求中心天体的质量与密度

求天体的加速度、质量、密度

一．知识聚焦 1。加速度：

表面上 mg Mm

G

=2

R

得2g R GM = 非表面 ()m a R Mm

G

=+2

h 得)(2R a h GM +=

万有引力与航天 ）

基础知识：

一、研究对象：绕中心天体的行星或卫星

r m v r Mm G 22= G r v M 2= (已知线速度与半径）

2

2ωmr r Mm G = G r M 32ω= （已知角线速度与半径） 22)2(T mr r Mm G π= G

T r M 2

32)2(π= (已知周期与半径） 总结：

线速度v

r ，这三个物理量中，任意组合二个,一定能求出中心天体的质量M 。

或者说：中心天体的质量M 、及三个物理量中，只要知道其中的两个，可求出其它物理量。

二、研究对象：绕中心天体表面运行的行星或卫星

R m v R

Mm G 22= G R v M 2= (已知线速度与半径）

2

2ωmR R Mm G = G R M 32ω= （已知角线速度与半径) G πωρ432=(已知角速度） 22)2(T mR R Mm G π=

已知周期与半径

已知周期)

如果绕中心天体表面运转,

三、研究对象：距离地面h 高处的物体，万有引力等于重力

mg h R Mm

G =+2

)

( G h R g M 2)(+= （已知某高度处的重力加速度与距离)

四、研究对象：地球表面的物体，万有引力等于重力

mg R Mm G =2 G gR M 2= （已知中心天体表面的重力加速度与半径) GR

g

πρ43=

训练题(真题）

1宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t,小球落在星球表面,测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为

3L ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常量为G,求该星球的质量M 和密度ρ.

图21

[解析]此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度．

根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为221

gt y =

设初始平抛小球的初速度为v ，则水平位移为x=vt ．有2222)()21

(L vt gt =+ 错误!

当以2v 的速度平抛小球时，水平位移为x'= 2vt ．所以有2222)3()2()21

(L vt gt =+ ②

在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有mg=G 2R

Mm

③

联立以上三个方程解得22

332Gt LR M =

而天体的体积为334R V π=,由密度公式V M =ρ得天体的密度为R

Gt L 223πρ=。

2某一物体在地球表面时，由弹簧测力计测得重160N ，把此物体放在航天器中,若航天器以加速度2

g

a =

（g 为地球表面的重力加速度）垂直地面上升，这时再用同一弹簧测力计测得物体的重力为90N ，忽略地球自转的影响,已知地球半径R ，求此航天器距地面的高度。

解析：物体在地球表面时,重力为=mg 160N ①根据万有引力定律，在地面附近有

2

R GMm

mg =

② 在距地面某一高度h 时，由牛顿定律得ma g m F N ='- ③根据万有引力定律,得2

)

(h R GMm

g m +=' ④①②③④式并代入数据解得R h 3=。

1、 已知地球的半径为R ,地面的重力加速度为g ，引力常量为G 。可求得地球的平均密度ρ=________。 答案 3g /4πGR

【解析】 由mg =G

2

R Mm 和ρ=33

4R M

V

M π=得ρ=GR g π43。 1．根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力,由天体表面上的重力加速度和天体的半径求天体的质量

由mg=G 2R Mm 得 G g

R M 2=。（式中M 、g 、R 分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半径．）

2．根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径，求中心天体的质量

卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得

222224T

mr mr r v m r Mm G πω===

若已知卫星的轨道半径r 和卫星的运行周期T 、角速度ω或线速度v ,可求得中心天体的质量为

G r GT r G rv M 3

22

3224ωπ===

1.下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G 是已知的）（ ） A 。地球绕太阳运行的周期T 和地球中心离太阳中心的距离r B 。月球绕地球运行的周期T 和地球的半径r

C.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r

D.月球绕地球运动的周期T 和轨道半径r

[解析］解此题关键是要把式中各字母的含义弄清楚，要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径．已知地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，所以A 项不对．已知月球绕地球运行的周期和地球的半径，不知道月球绕地球的轨道半径，所以不能求地球的质量，所以B 项

不对．已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由22ωmr r

Mm

G =可以求出中心天体地球的质量，所以C

项正确．由2224T mr r Mm G π=求得地球质量为2

3

24GT r M π=，所以D 项正确

2。 2010·全国卷Ⅱ·21已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍.若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为 A ．6小时 B 。 12小时 C. 24小时 D 。 36小时 【答案】B

【解析】地球的同步卫星的周期为T 1=24小时，轨道半径为r 1=7R 1，密度ρ1.某行星的同步卫星周期为T 2，轨道半径为r 2=3.5R 2，密度ρ2。根据牛顿第二定律和万有引力定律分别有

1211

2

13

111)2(34r T m r R Gm ππρ=⨯

2222

2

23

2

2

2)2(34r T m r R Gm ππρ=⨯ 两式化简得122

1

2==

T T 小时 3. （2009届山东邹城二中高三模拟)2008年9月25日21时10分，载着翟志刚、刘伯明、景海鹏三位宇航

员的神舟七号飞船在中国酒泉卫星发射中心发射成功，9月27日翟志刚成功实施了太空行走。已知神舟七号飞船在离地球表面h 高处的轨道上做周期为T 的匀速圆周运动，地球的半径R ，万有引力常量为G .在该轨道上,神舟七号航天飞船（.BCD ） A ．运行的线速度大小为

T

R

π2 B ．运行的线速度小于第一宇宙速度

C ．运行时的向心加速度大小2

2)

(4T h R +π

D ．地球表面的重力加速度大小为2

23

2)(4R

T h R +π 4.（05天津理综21)土星周围有美丽壮观的“光环"，组成环的颗粒是大小不等、线度从1μm 到10 m 的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104

km 延伸到1.4×105

km.已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h,引力常量为6.67×10-11

N ·m 2/kg 2

,则土星的质量约为（估算时不考虑环

中颗粒间的相互

作

用

）

（ ） A 。9。0×1016

kg B 。6。4×1017

kg C.9。0×1025 kg

D 。6。4×1026

kg

答案 D

解析 由万有引力作用提供向心力得222π4T

r m r GMm =

所以M=2

113

822

32)600314(1067.6)104.1(π4π4⨯⨯⨯⨯⨯=-GT r

=6。4×1026

kg

5。（09·全国Ⅰ·19）天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1。4小时，引力常量G=6.67×10—11

N ·m 2/kg 2,

，由此估算该

行星的平均密度

为

( D )

A.1.8×103

kg/m 3

B 。 5。6×103

kg/m

3

C 。 1。1×104

kg/m 3

D 。2。9×104

kg/m 3

解析：本题考查天体运动的知识。首先根据近地卫星饶地球运动的向心力由万有引力提供2224T R

m R Mm G π=,

可求出地球的质量.然后根据3

43R

M πρ=

,可得该行星的密度约为2。9×104kg/m 3

.

6、(06北京卷）24 。一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行.认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量C

A 。飞船的轨道半径

B 。飞船的运行速度 C.飞船的运行周期 D 。行星的质量

7. 北京市昌平一中高三年级第二次月考有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍,则该星球的质量将是地球质量的（ D ) A 。

4

1

; B.4倍； C.16倍; D 。64倍. 8.(05北京理综20)已知地球质量大约是月球质量的81倍,地球半径大约是月球半径的4倍。不考虑地球、月球自转的影响,由以上数据可推算出

( ）

A 。地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9∶8

B.地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9∶4

C 。靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为8∶9

D 。靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为81∶4

答案 C 解析 ①3

3π3

4

r m r m m ∝

=

=ρρ得V

∴

64

81

)41(81)(33=

⋅==地月月地月地r r m m ρρ ②由mg=2

2r

M

r GMm ∝g 得 ∴

16

81)41(81)(22=⋅=⋅=地月月地月地r r M M g g ③由mg=mr g

r T T

∝

得22

π4 ∴

9

881164=⨯=⋅=地月月地月地g g r r T T ④由r

M ∝=v r v 得22m r GMm

∴

2

94181=⨯=⋅=地月月地月地r r M M v v

9。(04北京理综20）1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星,该小行星的半径为16 km 。若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体,小行星密度与地球相同.已知地球半径R=

6 400 km,地球表面重力加速度为g 。这个小行星表面的重力加速度为 （ ） A.400g B 。

400

1

g C.20g D.

20

1g 答案 B

解析 质量分布均匀的球体的密度ρ=3M/4πR 3

地球表面的重力加速度：g=GM/R 2

=

3

4ρ

GR π 吴健雄星表面的重力加速度：g ′=GM/r 2=34

ρGr π

g/g ′=R/r=400，故选项B 正确.

10．湖南省长沙市一中2010届高三第五次月考随着太空技术的飞速发展，地球上的人们登陆其它星球成为可能.假设未来的某一天，宇航员登上某一星球后,测得该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，而该星球的平均密度与地球的差不多，则该星球质量大约是地球质量的 ( D ) A ．0。5倍 B ．2倍 C ．4倍 D ．8倍

11、(05河北、河南、安徽、山西） 把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周.由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求 得（ CD ） B ．火星和太阳的质量之比 C ．火星和地球到太阳的距离之比 D ．火星和地球绕太阳运行速度大小之比

12、(05四川、陕西、贵州、云南、新疆、宁夏、甘肃、内蒙） 最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星,并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1200 年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100 倍。 假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有 AD

A ．恒星质量与太阳质量之比

B ．恒星密度与太阳密度之比

C ．行星质量与地球质量之比

D ．行星运行速度与地球公转速度之比

13、（05黑龙江、吉林、广西） 已知引力常量G 、月球中心到地球中心的距离R 和月球绕地球运行的周期T 。仅利用 这三个数据，可以估算出的物理量有 BD

A ．月球的质量

B ．地球的质量

C ．地球的半径

D ．月球绕地球运行速度的大小

14、（08北京卷） ．据媒体报道,嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200 km,运用周期127分钟。若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是

A ．月球表面的重力加速度

B ．月球对卫星的吸引力

C ．卫星绕月球运行的速度

D ．卫星绕月运行的加速度

答案：B

15。(09年安徽卷）2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙—2251”卫星和美国的“铱—33”卫星在西伯利亚上空约805km 处发生碰撞。这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆,甲的运行速率比乙的大,则下列说法中正确的是

A 。 甲的运行周期一定比乙的长

B 。 甲距地面的高度一定比乙的高

C 。 甲的向心力一定比乙的小

D 。 甲的加速度一定比乙的大 答案：D

解析：由

r GM v =可知，甲的速率大，甲碎片的轨道半径小，故B 错;由公式GM R 2T 3

π

=可知甲的周期小故A 错；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C 错;碎片的加速度是指引力加速度由

ma R m

GM =2

得a R GM =2,可知甲的加速度比乙大，故D 对. 16.(08江苏1)火星的质量和半径分别约为地球的101和21

，地球表面的重力加速度为g,则火星表面的重力加速

度

约

为

（ ） A.0。2 g

B.0。4 g

C 。2。5 g

D 。5 g

答案

B

解析 在星球表面万有引力近似等于所受的重力.

由.4.0,,2

2

22g g R M R M g g R GM

g mg R GMm ====火火

地地火火得所以得 17.(07宁夏理综14）天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动,并测出了行星的轨道半径和

运

行

周

期

。

由

此

可

推

算

出

（ ）

A 。行星的质量

B.行星的半径

C 。恒星的质量

D.恒星的半径

答案 C

18.（07昆明第一次教学质检)据报道:我国第一颗绕月探测卫星“嫦娥一号”将于2007年在西昌卫星发射中心由“长征三号甲”运载火箭发射升空。假设该卫星的轨道是圆形的,且贴近月球表面。若已知该卫星的运行周期、月球的半径、万有引力常量，则可求出 A 。月球的质量

B 。月球的密度

C.探测卫星的质量

D.月球表面的重力加速度

答案 ABD 19.(07

连云港一调)关于航天飞机与空间站对接问题，下列说法正确的是

（ ）

A 。先让航天飞机进入较低的轨道，然后再对其进行加速，即可实现对接

B 。先让航天飞机进入较高的轨道,然后再对其进行加速，即可实现对接

C 。若要从空间站的后方对接,应先让航天飞机与空间站在同一轨道上，然后让航天飞机加速，即可实现对接

D.若要从空间站的前方对接，应先让航天飞机与空间站在同一轨道上,然后让航天飞机减速。即可实现对接

答案 A

20。(07四川理综17）我国探月的“嫦娥工程”已经启动,在不久的将来，我国宇航员将登上月球。假如宇航员在月球上测得摆长为l 的单摆做小振幅振动的周期为T ，将月球视为密度均匀、半径为r 的球体，则月球的密度为 （ ) A.

2

3πGrT

l

B 。

2

π3GrT

l

C.

2

3π16GrT

l

D 。

2

16π3GrT

l

答案 B

解析 由T=2πg l 得：mg r GMm T l g ==222,π4由得：GM=gr 2

，而M=3π34r ⋅ρ,联立得：2π3GrT l =ρ。

21。(05全国卷Ⅰ16)把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周，由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得( )

A.火星和地球的质量之比

B 。火星和太阳的质量之比 C.火星和地球到太阳的距离之比

D.火星和地球绕太阳运行速度大小之比

答案 CD

解析 设火星和地球质量分别为m 1、m 2，它们到太阳的距离分别为r 1、r 2,它们绕太阳的运行速度分别为v 1、v 2,

由万有引力提供向心力得

r m T r m r GMm 2

222π4v == 1

2

2

1222121,3r r T T r r ==v v 由上式可知C 、D 正确。

22.(05全国卷Ⅱ18）已知引力常量G 、月球中心到地球中心的距离R 和月球绕地球运行的周期T 。仅利用这三

个

数

据

,

可

以

估

算

出

的

物

理

量

有

（ )

A 。月球的质量 B.地球的质量

C 。地球的半径

D 。月球绕地球运行速度的大小

答案 BD

解析 由万有引力提供向心力2222π4T

R

m R m R Mm G ==v 得:R

GM

v =

=

2

3

2π4GT R M 23．安徽省两地2010届高三第一次联考检测组成星球的物质是靠引力吸引在一起的,这样的星球有一个最大的自转速率。如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动,由此能得到

半径为R 、密度为ρ、质量为M 且均匀分布的星球的最小自转周期T 。下列表达式中正确的是 （ A D ）

A ．GM R T /23π=

B ．GM R T /323π=

C ．ρπG T /=

D ．ρπG T /3=

24。 上海市建平中学2010届高三摸底测试1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人，若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径为R ，地球上一个昼夜的时间为T 1(地球自转周期），一年的时间T 2（地球公转的周期）,地球中心到月球中心的距离L 1,地球中心到太阳中心的距离为L 2．你估算出（ AB ）

A 、地球的质量G

gR m 2=地

B 、太阳的质量2

2

32

24GT L m π=太 C 、月球的质量2

1

3

1

24GT L m π=月 D 、可求月球、地球及太阳的密度

25。我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号"已于2007年10月24日在西昌卫星发射中心由“长征三号甲”运载火箭成功发射升空.假设该卫星的绕月轨道是圆形的，且距离月球表面高度为h,并已知该卫星的运行周期为T,月球的直径为d,万有引力常量为G,则可求出（ )

A 。月球质量2

3

22)2(GT

h d M +=π

B.月球探测卫星“嫦娥一号”在离月球表面h 高度轨道上运行的速度v =πd/T C 。月球探测卫星“嫦娥一号”绕月轨道的半径r = d + h

D 。月球表面的重力加速度223

)2(2T d h d g +=π

答案 A

26.发射航天器带来的轨道碎片等被人们称为太空垃圾,太空垃圾给航天事业带来巨大隐患，一颗迎面而来的

直径0。5毫米的金属微粒,足以戳穿密封的航天服,太空垃圾不仅给航天事业带来巨大隐患,还污染宇宙空间,尤其是核动力发动机脱落，会造成放射性污染,有些太空垃圾能逐渐落回地面,在重返大气层的过程中烧毁.则这些太空垃圾在逐渐落回地面的过程中

（ ）

A.角速度逐渐增大

B.线速度逐渐减小 C 。向心加速度逐渐减小

D 。周期逐渐减小

答案 AD

27。新华网11月7日报道：北京时间2007年11月7日早上8时34分,“嫦娥一号"成功完成第三次近月制动,进入127分钟圆形越极轨道。经过调整后的127分钟圆形越极轨道将是“嫦娥一号”的最终工作轨道，这条轨道距离月面200公里高度，运行速度约1。6千米/秒，经过月球的南北极上空,由于月球的自转作用，处于越极轨道的“嫦娥一号”可以完成包括月球南北极、月球背面的全月探测工作.“嫦娥一号”进入科学探测的工作轨道稳定后,其上的科学探测仪器将全一一展开.（已知万有引力常量G=6。67×10-11

N · m 2

/kg 2

，月球可视为球体）根据上述报道可以估算下列哪些物理量

（ )

A.“嫦娥一号"与月球的引力 B 。“嫦娥一号”的总质量 C 。月球的平均密度

D 。月球表面的物质结构

答案 C

28。宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球,经过时间t ，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为3L,已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常量为G,求该星球的质量M 和密度ρ。

[解析]此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度．

根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为221

gt y =

设初始平抛小球的初速度为v ，则水平位移为x=vt ．有2222)()21

(L vt gt =+ 错误!

当以2v 的速度平抛小球时，水平位移为x'= 2vt ．所以有2222)3()2()21

(L vt gt =+ ②

在星球表面上物体的重力近似等于万有引力,有mg=G 2R

Mm

③

联立以上三个方程解得2

2

332Gt LR M = 而天体的体积为334R V π=

，由密度公式V M =ρ得天体的密度为R

Gt L 223πρ=

29。(09·全国卷Ⅱ·26) (21分)如图，P 、Q 为某地区水平地面上的两点，在P 点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。重力加速度在

原

坚直方向（即PO 方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P 点附近重力加速度反常现象.已知引力常数为G.

(1）设球形空腔体积为V,球心深度为d （远小于地球半径）,PQ =x ，求空腔所引起的Q 点处的重力加速度反常

（2)若在水平地面上半径L 的范围内发现：重力加速度反常值在δ与k δ（k>1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L 的范围的中心，如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的,试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。

答案：(1）223/2

()G Vd

d x ρ+；（2）1

3/2-=k L d ，)1(3

/22-=k G k L V ρδ

解析:本题考查万有引力部分的知识。

（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值.因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力g m r Mm

G

∆=2

………①来计算，式中的m 是Q 点处某质点的质量，M 是填充后球形区域的质量，V M ρ=……………② 而r 是球形空腔中心O 至Q 点的距离22x d r +=………③

g ∆在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q 点处重力加速度改变的大小。Q 点处重力加速度改变的方向沿OQ 方向，重力加速度反常g '∆是这一改变在竖直方向上的投影g r

d

g ∆='∆………④ 联立以上式子得

2

/322)(x d Vd

G g +=

'∆ρ,…………⑤

(2）由⑤式得，重力加速度反常g '∆的最大值和最小值分别为()2

max d V

G g ρ=

'∆……⑥ ()2

/322min )(L d Vd

G g +=

'∆ρ……………⑦

由提设有()δk g ='∆max 、()δ='∆min g ……⑧

联立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为

1

3/2-=

k L d ,)1(3

/22-=k G k L V ρδ

计算中心天体的质量和密度

计算天体的质量和密度 知识梳理 注意：计算天体质量需“一个中心、两个基本点”： “一个中心”即只能计算出中心天体的质量;“两个基本点” 即要计算中心天体的质量，除引力常量G 外，还要已知两个独立的物理量。 例题分析 【例1】下列哪一组数据不能估算出地球的质量。引力常量G 已知( ) A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度 【例2】已知引力常量G ．月球中心到地球中心的距离R 和月球绕地球运行的周期T 。仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（ ） A ．月球的质量 B ．地球的密度 C ．地球的半径 D ．月球绕地球运行速度的大小 【例3】（2006北京）一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行,认为行星是密度均匀的球体,要确定该行星的密度,只需要测量( ) A.飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度 C.飞船的运行周期 D.行星的质量 【例4】（2005广东）已知万有引力常量G ，地球半径R ，月球和地球之间的距离r ，同步卫星距地面的高度h ，月球绕地球的运转周期T 1，地球的自转周期T 2，地球表面的重力加速度g 。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M 的方法： 同步卫星绕地球作圆周运动，由得 ⑴请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出 正确的解法和结果。 ⑵请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。 同步练习 1.已知下面的哪组数据可以计算出地球的质量？引力常量G 已知（ ） A ．月球绕地球运动的周期和月球的半径 B ．地球同步卫星离地面的高度 C ．地球绕太阳运动的周期和地球到太阳中心的距离 D ．人造卫星在地面附近的运动速度和周期 2.下列哪一组数据能够估算出地球的密度。引力常量G 已知( ) A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与月地之间的距离 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.绕地球表面运行卫星的周期 3.（05天津）土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等．线度从1μm 到10m 的岩石．尘埃，类似于卫星， 它们与土星中心的距离从7.3×104 km 延伸到1.4×105 km 。已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14h ，引力常量为6.67×10-11 N ?m 2 /kg 2 ，则土星的质量约为（估算时不考虑环中颗粒间的相互作用）（ ） Ａ．9.0×1016 kg Ｂ．6.4×1017 kg Ｃ．9.0×1025 kg Ｄ．6.4×1026 kg 4.地球公转的轨道半径是R 1，周期是T 1；月球绕地球运转的轨道半径是R 2，周期是T 2。则太阳质量与地球质量之比是（ ） A. 2 2322 131T R T R B. 2 1322 231T R T R C. 2 2222 121T R T R D. 2 1 222 221T R T R 5.（05全国Ⅲ）最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1200 年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100 倍。 假定该

2020年高考物理专题复习：天体质量和密度的估算精讲

考点精讲 一、万有引力定律及其应用 1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。 2. 表达式：F ＝2 21r m Gm ，G 为引力常量：G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2。 3. 适用条件： （1）公式适用于质点间的相互作用，当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点； （2）质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。 二、天体质量和密度的计算 1. 解决天体（卫星）运动问题的基本思路 （1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 G 2r Mm ＝ma n ＝m r v 2＝mω2 r ＝m 2 24T r π； （2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G 2R Mm ＝mg （g 表示天体表面的重力加速度）。 2. 天体质量和密度的计算 （1）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。 由于G 2R Mm ＝mg ，故天体质量M ＝G gR 2， 天体密度ρ＝33 4R M V M π= ＝GR g π43。 （2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r 。 ①由万有引力等于向心力，即G 2r Mm ＝m 224T πr ，得出中心天体质量M ＝2 324GT r π； ②若已知天体半径R ，则天体的平均密度 ρ＝3 3 4R M V M π=＝323 R GT r 3π； ③若天体的卫星在天体表面附近做环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝2 3GT π 。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。

求中心天体的质量与密度

求天体的加速度、质量、密度 一．知识聚焦 1。加速度： 表面上 mg Mm G =2 R 得2g R GM = 非表面 ()m a R Mm G =+2 h 得)(2R a h GM += 万有引力与航天 ） 基础知识： 一、研究对象：绕中心天体的行星或卫星 r m v r Mm G 22= G r v M 2= (已知线速度与半径） 2 2ωmr r Mm G = G r M 32ω= （已知角线速度与半径） 22)2(T mr r Mm G π= G T r M 2 32)2(π= (已知周期与半径） 总结： 线速度v r ，这三个物理量中，任意组合二个,一定能求出中心天体的质量M 。 或者说：中心天体的质量M 、及三个物理量中，只要知道其中的两个，可求出其它物理量。 二、研究对象：绕中心天体表面运行的行星或卫星 R m v R Mm G 22= G R v M 2= (已知线速度与半径） 2 2ωmR R Mm G = G R M 32ω= （已知角线速度与半径) G πωρ432=(已知角速度） 22)2(T mR R Mm G π= 已知周期与半径 已知周期)

如果绕中心天体表面运转, 三、研究对象：距离地面h 高处的物体，万有引力等于重力 mg h R Mm G =+2 ) ( G h R g M 2)(+= （已知某高度处的重力加速度与距离) 四、研究对象：地球表面的物体，万有引力等于重力 mg R Mm G =2 G gR M 2= （已知中心天体表面的重力加速度与半径) GR g πρ43= 训练题(真题） 1宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t,小球落在星球表面,测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为 3L ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常量为G,求该星球的质量M 和密度ρ. 图21

高考物理考题一 天体质量(密度)的估算

考题一 天体质量(密度)的估算 求解中心天体质量、密度的方法 1.利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 求解 由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2 G . 2.利用卫星绕天体做匀速圆周运动求解 (1)已知卫星的轨道半径r 和该轨道上的重力加速度g ，根据GMm r 2＝mg ，得M ＝gr 2 G ； (2)已知卫星线速度v 和轨道半径r ，根据GMm r 2＝m v 2 r 得M ＝r v 2G ； (3)已知卫星运转周期T 和轨道半径r ，由GMm r 2＝m 4π2T 2r 得M ＝4π2r 3 GT 2； (4)已知卫星线速度v 和运转周期T ，根据GMm r 2＝m v 2π T 和r ＝v T 2π得M ＝v 3T 2πG .

3.天体密度的估算一般在质量估算的基础上，利用M ＝ρ·4 3 πR 3进行. 例1 宇宙中有两颗相距无限远的恒星S 1、S 2，半径均为R 0.图1分别是两颗恒星周围行星的公转周期T 2与半径r 3的图象，则( ) 图1 A.恒星S 1的质量大于恒星S 2的质量 B.恒星S 1的密度小于恒星S 2的密度 C.恒星S 1的第一宇宙速度大于恒星S 2的第一宇宙速度 D.距两恒星表面高度相同的行星，S 1的行星向心加速度较大 解析 两颗恒星周围的行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，G Mm r 2＝m 4π2 T 2r ， 变形得T 2r 3＝4π2 GM .故图象的斜率越大，质量越小.故恒星S 1的质量小于恒星S 2的质量.故A 错. 因为两颗恒星的半径相等，所以体积相等，故恒星S 1的密度小于恒星S 2的密度，故B 对.由G Mm R 2＝m v 2R 变形后得第一宇宙速度v ＝ GM R ，即质量越大，第一宇宙速度越大.故恒星S 1的第一宇宙速度小于恒星S 2的第一宇宙速度，故C 错.行星向心加速度a ＝GM r 2，行星距两恒 星表面高度相同，故质量越大，加速度越大，故D 错. 答案 B 变式训练 1.地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域.进一步探测发现在地面P 点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图2所示.假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计.如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g ；由于空腔的存在，现测得P 点处的重力加速度大小为kg (k ＜1).已知引力常量为G ，球形空腔的球心深度为d ，则此球形空腔的体积是( )

高中物理之破解天体问题,天体质量、密度、结合匀速圆周运动考查万有引力定律、变轨问题、双星及多星模型

一、抓住两条基本思路，求解天体质量、密度 [全练题点] 1．宇航员在地球上的水平地面将一小球平抛，使小球产生一定的水平位移，当他登陆一半径为地球半径2倍的天体后，站在该天体水平地面上以和在地球上完全相同的方式平抛小球，测得小球的水平位移大约是地球上平抛时的4倍，宇航员由此估算该天体的质量M 1约为(式中M 为地球的质量)( ) A ．M 1＝12 M B ．M 1＝2M C ．M 1＝14M D ．M 1＝4M 解析：选C 根据平抛规律可计算星球表面重力加速度，竖直方向h ＝12 gt 2，水平方向x ＝v t ，可得g 1＝116g ，再由星球表面万有引力公式G Mm R 2＝mg ，R 1＝2R ，可得M 1＝M 4 ，C 正确。 2．[多选]被誉为嫦娥5号“探路尖兵”的载人返回飞行试验返回器在内蒙古四子王旗预定区域顺利着陆，标志着我国已全面突破和掌握航天器以接近第二宇宙速度的高速载人返回关键技术，为嫦娥5号任务顺利实施和探月工程持续推进奠定了坚实基础。已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t (t 小于航天器的绕行周期)，航天器运动的弧长为s ，航天器与月球的中心连线扫过的角度为θ，引力常量为G ，则( ) A ．航天器的轨道半径为θs B ．航天器的环绕周期为2πt θ C ．月球的质量为s 3 Gt 2θ D ．月球的密度为3θ24πGt 2 解析：选BCD 根据几何关系得：r ＝s θ ，故A 错误；经过时间t ，航天器与月球的中心连线扫过的角度为θ，则：t T ＝θ2π ，得：T ＝2πt θ，故B 正确；由万有引力充当向心力而做圆周运动，所以：G Mm r 2＝m 4π2 T 2r ，所以：M ＝4π2r 3GT 2＝4π2??? ?s θ3G ??? ?2πt θ2＝s 3Gt 2θ，故C 正确；人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，月球的半径等于r ，则月球的体积：V ＝43πr 3＝43 π????s θ3 ，月球的密度：ρ＝M V ＝s 3 Gt 2θ43π??? ?s θ3＝3θ24πGt 2，故D 正确。 3.[多选](2018届高三·湖南师大附中调研)某行星外围有一

(完整版)求中心天体的质量与密度

求天体的加速度、质量、密度 一．知识聚焦 1. 加速度： 万有引力与航天） 基础知识：一、研究对象：绕中心天体的行星或卫星 总结： 线速度v、角速度ω（周期T 、频率f、转速n）、轨道半径r，这三个物理量中，任意组合二个，一定能求出中心天体的质量M。 或者说：中心天体的质量M、及三个物理量中，只要知道其中的两个，可求出其它物理量。 表面上 Mm G M R m2 mg 得g G R M2 R 非表面 Mm ma 得a GM Mm mv2 2 rr 2 vr （已知线速度与半径） Mm G 2 mr r 2 r 3 （已知角线速度与半径） Mm 2 r mr(2 T )2 (2 )2r3 T 2 G （已知周期与半径） Mm 2 mv v2R （已知线速度与半径） G R2R M G G Mm mR 2 2 R 3 R （已知角线速度与半 径） 2M R2 G4G 已知角速、研究对象：绕中心天体表面运行的行星或 卫星 度） 32

四、研究对象：地球表面的物体，万有引力等于重力 4 GR Mm R 2 mR(2T ) 2 (2 )2 R 3 T 2G （已知周期与半径 ） GT 2 （已知周期 ） 如果绕中心天体表面运转，中心天体的密度与周期的平方即： 任何因数都无关。 2 3 T 是一个常量，与 G 三、研究对象：距离地面 h 高处的物体，万有引力等于重力 （已知某高度处的重力加速度与距离 ） Mm R 2 mg M gR 2 G 3g （ 已知中心天体表面的重力加速度与半径 ）

训练题(真题) 1 宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间 表面，测得抛出点与落地点之间的距离为 L ，若抛出时的初速度增大到 地点间的距离为 3 L ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为 R ，引力常量为 G ，求该星球的质量 M 和密度ρ ［解析 ］此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速 度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密 度． 12 根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为 y 1 gt 2 2 设初始平抛小球的初速度为 v ，则水平位移为 x=vt ．有 (1 gt 2) 2 (vt)2 L 2 ○1 1 当以 2v 的速度平抛小球时， 水平位移为 x'= 2vt ．所以有 (1 gt 2)2 (2vt)2 ( 3L)2 2 在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有 mg=G Mm 2 ③ R 2 160N ，把此物体放在航天器中，若航天器 以加速度 a g ( g 为地球表面的重力加速度)垂直地面上升，这时再用同一弹簧测力计 2 测得物体的重力为 90N ，忽略地球自转的影响， 已知地球半径 R ，求此航天器距地面的高度。 在距地面某一高度 h 时，由牛顿定律得 F N mg ma ③根据万有引力定律，得 2 某一物体在地球表面时，由弹簧测力计测得重 联立以上三个方程解得 M 2 3LR 2 3Gt 2 4 3 而天体的体积为 V R 3 ，由密度公式 M 得天体的密度为 3 V 3L 2 Gt 2 R t ，小球落在星球 2 倍，则抛出点与 落 解析： 物体在地球表面时，重力为 mg 160N ①根据万有引力定律，在地面附近有 mg GMm R 2

专题26 中心天体质量密度的计算问题(解析版)

高考物理备考微专题精准突破 专题2.6 中心天体质量密度的计算问题 【专题诠释】 中心天体质量和密度常用的估算方法 【高考领航】 【2019·新课标全国Ⅰ卷】在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则（） 1

= A ．M 与N 的密度相等 B ．Q 的质量是P 的3倍 C ．Q 下落过程中的最大动能是P 的4倍 D ．Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是P 的4倍 【答案】AC 【解析】A 、由 a –x 图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有： mg - kx = ma ， 变形式为： a = g - k m x ，该图象的斜率为 - k m ，纵轴截距为重力加速度 g 。根据图象的纵轴截距可知，两 g M 3a 0 3 星球表面的重力加速度之比为： = = ；又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引力相等， g N a 0 1 即： G Mm ' = m 'g ，即该星球的质量 M = gR 2 。又因为： M = ρ 4πR 3 ，联立得ρ= 3g 。故两星球的 R 2 G 3 4πRG ρM 密度之比为： = g M ⋅ R N = 1:1，故 A 正确；B 、当物体在弹簧上运动过程中，加速度为 0 的一瞬间， ρN g N R M 其所受弹力和重力二力平衡， mg = kx ，即： m = kx ；结合 a –x 图象可知，当物体 P 和物体 Q 分别处于平 g x P x 0 衡位置时，弹簧的压缩量之比为： = 1 ，故物体 P 和物体 Q 的质量之比为： m P = x p ⋅ g N = 1 ， x Q 2x 0 2 m Q x Q g M 6 故 B 错误；C 、物体 P 和物体 Q 分别处于各自的平衡位置（a =0）时，它们的动能最大；根据v 2 = 2ax ，结 合 a –x 图象面积的物理意义可知：物体 P 的最大速度满足v 2 = 2 ⋅ 1 ⋅3a ⋅ x = 3a x ，物体 Q 的最大速度满 P 2 0 0 0 0 1 2 E m Q v Q m v 2 足： v 2 = 2a x ，则两物体的最大动能之比： kQ = 2 = Q ⋅ Q = 4 ，C 正确；D 、物体 P 和物体 Q Q 0 0 E 1 2 m v 2 kP 2 m P v P P P 分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（a =0）可知，物体 P 和 Q 振动的振幅 A 分别为 x 0 和2x 0 ，即物体 P 所在弹簧最大压缩量为 2 x 0 ，物体 Q 所在弹簧最大压缩量为 4 x 0 ，则 Q 下落过程中，弹簧最大压缩量时 P 物体最大压缩量的 2 倍，D 错误；故本题选 AC 。 【2019·浙江选考】20 世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直 2

天体质量的计算方法

万有引力理论的成就之天体的计算方法 一、计算天体的质量基本思路 1.地球质量的计算 利用地球表面的物体，若不考虑地球自转，质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg=^,则譽，由于g、R已经测岀，因此可计算出地球的质量. 2.太阳质量的计算 利用某一行星：由于行星绕太阳的运动，可看做匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G^=mu)2r,而3 =罕则可以通过测岀行星绕太阳运转的周期和轨道半径，得到太阳质攀. 3.其他行星质量的计算 利用绕行星运转的卫星，若测出该卫星绕行星运转的周期和轨道半径同样可得出行星的质量. 二、讣算天体的质量具体方法 1.“称量”地球的质量 如果不考虑地球自转的影响，地球上的物体所受重力等于地球对它的万有引力. 由万有引力左律m鉀瞥 得恋=譬，苴中g为地球表面的重力加速度，R为地球半径，G为万有引力常量. 从而得到地球质星:M=5.96x10“ kg. 通过上而的过程我们可以计算地球的质量，通过其它的方法，或者说已知另外的一些条件能否测出地球质量. 2.天体质量计算的几种方法 (1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T,半径为r,根据万有引力等于向心力, 即"恋严111 =m月罕P，可求得地球质量M地=¥?"・

(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径I•和月球运动的线速度v,由于地球对月球

的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二圧律，得 也・HH V 2 G~p —=m n~. 解得地球的质量为M 地=W/G ・ (3) 若已知月球运行的线速度v 和运行周期T,由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆 周运动的向心力，根据牛顿第二宦律，得 ^Mifeinu v 2 G —p —=m 以上两式消去门解得 M^=vT7(2nG)・ (4) 若已知地球的半径R 和地球表而的重力加速度由 根据物体的重力近似等于地球对 物体的引力，得 解得地球质量为"地=野. 由以上论述可知，在万有引力泄律这一章中，求天体质量的方法主要有两种：一种方法 是根据天体表面的重力加速度来求天体质量，即g=G 帶，则譽，另一种方法是根据天 体的圆周运动，即根据天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，列岀方程： 4/J 2 v 2 , “士4nV v 2 r 3 h G-p-=m-^rr =in-=mo)午来、k 得质量 M= 面厂=否=飞一 用第二种方法只能求出圆心处天体质量(即中心天体). 3・天体密度的计算 (1) 利用天体表而的重力加速度来求天体的自身密度. 由卑严和M = p -^nR\ 得P 二爲 其中g 为天体表面重力加速度，R 为天体半径. (2) 利用天体的卫星来求天体的密度. 设卫星绕天体运动的轨道半径为r ，周期为T ，天体半径为R ，则可列出方程: =m ；rv- 2/7 〒•

天体质量的计算方法(万有引力理论的成就)

万有引力理论的成就 一、计算天体的质量 1．地球质量的计算 利用地球表面的物体，若不考虑地球自转,质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝错误!，则M＝错误!,由于g、R已经测出，因此可计算出地球的质量． 2．太阳质量的计算 利用某一行星：由于行星绕太阳的运动，可看做匀速圆周运动,行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G错误!＝mω2r，而ω＝错误!,则可以通过测出行星绕太阳运转的周期和轨道半径，得到太阳质量M＝错误!. 3．其他行星质量的计算 利用绕行星运转的卫星，若测出该卫星绕行星运转的周期和轨道半径同样可得出行星的质量． 二、计算天体的质量 1．“称量”地球的质量 如果不考虑地球自转的影响，地球上的物体所受重力等于地球对它的万有引力． 由万有引力定律mg＝错误! 得M＝错误!,其中g为地球表面的重力加速度，R为地球半径，G为万有引力常量．从而得到地球质量M＝5。96×1024kg. 通过上面的过程我们可以计算地球的质量,通过其它的方法，或者说已知另外的一些条件能否测出地球质量． 2．天体质量计算的几种方法 (1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力,即错误!＝m月r错误!2,可求得地球质量M地＝错误!。 (2）若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运动的线速度v，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力,根据牛顿第二定律，得 G M地·m月 r2 ＝m月错误!. 解得地球的质量为M地＝rv2/G。 (3）若已知月球运行的线速度v和运行周期T,由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得 G错误!＝m月·v·错误!. G错误!＝m月错误!。

高考物理(热点+题型全突破)专题5.2 天体质量和密度的估算与天体表面重力加速度问题(含解析)

专题5.2 天体质量和密度的估算与天体表面重力加速度问题 一、天体的质量和密度 1．万有引力定律 (1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比。 (2)表达式：F ＝ Gm 1m 2 r 2 ，G 为引力常量， G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2。 2．中心天体质量和密度的估算 (1)“g 、R 法”：已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。 ①由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝g R 2 G 。 ②天体密度ρ＝M V ＝ M 43 πR 3＝3g 4πGR 。 (2)“T 、r 法”：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T 。 ①由G Mm r 2＝m 4π2r T 2得天体的质量M ＝4π2r 3 GT 2 。 ②若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43 πR 3＝3πr 3 GT 2R 3 。 ③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3π GT 2可见，只要测出 卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。 【示例1】(2015江苏单科3)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的1 20，该中心恒星与太阳的质量比约为( ) A. 1 10 B ．1 C ．5 D ．10 【答案】： B 【解析】： 根据万有引力提供向心力，有G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，可得M ＝4π2r 3 GT 2， 所以恒星质量与太阳质量之比为M 恒 M 太＝r 3行T 2 地 r 3地T 2行＝8180 ≈1，故选项B 正确。 注意事项：

中心天体质量和密度的估算

中心天体质量和密度的估算 中心天体质量和密度的估算 1．一卫星绕火星表面附近做匀速圆周运动，其绕行的周期为T .假设宇航员在火星表面以初速度v 水平抛出一小球，经过时间t 恰好垂直打在倾角α＝30°的斜面体上，如图1所示．已知引力常量为G ，则火星的质量为( ) 图1 A.3v 3T 4 16Gt 3π4 B.33v 3T 416Gt 3π4 C.3v 2T 4 16Gt 3π4 D.33v 2T 416Gt 3π4 答案 B 解析以M 表示火星的质量，r 0表示火星的半径，g ′表示火星表面附近的重力加速度，火 星对卫星的万有引力提供向心力，有G Mm r 20＝m (2πT )2r 0，在火星表面有G Mm ′r 20 ＝m ′g ′；平抛小球速度的偏转角为60°，tan 60°＝g ′t v ，联立以上各式解得M ＝33v 3T 4 16Gt 3π4 ，B 正确． 2．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ，地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( ) A.3π(g 0－g )GT 2g 0 B.3πg 0GT 2(g 0－g ) C.3πGT 2 D.3πg 0GT 2g 答案 B

解析物体在地球的两极时，mg 0＝G Mm R 2，物体在赤道上时，mg ＋m (2πT )2R ＝G Mm R 2，又V ＝43 πR 3，联立以上三式解得地球的密度ρ＝3πg 0GT 2(g 0－g ) .故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误． 3．(多选)如图3所示，飞行器P 绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是( ) 图3 A ．轨道半径越大，周期越长 B ．轨道半径越大，速度越大 C ．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度 D ．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度 答案 AC 解析设星球质量为M ，半径为R ，飞行器绕星球转动半径为r ，周期为T .由G Mm r 2＝m 4π2 T 2r 知T ＝2πr 3GM ，r 越大，T 越大，选项A 正确；由G Mm r 2＝m v 2r 知v ＝ GM r ，r 越大，v 越小，选项B 错误；由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 和ρ＝M 43πR 3得ρ＝3πr 3GT 2R 3，又R r ＝sin θ2，所以ρ＝3πGT 2sin 3θ2 ，所以选项C 正确，D 错误． 4．我国月球探测计划“嫦娥工程”已经启动，科学家对月球的探索会越来越深入． (1)若已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，月球绕地球运动的周期为T ，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径． (2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面高度为h 的某处以速度v 0水平抛出一个小球，小球飞出的水平距离为x .已知月球半径为R 月，引力常量为G ，试求出月球的质量M 月．

专题一：利用卫星测中心天体质量(密度)

专题一：利用卫星测中心天体质量或中心天体密度 1、万有引力提供向心力是解决天体运动问题的基本原则!碰到疑难问题,牢记从这一基本原理出发,很多问题能得以解决! 2、利用万有引力提供向心力这一规律,只能求中心天体质量,不能求环绕天体质量! 3、当环绕天体贴中心天体表面运行时，则在不知道中心天体半径的前提下，也可求得中心天体密度 1.最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍。假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有 （AD ） A .恒星质量与太阳质量之比 B .恒星密度与太阳密度之比 C .行星质量与地球质量之比 D .行星运行速度与地球运行速度之比 2.海王星是绕太阳运动的一颗行星，它有一颗卫星叫海卫1.若将海王星绕太阳的运动和海卫1绕海王星的运动均看作匀速圆周运动，则要计算海王星的质量，需要知道的量是（引力常量G 为已知量）（A ） A .海卫1绕海王星运动的周期和半径 B .海王星绕太阳运动的周期和半径 C .海卫1绕海王星运动的周期和海卫1的质量 D .海王星绕太阳运动的周期和太阳的质量 3、一艘宇宙飞船在一个不知名的行星表面上空作圆形轨道运行，要测定行星的密度，只需要（CD ） A ．测定飞船的环绕半径 B. 测定行星的质量 C. 测定飞船的环绕速度与半径 D. 测定飞船环绕的周期 4． 2011年12月美国宇航局发布声明宣布，通过开普勒太空望远 镜项目证实了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居住的行星。 该行星被命名为开普勒一22b （Kepler 一22b ），距离地球约600 光年之遥，体积是地球的2．4倍。这是目前被证实的从大小和 运行轨道来说最接近地球形态的行星，它每290天环绕着一颗类 似于太阳的恒星运转一圈。若行星开普勒一22b 绕恒星做圆运动的轨道半径可测量，万有引力常量G 已知。根据以上数据可以估算的物理量有（ C ） A.行星的质量 B ．行星的密度 C ．恒星的质量 D ．恒星的密度 5、2011年8月26日消息，英国曼彻斯特大学的天文学家认为，他们已经在银河系里发现一颗由曾经的庞大恒星转变而成的体积较小的行星，这颗行星完全由钻石构成。 若已知万P

万有引力专题02：中心天体质量和密度的估算

专题02：中心天体质量和密度的估算 模块一：知识点归纳 1、中心天体质量和密度常用的估算方法 2、应用公式时注意区分“两个半径”和“两个周期” (1)天体半径和卫星的轨道半径,通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径． (2)自转周期和公转周期,自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等． 模块二：典型例题 1、为了研究某彗星，人类先后发射了两颗人造卫星．卫星A在彗星表面附近做匀速圆周运动，运行速度为v，周期为T；卫星B绕彗星做匀速圆周运动的半径是彗星半径的n倍．万有引力常量为G，则下列计算不正确的是( )

A ．彗星的半径为vT 2π B ．彗星的质量为v 3T 4πG C ．彗星的密度为3πGT 2 D ．卫星B 的运行角速度为2π T n 3 2、我国计划于2019年发射“嫦娥五号”探测器，假设探测器在近月轨道上绕月球做匀速圆周运动，经过时间t (小于绕行周期)，运动的弧长为s ，探测器与月球中心连线扫过的角度为θ(弧度)，引力常量为G ，则( ) A ．探测器的轨道半径为 θt B ．探测器的环绕周期为 πt θ C ．月球的质量为 s 3Gt 2θ D ．月球的密度为 3θ 2 4Gt 模块三：针对训练 1、通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是( ) A ．卫星的速度和角速度 B ．卫星的质量和轨道半径 C ．卫星的质量和角速度 D ．卫星的运行周期和轨道半径 2、近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T ，则火星的平均密度ρ的表达式为(k 是一个常数)( ) A ．ρ＝k T B ．ρ＝kT C ．ρ＝kT 2 D ．ρ＝ k GT 2 3、火星成为我国深空探测的第二颗星球，假设火星探测器在着陆前，绕火星表面匀速飞行(不计周围其他天体的影响)，宇航员测出飞行N 圈用时t ，已知地球质量为M ，地球半径为R ，火星半径为r ，地球表面重力加速度为g 。则( ) A ．火星探测器匀速飞行的速度约为2πNR t B ．火星探测器匀速飞行的向心加速度约为4π2N 2 r t 2 C ．火星探测器的质量为4πN 2r 3 gR 2t 2 D ．火星的平均密度为3πMN 2 gR 2t

2020年高考物理专题精准突破 中心天体质量密度的计算问题(原卷版)

2020年高考物理专题精准突破 专题中心天体质量密度的计算问题 【专题诠释】 中心天体质量和密度常用的估算方法 【高考领航】 【2019·新课标全国Ⅰ卷】在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止 向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则（）

A ．M 与N 的密度相等 B ．Q 的质量是P 的3倍 C ．Q 下落过程中的最大动能是P 的4倍 D ．Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是P 的4倍 【2019·浙江选考】20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直 线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt 内速度的改变为Δv ，和飞船受 到的推力F （其它星球对它的引力可忽略）。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速 度v ，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T 的匀速圆周运动。已知星球的半径为R ，引力常量用G 表示。 则宇宙飞船和星球的质量分别是（ ） A ．F v t ∆∆， 2v R G B ．F v t ∆∆，32πv T G C ．F t v ∆∆， 2v R G D ．F t v ∆∆， 32πv T G F t m v ∆=∆F t m v ∆=∆2224Mm G m r r T π=22Mm v G m r r =32v T M G π= 【2018·新课标全国II 卷】2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”， 其自转周期T =5.19 ms ，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为11 226.6710N m /kg -⨯⋅。 以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约（ ） A ．93510kg /m ⨯ B ．123510kg /m ⨯ C ．153510kg /m ⨯ D ．183510kg /m ⨯ 【技巧方法】 应用公式时注意区分“两个半径”和“两个周期” (1)天体半径和卫星的轨道半径,通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径． (2)自转周期和公转周期,自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天