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空间直线异面关系的判定与度量

考点动向

空间直线的位置关系，除了初中就熟悉的相交与平行外，立体几何中新增加了异面关系，这部分是立体几何的传统重点知识，从客观小题到解答大题都会涉及到，有对异面关系的判定问题，也有对异面程度的度量问题，涉及异面成角与异面直线间的距离，这些问题可以充分考查考生的空间想象能力，解题方法主要是平移直线与借助直线的方向向量等，可以预测考查空间异面直线的问题仍将保持热度．

方法范例

例如图１－１，已知两个正四棱锥P ABCD -与Q ABCD -的高分别为１

和２，4AB =．

（Ⅰ）证明PQ ⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）求异面直线AQ 与PB 所成的角；

（Ⅲ）求点P 到平面QAD 的距离．解析本题设置的三问，有证有算，

由于已知为两个同底的正棱锥组合而成的，故可以利用几何体的性质，构造空间直角坐标系，借助向量解答，对于求异面直线所成的角，也可利用定义实施平移解答．

解法１（I ）连结AC BD ，，设AC

BD O =．因为P ABCD -与Q ABCD -都是

正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD ．从而P O Q ，，三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABCD ．

（II ）由题设知，ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥．由（I ），PQ ⊥平面

ABCD ，故可分别以直线CA DB QP

，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图１－２）由题设条件，相关各点的

Ｑ

图１－１

图１－２

几何精练

坐标分别是(001)P ，，

，0)(002)(0A Q B -，，，，，．所以(2202)(021)AQ PB =--=-，，，，．于是3

cos 9

AQ PB AQ

PB AQ PB

<>=

，．从而异面直线AQ 与PB 所成的角是

．（III ）由（II ），点D 的坐标是(0-，，(22220)(003)AD PQ =--=-，，，，，，

设()n x y z =，，是平面QAD 的一个法向量，由00n

AQ n AD ?=??=??得00z x y +

=+=??．

取1x =，得(1

1n =--，，．所以点P 到平面QAD 的距离32

PQ n d n

．解法２（I ）取AD 的中点M ，连结PM QM ，．因为P ABCD -与Q ABCD -都是

正

四

棱

锥

，

所

以

A D P M ⊥⊥，．从而AD ⊥平面

PQM ．又PQ ?平面P Q M ，所以P Q A D ⊥．同理PQ AD ⊥，所以PQ ⊥平

面ABCD ．

（II ）连结AC BD ，，设A

C B

D O =，

由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知

O 在PQ 上，从而P A Q C ，，，四点共面．

取OC 的中点N ，连结PN ．因为

1122PO NO NO OQ OA OC ===，，所以PO NO

OQ OA

=，从而AQ

PN BPN ，∥∠（或其补角）是异面直线AQ 与PB 所成的角．连结

BN ．因为

3PB =

，

PN ===，

=== 所以222cos 29PB PN BN BPN PB PN +-===

∠．

图１－３

从而异面直线AQ 与PB 所成的角是．（III ）由（I ）知，AD ⊥平面PQM ，所以平面QAD ⊥平面PQM ．过P 作PH QM ⊥于H ，则PH ⊥平面QAD ，所以PH 的长为点P 到平面QAD 的距离．连结OM ，因为

OM AB OQ ===，所以45MQP =?∠．又3P Q

P O Q O

=+=，于是

s i n 45P H P Q =

?=2．即点P 到平面QAD 的距离是2

．

[规律小结]

（１）涉及异面直线的求夹角与距离的问题，求距离在高考最新大纲要求下，只要能解决异面直线的公垂线已知的问题，只需要记住异面直线的公垂线是和它们均垂直且相交的直线即可．因此，求异面直线的夹角是很重要的问题，主要借助异面直线夹角的定义进行，注意定义中平移的不确定性使问题的解法多样化，常见的有外移，内移，补形等方法．注意平移的好坏取决于是否有利于第二步构造三角形求角．

（２）借助直线的方向向量求异面直线的夹角，注意选取点的坐标要容易确定，向量的夹角可以是钝角，而异面直线的夹角只能是锐角或直角．有时，也可以借助基向量的方法解答，而不是建立空间直角坐标系解答．

考点误区分析

（１）注意第一步的平移十分重要，不可随意而作，否则往往会带来繁杂的运算，要注意实施多次尝试平移，寻找最佳解题方案，此类问题显然需要构造辅助线解答，充分考查考生的空间想象能力，一般若平移能够很好解决，可以不考虑运用向量的方法．当借助直线的方向向量解决时，若不是特殊角，注意借助反三角函数表示角的基本知识．

（２）向量之间的夹角公式cos ||||

a b

a b θ=

求出的可能是钝角，不妨直接利用

cos |

|||||

a b

a b θ=．而若成角为直角，有时也用证明代替求解的特殊方法．如对正四面体

ABCD ，求直线AB 与CD 所成的角，容易证明它们互相垂直，则成角为90?．

同步训练

１．已知二面角l a b --的大小为60°，,m n 为异面直线，且m a ^、n b ^，则,m n

所成的角为（）.

()A 30° ()B 60° ()C 90° ()D 120°

２．在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形．60DAB =∠，对角线AC 与BD 相交于点

O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成

角为60．

（1）求四棱锥P ABCD -的体积；

（2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

３．如图5所示，AF DE ，分别是1O O ，的直径，AD 与两圆所在的平面均

垂直，8AD =．BC 是

O 的直径，

6A B A C ==，OE AD ∥．

（１）求二面角B AD F --的大小；（２）求直线BD 与EF 所成的角．４．如图，四面体ABCD 中，O ，E 分别

是

BD ，

的中点，2C A C B C D B

====，AB AD == （1）求证：AO ⊥平面BCD ；

（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；（3）求点E 到平面ACD 的距离．［参考答案］

１．［解析］直接作草图或想象，不难得出夹角为60°，注意120°的干扰．［答案］()B ．

２．［解析］对（１），底面菱形的形状确定，实际是两个正三角形拼接成的，求出其面积，再根据已知的线面角求出高，则借助锥体的体积公式1

V Sh =

可得；对（２），以O 为坐标原点，射线OB OC OP ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．求

A 图１－４

O E

图１－５

图１－６

出DE 与AP 的夹角即为所求．或者，取AB 的中点F ，连接EF DF ，， FED ∠是异面直线DE 与PA 所成角（或它的补角），在FED △中解出该角即可．

［答案］（１）２；（２）．３．［解析］对（１），可知BAF ∠即为所求平面角；对（２），可以O 为原点，,,BC AF OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，确定,BD FE 的坐标即可求出．

［答案］（１）45?；（２）10

arccos

．４．［解析］对（１），可证,AO BD AO OC ⊥⊥；对（２），取AC 的中点M ，直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．对（３），由E ACD A CDE V V --=可得．（２），（３）也可借助向量解答，对（２），以O 为原点，,,BD OC OA 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，确定,BA CD 的坐标即可求出．对（３），可得平面ACD

的法向量

为(=n ，又1022

EC ??

=- ? ???

，，点E 到平面A C D 的距

离

37EC h =

=n n

．

［答案］（２）arccos 4；（３）7

．

空间直线与直线的位置关系(教学案)

青岛市中等职业学校信息化教学设计比赛教学案参赛人: 王立广参赛单位: 青岛幼儿师范学校

课题：10.2空间两条直线的位置关系学习目标： 1、知识与技能（1）理解空间两条直线的位置关系。（2）会用平面衬托来画异面直线。（3）掌握并会应用平行公理。（4）会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法在直线的位置关系的判断过程中，掌握借助平面判断空间两条直线的位置关系的方法； 3、情感态度与价值观 (1).让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 (2).增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。 (3).通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。学习重点：异面直线的判断；学习难点：异面直线所成角的推证与求解。教具准备：学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体）、手工制作模型一、课前导学平面内两条直线的位置关系有：、。其中相交直线有个公共点；平行直线公共点。【问题引导】在同一个平面内，两条直线要么平行，要么相交，不平行的两直线一定相交，在空间内任意两条直线这个结论是否还成立？【实例观察】观察下列两个图形，螺母与十字路口----立交桥，AB, CD所在直线平行吗？相交吗？）二、新课导学A B D

1.异面直线的定义: 我们把叫做异面直线。【问题引导】你认为异面直线的定义中，关键字有哪些？为什么？ 2.空间两直线的位置关系按平面基本性质分?? ???? ?????? 不同在任何平面内在同一平面内按公共点个数分?? ? ? ?? ??????没有公共点有一个公共点【合作探究】 1.在正方体ABCD －EFGH 中，和AE 相交、平行、异面的直线分别有哪些？（学生快速对照模型寻找答案，然后收起模型，看图回答。） 2.如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有对? （学生以小组为单位，对照课前准备好的正方体模型，进行合作讨论，找出异面直线。教师通过几何画板展示此图还原的过程，与学生一起订正他们的答案）【问题引导】你是怎么判断直线的位置关系的？怎么判断两直线是否是异面直线的？ 3．异面直线的判断经过一点和一点的直线，和的直线是异面直线。【问题引导】异面直线的判断需要平面的辅助，怎么寻找辅助的平面呢？ 4.异面直线的画法说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托。下列三 A D C B E G H C

空间中直线与直线之间的位置关系(附答案)

空间中直线与直线之间的位置关系 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题. 知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线. (2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线. (3)判断方法方法内容定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用) 反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不

是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类 ?? ? 共面直线??? ?? 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)按两条直线是否有公共点分类 ??? 有且仅有一个公共点——相交直线无公共点? ?? ?? 平行直线异面直线思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二公理4(平行公理) 文字语言平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性符号语言 ? ??? ?a ∥c b ∥c ?a ∥b 图形语言知识点三空间等角定理 1.定理

与两条异面直线成等角的直线条数的判定

与两条异面直线成等角的直线条数的判定一(2)班杨一帆过空间一点作与已知异面直线成等角的直线有几条的问题见诸于各种材料。其考查学生的空间想象能力、化归能力、识图能力、分类讨论能力，训练学生逻辑思维的深刻性、完备性。该种题型的常见解题思路是先用异面直线所成的角的定义转化为以下问题：在空间中，过两条相交直线的交点作与已知两直线成等角的直线有几条？再讨论，画图求解。本文将该类题型归纳总结出几个结论，供同学们参考。题目1：已知异面直线a,b 成θ角，过空间任意一点o 作直线，使与a ,b 成等角φ，则这样的直线有条。上述问题，运用异面直线所成角的定义，过o 作直线a '∥a,b '∥b,转化为题目2：已知直线,o b a ='' 且' ' ,b a 成θ角，（注意θ角的范围），过o 作与' ' ,b a 成等角φ的直线，则这样的直线有条。解：本题须分两大类讨论（∵θ∈]2 ,0(π ）。第一类： θ∈)2 ,0(π 时，若φ=,2θ 则只能作一条直线 0，满足题设。（此时 0是∠' 'ob a 的角平分线，如图1）。图1 图2 若0<φ< 2θ , 则这样的直线不存在。若2 2θπφθ-<<，则这样的直线有两条21, ，（如图2）（实际上21, 是 0绕O 在过 0且与' ' ,b a 确定的平面垂直的平面内旋转而得。）若2 θ πφ-= ，则这样的直线有3条21, ， 01（如图3）（此时 01为∠' 'ob a 的补角的角平分线，21, 是 0 绕O 点在过 0且与' ',b a 确定的平面垂直的平面内旋转而得。）

若 ,2 2 π φθ π< <-则这样有直线有4条21, ,43, ,（如图4，此时21, 是 0绕O 点在过 0且与' ',b a 确定的平面垂直的平面内旋转而得。43, 是 01绕O 点在过 01且与 '',b a 确定的平面垂直的平面内旋转而得。）若2 π φ=，则这样的直线有且只有1条，即过O 垂直于' ',b a 确定的平面的直线。（如图 5） ' b ' a O 图3 图4 图5 第二类：2 π θ= 时，若4 0π φ< <，则这样的直线不存在；若4 π φ= ，则这样的直线有两条（即为两个直角的角平分线，如图6）；若2 4 π φπ < <，则这样的直线有4条（上种情形的两条直线旋转而得，如图7）；若2 π φ=，则这样的直线有且只有1条，（即过O 垂直于' ' ,b a 确定的平面的直线。如图8） 1 2 1 2 3 4 ' a ' a ' a ' b ' b ' b 图6 图7 图8 把以上情形总结成下表：

异面直线典型例题

典型例题一例1 若b a //，A c b = ，则a ，c 的位置关系是（）． A ．异面直线 B ．相交直线 C ．平行直线 D ．相交直线或异面直线分析：判断两条直线的位置关系，可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论．解：如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，设a B A =11，b AB =，则b a //．若设c B B =1，则a 与c 相交．若设c BC =，则a 与c 异面．故选D ．说明：利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解．一般以正方体、四面体等为具体模型．例如，a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 的位置 b 异面，b ， c 异面，则关系是相交、平行或异面．类似地；a ， a ，c 的位置关系是平行、相交或异面．这些都可以用正方体模型来判断．典型例题二例2 已知直线a 和点A ，α?A ，求证：过点A 有且只有一条直线和a 平行．分析：“有且只有”的含义表明既有又惟一，因而这里要证明的有两个方面，即存在性和惟一性．存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法（即找到满足条件的对象来证明）；惟一性，即证明满足条件的对象只有．．一个，换句话说，说是不存在第二个满足条件的对象．

因此，这是否定性．．．命题，常用反证法．证明：（1）存在性． ∵ a A ?，∴ a 和A 可确定一个平面α，由平面几何知识知，在α内存在着过点A 和a 平行的直线．（2）惟一性假设在空间过点A 有两条直线b 和c 满足a b //和a c //．根据公理4，必有c b //与 A c b = 矛盾， ∴ 过点A 有一条且只有一条直线和a 平行．说明：对于证明“有且只有”这类问题，一定要注意证明它的存在性和惟一性．典型例题三例3 如图所示，设E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且 λ==AD AH AB AE ，μ==CD CG CB CF ，求证：（1）当μλ=时，四边形EFGH 是平行四边形；（2）当μλ≠时，四边形EFGH 是梯形．分析：只需利用空间等角定理证明FG EH //即可．证明：连结BD ，在ABD ?中，λ==AD AH AB AE ，∴ BD EH //，且BD EH λ=．在CBD ?中，μ==CD CG CB CF ，∴ BD FG //，且BD FG μ=． ∴ FG EH //， ∴ 顶点E ，F ，G ，H 在由EH 和FG 确定的平面内．（1）当μλ=时，FG EH =，故四边形EFGH 为平行四边形；（2）当μλ≠时，FG EH ≠，故四边形EFGH 是梯形．说明：显然，课本第11页的例题就是本题（2）的特殊情况．

【步步高】2014届高考数学一轮复习 3.2.2 空间线面关系的判定(一)备考练习苏教版

3.2.2 空间线面关系的判定(一) ——平行关系的判定一、基础过关 1．空间直角坐标系中A (1,2,3)，B (－1,0,5)，C (3,0,4)，D (4,1,3)，则直线AB 与CD 的位置关系为________(平行、垂直或无法确定)． 2．已知平面α的一个法向量是n ＝(1,1,1)，A (2,3,1)，B (1,3,2)，则直线AB 与平面α的关系是______________． 3．已知直线l 与平面α垂直，直线的一个方向向量为u ＝(1,3，z )，向量v ＝(3，－2,1) 与平面α平行，则z ＝________. 4．已知A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，D (1,1，x )，若AD ?平面ABC ，则实数x 的值是_____． 5．若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________. 6．如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、P 、Q 分别为棱AB 、CD 、BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 ①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ； ③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1. 以上结论中正确的是__________(填序号)．二、能力提升 7．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 、AC 上的点，A 1M ＝AN ＝ 2 3 a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 8．如图所示，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 中点，点M 的四边形EFGH 及其内部运动，则M 只须满足条件________时，MN ∥平

空间直线异面关系的判定与度量讲解

空间直线异面关系的判定与度量考点动向空间直线的位置关系，除了初中就熟悉的相交与平行外，立体几何中新增加了异面关系，这部分是立体几何的传统重点知识，从客观小题到解答大题都会涉及到，有对异面关系的判定问题，也有对异面程度的度量问题，涉及异面成角与异面直线间的距离，这些问题可以充分考查考生的空间想象能力，解题方法主要是平移直线与借助直线的方向向量等，可以预测考查空间异面直线的问题仍将保持热度．方法范例例如图１－１，已知两个正四棱锥P ABCD -与Q ABCD -的高分别为１和２，4AB =．（Ⅰ）证明PQ ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求异面直线AQ 与PB 所成的角；（Ⅲ）求点P 到平面QAD 的距离．解析本题设置的三问，有证有算，由于已知为两个同底的正棱锥组合而成的，故可以利用几何体的性质，构造空间直角坐标系，借助向量解答，对于求异面直线所成的角，也可利用定义实施平移解答．解法１（I ）连结AC BD ，，设AC BD O = ．因为P ABCD -与Q ABCD -都是正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD ．从而P O Q ，，三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABCD ．（II ）由题设知，ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥．由（I ），PQ ⊥平面 ABCD ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图１－２）由题设条件，相关各点的 C A B P D Ｑ图１－１ C 图１－２几何精练

坐标分别是(001)P ，，，0)(002)(0A Q B -，，，，，．所以(2)(01)AQ PB =--=- ，，．于是cos AQ PB AQ PB AQ PB <>== ，．从而异面直线AQ 与PB 所成的角是arccos 9 ．（III ）由（II ），点D 的坐标是(0-，，((003)AD PQ =--=- ，，，设()n x y z = ，，是平面QAD 的一个法向量，由00n AQ n AD ?=??=?? 得00z x y +=+=? ?．取1x = ，得(11n =- ，．所以点P 到平面QAD 的距离PQ n d n == ．解法２（I ）取AD 的中点M ，连结PM QM ，．因为P ABCD -与Q ABCD -都是正四棱锥，所以 A D P M ⊥⊥，．从而AD ⊥平面 PQM ．又PQ ?平面P Q M ，所以P Q A D ⊥．同理PQ AD ⊥，所以PQ ⊥平面ABCD ．（II ）连结AC BD ，，设A C B D O = ，由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知 O 在PQ 上，从而P A Q C ，，，四点共面．取OC 的中点N ，连结PN ．因为 1122PO NO NO OQ OA OC ===，，所以PO NO OQ OA =，从而AQ PN BPN ，∥∠（或其补角）是异面直线AQ 与PB 所成的角．连结BN ．因为3PB == = ，PN === BN === 所以222cos 2PB PN BN BPN PB PN +-=== ∠．图１－３

空间中点线面位置关系

高一升高二暑假衔接立体几何第一讲：空间中的点线面一，生活中的问题？生活中课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们以“平面”形象．如果想把一个木棍钉在墙上，至少需要几个钉子？教室的门为什么可以随意开关？插上插销后为什么不能开启？房顶和墙壁有多少公共点？通过本节课学习，我们将从数学的角度解释以上现象．二，概念明确 1，点构成线，线构成面，所以点线面是立体几何研究的主要对象。所以：点与线的关系是_____________________，用符号______________。线与面的关系是_____________________，用符号______________。点与面的关系是_____________________，用符号______________。 2，高中立体几何主要研究内容：点，线，面的位置关系和几何量（距离，角） 3，直线是笔直，长度无限的；平面是光滑平整，向四周无限延伸，没有尽头的。点，线，面都是抽象的几何概念。不必计较于一个点的大小，直线的长度与粗细。 4，平面的画法与表示描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限的画法通常把水平的平面画成一个，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的倍，如图a所示，如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用画出来，如图b所示

记法 (1)用一个α，β，γ等来表示，如图a中的平面记为平面α (2) 用两个大字的(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示，如图a中的平面记为平面AC或平面BD (3) 用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如图a 中的平面记为平面ABC或平面等 (4) 用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的)来表示，如图a中的平面可记作平面ABCD 检验检验：下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50m，度是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为() A．1B．2C．3D．4 三，点，线，面的位置关系和表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言符号语言图形语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外文字语言符号语言图形语言 l在α内 l与α平行

人教版高中数学必修二考点练习：异面直线的判定

异面直线的判定 1. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A1B与直线D1C的位置关系是________； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是________； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是________； ④直线AB与直线B1C的位置关系是________． 2. 若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则() A．a∥c B．a、c是异面直线 C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面 3. 若a，b，c是空间3条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是() A．异面B．相交 C．平行D．异面或相交 4. 若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c() A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 5. 如下图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的4条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS是异面直线的一个图是________．

6. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱AA1垂直且异面的棱有________. 7. 如下图所示是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为() A．相交B．平行 C．异面而且垂直D．异面但不垂直 8. 若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则() A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面 9. 如右图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由． (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．

空间两条直线的位置关系

空间两条直线的位置关系知识点一空间两条直线的位置关系 1．异面直线 ⑴定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线。 ⑵特点：既不相交，也不平行。 ⑶理解：①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性。 ②“不同在任……”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”。 ③不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．也就是说，在两个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线． 2．空间两条直线的位置关系 ⑴相交——在同一平面内，有且只有一个公共点； ⑵平行——在同一平面内，没有公共点； ⑶异面——不同在任何个平面内，没有公共点．例1、正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上) 答案：③④ 例2、异面直线是指____． ①空间中两条不相交的直线；②分别位于两个不同平面内的两条直线； ③平面内的一条直线与平面外的一条直线；④不同在任何一个平面内的两条直线．变式1、一个正方体中共有对异面直线．

变式1、如图E 、F 、G 、H 是平面四边形ABCD 四边中点，四边形EFGH 的形状是平行四边形吗？为什么？如果将ABCD 沿着对角线BD 折起就形成空间四边形ABCD ，那么四边形 EFGH 的形状还是平行四边形吗？知识点三异面直线 1、异面直线的画法：为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如下图(l)，若画成如下图(2)的情形，就分不开了，千万不能画成(2)的图形。画平面衬托时，通常画成下图中的情形。 2、异面直线的判定 ⑴异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线． ⑵判定两条直线为异面直线的常用方法有： ①定义法：不同在任一平面内的两条直线． ②定理法：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线为异面直线． ③推论法：一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直线． ④反证法：反证法是证明立体几何问题的一种重要方法，证明步骤有三步：一是提出与结论相反的假设；二是由此假设推出与题目条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾结果；三是推翻假设，从而肯定与假设相反的结论，即命题的结论成立， 3、异面直线所成的角 a 与 b 是异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a′∥a ，b ′//b ，直线a′和b ′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a ，b 所成的角．如下图所示． A B D E F G H A B C D E F G H 折

异面直线及其夹角

异面直线及其夹角教学目标：：知识目标：1、掌握异面直线的概念，会画空间两条异面直线的图形，会判断两直线是否为异面直线。 2、掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较简单的异面直线所成的角能力目标：在问题解决过程中，培养学生的实验观察能力、空间想能力象、逻辑思维能力、分析问题、解决问题的能力。教学重点、难点: 重点：异面直线所成角的概念, 能求出一些较简单的异面直线所成的角。难点：异面直线所成角的定义, 如何作出异面直线所成的角。教学准备：多媒体课件教学课时：二课时教学过程：第一课时一、导入新课 1．引导学生观察立交桥上的车辆为什么能畅通无阻？两条道路所在的直线不在同一平面内。它们既不平行也不相交，这样的两条直线有什么特点呢？ 2．请学生做一个小实验，拿两支笔在空间中你能摆出几种位置关系？有3种：平行、相交、不平行也不相交的两条直线（对于这样的两条直线以前我们没有学习过，那么它们之间有什么特点和关系呢？）。（板书课题）二、新课讲解前面我们学习过平行线，相交线，它们是同一平面内两条直线的位置关系，通过前面的实验和动画的观察，在空间还存在另一种两条直线的位置关系（不平行也不相交）。我们给它一个新的名称“异面直线”。 1 异面直线的定义：不同在任何．．一个平面内的两条直线叫异面直线。 2．两条异面直线的性质：既不平行，也不相交。（如前面我们所说的两个例子，同学们还能找出具有这种性质的两条直线吗？）找两位学生说说他们所找的情况。 3.空间两条异面直线的画法。如何用图形来表示两条异面直线，通常怎么样画？（老师板演，同时让学生总结其特点）这三种表示方法有一个共同的特点，就是用平面来衬托，离开平面的衬托，不同在任何一个平面的特征难以体现。（今后我们也可以不用平面来衬托）同学们想一想如果这样表示两条异面直线行吗？为什么？ a b a b b a

异面直线的判定练习题及答案

异面直线的判定 1.已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点（如图），求证：（1）对角线AC、BD是异面直线；（2）直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上．是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，（1）求证：直线EF与BD是异面直线； 3.已知：平面α∩平面β=a，b?α，b∩a=A，c?β且c∥a，求证：b、c是异面直线． 4.已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证： AD与BC是异面直线． 5.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，求证：CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线．

小结：常用方法是反证法（1）利用反证法证明对角线AC、BD是共面直线，推出矛盾，从而证明是异面直（2）说明直线EF和HG必交于一点，然后证明这点在平面ADC内．又在平面ABC内，必在它们的交线AC上．：（1）假设对角线AC、BD在同一平面α内，则A、B、C、D都在平面α内，这与ABCD是空间四边形矛盾，∴AC、BD是异面直线．（2）∵E、H分别是AB、AD的中点所以EH平行且等于1/2BD, 又F、G分别是BC、DC的三等分点， EG平行等于2/3BD，．∴EH∥FG，且EH＜FG．∴FE与GH相交设交点为O，又O在GH上，GH在平面ADC内，∴O在平面ADC内．同理，O在平面ABC内．从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上． 2.（1）假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，得到A、B、C、D在同一平面内，矛盾． 3.（1）证明：用反证法．设EF与BD不是异面直线， 4.则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面， 5.所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾． 6.故直线EF与BD是异面直线． 7.3.证明b、c是异面直线，比较困难，考虑使用反证法，即若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交，证明b∥c或b与c相交都是不可能的，从而证明b、c是异面直线证明：用反证法： 8.若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交 9.（1）若b∥c．∵a∥c，∴a∥b这与a∩b=A矛盾； 10.（2）若b，c相交于B，则B∈β，又a∩b=A， 11.∴A∈β∴AB?β，即b?β这与b∩β=A矛盾 12.∴b，c是异面直线． 4.证明：法一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α， 5.那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾， 6.假设不成立，∴AD和BC是异面直线． 7.法二：（直接证法）∵a∩c=P，∴它们确定一个平面， 8.设为α，由已知C?平面α，B∈平面α，AD?平面α，B?AD，∴AD和BC是异面直线． 9.证明：用反证法， 10.假设CD1所在的直线与BC1所在的直线不是异面直线． 11.设直线CD1与BC1共面α． 12.∵C，D1∈CD1，B，C1∈BC1，∴C，D1，B，C1∈α∵CC1∥BB1，∴CC1，BB1确定平面BB1C1C，∴C，B，C1∈平面BB1C1C． 13.∵不共线的三点C，B，C1只有一个平面，∴平面α与平面BB1C1C重合．∴D1∈平面BB1C1C，矛盾． 14.因此，假设错误，即CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线

求两条异面直线之间距离的两个公式

求两条异面直线之间距离的两个公式王文彬（抚州一中江西 344000）本文介绍求异面直线距离的两个简捷公式，以及如何定量地确定异面直线公垂线的方法. 1.公式一如图1，1l 、2l 是异面直线，2l ?平面α，1l A α?=，1l 在α内的射影为l ，设2l l B ?=，且12,l l 与l 所成的角分别为12,θθ，AB m =，则1l 与2l 之间的距离为 d = （1）证明：设1l 与2l 的公垂线为MN ，如图1所示，过M 作MH l ⊥于H ，由于1l 在平面α内的射影为l ，故MH ⊥平面α， NM 在α内的射影为NH .由2MN l ⊥知 2NH l ⊥. 在Rt BNH ?中 22cos ()cos BN BH AB AH θθ==- 12(cos )cos m AM θθ=-……………………………① 同理21(cos )cos AM m BN θθ=-…………………② 联立①②解得图1

212 22 12cos sin 1cos cos m AM θθθθ=- （1.1） 221 22 12cos sin 1cos cos m BN θθθθ=- （1.2）从而 212 112212cos sin sin sin 1cos cos m MH AM θθθθθθ==?- 221 2222 12 cos sin tan tan 1cos cos m NH BN θθθθθθ==?- () () 2 2 2 2 2 4 22421 212122 2 2 1 2 cos sin sin cos sin tan 1cos cos m MN MH NH θθθθθθθθ∴=+= +- () ()2 2 4242121122 2 2 1 2 sin sin cos sin sin 1cos cos m θθθθθθθ= +- () ()2 22222121212 2 212sin sin cos sin sin 1cos cos m θθθθθθθ= ?+- () ()2 2222221212122 2 2221212sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin m θθθθθθθθθθ= ?+-+- 22212 2222 1212sin sin sin sin sin sin m θθθθθθ=+-22212csc csc 1m θθ=+-. 即有公式（1）成立. 运用公式（1）求1l 与2l 之间的距离时，无需知道它们公垂线的位置，但如果要确定公垂线的位置，则可根据公式（1.1）和公式（1.2）分别计算出AM 和BN 的值，进而确定公垂线 MN 具体位置.

空间点线面位置关系及平行判定及性质

空间点线面位置关系及平行判定及性质【知识点梳理】１．平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两个点都在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内 ,,A B l A B α∈? ?∈? l α?? 2．平面的基本性质公理2（确定平面的依据）经过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面 3.平面的基本性质公理2的推论 (1)经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面 (2）经过两条相交直线，有且只有一个平面（3）经过两条平行直线,有且只有一个平面 4．平面的基本性质公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线 A A αβ∈??∈?? l A l αβ=∈ ５．异面直线的定义与判定 (1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交也不平行（2）判定:过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线６．直线与直线平行 (１）平行四边形ABCD （矩形,菱形,正方形）对边平行且相等,//AB CD ,//BC AD (2）三角形的中位线 ,E F 分别是,AB AC 的中点中位线平行且等于底边的一半，//EF BC (3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 //l α，l β?,//m l m α β=? （４)面面平行的性质定理如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行 //αβ，a α γ=，//b a b βγ=? （５)线面垂直的性质定理

如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行 a α⊥，// b a b α⊥? 7．直线与平面平行 (１）线面平行的判定定理如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 a α?，b α?，////a b a α? (2）面面平行的性质定理如果两个平面互相平行,那么一个平面内的任一直线都平行于另一个平面 //αβ，//a a αβ?? ８.平面与平面平行（1)面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行 a α?， b α?,a b A =,//a β,////b βαβ? （2）垂直于同一直线的两个平面互相平行 a α⊥,//a βαβ⊥? 【典型例题】题型一：点线面的关系用符号表示、判断异面直线例1.给定下列四个命题 ①,,//,////a b a b ααββαβ??? ②,a a αβαβ⊥??⊥ ③,//l m l n m n ⊥⊥? ④,,,l a a l a αβα βαβ⊥=?⊥?⊥ 其中，为真命题的是 A. ①和② B. ②和③?? C. ③和④?? D. ②和④ 变式1．给出下列关于互不相同的直线,,l m n 和平面,,αβγ的三个命题： ①若,l m 为异面直线,,l m αβ??,则//αβ; ②若//,,l m αβαβ??，则//l m ; ③若,,,//l m n l α ββγγαγ===,则//m n 其中真命题的个数为 A ．3 Ｂ.2 C.１ D.0

异面直线判定

异面直线巧辨别 ——异面直线的三种判别方法在学习立体几何的时候，大家经常会遇到证明两直线异面的题目.这一类的题目大家看上去会觉得很简单，因为直观看上去两条直线很明显不在一个平面内，但是要证明起来却又会觉得不知从何处下手.这次的专题就要介绍给大家证明异面直线的三种最基本的思路：定义法、反证法和定理法. 定义法一一排除我们知道，异面直线的定义就是不共在任何平面内的两条直线.因为空间内的两条直线只有四种位置关系：重合、平行、相交和异面.所以，根据定义，我们只需要排除两条直线重合、平行和相交的可能，就可以证明两直线异面了. 这种思路非常的简单，但是要分别证明不重合、不平行、不相交也是很烦琐的工作，所以，一般情况下，我们不常使用这种思路.（除非，你真的想不到其它的证明方法）反证法找出矛盾反证法是我们在数学证明时常用的一种思路，也就是先假定命题的结论不成立，然后进行推理，如果出现与已知条件矛盾或者与公理、定理矛盾的情况，就可以说明我们的假定不成立，也就说明了原命题是正确的. 在异面直线判定中利用反证法，也就是先假设两条直线共面.有的题目很简单，根据两直线共面可以推导出直线上所有的点均在同一平面，就可以推导出与已知条件矛盾；还有一类题目就需要我们分情况来讨论，假定两直线共面，分为两种情况，平行和相交，要分别针对这两种情况进行推导，找到矛盾.

定理法简明直观所谓定理法，就是应用异面直线的判定定理，平面的一条交线与平面内不过交点的直线为异面直线.也就是说，如果一条直线m 与一个平面α相交于一点P ，那么α上任意一条不经过点P 的直线n 都与m 互为异面直线. ( 这种思路是很直观的，应用这种思路时，我们只需要找到一个平面，使一条直线n 在平面上，另一条直线m 与该平面相交于P 点，然后就只需证明P 不在直线n 上就可以了. 实践一下上面我们介绍了三种异面直线的判定方法，下面我们就一起来实践几道题目，看一下每道题目应该用哪种思路，并且也检验一下，刚刚我们介绍的三种不同的思路，你是不是已经真正掌握了. 实践1：四面体ABCD 中，,AC BC AD BD =≠，DM AB ⊥于M ，CN AB ⊥于N ，求证DM 与CN 是异面直线. 指点迷津：这里要我们证明DM 和CN 为异面直线，很显然，DM 是在平面ABD 上的，而CN 与平面ABD 交于点N ，所以，根据判定定理，我们只需要证明N 不在DM 上就可以了.这里AC BC =，CN AB ⊥，所以N 为AB 的中点，而AD BD ≠，DM AB ⊥，所以M 不是AB 的中点，也就是说，DM 不会过点N ，所以，DM 和CN 为异面直线.

空间点、线、面位置关系(经典例题+训练)

空间点、线、面的位置关系【基础回顾】 1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过____________的一条直线．公理3：经过____________________的三点，有且只有一个平面．推论1：经过____________________，有且只有一个平面．推论2：经过________________，有且只有一个平面．推论3：经过________________，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 ?? ? 共面直线????? 异面直线：不同在任何一个平面内 (2)异面直线判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内______________的直线是异面直线． (3)异面直线所成的角 ①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的____________叫做异面直线a ，b 所成的角． ②范围：____________. 3．公理4 平行于____________的两条直线互相平行． 4．定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________．自我检测 1．若直线a 与b 是异面直线，直线b 与c 是异面直线，则直线a 与c 的位置关系是____________． 2．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对． 3．三个不重合的平面可以把空间分成n 部分，则n 的可能取值为________． 4．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1 所成角的大小为________． 5．下列命题： ①空间不同三点确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④三角形是平面图形； ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； ⑥垂直于同一直线的两直线平行； ⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是________(填序号).

异面直线的判定(含答案)

异面直线的判定一、单选题(共9道，每道11分) 1.在三棱锥的六条棱中任选两条，则这两条棱所在直线互为异面直线的概率是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：异面直线的判定 2.下列四个命题： ①分别在两个平面内的两条直线是异面直线； ②和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条； ③和两条异面直线都相交的两条直线必异面； ④若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c也是异面直线．其中真命题有( ) A.3个 B.2个 C.1 D.0个答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：异面直线的判定 3.设A为空间一点，是两条直线，α，β是两个平面，有下列四个命题： ①若，，则可能为异面直线；

②若，，则； ③已知为异面直线，，，，，则α∥β； ④若α⊥β，，则．其中正确命题的序号是( ) A.①③ B.②④ C.②③ D.①④ 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定 4.如图，正方体的所有面对角线中，与面对角线成异面直线的有( ) A.7条 B.6条 C.5条 D.4条答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：异面直线的判定 5.如图，在四棱锥P－ABCD中，已知底面ABCD是矩形，则各棱所在直线中互为异面直线的共有( ) A.4对 B.6对 C.8对 D.12对答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：异面直线的判定 6.如图是正方体纸盒的平面展开图，则直线AB，CD在原正方体中的位置关系是( )

A.平行 B.垂直 C.相交成60° D.异面且成60°角答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：表面展开图 7.如图，已知正方体的棱长为a，则下列结论不正确的是( ) A.异面直线与所成的角为60° B.直线与垂直 C.直线与平行 D.三棱锥的体积为答案：C 解题思路：

空间点线面之间的位置关系

空间点、线、面之间的位置关系【知识梳理】 1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的___两点_____在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过__这个公共点___的一条直线．公理3：经过______不在同一条直线上______________的三点，有且只有一个平面．推论1：经过_____一条直线和这条直线外的一点_______________，有且只有一个平面．推论2：经过___两条相交直线_____________，有且只有一个平面．推论3：经过____两条平行直线____________，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内______________的直线是异面直线． (3)异面直线所成的角 ①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的____________叫做异面直线a ，b 所成的角． ②范围：____________. 答案：(1)平行相交 (2)不经过该点 (3)①锐角或直角 ②? ?? ??0，π2 3.同一条直线 4.相等 3．公理4 平行于______同一条直线______的两条直线互相平行． 4．定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角___相等_____．【自我检测】 1．若直线a 与b 是异面直线，直线b 与c 是异面直线，则直线a 与c 的位置关系是平行、相交或异面．