空间点线面位置关系及平行判定及性质
空间点线面位置关系及平行判定及性质
【知识点梳理】
１．平面的基本性质公理1
如果一条直线上的两个点都在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内
,,A B l A B α∈?
?∈?
l α??
2．平面的基本性质公理2（确定平面的依据） 经过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面
3.平面的基本性质公理2的推论
(1)经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面 (2）经过两条相交直线，有且只有一个平面 （3）经过两条平行直线,有且只有一个平面
4．平面的基本性质公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线
A A αβ∈??∈??
l
A l
αβ=∈
５．异面直线的定义与判定
(1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交也不平行
（2）判定:过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线
６．直线与直线平行
(１）平行四边形ABCD （矩形,菱形,正方形）
对边平行且相等,//AB CD ,//BC AD (2）三角形的中位线
,E F 分别是,AB AC 的中点
中位线平行且等于底边的一半，//EF BC (3）线面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 //l α，l β?,//m l m α
β=?
（４)面面平行的性质定理
如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行 //αβ，a α
γ=，//b a b βγ=?
（５)线面垂直的性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行
a α⊥，//
b a b α⊥?
7．直线与平面平行
(１）线面平行的判定定理
如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 a α?，b α?，////a b a α? (2）面面平行的性质定理
如果两个平面互相平行,那么一个平面内的任一直线都平行于另一个平面 //αβ，//a a αβ??
８.平面与平面平行
（1)面面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行
a α?，
b α?,a
b A =,//a β,////b βαβ?
（2）垂直于同一直线的两个平面互相平行 a α⊥,//a βαβ⊥?
【典型例题】
题型一：点线面的关系用符号表示、判断异面直线 例1.给定下列四个命题
①,,//,////a b a b ααββαβ??? ②,a a αβαβ⊥??⊥ ③,//l m l n m n ⊥⊥? ④,,,l a a l a αβα
βαβ⊥=?⊥?⊥
其中，为真命题的是
A. ①和②
B. ②和③??
C. ③和④??
D. ②和④
变式1．
给出下列关于互不相同的直线,,l m n 和平面,,αβγ的三个命题： ①若,l m 为异面直线,,l m αβ??,则//αβ; ②若//,,l m αβαβ??，则//l m ; ③若,,,//l m n l α
ββγγαγ===,则//m n
其中真命题的个数为
A ．3 Ｂ.2 C.１ D.0
题型二：以中位线为突破口的平行证明问题
例２.如图，在四面体PABC 中，,PC AB PA BC ⊥⊥，点,,,D E F G 分别是棱
,AP AC ，,BC PB 的中点，求证://DE 平面BCP
变式1．如图,在四面体PABC 中，,PC AB PA BC ⊥⊥，点,,,D E F G 分别是棱
,AP AC ,,BC PB 的中点,求证：四边形EEFG 为平行
四边形
变式2.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中,BAC 90∠=，11AB AC AA ===，延长11A C 至点P ,使111C P A C =，连接AP 交棱1CC 于D .求证:1//PB 平面1BDA ；
题型三：以平行四边形为突破口的平行证明问题
例 3.如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直,//EF AC ，
2AB =1CE EF ==，求证：//AF 平面BDE
变式 1.在三棱柱111C B A ABC -中,直线1AA 与底面ABC 所成的角是直角，直线AB 与
11B C 所成的角为45，90BAC ∠=，且1AB AA =,,,D E F 分别为11,,B A CC BC 的中
点．求证://DE 平面ABC ；
题型四:三种平行之间的相互关系与转化
例4．如图所示，圆柱的高为2，PA 是圆柱的母线,ABCD 为矩形,2,4AB BC ==，
,,E F G 分别是线段,,PA PD CD 的中点,求证：//PB 面EFG ;
变式1.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是11,BC A D 的中点,,M N 分别是
1,AE D C 的中点,2AB a =，1AD AA a ==，求证: //MN 面11ADD A
题型五:探究性问题
例5.如图所示,直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形,90BAD ∠=，2AB =,1AD CD ==,在线段AB 上是否存在点P （异于,A B 两点）
，使得//CP 平面1111A B C D ?证明你的结论
变式1．
如图，直三棱柱11ABB DCC -中,190ABB ∠=,14,2,1AB BC CC ===,DC 上有一动点P ,1CC 上有一动点Q ,讨论：无论,P Q 在何处,都有//PQ 平面1ABB ，并证明你的结论
【方法与技巧总结】
１．熟记立体几何证明中的多个公理，推理,判定定理以及性质定理
２.熟练掌握空间中点线面的位置关系的符号表示,并能够适当灵活转化为中文以便理解,在此建立空间的想象能力和空间感,进一步把符号转化为立体图象加以记忆
３.熟记平行证明中常用的判定定理和性质定理,特别重视三角形中位线定理和平行四边形性质定理的应用
4．应用三角形中位线定理和平行四边形性质定理，证明线线平行，从而得出线面平行或面面平行，重视线线平行证明的重要性
5.掌握线性平行，线面平行,面面平行三者之间的相互转化
【巩固练习】
1．下面命题中正确的是（)．
①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；
②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行；
③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行;
④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行．A．①③ B.②④ C.②③④Ｄ.③④
2.平面α∥平面β，a?α，b?β,则直线a,ｂ的位置关系是( ）.
Ａ．平行 B.相交C．异面 D.平行或异面
3.在空间中,下列命题正确的是( )．
Ａ.若a∥α,b∥ａ,则b∥α B.若a∥α,b∥α，a?β,b?β，则β∥α
C．若α∥β，b∥α,则b∥βD．若α∥β,a?α，则a∥β
４.已知ｍ、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）.
Ａ.m∥n，m⊥α?ｎ⊥αB．α∥β，ｍ?α，ｎ?β?m∥n
Ｃ．ｍ⊥α,m⊥ｎ?n∥αＤ．ｍ?α,n?α，m∥β，n∥β?α∥β
5．在正方体ABCDＡ1B１C１D1中,E是DD1的中点，则BD１与平面AＣE的位置关系为＿_______.
解答题：
１、如图，在四棱锥P AＢCＤ中,底面ABCＤ为平行四边形，O为AC的中点，M 为PD的中点．求证:PB∥平面ACM．
2、如图,若ＰA⊥平面ＡBＣＤ，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点,求证:AＦ∥平面PCＥ．
3、如图，在正方体ＡＢＣDＡ1B1C1D1中，M、Ｎ、P分别为所在边的中点.
求证:平面MNP∥平面A1C1B；
4、如图,在三棱柱ABＣＡ１B1Ｃ1中，Ｅ，F，G,Ｈ分别是AB，AC,A1Ｂ1，A1Ｃ１
的中点,求证：（1）B,C，H,G四点共面;(２)平面EF A1∥平面BCHG.
５、如图所示，在三棱柱ABCA1B１C１中,A1A⊥平面ABC,若D是棱ＣC1的中点,问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AＢ1Ｃ1？若存在,请确定点Ｅ的位置；若不存在,请说明理由．
６、如图，在四棱锥ＰABCD中，底面是平行四边形,P A⊥平面ABＣD,点M、N 分别为BC、P A的中点.在线段ＰD上是否存在一点Ｅ,使NM∥平面ACE？若存在,请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．