函数小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

函数小题大做

一、单选题

1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ） A ．()f x x =- B ．()23x

f x ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

C ．()2

f x x = D ．()3f x x 【答案】D 【分析】

根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】

对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，()23x

f x ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

为R 上的减函数，不合题意，舍.

对于C ，()2

f x x =在(),0-∞为减函数，不合题意，舍.

对于D ，()3f x x =R 上的增函数，符合题意， 故选：D.

2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x --- D ．e 1x --+

【答案】D 【分析】

先把x <0，转化为-x>0,代入可得()f x -，结合奇偶性可得()f x . 【详解】

()f x 是奇函数， 0x ≥时，()1x f x e =-．

当0x <时，0x ->，()()1x f x f x e -=--=-+，得()e 1x f x -=-+．故选D ． 【点睛】

本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．

3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇

函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

（ ） A ．94

-

B ．32

-

C ．

74 D ．52

【答案】D 【分析】

通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式

()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】

因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．

令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，

令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()2

22f x x =-+．

思路一：从定义入手．

9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以935222

f f

⎛⎫

⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭． 思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =． 所以91352222

f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．

故选：D ． 【点睛】

在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．

4．（2021年天津高考数学试题）函数2ln ||

2

x y x =

+的图像大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B 【分析】

由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1∈x 时，()0f x <，排除D ，即可得解. 【详解】 设()2ln ||

2

x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}

0x x ≠，关于原点对称， 又()()

()2

ln ||

2

x f x f x x --=

=-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；

当()0,1∈x 时，2

ln 0,20x x + ，所以()0f x <，排除D.

故选：B.

5．（2021年全国新高考II 卷数学试题）已知5log 2a =，8log 3b =，1

2

c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a << B ．b a c <<

C ．a c b <<

D ．a b c <<

【答案】C 【分析】

对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论. 【详解】

55881

log 2log 5log 22log 32

a b =<===，即a c b <<. 故选：C.

6．（2020年北京市高考数学试卷）已知函数()21x

f x x =--，则不等式()0f x >的解集

是（ ）． A ．(1,1)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(0,1) D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞

【答案】D 【分析】

作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果. 【详解】

因为()21x

f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，

在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：

两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21x x >+的解为0x <或1x >.

所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D. 【点睛】

本题考查了图象法解不等式，属于基础题.

7．（2019年北京市高考数学试卷（文科））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212

1

52–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为

E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1 B ．10.1

C ．lg10.1

D ．10.110-

【答案】A 【分析】

由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】

两颗星的星等与亮度满足1

2125lg

2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.1112122

22

lg

( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A. 【点睛】

本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.

8．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则

A ．2332

31log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

B ．233

231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

C ．23332

122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

D ．2332

3122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

【答案】C 【分析】

由已知函数为偶函数，把2332

31log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】

()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛

⎫∴= ⎪⎝⎭．

2

2330

3

3

2

2

333log 4log 31,122

2,log 42

2--

-

-

>==>>∴>>，

又()f x 在(0，+∞)单调递减，

∴()233

23log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

2332

3122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．

9．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设函数()f x 的定义域为R ，

满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8

()9f x ≥-，则m 的取值范围是

A ．9,4⎛

⎤-∞ ⎥⎝

⎦

B ．7,3⎛

⎤-∞ ⎥⎝

⎦

C ．5,2⎛

⎤-∞ ⎥⎝

⎦

D ．8,3⎛

⎤-∞ ⎥⎝

⎦

【答案】B 【分析】

本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】

(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，

图像变为原来的2倍．

如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令8

4(2)(3)9x x --=-，

整理得：2945560x x -+=，1278

(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]

x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛

⎤∴∈-∞ ⎥⎝

⎦，故选B ．

【点睛】

易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．

10．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版））已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减

C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称

D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称

【答案】C 【详解】

由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．

【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2

a b

x +=

；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(

,0)2

a b

+． 11．（2021·四川·树德中学高一阶段练习）已知当[0,1]x ∈ 时，函数2(1)y mx =- 的图象与y x m = 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 A ．(0,1][23,)⋃+∞ B ． (0,1][3,)⋃+∞ C ． 2]3,)⋃+∞ D ． 2][3,)⋃+∞

【答案】B 【详解】

当01m <≤时，

1

1m

≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y x m =单调递增，且[,1]y x m m m =

∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1

m 时，1

01m <

< ，2(1)y mx =-在1[,1]m

上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B.

【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

12．（2021年天津高考数学试题）设a ∈R ，函数

22

cos(22).

()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩，若()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B ．5711

,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

C ．9112,,344⎛⎤

⎡⎫

⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭

D ．11

,2,344

7⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝

⎭

⎣

⎭

【答案】A 【分析】

由()22

2150x a x a -+++=最多有2个根，可得()cos 220x a ππ-=至少有4个根，分别

讨论当x a <和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出. 【详解】

()222150x a x a -+++=最多有2个根，所以()cos 220x a ππ-=至少有4个根， 由22,2

x a k k Z π

πππ-=+∈可得1

,24

k x a k Z =

++∈， 由1024k a a <

++<可得11222

a k --<<-， （1）x a <时，当1

5242

a -≤--<-时，()f x 有4个零点，即7944a <≤；

当16252a -≤--<-，()f x 有5个零点，即911

44a <≤； 当17262a -≤--

<-，()f x 有6个零点，即111344

a <≤； （2）当x a ≥时，22()2(1)5f x x a x a =-+++，

()()22Δ4(1)4582a a a =+-+=-， 当2a <时，∆<0，()f x 无零点； 当2a =时，0∆=，()f x 有1个零点；

当2a >时，令22()2(1)5250f a a a a a a =-+++=-+≥，则5

22

a <≤，此时()f x 有2个零点； 所以若5

2

a >

时，()f x 有1个零点. 综上，要使()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则应满足 7

944

522a a ⎧<≤⎪⎪⎨

⎪<≤⎪⎩或91144522a a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩

或或1113442a a ⎧<≤⎪⎨⎪<⎩，

则可解得a 的取值范围是95112,,424⎛⎤⎛⎤

⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦.

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键是分成x a <和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.

二、填空题

13．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数()()322x x

x a f x -=⋅-是偶函数，则

=a ______.

【答案】1 【分析】

利用偶函数的定义可求参数a 的值. 【详解】

因为()()322x x x a f x -=⋅-，故()()322x x

f x x a --=-⋅-，

因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，

时()()332222x x x x x a x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x

a --，

故1a =， 故答案为：1

14．（2019年江苏省高考数学试卷）函数276y x x =+-_____. 【答案】[1,7]-. 【分析】

由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】

由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-. 【点睛】

求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．

15．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）函数()212ln f x x x =--的最小值为______.

【答案】1 【分析】

由解析式知()f x 定义域为(0,)+∞，讨论102x <≤、1

12

x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值. 【详解】

由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞， ∴当1

02

x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减； 当

1

12x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x

'=-≤，此时()f x 单调递减； 当1x >时，()212ln f x x x =--，有2

()20f x x

'=->，此时()f x 单调递增； 又()f x 在各分段的界点处连续，

∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增； ∴()(1)1f x f ≥= 故答案为：1.

16．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））已知λ∈R ，函数

f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )

恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】(1,4) (1,3](4,)+∞ 【详解】

分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.

详解：由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，不

等式f (x )<0的解集是(1,4),

当4λ>时，()40f x x =->，此时2()430,1,3f x x x x =-+==，即在(,)λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由2()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(1,3](4,)+∞. 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

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试卷第12页，共1页

2020高考冲刺数学总复习压轴解答：函数、不等式与导数的综合问题(附答案及解析)

专题三 压轴解答题 第六关 函数、不等式与导数的综合问题 【名师综述】 1.本专题在高考中的地位 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点， 所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 2．本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用 【考点方向标】 方向一 用导数研究函数的性质 典例1．（2020·山东高三期末）已知函数2 1()2ln (2)2 f x x a x a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数3 4()()9 g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【举一反三】 （2020·云南昆明一中高三期末（理））已知函数2()(1)x x f x e ax e =-+?，且()0f x … . （1）求a ； （2）证明：()f x 存在唯一极大值点0x ，且()03 16 f x <. 方向二 导数、函数与不等式 典例2．（2020·四川省泸县第二中学高三月考）已知函数()sin f x x ax =-.

（1）对于(0,1)x ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，令()()sin ln 1h x f x x x =-++，求()h x 的最大值； （3） 求证：1111ln(1)1231n n n +<+++???++-*()n N ∈. 【举一反三】 （2020·黑龙江哈尔滨三中高三月考）已知111123S n = ++???+，211 121 S n =++???+-，直线1x =，x n =，0y =与曲线1 y x =所围成的曲边梯形的面积为S .其中n N ∈，且2n ≥. （1）当0x >时， ()ln 11 ax x ax x <+<+恒成立，求实数a 的值； （2）请指出1S ，S ，2S 的大小，并且证明； （3）求证：131112ln ln 3132313n i n n i i i =+?? <+-< ?+--?? ∑. 方向三 恒成立及求参数范围问题 典例3．（2020·天津高三期末）已知函数()2ln h x ax x =-+. （1）当1a =时，求()h x 在()() 2,2h 处的切线方程； （2）令()()22 a f x x h x = +，已知函数()f x 有两个极值点12,x x ，且121 2x x >，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的条件下， 若存在012x ?? ∈??? ? ，使不等式()()() ()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的取值范围. 【举一反三】 （2020·江苏高三专题练习）已知函数()(32)x f x e x =-，()(2) g x a x =-，其中,a x R ∈. （1）求过点(2,0)和函数()y f x =的图像相切的直线方程； （2）若对任意x ∈R ，有()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若存在唯一的整数0x ，使得00()()f x g x <，求a 的取值范围.

函数小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

函数小题大做 一、单选题 1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ） A ．()f x x =- B ．()23x f x ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ C ．()2 f x x = D ．()3f x x 【答案】D 【分析】 根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】 对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，()23x f x ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于C ，()2 f x x =在(),0-∞为减函数，不合题意，舍. 对于D ，()3f x x =R 上的增函数，符合题意， 故选：D. 2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x --- D ．e 1x --+ 【答案】D 【分析】 先把x <0，转化为-x>0,代入可得()f x -，结合奇偶性可得()f x . 【详解】 ()f x 是奇函数， 0x ≥时，()1x f x e =-． 当0x <时，0x ->，()()1x f x f x e -=--=-+，得()e 1x f x -=-+．故选D ． 【点睛】 本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题． 3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇

函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ （ ） A ．94 - B ．32 - C ． 74 D ．52 【答案】D 【分析】 通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式 ()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】 因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②． 令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-， 令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()2 22f x x =-+． 思路一：从定义入手． 9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以935222 f f ⎛⎫ ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎭． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =． 所以91352222 f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ． 【点睛】 在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 4．（2021年天津高考数学试题）函数2ln || 2 x y x = +的图像大致为（ ）

数列小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

数列小题大做 一、单选题 1．（2021·吉林省实验模拟预测（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若73a =，4516a a +=，则10S =（ ） A ．60 B ．80 C ．90 D ．100 【答案】A 【分析】 由题意，利用等差数列通项公式将两式化为基本量1,a d 的关系式，计算1,a d ，然后代入等差数列前n 项和公式计算. 【详解】 由题意，数列{}n a 为等差数列，所以7163a a d =+=，4512716+=+=a a a d ，联立得,1a 15d 2==-，所以10109 1015(2)602 ⨯=⨯+ ⨯-=S . 故选：A 2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 【答案】A 【分析】 根据题目条件可得2S ，42S S -，64S S -成等比数列，从而求出641S S -=，进一步求出答案. 【详解】 ∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， ∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列 ∴24S =，42642S S -=-= ∴641S S -=， ∴641167S S =+=+=. 故选：A.

3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】 当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】 由题，当数列为2,4,8, ---时，满足0q >， 但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B ． 【点睛】 在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程． 4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．2 28n S n n =- D ．2 122 n S n n =- 【答案】A 【分析】 等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72) 1002 S -+= =-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，2455415 0,5250522 S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ． 【详解】

计数原理小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

计数原理小题大做 一、单选题 1．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种 B ．120种 C ．240种 D ．480种 【答案】C 【分析】 先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】 根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有2 5C 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C ⨯=种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】 本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解. 2．（2020年北京市高考数学试卷）在5(2)x 的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5- B ．5 C ．10- D ．10 【答案】C 【分析】 首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可. 【详解】 ) 5 2x 展开式的通项公式为：() ()552 15 5 22r r r r r r r T C x C x --+=-=-， 令 522 r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11 522510C -=-⨯=-. 故选：C. 【点睛】 二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条

(整理版)高考数学小题狂做冲刺训练(详细解析)

高考数学小题狂做冲刺训练〔详细解析〕 、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。在每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的〕 1.点P 在曲线3 2 3 + -=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，那么角α的取值范围是( ) A.［0，2π］ B.［0，2 π〕∪［43π ,π) C.［43π,π) D.(2π,4 3π］ 解析:∵y′＝3x 2 -1,故导函数的值域为［-1，+∞). ∴切线的斜率的取值范围为［-1,+∞〕. 设倾斜角为α,那么tanα≥-1. ∵α∈［0,π),∴α∈［0, 2 π)∪［43π,π). 答案:B 2.假设方程x 2+ax+b ＝0有不小于2的实根,那么a 2+b 2 的最小值为( ) A.3 B. 516 C.517 D.5 18 解析:将方程x 2 +ax+b ＝0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x 2 ＝0的方程,那么a 2 +b 2 的几 何意义为l 上的点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d 的最小性知a 2 +b 2 ≥d 2 ＝211)1(1)1 00( 22242 22 -+++=+=+++x x x x x x (x ≥2), 令u ＝x 2 +1,易知21)(-+ =u u u f (u ≥5)在［5,+∞)上单调递增,那么f(u)≥f(5)＝5 16 , ∴a 2+b 2 的最小值为 5 16 .应选B. 答案:B 3.国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的状况,它的计算公式为 y x n = (x:人均食品支出总额,y:人均个人消费支出总额),且y ＝2x+475.各种类型家庭情

圆锥曲线(文科)解答题20题-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

圆锥曲线（文科）解答题20题 1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知椭圆C 1：22 221x y a b +=(a >b >0) 的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直 的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=4 3|AB |． （1）求C 1的离心率； （2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程． 【答案】（1）1 2 ；（2）1C ：22 11612 x y +=，2C ： 28y x =. 【分析】 （1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标，根据4 ||||3 CD AB =，结合椭圆离心率的公式进行求解即可； （2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可； 【详解】 解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx =，其中 22c a b -不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x y a b +=， 所以当x c =时，有222221c y b y a b a +=⇒=±，因此,A B 的纵坐标分别为2 b a ，2 b a -； 又因为抛物线2C 的方程为24y cx =，所以当x c =时，有242y c c y c =⋅⇒=±， 所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故2 2||b AB a =，||4CD c =. 由4||||3CD AB =得2 843b c a =，即2322()c c a a ⋅=-，解得2c a =-（舍去），12c a =. 所以1C 的离心率为1 2. （2）由（1）知2a c =，3b c =，故22 122:143x y C c c +=，所以1C 的四个顶点坐标分 别为(2,0)c ，(2,0)c -，3)c ，(0,3)c ，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =. 所以1C 的标准方程为 22 11612 x y +=，2C 的标准方程为28y x =.

【学案与检测】高中数学-幂函数(解析版)-高中数学考点精讲精练

3.3 幂函数 新课标要求 通过具体实例，结合231 ,,,,y x y y x y x y x x =====的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。 知识梳理 一、幂函数的概念 一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 二、五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12 x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x － 1；(5)y ＝x 3的图象 如图． 2．五个幂函数的性质 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 1 2 y x = y ＝x － 1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 三、一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．

3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称． 5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 名师导学知识点1 幂函数的概念 幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③x α的系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y ＝x α(α为常数)这一形式． 【例1-1】在函数y ＝1 x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B 解析 ∵y ＝1x 2＝x － 2，∴是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是 两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数． 【例1-2】已知y ＝(m 2＋2m －2)22 m x -＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值． 解 由题意得⎩ ⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m －2＝1， 2n －3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪ ⎧ m ＝1，n ＝32. 所以m ＝－3或1，n ＝32. 【变式训练1-1】给出下列函数: ①y=x 3;②y=x 2+2x ;③y=4x 2;④y=x 5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x ;⑦y=x -2. 其中幂函数的个数为 ( ) A .1 B .2 C .3 D .4 C [解析] 由幂函数的定义知,只有①⑥⑦是幂函数,故选C .

导数(文科)解答题20题-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

1 导数（文科）解答题20题 1．（2021年北京市高考数学试题）已知函数()232x f x x a -= +． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（1）450x y +-=；（2）函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-，最大值为1，最小值为14 -. 【分析】 （1）求出()1f 、()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由()10f '-=可求得实数a 的值，然后利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】 （1）当0a =时，()232x f x x -= ，则()()3 23x f x x -'=，()11f ∴=，()14f '=-， 此时，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()141y x -=--，即450x y +-=； （2）因为()232x f x x a -=+，则()()()()()()222222 223223x a x x x x a f x x a x a -+----'==++， 由题意可得()() () 2 24101a f a -'-= =+，解得4a =， 故()2324x f x x -=+， ()()()()222144x x f x x +-'=+，列表如下： x (),1-∞- 1- ()1,4- 4 ()4,+∞ ()f x ' + - + ()f x 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-. 当32 x < 时，()0f x >；当3 2x >时，()0f x <. 所以，()()max 11f x f =-=，()()min 1 44 f x f ==-. 2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.

专题24 导数(理科)解答题20题-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(原卷版)

导数（理科）解答题20题 1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥1 2x 3+1，求a 的取值范围. 2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设函数()()ln f x a x =-，已知0x =是函数()y xf x =的极值点． （1）求a ； （2）设函数() ()() x f x g x xf x += ．证明:()1g x <． 3．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知函数()ln a f x x x =-． （1）若0a >，证明：()f x 在定义域内是增函数； （2）若()f x 在[1,e]上的最小值为3 2 ，求a 的值． 4．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知0a >且1a ≠，函数()(0)a x x f x x a =>． （1）当2a =时，求()f x 的单调区间； （2）若曲线 () y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 5．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性； （2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：11 2e a b < +<. 6．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(1 2，f (1 2))处的切线与y 轴垂直． （1）求b ． （2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． 7．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版））已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点. （Ⅰ）求a 的取值范围；

高考数学知识点专题精讲与知识点突破：函数(含答案解析)

高考数学知识点专题精讲与知识点突破：函数(含答案解析) 2021高三数学知识点汇总 二、功能 定义图象性质方程型如：y?c?ax?b一元一次函数一元二次函数反比例函数指数函数对数函数三角函数型如：y?x?k(k?0)x对应映射一一映射常用函数方程不等式反函数函数的三要素函数性质图象图象变换图象定义域值域解反解析解析式式定义域值域单调性奇性周性对偶期称性性性关于y=x对称最值平移变换伸缩变换翻转变换一、映射与函数： （1）映射的概念：A和B是两个集合。如果根据相应的定律F，对于其中一个集合a 个元素，在集合b中都有的元素与它对应；记作：； （2）逐个映射：A和B是两个集合，F:A？B是从集合a到集合B的映射 射下，对于集合a中的；在集合b中有；而且b中； （3）函数的概念：如果a和B都是，那么从a到B的映射是f:a？B被称为a到B 的函数，它被写成：； 如：若a?{1,2,3,4}，b?{a,b,c}；问：a到b的映射有个，b到a的映射有 数字有一个从a到B的函数，如果a？{1,2,3}，那么有一个从a到B的一对一映射。 函数y??(x)的图象与直线x?a交点的个数为个。二、函数的三要素：，，。 同一功能的判断方法：①; ② （必须同时提供两点）（1）函数解析式的求解：① 定义方法（拼凑）：例如，已知f（x？11）？x2？2.发现：F（x）；XX② 替换方法：例如，f（3x？1）已知吗？4x？3.求f（x）； ③待定系数法：如：已知f{f[f(x)]}?1?2x，求一次函数f(x)；④赋值法：如：已知2f(x)?f()?x?1(x?0)，求f(x)； （2）函数定义域的解决方案： ①y?1xf(x)，则；②y?2nf(x)(n?n*)则；g(x)③y?[f(x)]0，则；④如： y?logf(x)g(x)，则；⑤含参问题的定义域要分类讨论； 例如：已知函数y？F（x）的域是[0,1]，find？（x） ?？f（x？a）？F（x？A）的定义域。 ⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为r，扇形面积为s，则

专题18三角函数与解三角形解答题20题-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(原卷版)

三角函数与解三角形解答题20题 1．（2019年天津市高考数学试卷（文科）） 在ABC 中，内角A B C ，， 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =. （Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝ ⎭的值. 2．（2021年浙江省高考数学试题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈. （1）求函数2 2y f x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期； （2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝ ⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. 3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分 别为a ，b ，c .已知B =150° . （1）若a 3，b 7ABC 的面积； （2）若sin A 3C 2，求C . 4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． （1）求A ； （222a b c +=，求sin C ． 5．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠； （2）若22DC =BC . 6．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =； （2）若2AD DC =，求cos ABC ∠. 7．（2021年全国新高考II 卷数学试题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．

专题06 函数的图象备战2022年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(解析版)

专题06 函数的图象 【热点聚焦与扩展】 高考对函数图象的考察，形式多样，命题形式主要有，由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决问题等，其重点是根本初等函数的图象以及函数的性质在图象上的直观表达．常常与导数结合考察. 〔一〕根底知识 1、描点法作函数图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2、做草图需要注意的信息点： 做草图的原那么是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图可以显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个生疏的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图象形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定〔详见“知识点讲解与分析〞的第3点〕，这两局部确定下来，那么函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图象更好表达函数的性质，有一些信息点也要在图象中通过计算表达出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常表达的几个信息点： 〔1〕一次函数：y kx b =+,假设直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线. 特点：两点确定一条直线. 信息点：与坐标轴的交点. 〔2〕二次函数：()2 y a x h k =-+，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图象，另一侧由对称性可得.函数先减再增，存在极值点——顶点，假设与坐标轴相交，那么标出交点坐标可使图象更为准确. 特点：对称性 信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点. 〔3〕反比例函数：1 y x = ,其定义域为()(),00,-∞+∞，是奇函数，只需做出正版轴图象即可〔负半轴 依靠对称做出〕，坐标轴为函数的渐近线. 特点：奇函数〔图象关于原点中心对称〕，渐近线. 信息点：渐近线 注： 〔1〕所谓渐近线：是指假设曲线无限接近一条直线但不相交，那么称这条直线为渐近线。渐近线在作图中

2023年高考数学一轮复习提升专练(新高考地区用)3-5 幂函数与一元二次函数(精讲)(解析版)

3.5 幂函数与一元二次函数（精讲）（提升版）思维导图

考点呈现

考点一 幂函数及性质 【例1-1】（2022·全国·高三专题练习）幂函数2 23()(55)()m m f x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞） 上是减函数，则m 的值为（ ） A ．﹣6 B ．1 C ．6 D ．1或﹣6 【答案】B 【解析】∵幂函数2 23()(55)()m m f x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数， ∵2255130 m m m m ⎧+-=⎨-<⎩，且23m m -为偶数1m ∴=或6m =- 当1m =时，232m m -=-满足条件；当6m =-时，2354m m -=，舍去因此：m ＝1故选：B 【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）幂函数2 232m m y x --=是偶函数，在()0,∞+上是减函数，则整数m 的值 为（ ） A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．2 【答案】A 【解析】因为幂函数2 232m m y x --=在()0,∞+上是减函数，所以22320m m --<，解得122 m -<<， 又m Z ∈，所以0m =或1m =， 当0m =时，2 2 1y x x 定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()2211x x =-，所以2y x 是偶函数，满足题意； 当1m =时，3 31y x x -==定义域为()(),00,-∞⋃+∞，而()3311x x =--，所以3y x -=是奇函数，不满足题意， 舍去；综上，0m =.故选：A 【一隅三反】 1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知幂函数()f x x α=的图象经过点(16,4)，则下列说法正确的有（ ） 例题剖析

考向09函数的图象(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(解析版)

考向09 函数的图象 1．（2022年甲卷理科第5题文科第7题）函数x y x x cos )33(--=在区间]2 ,2[π π- 的图象大致为 【答案】A 【解析】设x x f x x cos )33()(--=，)()cos()33()(x f x x f x x -=--=--，所以)(x f 为奇函数，排除BD ，令1=x ，则01cos )33()1(1>-=-f ，排除C ，故选A. 2.（2022年乙卷文科第8题）右图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图象，则函数是 A. 3231x x y x -+=+ B.321x x y x -=+ C. 22cos 1x x y x = + D.2 2sin 1 x y x =+ 【答案】A 【解析】由图象可知函数是奇函数，且1x =，0y ＞,排除B .由3x =，0y ＜，排除D .由3x =-,2y ＞，排除C .故选A . 3.（2022年浙江卷第6题）为了得到2sin3y x =的图象，只要把函数2sin 35y x π⎛ ⎫ =+ ⎪⎝ ⎭ 图象上所有点 A ．向左平移 5 π 个单位长度 B ． 向右平移5 π 个单位长度 C ． 向左平移15 π 个单位长度 D ． 向右平移 15 π 个单位长度 【答案】D 【解析】函数图象平移满足左加右减，2sin 32sin 3515y x x ππ⎡⎤⎛ ⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝ ⎭⎣⎦，因此需要将函数图象向

右平移 15 π 个单位长度，可以得到2sin3y x =的图象。故本题选D ． 1.函数图象的识辨： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 2.函数图象的画法 （1）直接法：函数解析式（或变形后的解析式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象； （2）转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象； （3）变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注图象变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响。 3.函数图象的识别 (1)抓住函数的性质，定性分析 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (2)抓住函数的特征，定量计算 利用函数的特征点、特殊值的计算，分析解决问题． 1．函数图象平移变换的八字方针 (1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值． 2．函数图象自身的轴对称 (1)f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称． (2)函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )． (3)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称． 3．函数图象自身的中心对称 (1)f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于原点对称． (2)函数y ＝f (x )的图象关于(a ，0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )． (3)函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称⇔f (a ＋x )＝2b －f (a －x )⇔f (x )＝2b －f (2a －x )．

2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题08：函数值域的常见求法(讲解版)

专题08：函数值域的常见求法 精讲温故知新 一 求函数值：特别是分段函数求值 例1 已知函数1 1, 1()2,1 x f x x x a x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上满足：对任意12x x ≠，都有()()12f x f x ≠，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞ B ．(,2]-∞- C ．[2,)+∞ D ．[2,)-+∞ 【答案】C 【分析】 根据题意，得到1 1, 1()2,1 x f x x x a x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递减，进而可求出结果. 【详解】 由题意，得到1 1, 1()2,1 x f x x x a x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递减， 因此只需112a -≤-+，解得2a ≥. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查由分段函数单调性求参数，属于基础题型. 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

1.利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域 为R ； 反比例函数 )0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ， 当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≤ }. 例2 求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②） （3x 1x 32 )(≤≤-=x f ③ x x y 1 + =（记住图像） 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3， ∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②略 ③ 当x>0，∴x x y 1 +==2)1(2+- x x 2≥， 当x<0时，)1 (x x y -+--==－2)1(2--- -x x -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数x x y 1 + =的图像为： 2.二次函数在区间上的值域(最值)： 例3 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②；]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 解：∵3)2(1422--=+-=x x x y ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R ， ∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2∉[3,4]，当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；

备战高考数学(精讲+精练+精析)专题7.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划试题(江苏版)(含解析

专题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划【三年高考】 1. 【2016高考江苏12】已知实数,x y满足 240 220 330 x y x y x y -+≥ ⎧ ⎪ +-≥ ⎨ ⎪--≤ ⎩ ， ， ， 则22 x y +的取值范围是 . 【答案】 4 [,13] 5 【考点】线性规划 【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围. 2．【2016高考浙江理数改编】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域 20 340 x x y x y -≤ ⎧ ⎪ +≥ ⎨ ⎪-+≥ ⎩ 中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│= ． 【答案】32

考点：线性规划． 【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定AB 的值．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误． 3.【2016年高考北京理数改编】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪ +≤⎨⎪≥⎩ ，则2x y +的最大值为 ． 【答案】4 【解析】 试题分析：作出如图可行域，则当y x z +=2经过点P 时，取最大值，而)2,1(P ，∴所求最大值为4． 考点：线性规划. x y O P

【名师点睛】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围.若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察z 的大小变化，得到最优解. 4．【2016年高考四川理数改编】设p ：实数x ，y 满足22 (1)(1)2x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩ 则p 是q 的 ．（在必要不充分条件、充分不必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选填） 【答案】必要不充分条件 【解析】 试题分析：画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故是必要不充分条件. 考点：1.充分条件、必要条件的判断；2.线性规划. 【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考，本题条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得结论． 5．【2016高考浙江文数改编】若平面区域30, 230,230x y x y x y +-≥⎧⎪ --≤⎨⎪-+≥⎩ 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平 行直线间的距离的最小值是 . 35 2 C. 32 2 5 2

2023年高考数学一轮复习提升专练(新高考地区用)3-2-1 函数的性质(一)(精讲)(解析版)

3.2.1 函数的性质（一）（精讲）（提升版）思维导图

考点呈现

考点一 单调区间（无参） 【例1-1】（2022·贵州）函数 2()ln(231)f x x x =-+的单调递减区间为（ ） A ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．(1,)+∞ 【答案】B 【解析】在函数2()ln(231)f x x x =-+中，由22310x x -+>得12 x <或1x >，则()f x 的定义域为1(,)(1,)2 -∞+∞，函数2231u x x =-+在1(,)2-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，又ln y u =在(0,)u ∈+∞上单调递增，于是得()f x 在1(,)2 -∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以函数()f x 的单调递减区间为1(,)2 -∞.故选：B 【例1-2】（2022·广东）函数()232f x x x =-+的单调递增区间是（ ） A ． 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ． 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[)2,+∞ C ．(],1-∞和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ． 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝ ⎭和[)2,+∞ 【答案】B 【解析】222232,13232,1232,2x x x y x x x x x x x x ⎧-+≤⎪=-+=-+-<<⎨⎪-+≥⎩ 例题剖析

如图所示： 函数的单调递增区间是31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 和[)2,+∞．故选：B. 【例1-3】（2022·湖北）函数2()sin 2cos f x x x =--的单调递增区间是（ ） A ．[]2π,(21)πk k +()k ∈Z B ．ππ2π,2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C ．[](21)π,2πk k -()k ∈Z D ．π3π2π,2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 【答案】A 【解析】22()sin 2cos cos 2cos 1f x x x x x =--=--， 设cos t x =，则[1,1]t ∈-，2221(1)2y t t t =--=--， 函数2()sin 2cos f x x x =--是由cos t x =和2221(1)2y t t t =--=--复合而成， 当[1,1]t ∈-时，2221(1)2y t t t =--=--是减函数； 若求2()cos 2cos 1f x x x =--的单调递增函数， 只需求cos t x =的单调递减区间， 当[2π,(21)π]x k k ∈+()k ∈Z 时，cos t x =为减函数， 所以函数()f x 的单调递增区间是[2π,(21)π]k k +()k ∈Z . 故选：A. 【例1-4】（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a += -+在()1,+∞上是减函数，则实数a 的范围是_______. 【答案】(2,4]- 【解析】函数5()3x f x x a += -+，定义域为(,3)(3,)x a a ∈-∞-⋃-+∞， 又322()133 x a a a f x x a x a -++++==+-+-+，