高考导数核心考点和题型(完美总结)

导数与函数核心考点

目录

题型一切线型

1.求在某处的切线方程

2.求过某点的切线方程

3.已知切线方程求参数

题型二单调型

1.主导函数需“二次求导”型

2.主导函数为“一次函数”型

3.主导函数为“二次函数”型

4.已知函数单调性，求参数范围

题型三极值最值型

1.求函数的极值

2.求函数的最值

3.已知极值求参数

4.已知最值求参数

题型四零点型

1.零点(交点，根)的个数问题

2.零点存在性定理的应用

3.极值点偏移问题

题型五恒成立与存在性问题

1.单变量型恒成立问题

2.单变量型存在性问题

3.双变量型的恒成立与存在性问题

4.等式型恒成立与存在性问题

题型六与不等式有关的证明问题

1.单变量型不等式证明

2.含有e x与lnx的不等式证明技巧

3.多元函数不等式的证明

4.数列型不等式证明的构造方法

题型一 切线型

1.求在某处的切线方程

例1.【2015重庆理20】求函数f (x )＝3x 2e x 在点(1，f (1))处的切线方程.

解：由f (x )＝3x 2e x ，得f ′(x )＝6x －3x 2e x ，切点为(1，3e ) ，斜率为f ′(1)＝3e

由f (1)＝3e ，得切点坐标为(1，3e )，由f ′(1)＝3e ，得切线斜率为3e ；

∴切线方程为y －3e ＝3e (x －1)，即3x －ey ＝0.

例2.求f (x )＝e x (1x

＋2)在点(1，f (1))处的切线方程. 解：由f (x )＝e x (1x ＋2)，得f ′(x )＝e x (－1x 2＋1x ＋2)

由f (1)＝3e ，得切点坐标为(1,3e )，由f ′(1)＝2e ，得切线斜率为2e ；

∴切线方程为y －3e ＝2e (x －1)，即2ex －y ＋e ＝0.

例3.求f (x )＝ln 1－x 1＋x

在点(0，f (0))处的切线方程. 解：由f (x )＝ln 1－x 1＋x ＝ln (1－x )－ln (1＋x )，得f ′(x )＝－11－x －11＋x

由f (0)＝0，得切点坐标为(0，0)，由f ′(0)＝－2，得切线斜率为－2；

∴切线方程为y ＝－2x ，即2x ＋y ＝0.

例4.【2015全国新课标理20⑴】在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =x 24

与 直线l ：y =kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点，当k ＝0时，分别求C 在点M 与N 处的切线方程.

解：由题意得：a =x 24

，则x ＝±2a ，即M (－2a ，a )，N (2a ，a )， 由f (x )＝x 24，得f ′(x )＝x 2

， 当切点为M (－2a ，a )时，切线斜率为f ′(－2a )＝－a ， 此时切线方程为：ax ＋y ＋a ＝0；

当切点为N (2a ，a )时，切线斜率为f ′(2a )＝a ， 此时切线方程为：ax －y －a ＝0； 解题模板一 求在某处的切线方程

⑴写出f (x )；

⑵求出f ′(x )；

⑶写出切点(x 0，f (x 0))；

⑷切线斜率k ＝f ′(x 0)；

⑸切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0).

2.求过某点的切线方程

Step 1 设切点为(x 0，f (x 0))，则切线斜率f ′(x 0)，切线方程为：

y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)

Step 2 因为切线过点(a ，b )，所以b －f (x 0)＝f ′(x 0)(a －x 0)，解得x 0＝x 1或x 0＝x 2 Step 2 当x 0＝x 1时，切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 0)(x －x 1)

当x 0＝x 2时，切线方程为y －f (x 2)＝f ′(x 0)(x －x 2)

例1.求f (x )＝13x 3＋43

过点P (2，4)的切线方程. 解：设切点为(x 0，13x 03＋43)，则切线斜率f ′(x 0)＝x 02，

所以切线方程为：y －13x 03＋43＝x 02 (x －x 0)，

由切线经过点P (2，4)，可得4－13x 03＋43＝x 02 (2－x 0)，整理得：x 03－3x 02＋4

＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2

当x 0＝－1时，切线方程为：x －y ＋2＝0；

当x 0＝2时，切线方程为：4x －y －4＝0.

例2.求f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4过点 (2，－2)的切线方程.

解：设切点为(x 0，x 03－4x 02＋5x 0－4)，则切线斜率f ′(x 0)＝3x 02－8x 0＋5，

所以切线方程为：y －(x 03－4x 02＋5x 0－4)＝(3x 02－8x 0＋5) (x －x 0)，

由切线经过点P (2，4)，可得4－(x 03－4x 02＋5x 0－4)＝(3x 02－8x 0＋5) (2－x 0)， 解得x 0＝1或x 0＝2

当x 0＝1时，切线方程为：2x ＋y －2＝0；

当x 0＝2时，切线方程为：x －y －4＝0.

例3.过A (1，m )(m ≠2)可作f (x )＝x 3－3x 的三条切线，求m 的取值范围. 解：设切点为(x 0，x 03－3x 0)，则切线斜率f ′(x 0)＝3x 02－3，切线方程为

y －(x 03－3x 0)＝(3x 02－3)(x －x 0)

∵切线经过点P (1,m )，

∴m －(x 03－4x 02＋5x 0－4)＝(3x 02－8x 0＋5) (1－x 0)，

即：－2x 03＋3x 02－3－m ＝0，即m ＝－2x 03＋3x 02－3

∵过点A (1，m )(m ≠2)可作f (x )＝x 3－3x 的三条切线，

∴方程m ＝－2x 03＋3x 02－3，有三个不同的实数根

.

点P 不在曲线上 点P 在曲线上 点P 在曲线上

∴曲线H (x 0)＝－2x 03＋3x 02－3与直线y =m 有三个不同交点，

H ′(x 0)＝－6x 02＋6x 0＝－6x 0(x 0－1)

令H ′(x 0)＞0，则0＜x 0＜1；令H ′(x 0)＜0，则x 0＜0或x 0＞1

∴H (x 0)在(－∞，0)递减，在(0,1)递增，在(1，＋∞)递减，

∴H (x 0)的极小值＝H (0)＝－3，H (x 0)的极大值＝H (1)＝－2，

由题意得－3＜x ＜－2.

例4.由点(－e ，e －2)可向曲线f (x )＝lnx －x －1作几条切线，并说明理由.

解：设切点为(x 0，lnx 0－x 0－1)，则切线斜率f ′(x 0)＝1x 0

－1，切线方程为 y －(lnx 0－x 0－1)＝(1x 0

－1)(x －x 0)， ∵切线经过点(－e ，e －2)，

∴e －2－(lnx 0－x 0－1)＝(1x 0－1)(－e －x 0)，即lnx 0＝e x 0

∵y =lnx 与y =e x 只有一个交点

∴方程lnx 0＝e x 0

有唯一的实数根 ∴由点(－e ，e －2)可向曲线f (x )＝lnx －x －1作一条切线. 解题模板二 求过某点的切线方程

⑴设切点为(x 0，f (x 0))，则切线斜率f ′(x 0)，切线方程为：

y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)

⑵因为切线过点(a ，b )，所以b －f (x 0)＝f ′(x 0)(a －x 0)，解得x 0＝x 1或x 0＝x 2 ⑶当x 0＝x 1时，切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 0)(x －x 1)

当x 0＝x 2时，切线方程为y －f (x 2)＝f ′(x 0)(x －x 2)

3.已知切线方程求参数 解题模板三 已知切线方程求参数

已知直线Ax ＋By ＋C ＝0与曲线y =f (x )相切

⑴设切点横坐标为x 0，则

?????切点纵坐标＝切点纵坐标切线斜率＝切线斜率即?????f (x 0)＝－Ax 0＋C B f ′(x 0)＝－A B

⑵解方程组得x 0及参数的值.

例1.函数f (x )＝alnx x ＋1＋b x

在(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，求a ，b 的值. 解：∵f (x )＝alnx x ＋1＋b x ，∴f ′(x )＝a (x ＋1)x －alnx (x ＋1)2

－b x 2

由题意知：?????f (1)＝1f ′(1)＝－12，即?????b ＝1

a 2

－b ＝－12 ∴a ＝b ＝1

例2.f (x )＝ae x lnx ＋be x －1 x 在(1，f (1))处的切线方程为y ＝e (x －1)＋2，求a ，b 的值.

解：∵f (x )＝ae x lnx ＋be x －1 x ，∴f ′(x )＝ae x (1x ＋lnx )＋be x －1(－1x 2＋1x )

由题意知：?????f (1)＝2f ′(1)＝－e ，即?

????b ＝2ae ＝e ∴a ＝1，b ＝2

例3.若直线y ＝kx ＋b 是y =lnx ＋2的切线，也是y =ln (x ＋1)的切线，求b . 解：设y ＝kx ＋b 与y =lnx ＋2相切的切点横坐标为x 1，y ＝kx ＋b 与y =ln (x ＋1)相切的切点横坐标为x 2，

?

????lnx 1＋2＝kx 1＋b ①

1

x 1＝k ②

ln (x 2＋1)＝kx 2＋b ③1x 2＋1

＝k ④，由②③得：x 1＝x 2＋1，

由①－③得：lnx 1－ln (x 2＋1)＋2＝k (x 1－x 2)，将上式代入得：k ＝2

∴x 1＝12，代入①得：－ln 2＋2＝1＋b

∴b ＝1－ln 2. 例4.若f (x )＝x 与g (x )＝a lnx 相交，且在交点处有共同的切线，求a 和该切线方程.

解：设切点横坐标为x 0，则?????x 0＝alnx 0 ①

12x 0＝a x 0

②，由②得x 0＝2a ， 代入①得：x 0＝e 2，∴a ＝e 2

∵切点为(e 2，e )，切线斜率为12e

，∴切线方程为x －2ey ＋e 2＝0. 例5.已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14

，当a 为何值时，x 轴为曲线方程y =f (x )的切线. 例6.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 和g (x )＝e x (cx ＋d )都过点P (0,2)且在P 处有相同切线y =4x ＋2，求a ，b ，c ，d 的值.

题型二 单调型

1.主导函数需“二次求导”型

I 不含参求单调区间

例1.求函数f (x )＝x (e x －1)－12

x 2的单调区间. 解：f (x )的定义域为R

f ′(x )＝e x (1＋x )－1－x ＝(x ＋1)(e x ＋1)

令f ′(x )＞0，得x ＜－1或x ＞0；令f ′(x )＜0，得－1＜x ＜0

f (x )的增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)，减区间为(－1，0)。

例2.求函数f (x )＝(1＋a x ) e x (a ＞0)在(－∞，0)上的单调性.

解：f (x )的定义域为(－∞，0)

f ′(x )＝e x (－a x 2＋a x ＋1)＝e x x 2(x 2＋ax －a )

令f ′(x )＞0，得x ＜－a －a 2＋4a 2；令f ′(x )＜0，得－a －a 2＋4a 2

＜x ＜0 f (x )的增区间为(－∞，－a －a 2＋4a 2)，减区间为(－a －a 2＋4a 2

，0)。 解题模版一 求解函数的单调区间

⑴求出函数f (x )的定义域；

⑵求f ′(x )；

⑶判断f ′(x )的正负；

注：导函数的形式是有限的?????f ′(x )＝kx ＋b f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 二次求导型

⑷写出函数的单调区间.

注：①求单调区间结论一定叙述为f (x )单调区间为…

讨论单调性可叙述为f (x )在某区间增(减)

②多个相同单调性区间要用逗号隔开，不能用∪

③单调区间书写时用中括号还是小括号问题

II.主导函数需“二次求导”型

例1.讨论函数f (x )＝(x ＋1)lnx －x ＋1的单调性.

解：f (x )的定义域为(0，＋∞)

f ′(x )＝lnx ＋x ＋1x －1＝lnx ＋1x

令φ(x )＝lnx ＋1x (x ＞0)，则φ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2

令φ(x )＞0，则x ＞1；令φ(x )＜0，则0＜x ＜1，

∴φ(x )在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增.

∴φ(x )≥φ(0)＝1＞0，从而f ′(x )＞0

∴f (x )在(0，＋∞)上递增.

例2.求函数f (x )＝xe 2－x ＋ex 的单调区间.

解：f (x )的定义域为R

f ′(x )＝(1－x )e 2－x ＋e

令φ(x )＝(1－x )e 2－x ＋e ，则φ′(x )＝(x －2)e 2－x

当x ∈(－∞，2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(－∞，2)上递减；

当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上递增；

∴φ(x )≥φ(2)＝－1＋e ＞0

∴f (x )单调增区间为R ，无减区间.

例3.求函数f (x )＝ln (x ＋1)x

的单调区间. 解：f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，＋∞)

f ′(x )＝x －(x ＋1)ln (x ＋1)(x ＋1)x 2

令φ(x )＝x －(x ＋1)ln (x ＋1)，则φ′(x )＝－ln (x ＋1)

当x ∈(－1，0)时，φ′(x )＞0，则φ(x )在(－1，0)上递增

∴φ(x )＜φ(0)＝0

∴f ′(x )＜0

∴f (x ) 在(－1，0)上递减

当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0，＋∞)上递减；

∴φ(x )＜φ(0)＝0

∴f ′(x )＜0

∴f (x ) 在(0，＋∞)上递减

综上所述：f (x )单调递减区间为(－1，0)和(0，＋∞).

例4.求函数H (x )＝|lnx |－x e

2x ＋C 的单调区间. 解：H (x )＝???－lnx －x e 2x ＋C 0＜x ＜1

lnx －x e 2x ＋C x ≥1

当x ∈(0，1)时，H ′(x )＝－1x －1－2x e 2x ＝－e 2x －x ＋2x 2xe 2x

令φ(x )＝－e 2x －x ＋2x 2，x ∈(0，1)

则φ′(x )＝－2e 2x －1＋4x

φ′′(x )＝－4e 2x ＋4＝－4(e 2x －1)＜0，

∴φ′(x )在(0，1)上递减

∴φ′(x )＜φ′(0)＝－3＜0

∴φ(x )在(0，1)上递减

∴φ(x )＜φ(0)＝－1＜0，即H ′(x )＜0

∴H (x ) 在(0，1)上递减

当x ∈(1，＋∞)时，H ′(x )＝1x －1－2x e 2x ＝e 2x －x ＋2x 2xe 2x

令φ(x )＝e 2x －x ＋2x 2，x ∈(1，＋∞)

则φ′(x )＝2e 2x －1＋4x

∵x ＞1

∴φ′(x )＞0

∴φ(x )在(1，＋∞)上递增

∴φ(x )＞φ(1)＝e 2＋1＞0，即H ′(x )＞0

∴H (x )在(1，＋∞)上递增

综上所述：H (x )在(0，1)上递减，(1，＋∞)上递增. 重要方法一 二次求导求函数单调性

当无法通过不等式判断一阶导函数的正负时，可对“主导”函数再次求导，这种“再构造，再求导”是破解函数综合问题的强大武器。

⑴通过判断f ′′(x )的符号，来判断f ′(x )的单调性；

⑵通过赋特殊值找到f ′(x )的零点，进而得到f ′(x )的正负区间.

2.主导函数为“一次函数”型

例1.求函数f (x )＝e x －ax ＋1的单调区间.

解：f (x )的定义域为R

f ′(x )＝e x －a

当a ≤0时，f ′(x )＞0恒成立，∴f (x )的增区间为R

当a ＞0时，令f ′(x )＞0，则x ＞lna ；令f ′(x )＜0，则x ＜lna ；

∴f (x )的增区间为(lna ，＋∞)，减区间为(－∞，lna )。

综上所述：当a ≤0时，f (x )的增区间为R

当a ＞0时，f (x )的增区间为(lna ，＋∞)，减区间为(－∞，lna )。

例2.求函数f (x )＝lnx －ax ＋12

x 2的单调区间. 解：f (x )的定义域为(0，＋∞)

f ′(x )＝1x －a ＋x ＝(x ＋1x )－a

当a ≤2时，f ′(x )≥0恒成立，∴f (x )的增区间为(0，＋∞)

当a ＞2时，令f ′(x )＝0，则x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42

令f ′(x )＞0，则0＜x ＜a －a 2－42或x ＞a ＋a 2－42

令f ′(x )＜0，则a －a 2－42＜x ＜a ＋a 2－42

. ∴f (x )的增区间为(0，a －a 2－42)和(a ＋a 2－42

，＋∞)， 减区间为(a －a 2－42，a ＋a 2－42

) 综上所述：当a ≤2时，f (x )的增区间为(0，＋∞)

当a ＞2时，f (x )的增区间为(0，a －a 2－42)和(a ＋a 2－42

，＋∞)，

减区间为(a －a 2－42，a ＋a 2－42

) 例3.求函数f (x )＝lnx －ax 的单调区间.

解：f (x )的定义域为(0，＋∞)

f ′(x )＝1x －a

当a ≤0时，f ′(x )＞0，∴f (x )的增区间为(0，＋∞)

当a ＞0时，令f ′(x )＞0，则0＜x ＜1a ；令f ′(x )＜0，则x ＞1a ； ∴f (x )的增区间为(0，1a )，减区间为(1a ，＋∞).

综上所述：当a ≤0时，f (x )的增区间为(0，＋∞)

当a ＞0时，f (x )的增区间为(0，1a )，减区间为(1a ，＋∞)。

例4.求函数f (x )＝ax －(a ＋1)ln (x ＋1)(a ≥－1)的单调区间.

解：f (x )的定义域为(－1，＋∞)

f ′(x )＝a －a ＋1x ＋1＝ax －1x ＋1

当－1≤a ≤0时，ax －1≤0，即f ′(x )≤0

∴f (x )的减区间为(－1，＋∞)

当a ＞0时，令f ′(x )＞0，则x ＞1a ，令f ′(x )＜0，则－1＜x ＜1a ，

∴f (x )的增区间为(1a ，＋∞)，减区间为(－1，1a ).

综上所述：当－1≤a ≤0时，f (x )的减区间为(－1，＋∞)

当a ＞0时，f (x )的增区间为(1a ，＋∞)，减区间为(－1，1a ).

例5.求函数f (x )＝xe kx (k ≠0)的单调区间.

解：f (x )的定义域为R

f ′(x )＝(1＋kx ) e kx

当k ＞0时，f (x )的增区间为(－1k ，＋∞)，减区间为(－∞，－1k ).

当k ＜0时，f (x )的增区间为(－∞，－1k )，减区间为(－1k

，＋∞). 综上所述：当k ＞0时，f (x )的增区间为(－1k ，＋∞)，减区间为(－∞，－1k ).

当k ＜0时，f (x )的增区间为(－∞，－1k )，减区间为(－1k ，＋∞).

例6.求函数f (x )＝x －alnx (a ∈R )的单调区间.

解：f (x )的定义域为(0，＋∞)

f ′(x )＝1－a x ＝x －a x

当a ≤0时，f ′(x )≥0，则f (x )的增区间为(0，＋∞)

当a ＞0时，令f ′(x )＞0，则x ＞a ，令f ′(x )＜0，则0＜x ＜a ，

∴f (x )的增区间为(a ，＋∞)，减区间为(0，a ).

综上所述：当a ≤0时，f (x )的增区间为(0，＋∞).

当a ＞0时，f (x )的增区间为(a ，＋∞)，减区间为(0，a ). 重要方法二 一次函数型(一)

当导函数可表示为常见已知函数，(例如：e x ，x ＋1x ，1x ，x 2－2x )与一个常参数(例

如：a ，2k ，1a ，－a )的差的形式时，可通过画出已知函数与常值函数图像的方法

对参数进行分类讨论. 重要方法三 一次函数型(二)二级分类法

当导函数为一次函数(一次项系数为参数)时，可用二级分类法

⑴判断最高次项系数的正负；

⑵判断一次方程的根与定义域端点值的大小.

3.主导函数为“二次函数”型

例1.求函数f (x )＝x 2－2x ＋alnx 的单调区间.

解：f (x )的定义域为(0，＋∞)

f ′(x )＝2x －2＋a x ＝2x 2－2x ＋a x ＝a －(－2x 2＋2x )x

当a ≥12时，f ′(x )≥0，则f (x )的增区间为(0，＋∞)

当0＜a ＜12时，令f ′(x )＝0，则x 1＝1－1－2a 2，x 2＝1＋1－2a 2

令 f ′(x )＞0，则0＜x ＜1－1－2a 2，或x ＞1＋1－2a 2

令 f ′(x )＜0，则1－1－2a 2＜x ＜1＋1－2a 2

， ∴f (x )的增区间为(0，

1－1－2a 2)和(1＋1－2a 2，＋∞) 减区间为(1－1－2a 2，1＋1－2a 2

) 当a ≤0时，令f ′(x )＞0，则x ＞1＋1－2a 2

， 令f ′(x )＜0，则0＜x ＜1＋1－2a 2

，

∴f (x )的增区间为 (1＋1－2a 2，＋∞)，减区间为(0，1＋1－2a 2

) 综上所述：当a ≥12时，f (x )的增区间为(0，＋∞)，

当0＜a ＜12时，f (x )的增区间为(0，1－1－2a 2)和(1＋1－2a 2

，＋∞) 减区间为(1－1－2a 2，1＋1－2a 2

) 当a ≤0时，f (x )的增区间为 (1＋1－2a 2，＋∞)，减区间为(0，1＋1－2a 2

) 例2.求函数f (x )＝e x x 2＋k

(k ＞0)单调区间. 解：f (x )的定义域为R

f ′(x )＝e x (x 2＋k )－2xe x (x 2＋k )2＝e x (x 2－2x ＋k )(x 2＋k )2＝e x [k －(－x 2＋2x )](x 2＋k )2

当k ≥1时，f ′(x )≥0，f (x )的增区间为R

当0＜k ＜1时，令f ′(x )＝0，则x 1＝1－1－k ，x 2＝1＋1－k

令 f ′(x )＞0，则0＜x ＜1－1－k ，或x ＞1＋1－k

令 f ′(x )＜0，则1－1－k ＜x ＜1＋1－k ，

∴f (x )的增区间为(0，1－1－k )和(1＋1－k ，＋∞)

减区间为(1－1－k ，1＋1－k )

综上所述：当k ≥1时，f (x )的增区间为R ，

当0＜k ＜1时，f (x )的增区间为(0，1－1－k )和(1＋1－k ，＋∞)

减区间为(1－1－k ，1＋1－k )

例3.讨论函数f (x )＝x －2x ＋a (2－lnx )的单调性.

解：f (x )的定义域为(0,＋∞) f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2＝x ＋2x －a x

当a ≤22时，f ′(x )≥0，f (x )的增区间为(0,＋∞)

当a ＞22时，令f ′(x )＝0，则x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82

令 f ′(x )＞0，则0＜x ＜a －a 2－82，或x ＞a ＋a 2－82

令 f ′(x )＜0，则a －a 2－82＜x ＜a ＋a 2－82

， ∴f (x )的增区间为(0，

a －a 2－82)和(a ＋a 2－82，＋∞) 减区间为(a －a 2－82，a ＋a 2－82

) 综上所述：当a ≤22时，f (x )的增区间为(0,＋∞)，

当a ＞22时，f (x )的增区间为(0，a －a 2－82)和(a ＋a 2－82

，＋∞) 减区间为(a －a 2－82，a ＋a 2－82

) 重要方法四 二次函数型(一) 当导函数可表示为常见已知函数(例如：e x ，x ＋1x ，1x ，x 2－2x )与一个常参数(例

如：a ，2k ，1a ，－a )的差的形式时，可通过画出已知函数与常值函数图像的方法

对参数进行分类讨论.

例如：2x 2－2x ＋a ，x ∈(0，＋∞) 可化为a －(－2x 2＋2x )

x 2－2x ＋k ，x ∈R k －(－2x 2＋2x )

x 2－ax ＋2，x ∈(0，＋∞) x ＋2x －a

例4.求函数f (x )＝(x －k )2e x e

k 的单调区间. 解：f (x )的定义域为R

f ′(x )＝[2x －2k ＋1k (x 2－2kx ＋k 2)]e x e k ＝1k ((x 2－k 2)e x

e k

当k ＞0时， f (x )的增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)，减区间为(－k ，k ). 当k ＜0时， f (x )的增区间为(k ，－k )，减区间为(－∞，k ) 和(－k ，＋∞). 综上所述：当k ＞0时， f (x )的增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)，

减区间为(－k ，k ).

当k ＜0时， f (x )的增区间为(k ，－k )，

减区间为(－∞，k ) 和(－k ，＋∞).

例5.求函数f (x )＝lnx ＋ax 2＋x (a ∈R )的单调区间.

解：f (x )的定义域为(0，＋∞)

f ′(x )＝1x ＋2ax ＋1＝2ax 2＋x ＋1x

当a ≥0时，f ′(x )＞0，则f (x )的增区间为(0，＋∞).

当a ＜0时，令f ′(x )＝0，则x 1＝－1＋1－8a 4a ，x 2＝－1－1－8a 4a

(此处x 1＜0＜x 2)，故将x 1舍去.

(注意：此处x 1·x 2＝12a ＜0，可知一根为正，一根为负)

令f ′(x )＞0，则0＜x ＜－1－1－8a 4a ，f (x )的增区间为(0，－1－1－8a 4a

) 令f ′(x )＞0，则x ＞－1－1－8a 4a ，f (x )的减区间为(－1－1－8a 4a

，＋∞) 综上所述：当a ≥0时， f (x )的增区间为(0，＋∞).

当a ＜0时， f (x )的增区间为(0，

－1－1－8a 4a

)， 减区间为(－1－1－8a 4a

，＋∞). 例6.求函数f (x )＝a (x －1x )－2lnx 的单调区间.

解：f (x )的定义域为(0，＋∞)

f ′(x )＝a ＋a x 2－2x ＝ax 2－2x ＋a x 2

当a ≤0时，f ′(x )＜0，则f (x )的减区间为(0，＋∞).

(注意：此处ax 2＜0，－2x ＜0，a ＜0，故ax 2－2x ＋a ＜0)

当a ＞0时，由ax 2－2x ＋a ＝0，得△＝4－4a 2

⑴当△≤0，即a ≥1时，f ′(x )≥0，∴f (x )的增区间为(0，＋∞)

⑵当△＞0，即0＜a ＜1时，令f ′(x )＝0，则x 1＝1－1－a 2a ，x 2＝1＋1－a 2a

令f ′(x )＞0，则0＜x ＜1－1－a 2a 或x ＞1＋1－a 2a 令f ′(x )＜0，则1－1－a 2a ＜x ＜1＋1－a 2a

∴f (x )的增区间为(0，1－1－a 2a )和(1＋1－a 2a

，＋∞) 减区间为(1－1－a 2a ，1＋1－a 2a

) 综上所述：当a ≤0时， f (x )的减区间为(0，＋∞).

当0＜a ＜1时， f (x )的增区间为(0，1－1－a 2a )和(1＋1－a 2a

，＋∞) 减区间为(1－1－a 2a ，1＋1－a 2a

)

当a ≥1时， f (x )的增区间为(0，＋∞)

例7.求函数f (x )＝alnx ＋x －1x ＋1

的单调区间. 解：f (x )的定义域为(0，＋∞).

f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝a (x ＋1)2＋2x x (x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2

⑴当a ≥0时，f ′(x )＞0，∴f (x )的增区间为(0，＋∞).

(注：此处因a ≥0，x ＞0，所以ax 2＞0，(2a ＋2)x ＞0，a ＞0，即f ′(x )＞0) ⑵当a ＜0时，由ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ＝0，得△＝8a ＋4

①当△≤0即a ≤－12时，f ′(x )＜0，∴f (x )的减区间为(0，＋∞).

②当△＞0即－12＜a ＜0时，令f ′(x )＝0，

则x 1＝－(a ＋1)－2a －1a ，x 2＝－(a ＋1)＋2a －1a

(注：此处由x 1＋x 2＝1＞0，x 1·x 2＝－2a ＋2a ＝－2－2a ＞0，则x 1＞0，x 2＞0)

令f ′(x )＞0，则0＜x ＜－(a ＋1)－2a －1a 或x ＞－(a ＋1)＋2a －1a

令f ′(x )＜0，则－(a ＋1)－2a －1a ＜x ＜－(a ＋1)＋2a －1a

∴f (x )的增区间为(0，

－(a ＋1)－2a －1a )和(－(a ＋1)＋2a －1a ，＋∞)

减区间为(－(a ＋1)－2a －1a ，－(a ＋1)＋2a －1a

) 综上所述：当a ≥0时， f (x )的增区间为(0，＋∞).

当－12＜a ＜0时，

f (x )的增区间为(0，－(a ＋1)－2a －1a )和(－(a ＋1)＋2a －1a

，＋∞) 减区间为(－(a ＋1)－2a －1a ，－(a ＋1)＋2a －1a

) 当a ≤－12时， f (x )的减区间为(0，＋∞)

重要方法五 二次函数型(二)

当二次函数的最高次项系数含有字母时，且不能进行因式分解

⑴判断最高次项系数与零的关系，分为三类

a ＝0，a ＞0，a ＜0

⑵当a ＝0时，很容易判断正负；

当a ＞0时，可考虑每一项都为正，从而导数大于0； 当a ＜0时，考虑△及根与定义域端点值的大小.

例如：x 2－k x (k ≠0)；

2ax 2＋x ＋1，x ∈(0，＋∞)；

ax 2－2x ＋a ，x ∈(0，＋∞)；

ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，x ∈(0，＋∞)；

例8.求函数f (x )＝(1－a )lnx －x ＋a 2

x 2的单调区间. 解：f (x )的定义域为(0，＋∞)

f ′(x )＝1－a x －1＋ax ＝ax 2－x ＋1－a x ＝(x －1)[ax ＋(a －1)]x

(注1：此处主导函数为g (x )＝ax 2－x ＋1－a 的△＝(2a －1)2≥0) (注2：分类讨论的思想依据①最高次的系数a ＝0；②△＝0，则a ＝12；③对应方

程的两个根相等，即1＝1－a a ，则a ＝12；④让其中的根和区间端点相等，即0＝

1－a a ，即a ＝1。至此，a 的取值被分成了7类，即a ＜0，a ＝0，0＜a ＜12，a ＝12， 1

2＜a ＜1，a ＝1，a ＞1)

⑴当a ＜0时，f (x )的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)

(注3：此处1－a a ＜0＜1)

⑵当a＝0时，f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)

⑶当0＜a＜1

2时，f(x)的增区间为(0，1)和(

1－a

a，＋∞)，减区间为(1，

1－a

a)

(注4：此处0＜1＜1－a a)

⑷当a＝1

2时，f(x)的增区间为(0，＋∞)

⑸当1

2＜a＜1时，f(x)的增区间为(0，

1－a

a)和(1，＋∞)，减区间为(

1－a

a，1)

(注5：此处0＜1－a

a＜1)

⑹当a＝1时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)

(注6：此处1－a

a＜0＜1)

⑺当a＞1时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)

(注7：⑴⑵类可以合并，⑹⑺可以可并)

综上所述：当a≤0时，f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)

当0＜a＜1

2时，f(x)的增区间为(0，1)和(

1－a

a，＋∞)，减区间为(1，

1－a

a)

当a＝1

2时，f(x)的增区间为(0，＋∞)

当1

2＜a＜1时，f(x)的增区间为(0，

1－a

a)和(1，＋∞)，减区间为(

1－a

a，1)

当a＝1时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)。

例9.求函数f(x)＝1

2a x2－(2a＋1)x＋2lnx的单调区间.

解：f(x)的定义域为(0，＋∞)

f ′(x)＝ax－(2a＋1)＋2

x＝

ax2－(2a＋1)x＋2

x＝

(x－2)(ax－1)

x

(注1：此处主导函数是y＝ax2－(2a＋1)x＋2，△＝(2a＋1)2－8a＝(2a－1)2≥0，故主导函数是可以因式分解的)

(注2：分类的思想①a＝0；②△＝0，即a＝1

2；③两根相等

1

a＝2，即a＝

1

2；④其

中一根与端点相等，即1

a＝0，则0和

1

2就可以将数轴分成5部分，即需要分成5

类)

⑴当a≤0时，f(x)的增区间是(0，2)，减区间(2，＋∞)

⑵当0＜a＜1

2时，f(x)的增区间是(0，2)和(

1

a，＋∞)，减区间(2，

1

a)

⑶当a＝1

2时，f(x)的增区间是(0，＋∞)

⑷当a＞1

2时，f(x)的增区间是(0，

1

a)和(2，＋∞)，减区间(

1

a，2)

综上所述：当a≤0时，f(x)的增区间是(0，2)，减区间(2，＋∞)

当0＜a ＜12时，f (x )的增区间是(0，2)和(1a ，＋∞)，减区间(2，1a )

当a ＝12时，f (x )的增区间是(0，＋∞)

当a ＞12时，f (x )的增区间是(0，1a )和(2，＋∞)，减区间(1a ，2)

例10.求函数f (x )＝lnx －ax ＋1－a x －1，a ≤12

的单调区间. 重要方法六 二次函数型(三)

当二次函数的判别式△≥0时，可采用四级分类法.

⑴判断最高次项系数与零的关系.

⑵判断根的判别式与零的关系.

⑶两根的大小比较.

⑷根与定义域端点值的大小比较.

例如：ax 2－x ＋(1－a )，x ∈(0，＋∞)；

－ax 2＋x ＋a －1，x ∈(0，＋∞)；

ax 2＋(2a ＋1)x ＋2，x ∈(0，＋∞)；

例11.求函数f (x )＝xe x －a (12

x 2＋x )的单调区间. 解：f (x )的定义域为R

f ′(x )＝(1＋x )e x －a (1＋x )＝(x ＋1)(e x －a )

⑴当a ≤0时，令f ′(x )＞0，则x ＞－1；令f ′(x )＜0，则x ＜－1；

∴f (x )增区间为(－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1)

⑵当a ＜0时，令f ′(x )＝0， 则x 1＝－1，x 2＝lna

①当a ＞1e 时，f (x )的增区间是(－∞，－1)和(lna ，＋∞)，减区间(－1，lna ) ②当a ＝1e 时，f (x )的增区间是R

③当a ＜1e 时，f (x )的增区间是(－∞，lna )和(－1，＋∞)，减区间(lna ，－1 ) 综上所述：当a ≤0时，f (x )增区间为(－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1)

当a ＞1e 时，f (x )的增区间是(－∞，－1)和(lna ，＋∞)，减区间(－1，lna ) 当a ＝1e

时，f (x )的增区间是R 当0＜a ＜1e 时，f (x )的增区间是(－∞，lna )和(－1，＋∞)，减区间(lna ，－1 )

例12.求函数f (x )＝(x －a )sinx ＋cosx ，x ∈(0，π)，a ＞π2

的单调区 解：f (x )的定义域为(0，π)

f ′(x )＝sinx ＋(x －a )cosx －sinx ＝(x －a )cosx

⑴当a ≥π时，令f ′(x )＞0，则x ∈(π2，π)；令f ′(x )＜0，则x ∈(0，π2)

∴f (x )的增区间为(π2，π)，减区间为(0，π2)

⑵当π2＜a ＜π时，f (x )的增区间为(π2，a )，减区间为(0，π2)和(a ，π)

综上所述：当a ≥π时，f (x )的增区间为(π2，π)，减区间为(0，π2)

当π2＜a ＜π时，f (x )的增区间为(π2，a )，减区间为(0，π2)和(a ，π)

例13.求函数f (x )＝(ax 2－x )lnx －12

ax 2＋x (a ∈R )的单调区间. 解：f (x )的定义域为(0，＋∞)

f ′(x )＝(2ax －1)lnx ＋ax －1－ax ＋1＝(2ax －1)lnx

⑴当a ≤0时，f (x )的增区间是(0，1)，减区间是(1，＋∞) ⑵当a ＞0时

①当12a ＜1，即a ＞12时，f (x )的增区间是(0，12a )和(1，＋∞)，

减区间是(12a ，1)

②当12a ＝1，即a ＝12时，f (x )的增区间是(0，＋∞)

③当12a ＞1，即0＜a ＜12时，f (x )的增区间是(0，1)和(12a ，＋∞)，

减区间是(1，12a )

综上所述：当a ≤0时，f (x )的增区间是(0，1)，减区间是(1，＋∞)

当a ＞12时，f (x )的增区间是(0，12a )和(1，＋∞)，减区间是(12a ，1) 当a ＝12时，f (x )的增区间是(0，＋∞)

当0＜a ＜12时，f (x )的增区间是(0，1)和(12a ，＋∞)，减区间是(1，12a ) 重要方法七 二次函数型(四)

主导函数类似于二次函数形式.

例如：f ′(x )＝(x ＋1)(e x －a )；

f ′(x )＝(x －a )cosx ，x ∈(0，π)，a ＞π2

； f ′(x )＝(2ax －1)lnx ，x ∈(0，＋∞)；

4.已知函数单调性，求参数范围

例1.函数f (x )＝e x ax 2＋1

(a ＞0)为R 上单调函数，求a 的取值范围. 解：f ′(x )＝e x (ax 2－2ax ＋1)(ax 2＋1)2

∵函数y ＝ax 2－2ax ＋1恒过点(0，1)

f (x )在R 上单调

∴f ′(x )≥0在R 上恒成立，即ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立 ⑴当a ＝0时，符合题意

⑵当a ＜0时，不符合题意

⑶当a ＞0时，只需△＝4a 2－4a ≤0，即0＜a ≤1

综上所述：a 的取值范围为[0，1]

例2.函数f (x )＝lnx ＋1x ＋ax (a ∈R )在[2,＋∞)上是单调函数，求a 的取值范围.

解：f ′(x )＝1x －1x 2＋a

⑴若f (x )在[2,＋∞)上是单调递增，

则f ′(x )＝1x －1x 2＋a ≥0在[2,＋∞)上恒成立

∴a ≥1x 2－1x ，x ∈[2,＋∞)

令t ＝1x ，则y ＝t 2－t ，t ∈(0，12]，则y ∈[－14,0)

∴a ≥0

⑵若f (x )在[2,＋∞)上是单调递减，

则f ′(x )＝1x －1x 2＋a ≤0在[2,＋∞)上恒成立

∴a ≤1x 2－1x ，x ∈[2,＋∞)

令t ＝1x ，则y ＝t 2－t ，t ∈(0，12]，则y ∈[－14,0)

∴a ≤－14

综上所述：a ∈(－∞，－14]∪[0,＋∞)

注：以上两题是不明确函数是增函数还是减函数.

例3.函数f (x )＝xe kx 在(－1,1)内单调递增，求k 的取值范围. 解：f ′(x )＝(1＋kx ) e kx

∵f (x )＝xe kx 在(－1,1)内单调递增，

∴f ′(x )≥0在(－1,1)内恒成立

∴1＋kx ≥0在(－1,1)内恒成立

即?

????－k ＋1≥0k ＋1≥0，即－1≤k ≤1 例4.函数f (x )＝lnx ＋x 2－ax 在定义域上为增函数，求a 的取值范围.

解：f ′(x )＝1x ＋2x －a

∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，

∴f ′(x )＝1x ＋2x －a ≥0在(0，＋∞)上恒成立

∴a ≤1x ＋2x ，x ∈(0，＋∞)

当且仅当1x ＝2x ，即x ＝22时，(1x ＋2x )min ＝2 2

∴a ≤2 2

例5.函数f (x )＝

ax x 2＋b (a ＞0)在(－1,1)内单调递增，求b 的取值范围. 解：f ′(x )＝－a (x 2－b )(x 2＋b )2

由题意知，f ′(x )≥0在(－1,1)上恒成立

∴x 2－b ≤0，x ∈(－1，1)

∴b ≥x 2，x ∈(－1，1)

∴b ≥1

例6.设f (x )＝lnx ＋m x ，m ∈R ，若对任意b ＞a ＞0，f (b )－f (a )b －a

＜1恒成立，求m 的取值范围.

解：∵对任意b ＞a ＞0，f (b )－f (a )b －a

＜1恒成立， ∴对任意b ＞a ＞0，

[f (b )－b ]－[f (a )－a ]b －a ＜0恒成立， ∴F (x )＝f (x )－x ＝lnx ＋m x －x 在(0，＋∞)上递减

∴F ′(x )＝1x －m x 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立

∴x －m －x 2≤0，即m ≥－x 2＋x ，x ∈(0，＋∞)

∴m ≥14

例7.已知函数f (x )＝?????xlnx x ＞a －x 2

＋2x －3 x ≤a ，其中a ≥0，如果对于任意x 1，x 2∈R ， 且x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)，求a 的取值范围.

解：g (x )＝－x 2＋2x －3在(－∞，1)递增，在(1，＋∞)上递减，且g (x )max ＝－2

令H (x )＝xlnx ，则H ′(x )＝lnx ＋1，

令H ′(x )＞0，则x ＞1e ；令H ′(x )＜0，则0＜x ＜1e ；

∴H (x )在在(0，1e )上递减，(1e ，＋∞)递增，

∴H (x )min ＝H (1e )＝－1e

导数题型总结(12种题型)

导数题型总结 1.导数的几何意义 2.导数四则运算构造新函数 3.利用导数研究函数单调性 4.利用导数研究函数极值和最值 5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数 6.函数极值点偏移问题 7.导函数零点不可求问题 8.双变量的处理策略 9.不等式恒成立求参数范围 10.不等式证明策略 11.双量词的处理策略 12.绝对值与导数结合问题 导数专题一导数几何意义 一.知识点睛 导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。 二.方法点拨： 1.求切线 ①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导

数求得函数y ＝f(x)在点x=x 0处的导数f ′(x 0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． ②点（x 0，y 0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x 1，y 1)； (2)根据切点写出切线方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1) (3)利用点（x 0，y 0）在切线上求出（x 1，y 1）； (4)把（x 1，y 1）代入切线方程求得切线。 2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f ′(x 0) ②切点在曲线上③切点在切线上 三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习 1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是 2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1 C.2 D.3 3.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b= 4.（2014江西）若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是 5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2 + x b （a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=2 1e x 上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B. 2（1-ln2） C.1+ln2 D.2(1+ln2) 7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3 和y=ax 2 + 4 15 x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2 上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A. 2 B.8 27 C. 2 2 D. 1

2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练

a - a (- ),( , +∞) 单调递增， 在 (- （ 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 含参数的分类讨论 例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ， （1）求函数 f ( x ) 的单调区间； （2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。 【答案】略 【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分 类标准是零） 当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减； 当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表： x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值 极小值 此时， f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减； a a （II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理， 由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不 重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 ， 若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围

最全导数解答题方法归纳总结

导数解答题归纳总结 19.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数3 2 ()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围． 解析 （Ⅰ）由题意得)2()1(23)(2 +--+='a a x a x x f 又?? ?-=+-='==3 )2()0(0 )0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a （Ⅱ）函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于 导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有 0)1()1(<'-'f f ， 即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得：0)1)(1)(5(2 <-++a a a ，解得15-<<-a 20.（2009北京文）（本小题共14分） 设函数3 ()3(0)f x x ax b a =-+≠. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能 力． （Ⅰ）()' 233f x x a =-, ∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切， ∴()()()'20340 4,24.86828 f a a b a b f ?=-=?=????????=-+==????? （Ⅱ）∵()()()' 230f x x a a =-≠, 当0a <时，()' 0f x >，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增， 此时函数()f x 没有极值点. 当0a >时，由()' 0f x x a =?=± ， 当() ,x a ∈-∞-时，()' 0f x >，函数()f x 单调递增， 当(),x a a ∈-时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当(),x a ∈+∞时，()' 0f x >，函数()f x 单调递增，

导数各类题型方法总结(含答案)

导数各种题型方法总结 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” ， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0) 0302(3) 09330g m g m <-??<--=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)023011(2)0230F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 2b a ∴-=

高中数学导数题型总结

导数 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值； （2）若对于任意的[03]x ∈， ，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值范围。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。

例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。 （2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ， 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最 小值为()2 9 1= -f 。 答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。 考点七：导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

高考数学导数题型归纳(_好)

导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=-- 2 ()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330g m g m <-? ?<--

高考压轴题：导数题型及解题方法总结很全.

高考压轴题：导数题型及解题方法 （自己总结供参考） 一．切线问题 题型1 求曲线)(x f y 在0x x 处的切线方程。方法： )(0x f 为在0x x 处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线 )(x f y 的相切问题。 方法：设曲线 )(x f y 的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x )()()(000 求出0x ，进而解决相关问题。 注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。例 已知函数f （x ）=x 3 ﹣3x ． （1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169y x ） （2）若过点A )2)(,1(m m A 可作曲线)(x f y 的三条切线，求实数 m 的取值范围、 （提示：设曲线 )(x f y 上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于 m x ,0的方 程有三个不同实数根问题。（答案： m 的范围是2,3） 题型3 求两个曲线)(x f y 、)(x g y 的公切线。方法：设曲线)(x f y 、)(x g y 的切点分别为（ )(,11x f x ）。（)(,22x f x ）； 建立 21,x x 的等式关系，12112)()(y y x f x x ，12 212 )()(y y x f x x ；求出21,x x ，进而求出 切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。 例 求曲线 2 x y 与曲线x e y ln 2的公切线方程。（答案02e y x e ） 二．单调性问题 题型1 求函数的单调区间。 求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与 0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与 0的 关系不定）；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。例 已知函数x a x x a x f )1(2 1ln ) (2 （1）求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点的大小关系分类）（2）若 e x ,2，求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点与区间的关系分类） 题型2 已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。 方法1：研究导函数讨论。 方法2：转化为 0) (0) (' ' x f x f 或在给定区间上恒成立问题， 方法3：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子 集。 注意：“函数)(x f 在 n m,上是减函数”与“函数)(x f 的单调减区间是b a,”的区别是前者是后者的子集。 例已知函数2 () ln f x x a x + x 2在 , 1上是单调函数，求实数 a 的取值范围． （答案 , 0） 题型 3 已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。 方法1：正难则反，研究在某区间的不单调方法2:研究导函数是零点问题，再检验。方法3:直接研究不单调，分情况讨论。 例 设函数 1) (2 3 x ax x x f ，R a 在区间 1,2 1内不单调，求实数 a 的取值范围。 （答案： 3, 2a ） ）三．极值、最值问题。 题型1 求函数极值、最值。基本思路：定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值→ 最值。 例 已知函数12 1)1() (2 kx x e k x e x f x x ，求在2,1x 的极小值。 （利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类） 题型 2 已知函数极值，求系数值或范围。 方法：1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。方法2.转化为函数单调性问题。 例 函数1)1(2 1)1(3 14 1) (2 3 4 x p p px x p x x f 。0是函数)(x f 的极值点。求实数 p 值。（答案：1）

高考数学导数题型归纳(文科)-

文科导数题型归纳 高度重视： 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量；２变更主元;3根分布；４判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴（重视单调区间) 与定义域的关系 （２）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后,在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0，=0,<0) 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元)； (请同学们参看2０10省统测2） 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常 数,432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” ， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3］上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330 g m g m <-? ?<--

高考导数压轴题型归类总结

导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31） （一）作差证明不等式 （二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围 （51） （一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数 （三）恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84） 七、导数结合三角函数 （85） 书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>.

一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. （切线）设函数a x x f -=2)(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值； （2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21. 解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得3 3 ±=x . 所以当33= x 时，)(x g 有最小值9 32)33(-=g . (2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ，得12 122x a x x +=，∴12 1 112 11222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1，∴ 021 21 <-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. （2009天津理20，极值比较讨论） 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当2 3 a ≠ 时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令

导数题型方法总结绝对经典

第一章 导数及其应用 一.导数的概念 1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1 )(0 则的值是（ ） A. 4 1- B. 2 C. 41 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430--='→（ ） A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 变式2：()()()00003,lim x f x x f x x f x x x ?→+?--??设在可导则等于 （ ） A ．()02x f ' B ．()0x f ' C ．()03x f ' D ．()04x f ' 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； （请同学们参看2010省统测2） 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <

导数大题方法总结

导数大题方法总结 一总论 一般来说，导数的大题有两到三问。每一个小问的具体题目虽然并不固定，但有相当的规律可循，所以在此我进行了一个答题方法的总结。 二主流题型及其方法 *（1）求函数中某参数的值或给定参数的值求导数或切线 一般来说，一到比较温和的导数题的会在第一问设置这样的问题：若f(x)在x = k时取得极值，试求所给函数中参数的值；或者是f(x)在(a , f(a))处的切线与某已知直线垂直，试求所给函数中参数的值等等很多条件。虽然会有很多的花样，但只要明白他们的本质是考察大家求导数的能力，就会轻松解决。这一般都是用来送分的，所以遇到这样的题，一定要淡定，方法是： 先求出所给函数的导函数，然后利用题目所给的已知条件，以上述第一种情形为例：令x = k，f(x)的导数为零，求解出函数中所含的参数的值，然后检验此时是否为函数的极值。 注意：①导函数一定不能求错，否则不只第一问会挂，整个题目会一并挂掉。保证自己求导不会求错的最好方法就是求导时不要光图快，一定要小心谨慎，另外就是要将导数公式记牢，不能有马虎之处。②遇到例子中的情况，一道要记得检验，尤其是在求解出来两个解的情况下，更要检验，否则有可能会多解，造成扣分，得不偿失。所以做两个字来概括这一类型题的方法就是：淡定。别人送分，就不要客气。③求切线时，要看清所给的点是否在函数上，若不在，要设出切点，再进行求解。切线要写成一般式。 *（2）求函数的单调性或单调区间以及极值点和最值 一般这一类题都是在函数的第二问，有时也有可能在第一问，依照题目的难易来定。这一类题问法都比较的简单，一般是求f(x)的单调（增减）区间或函数的单调性，以及函数的极大（小）值或是笼统的函数极值。一般来说，由于北京市高考不要求二阶导数的计算，所以这类题目也是送分题，所以做这类题也要淡定。这类问题的方法是： 首先写定义域，求函数的导函数，并且进行通分，变为假分式形式。往下一般有两类思路，一是走一步看一步型，在行进的过程中，一点点发现参数应该讨论的范围，一步步解题。这种方法个人认为比较累，而且容易丢掉一些情况没有进行讨论，所以比较推荐第二种方法，就是所谓的一步到位型，先通过观察看出我们要讨论的参数的几个必要的临介值，然后以这些值为分界点，分别就这些临界点所分割开的区间进行讨论，这样不仅不会漏掉一些对参数必要的讨论，而且还会是自己做题更有条理，更为高效。 极值的求法比较简单，就是在上述步骤的基础上，令导函数为零，求出符合条件的根，然后进行列表，判断其是否为极值点并且判断出该极值点左右的单调性，进而确定该点为极大值还是极小值，最后进行答题。 最值问题是建立在极值的基础之上的，只是有些题要比较极值点与边界点的大小，不能忘记边界点。 注意:①要注意问题，看题干问的是单调区间还是单调性，极大值还是极小值，这决定着你最后如何答题。还有最关键的，要注意定义域，有时题目不会给出定义域，这时就需要你自己写出来。没有注意定义域问题很严重。②分类要准，不要慌张。③求极值一定要列表，不能使用二阶导数，否则只有做对但不得分的下

导数常见题型与解题方法总结

导数题型总结 1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元 3、根分布 4、判别式法-----结合图像分析 5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)('=x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）。 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=- - 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <

高中数学函数与导数常考题型归纳

高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ???? 0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ?? 1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ?? ??1a ＝ln 1 a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ?? 1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.

导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题 含参数导数问题的分类讨论问题 1．求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 ★已知函数ax x a x x f 2)2(2 131)(23++-=（a>0）,求函数的单调区间 )2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a x a x x f ln )2(2)(+-- =（a>0）求函数的单调区间 2 2 2) )(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-=' ★★★例3已知函数()()22 21 1 ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。 （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。 ! 解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。 （Ⅱ）由于0a ≠，所以()() 1 2)1(222+-+='x x a x f ,由 ()'0f x =，得121 ,x x a a =-=。这两个实根都在定 ()()()()()() 2 2 ' 2222 122122111a x a x a x x ax a a f x x x ? ?--+ ?+--+??==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。 (1)当0a >时，则12x x <。易得()f x 在区间1,a ? ? -∞- ??? ，(),a +∞内为减函数， 在区间1,a a ?? - ??? 为增函数。故函数()f x 在11x a =-处取得极小值 21f a a ?? -=- ??? ； 函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。 （1） 当0a <时，则12x x >。易得()f x 在区间),(a -∞，),1 (+∞-a 内为增函数，在区间 )1,(a a -为减函数。故函数()f x 在11 x a =-处取得极小值 21f a a ?? -=- ??? ；函数 ()f x 在 2x a =处取得极大值()1f a =。

导数题型方法总结(绝对经典)

第一章导数及其应用 一.导数的概念 1..已知的值是（） A. B. 2 C. D. －2 变式1：（） A．－１Ｂ．－2C．－3D．1 变式2：（） A．B．C．D． 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； （请同学们参看2010省统测2） 例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数， （1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围； （2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值. 解:由函数得 （1）在区间上为“凸函数”， 则在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于

导数各种题型方法总结

导数各种题型方法总结
请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2 变更主元；3 根分布；4 判别式法 5、二次函数区间最值求法： （1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次， 分析每种题型的本质， 你会发现大部分都在解决 “不等式恒成立问题” 以及“充分应用数形结合思想” ，创建不等关系求出取值范围。b5E2RGbCAP 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 f ' ( x) ? 0 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元） ；
（请同学们参看 2012 省统测 2） 例 1： 设函数 y ? f ( x) 在区间 D 上的导数为 f ?( x ) ， f ?( x ) 在区间 D 上的导数为 g ( x) ， 若在区间 D 上，
g ( x) ? 0 恒 成 立 ， 则 称 函 数 y ? f ( x ) 在 区 间 D 上 为 “ 凸 函 数 ” ，已知实数 m 是常数，
f ( x) ?
x 4 mx3 3x 2 ? ? p1EanqFDPw 12 6 2 （1）若 y ? f ( x) 在区间 ? 0,3? 上为“凸函数” ，求 m 的取值范围；
（2）若对满足 m ? 2 的任何一个实数 m ，函数 f ( x ) 在区间 ? a, b ? 上都为“凸函数” ，求 b ? a 的最大
值.
x 4 mx3 3x 2 x3 mx 2 ? ? ? ? 3x 解:由函数 f ( x) ? 得 f ?( x) ? 12 6 2 3 2 ? g ( x) ? x2 ? mx ? 3
（1）
y ? f ( x) 在区间 ?0,3? 上为“凸函数” ，
2
则 ? g ( x) ? x ? mx ? 3 ? 0 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 gmax ( x) ? 0
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2020高考数学函数与导数综合题型分类总结

函数综合题分类复习 题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；参考例4； 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，2 2()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . （1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域； （2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+） （0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2，函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式； （2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围． 答案： 1、解：（Ⅰ） '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点， ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根，解得32 b =. 令'()0f x >，则2 320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >， ∴ ()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时，要使 22()3f x a -> 恒成立，只需22(2)3f a >+， 即2 2233 a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2 ． 由题意知? ??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得 ???=-=23b a ． ∴ 233)(23+--=x x x x f ． （Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵ 3>a ，∴ 01242>-=?a a ．