第23讲 应用万有引力定律估算天体质量和密度(解析版)

第23讲 应用万有引力定律估算天体质量和密度

1．（2021·全国）卡文迪许用扭秤实验测定了引力常量，以实验验证了万有引力定律的正确性。应用引力常量还可以计算出地球的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。已知引力常量G ＝6.67×10

﹣11

N •m 2/kg 2，地面上的重力加速度g ＝9.8m/s 2，地球

半径R ＝6.4×106m ，则地球质量约为（ ） A ．6×1018kg B ．6×1020 kg

C ．6×1022 kg

D ．6×1024 kg

【解答】解：根据公式GMm R 2

=mg 可得M =gR 2G =9.8×(6.4×106)

2

6.67×10

−11kg ＝6×1024kg ，故ABC 错误，D 正确。 故选：D 。

2．（2021·乙卷）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU （太阳到地球的距离为1AU ）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M ，可以推测出该黑洞质量约为（ ）

A ．4×104M

B ．4×106M

C ．4×108M

D ．4×1010M

【解答】解：设地球的质量为m ，地球到太阳的距离为r ＝1AU ，地球的公转周期为T ＝1年；

由万有引力提供向心力可得：GMm r 2

=mr

4π2T 2

，

解得：M =

4π2r 3

GT 2

； 对于S2受到黑洞的作用，椭圆轨迹半长轴R ＝1000AU ， 根据图中数据结合图象可以得到S2运动的半周期

T′2

=（2002﹣1994）年＝8年，则周期

为T ′＝16年，

根据开普勒第三定律结合万有引力公式可以得出：M 黑=4π2R 3GT′

2

，其中R 为S 2的轨迹半

长轴， 因此有：M 黑=R 3T 2r 3T′

2M ，代入数据解得：M

黑

≈4×106M ，故B 正确，ACD 错误。

故选：B 。

一.知识回顾

1．万有引力定律

F ＝

G m 1m 2

r 2，式中G 为引力常量，在数值上等于两个质量都是1 kg 的质点相距1 m 时的

相互吸引力。引力常量由英国物理学家卡文迪什在实验室中比较准确地测出。

测定G 值的意义：①引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据；②使万有引力定律有了真正的实用价值。

（1）．万有引力的特点 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力

相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上

宏观性

地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用

在以下三种情况下可以直接使用公式F ＝G m 1m 2

r

2计算：

①求两个质点间的万有引力：当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，公式中的r 表示两质点间的距离。

②求两个质量分布均匀的球体间的万有引力：公式中的r 为两个球心间的距离。 ③一个质量分布均匀球体与球外一个质点间的万有引力：r 指质点到球心的距离。 (3)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据F ＝G m 1m 2

r

2得出r →0时F →∞的结论，违背公式的物理含义。

(4)在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F 引＝0.

2．万有引力与重力的关系

地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：

一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F 向． 地面上物体的重力随纬度的升高而变大。

在南北两极和赤道上重力和引力的方向是一致的。在地球两极处重力就是引力，在赤道上，重力和引力不等，但在一条直线上。 (1)在赤道上：G Mm

R 2＝mg 1＋mω2R .

(2)在两极上：G Mm

R

2＝mg 0.

(3)在一般位置：万有引力G Mm

R 2等于重力mg 与向心力F 向

的矢量和．

越靠近南、北两极，g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMm R

2＝mg .

（3）重力与高度的关系

由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响

很小，一般情况下认为在地面附近：mg ＝G m 地m R 2。若距离地面的高度为h ，则mg ′＝G

m 地m

R ＋h 2

(R 为地球半径，g ′为离地面h 高度处的重力加速度)，可得g ′＝

Gm 地

R ＋h 2＝

R 2

R ＋h

2g ，所

以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。 .所以g

g ′＝

R ＋h 2

R 2

.

3.天体质量、密度的计算

使用方法

已知量 利用公式 表达式 备注

质量的计算

利用运行天体

r 、T G Mm r 2＝mr 4π2T 2 M ＝4π2r 3GT 2

只能得到中心天体的质量 r 、v

G Mm r 2＝m v 2r M ＝rv 2G

v 、T

G Mm r 2＝m v 2r G Mm r 2＝mr 4π2T 2 M ＝v 3T 2πG

利用天体表面重力加速度 g 、R

mg ＝GMm R 2

M ＝gR 2G

密度的计算

利用运行天体 r 、T 、R

G Mm

r 2＝mr 4π2

T 2 M ＝ρ·43πR 3

ρ＝3πr 3GT 2R 3 当r ＝R 时ρ＝

3πGT 2 利用近地卫星只需测出其运行周期

利用天体表面重力加速度

g 、R

mg ＝GMm R

2

ρ＝3g 4πGR

M ＝ρ·43

πR 3

4. 估算天体质量、密度时的注意事项与易错点：

(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。

(2)区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近运动的卫星才有r ≈R ；计算天体密度时，V ＝4

3

πR 3中的R 只能是中心天体的半径。

(3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有GMm

R 2＝mg 。

二.例题精析

例（多选）1．2020年7月23日，中国火星探测器“天问一号”在文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，目前它已经进入环绕火星的轨道。假设探测器在离火星表面高度分别为h 1和h 2的圆轨道上运动时，周期分别为T 1和T 2，火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星自转的影响，万有引力常量为G ，仅利用以上数据，可以计算出（ ） A ．火星的质量

B ．火星的密度

C ．火星对“天问一号”探测器的引力

D ．火星绕太阳运动的公转周期

【解答】解：ABC ．设火星的质量为M ，半径为R ，“天问一号”质量为m ，则根据万有引力提供向心力可得： G

Mm (R+ℎ1)2=m

4π2

T 1

2(R +ℎ1) G Mm

(R+ℎ2)

2=m 4π2

T 22(R +ℎ2) 通过联立两个方程可以求得两个未知量M 和R ，根据密度的计算公式可以求得火星的密度；

因为天问一号的质量未知，无法求火星对“天问一号”探测器的引力，故AB 正确，C 错误；

D ．火星到太阳的距离未知，太阳的质量未知，故无法求火星绕太阳运动的公转周期，故D 错误。 故选：AB 。

例2．我国首个探月探测器“嫦娥四号”，于2019年1月3日成功降落在月球背面的艾特肯

盆地内的冯一卡门撞击坑内，震惊了世界。着陆前，探测器先在很接近月面、距月面高度仅为h 处悬停，之后关闭推进器，经过时间t 自由下落到月球表面。已知万有引力常量为G 和月球半径为R 。则下列说法正确的是（ ） A ．探测器落地时的速度大小为ℎ

t

B ．月球表面重力加速度大小为ℎ

2t 2

C ．月球的质量为

ℎR 2

2Gt 2

D ．月球的平均密度为

3ℎ2πGRt 2

【解答】解：B ．根据ℎ=12

g 月t 2可得月球表面的重力加速度为：g 月=

2ℎ

t 2

，故B 错误； A ．根据v ＝g 月t 解得探测器落地时的速度大小为：v =g 月t =2ℎ

t ，故A 错误；

C ．根据月球表面的重力等于万有引力可得：G Mm R

2=mg 月，解得月球质量为：M =2ℎR 2

Gt 2，

故C 错误； D 、根据ρ=M V ，其中V =43πR 3，可得月球的平均密度：ρ=M 43

πR 3=3ℎ

2πGRt 2，故D 正确。 故选：D 。

例3．2021年6月17日上午9点22分我国“神舟”十二号载人飞船发射圆满成功，不久前我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量G ，由下列物理量能计算出地球质量的是（ ） A ．核心舱的质量和绕地半径

B ．核心舱的质量和绕地周期

C ．核心舱的绕地角速度和绕地周期

D ．核心舱的绕地线速度和绕地半径

【解答】解：根据万有引力提供向心力，则有：

GMm r 2

=mr

4π2T 2

，解得M =

4π2r 3

GT 2

。 A 、不知道核心舱的绕地周期，根据M =4π2r 3

GT 2

可知，无法计算地球质量，故A 错误；

B 、不知道核心舱的绕地半径，根据M =

4π2r 3

GT

2可知，无法计算地球质量，故B 错误； C 、已知核心舱的绕地角速度和绕地周期，无法计算核心舱的轨道半径，根据M =4π2r 3

GT 2

可知，无法计算地球质量，故C 错误；

D 、已知核心舱的绕地线速度和绕地半径，由万有引力提供向心力有：

GMm r 2

=m

v 2r

，解

得：M =rv 2

G

，故D 正确。

故选：D 。

例4．北京时间2021年5月15日，在经历“黑色九分钟”后，中国首辆火星车“祝融号”与着陆器成功登陆火星，这也意味着“天问一号”火星探测器已经实现了“绕”和“落”两项目标。火星可以看成半径为R ，质量分布均匀，不断自转的球体。“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动一周时间为T 。“祝融号”与着陆器总质量为m ，假如登陆后运动到火星赤道，静止时对水平地面压力大小为F ，引力常量为G ，下列说法正确的是（ ）

A ．火星自转角速度大小为

2πT

B ．火星自转角速度大小为√

4π2T 2

−F

mR C ．火星的质量为FR 2Gm

D ．“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动的加速度小于火星赤道上物体随火星自转的加速度

【解答】解：AB 、“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动一周时间为T ，“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动的角速度大小为2πT

；

则“祝融号”与着陆器在火星表面的万有引力为：F 万＝mR 4π2T 2

，在火星赤道上静止时对

水平地面压力大小为F ，则向心力为：F 向＝F 万﹣F ； 根据牛顿第二定律可得：F 向＝mR ω2 联立解得火星自转角速度大小为：ω=√

4π2T

2−F

mR ，故A 错误、B 正确； C 、根据万有引力和重力的关系可得：GMm R 2

=F+F 向，解得：M =

(F 向

+F)R 2

Gm

，故C 错误；

D 、根据牛顿第二定律可得F 万=GMm

R 2

=ma ，解得“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动的加速度a =

GM

R 2

； 火星赤道上物体随火星自转的加速度为：a 向=F

向

m =GM R

2−F

m ；

所以“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动的加速度大于火星赤道上物体随火星自转的加速度，故D 错误。 故选：B 。

三.举一反三，巩固练习

1. 中华民族几千年来为实现飞离地球、遨游太空的千年梦想而进行的不断尝试和努力。新

中国成立以来，中国航天事业的蓬勃发展，载人航天的千年梦想终于实现了。宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面，做了如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m 的小球，上端固定于O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O 点的竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力F 大小随时间t 的变化规律如图乙所示。F 1＝4F 2，设R 、m 、引力常量G 和F 1为已知量，忽略各种阻力。下列说法正确的是（ ）

A ．该星球表面的重力加速度为

F 14m

B ．卫星绕该星球的第一宇宙速度为√Gm

R C ．星球的密度为

3F 132πGmR

D ．小球过最高点的最小速度为0

【解答】解：A 、设小球在最低点时细线的拉力为F 1，速度为v 1，根据牛顿第二定律可得：F 1﹣mg ＝m

v 1

2r

，

设砝码在最高点细线的拉力为F 2，速度为v 2，则F 2﹣mg ＝m

v 2

2r

，

取绳子最低点所在平面为零势能面，由机械能守恒定律得mg •2r +1

2

mv 22=12

mv 12

联立解得：g =

F 1−F 2

6m

，而F 1＝4F 2， 所以该星球表面的重力加速度为g =F

1

8m ，故A 错误；

B 、第一宇宙速度等于卫星贴近地面做匀速圆周运动的环绕速度，设星球质量为M ，根据万有引力提供向心力的GMm R 2

=m

v 2

R

，卫星绕该星球的第一宇宙速度为v =√GM

R ，故B 错误；

C 、在星球表面，万有引力近似等于重力

GMm R 2

=mg ，联立得：M =F 1R 2

8Gm ，星球的体积V =

43πR 3

，则星球的密度ρ=M V ，解得：ρ=3F 132πGmR

，故C 正确；

D 、小球在最高点受重力和绳子拉力，根据牛顿运动定律F 2﹣mg ＝m

v 2

2r

，当绳子拉力为

0时，小球过最高点速度最小，所以小球在最高点的最小速度v =√gr ，故D 错误。 故选：C 。

2. 随着“天问一号”火星探测器的发射，人类终将揭开火星的神秘面纱，“天问一号”接

近火星附近时首先进入轨道1、然后再经过两次变轨，最终“天问一号”在火星表面附近的轨道3上环绕火星做匀速圆周运动，其简易图如图所示，已知万有引力常量为G 。则下列说法正确的是（ ）

A ．“天问一号”在轨道1的运行周期大于在轨道3的运行周期

B ．“天问一号”若从轨道1变轨到轨道2，需在A 点朝运动的反方向喷气

C ．如果已知火星的半径和“天问一号”在轨道3上运行的周期，可求火星表面的重力加速度

D ．如果已知“天问一号”在轨道3上运行的角速度，可求火星的平均密度 【解答】解：A 、根据开普勒第三定律可得

r 3T 2

=k ，“天问一号”在轨道1上运行的轨道半

长轴大于在轨道3上运行的轨道半径，则“天问一号”在轨道1的运行周期大于在轨道3的运行周期，故A 正确；

B 、“天问一号”若从轨道1变轨到轨道2，需在A 点朝运动的方向喷气使其减速做向心运动，故B 错误；

C 、根据万有引力和重力的关系可得GM r 2

=mg ，解得g =GM

r 2

， 根据万有引力提供向心力，则有：

GMm r 2

=mr

4π2T 2

，解得GM =

4π2r 3

T 2

。 联立解得：g =4π2r 3

T 2R

2，由于不知道“天问一号”在轨道3上运行的轨道半径，所以即使知

道火星的半径R 和“天问一号”在轨道3上运行的周期T ，也无法求出火星表面的重力加速度，故C 错误；

D 、由万有引力提供向心力有：

GMm r 2

=mr ω2

，解得：M =r 3ω2

G

根据密度的计算公式可得：ρ=M 43

πR 3=3r 3ω2

4πR 3 如果已知“天问一号”在轨道3上运行的角速度，不知道火星半径和卫星的轨道半径，

无法求解火星的平均密度，故D 错误。 故选：A 。

3. 2021年5月15日，中国火星探测任务“天问一号”的火星车祝融号着陆在火星表面，

这是中国火星探测史上的一个历史性时刻，若已知万有引力常量G ，那么结合以下假设条件，可以求出火星质量的是（ ）

A ．在火星表面让一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H 和时间t

B ．让“天问一号”贴近火星表面绕星球做匀速圆周运动，测出运行周期T

C ．让“天问一号”在高空绕火星做匀速圆周运动，测出其运行线速度v 和运行周期T

D ．观察火星绕太阳的匀速圆周运动，测出火星的圆周运动直径D 和运行周期T 【解答】解：A 、在火星表面让一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H 和时间t ，根据H =1

2gt 2求得重力加速度：g =2H

t 2

； 根据万有引力和重力的关系可得：GMm R 2

=mg ，由于火星的半径不知道，无法求解火星的

质量，故A 错误；

B 、让“天问一号”贴近火星表面绕星球做匀速圆周运动，测出运行周期T ，根据万有引力提供向心力可得：

GMm R 2

=mR 4π2

T 2，解得：M =4π2R 3

GT

2，由于火星的半径不知道，无法求解火星的质量，故B 错误；

C 、让“天问一号”在高空绕火星做匀速圆周运动，测出其运行线速度v 和运行周期T ，根据T =2πr

v 可得轨道半径为：r =vT

2π； 根据万有引力提供向心力可得：

GMm r 2

=mr

4π2T 2

，解得：M =

4π2r 3GT 2

=v 3T

4πG ，故C 正确； D 、观察火星绕太阳的匀速圆周运动，火星的质量在计算中约去，所以无法测出火星的质量，故D 错误。 故选：C 。

4. 环绕探测是进行火星探测的主要方式之一。已知环绕器在距离火星表面高为h 的圆形

轨道上运行周期为T ，火星半径为R ，万有引力常量为G ，则火星的质量及其表面重力加速度分别是（ ）

A ．M =4π2R 3GT 2；g =4π2R

T 2

B ．M =4π2(R+ℎ)3

GT 2；g =4π2R

T 2

C ．M =4π2(R+ℎ)3GT 2；g =4π2(R+ℎ)

T

2

D ．M =4π2(R+ℎ)3GT 2；g =4π2(R+ℎ)

3

T 2R

2

【解答】解：环绕器的轨道半径r ＝R+h ，设火星的质量为M ，环绕器的质量为m ，根据万有引力提供向心力可得：

GMm r 2

=mr 4π2

T 2，解得：M =4π2(R+ℎ)3

GT 2

；

根据万有引力和重力的关系可得：

GMm R 2

=mg

解得：g =4π2(R+ℎ)

3

T 2R 2

，故D 正确、ABC 错误。

故选：D 。

5. 地球半径R ，地球表面的重力加速度g ，现有质量为m 的卫星，在距地球表面2R 的轨

道上做匀速圆周运动，则正确的是（ ） A ．卫星的动能为

mgR 4

B ．卫星的角速度为√

g 27R

C ．卫星与地球间的万有引力为mg

D ．地球的密度为

3m 4πR 3

【解答】解：ABC 、根据万有引力提供向心力有：F =

GMm (3R)

3

=m

v 2

3R =m •3R ω2，在地球表

面附近有：

GMm′R 2

=m'g ，解得：v =√gR

3，ω=√g

27R ，动能E k =1

2mv 2=

mgR

6

，故AC 错误，B 正确；

D 、根据密度的计算公式有：ρ=M 43

πR 3，解得：ρ=3g

4GπR ，故D 错误； 故选：B 。

6. 同步卫星距离地面高度为h ，地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，地球自转周期

为T 1，近地卫星周期为T 2，万有引力常量为G ，则下列关于地球质量及密度表达式正确的是（ ） A ．地球的质量为4π2ℎ3

GT 1

2 B ．地球的质量为

gR 2G

C ．地球的平均密度为

3πℎ3GT 1

2R 3

D ．地球的平均密度为

3π

GT 1

【解答】解：A 、设同步卫星的轨道半径为r ，则：r ＝R+h 。

根据万有引力提供向心力可得：GMm

r 2=mr 4π2

T 12，解得M =4π2r 3GT 12，故A 错误； B 、根据万有引力和重力的关系可得：GMm

R 2=mg ，解得：M =R 2g G ，故B 正确；

C 、根据密度的计算公式可得ρ=M V ，其中V =43πR 3，代入M =4π2r 3GT 12，可得：ρ=3πr 3GT 1

2R 3，故C 错误；

D 、近地卫星周期为T 2，根据万有引力提供向心力可得：

GMm R 2=mR 4π2T 22，解得M =4π2R 3GT 22， 根据密度的计算公式可得ρ=

M V =3πGT 22，故D 错误。 故选：B 。

7. （1）开普勒行星运动第三定律指出，行星绕太阳运动的椭圆轨道的正半长轴a 的三次

方与它的公转周期T 的二次方成正比，即a 3

T 2=k ，k 是一个所有行星都相同的常量，将

行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k 的表达式．已知引力常量为G ，太阳的质量为Ms ．

（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立．经测定月地距离为3.84×108m ，月球绕地球运动的周期为2.36×106s ．试计算地球的质量M B （G ＝6.67×10﹣11N ⋅m 2/kg 2，结果保留一位有效数字）。

（3）开普勒第二定律指出，行星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等．设火星公转半径为r 1，地球公转半径为r 2，定义“面积速度”为单位时间内扫过的面积．火星、地球公转的“面积速度”之比为多大？

【解答】解：（1）因行星绕太阳作匀速圆周运动，设轨道的半径为r 。

根据万有引力定律和牛顿第二定律有：G

M S m r 2=m(2πT )2r 根据开普勒第三定律有：

r 3T 2=k 解得：k =G 4π2M S

（2）在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R ，周期为T 1，根据万有引力提供向心力有：G M B m 1

R 2=m 1(2π

T 1)2R 解得：M B =6×1024kg

（3）在时间t 内，行星与太阳连线扫过的面积为：s =12rvt

根据万有引力提供向心力有：G M S m r 2=m v 2r

解得：s =12

√GMrt 对于不同的公转半径r 1、r 2有：s 1

s 2=√r 1r 2

2020年高考物理专题复习：天体质量和密度的估算精讲

考点精讲 一、万有引力定律及其应用 1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。 2. 表达式：F ＝2 21r m Gm ，G 为引力常量：G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2。 3. 适用条件： （1）公式适用于质点间的相互作用，当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点； （2）质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。 二、天体质量和密度的计算 1. 解决天体（卫星）运动问题的基本思路 （1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 G 2r Mm ＝ma n ＝m r v 2＝mω2 r ＝m 2 24T r π； （2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G 2R Mm ＝mg （g 表示天体表面的重力加速度）。 2. 天体质量和密度的计算 （1）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。 由于G 2R Mm ＝mg ，故天体质量M ＝G gR 2， 天体密度ρ＝33 4R M V M π= ＝GR g π43。 （2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r 。 ①由万有引力等于向心力，即G 2r Mm ＝m 224T πr ，得出中心天体质量M ＝2 324GT r π； ②若已知天体半径R ，则天体的平均密度 ρ＝3 3 4R M V M π=＝323 R GT r 3π； ③若天体的卫星在天体表面附近做环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝2 3GT π 。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。

第23讲 应用万有引力定律估算天体质量和密度(解析版)

第23讲 应用万有引力定律估算天体质量和密度 1．（2021·全国）卡文迪许用扭秤实验测定了引力常量，以实验验证了万有引力定律的正确性。应用引力常量还可以计算出地球的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。已知引力常量G ＝6.67×10 ﹣11 N •m 2/kg 2，地面上的重力加速度g ＝9.8m/s 2，地球 半径R ＝6.4×106m ，则地球质量约为（ ） A ．6×1018kg B ．6×1020 kg C ．6×1022 kg D ．6×1024 kg 【解答】解：根据公式GMm R 2 =mg 可得M =gR 2G =9.8×(6.4×106) 2 6.67×10 −11kg ＝6×1024kg ，故ABC 错误，D 正确。 故选：D 。 2．（2021·乙卷）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU （太阳到地球的距离为1AU ）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M ，可以推测出该黑洞质量约为（ ） A ．4×104M B ．4×106M C ．4×108M D ．4×1010M 【解答】解：设地球的质量为m ，地球到太阳的距离为r ＝1AU ，地球的公转周期为T ＝1年； 由万有引力提供向心力可得：GMm r 2 =mr 4π2T 2 ， 解得：M = 4π2r 3 GT 2 ； 对于S2受到黑洞的作用，椭圆轨迹半长轴R ＝1000AU ， 根据图中数据结合图象可以得到S2运动的半周期 T′2 =（2002﹣1994）年＝8年，则周期

2020高考备考物理重难点《天体运动与人造航天器》(附答案解析版)

重难点05 天体运动与人造航天器 【知识梳理】 考点一 天体质量和密度的计算 1．解决天体（卫星）运动问题的基本思路 （1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 ma r mv r T m r m r Mm G ====222 2)2(πω （2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即2 R Mm G mg =（g 表示天体表面的重力加速度）． （2）利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度： 在行星表面重力加速度：2 R Mm G mg =，所以 2R M G g = 在离地面高为h 的轨道处重力加速度：2)(h R Mm G g m +='，得 2 )(h R M G g +=' 2．天体质量和密度的计算 （1）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R . 由于2R Mm G mg =，故天体质量G gR M 2 = 天体密度：GR g V M πρ43= = （2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r . ①由万有引力等于向心力，即r T m r Mm G 22)2(π=，得出中心天体质量23 24GT r M π=； ②若已知天体半径R ，则天体的平均密度 3 23 3R GT r V M πρ== ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度 23GT V M πρ== .可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度． 【重点归纳】 1.黄金代换公式 （1）在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g 时，常运用GM ＝gR 2作为桥梁，

高考物理考题一 天体质量(密度)的估算

考题一 天体质量(密度)的估算 求解中心天体质量、密度的方法 1.利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 求解 由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2 G . 2.利用卫星绕天体做匀速圆周运动求解 (1)已知卫星的轨道半径r 和该轨道上的重力加速度g ，根据GMm r 2＝mg ，得M ＝gr 2 G ； (2)已知卫星线速度v 和轨道半径r ，根据GMm r 2＝m v 2 r 得M ＝r v 2G ； (3)已知卫星运转周期T 和轨道半径r ，由GMm r 2＝m 4π2T 2r 得M ＝4π2r 3 GT 2； (4)已知卫星线速度v 和运转周期T ，根据GMm r 2＝m v 2π T 和r ＝v T 2π得M ＝v 3T 2πG .

3.天体密度的估算一般在质量估算的基础上，利用M ＝ρ·4 3 πR 3进行. 例1 宇宙中有两颗相距无限远的恒星S 1、S 2，半径均为R 0.图1分别是两颗恒星周围行星的公转周期T 2与半径r 3的图象，则( ) 图1 A.恒星S 1的质量大于恒星S 2的质量 B.恒星S 1的密度小于恒星S 2的密度 C.恒星S 1的第一宇宙速度大于恒星S 2的第一宇宙速度 D.距两恒星表面高度相同的行星，S 1的行星向心加速度较大 解析 两颗恒星周围的行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，G Mm r 2＝m 4π2 T 2r ， 变形得T 2r 3＝4π2 GM .故图象的斜率越大，质量越小.故恒星S 1的质量小于恒星S 2的质量.故A 错. 因为两颗恒星的半径相等，所以体积相等，故恒星S 1的密度小于恒星S 2的密度，故B 对.由G Mm R 2＝m v 2R 变形后得第一宇宙速度v ＝ GM R ，即质量越大，第一宇宙速度越大.故恒星S 1的第一宇宙速度小于恒星S 2的第一宇宙速度，故C 错.行星向心加速度a ＝GM r 2，行星距两恒 星表面高度相同，故质量越大，加速度越大，故D 错. 答案 B 变式训练 1.地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域.进一步探测发现在地面P 点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图2所示.假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计.如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g ；由于空腔的存在，现测得P 点处的重力加速度大小为kg (k ＜1).已知引力常量为G ，球形空腔的球心深度为d ，则此球形空腔的体积是( )

2020年高考物理备考优生：专题05万有引力定律：含解析

第一部分 名师综述 万有引力定律是高考的必考内容，也是高考命题的一个热点内容。考生要熟练掌握该定律的内容，还要知道其主要应用，要求能够结合该定律与牛顿第二定律估算天体质量、密度、计算天体间的距离（卫星高度）、以及分析卫星运动轨道等相关问题。由于高考计算题量减少，故本节命题应当会以选择题为主，难度较以前会有所降低。本章核心内容突出，主要考察人造卫星、宇宙速度以及万有引力定律的综合应用，与实际生活、新科技等结合的应用性题型考查较多。 第二部分 精选试题 1.【广西省柳州铁路第一中学2016届高三上学期10月月考理综试题】如图所示，有一个质量为M ，半径为R ，密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m 的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零） A ．0 B ．2Mm G R C ．22Mm G R D ．2 4Mm G R 【答案】C 考点：考查了万有引力定律的应用 2.【云南省玉溪市第一中学2016届高三上学期期中考试理科综合试题】宇航员在某星球表面完成下面实验：如图所

示，在半径为r的竖直光滑圆弧轨道内部，有一质量为m的小球（可视为质点），在最低点给小球某一水平初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，测得轨道在最高点和最低点时所受压力大小分别为F1、F2；已知该星球的半径为R，引力常量G，则该星球的第一宇宙速度是（） 错误！未找到引用源。 C.错误！未找到引用 源。 【答案】B 考点：考查了圆周运动，动能定理，万有引力定律 3．【广西桂林市第十八中学2016届高三上学期第三次月考理综试题】发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后在圆轨道1的Q点经点火使卫星沿椭圆轨道2运行，待卫星到椭圆轨道2上距地球最远点P处，再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，如图所示．则卫星在轨道1、2和3上正常运行时，有： A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率

(完整版)求中心天体的质量与密度

求天体的加速度、质量、密度 一．知识聚焦 1. 加速度： 万有引力与航天） 基础知识：一、研究对象：绕中心天体的行星或卫星 总结： 线速度v、角速度ω（周期T 、频率f、转速n）、轨道半径r，这三个物理量中，任意组合二个，一定能求出中心天体的质量M。 或者说：中心天体的质量M、及三个物理量中，只要知道其中的两个，可求出其它物理量。 表面上 Mm G M R m2 mg 得g G R M2 R 非表面 Mm ma 得a GM Mm mv2 2 rr 2 vr （已知线速度与半径） Mm G 2 mr r 2 r 3 （已知角线速度与半径） Mm 2 r mr(2 T )2 (2 )2r3 T 2 G （已知周期与半径） Mm 2 mv v2R （已知线速度与半径） G R2R M G G Mm mR 2 2 R 3 R （已知角线速度与半 径） 2M R2 G4G 已知角速、研究对象：绕中心天体表面运行的行星或 卫星 度） 32

四、研究对象：地球表面的物体，万有引力等于重力 4 GR Mm R 2 mR(2T ) 2 (2 )2 R 3 T 2G （已知周期与半径 ） GT 2 （已知周期 ） 如果绕中心天体表面运转，中心天体的密度与周期的平方即： 任何因数都无关。 2 3 T 是一个常量，与 G 三、研究对象：距离地面 h 高处的物体，万有引力等于重力 （已知某高度处的重力加速度与距离 ） Mm R 2 mg M gR 2 G 3g （ 已知中心天体表面的重力加速度与半径 ）

训练题(真题) 1 宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间 表面，测得抛出点与落地点之间的距离为 L ，若抛出时的初速度增大到 地点间的距离为 3 L ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为 R ，引力常量为 G ，求该星球的质量 M 和密度ρ ［解析 ］此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速 度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密 度． 12 根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为 y 1 gt 2 2 设初始平抛小球的初速度为 v ，则水平位移为 x=vt ．有 (1 gt 2) 2 (vt)2 L 2 ○1 1 当以 2v 的速度平抛小球时， 水平位移为 x'= 2vt ．所以有 (1 gt 2)2 (2vt)2 ( 3L)2 2 在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有 mg=G Mm 2 ③ R 2 160N ，把此物体放在航天器中，若航天器 以加速度 a g ( g 为地球表面的重力加速度)垂直地面上升，这时再用同一弹簧测力计 2 测得物体的重力为 90N ，忽略地球自转的影响， 已知地球半径 R ，求此航天器距地面的高度。 在距地面某一高度 h 时，由牛顿定律得 F N mg ma ③根据万有引力定律，得 2 某一物体在地球表面时，由弹簧测力计测得重 联立以上三个方程解得 M 2 3LR 2 3Gt 2 4 3 而天体的体积为 V R 3 ，由密度公式 M 得天体的密度为 3 V 3L 2 Gt 2 R t ，小球落在星球 2 倍，则抛出点与 落 解析： 物体在地球表面时，重力为 mg 160N ①根据万有引力定律，在地面附近有 mg GMm R 2

高考物理计算题复习《天体密度和质量的计算》(解析版)

《天体密度和质量的计算》 一、计算题 1.如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速 度抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求： 该星球表面的重力加速度； 该星球的密度； 人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的周期T 2.如图所示，火箭栽着宇宙探测器飞向某行星，火箭内平台上还放有测试仪器火箭 从地面起飞时，以加速度竖直向上做匀加速直线运动为地面附近的重力加速度，已知地球半径为R． 到某一高度时，测试仪器对平台的压力是刚起飞时压力的，求此时火箭离地 面的高度h． 探测器与箭体分离后，进入行星表面附近的预定轨道，进行一系列科学实验和

测量，若测得探测器环绕该行星运动的周期为，试问：该行星的平均密度为多少？ 假定行星为球体，且已知万有引力恒量为 3.飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道 上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图所示，如果地球半径为，万有引力常量G已知， 求地球的密度飞船由A点到B点所需的时间。 4.我国月球探测计划嫦娥工程已经启动，“嫦娥1号”探月卫星也已发射。设想嫦娥 1号登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，飞船发射的月球车在月球软着陆后，自动机器人在月球表面上沿竖直方向以初速度抛出一个小球，测得小球经时间t 落回抛出点，已知该月球半径为R，万有引力常量为G，月球质量分布均匀。求： 月球表面的重力加速度； 月球的密度； 月球的第一宇宙速度。

5.宇航员在月球表面完成下面的实验：在一固定的竖直光滑圆轨道内部有一质量为m 的小球可视为质点，如图所示当在最高点给小球一瞬间的速度v时，刚好能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动。已知圆弧的轨道半径为r，月球的半径为R，引力常量为求： 若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为多大？ 月球的平均密度为多大？ 轨道半径为2R的环月卫星周期为多大？ 6.已知某星球半径为R，若宇航员随登陆舱登陆该星球后，在此星球表面某处以速度 竖直向上抛出一个小球，小球能上升的最大高度为，不考虑星球自转的影响，引力常量为。 求星球表面的自由落体加速度和该星球的质量； 在登陆前，宇宙飞船绕该星球做匀速圆周运动，运行轨道距离星球表面高度为h，求卫星的运行周期T． 7.宇航员站在一星球表面上高h处，以初速度沿水平方向抛出一个小球，小球落地 时的水平位移为已知该星球的半径为R，不计星球自转，万有引力常量为G，求：该星球表面的重力加速度； 该星球的质量；

天体运动中天体质量和密度的估算与天体表面重力加速度问题(解析版)

天体表面重力加速度问题与天体质量和密度的估算 一、天体表面上的重力加速度问题 重力是由于物体受到地球的万有引力而产生的，严格说重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力约等于万有引力，即mg ＝GMm R2，这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起，高考也多次在此命题。 计算重力加速度的方法 (1)在地球表面附近的重力加速度g (不考虑地球自转)： mg＝G mM R2，得g＝ GM R2 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′， mg′＝ GmM R＋h2 ，得，g′＝ GM R＋h2 所以 g g′＝ R＋h2 R2 (3)其他星球上的物体，可参考地球上的情况做相应分析． 【典例1】宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的 物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为() A．0 B. GM R＋h2 C.GMm R＋h2 D. GM h2 【解析】飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即G Mm R＋h2 ＝mg，得g＝ GM R＋h2 ，选项B 正确。 【答案】 B 【典例2】假设有一火星探测器升空后，先在地球表面附近以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后以线速度v′在火星表面附近环绕火星飞行。若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7。设火星与地球表面的重力加速度分别为g′和g。下列结论正确的是() A．g′∶g＝1∶4 B．g′∶g＝7∶10 C．v′∶v＝5 28D．v′∶v＝ 5 14

《万有引力的应用之——计算天体质量与密度》教案

万有引力定律的应用之——计算天体质量与密度 教学目标： 一、知识与技能 1．知道卫星绕地球运动由引力提供向心力，掌握应用引力等于向心力计算地球质量的方法． 2．知道利用引力提供向心力的方法只能计算出被绕的中心天体的质量，这种方法不仅适用于计算地球质量，也适用于计算其他天体的质量。 3．知道在地球表面重力近似等于万有引力，并能根据重力等于万有引力计算地球质量。 4．会计算天体的密度。 二、过程与方法 1．通过自主思考和小组讨论，掌握计算天体质量的思路和方法 2．通过小组讨论与自主推导，掌握计算天体密度的方法。 三、情感态度与价值观 1. 利用万有引力定律计算地球，太阳的质量，发展学生对科学的好奇心与求知欲，体验探索自然规律的艰辛和喜悦． 2．通过物理学史的渗透，培养学生对物理学家的尊敬之情，了解物理学家对物理学发展的贡献。 重点与难点： 1．重点：利用万有引力定律计算天体质量的思路和方法 2．难点：计算天体质量与密度的运算过程 教学方式：讲授，小组合作，小组讨论，自主学习 教具：多媒体课件， 教学过程： 一．知识回顾与复习 1．将卫星绕地球运动看成匀速圆周运动，所需要的向心力由万有引力提供，即： 2．天体都可以看作球体，则球体的体积公式是： 计算密度的公式是： 二．新课学习 （一）计算天体质量（以计算地球质量为例） 1．（小组合作）：利用引力提供向心力的思路，分组计算地球质量： （1）已知卫星的轨道半径r和周期T，求地球质量M

（2）已知卫星的轨道半径r 和线速度v ，求地球质量M （3）已知卫星的轨道半径r 和角速度w ，求地球质量M 2．分享结果，小组展示计算过程 3．小组讨论： （1）T,v,w 这三个物理量哪个容易测量？ （2）用引力提供向心力的方法计算地球的质量需不需要知道卫星的质量？为什么？ （3）用引力提供向心力的方法能不能计算太阳的质量？需要测出哪些物理量？ （4）用引力提供向心力计算出的是环绕天体还是被绕中心天体的质量？ 4．总结推广： 结论：在用万有引力等于向心力列式求天体的质量时，只能求出中心天体的质量，这种方法不仅适用于地球，也适用于其他天体质量的计算． 5．自主阅读教材P 41，寻找出在没有卫星的情况下计算地球质量的方法： 在地球表面，物体的重力近似等于地球对物体的引力，即： （二）计算天体的密度 方法小结： 1、 卫星绕行星、行星绕恒星的椭圆运动近似可看成 运动； 2、 匀速圆周运动的向心力由 提供。 3、 根据牛顿第二定律：2 Mm G r =ma 向列方程求解。 4、 若已知表面重力加速度g ，通常要利用mg=2Mm G R 辅助求解。 [达标检测] 1.已知引力常量G 和下列各组数据，能计算出地球质量的是( ) A.月球绕地球运行的周期及月球距地球的距离 B.地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离 C.人造卫星在地面附近运行的速度和运行周期 D.若不考虑地球自转，已知地球的半径及重力加速 2.若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为R ，周期为T ， 万有引力常量为G ，则可求得： A.该行星的质量 B.太阳的质量 C.该行星的密度 D.太阳的平均密度 3．计算天体的密度 若天体的半径为R ，则天体的密度 ρ＝M 43πR 3 将M ＝4π2r 3GT 2代入上式得：ρ＝3πr 3GT 2R 3 特别地，当卫星环绕天体表面运动时其轨道半径r 等于天体半径R ，则ρ＝3πGT 2.

专题04万有引力与航天(解析版)

高一物理下学期期末综合复习（特训专练+押题模拟） 专题04万有引力与航天 【典例专练】 一、天体质量和密度的估算 1．在中国空间站“天和”核心舱圆满完成两次“中国空间站太空授课”的“神舟十三号”飞行乘组航天员，已于4月16日采用“快速返回”技术安全返回。已知空间站离地面的高度为h ，地球的半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，万有引力常量为G ，忽略地球自转。若空间站可视为绕地心做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ） A ．在空间站内可以利用天平称量出“冰墩墩”的质量 B ．空间站轨道处的重力加速度大小为gR R h + C ．地球的平均密度为() 34g G R h π+ D ．空间站的线速度大小为【答案】D 【详解】A ．在空间站内不可以利用天平称量出“冰墩墩”的质量，因为严格来讲，天平测的是物体对天平的压力，再转化为质量，在空间站中失重，所以不能测质量，A 错误；

B ．设空间站轨道处的重力加速度大小为g 1，则有12 ()GMm mg R h =+对地球表面上的物体，有2 GMm mg R = 联立可得2 12 ()gR g R h =+，B 错误； C ．根据2GMm mg R =可得G gR M 2= 则地球的平均密度为2 33443gR M g G V GR R ρππ===，C 错误； D ．根据万有引力提供向心力，有2 2()() GMm v m R h R h =++ 可得v = C 选项的分析可得2GM gR = 则v = =D 正确。故选D 。 2．2021年10月27日，我国在酒泉卫星发射中心用“快舟一号”甲运载火箭，成功将“吉林一号”高分02F 卫星送入预定轨道。卫星入轨后，将在自然资源调查、生态环境监测、城市综合治理以及防灾减灾等领域广泛应用，推动社会发展和进步！该卫星绕地球做匀速圆周运动，运行的周期为T ，运行轨道离地球表面的高度为h ，地球的半径为R ，引力常量为G ，则地球的质量可表示为（ ） A ．()224GT R h π+ B ．()3 224R h GT π+C ．2234GT R πD ．()2324T G R h π+ 【答案】B 【详解】根据2224()()Mm G m R h R h T π=++解得地球的质量()32 2 4R h M GT π+=故选B 。 3．2021年我国航天事业取得巨大成就：4月29日空间站“天和号”核心舱成功进入预定轨道，这代表着我国载人航天事业进入到了空间站运营的新阶段。中国空间站运行的圆轨道高度约400公里，10月14日我国在太原卫星发射中心采用长征二号丁运载火箭，成功发射首颗太阳探测科学技术试验卫星“羲和号”。它是中国首颗太阳探测科学技术试验卫星，运行于高度约500公里的太阳同步轨道，该轨道是经过地球南北极上空且圆心在地心的圆周，主要科学载荷为太阳空间望远镜。“天和号”与“羲和号”相比，下列说法正确的是（ ） A ．“羲和号”卫星的线速度与“天和号” B ．“羲和号”卫星的角速度大于“天和号”核心舱的角速度

万有引力定律得应用——天体质量的计算 (高一物理精品教案)

万有引力定律得应用——天体质量的计算本教学设计的内容是物理必修二中第四章《万有引力定律及其应用》的第二节《万有引力定律的的应用》。应用主要包括了三个方面，天体质量的计算、人造卫星的相关知识以及预测未知天体。容量比较大，如果在一个课时内完成显得比较仓促，学生也不能很好的吸收，所以我把它分成两堂课来讲，这一节为其中的第二节，它的设计主要是关于天体质量的计算。 一、教材分析 1、本章及本节的地位与作用。 《万有引力定律及其应用》这一章是高中物理中比较重要的一章，同时也是学生比较有兴趣的一章。在这一章里，讲述了一个重要的物理学定律――万有引力定律，并通过它解释太空中的一些现象，引发学生对未知世界的探索。 本章有两大特点，一是综合性强，不仅要学习和应用万有引力定律，同时也涉及到前面学过的匀速圆周运动等知识；另外一个特点是重视实际应用，特别是结合我国航天事业的发展以及各种常见的天文现象，更具有现实意义。 本节所讲的万有引力定律的应用，除了具有以上两个特点之外它还特别体现了对自主学习、合作学习、探究式学习的重视。课本并没有给出天体质量计算的具体方法，而是以讨论与交流的形式留给学生自己思考的空间。 2、教学目标。

根据大纲对本节的具体要求，同时针对高中生的心理特点和认知水平，结合教材，本着面向全体、使学生全面主动发展的原则，确定本节课的教学目标如下： 知识目标：掌握计算天体质量的两种方法，并能运用已经学过的知识和各种的条件对天体的质量进行测算。 能力目标：通过寻找天体质量方法的过程，培养对知识的迁移能力和转化能力，并能在老师的帮助下完成天体基本模型的 建立。 情感目标：认识发现万有引力定律的重要意义，体会理论的威力以及科学定律对人类探知未知世界的作用 3、重点与难点 重点： ①学会建立天体运动的简单模型。 ②掌握测量天体质量的两种基本方法。 难点： ①掌握高中阶段研究天体运动的基本思想。 ②能够判断计算天体质量所需要的条件。 二、学情分析 1、学生心理特征 a.求知欲强，特别对天文方面有强烈兴趣 b.学习的依赖性较大，缺乏自主意识 2、知识掌握情况

高中物理万有引力定律的应用解题技巧及练习题及解析

高中物理万有引力定律的应用解题技巧及练习题及解析 一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用 1．如图所示,P 、Q 为某地区水平地面上的两点,在P 点正下方一球形区域内储藏有石油.假定区域周围岩石均匀分布,密度为ρ;石油密度远小于ρ,可将上述球形区域视为空腔.如果没有这一空腔,则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向;当存在空腔时,该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离.重力加速度在原竖直方向(即PO 方向)上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”.为了探寻石油区域的位置和石油储量,常利用P 点附近重力加速度反常现象.已知引力常数为G. (1)设球形空腔体积为V,球心深度为d(远小于地球半径),,PQ x =求空腔所引起的Q 点处的重力加速度反常; (2)若在水平地面上半径为L 的范围内发现:重力加速度反常值在δ与kδ(k>1)之间变化,且重力加速度反常的最大值出现在半径为L 的范围的中心.如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的,试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积. 【答案】(1)223/2()G Vd d x ρ+(2)22/3 .(1) L k V G k δ ρ=- 【解析】 【详解】 (1)如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力来计算, 2 Mm G r =mΔg① 式中m 是Q 点处某质点的质量,M 是填充后球形区域的质量.M=ρV② 而r 是球形空腔中心O 至Q 点的距离22d x + Δg 在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q 点处重力加速度改变的大小｡Q 点处重力加速度改变的方向沿OQ 方向,重力加速度反常Δg′是这一改变在竖直方向上的投影 Δg′= d r Δg④ 联立①②③④式得Δg′= 223/2 ()G Vd d x ρ+⑤ (2)由⑤式得,重力加速度反常Δg′的最大值和最小值分别为 (Δg′)max = 2 G V d ρ⑥

高考物理(热点+题型全突破)专题5.2 天体质量和密度的估算与天体表面重力加速度问题(含解析)

专题5.2 天体质量和密度的估算与天体表面重力加速度问题 一、天体的质量和密度 1．万有引力定律 (1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比。 (2)表达式：F ＝ Gm 1m 2 r 2 ，G 为引力常量， G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2。 2．中心天体质量和密度的估算 (1)“g 、R 法”：已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。 ①由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝g R 2 G 。 ②天体密度ρ＝M V ＝ M 43 πR 3＝3g 4πGR 。 (2)“T 、r 法”：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T 。 ①由G Mm r 2＝m 4π2r T 2得天体的质量M ＝4π2r 3 GT 2 。 ②若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43 πR 3＝3πr 3 GT 2R 3 。 ③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3π GT 2可见，只要测出 卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。 【示例1】(2015江苏单科3)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的1 20，该中心恒星与太阳的质量比约为( ) A. 1 10 B ．1 C ．5 D ．10 【答案】： B 【解析】： 根据万有引力提供向心力，有G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，可得M ＝4π2r 3 GT 2， 所以恒星质量与太阳质量之比为M 恒 M 太＝r 3行T 2 地 r 3地T 2行＝8180 ≈1，故选项B 正确。 注意事项：

2022年高考物理命题猜想与仿真押题——专题04 万有引力定律及其应用(命题猜想)(解析版)

【考向解读】 关于万有引力定律及应用学问的考查，主要表现在两个方面：(1)天体质量和密度的计算：主要考查对万有引力定律、星球表面重力加速度的理解和计算．(2)人造卫星的运行及变轨：主要是结合圆周运动的规律、万有引力定律，考查卫星在轨道运行时线速度、角速度、周期的计算，考查卫星变轨运行时线速度、角速度、周期以及有关能量的变化．以天体问题为背景的信息题，更是受专家的青睐．高考中一般以选择题的形式呈现．从命题趋势上看，对本部分内容的考查仍将连续与生产、生活以及航天科技相结合，形成新情景的物理题． 【命题热点突破一】万有引力定律的理解 万有引力定律的适用条件： (1)可以看成质点的两个物体之间． (2)质量分布均匀的球体之间． (3)质量分布均匀的球体与球外质点之间． 例1．由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2022年中国十大科技进展新闻，于2021年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7000米分别排在第一、其次．若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”下潜深度为d，天宫一号轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为() 【变式探究】理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零．现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图2所示．一个质量肯定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到 的引力大小用F表示，则选项所示的四个F随x变化的关系图正确的是() 图2 【命题热点突破二】天体质量和密度的估算 估算天体质量的两种方法： 1．假如不考虑星球的自转，星球表面的物体所受重力等于星球对它的万有引力． mg＝G Mm R2M＝ gR2 G 2．利用绕行星运转的卫星，F万供应向心力． G Mm r2＝m 4π2 T2·r M＝ 4π2r3 GT2 特例：若为近地面卫星r＝Rρ＝ M V＝ 3π GT2 例2．如图所示，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观看“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发觉每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度．已知万有引力常量为G，则月球的质量是()

高考物理3年高考2年模拟1年原创专题5.2天体质量和密度的估算含解析

专题5.2 天体质量和密度的估算 【考纲解读与考频分析】 利用万有引力等于重力可以估算地球质量，若测量出绕天体运行卫星的周期和轨道半径可以估算天体的质量，若知道天体的半径，可以估算出天体的密度。高考有关天体质量和密度的估算考查频率较高。 【高频考点定位】：天体质量和密度的估算 考点一：天体质量和密度的估算 【3年真题链接】 1.（2018高考理综II·16）2018年2月，我国500 m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（） A． B． C． D． 【参考答案】C 【命题意图】本题考查万有引力定律、牛顿运动定律、密度及其相关的知识点。 【解题思路】设脉冲星质量为M，半径为R。选取脉冲星赤道上一质元，设质量为m，由万有引力定律和牛顿第二定律可得G=mR（）2，星体最小密度ρ=M/V，星球体积V=πR3，联立解得：ρ=，代入数据得ρ=5×1015kg/m，选项C正确。 2.（2018高考全国理综I）．2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（） A．质量之积 B．质量之和 C．速率之和 D．各自的自转角速度 【参考答案】BC

【命题意图】本题考查天体运动、万有引力定律、牛顿运动定律及其相关的知识点。 【解题思路】双中子星做匀速圆周运动的频率f=12Hz（周期T=1/12s），由万有引力等于向心力，可得，G=m1r1（2πf）2，G=m2r2（2πf）2，r1+ r2=r=40km，联立解得：（m1+m2）=（2πf）2Gr3，选项B正确A错误；由v1=ωr1=2πf r1，v2=ωr2=2πf r2，联立解得：v1+ v2=2πf r，选项C正确；不能得出各自自转的角速度，选项D错误。 3. （2018年11月浙江选考物理） 20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变为Δv，和飞船受到的推力F（其它星球对它的引力可忽略）。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动。已知星球的半径为R，引力常量用G表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是（） A. ， B. ， C. ， D. ， 【参考答案】D 【名师解析】根据题述，飞船在短时间Δt内速度的改变为Δv，和飞船受到的推力F，由牛顿第二定律，F=ma=m，解得飞船质量m=。飞船绕星球做圆周运动，由G=m，G=mr，联立解得：M=，选项D正确。 4.（2018年4月浙江选考）土星最大的卫星叫“泰坦”（如图，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为已知引力常量，则土星的质量约为（） A. B. C. D. 【参考答案】B 【名师解析】：卫星受到的万有引力提供向心力，得： 其中：；T=16天，引力常量， 代入数据可得：，故B正确，A、C、D错误。 【2年模拟再现】 1．（2019广东惠州调研）科学家发现了一颗距离地球14光年的“另一个地球”沃尔夫，它是迄今为止在太阳系外发现的距离最近的宜居星球。沃尔夫的质量为地球的4倍，它围绕红矮星运行的周期为18天。设想从地球发射一颗科学探测卫星围绕沃尔夫表面运行。已知万有引力常量为G，天体的环绕运动可看作匀速圆周运动。则下列说法正确的是（） A．从地球发射该探测卫星的速度应该小于第三宇宙速度 B．根据沃尔夫围绕红矮星运行的运动周期可求出红矮星的密度 C．若已知围绕沃尔夫表面运行的探测卫星的周期和地球的质量，可近似求沃尔夫半径

专题 天体质量和密度的估算 高一物理 (人教版2019)(解析版)

专题09 天体质量和密度的估算 一、利用黄金代换估算天体质量和密度 1．地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，引力常量为G ，下式关于地球密度的估算式正确的是（ ） A ．34g RG ρπ= B ．234g R G ρπ= C ．g RG ρ= D ．2 g GR ρ= 【答案】A 【解析】地球表面，忽略地球自转，重力等于万有引力有2Mm G mg R =得G gR M 2 =地球的密 度M V ρ= 又3 43 V R π=联立可得34g RG ρπ=故A 正确，BCD 错误。故选A 。 2．卡文迪许用扭秤实验测定了引力常量，以实验验证了万有引力定律的正确性。应用引力常量还可以计算出地球的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。已知引力常量G = 6.67×10-11N·m 2/kg 2，地面上的重力加速度g =9.8m/s 2，地球半径R =6.4×106m ，则地球质量约为（ ） A ．6×1018kg B ．6×1020 kg C ．6×1022 kg D ．6×1024 kg 【答案】D 【解析】根据公式2 GMm mg R =可得224610kg gR M G =≈⨯故ABC 错误D 正确。故选D 。 3．“科学真是迷人”，天文学家已经测出月球表面的加速度g 、月球的半径R 和月球绕地球运转的周期T 等数据，根据万有引力定律就可以“称量”月球的质量了。已知引力常数G ，用M 表示月球的质量。关于月球质量，下列说法正确的是（ ） A ．G gR M 2 = B ．2 GR M g = C ．23 24R M GT π= D ．23 24T R M G π= 【答案】A

(完整版)万有引力定律应用的12种典型案例

万有引力定律应用的12种典型案例 【案例1】天体的质量与密度的估算 下列哪一组数据能够估算出地球的质量 A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B 。地球表面的重力加速度与地球的半径 C 。绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度 解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。 设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T,轨道半径为r 根据万有引力定律： r T 4m r Mm G 22 2π=……①得： 2 32G T r 4M π= ……②可见A 正确 而T r 2v π=……由②③知C 正确 对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径,r=R ……④ 由于3 R 4M 3 π=ρ……⑤结合②④⑤得： G 3T 2π= ρ 可见D 错误 地球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力 由2R Mm G mg =得：G g R M 2=可见B 正确

【探讨评价】根据牛顿定律，只能求出中心天体的质量，不能解决环绕天体的质量；能够根据已知条件和已知的常量，运用物理规律估算物理量，这也是高考对学生的要求。总之,牛顿万有引力定律是解决天体运动问题的关键。 【案例2】普通卫星的运动问题 我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是赤道平面，周期为24 h.问：哪颗卫星的向心加速度大?哪颗卫星的线速度大?若某天上午8点，“风云一号"正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上空的时间应该是多少？ 解析：本题主要考察普通卫星的运动特点及其规律 由开普勒第三定律T 2正比r 3知：“风云二号”卫星的轨道半径较大 又根据牛顿万有引力定律r v m ma r Mm G 2 2==得： 2 r M G a =，可见“风云一号"卫星的向心加速度大， r GM v = ，可见“风云一号"卫星的线速度大， “风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h ，即第二天上午8点钟。 【探讨评价】由万有引力定律得: 2 M a G r =，

专题7-2 万有引力定律(人教版2019必修第二册)(解析版)

专题7.2 万有引力定律 【人教版】 【题型1 万有引力定律的发现】............................................................................................................................... 【题型2 月地检验】................................................................................................................................................... 【题型3 割补法的应用】........................................................................................................................................... 【题型4 引力常量的测定】....................................................................................................................................... 【题型5 对比问题】................................................................................................................................................... 【题型6 图像问题】................................................................................................................................................... 【题型7 定量计算】................................................................................................................................................... 【题型8 与几何知识综合】....................................................................................................................................... 【题型1 万有引力定律的发现】 【例1】根据中国航天局提供的资料，天和核心舱运行高度约392km；速度约7.68km/s。关 于天和核心舱的说法，下列符合各位物理学家观点的是（） A．由亚里士多德观点可知，天和核心舱之所以飞行是因为没有受到任何作用力 B．由伽利略观点可知，天和核心舱之所以一直飞行是因为受到了某推力作用 C．由笛卡尔观点可知，天和核心舱如果没有受到力的作用，它将沿直线运动而不会绕地球 飞行 D．由牛顿观点可知，天和核心舱无论是否受力都会保持静止或做匀速直线运动 【答案】C 【解析】天和核心舱绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，万有引力指向地心，若 没有受到力的作用，它将沿直线运动而不会绕地球运行。 【变式1-1】物理学的发展丰富了人类对物质世界的认识，推动了科学技术的创新和革命， 促进了物质生产的繁荣与人类文明的进步，下列关于物理学史的说法正确的是（） A．地心说的代表人物是托勒密 B．牛顿提出了万有引力定律，并测出了引力常量 C．伽利略理想斜面实验证明了力是维持物体运动的原因