第二十八章《解直角三角形》全章导学案
C B
A
C B
A 九年级下数学NO ：1 主备人：银 波 审核人： 授课人： 第 周 星期 第 组 学生 预习评价： 整理评价
28．1锐角三角函数（1）
【学习目标及其重难点】
1、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算 【学习过程】 一、预习导学：
1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，?求AB
2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，?求BC
二、合作探究，课堂展示：
问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？
思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ；
如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ；
结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值
思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？?如果是，是多少？ 结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 三、教师点拨：
从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于
12
，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于22，也是一个固定值．这
就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定
值？
斜边c
对边a
b
C B
A
探究：任意画Rt △ABC 和
Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′
=90°，∠A=∠A ′=a ，那么''
''
BC B C AB A B 与
有什么关系．你能解释一下吗？(写出证明过程)
结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值
正弦函数概念：规定：在Rt △BC 中,∠C=90,∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ．
在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，
记作sinA ，即sinA= =a
c
． sinA ＝
A a A c ∠=∠的对边的斜边 例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=
； 当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ．
sinA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”；sinA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与斜边的比；sinA 不表示“sin ”乘以“A ”。 四、学生展示：
1． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=2
3，则边AC 的长是( )
A ．13
B ．3
C ．4
3
D ． 5
2．如图，已知点P 的坐标是（a ，b ），则sin α等于（ ）
A ．a b
B ．b
a C ．22
22.
D a b
a b ++
3．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．
∠A的邻边b
∠A的对边a 斜边c C
B
A
九年级下数学NO ：2 主备人：银
波 审核人： 授课人： 第 周 星期 第 组 学生 预习评价： 整理评价
28．1锐角三角函数（2）
【学习目标】
1、使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．
2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力． 【学习过程】 一、自主学习 1、口述正弦的定义
2、（1）如图1，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3．则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ．
图1 图2
A
B C
D
（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。已知AC= 5 ，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（ ）
3、?在Rt △ABC 中，∠C=90°，当锐角A 确定时，∠A 的对边与斜边的比是 ， ?现在我们要问：∠A 的邻边与斜边的比呢？
∠A 的对边与邻边的比呢？为什么？
二、合作探究
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？ 如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠C` =90o ，∠B=∠B`=α，那么
'
''
'B A C B AB BC 与
有什么关系？
分析：由于∠C=∠C` =90o ，∠B=∠B`=α，
所以Rt △ABC ∽Rt △'''C B A ，
''''B A AB C B BC =，即'
''
'B A C B AB BC =
结论：在直角三角形中，当锐角B 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B 的邻边与斜边的比也是一个固定值。
O
A
B
C
D
·
如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o
，把锐角B 的邻边与斜边的比叫做∠B 的余弦，记作cosB 即c
a B B =∠=斜边的邻边cos ，把∠A 的对边与邻边的比
叫做∠A 的正切.记作tanA,即b
a A A A =∠∠=的邻边的对边tan ，锐角A 的正弦,余弦,正
切都叫做∠A 的锐角三角函数. 三、学以致用
例1:如图,在ABC Rt ?中,?=∠90,BC=6,5
3
sin =
A 求A cos 和
B tan 的值.
例2：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC=2，AB=3，求∠A ，∠B 的正弦、余弦、正切值．
延伸：由上面的计算，你能猜想∠A ，∠B 的正弦、余弦值有什么规律吗？ 结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦。 四、巩固练习 1.
在ABC ?中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（） A ．A
a b tan = B ．cainA
b = C ．B
c a cos = D ． A a c sin =
2. 在ABC Rt ?，∠C ＝90°，如果5
4
cos =A 那么B tan 的值为（） A ．53 B ．45 C ．43 D ．3
4
3、如图：P 是α∠的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4）， 则αcos ＝_____________。
五、课堂小结：
在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA= =
a
c ． sinA ＝A a A c
∠=∠的对边的斜边；把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 ，即 把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 ，即 .
九年级下数学NO ：3 主备人：银 波 审核人： 授课人： 第 周 星期
第 组 学生 预习评价： 整理评价
28．1锐角三角函数（3）
【学习目标】1、 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。2、能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式。
【学习重点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
【学习难点】30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程 【导学过程】 一、自主学习：
1、一个锐角正弦是怎么定义的？
2、一个锐角余弦是怎么定义的？
3、一个锐角正切是怎么定义的？ 二、合作交流：
1、两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？
2、你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？
三、教师点拨： 例3：求下列各式的值．
（1）cos 2
60°+sin 2
60°． （2）cos 45sin 45?
?
-tan45°．
例4：（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，AB=6，BC=3，求∠A 的度数．
30° 45° 60° siaA cosA tanA
（2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的3倍，求a ．
四、学生展示：
1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=3
5 ，AB=15，则AC 的长是（ ）。 A ．3 B ．
6 C ．9 D ．12
2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）。 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1
3．已知∠A 为锐角，且cosA ≤1
2
，那么（ ）
A ．0°<∠A ≤60°
B ．60°≤∠A<90°
C ．0°<∠A ≤30°
D ．30°≤∠A<90°
4．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12 ，cosB= 3
2
，则△ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．不能确定 5．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a ，则tana?的值为（ ）．
A ．
43 B ．34 C ．53 D ．5
4 6．已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC ，若梯形的高是3，?则∠CAB 等于（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．45°
D ．以上都不对
7．sin 272°+sin 2
18°的值是（ ）． A ．1 B ．0 C ．12 D ． 3 2
8．设α、β均为锐角，且sin α-cos β=0，则α+β=_______．
9．已知，等腰△ABC?的腰长为4 3 ，?底为30?°，?则底边上的高为______，?周长为______．
10．在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知tanB= 5
2 ，则cosA=________．
11.计算：tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°6tan30°
五、课堂小结：要牢记下表：
30° 45° 60° siaA cosA tanA
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28.2解直角三角形（1）
【学习目标及其重难点】 1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 【学习过程】 一、预习导学：
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？
=A sin ； =A cos ； =A tan ； =A cot ； =B sin ； =B cos ； =B tan ； =B cot ；
(1)、边角之间关系：
如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成:
；斜边的对边αα∠=sin ；斜边的邻边αα∠=cos ；的邻边的对边ααα∠∠=tan 。
的对边的邻边ααα∠∠=tan (2)三边之间关系: 2
2
2
c b a =+ (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． 以上三点正是解直角三角形的依据， 3、解直角三角形的概念
（1）、我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．
（2）思考“为什么两个已知元素中至少有一条边？”
小结：直角三角形中除直角外的两个已知元素（必有一边），求所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 二、小组互动
例1.在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，，解这个三角形．
例2在Rt△ABC中，∠B =350，b=20，解这个三角形．（tan350=0.70 sin350=0.573）
解题技巧——“已知一边一角，如何解直角三角形？”
答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底
注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理或其它三角函数来计算，但计算出的值可能有些少差异，这都是正常的。
四.课堂练习：
1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________?其它所有元素的过程，即解直角三角形．
2、Rt△ABC中，若sinA=4
5
，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．
3、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
4、在△ABC中，∠C=90°，sinA=3
5
，则cosA的值是（） A．3
5
B．4
5
C．916
.
2525
D
5、在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
6、在△ABC中，∠C为直角，AC=6，BAC
的平分线AD=43，解此直角三角形。
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28.2解直角三角形（2）
【学习目标及其重难点】1.使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．2.逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 【学习过程】 一、自学提纲：
1．解直角三角形指什么？ 2．解直角三角形主要依据什么？
(1)勾股定理： (2)锐角之间的关系： (3)边角之间的关系：
的对边的邻边
；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=
∠∠=∠=∠=
cot tan cos sin
二、合作交流： 仰角、俯角：
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
三、教师点拨：
例3 、20XX 年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km 的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P 点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km ，结果精确到0. 1 km)
例4、热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
四、学生展示：
1、如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取
∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）
2、（2010·鄂州中考）如图，一艘舰艇在海面下500米A点处测得俯角为30°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角为60°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度（结果保留根号）．
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28.2解直角三角形（3）
【学习目标及其重难点】1、使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角；学会解决坡度问题。2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法。3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题。
【学习过程】
一、预习导学：
1、测量高度时,仰角与俯角有何区别?
2、在下面空白处画出方向图（表示东南西北四个方向的）。
3、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线
4、坡度与坡角-------结合上右图，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？
5、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．
二、合作探究：
例1．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）
三、巩固训练
1、上午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．
2、如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
3、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
九年级下数学NO：7 主备人：银波审核人：授课人：
第 周 星期 第 组 学生 预习评价： 整理评价
第28章 解直角三角形小结与复习
【学习目标】1、探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系．掌握三角函数定义； 2、掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，并会进行有关特殊角的三角函数值的计算；3、能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决实际问题，提高数学建模能力． 【重点】合理构造直角三角形、解直角三角形实际应用； 【难点】如何读懂题意对实际应用题进行建立方程解题； 一、生活问题：
（09·滨州）某楼梯侧面视图如图，其中AB=4m,∠BAC=30°,∠C=90°,因某种活动，要求铺设红色地毯，
则在AB 段楼梯所铺地毯的长应 。 二、知识点梳理：
3.解直角三角形的依据 （1）由直角三角形中已知 个元素求出另外 个元素的过程叫解直角三角形
三边关系：
（2）直角三角形中的边角关系 两锐角关系：
角与边的关系：sinA=
cosA= tanA=
4. 锐角三角函数的特殊关系
（1） 锐角三角函数的恒正性：锐角三角函数值都是正实数，
即 0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1．
（2）余角关系：若A+B=90，则 sinB= ，cosB= ，tanB= ，cotB= ．
（3）平方关系：22
sin cos 1A A += （4）商式关系：sin tan cos A A A
= 、cos cot sin A A A =
5、在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角 （2）方位角 （3）斜坡的坡度
三、试题归类：
第1类：侧重在网格背景下求三角函数值
1.锐角三角函数的
2.特殊角的三角函数值
正弦：sin A = 余弦：cos A = 正切：tan A =
30°
45° 60° sin α cos α tan α
1、在正方形网格中，点A 、B 、C 、D 的位置如图所示，则cosB 的值为( ) A 、 B 、 C 、 D 、
1题 2题
2、有一个三角形在正方形网格纸中的位置如图，则sin α=____。 第2类：侧重对特殊锐角的三角函数值灵活把握 当∠A 为锐角，且cosA= ,那么（ ）
(A)0°＜∠A＜ 30 ° (B) 30°＜∠A＜45° (C)45°＜∠A＜ 60 ° (D) 60°＜∠A＜ 90 ° 第3类：侧重以生活常识为背景解直角三角形
某楼梯侧面视图如图，其中AB=4m,∠BAC=30°,∠C=90°,因某种活动，要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长应 。 四、思维训练：
例1、如图，四边形ABCD 中，AD⊥CD，AB=13， BC=12，CD=3，AD=4，则sinB=______，S 四边形ABCD =_______。
例2. 如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树AB 与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长为10m,请你求出大树的高.
23
3322214
3
例3、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的区域。如图，设A、B是我们的观察站，A 和B之间的距离为160海里，海岸线是过A、B的一条直线。一外国船只在P点，在A点测得∠BAP=45°，同时在B点测得∠ABP=60°，问此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域.
五、讨论交流：
1. 如图，在△ABC中，已知AC=6，∠C=75°，∠B=45°，求△ABC的面积。
2、一渔船上的渔民在A处看见灯塔在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到B处.在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，求此时灯塔M与渔船的距离？
六、中考练兵：
D
C
B
E A
第6图
一、选择题（本题共5个小题，每小题只有一个选项符合要求.） 1.正方形网格中，AOB ∠如图放置，则sin AOB ∠=（ ）
A.5
B.5
C.1
D.2
第3题 第4题
2.已知α为锐角，且2
3
)10sin(=
?-α，则α等于（ ） Ａ．?50 Ｂ．?60 Ｃ．?70 Ｄ．?80
3.如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离约为（ ） A ．
4.5m
B ．4.6m
C ．6m
D ．8m
4.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32o
，那么∠2的度数是（ ）
A.32o
B.58o
C.68o
D.60o
5.在直角坐标系xOy 中，点(4,)P y 在第一象限内，且OP 与x 轴的正半轴的夹角为60°，则y 的值是（ ） C.8 D.2 二、填空题（本题共3个小题，请将答案填在横线上.）
6.如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，DE =6cm ， ， 则菱形ABCD 的面积是__________2cm ．
7.如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A 处目测得点A 与甲、乙楼顶B C 、刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米．
8. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α的值等于 . 9.某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1：3，坝外斜坡的坡度i=1:1，则两个坡角的和为 .
三、解答题（本题共3个小题，解答应写出必要的问题说明或演算步骤.）
α
A
B
O 第1题
3
sin 5
A =
B
A C
53° 23
°
22
°
北 北
10.计算：1
1(53)2sin 45221-??
++-+ ?
+??
°°
11．一艘小船从码头A 出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B 处后，又沿着北偏西22°方向航行了10海里到达C 处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间
，结果保留整数）．
12.我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC ∥AD ，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=600
，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米(结果保留根号)？
2 1.4
3 1.7，