数理统计中常见习题
《数理统计习题》
一、填空题
1、设12,,
,n X X X 为总体X 的一个样本，如果1(X ,,X )n g 中 ，则称
1(X ,,X )n g 为一个统计量。
2、设总体2(,)X
N μσ，σ已知，则在求均值μ的区间估计时所用的枢轴量为
3、设总体X 服从正态分布，根据来自总体的容量为100的样本，测得字样均值为5，标准差为1，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为
4、假设检验的统计思想是
5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个样本检验这批产品废品率是否高于5%，此问题的原假设为
6、某地区的年降雨量2(,)X
N μσ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为（单
位:mm ）587 672 701 640 650 ，则2σ的矩估计值为_______________ 7、设两个相互独立的样本1221,,
,X X X 与125,,,Y Y Y 分别取自正态总体N （1，4）与N
（2，1），22
12,S S 分别为他们的样本方差，若22222
211
22
(20),()(4)aS a b S χχχχ==+，
则a=_________，b=_________ 8、假设随机变量(n)X t ，则
21
X
服从分布________ 9、假设随机变量(10)X t ，已知2(X )0.05P λ≥=，则λ=___________
10、设样本1216,,
,X X X 来自标准正态分布总体N （0，1），X 为样本均值，若
(X )0.99P λ>=，则λ=_________
11、假设样本1216,,,X X X 来自正态总体2
(,)N μσ，令1016
1
11
34i i i i Y X X ===-∑∑，则Y 的分
布为________________ 12、设样本1210,,
,X X X 来自标准正态分布总体N(0,1)，2,X S 分别为样本均值与样本方
差，令2
2
10X Y S
=，若已知(Y )0.01P λ≥=，则λ=___________ 13、如果1ˆθ，2ˆθ都是总体中未知参数θ的估计量，若满足______________，则称1ˆθ比2
ˆθ有效。
14、假设样本12,,
,n X X X 来自正态总体2
(,)N μσ，1
2
211
ˆ(X X )n i i i C σ
-+==-∑是2σ的一个无偏估计量，则C=__________ 15、假设样本129,,
,X X X 来自正态总体(,0.81)N μ，测得样本均值5x =，则μ的置信
度为0.95的置信区间为____________ 16、假设样本12100,,
,X X X 来自正态总体2(,)N μσ，其中2,μσ均未知，测得样本均值
5x =，样本方差21s =，则μ的置信度为0.95的置信区间为____________
17、假设样本1216,,
,X X X 来自正态总体2(,)N μσ，其中2,μσ均未知，计算得
16
1
114.7516i i X ==∑，则原假设0:15H μ=的t 检验所选用的统计量为__________ 二、选择题
1、下列结论不正确的是（ ）
A 、设随机变量X ，Y 都服从标准正态分布，且相互独立，则2
2
2(2)X Y χ+
B 、X ，Y 独立，22(10),(15)X
X Y χχ+，则2(5)Y χ
C 、假设样本12,,
,n X X X 来自正态总体2(,)N μσ，X 为样本均值，则
2
22
1
(X X)(n)n
i i χσ
=-∑
D 、12,,
,n X X X 与12,Y ,
,Y n Y 均来自正态总体2(,)N μσ的样本，且相互独立，,X Y 分
别为样本均值，则
2
1
2
1
(X X)
(n 1,n 1)(Y )
n
i
i n
i
i F Y ==----∑∑
2、设1ˆθ，2ˆθ是参数θ的两个估计量，则下面说法正确的是（ ） A 、若12ˆˆ()D()D θθ>，则称1ˆθ为比2ˆθ有效的估计量。 B 、若12ˆˆ()D()D θθ<，则称1ˆθ为比2
ˆθ有效的估计量。 C 、若1ˆθ，2ˆθ是参数θ的两个无偏估计量，且12ˆˆ()D()D θθ>，则称1ˆθ为比2ˆθ有效的估计量。 D 、若1ˆθ，2ˆθ是参数θ的两个无偏估计量，且12ˆˆ()D()D θθ<，则称1ˆθ为比2
ˆθ有效的估计量。
3、下面不正确的是（ ）
A 、1u u αα-=-
B 、22
1(n)(n)ααχχ-=- C 、1(n)t (n)t αα-=- D 、11
(n,m)(m,n)
F F αα-=
4、总体均值的区间估计中，正确的是（ ）
A 、置信度1α-一定时，样本容量增加，则置信区间长度变长；
B 、置信度1α-一定时，样本容量增加，则置信区间长度变短；
C 、置信度1α-增大，则置信区间长度变短；
D 、置信度1α-减少，则置信区间长度变短；
5、对于给定的正数(0,1)α∈，设u α是标准正态分布的下α分位数，则有（ ） A 、2
(U u )1P αα<=- B 、2
(|U |u )P αα<=
C 、2
(U u )1P αα>=- D 、2
(|U |u )P αα>=
6、某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布2
00(,)N μσ，参数都已知，现从某日生产的一批产品中随机抽取16缕进行支数测量，求得样本均值和样本方差，要检验细纱支数的均匀度是否变劣，则应提出假设（ ）
A 、00:H μμ= 10:H μμ≠
B 、00:H μμ= 10:H μμ>
C 、2200:H σσ= 2210:H σσ≠
D 、22
00:H σσ= 2210:H σσ>
7、设样本12,,
,n X X X 来自正态总体21(,)N μσ，样本12,Y ,,Y m Y 来自正态总体
22(,)N μσ，则
2
1
12
2
1
(X )(Y )
n
i i m
i
i μμ==--∑∑的分布为（ ）
A 、F(n,m)
B 、F(n -1,m -1)
C 、F(m,n)
D 、F(m -1,n -1) 8、设12,x ,,x n x 为来自正态总体2(,)N μσ的样本观测值，参数未知，则2σ的极大似然
估计为（ ）
A 、2
11(x x)n i i n =-∑ B 、11(x x)n i i n =-∑ C 、211(x x)1n i i n =--∑ D 、1
1(x x)1n i i n =--∑ 9、设总体X 服从区间[0,]θ上的均匀分布，取样本12,,,n X X X ，则未知参数θ的极大似
然估计量为（ ）
A 、2X
B 、12max(,,
,)n X X X C 、12min(,,,)n X X X D 、不存在
10、在假设检验中，记0H 为原假设，则犯第一类错误的概率是（ ）
A 、0H 成立而接受0H
B 、0H 成立而拒绝0H
C 、0H 不成立而接受0H
D 、0H 不成立而拒绝0H
三、计算题
1、设总体(12,4)X
N ，抽取容量为5的样本，求：
（1）样本均值大于13的概率；（2）样本的最小值小于10的概率；（3）样本最大值大于15的概率 2、设总体(10,4)X
N ，129,,,X X X 为来自总体X 的一个样本，X 为样本均值，求
(X 11)P ≥
3、设12,,,n X X X 来自正态总体(10,4)N ，求满足(9.02X 10.98)0.95P ≤≤=的样本容
量n 的大小。
4、设随机变量X 的概率密度函数为(x )
(x)e
,f x θθ--=≥，12,,,n X X X 为来自总体X 的
样本，求参数θ的矩估计和极大似然估计。
5、在测量反应时间中，一位心理学家估计得标准差是0.05秒，为了以0.95的置信度使得平均反应时间的估计误差不超过0.01秒，那么测量的样本容量n 最小应取多少？
6、设随机变量(,1)X
N μ，1210,,,X X X 为来自总体X 的样本，要在0.05的水平下检
验0:0H μ= 1:0H μ≠，取拒绝域{|x |c}W =≥，
（1）?c = （2）若已知1x =，是否可以据此判断0μ=成立？（3）如果以
{|x | 1.15}W =≥作为拒绝与，试求该检验的显著性水平。
7、某种导线的电阻2(,0.005)X
N μ，现从新生产的一批导线中抽取9根，得样本标准差
0.009s =Ω，
（1）对于0.05α=，能否据此认为新生产的一批导线的稳定性无变化？
（2）求总体方差2σ的0.95置信区间。
8、某地区小麦的一般生产水平为亩产250kg ，其标准差为30kg ，现用一种化肥进行试验，从25个小区抽样结果为平均产量270kg ，问这种化肥是否使小麦明显增产？
9、某商店采用四种不同的方式推销商品，为检验不同的方式推销商品的效果是否有显著差
计算F 统计量，并在5%的显著性水平下做统计决策。
（1） 建立儿子身高y 关于父亲身高x 的回归直线方程ˆy
a bx =+。 （2） 如果回归模型为y a bx ε=++，2(0,)N εσ，试给出参数2σ的一个无偏估计。
（3） 检验 01:0:0H b H b =↔≠
四、证明题
1、若随机变量(n)T
t ，则2(1,n)T F
2、设总体X 的密度函数为1
(x),0x
f e x λ
λ
-
=>，证明：X 是λ的无偏估计，
1X 不是1
λ
的无偏估计。 3、设总体(0,)X
U θ，证明：1ˆ2X θ=，2(n)ˆ1
n X n θ=+都是参数θ的无偏估计，且2
ˆθ较1ˆθ更有效。
数理统计的基本知识习题
第八章假设检验习题 1．某种零件的尺寸方差为σ2=1.21，对一批这类零件检验6件得尺寸数据（毫米）为： 32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03 取α=0.05时，问这批零件的平均尺寸能认为是30.50毫米？（设零件尺寸服从正态分布）2．五名学生彼此独立地测量同一块土地，分别测量得面积为：（公里2）： 1.27 1.24 1.21 1.28 1.23 设测定值服从正态分布，试根据这些数据检验这块土地的面积是否为1.23 （公里2），取α=0.05 3．一种元件，要求其使用寿命不得低于1000小时，现在从一批这种元件中随机抽取25件测得其寿命平均值为950小时，已知该种元件寿命服从标准差σ=100小时的正态分布，试在显著性水平α=0.05下确定这批元件是否合格。 4．某工厂欲引入一台新机器，由于价格较高，故工程师认为只有在引入该机器能使产品的生产时间平均缩短8.05％方可采用，现随机进行6次试验，测得平均节约时间4.4％，样本标准差为0.32％，设新机器能使生产时间缩短的时数服从正态分布，问该厂是否引进这台新机器？（α=0.05） 5．某商店人员到工厂去验收一批产品，双方协议产品中至少只要有60％的一级品，今抽查了600件产品，其中有一级品346件，问可否接收这批产品？（α=0.05） 6．某香烟厂生产两种香烟，独立地随机抽取容量大小相同的烟叶标本测其尼古丁含量的毫克数，实验实分别做了六次试验测定，数据记录如下： 甲27 28 23 26 30 22 乙28 23 30 25 21 27 试问这两种尼古丁含量有无显著差异？已知α=0.05，假定香烟尼古丁含量服从正态分布，且方差齐性。 7．为了降低成本，想变更机件的材质，试研究：材质变化后，零件外径的方差是否改变了？原来材质的零件外径标准差为0.33毫米，材质变更后，零件外径尺寸的数据如下，（α=0.05） 32.54 35.08 34.88 35.71 33.98 34.96 35.17 35.26 34.77 35.47 8．在某机床上加工的一种零件的内径尺寸，据以往经验服从正态分布，标准差为σ＝0.033，某日开工后，抽取15个零件测量内径，样本标准差S＝0.050，问这天加工的零件方差与以往有无显著差异？（α=0.05） （α=0.05）
数理统计练习题(1)
数理统计练习题 一、填空题 1、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2 ˆθ有效。 2、已知总体X ~ N (0, 1)，设X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的简单随机样本，则∑=n i i X 1 2 ~ 。 3、设n X X X ,,,21 是来自总体X ~ N (0, 1)的简单随机样本，则 ∑=-n i i X X 1 2)(服从的分布为 。 4、X 1，X 2，…，X n 是取自总体( )2 ,σ μN 的样本，则 2 12 )(σ∑=-n i i X X ～ 。 5、设)(~),1,0(~2 n x Y N X ，且X ，Y 相互独立，则~n Y X 。 6、已知总体n X X X N X ,,,),,(~212 σμ是来自总体X 的样本，要检验2 02σσ=：o H ，则采用的统计 量是 。 7、设随机变量T 服从自由度为n 的t 分布，若{} αλ=>T P ，则{ }=<λT P 。 8、若n X X X N X ,,,),,(~2121 σμ是来自总体X 的样本，2 ,S X 分别为样本均值和样本方差，则 S n X )(μ-~ 。 9、设总体 ),(~2 σμN X ，X 是样本均值，则)(X D ________ . 10、假设子样 16 21,,,X X X 来自正态母体 ),(2 σμN ，令∑∑==-=16 11 101 43i i i i X X Y ，则Y 的分布 为 . 二、选择题 1、设12, X X 是来自总体X 的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是( )。 A. 121122X X μ= + B. 121233X X μ=+ C. 121344X X μ=+ D. 1223 55 X X μ=+ 2、设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2 N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是（ ）。 A. )(~/21 n t n X -； B. )1,(~)1(4112n F X n i i ∑=-； C. )1,0(~/21N n X -； D. )(~)1(41212n X n i i χ∑=-； 3、设总体)2,(~2 μN X ，其中μ未知，n X X X ,,,21 为来自总体的样本，样本均值为X ，样本方差 为2 s ， 则下列各式中不是统计量的是（ ）。 A. X 2 B. 2 2 σs C. σ μ -X D. 2 2 )1(σs n - 4、在假设检验中, 下列说法错误的是（ ）。
数理统计习题及答案
1一批出厂半年的人参营养丸的潮解率为8%，从中抽取20丸，求恰有一丸潮解的概率。 32816.0)1()1(,20,08.0=-====-k n k k n p p C k P n p 2．设X ～N （μ，σ2），试求P{ |X-μ| ≤1.96σ}=? 95 .0025.0975.0)96.1()96.1() 96.1()96.1( )96.1()96.1()96.196.1(}96.1{=-=-Φ-Φ=--Φ--+Φ=--+=+≤≤-=≤-σ μ σμσμσμσμσμσμσμσμF F X P X P 3．已知某药品中某成份的含量在正常情况下服从正态分布，标准差σ=0.108，现测定9个样本，其含量的均数X=4.484，试估计药品中某种成份含量的总体均数μ的置信区间（α=0.05）。 3、解：置信区间为 ) 55456.4,41344.4(9 108.096.1484.42 _ =⨯ ±=±n u x σ α 4．某合成车间的产品在正常情况下其收率X ～N （μ，σ2），通常收率的标准差σ=5%以内就可以认为生产是稳定的，现生产9批，得收率（%） 为：73.2，78.6，75.4，75.7，74.1，76.3，72.8，74.5，76.6。问此药的生产是否稳定？(α=0.01) 4、解：H 0：σ≤5 H 1：σ>5 n=9，s=1.81873，选择统计量 058489.125484 .26)1(2 2 2 == -= σχs n 令α=0.01，查临界值表得6465.1)8(201.0=χ，0902.20)8(2 99.0=χ 比较统计量的数值和临界值，1.<1.6465，从而不能否定原假设H 0，即总体的标准差在5%以内，生产是稳定的。 5 中药研究所，用中药青兰试验其在改变兔脑血流图所起的作用，
数理统计习题
习 题 4.1 1．为了解物流工程专业本科毕业生的就业情况，调查了某地区35名2009年毕业的物流工程专业本科生实习期满后的月薪情况．问：（1）该研究的总体是什么？（2）该研究的样本是什么？（3）样本容量是多少？ 2．从某城市的某个社区的职工家庭中随机抽取8户，调查得每人平均月收入（单位：元）为：3 050，2 760，4 580，3 050，5 120，6 230，6 850，7 360．写出总体，样本，样本值，样本容量． 3．12,,,n X X X 是总体X 的简单随机样本的条件是什么？ 4．在研究某社区人口的年龄分布时，把全社区的每个人的年龄分别写在卡片上，把所有卡片都放进一个盒子里，再随机抽取100张，抽到的卡片能作为简单随机样本吗？ 5．设~(1,)(1,2,,10)i i X B p i = ，其中i p 不全相等，试问1210,,,X X X 是否为某个总体的简单随机样本？为什么？ 6．已知总体X 服从参数为λ的泊松分布，12,,,n X X X 是取自总体X 的样本，求 ()i E X ，()i D X ． 7．设电子原件的寿命（小时）~(0.001,5)X E ，独立测试6个元件并记下它们的失效时间，求：（1）至800小时，没有一个元件失效的概率；（2）至3 000小时，所有元件都失效的概率． 8．设电话交换台一小时内的呼叫次数X 服从参数为λ的泊松分布，求取自这一总体的简单随机样本12,,,n X X X 的分布列． 9．设总体X 在区间[0,]θ上服从均匀分布，求取自总体X 的样本12,,,n X X X 的密度函数． 10．某厂生产的电容器的使用寿命X 服从参数为λ的指数分布，为了研究其平均寿命，从中抽取容量为n 的样本12,,,n X X X ，求该样本的密度函数．
数理统计题目
1.已知维尼纶纤维在正常条件下服从正态分布，且标准差0.048，从某天产品中抽取5根纤维，测得其纤度为1.32,1.55,1.36,1.40,1.44，问这一天纤度的总体标准差 否（是/否）正常。 解：这是一个关于正态总体方差的双侧检验问题，待检验的原选择和备择假设分别为 048 .02 2 0H =σ： VS 048 .02 21H ≠σ： 此处n=5，若取显著性水平α=0.05，查表知2025.0χ（4）=0.4844,2975.0χ（4）=11.1433，故拒绝域为W={1433.1104844.022≥≤χχ或}，由样本数据可计算得到 2 χ 1433.115069.13048 .003112 .0)12 202>==-=σs n （ 因此拒绝0Ｈ，认为这一天纤度的总体标准差不正常。 2.设总体X~N （0，σ2）,X 1,…,X 10,…,X 15为总体的一个样本.则 Y=() 2 15 2122112 10 2 22 12X X X X X X ++++++ 服从 分布,参数为 . 【解】 ~(0,1),i X N σ i =1,2,…,15. 那么 122 2 10 15 2 222 111~(10),~(5)i i i i X X χχχχσσ==????== ? ? ???? ∑∑ 且1 2χ与2 2χ相互独立, 所以 222110122 211152/10 ~(10,5)2()/5 X X X Y F X X X ++==++ 所以Y~F 分布，参数为（10,5）
3.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计. 【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np=X 所以p 的矩估计量 ?X p n = 4.设^θ(X1,X2,…,Xn)是θ的估计量，若_________，则称^θ为θ的无偏估计量，否则称为θ的有偏估计量。 【解】 对一切θ∈Θ，E(^θ)=θ 5.设总体为均匀分布U (0, θ )，X1 , …, X n 是样本，考虑检验问题 H0：θ ≥ 3 vs H1：θ < 3， 拒绝域取为W = { x (n)≤ 2.5}，若要使得该最大值α不超过 0.05，n 至少应取____. 答案为17 6． 从一批电子元件中抽取 8 个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h ）： 1050，1100，1130，1040，1250，1300，1200，1080， 试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计．
数理统计中常见习题
《数理统计习题》 一、填空题 1、设12,,,n X X X 为总体X 的一个样本，如果1(X ,,X )n g 中，则称1(X ,,X )n g 为一个统计量。 2、设总体2(,)X N μσ ，σ已知，则在求均值μ的区间估计时所用的枢轴量为 3、设总体X 服从正态分布，根据来自总体的容量为100的样本，测得字样均值为5，标准差为1，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 4、假设检验的统计思想是 5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个样本检验这批产品废品率是否高于5%，此问题的原假设为 6、某地区的年降雨量2(,)X N μσ ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为（单位:mm ）587 672 701 640 650 ，则2σ的矩估计值为_______________ 7、设两个相互独立的样本1221,,,X X X 与125,,,Y Y Y 分别取自正态总体N （1，4）与N （2，1），22 12 ,S S 分别为他们的样本方差，若22222 21122(20),()(4)aS a b S χχχχ==+ ， 则a=_________，b=_________ 8、假设随机变量(n)X t ，则 21 X 服从分布________ 9、假设随机变量(10)X t ，已知2 (X )0.05P λ≥=，则λ=___________ 10、设样本1216,,,X X X 来自标准正态分布总体N （0，1），X 为样本均值，若 (X )0.99P λ>=，则λ=_________ 11、假设样本1216,,,X X X 来自正态总体2 (,)N μσ，令10 16 1 11 34i i i i Y X X ===-∑∑，则Y 的分 布为________________ 12、设样本1210,,,X X X 来自标准正态分布总体N(0,1)，2 ,X S 分别为样本均值与样本方 差，令22 10X Y S =，若已知(Y )0.01P λ≥=，则λ=___________ 13、如果1?θ，2?θ都是总体中未知参数θ的估计量，若满足______________，则称1?θ比2 ?θ有效。 14、假设样本12,,,n X X X 来自正态总体2(,)N μσ，12 21 1 ?(X X )n i i i C σ -+==-∑是2σ的一个
第6章数理统计的基本概念习题及答案
第六章 数理统计的基本概念 一.填空题 1.若n ξξξ,,,21Λ是取自正态总体),(2σμN 的样本， 则∑==n i i n 11ξξ服从分布)n ,(N 2 σμ. 2.样本),,,(n X X X Λ21来自总体),(~2 σμN X 则~)(22 1n S n σ -) (1χ2-n ； ~)(n S n X μ- _)(1-n t __。其中X 为样本均值，∑=--=n i n X X n S 122 11)(。 3.设4321X X X X ,,,是来自正态总体).(220N 的简单随机样本， +-=221)2(X X a X 2 43)43(X X b -，则当=a 20 1=a 时，=b 1001=b 时，统计量X 服从2 X 分布，其自由度为 2. 4. 设随机变量ξ与η相互独立, 且都服从正态分布(0,9)N , 而129(,,,) x x x L 和 129(,,,) y y y L 是分别来自总体ξ和η的简单随机样本, 则统计量 ~U =(9)t . 5. 设~(0,16),~(0,9),,X N Y N X Y 相互独立, 129,,,X X X L 与1216 ,,,Y Y Y L 分别 为X 与Y 的一个简单随机样本, 则22 2129222 1216X X X Y Y Y ++++++L L 服从的分布为(9,16).F 6. 设随机变量~(0,1)X N , 随机变量2~()Y n χ, 且随机变量X 与Y 相互独立, 令T =, 则2~T F (1,n )分布. 解： 由T =, 得22 X T Y n =. 因为随机变量~(0,1)X N , 所以22~(1).X χ
数理统计练习题
数理统计 一、填空题 1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。 2、设母体σσμ),,(~2N X 已知，则在求均值μ的区间估计时，使用的随机变量为 3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 4、假设检验的统计思想是 。 5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%，此问题的原假设为 。 6、某地区的年降雨量),(~2σμN X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为：(单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2σ的矩估计值为 。 7、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2N 与)1,2(N ， 2 *22*1,S S 分 别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,S b a aS +==χχ，已知)4(~),20(~222221χχχχ，则 __________,==b a 。 8、假设随机变量)(~n t X ，则 2 1 X 服从分布 。 9、假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2 σμN ，令∑∑==-=16 11 10 1 43i i i i X X Y ，则Y 的分布 10、设子样1021,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X 与2S 分别是子样均值和子样方差，令 2*2 10S X Y =，若已知01.0)(=≥λY P ，则____=λ。 11、如果,?1θ2?θ都是母体未知参数θ的估计量，称1?θ比2 ?θ有效，则满足 。 12、假设子样921,,,X X X 来自正态母体)81.0,(μN ，测得子样均值5=x ，则μ的置信度是95.0的置信区间为 。 13、假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2 σμN ，μ与2 σ未知，计算得75.1416116 1 =∑=i i X ，则原假 设0H ：15=μ的t 检验选用的统计量为 。 二、选择题 1、下列结论不正确的是 ( ) ① 设随机变量Y X ,都服从标准正态分布，且相互独立，则)2(~222χY X +
数理统计练习题
练习一 1.(1)设A ，B ，C 是三个事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求A,B,C 至少有一个发生的概率。 (2)已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10,P(AC)=1/15,P(BC)=1/20，P(ABC)=1/30，求C B A C B A C B A C B A B A B A ,,,,,的概率。 (3)已知P(A)=1/2,(i)若A,B 互不相容，求)(B A P ,(ii)若P(AB)=1/8,求)(B A P 。 2.10片药片中有5片时安慰剂。 (1)从中任意抽取5片，求其中至少有2片时安慰剂的概率。 (2)从中每次取一片，作不返回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率。 3.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到订货的概率是多少？ 4. (1)已知 5.0)(,4.0)(,3.0)(===B A P B P A P ，求条件概率)B A |( B P . (2)已知P(A)=1/4,P(B |A )=1/3,P(A |B )=1/2,求)(B A P . 5.据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律： P{孩子得病}＝0.6，P{母亲得病|孩子得病}=0.5, P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率． 6.(1)设甲袋中装有n 只白球、m 只红球；乙袋中装有N 只白球、M 只红球。今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球．问取到白球的概率是多少? (2)第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球．先从第一盒中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球．求取到白球的概率。 7.己知男子有5％是色盲患者，女子有0.25％是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲者，问此人是男性的概率是多少? 8.将两信息分别编码为A 和B 传送出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01．信息A 与信息B 传送的频繁程度为2：1．若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少?
数理统计习题课
数 理 统 计 习 题 课 1．设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中μ是已知的，而2σ未知的， ),,(321X X X 是从总体中抽取的一个简单随机样本。 （1） 求),,(321X X X 的密度函数； （2） 指出321X X X ++，μ2+X ，),,min(321X X X ，∑ =3 12 2 i i X σ， 2 1 3X X -之中，哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？ 解 （1）∑ =--= 31222)(3 )2(1)3 ,2,1(i i x e x x x f σμσπ （2）321X X X ++，μ2+X ，),,min(321X X X ， 2 1 3X X -都是统计量，因为它们均不包含任何未知参数；而∑ =3 1 2 2 i i X σ中包含未知参数2σ，所以 它不是一个统计量。
2（1）设),,,(21n X X X 为总体X 的样本，0>i a ，n i ,,2,1 =，且11 =∑=n i i a ， 试证i n i i X a ∑=1 是EX 的无偏估计。 （2）试证在EX 所有形如01 >∑=i n i i X a ，（0>i a ，n i ,,2,1 =，11 =∑=n i i a ） 的无偏估计中，以X 最为有效。 解： （1） 因EX EX a X a E n i i i n i i i ==∑∑==1 1 )(，故i n i i X a ∑=1 是EX 的无偏估计。 （2） 由∑∑==≤n i i n i i a n a 1 2 2 1 ) ( ，所以 21 )(1 1∑===n i i a DX n DX n X D DX a a n n DX n i i n i i ∑∑===≤1 212 1 )(1 ∑==n i i i X a D 从而在EX 的所有形如i n i i X a ∑=1 的无偏估计中，以X 最为有效。
数理统计习题
第一章 数据的描述和整理 1．测得10名接触某种病毒的工人的白细胞（109/L ）如下： 7.1，6.5，7.4，6.35，6.8，7.25，6.6，7.8，6.0，5.95 （1）计算其样本均值、方差、标准差、标准误和变异系数。 （2）求出该组数据对应的标准化值； （3）计算其偏度。 解：（1）75.6795.55.61.710 1=+++=∑= i i x ，n =10 =+++=∑=22210 1 295.55.61.7 i i x 462.35 样本均值775.610 75 .6711== =∑=n i i x n x 方差)(111 22 2 ∑=--= n i i x n x n S 371.0)775.61035.462(912=?-= 标准差2S S ==371.0≈0.609 标准误193.040 609.0=== n S S x 变异系数CV = %100| |?x S = %100775.6609.0?=8.99%； （2）对应的标准化值公式为 609 .0775.6-=-= i i i x S x x u 对应的标准化值为 0.534,-0.452,1.026,-0.698,0.041,0.78,-0.287,1.683,-1.273,-1.355； （3）3 3)2)(1()(S n n x x n S i k ---= ∑=0.204。 2. 已知某年某城市居民家庭月人均支出分组数据如下表所示 按月人均支出分组（元） 家庭户数占总户数的比例（%） 200以下 1.5
200～ 500～ 800～ 1000以上 18.2 46.8 25.3 8.2 合计 100 试计算（1）该市平均每户月人均支出的均值和标准差； （2）并指出其月人均支出的中位数与众数所在组。 解：（1）由原分组数据表可得 支出分组（元） 组中值 比例（%） 200以下 200～ 500～ 800～ 1000以上 100 350 650 900 1100 1.5 18.2 46.8 25.3 8.2 则 3.6872.811002.183505.1100100 1151=?++?+?=≈∑=）（i i i f m n x )(115 1 22 2 ∑=--≈ i i i x n f m n S 39.524683.68752.811002.183505.110099 12222=?-?++?+?= ） （ 06.22939.524682===S S ； （2）由原分组数据表可得 支出分组（元） 比例（%） 累积比例（%） 200以下 200～ 500～ 800～ 1000以上 1.5 18.2 46.8 25.3 8.2 1.5 19.7 66.5 91.8 100 中位数所在组，即累积比例超过50的那个最低组，即为500～组。
数理统计试题
<数理统计>试题 一、填空题 1．设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2σN 的简单随机样本，2 σ已知，令 ∑==16 1161i i X X ，则统计量σ -164X 服从分布为 （必须写出分布的参数）。 2．设),(~2 σμN X ，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X 中抽取的样本，则μ的矩估计值为 。 3．设]1,[~a U X ，n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本，求a 的矩估计为 。 4．已知2)20,8(1.0=F ，则=)8,20(9.0F 。 5．θ?和β?都是参数a 的无偏估计，如果有 成立 ，则称θ?是比β?有效的估计。 6．设样本的频数分布为 则样本方差2s =_____________________。 7．设总体X~N （μ，σ2），X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的样本，X 为样本均值，则D （X ）＝________________________。 8．设总体X 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ未知，X 1，X 2，…，X n 为其样本。若假设 检验问题为1H 1H 2120≠?σσ：＝：，则采用的检验统计量应________________。 9．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值（x 1,x 2, …，x n ）落 入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为_____________________。 10．设样本X 1，X 2，…，X n 来自正态总体N （μ，1），假设检验问题为：， ：＝：0H 0H 10≠?μμ 则在H 0成立的条件下，对显著水平α，拒绝域W 应为______________________。 11．设总体服从正态分布 (,1)N μ，且μ未知，设1,,n X X 为来自该总体的一个样本，记 1 1n i i X X n ==∑，则μ的置信水平为1α-的置信区间公式是 ；若已知10.95α-=， 则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n 至少要取__ __。
[理学]概率论与数理统计练习题含答案
第一章 随机事件及其概率 练习： 1. 判断正误 （1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。（B ） （2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。（B ） （3）事件的对立与互不相容是等价的。（B ） （4）若()0,P A = 则A =?。（B ） （5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。 （B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ??（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别， {()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P {}1 =3 两个女孩。 （B ） （8）若P(A)P(B)≤，则?A B 。（B ） （9）n 个事件若满足,,()()() i j i j i j P A A P A P A ?=，则n 个事件相互 独立。（B ） （10）只有当A B ?时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（A ） 2. 选择题 （1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则?
A. A 与B 互斥 B. AB 是不可能事件 C. AB 未必是不可能事件 D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C) A. P(A)-P(B) B. P(A)-P(B)+P(AB) C. P(A)-P(AB) D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D) A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销” B. “甲乙两种产品均畅销” C. “甲种产品滞销” D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销” （4）若A, B 为两随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ?===，则()P AB 等于(B) A. ()a c c + B . 1a c +- C. a b c +- D. (1)b c - （6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B) A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ? D. A B ? （7）设0 1、 离散型随机变量X 的分布律为P （X=x i ）=p i ，i=1.2…..，则 11 =∑=n i i p 2、 设两个随机变量X ，Y 的联合分布函数F （x ，y ），边际分布Fx （x ），Fy （y ），则X 、Y 相互独立的条件是)()(),(y F x F y x F Y X •= 3、 X 1,X 2,….X 10是总体X~N （0，1）的样本，若2 102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ,则ξ的上侧分位 数025.0ξ= 解：因为X~N （0，1），所以2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ~)10(2 χ，查表得025.0ξ=20.5 4、 设X~N （0，1），若Φ（x ）=0.576，则Φ（-x ）= 解：Φ（-x ）=1-Φ（x ）=1-0.576=0.424 5、设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2 σμN X 的样本，∑=-= n i i X Y 1 22 )(1 μσ，则EY=n 解：∑=-= n i i X Y 1 22 )(1 μσ ~)(2n χ，E 2χ=n ，D 2χ=2n 二、设设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2 σμN X 的样本，∑=-=61 2 2 )(51i i X X s ，试求 )5665.2(22σ≤s P 。 解 ： 因 为 ) ,(~2 σμN X ，所以有 )5(~)(1 2 6 1 22χσ ∑=-i i X X ，则 ⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=≤=≤∑∑==8325.12)(5665.25)()5665.2()5665.2(2 612 2612222 2σσσσi i i i X X P X X P s P s P 查2χ分布表得=≤)5665.2(22σs P ⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛≤-∑=8325 .12)(2612σi i X X P =1-α=1-0.0248=0.9752 三．设总体X 的概率密度为f(x)= (1),(01) 0a x x α⎧+<<⎨⎩ ，其他，其中α>0，求 参数α的矩估计和极大似然估计量。 《数理统计》课程习题集 一、计算题 1. 总体X 服从泊松分布()λP ，0>λ ，样本为n X ,,X 1 ； 证明 ()111 -∑=i n i i X X n 是2 λ的无偏估计 2. 某厂生产的40瓦灯管的使用寿命)100,(2μN X ～（单位：小时）， 现从这批灯管中任抽取9只，测得使用寿命如下： 1450 1500 1370 1610 1430 1550 1580 1460 1550 试求这批灯管平均使用寿命的置信度为0.95的置信区间 3. 设n X ,,X 1是来自总体为二项分布()p ,n B 的一个样本 ； 证明 :X 是p 的无偏估计量， 4. 设n X X ,,1 为简单样本，总体)(E X θ～分布， 求参数θ的极大似然估计量θ ˆ； 5. 设总体()θE X ～ ()⎪⎩⎪ ⎨⎧>=-其他 01x e x f x θθ 样本为n X ,,X 1，求参数θ的矩法估计量 。 6. 设n X ,,X 1是来自总体X 的样本，X 的数学期望为μ，样本值为 n x ,,x 1 是 任意常数，验证∑∑∑===≠⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛n i n i i i n i i i )a (a X a 1 1 10是μ的无偏估计量 。 7. 设n X X ,,1 为来自总体X ～1),(-=θθθx x f )10(< 求：θ 的矩估计。 8. 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设干燥时间总体服从正态分布() 2,σμN ， 求:μ的置信水平为95.0的置信区间 。 9. 设总体 {} ,,,x ! x e x X P X x 210== =-λ λ～， 样本为n X ,,X 1 ， 样本值为 n x ,,x 1 ； 1、求 参数λ的矩法估计量 ； 2、求 参数λ的极大似然估计量 10. 设某厂生产的细纱的强力X ～） ，（2σμN 分布， 任取九个样品测得强力如下：（单位：公斤） 19.0 、 18.7 、 18.8 、 19.5 、 20.0 、 19.3 、 18.6 、 19.1 、 18.0 。 1、若由以往经验知。6.0=σ（公斤），求μ的置信度为0.95的置信区间； 2、若σ未知，求μ的置信度为0.95的置信区间 11. 在正常情况下，维尼龙纤度服从正态分布，方差2σ不大于20480.。某天抽取5 根纤维，测得纤度如下： 1.32 1.55 1.36 1.40 1.44 问该天生产的维尼龙纤度的方差是否正常()5.00=α 12. 某种含铜溶液的四次测定值算得溶液铜量的平均值(%)9.x 30=，若测定值总体 服从正态分布，试在050.=α下检验总体均值μ的假设 3200.9:H ==μμ ；01:μμ≠H 。 （2203.0=σ） 应用数理统计温习题 一、填空题 1.设整体2 12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，样本均值及样本方不同离为， 2 211 11,()n n i i i i X X S X X n n ====-∑∑，设112,,...n n X X X X +与独立同分布，那么统计量 ~Y = 。 2.设21 ~(),~T t n T 则 。 3.设整体X 的均值为μ，12,,...,n X X X 为样本，当a = 时，E 21 ()n i i X a =-∑达到最小 值。 4. 设整体2 12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，1 ||,()n i i D X E D μ== -=∑则 5.设整体X 的均值和方不同离为a , b , 样本均值及样本方不同离为 2 211 11,()n n i i i i X X S X X n n ====-∑∑，那么 E (S 2 )= 。 6.在整体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为36的样本，那么均值 X 落在4与 6之间的概率 = 6. 设整体X 服从参数为λ的泊松散布，，2，2，， 为样本，那么λ的矩估量值为ˆλ ＝ 。 7. 设整体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，1 2 21 1 ˆ()n i i i c X X σ -+==-∑，假设2ˆσ 为2σ的无偏估量，那么 c = 。 8. 设整体12~(,1),,,...,n X U X X X θθ+为样本，那么θ的矩估量量为 ，极大似然估量量为 。 9. 设整体2 12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ未知，σ2 已知，为使μ的置信度为1 数理统计练习题 1．设4321,,,X X X X 是总体),(2σμN 的样本，μ已知，2σ未知，则不是统计量的是 （ ）. （A ）415X X +； （B ） 4 1 i i X μ=-∑； （C ）σ-1X ； （D ） ∑=4 1 2i i X . 解： 统计量是不依赖于任何未知参数的连续函数. ∴ 选C. 2．设总体n X X X p B X ,,,),,1(~21 为来自X 的样本，则=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛ =n k X P （ ）. （A ）p ； （B ）p -1； （C ）k n k k n p p C --)1(； （D ）k n k k n p p C --)1(. 解：n X X X 21相互独立且均服从),1(p B 故 ∑=n i i p n B X 1 ),(~ 即 ),(~p n B X n 则()()(1)k k n k n k P X P nX k C p p n -====- ∴ 选C. 3．设n X X X ,,,21 是总体)1,0(N 的样本，X 和S 分别为样本的均值和样本标准差，则（ ）. （A ）)1(~/-n t S X ； （B ）)1,0(~N X ； （C ）)1(~)1(2 2--n S n χ； （D ）)1(~-n t X n . 解：∑==n i i X n X 1 10=X E ，)1,0(~112n N X n n n X D ∴== B 错 )1(~-n t n S X . ∴ A 错. ∴ 选C. 4．设n X X X ,,,21 是总体),(2 σμN 的样本，X 是样本均值，记 = 21 S ∑∑∑===--=-=--n i n i n i i i i X n S X X n S X X n 111 22 32222)(11,)(1,)(11μ， ∑=-=n i i X n S 1 224 )(1μ，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（）. （A ）1/1--= n S X T μ；（B ）1/2--=n S X T μ ； （C ）n S X T /3μ-= ；（D ）n S X T /4μ -= 解： ) 1(~)(22 1 2 --∑=n X X n i i χσ )1,0(~N n X σ μ - ∴选B. 5．设621,,,X X X 是来自),(2σμN 的样本，2 S 为其样本方差，则2DS 的值为（）. （A ）4 3 1 σ；（B ）4 5 1σ；（C ）4 5 2σ；（D ） .5 22σ 解：2 126,,,~(,),6X X X N n μσ=∴ )5(~522 2 χσS 由2 χ分布性质：1052522=⨯=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛σS D 即442 522510σσ==DS ∴选C. 6．设总体X 的数学期望为n X X X ,,,,21 μ是来自X 的样本，则下列结论中正确的是（）. （A ）1X 是μ的无偏估计量； （B ）1X 是μ的极大似然估计量； （C ）1X 是μ的一致（相合）估计量； （D ）1X 不是μ的估计量. 解： 11EX EX X μ==∴是μ的无偏估计量. ∴选A. 7．设n X X X ,,,21 是总体X 的样本，2 ,σμ==DX EX ，X 是样本均值，2 S 是样本方差，则（）. （A ）2~,X N n σμ⎛⎫ ⎪⎝ ⎭； （B ）2 S 与X 独立； 典型例题分析 例1．分别从方差为20和35的正态总抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差是第二个样本方差两倍的概率的范围。 解 以21 S 和22 S 分别表示两个（修正）样本方差。由22 22 12σσy x S S F =知统计量 22 2 1222175.13520S S S S F == 服从F 分布，自由度为（7，9）。 1） 事件{}2 2 212S S =的概率 {}{}05.32035235 20222221222122 2 1 ===⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧⨯==⎭⎬⎫⎩⎨⎧===F P S S P S S P S S P 因为F 是连续型随机变量，而任何连续型随机变量取任一给定值的概率都等于0。 2） 现在我们求事件{}二样本方差两倍第一样本方差不小于第=A 的概率： {} {}5.322 221≥=≥=F P S S P p 。 由附表可见，自由度9,721==f f 的F 分布水平α上侧分位数),(21f f F α有如下数值： )9,7(20.45.329.3)9,7(025.005.0F F =<<=。 由此可见，事件A 的概率p 介于0.025与0.05之间；05.0025.0< 解 由随机变量2χ分布知，随机变量σ/12S n ）（-服从2χ分布，自由度 1-=n v ，于是，有 {}{}95.0)1(5.1)1(5.1)1(2,05.0222 2=≤≥-≤=⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=v v v P n P n S n P χχχσ 其中2v χ表示自由度1-=n v 的2χ分布随机变量，2 ,05.0v χ是自由度为1-=n v 的水 平05.0=α的2χ分布上侧分位数（见附表）。我们欲求满足 2,05.015.1v n χ≥-）（ 的最小1+=v n 值，由附表可见 2 26,05.0885.3839)127(5.1χ=>=-， 22505.0652.375.401265.1，）（χ=<=-。 于是，所求27=n 。 例3．假设随机变量X 在区间[]1,+θθ上有均匀分布，其中θ未知： )(1n X X ，， 是来自X 的简单随机样本，X 是样本的均值，{} n X X X ,,min 1)1( =是最小观察值。证明 21ˆ1-=X θ 和 11ˆ12+-=n X ） （θ 都是θ的无偏估计量。 解 由X 在[]1,+θθ上均匀分布，知2/)12(+==θEX EX i 。 1） 由 θθθθ=-+=-+=-=∑∑==2 121212221211ˆ111n i n i i n EX n E ， 可见1ˆθ是θ的无偏估计量。 2） 为证明2ˆθ是θ的无偏估计。我们先求统计量)1(X 的概率分布。 一、数理统计基础知识 1. 在一本书上我们随机地检查了10页，发现每页上的错误数为 4 5 6 0 3 1 4 2 1 4 试计算样本均值、样本方差和样本标准差。 解 样本均值12454 310 n x x x x n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+= == 【 样本方差()()()()2222 2 111435343 3.7819 n i i s x x n =⎡⎤=-=-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦-∑， 样本标准差 1.94s == 2. 设有容量为n 的样本A ，它的样本均值为A x ，样本标准差为A s ，样本极差为 A R ，样本中位数为A m 。现对样本中每一个观测值施行如下变化 y ax b =+ ￥ 如此得到样本B ，试写出样本B 的均值、标准差、极差和中位数。 解 不妨设样本A 为{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅，样本B 为{}12,,,n y y y ⋅⋅⋅，且i i y ax b =+， 1,2,,,i n =⋅⋅⋅ 1212n n B A y y y ax b ax b ax b y ax b n n ++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++= ==+， 2 2 22211 11()()11n n B i B i A i i s y y ax b ax b a s n n ===-=+--=--∑∑， 因而B A s a s =. | ()()()()()()() 111B A n n n R y y ax b ax b a x x aR =-=+--=-=， 121221 2n B n n y m y y +⎛⎫ ⎪⎝⎭ ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩ 3. 设1,,n x x ⋅⋅⋅是来自()1,1U -的样本，试求()E x 和()Var x 。 解 均匀分布()1,1U -的均值和方差分别为0和1 3 ，该样本的容量为n ，因而 得 ()0E x =，1()3Var x n = ; 4.设116,,x x ⋅⋅⋅是来自(8,4)N 的样本，试求下列概率 (1)(16)(10)P x >； (2) (1)(5)P x > 解 (1) … 16 (16)(16)116 16(10)1(10)1(10)1081(())10.84130.9370 2 P x P x P x >=-≤=-≤-=-Φ=-= (2) 1616 16(1)(1)58(5)((5))(1( ))[(1.5)]0.33082 P x P x ->=>=-Φ=Φ=。 5.在总体(7.6,4)N 中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值落在(5.6,9.6)内的概率不小于，则至少为多少 解 样本均值 4 (7.6,)x N n ，从而按题意可建立如下不等式 [ (5.69.6)0.95x P x P <<=<<≥，(完整版)数理统计考试题及答案
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