第十一章 三角形全章导学案(2020人教版)
第十一章三角形
《11.1.1 三角形的边》导学案 N0.1
一、学习目标
1．认识三角形，能用符号语言表示三角形，并把三角形分类．
2．根据三角形三边关系会判断三条线段能否构成一个三角形的方法，并解决有关的问题.
二、教学重、难点
1.重点：三角形的三边之间的不等关系．
2.难点：应用三角形的三边之间的不等关系判断3条线段能否组成三角形
三、自主学习
1.自学课本P2－3页，掌握三角形的概念、表示方法及分类，完成填空
（1）三角形概念：由不在同一直线上的三条线段______________所组成的图形叫做三角形。
如图，线段____、______、______是三角形的边；点A、B、C是三角形的______;
_____、 ______、_______是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。
图中三角形记作__________。
（2
）三角形分类
①按边分:
②按角分:
2.自学课本P3－4页“探究与例题”，掌握三角形三边关系．
探究：请同学们画一个△ABC，分别量出AB，BC，AC的长，并比较下列各式的大小：AB+BC_____AC AB+ AC _____ BC AC +BC _____ AB
从中你可以得出结论：三角形两边的和______第三边；三角形两边的差_____第三边．四、合作探究
知识点一：三角形概念及分类.
(1)由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
(2)三边都相等的三角形叫做等边三角形，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
(3)三角形按内角大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．
(4)三角形按边的大小关系可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形；
等腰三角形可分为底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形．
等边三角形是特殊的等腰三角形．
练习： 1.如下列图形中是三角形的有_______________？
A
B C
_______三角形
____三角形
_______三角形
___________的等腰三
角形
____ 三角形
____三角形
____ 三角形
______ 三角形
2.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
知识点二：根据三角形三边的不关系判断能否构成三角形. 三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边． 练习：
1.下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）．
A ．3，4，8
B ．5，6，11
C ．2，4，5 2.如图，为估计池塘岸边A 、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选 取一点O ，测得OA=8米，OB=6米，A 、B 间的距离不可能是（ ）． A ．12米 B ．10米 C ．15米
D ． 8米
3.有四根木条，长度分别是12cm 、10cm 、8cm 、4cm ，选其中三根组成三角形，能组成三角形的个数是_______个。 五、拓展提高
已知三角形三边长分别为2,2x,13,若x 为正整数,则这样的三角形个数有多少？ 六、达标检测（100分）
一、选择题（每小题10分，共30分）
1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A ．1，2，3
B ．1，2，3
C ．3，4，8
D ．4，5，6
2.在△ABC 中，三边长分别为、、，且＞＞，若=8，=3，则的取值范围是（ ） A.3＜＜8 B.5＜＜11 C.6＜＜10 D.8＜＜11
3.一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长是（ ）
A 、7
B 、9
C 、12
D 、9或12
二、填空题（每小题10分，共30分）
4.图中有_____个三角形，以E 为顶点的三角形有___________________； 以AD 为边的三角形有_______________________________．
5.若三角形的周长是60cm ，且三条边的比为3：4：5，则三边长分别为___________.
6.在ABC △中，，，29==BC AB 并且AC 边长为奇数，则ABC △的周长是_______. 三、解答题（共40分）
7.若△ABC 的三边长都是整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形可能的最大边长是多少？
8.已知c b a 、、是ABC △的三边，则化简：c b a --+a c b --+b a c --.
七、布置作业 P8. 1. 2. 6. 7. 八、总结反思
第十一章 三角形
《11.1.2 三角形的高、中线与角平分线》导学案 N0.2
一、学习目标
1.理解三角形的高、中线与角平分线的概念
2.掌握三角形的高、中线与角平分线的画法并会运用其性质 二、教学重、难点
1.重点：三角形的高、中线与角平分线的性质与画法．
2.难点：三角形的高、中线与角平分线的画法 三、自主学习
1.阅读课本第4——5页完成下列内容
三角形高的定义： 。 三角形中线的定义： 三角形角平分线的定义： 四、合作探究
知识点一：三角形的高线
1.在下列图形中分别作出点A 到BC 的垂线段。
（1） （2） （3）
在上面的图形当中分别连接AB 、AC 组成△ABC 是否影响过点A 做BC 的垂线段？ 思考：根据三角形高的定义，三角形每条边上的高有几条？共几条？
根据上面画的图形你总结一下不同类型三角形的高有何特点？ 练习：P5. 1.
知识点二：三角形的中线
（1）根据定义总结三角形中线的画法：
a 、用刻度尺量出一边长，找出它的 。
b 、连接此边的中点与它所对的边的顶点
（2）画出上图(1)(2)(3)中的中线，观察其特点。 （3）三角形中线的性质：
a 、∵AD 是△ABC 的中线(已知)
∴ = =1
2
, 或 =2 =2 （三角形中线的定义）
∴AD 是△ABC 的中线（三角形中线的定义） 知识点三：三角形的角平分线
1。作出下列三角形三角的角平分线：
A C
B A
C
B （4）
2、AD是△ABC中∠BAC的角平分线，则∠BAD=∠ =
3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条角平分线相交于点；（2）锐角三角形的三条角平分线相交三角形的；（3）钝角三角形的三条角平分线相交三角形的；（4）直角三角形的三条角平分线相交三角形的 .
对比：三角形的角平分线是一条，角的角平分线是一条
如图（4）
A、∵AD是△ABC的角平分线（已知）
∴ = =1
2
（角平分线的定义）
B、∵ = 1
2
（已知）
∴AD是△ABC的角平分线（角平分线的定义）练习：P5. 2.
※反馈提升:三角形的“四心”
垂心：三角形的三条高交于一点。
内心：三角形的三条角平分线交于一点。重心：三角形的三条中线交于一点。
外心：三角形三边的垂直平分线交于一点。
五、拓展提高
已知BD=1
2
BC，则BC边上的中线为______，△ABD的面积=_____的面积．
六、达标检测
1．以下说法错误的是（）
A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点
2．如图3，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，求△ABD?与△ACD的周长之差．
七、布置作业 P8. 3. 4. P9. 8. 9.
八、总结反思
第十一章 三角形
《11.1.1 三角形的稳定性》导学案 N0.3
一、学习目标
1.知道三角形具有稳定性四边形具有不稳定性.
2.了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用. 二、教学重、难点
1.重点：了解三角形稳定性在实际生产、生活中的应用．
2.难点：三角形的稳定性. 三、自主学习
1.工程建筑当中经常采用三角形的结构,如屋顶的钢架,其中的道理是什么?盖房子时,窗框未安装好之前,木工师傅常常现在窗框上斜订一根木条,为什么要这样做?
四、合作探究
知识点一：三角形具有稳定性
如图(1)所示,将三根木条用钉子订成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗? 如图(2)所示，将四根木条用钉子订成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 如图（3）所示，在四边形木架上再订一根木条，将相对的顶点连起来，然后扭动它，这时候木架的形状还能改变吗？
总结: (1)三角形具有稳定性。(2)四边形具有不稳定性。
在实际生活中还有哪些地方利用了“三角形的稳定性”来为我们服务？“四边形易变形
是缺点吗?
知识点二：不具稳定性的图形化为具有稳定性的三角形. 1下列哪些图形具有稳定性____________________________。
对不具稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性。
(6)
(5)(4)
(3)
(2)(1)
2造房子的屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是应用了_____________________而 活动接架则应用了四边形的______________________。 五、拓展提高
把四边形变成具有稳定性至少需要_______根木条；
把五边形变成具有稳定性至少需要
_______根木条； 把六边形变成具有稳定性至少需要_______根木条； 把n 边形变成具有稳定性至少需要_______ 。 练习：P7.
六、达标检测（100分）
一、选择题（每小题10分，共30分）
1、用五根木棒钉成如下四个图形，具有稳定性的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2、如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（ ）．
A ．稳定性
B ．灵活性
C ．对称性
D ．全等性
3、如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB 可将其固定，这里所运用的 几何原理是（ ）．
A ．三角形的稳定性
B ．两点之间线段最短
C ．两点确定一条直线
D ．垂线段最短 二、填空题（每小题10分，共30分）
4、造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是应用了 ；而活动挂架则用了四边形的 ．
5.如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？答： ．（填“稳定性”或“不稳定性”）
6.三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形，至少要钉上 根木条． 三、解答题（共40分）
7.六边形钢架ABCDEF ，由6条钢管铰接而成，如图所示，为使这一钢架稳固，试用三条钢管连接使之不能活动，方法很多，请至少画出三种方法．（只需画图，不必写出作法）．
七、布置作业 P8. 5. P9. 10. 八、总结反思
第2题
第5题 第6题
图1
第十一章 三角形
《11.2.1三角形的内角和（1）》导学案 N0.4
一、学习目标
1．掌握三角形内角和的推理过程．
2．会利用三角形的内角和定理来解决实际问题. 二、教学重、难点
1.重点：三角形内角和定理．
2.难点：三角形内角和定理的推理过程和应用. 三、自主学习
阅读课本第11——13页完成下列内容
1.小学阶
段学习过三角形的内角和是 ,他是通过 和 的方法来验证的。 2.我们有什么方法可以得到180°？
①平角的度数是_____;②两直线平行，同旁内角的和是________. 3.三角形内角和的探究和证明
① 方法一:通过具体的度量,验证三角形的内角和为180°. 方法二:剪拼法.把三个角拼在一起试试看？
以上两种拼合图形的共同点：都是将三角形的三个内角拼合在同一处，构成一个___角；即想方设法将三角形的三个内角和转化为一个平角。 四、合作探究
知识点一：三角形内角和定理的证明.
经过观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，还需要通过数学知识来说明.怎样用数学知识来说明呢？从上面剪拼的过程中你能想出证明的方法吗? 如图，已知△ABC ，试说明∠A +∠B +∠C =180°． 方法1.证明：如图1过点A 作 直线PQ,使PQ ∥____. ∵PQ ∥BC （已作）
∴∠B=___,∠C=___, ( ) ∵∠BAP+∠BAC+∠CAQ=180°( ) ∴∠B+∠C+∠BAC=_______.( )
证明是由____( )出发，经过一步步的推理， 最后推出____( )的过程。
方法2（请结合图2，类比方法1）。
说明：在以上的证明中，直线PQ,射线CE,CD 都是根据证明的需要而新添加的线，它们都是辅助线，要用虚线表示。
归纳：三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角；将要证明三
A
B C
角形三个内角和等于180 °转化为：平角等于180 °或两直线平行同旁内角的和等于180 °.
知识点二：三角形内角和定理的应用.
小明完成课本73页例题后说：去掉题目中条件“B 岛在A 岛的北偏东80°方向”仍然能够求出结果。请结合右图试一试。
练习：P13. 1. 2.
五、拓展提高
已知AB ∥CD ，分别探讨下列图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，并说明理由
六、达标检测（100分）
1.△ABC 中,若∠A ＋∠B ＝∠C,则△ABC 是（ ）
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、等腰三角形
2.在△ABC 中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4则∠
A = ∠ B= ∠ C= . 3.在△ABC 中,∠A=∠B+20°,∠B=∠C+10°，求△ABC 的各内角的度数。
4.如图，△ABC 中，AD 是角平分线，∠B= 45°，∠C= 63°， DE ∥AC ，求∠ADE 。
七、布置作业 P16. 1. 2. 3. 4.
F
B
A E D 北
北
八、总结反思:
第十一章 三角形
《11.2.1 三角形的内角和（2）》导学案 N0.5
一、学习目标
1．记住直角三角形的两锐角互余并会运用．
2．记住有两个角互余的三角形是直角三角形并会运用. 二、教学重、难点
1.重点：直角三角形的两锐角互余;有两个角互余的三角形是直角三角形.
2.难点：两个定理的运用. 三、自主学习
阅读课本第13——14页完成下列内容: 1.三角形有哪些性质？
2.用符号表示直角三角形ABC 为_________。
3.直角三角形有哪些性质？
(1).直角三角形的两锐角________.
(2).有两个角互余的三角形是_______ 三角形. 4.你能证明直角三角形的两锐角互余？ 四、合作探究
1. 直角三角形的定义是什么？
(1)直角三角形表示法:Rt ? .如直角三角形ABC 表示为Rt ?ABC. 知识点一：直角三角形性质一：直角三角形的两锐角互余.
（1）图中有几个Rt ?？（2）图中有几对角互余？（3）图中有几对角相等？ 知识点二：直角三角形性质二：
有两个角互余的三角形是直角三角形。 （1）要说明三角形是直角三角形的关键在哪？ （2）试证明有两个角互余的三角形是直角三角形。 知识点三：直角三角形两个定理的应用.
1.如图：∠C=∠D=90°，AD,BC 相交于点E, ∠CAE 与
∠DBE 有什么关系？为什么？
练习：P14. 1. 2.
五、拓展提高
如图，△ABC 中，AD △BC ，CE △AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知△B=48°，△BAC=72°，求△CAD 与△DHE 的度数．
B
E
C
D
A
六、达标检测（100分）
一、选择题（每小题10分，共40分）
1、如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，
则图中∠1+∠2的度数是（）
A．30° B．60° C．90° D．120°
2、将一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于（）
A．75° B．60° C．45° D．30°
3、具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A﹣∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
4、直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（）
A．100° B．120° C．135° D．140°
二、填空题（每小题10分，共40分）
5、当三角形中的一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”为直角三角形，则这个“特征角”的度数
为
．
6、如图，已知：DE⊥AB，且∠A=∠D=29°，则∠ACB= ．
7、如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，∠A=30°，那么∠E= ．
8、如图，有一个与地面成30°角的斜坡，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与地面垂直时，它与斜坡所成的角α= °．
三、解答题（20分）
9、如图所示，DH⊥AB于H，AC⊥BD于C，DH与AC相交于点E，仔细观察图形，回答以下问题：
（1）图中有几个直角三角形？
（2）∠AEH和∠B是什么关系？为什么？
（3）若∠B=70°，∠A和∠CED各是多少度？
七、布置作业 P16. 7. 11. P28. 6. 7.
第1题
第2题第6题第7题第8题
八、总结反思:
第十一章 三角形
《11.2.2 三角形的外角》导学案 N0.6
一、学习目标
1．能分清三角形的内角和外角．
2．能根据“三角形内角和定理”，推出三角形外角的推论. 二、教学重、难点
1.重点：三角形的外角及其性质．
2.难点：运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地表达推理的过程和方法. 三、自主学习
1.认真自学课本14-15页。完成下列问题：
（1）三角形的外角的定义：_________________________________. （2）三角形的外角定理:
①性质1：三角形的外角和等于________0.
②性质2：三角形的外角等于____________的两个内角的和. 四、合作探究
知识点一：三角形的外角的定义
1.图中那个角是三角形的外角？三角形的外角有什么特点？根据这些特点，谁能说说什么叫做三角形的外角？
知识点二：三角形的外角定理
1.△ABC 的一个外角∠ACD 与∠A 、∠B 的大小会有什么关系呢？
2.用和课本上不一样的解法求三角形外角的和是360°
(1)请说明∠1＞∠2 (2) ∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°求∠DFE 的度数。 练习： P15-16.
知识点三：三角形的外角定理的应用
1.一个零件的形状如图，按规定∠A 应等于90°，∠B 、∠C 应分别是21°和32°，现测量得∠BDC=148°，你认为这个零件合格吗？为什么？
2.如图△ABC 中，D 为BC 上一点，△1=△2，△3=△4，△BAC=63°，求△DAC ，△ADC 的度数． 五、拓展提高:如图△ABC 中，∠A=96°，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于点A 1，∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，依此类推，∠A 4BC 与∠A 4CD 的平分线相交于点A 5，则∠A n 的度数为
__________.
3 1
2
D
C
A B
E
F
六、达标检测（100分）
一、选择题（每小题10分，共40分）
1. 如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（）
A．110° B．120° C．130° D．140°
2.已知三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则它的最大内角的度数为（）A．90° B．110° C．100° D．120°
3.已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，
则∠1+∠2等于（） A．315° B．270° C．180° D．135°
4.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边
AB、AC上的点，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=70°，
则∠1+∠2=（） A．110° B．140° C．220° D．70°
二、填空题（每小题10分，共30分）
5.如图，平面上直线a，b分别经过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角
是
．
6.已知△ABC
的一个外角为50°，则△ABC 一定是三角形．
7.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为度．
三、解答题（共30分）
8.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A 有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：．
探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A 有怎样的关系？请说明理由．
探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
七、布置作业 P16. 5. 6. 8. 9. 11.
八、总结反思
第1题第3题第4题
第5题第7题
A
B C （1） A B C D （2） D C
B A （3） E 1 A
B
C D 图1 E A B C 图第十一章 三角形
《11.3.1多边形》导学案 N0.7
一、学习目标
1．理解多边形、多边形的边、角、对角线的概念． 2．掌握正多边形行的概念、了解凸多边形的概念. 二、教学重、难点
1.重点：多边形及其有关概念的理解．
2.难点：多边形定义的准确理解. 三、自主学习
阅读课本第19——20页完成下列内容
1.多边形的定义：_______________________________________________.
2.什么是多边形的边、多边形的角、多边形的外角、多边形的对角线?
3.正多边形的定义：_______________________________________________. 四、合作探究
知识点一：多边形及有关概念
1.多边形：在同一_____内，由不在同一直线上的一些线段 相接组成的图形叫做多边形。
2.多边形的边：组成多边形的每一条 __叫做多边形的边。
3.多边形的角：多边形相邻 ___组成的角叫做多边形的内角（简称多边形的角）。 如图1五边形ABCDE 的内角分别是
4.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的 ____ 组成的角叫做多边形的外角。①如图1，∠1是五边形ABCDE 的一个外角。 ②用同样的方法在图1中画出五边形ABCDE 的其它几个外角。 多边形每个顶点处有 个外角，它们互为 ，n 边形共有 ___个外角。
5. 多边形的对角线：连接多边形 __ 的两个顶点的线段，
叫做多边形的对角线。
①如图2，线段AB 是五边形A BCDE 的一条对角线； ②五边形ABCDE 共有 条对角线；
在图2中画出五边形ABCDE 的所有对角线。那么这个多边形就是 。 下图中的三角形和四边形哪些是凸多边形？ 。
知识点二：正多边形
1.正多边形：多边形的各个角都 ，各条边都 的多边形叫做正多边形。
2.思考：各角都相等的多边形是正方形吗？各边都相等的多边形是正多边形吗？
（1）从四边形一个顶点引出的对角线有________条，总共有________条对角线。从一个顶点引出的对角线将四边形分成_________个三角形。
（2）从五边形一个顶点引出的对角线有________条，总共有________条对角线。 从一个顶点引出的对角线将五边形分成________个三角形。
（3）从六边形一个顶点引出的对角线有________条，总共有________条对角线。从一个顶点引出的对角线将六边形分成________个三角形。
结论：从n边形一个顶点引出的对角线有条，总共有条对角线。从一个顶点引出的对角线将n边形分成个三角形。
练习：P21. 1. 2.
五、拓展提高
如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第10个图形需要黑色棋子的个数是．
六、达标检测（100分）
一、选择题（每小题10分，共40分）
1.下列图形中，是正多边形的是（）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．长方形 D．正方形
2.四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是（）
A．四边形的边长 B．四边形的周长 C．四边形内角的大小 D．四边形的内角和3.一个四边形截去一个内角后变为（）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．以上均有可能
4.从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（）个三角形．A．6 B．5 C．8 D．7
二、填空题（每小题10分，共40分）
5.正三角形、正方形、正六边形都是大家熟悉的特殊多边形，它们有很多共同特征，请写出其中的两点：（1）____________________；（2）__________________．
6.一个n边形有_______个顶点，_______条边，_______个内角，_______条对角线．
7.（1）若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成_______个三角形．
（2）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），在将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成_______个三角形．
三、解答题（共20分）
8.填表：
多边形的边数34567n
从一个顶点引对角线的条数
对角线的条数
七、布置作业 P24--25. 1. 7. P28. 4.
八、总结反思:
第十一章三角形
《11.3.2多边形的内角和》导学案 N0.8
一、学习目标
1．掌握多边形的内角和及外角和公式．2．会利用多边形的内角和公式解决问题.
二、教学重、难点
1.重点：掌握多边形的内角和公式及其应用．
2.难点：探索多边形的内角和公式.
三、自主学习
阅读课本第21—23页完成下列内容：
1.三角形的内角和等于______；正方形、长方形的内角和等于______；则任意一个四边形的内角和等于______。
2.n边形的内角和公式：_____________________；n边形的外角和等于________0.
四、合作探究
知识点一：多边形的内角和
从多边形的一个顶点出发，可以引多少条对角线？他们将多边形分成多少个三角形？
②总结多边形内角和，你会得到什么样的结论？
(3－2) ·180°
n边形
一般的，从n边形的一个顶点出发可以引____条对角线，他们将n边形分为____个三角形，n边形的内角和等于180 o×______。
归纳：多边形的内角和公式：______________________________。
知识点二：多边形的外角和
如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF 的外角． 求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．
由上面的思考可以得到：多边形的外角和等于_______。多边形的外角和与它的边数无关。 结论：多边形的外角和等于 练习：P24. 1. 2. 3. 五、拓展提高
某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转．某一指令。规定：机器人先向前行走1米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原
处，机器人共走了 米．
六、达标检测（100分）
一、选择题（每小题10分，共40分）
1.已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（ ） A ．五边形 B ．六边形 C ．七边形 D ．八边形
2.如图，四边形ABCD 中△A+△B=200°，△ADC 、△DCB 的平分线相交于点O ，则△COD 的度数是（ ）A ．80° B ．90° C ．100° D ．110°
3.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）A ．5 B ．5或6 C ．5或7 D ．5或6或7
4.一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（ ） A ．27 B ．35 C ．44 D ．54 二、填空题（每小题10分，共30分）
5.一个多边形的外角和等于它的内角和的，则这个多边形的边数是 ．
6.如图，四边形ABCD 中，△A=100°，△C=70°．将△BMN 沿MN 翻折， 得△FMN ，若MF △AD ，FN △DC ，则△B= 度．
7.若一个多边形的内角和与外角和的比为7：2，则这个多边形的边数是_____。 三、解答题（共30分）
8.一个多边形内角和的度数比外角和的度数的4倍多180度，求多边形的边数．
9.如图所示，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，∠B=3∠D ，求∠B 、∠D 的度数．
八、布置作业 P25. 4. 5. 6. 8. 9. 10. 八、总结反思:
第3题
第7题
第十一章 三角形
《第十一章 三角形的复习课》导学案 N0.9
一、学习目标
1．系统归纳本章《三角形》的知识点．
2．应用本章《三角形》的知识点解决有关的问题. 二、教学重、难点
1.重点：本章《三角形》的知识点．
2.难点：应用本章《三角形》的知识点解决有关的问题 三、自主学习
系统归纳本章《三角形》的知识结构。
知识点一：三角形的有关概念
1.三角形:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形.
2.三角形的分类
按角分
直角三角形斜三角形
锐角三角形钝角三角形
按边分
不等边三角形
等腰三角形 等边三角形底边不等于腰的等腰三角形
知识点二：三角形的性质
1.三角形的三边关系:三角形任意两边的和大于第三边;任意两边的差小于第三边.
2.三角形的外角及其外角和
(1)外角:三角形的一边与另一边的延长线组成的角. (2)外角和:三角形的外角和是360°. 3.三角形的内角和定理及推理
(1)三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180°.
(2)推论:①三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角;③直角三角形的两锐角互余. ※4.中位线的性质:三角形的中位线平行且等于第三边的一半
.
5.三角形具有稳定性.
知识点三：三角形中的重要线段 1. 三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
特性:三角形的三条角平分线交于一点,这个点叫做三角形的内心. 2. 三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称高.
特性:三角形的三条高所在的直线相交于一点,这个点叫做三角形的垂心.
3. 三角形的中线：在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 特性:三角形的三条中线交于一点,这个点叫三角形的重心.
※4.三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于它的一半. 知识点四：多边形的内角与外角
1. n 边形的内角和公式:（n-2）?1800；n 边形的外角和等于3600.
2.n 边形的对角线条数：
2
1
n （n-3）. 四、合作探究---知识点与例析 考点1：三角形按角分类：
三角形中，三个角都是 的三角形叫做锐角三角形；有一个角是 的三角形叫做直角三角形；有一个角是 的三角形叫做钝角三角形。
例4：满足下列条件的△ABC 是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？ (1)∠A=20°,∠B =65°，则△ABC 是 ；(2) 11
23
A B C ∠=∠=∠，则△ABC 是 (3)∠A:∠B:∠C=2:3:4，则△ABC 是
考点2：三角形三边的关系：三角形的任意两边之和 第三边。
例1：已知一个三角形的两边长分别是1和5，则第三边C 的取值范围是（ ）
A ．1 B ．4≤ C ≤6 C ．4 D ．1 考点3：三角形的高、角平分线和中线 ①从三角形的一个 向它的 所在直线作 ， 和 之间的线段．． 叫做三角形的高线，简称三角形的高； ②在三角形中，一个角的 与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．．叫做三角形的角平分线； ③在三角形中，连接一个顶点和它的对边 的线段．．叫做三角形的中线。 例2：能把一个三角形分成两个面积相等的小三角形的是（ ） A.中线 B.高 C.角平分线 D.以上都不是 考点4：三角形的内角和：三角形的内角和等于 。 例3、已知△ABC 中，∠A=20°，∠B －∠C=40°，则∠B=____。 考点5：三角形的外角： ①定义：三角形的一边与另一边的 所组成的角叫做三角形的外角； ②性质：三角形的一个外角等于 。 例5：在△ABC中，∠A的外角是80°，则∠B+∠C=（） A．100° B．80° C．60° D．40° 考点6：多边形的内角与外角 n边形的内角和公式:________；n边形的外角和等于____0.n边形的对角线条数：________. 例6：已知一个多边形的内角和为540度，则这个多边形为边形；如果正多边形的一个外角为72度，那么它的边数是． 五、拓展提高 如图，有两根竹竿AB、DB靠在墙角上，并与墙角FCE形成一定的角度，测得△CAB，△CDB 的度数分别为α，β．用含有α，β的代数式表示△DBF和△ABD的度数． 六、达标检测 1.如图所示，AB△AD，BC△CD，△B=3△D，求△B、△D的度数． 2.已知：在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠E+∠F=100°，将△DEF如图摆放，使得∠D的两条边分别经过点B和点C． （1）当将△DEF如图1摆放时，则∠ABD+∠ACD= 度 （2）当将△DEF如图2摆放时，请求出∠ABD+∠ACD的度数，并说明理由； （3）能否将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB？直接写出结论．（填“能”或“不能”） 七、布置作业 P29. 7. 8. 10. 11. 12. 八、总结反思 C 1 B 1 C A B A 1 课题：§11．1 全等三角形 课型：新授 教学目标 (一) 知识技能: 1、了解全等形及全等三角形的概念。 2、理解掌握全等三角形的性质。 3、能够准确辩认全等三角形的对应元素。 (二) 过程与方法 ： 1、在图形变换以用操作的过程中发展空间观念，培养几何直觉。 2、在观察发现生活中的全等形和实际操作中获得全等 三角形的体验。 (三) 情感态度与价值观： 在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣。 教学重点: 全等三角形的性质． 教学难点：找全等三角形的对应边、对应角． 教学方法：讲授法，讨论法，情景导入法 教学准备：多媒体，三角板 预习导航:什么是全等三角形？如何找全等三角形的对应边和对应角？ 全等三角形有哪些性质？ 教学过程 (一) 提出问题，创设情境 出示投影片 ：1.问题：你能 发现这两个图形有什么美妙 的关系吗？ 这两个图形是完全重合的． 2.那同学们能举出现实生活中能够完全重合的图形的例子吗003F 生：同一张底片洗出的同大小照片是能够完全重合的。 形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形． 3．学生自己动手（同桌两名同学配合） 取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样． 4．获取概念 让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、 对应边，以及有关的数学符号． 记作：△ABC ≌ △ A ’B ’C ’ 符号“ ≌ ”读作“全等于” D A （注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上） （二）．新知探究 利用投影片演示 1.活动：将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180 得到△DBC ； 将△ABC 旋转180°得△AED ． 2. 议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的 一种策略． 3. 观察与思考： 寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ （引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系） 得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等． 全等三角形的对应角相等． （三）例题讲解 [例1]如图，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，?说出这两个三角形中相等的边和角． 1. 分析：△OCA ≌△OBD ，说明这两个三角形可以重合，?思考通过怎样变换可以使两三角 形重合？ 将△OCA 翻折可以使△OCA 与△OBD 重合．因为C 和B 、A 和D 是对应顶点，?所以C 和B 重合，A 和D 重合． ∠C=∠B ；∠A=∠D ；∠AOC=∠DOB ．AC=DB ；OA=OD ；OC=OB ． 2. 总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法． [例2]如图，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，?指出其他的对应边和对应角． 1. 分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE 和△ACD 从复杂的图形 中分离出来． 2小结：找对应边和对应角的常用方法有： D C A B O D C A B E 乙 D C A B 丙 D C A B E 第十一章三角形 与三角形有关的线段 三角形的边 学习目标： 1、明确三角形的相关概念；能正确对三角形进行分类； 2、能利用三角形三边关系进行有关计算。 新课导学： 三角形的有关概念——阅读课本第1至3页，回答以下问题： （1）三角形概念：由不在同一直线上的条线段连接所组成的图形。 （2）三角形的表示法（如图1）三角形ABC可表示为：； （3）ΔABC的顶点分别为A、、； （3）ΔABC的内角分别为∠ABC，，； （4）ΔABC的三条边分别为AB，，；或a，、； （5）顶点A的对边是，顶点B的对边分别是，顶点C的对边分别是。 三角形的分类： （1）下图中，每个三角形的内角各有什么特点 （2）下图中，每个三角形的三边各有什么特点 （3）结合以上图形你认为三角形可以如何分类试一试 ①按角分类： ②按边分类： （4）在等腰三角形中，叫做腰，另外一边叫做，两腰的夹角叫做，叫做底角。 （5）等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰的等腰三角形。 3、三角形的三边关系 第1题 问题1：如图，现有三块地，问从A 地到B 地有几种走法，哪一种走法的距离最近请将你的设计方案填写在下表中： 路线 距离 比较 （3）阅读课本第3页，填写：三角形两边的和 （4）用式子表示：BC + AC AB （填上“> ”或“ < ” ） ① BC + AB AC （填上“> ”或“ < ” ） ② AB + AC BC （填上“> ”或“ < ” ） ③ 4、例题：用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少 解：设底边长为xcm ，则腰长是 cm 因为三角形的周长为 cm 所以： 所以x= cm 答：三角形的三边分别是 、 、 课堂练习： A 组 1．①图中有 个三角形，分别为 ②△ABC 的三个顶点是 、 、 ； 三个内角是 、 、 ； 三条边是 、 、 ； 2、如图中有 个三角形，用符号表示 3．判断下列线段能否组成三角形： ①4，5，6 （ ）②1，2，3 （ ） ③2，2，6 （ ）④8，8，2 （ ） 4、等腰三角形一腰长为6，底边长为7，则另一腰为 ，周长为 。 5、等腰三角形一边长为6，一边长为7，则第三边是 ，周长为 。 E D A 第2题 B 地 A 地 12.1全等三角形 学习目标 1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边． 学习重点 全等三角形的性质． 学习难点 找全等三角形的对应边、对应角． 学习方法：自主学习与小组合作探究 学习过程： 一．获取概念： 阅读教材P31页内容，完成下列问题： （1）能够完全重合的两个图形叫做全等形，则_______ 叫做全等三角形。 （2）全等三角形的对应顶点： 、对应角： 、对应边： 。 （3）“全等”符号： 读作“全等于” （4）全等三角形的性质： （5）如下图：这两个三角形是完全重合的，则△ABC △ A 1B 1C 1..点A 与 A 点是对应顶点; 点B 与 点 是对应顶点;点C 与 点 是对应顶点. 对应边： 对应角： 。 C 1 1A B A 1 二 观察与思考： 1.将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC ；将△ABC 旋转180°得△AED ． 甲 D C A B F E 乙 D C A B 丙 D C A B E 议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 即 ≌△DEF ，△ABC ≌ ，△ABC ≌ ．（书写时对应顶点字母写在对应的位置上） 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略． 2 . 说出乙、丙图中两个全等三角形的对应元素。 三、自学检测 1、如图1，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，?则这两个三角形中相等的 19.1 命题与定理 一.教学目标： 1. 知识与技能：了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解。会区分命题的条件和结论。知道判断一个命题是假命题的方法。 2.过程与方法：结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识。 3、、情感、态度与价值观：初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。 二.教学要点：找出命题的条件（题设）和结论。三.教学重点：找出命题的条件（题设）和结论。 四.教学难点及突破措施：命题概念的理解。让学生多说，多讲，多练习。 五.教学时间：第九周第3节 六.教法设计：讲练结合 七.教学过程 一、复习引入教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等。根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确。1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2、两直线平行，同位角相等；3、同旁内角相等，两直线平行；4、平行四边形的对角线相等；5、直角都相等。 二、探究新知 （一）命题、真命题与假命题学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、5是正确的，句子3、4水错误的。像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。教师：在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果.......，那么.......”的形式。用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论。例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论。有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果.........，那么...........”的形式，就可以分清它的题设和结论了。例如，命题5可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等。” （二）实例讲解 1、教师提出问题1（例1）：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果.......，那么.......”的形式，并分别指出命题的题设和结论。学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”。这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”。 2、教师提出问题2：把下列命题写成“如果.....，那么......”的形式，并说出它们的条件和结论，再判断它是真命题，还是假命题。（1）对顶角相等；（2）如果a＞ b,b＞ c, 那么a=c；（3）菱形的四条边都相等；（4）全等三角形的面积相等。学生小组交流后回答，学生回答后，教师给出答案。 章末复习 一、复习导入 1.导入课题： 虽说我们从小学开始,就零零散散地学习了一些三角形的知识,但系统地学习三角形的知识,是从本章开始的,下面我们再一起回顾一下本章的知识要点和几何研究办法. 2.复习目标： （1）梳理三角形和多边形有关的知识点. （2）了解三角形与多边形的内在联系. 3.复习重、难点： 重点：与三角形和多边形相关的概念. 难点：与三角形和多边形有关的计算. 二、分层复习 1.复习指导： （1）复习内容：教材第2页到第29页的内容. （2）复习方法：知识梳理：回顾本章的内容,理顺本章的基础知识要点和思想方法. （3）复习参考提纲： ①三角形的定义 a.边:组成三角形的线段 b.顶点:相邻两边的交点 c.角:相邻两边组成的角 d.表示法：△ABC ②三角形的分类： a.按边分：等腰三角形和不等边三角形 b.按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 ③三角形的主要线段： a.三角形的中线:连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. b.三角形的角平分线:三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与对边上的交点之间的线段,叫做三角形的角平分线. c.三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边作垂线,所得线段叫做三角形的高. ④三角形三边间的关系：三角形两边的和大于第三边. ⑤三角形的稳定性及应用:三角形具有稳定性. ⑥多边形的对角线、内角和、外角和：n边形的对角线条数等于n(3) 2 n ,内角和等于 （n-2）·180°,外角和等于360°. 2.自主复习：根据复习参考提纲,认真阅读教材第27页“小结”内容,有不懂的地方或 遗漏的知识点与小组讨论补充完整. 3.互助复习： (1)师助生： ①明了学情：本章的内容学生以前分散学习过,对于知识点的掌握并不难；但是,由于接触到几何证明的时间不长,学生对于证明的格式.方法还不能很好的掌握,应认真地了解存在的问题. ②差异指导：引导学生根据知识结构图回忆本章所学的内容. （2）生助生：学生之间相互交流研讨. 4.强化复习： (1)三角形的表示法. (2)三角形有关线段的应用. (3)三角形的三边关系及应用. (4)三角形的两边分别为3和5,则三角形周长y的范围是(C) A.2＜y＜8 B.10＜y＜18 C.10＜y＜16 D.无法确定 (5)以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边,可以画出三角形的个数是（C） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (6)在下列条件中：①∠A+∠B=∠C,②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,③∠A=90°－∠B,④∠A=∠B=∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有(C) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (7)已知一个多边形的内角和是外角和的2倍,则这个多边形的边数为6. 1.复习指导： （1）复习内容：独立完成复习参考提纲中的①、②. （2）复习方法：通过动手证明,探索解题要领,思考需用的知识点. （3）复习参考提纲： ①已知三角形的两个外角分别为a°,b°,且满足(a－50)2=－|a+b－200|,求此三角形各角的度数. 解:∵(a-50)2+|a+b-200|=0, ∴a-50=0,a+b-200=0.∴a=50,b=150.∴其中两内角为130°,30°,另一个内角为20°. ②三角形的最长边为10,另两边的长分别为x和4,周长为c,求x和c的取值范围. 解：根据三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边.又最长边为10,得x的取值范围. 10-4＜x＜10∴6＜x＜10. E D C B A N M O 八年级数学上册第十二章全等三角形导学案 全等三角形（复习课） 备课人：陈军营 审核人：余国霞 张金锋 备课时间：9.17 上课时间： 学习目标： 1、掌握全等三角形的性质. 2、掌握三角形全等的判定方法。 2、熟练运用三角形全等的性质和判定方法解决线段相等及平行、角相等的相关问题。 一、课前知识回顾： 1、（1）全等三角形的性质： 全等三角形的对应边 、对应角 。 （2）全等三角形的判定（用字母表示）： 判断三角形全等的方法有： 、 、 、 。 判断直角三角形全等的方法有： 、 、 、 、 。 2、如图，AM=AN ， BM=BN 说明△AMB ≌△ANB 的理由。 解：在△AMB 和△ANB 中 ?? ? ??===)_________(_______) (___________)_______(__ 公共边已知BN AM ∴ △AMB ≌ （ ） 3、如图，∠B=∠DEF, BC= EF, 补充条件，使得ΔABC ≌ ΔDEF 。 (1) 若要以“SAS ”为依据，可补充条件 ； (2) 若要以“ASA ”为依据，可补充条件 (3) 若要以“AAS ”为依据，可补充条件 ； (4) 若补充条件AC=DF ，则 ΔABC 与 ΔDEF 一定全等吗？ 二、自主练习与合作探究： 1、如图，线段AB 、CD 相交于O 点，AO=CO ，BO=DO ，试证明：AD=BC 。 2、24. 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ． 4.如图，AD 、A ′D ′分别是锐角△ABC 和△A ′B ′C ′中BC 、B ′C ′边上的高，且AB ＝A ′B ′，AD ＝A ′D ′，若使△ABC ≌△A ′B ′C ′，请你补充条件________(只需填写一个你认为适当的条件)．并证明 三、当堂检测： 1、如图，D 点在AB 上，E 点在AC 上，且∠B =∠C ，AB = AC,那么△ABE ≌△ACD 吗?为什么？ 2、如图，∠ACB ＝∠FDE ，AC ＝DF ，BD ＝EC ，请判断AB 与EF 是否平行，并说明理由。 四、拓展思维： 1、如图所示,已知点C 为线段AB 上一点,△ACM 、△BCN 是等边三角形.试说明: （1）AN = BM; （2） CD = CE （3）连接DE ，猜想：①△CDE 的形状 ②DE 与AB 的位置关系。 12.1 全等三角形 导学案 学习目标：1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边． 学习重点：全等三角形的性质． 学习难点：找全等三角形的对应边、对应角． 学习过程： 一．获取概念： 阅读教材P31-32页内容，完成下列问题： （1）能够完全重合的两个图形叫做全等形，则______________________ 叫做全等三角形。 （2）全等三角形的对应顶点： 、对应角： 、对应边： 。 （3）“全等”符号： 读作“全等于” （4）全等三角形的性质： （5）如下图：这两个三角形是完全重合的，则△ABC △ A 1B 1C 1.，.点A 与 点A 1是对 应顶点;点B 与 点 是对应顶点;点C 与 点 是对应顶点. 对应角： 对应边： 。 C 1 1A B A 1 二 观察与思考： 1.将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF （图甲）；将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC （图乙）； 将△ABC 旋转180°得△AED （图丙）． 甲 D C A B F E 乙 D C A B 丙 D C A B E 议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 即 ≌△DEF ，△ABC ≌ ，△ABC ≌ ．（书写时对应顶点字母写在对应的位置上） 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略． 2 . 说出乙、丙图中两个全等三角形的对应元素。 三、当堂反馈 1、如图1，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，?则这两个三角形中相等的 边 。相等的角 。 D C A B O D C A B E D C A B E O 图1 图2 图3 图4 2如图2，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，指出其它的对应角 对应边：AB AE BE 3.已知如图3，△ABC ≌△ADE ，试找出对应边 对应角 ． 4.如图4，,DBE ABC ???AB 与DB ，AC 与DE 是对应边，已知： 30,43=∠=∠A B ，求BED ∠。 解： ∵∠ A+ ∠B+∠BCA=1800 ( ), 30,43=∠=∠A B ( ) ∴∠BCA= ∵,DBE ABC ???( ) ∴∠BED=∠BCA= ( ) 5.完成教材P32练习1、2 四、概括总结 找两个全等三角形的对应元素常用方法有： 1.两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法。 2.根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，?然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素． 3.全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边． 4.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角． 五．课后反思 课题：11.1全等三角形（1）月日班级：姓名： 一、教材分析： （一）学习目标： 1.能说出什么是全等形，什么是全等三角形. 2. 能指出什么是全等三角形的对应点、对应边、对应角，会找出对应顶点、对应 边、对应角，会表示两个三角形全等. 3.能找出全等三角形的对应边、对应角相等. （二）学习重点和难点： 1.重点：全等三角形的概念. 2.难点：找对应顶点、对应边、对应角. 二、问题导读单：阅读P1—4页回答下列问题： 1.指出P2页中彩图中形状、大小相同的图形。（与同学交流） 2.回答本页中的“小云朵”和“思考”问题（答案写在教材空白处） 3.说明全等形与全等三角形。 ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 4.回答本节课中“思考2”问题,给我们带来启示是什么? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 5. P3页中的“小纸鉴”说明什么? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 6.说明“对应顶点”、“对应边”和“对应角” 图11.1—1 △ABC和△______全等,记做:___________________ 对应顶点有:A和__,B和__,C和__等对应. 对应边有:AB和____,BC和____,AC和____等对应. 对应角有: ∠A和____, ∠B和____, ∠C和____等对应. 图11.1—2 △ABC和△______全等,记做:___________________ 对应顶点有:A和__,B和__,C和__等对应. 对应边有:AB和____,BC和____,AC和____等对应. 对应角有: ∠A和____, ∠ABC和______, ∠ACB和________等对应. 图11.1—3 △ABC和△______全等,记做:___________________ 对应顶点有:A和__,B和__,C和__等对应. 对应边有:AB和____,BC和____,AC和____等对应. 对应角有: ∠BAC和____, ∠B和____, ∠C和____等对应. 7. 回答“思考3”问题，并说明得到的结论是什么？ ____________________________________________________________________ 鸡西市第十九中学学案 一、填空题 1．_____ 的两个图形叫做全等形. 2．把两个全等的三角形重合到一起，_____叫做对应顶点；叫做对应边；_____叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示_____的字母写在_____ 上． 3．全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质． 4．如果ΔABC ≌ΔDEF ，则AB 的对应边是_____，AC 的对应边是_____，∠C 的对应角是_____，∠DEF 的对应角是_____． 图1－1 图1－2 图1－3 5．如图1－1所示，ΔABC ≌ΔDCB ．（1）若∠D ＝74°∠DBC ＝38°，则∠A ＝_____，∠ABC ＝_____ （2）如果AC ＝DB ，请指出其他的对应边_____； （3）如果ΔAOB ≌ΔDOC ，请指出所有的对应边_____，对应角_____． 6．如图1－2，已知△ABE ≌△DCE ，AE ＝2 cm ，BE ＝1.5 cm ，∠A ＝25°，∠B ＝48°；那么DE ＝_____cm ，EC ＝_____cm ，∠C ＝_____°；∠D ＝_____°． 7．一个图形经过平移、翻折、旋转后，_____变化了，但__________都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形 二、选择题 8．已知：如图1－3，ΔABD ≌CDB ，若AB ∥CD ，则AB 的对应边是 （ ） A ．DB B ．BC C ．CD D ．AD 9．下列命题中，真命题的个数是 （ ） ①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 10．如图1－4，△ABC ≌△BAD ，A 和B 、C 和D 是对应顶点，如果AB ＝5，BD ＝6，AD ＝4，那么 BC 等于 （ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．无法确定 图1-4 图1-5 图1-6 11．如图1－5，△ABC ≌△AEF ，若∠ABC 和∠AEF 是对应角，则∠EAC 等于 （ ） A ．∠ACB B ．∠CAF C ．∠BAF D ．∠BAC 12．如图1－6，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为 （ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25° 三、解答题 13．已知：如图所示，以B 为中心，将Rt △EBC 绕B 点逆时针旋转90°得到△ABD ，若∠E ＝35°， 求∠ADB 的度数． 综合、运用、诊断 一、填空题 14．如图1－8，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝ 28∶5∶3，则∠α的度数为______． 图1－8 15．已知：如图1－9，△ABC ≌△DEF ，∠A ＝85°，∠B ＝60°，AB ＝8，EH ＝2． （1）求∠F 的度数与DH 的长；（2）求证：AB ∥DE ． 图1－9 拓展、探究、思考 16．如图1－10，AB ⊥BC ，ΔABE ≌ΔECD ．判断AE 与DE 的关系，并证明你的结论． 图1－10 第十一章三角形 11.1与三角形有关的线段 11.1.1 三角形的边 学习目标： 1、明确三角形的相关概念；能正确对三角形进行分类； 2、能利用三角形三边关系进行有关计算。 新课导学： 三角形的有关概念——阅读课本第1至3页，回答以下问题： （1）三角形概念：由不在同一直线上的条线段连接所组成的图形。 （2）三角形的表示法（如图1）三角形ABC可表示为：； （3）ΔABC的顶点分别为A、、； （3）ΔABC的内角分别为∠ABC，，； （4）ΔABC的三条边分别为AB，，；或a，、； （5）顶点A的对边是，顶点B的对边分别是，顶点C的对边分别是。 三角形的分类： （1）下图中，每个三角形的内角各有什么特点？ （2）下图中，每个三角形的三边各有什么特点？ （3）结合以上图形你认为三角形可以如何分类？试一试 ①按角分类： ②按边分类： （4）在等腰三角形中，叫做腰，另外一边叫做，两腰的夹角叫做，叫做底角。 第1题 （5）等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰 的等腰三角形。 3、三角形的三边关系 问题1：如图，现有三块地，问从A 地到B 地有几种走法，哪一种走法的距离最近？请将你的设计方案填写在下表中： 路线 距离 比较 （3）阅读课本第3页，填写：三角形两边的和 （4）用式子表示：BC + AC AB （填上“> ”或“ < ” ） ① BC + AB AC （填上“> ”或“ < ” ） ② AB + AC BC （填上“> ”或“ < ” ） ③ 4、例题：用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ 解：设底边长为xcm ，则腰长是 cm 因为三角形的周长为 cm 所以： 所以x= cm 答：三角形的三边分别是 、 、 课堂练习： A 组 1．①图中有 个三角形，分别为 ②△ABC 的三个顶点是 、 、 ； 三个内角是 、 、 ； 三条边是 、 、 ； 2、如图中有 个三角形，用符号表示 3．判断下列线段能否组成三角形： ①4，5，6 （ ）②1，2，3 （ ） ③2，2，6 （ ）④8，8，2 （ ） E B C D A 第2题 C 地 A 地 第四章 三角形 4.1 认识三角形（1） 学习目标：1、通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力； 2、能证明出“三角形内角和等于180°”，能发现“直角三角形的两个锐角互余”； 3、按角将三角形分成三类。 学习重难点：三角形内角和定理推理和应用。 学习设计： （一） 预习准备 （1）预习书62－65页 （2）思考①三角形的角之间的关系①三角形的分类 （3）预习作业 三角形中角的关系：（1）三角形的三个内角之和是 ；（2）直角三角形的两个锐角 三角形的分类：按角分为三类： 三角形； 三角形和 三角形。 （二） 学习过程 例1 证明三角形的内角和为180° 例2 在①ABC 中，（1）0 82,42,C A B ∠=∠=∠则= （2）5,A B C C ∠+∠=∠∠那么= （3）在①ABC 中，C ∠的外角是120°，B ∠的度数是A ∠度数的一半，求①ABC 的三个内角的度数 变式训练：在①ABC 中（1）00 78,25,B A C ∠=∠=∠则= (2)若C ∠=55°，010B A ∠-∠=,那么A ∠= ,B ∠= 例3 已知①ABC 中，::1:2:3A B C ∠∠∠=,试判断此三角形是什么形状？ 变式训练：已知①ABC 中，0 90,2,A B B C ∠-∠=∠=∠试判断此三角形是什么形状？ 例4 如图，在①ABC 中，090ACB ∠=,CD ①AB 于点D ， 1,2?A B ∠∠∠∠与有何关系与呢 例5 如图，已知0 60,30,20,A B C BOC ∠=∠=∠=∠求的度数。 2 1D C B A O C B A 全等三角形单元复习与巩固 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ●了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； ●探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式； ●掌握尺规作图作角平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质和判定，并会利用角 的平分线的性质和判定进行证明； ●能用三角形的全等和角平分线性质解决实际问题。 重点难点： ●重点：理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；三角形全等的性质和条件以及角平分线的性质。 ●难点：掌握用综合法证明的格式；选用合适的条件证明两个三角形全等。 学习策略： ●通过观察、拼图以及三角形的平移、旋转和翻折等活动，来感知两个三角形全等，以及全等三角形的性质。在三角 形全等知识的基础上，探究理解角平分线的性质和判定，并通过练习加深本章知识的理解及灵活运用。 二、学习与应用 “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。 知识要点——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补 知识点一：全等形 能够完全的两个图形叫做全等形． 知识点二：全等三角形 能够完全的两个三角形叫做全等三角形． 要点诠释： （1）互相重合的顶点叫做，互相重合的边叫做 ，互相重合的角叫做． （2）在写两个三角形全等时，通常把的字母写在对应位置上，这样容易写出对应边、对应角．例如，△ABC与△DFE全等，点A与点，点B与点，点C与点是对应顶点，记作△ABC≌△DFE，而不写作△ABC≌△EFD等其他形式． 知识点三：全等三角形的性质 全等三角形的对应边、对应角． 知识点四：两个三角形全等的条件 （一）边角边：有和它们的对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 注：运用边角边公理判定两个三角形全等时要抓住角是两边的夹角，边是夹这个角的两边，不要错误认为：两个三角形只要有两条边和一个角对应相等，这两个三角形就一定全等． （二）角边角：有和它们的对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． （三）边边边：对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．（四）角角边：两个和其中一个角的对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） （五）斜边、直角边（HL）：在两个直角三角形中，和一条对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 注：（1）HL定理是三角形所独有的，对于一般三角形不成立． （2）判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找另个条件即可，而这两个条件中必须有对应相等，与一般三角 全等三角形 适用年级八年级 所需时间课内8课时，课外2课时。 主题单元学习概述 从知识的特点上来讲，关于全等三角形的相关知识注重学生通过动手实践发现规律，注重培养学生的思维能力，注重数学与现实的联系；从心理学上讲，八年级学生的认知正从具体运算阶段向形式运算阶段转化，适当的动手操作活动以及问题丰富的现实背景可以帮助他们能更好地掌握相关知识。 《全等三角形》的内容，主要包括全等三角形的概念、全等三角形的性质、全等三角形的判定、角平分线的性质。全等三角形是研究图形的重要工具，只有灵活运用它们，才能学好相关知识。本章开始，使学生理解证明的过程，学会用综合法证明的格式。这是本章的重点，也是难点。对角平线的性质与判 定中也不提出互逆定理。这样不致于一下给同学们过多的概念，而加大学生负担。本章中注重让学生经历三角形全等条件的探索过程，更注重对学生能力的培养与联系实际的能力。 我将采用以下的教法与学法：1、引导学生通过动手操作，探究规律；2、注重推理能力的培养，提高理性思维水平；3、联系生产生活实际，增加学习动力； 发展学生的思维能力，沟通知识与现实的联系。 主题单元规划思维导图 主题单元学习目标（ 知识与技能： 1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确的辨认全等三角形中的对应元素。 2. 探索三角形全等的判定方法，并能灵活、综合运用。 3. 会作角的平分线，掌握角的平分线的性质并会利用它进行证明。 过程与方法： 1.经历三角形全等的探索过程，将两个三角形的六个要素随意组合针对每种情况做出分析与验证，得出三个定理，然后将其迁移到直角三角形的判定中来。 2．经历应用全等三角形及解角平分线的有关知识去解决简单的实际问题的全过程。 3．通过开放的设计题来发展思维，培养学生的创造力。 情感态度与价值观： 1.培养学习数学的兴趣，初步建立数学化归和建模的思想，积极参与探索，体验成功的喜悦。 2.通过体验抽象的数学来源于生活，同时又服务于生活。增强了学习数学的兴趣及对生活的热爱 精典专题十一 三角形（1） 学习目标 1.理解三角形的概念，掌握三角形三边之间的关系，会按边对三角形进行分类； 2.通过小组合作，独立思考，培养学生主动探究问题的能力。 重点：三角形及其基本元素的表示方法；三角形三边之间的关系。 难点：三角形三边之间的关系。 一、兴趣导入 分享一句话：人生没有那么多的假设，现实是一个一个真实的耳光，打在你的脸上，喊疼毫无意义，唯有一往无前。--饶雪漫《沙漏》 二．旧知回顾 1．小学时学过哪些特殊的三角形？ 2．在平面内有两点，那么这两点的所有连线中， 是最短的。 三．教材研读 1.组成三角形的三条线段在位置上具有以下特征： （1）______________________；（2）_________________________. 2．三角形两边的和____ 第三边；三角形两边的差_____ 第三边 。 3.以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：_____________ 和 _________________________ 。 4．三角形的各个元素如何表示？ 5．等边三角形与等腰三角形有什么关系？ 自测 1.下列说法正确的是（ ） A.由三条线段组成的图形叫做三角形。 B .△AB C 中，顶点A 所对的边为直线BC C.三条边分别为a,b,c 的三角形记作“△ abc ” D.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.如图1，(1)图中共有____个三角形，其中以BC 为一边的三角形是_______，_____，_____ ；以∠EAD 为一内角的三角形是______， ______；（2）AB 既是△____中∠___ 的对边 ，又是△____ 中∠____ 的对边，还是△____ 中∠ ____ 的对边。 3．下列长度的两组线段中，哪一组能构成一个三角形？ （1）．3，6，9； （2）．3，7，8. 探究点一 三角形的定义及其基本元素的表示方法（重点） 问题：由不在同一条直线上的三条线段 所组成的图形叫做 。 图（2）中，点A 、B 、C 叫做这个三角形的 ；线段AB 、BC 、CA 叫做这个三角形的 ；∠A 、∠B 、∠C 叫做这个三角形的 ，简称三角形的 。我们把这个三角形记作 ，读作 ，三角形的三边有时用它所对角的相应小写字母表示：如边BC 对着∠A ，记作 ；边CA 记作 ；边AB 记作 。 归纳总结： ２7.1.图形的相似(一） 年 月 日 一、学习目标 １.理解并掌握两个图形相似的概念。 2.了解成比例线段的概念，会确定线段的比。 二、新知链接 1.(1)请同学们先观察第27章章头图，他们的形状、大小有什么关系。 (2)自学教材。 (3)相似图形概念:____＿_＿_____________＿________＿______＿__＿______。 (4)让同学们再举几个相似图形的例子． ２.两条线段的比:两条线段的比,就是__＿＿__＿_＿_______＿_＿_____＿_＿___＿＿__。 3.成比例线段：对于四条线段a,ｂ,c,d ，如果其中__＿＿＿__＿____________相等,如d c b a =（即ad ＝b c ）， 我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。 【注意】 （1)两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位； （2)线段的比是一个没有单位的正数; （3）四条线段a,b,c,d 成比例,记作d c b a =或a:b=ｃ:d ； (4)若四条线段满足d c b a =,则有ad=b ｃ． 三、合作探究 例1如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是( ) 例2一张桌面的长ａ＝1.25m ，宽b=０.7５ｍ，那么长与宽的比是多少？ (１)如果a=125cm,b=75cm,那么长与宽的比是多少？ (2）如果ａ＝1250m ｍ，b=７50mm,那么长与宽的比是多少? 例3已知：一张地图的比例尺是1:320000０0，量得北京到上海的图上距离大约为3.５cm,求北京到上海的实际距离大约是多少k ｍ？ 分析:根据比例尺=实际距离 图上距离 ，可求出北京到上海的实际距离. 解： 答：北京到上海的实际距离大约是＿___＿_＿__＿＿km ． 四、课堂练习 1．观察下列图形，指出哪些是相似图形: 相似图形： ___＿_和_____＿; _____和＿＿____; _____和＿__＿__。 ２.下列说法正确的是（ ) A.小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似. B.商店新买来的一副三角板是相似的． Ｃ．所有的课本都是相似的. Ｄ．国旗的五角星都是相似的. 3.如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽， （1）（小）长是_＿___＿_cm ，宽是_＿___＿＿cm; （大）长是____＿__cm ，宽是____＿__cm ； (2)（小)=长宽 ；(大）=长宽 . （3）你由上述的计算,能得到什么结论吗？ 4.在比例尺是1:８０0００00的“中国政区”地图上,量得福州与上海之间的距离时７．5c ｍ,那么福州与上海之间的实际距离是多少? ５.AB 两地的实际距离为2500m,在一张平面图上的距离是5cm ，那么这张平面地图的比例尺是多少？ 课题:12.1．1全等三角形 班级 姓名 时间 学习目标: 1、能说出怎样的两个图形是全等形，并会用符号语言表示两个三角形全等。 2、能在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角。 3、能说出全等三角形的对应边、对应角相等的性质。 学习重点:探究全等三角形的性质 。 学习难点: 掌握两个全等三角形的对应边、对应角。 学习过程： 一、课前研学(预习教材31页-32页的内容，完成下面的问题) （约3-5分钟） (一)、全等形、全等三角形的概念 1、能够完全重合的两个图形叫做 ． 全等图形的特征：全等图形的 和 都相同． 2、全等三角形． 两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 （二）、全等三角形的对应元素及表示 阅读课本P31第一个思考及下面两段内容，完成下面填空： 1、 平移 翻折 旋转 甲 D C A B F E 乙 D C A B 丙 D C A B E 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，?但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略． 2、全等三角形的对应元素（说一说） （1）对应顶点（三个）——重合的 （2）对应边（三条） ——重合的 （3）对应角（三个） ——重合的 3、寻找对应元素的规律 （1）有公共边的，公共边是 ；（2）有公共角的，公共角是 ； 第（4）题图 E B A E 第（1 ）题图E C B F C 第（2）题图D A C B （4）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边； 最大角对应最大角，最小角对应最小角． 简单记为：（1）大边对应大角，大角对应 ; (2) 公共边是对应边，公共角是 ，对顶角也是 ; 4、“全等”用“ ”表示，读作“ ” 如图甲记作：△ABC ≌△DEF 读作：△ABC 全等于△DEF 如图乙记作： 读作： 如图丙记作： 读作： 注意：两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 二、课堂探究 （约15-20分钟） 知识点1：全等三角形的性质 阅读课本P32第二个思考及下面内容，完成下面填空： 活动一：观察下列各组的两个全等三角形，并回答问题： （1） 如图（1）△ABC ≌△DEF ，BC 的对应边是 ，即可记为BC= 。 ∠A 对应角是 即可记为∠A = 。。 （2） 如图（2）△ABC ≌△DEF ，△ABC 的边AC 的对应边是 ，即可记为AC= 。 （3） 如图（3）△ABC ≌△ ，∠ABC 对应角是 即可记为∠ = ∠ 。 （4） 如图（4）△ABC ≌△ ，△ABC 的∠BAC 的对应角是 即可记为∠ = ∠ 。 （5） △ABC ≌与△DEF ，AB=DE,AC=DF,BC=EF,写出所有对应角相等的式子。 小结1：规律总结： 1、全等三角形的对应边 ，对应角 。 2、两个三角形全等，与它们所在的位置 关系。(填有或无) 知识点2：全等三角形的性质例解 例1：如图1，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，说出这两个三角形中的对应边和对应角． D C A B O D C A B E 图1 图2全等三角形全章教案集
新版人教版八年级上册第十一章三角形导学案(全)
新人教版第12章全等三角形导学案汇总
全等三角形全章教案(华东师大版)
八年级数学上册第十一章三角形章末复习导学案新版新人教版
全等三角形复习导学案
第12章全等三角形学案
第十一章 全等三角形教案 导学案 导读单
全等三角形全章导学案及专题练习
人教版八年数学上导学案第十一单元：三角形
初中数学 第三章 三角形 全章导学案
人教版数学八年级上册导学案：12 章全等三角形 单元复习与巩固
初中数学《全等三角形》主题单元教学设计以及思维导图
三角形全章导学案(精典)
相似三角形全章导学案(正式)
全等三角形全章学案
- 相似三角形全章导学案(正式)
- 第三章三角形导学案(北师大七年级下)(新版)
- 三角形全章节导学案
- 新北师大版七年级数学下《第三章三角形》导学案
- 新版人教版八年级上册第十一章三角形导学案(全)
- 第二十八章《解直角三角形》全章导学案
- 最新相似三角形全章导学案(正式)
- 人教版数学八年级上全章导学案 第11章三角形全章导学案
- 最新人教版第十一章三角形导学案
- 第十一章《三角形》全章导学案
- 第十一章《三角形》全章导学案
- 全等三角形全章导学案及专题练习
- 锐角三角函数全章导学案
- 第十二 章全等三角形全章导学案(2020人教版)
- 最新人教版第十一章三角形导学案
- 全等三角形全章导学案
- 全等三角形复习整章导学案
- 全等三角形全章学案
- 最新相似三角形全章导学案
- 最新人教版第十一章三角形导学案