太极函数”， 从而正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”，故③正确； 函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形，则y ＝f (x )是“太极函数”，但函数y ＝f (x )是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2所示，故④错误．故选A ． 【答案】 A 中华太极图，悠悠千古昭著于世，像朝日那样辉煌宏丽，又像明月那样清亮壮美．它是我们华夏先祖的智慧结晶，它是中国传统文化的骄傲象征，它更是中华民族献给人类文明的无价之宝．试题通过太极图展示了数学文化的民族性与世界性． [对点训练] (2019·福建泉州两校联考)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并 五关所税，适重一斤．”其意思为：“今有人持金出五关，第1关所收税金为持金的12 ，第2关所收税金为剩余持金的13，第3关所收税金为剩余持金的14，第4关所收税金为剩余持金的15 ，第5关所收税金为剩余持金的16 ，5关所收税金之和恰好重1斤．”则在此问题中，第5关所收税金为( ) A ．136 斤 B ．130斤 C ．125斤 D ．120 斤 解析：选C ．设此人持金x 斤，根据题意知第1关所收税金为x 2 斤； 第2关所收税金为x 6 斤；
