第十三章-压杆稳定
第十三章 压杆稳定
1 基本概念及知识要点
1.1
基本概念
理想受压直杆、理想受压直杆稳定性 、屈曲、 临界压力。
1.2 临界压力
细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。
1.3 稳定计算
为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算：
st cr
n F
F n ≥=
－稳定条件
2 重点与难点及解析方法
2.1临界压力
临界压力与压杆的材料、截面尺寸、约束、长度有关，即和压杆的柔度有关。因此，计算临界压力之前应首先确定构件的柔度，由柔度值确定是用欧拉公式、经验公式还是强度公式计算临界压力。
2.2稳定计算
压杆的稳定计算是材料力学中的重要内容，是本课程学习的重点。 利用稳定条件可进行稳定校核，设计压杆截面尺寸，确定许用外载荷。 稳定计算要求掌握安全系数法。
解析方法：稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。临界压力根据
柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。
3典型问题解析
3.1 临界压力
mm .h
A I i min 55113
2===mm
.a
A I i 31632===例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图13－1所示，面积均为3.2×103mm 2，截面尺寸分别为(1)、b=40mm 、(2)、a=56.5mm 、(3)、d=63.8mm 、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm 。若已知材料的E =200GPa ，σs =235MPa ，σcr =304－1.12λ，λp =100，λs =61.4，试计算各杆的临界荷载。
[解]
压杆的临界压力，取决于压杆的柔度。应根据各压杆的柔度，由相应的公式计算压杆的临界压力。 (1)、两端固定的矩形截面压杆，当b=40mm 时
λ＞ λP 此压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力
(2)、两端固定的正方形截面压杆，当a=56.5mm 时
9.12910
55.113
5.031=??==-i l μλkN 37521
21
=
?=?
=A E
A F cr cr
λπσ
0.7d 图13－1
kN
63510321094121304363=????-=?=-.).(A F cr cr σmm
.d D A I i 22741
22=+==kN
644102*********
2=???=?=-..A F cr cr σ所以
λs <λ<λP 此压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力
σcr2=304-1.12λ2=304-1.12×92=200.9MPa
(3)、两端固定的实心圆形截面压杆，当d =63.8mm 时
λs <λ<λP 此压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力
(4)、两端固定的空心圆形截面压杆，当D =89.3mm ，d =62.5mm 时
λ<λs 此压杆为短粗杆，压杆首先发生强度破坏，其临界应力
解题指导：
1．计算压杆的临界压力时，需要综合考虑压杆的材料、约束、长度、惯性半径，即需要首先计算压杆的柔度，根据柔度值，代入相应的公式计算压杆的临界压力。当
92
2==
i
l
μλmm d i 95.1541
==94
3==
i
l
μλ1.554==i l μλkN
752103210235364=???=?=-.A P s cr σ
λ＞ λP 时 压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力； λs <λ<λP 时 压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力； λ<λs 时 压杆为短粗杆，压杆将首先发生强度破坏。 2．由此例题可见，惯性半径越大,柔度越小,承载能力越强。
例题13.2矩形截面杆如图13－2所示，杆两端用销钉连接，在正视图中，连接处允许压杆绕销钉在铅垂面转动，两端约束可简化为两端铰支。在俯视图中，连接处不允许压杆在水平面内发生转动，两端约束视为两端固定。已知杆长L =2.3m 截面尺寸b =40mm h =60mm 材料的E =205GPa λP =132 λs =61，试求此杆的临界压力F cr 。
[解]
1．若在正视图内失稳（铅垂方向）：
μ＝1 , 3
2h i z =
6.132==
z
z i l
μλ
2．若在俯视图内失稳（水平面内）：
图13－2
μ＝0.5 , 3
2b i y =
5.99==
y
y i l
μλ
z y λλ< 所以，压杆在正视图失稳。
3．计算压杆的临界压力F cr
16132λλ>=.z 用欧拉公式计算其临界应力
()
kN 22762
2.l EI F cr ==μπ 解题指导：
对于这类问题，需首先计算两个方向的柔度，判断压杆首先沿哪个方向失稳。
例题13.3图13-3所示立柱长L =6m ，由两根10号槽钢组成，试问a 多大时立柱的临界荷载F cr 最大，并求其值。已知: 材料E=200GPa ，σP =200MPa 。
[解]
图13－3
3
.106105.396
7.03
=??=
=
-i
l
μλ02Z Z I I =Y Z λλ=1．惯性矩
查型钢表可知，由两根10号槽钢组成的组合截面对形心主惯性轴的惯性矩分别为:
当a 值较小时，I y < I z ，λy >λz ，压杆失稳时，以y 轴为中性轴弯曲； 当a 值较大时，I z λy ，压杆失稳时，以z 轴为中性轴弯曲；
2．当立柱的临界荷载最高，压杆对z 轴和y 轴应有相等的稳定性。即： 即
3．最大临界荷载F cr 压杆的柔度
i y =i z =i
由于
所以，λ＞λP 压杆为大柔度杆 用欧拉公式计算临界压力
3
.992==P
P E σπλ])2
([22
0A a z I I Y Y ++=Y Z I I =2
.37)2
(0=+a
z mm
a 44)2.155.37(2=-=???? ????? ??++=A a z I I Y z 2
000
222
5
.14112
.2600
5.0=?=
=
i
l
μλ
例题13.4所示工字钢直杆在温度t 1 = 20℃时安装，此时杆不受力，已知杆长l = 6m ，材料的λP =132 , E = 200GPa ，线膨胀系数α=12.5×10-6 /℃。试问当温度升高到多少度时杆将失稳。
[解]
随着温度的升高，直杆在杆端受到压力F A ＝F B ，当两端压力达到压杆的临界压力即：F A ＝F B ＝F cr 时，压杆将失稳。
1. 杆的工作压力
由静不定结构的变形协调条件
t F l l ?=?
tl EA
l
F A ?=α tEA F A ?=α
2．压杆的临界压力
λ＞λP 压杆为大柔度杆。 用欧拉公式计算临界压力
kN 4442
2==）（l EI
F cr μπF B
F A 图13-4
2EI π
A
C B
D
70kN
60cm 30cm d=4cm α
3．压杆失稳时，需要升高的温度值 由 F A ＝F B ＝F cr
2
2）
（l EI
tEA μπα=?
3.2 稳定计算
例题13－5： 钢杆AB 如图13－5所示，已知的杆的长度l AB =80cm, 100＝P λ 57＝s λ，经验公式λσ121304.cr －=，n st =2，试校核AB 杆。
[解]
1．杆AB 的工作压力：
分析梁CBD 的受力，据其平衡方程可得
F AB =159kN
2．杆AB 的临界压力：
压杆的柔度
图13－5
804
480
1＝＝
＝
?i
l
μλ s P λλλ>> 用经验公式计算压杆的临界应力：
MPa 421480121304..cr =?=－σ
压杆的临界压力
F cr =σcr A =270kN
3．计算压杆的工作安全系数，进行稳定校核 由压杆的稳定条件
269.1159
270=≤===
st cr n P P n 所以，AB 杆不安全。
解题指导：
请读者思考：若校核整个结构，如何求解？
若由AB 杆确定整个结构的许用外载荷，如何求解？
例题13.6：材料相同的钢杆AB 、AC ，直径均为d=80cm, 98＝P λ 57＝s λ，经验公式λσ121304.cr －=，n st =5，E=210GPa ，试求许用外载荷[F P ]。
[解]
1．确定杆AB 、AC 的工作压力： 由节点A 的受力及平衡方程可得
F AB =0.5 F P F AC =0.866 F P
2．计算由AB 杆稳定条件确定的许用外载荷：
AB 杆的柔度
1734
0803041 0＝＝
.cos i
l AB
AB ?=μλ
P AB λλ> 用欧拉公式计算压杆的临界应力：
()
kN 3482
2==AB crAB l EI
F μπ 由压杆稳定条件
550348
≥==
P
AB crAB F .F F n 则许用外载荷
F P ≤139.2kN
3．计算由AC 杆稳定条件确定的许用外载荷 AB 杆的柔度
1004
08.030sin 41 0＝＝
?=i
l AC
AC μλ
P AB λλ> 用欧拉公式计算压杆的临界应力：
()kN 810412
2.l EI
F AC crAC ==μπ
由压杆稳定条件
586608
1041≥==
P
AC crAC F ..F F n 则许用外载荷
F P ≤240.6kN
4．确定整个结构的许用载荷
由稳定计算结果可知，结构的许用载荷为
[F P ]=139.2kN
解题指导：
对于这类题目，所确定的载荷要确保整个结构所有受压杆件匀不失稳。
由于杆AB 、AC 所受压力和柔度均不相同，需要首先分别求出由两杆确定的各自许用外荷载，然后取其中较小的一个，做为整个结构的许用外载荷。
例题13.7：两端为球铰的压杆，由两根等边角钢铆接而成，型钢的外形尺如图13－7所示。已知铆钉孔直径为23mm ，压杆长度l =2.4m ，所受外力F P ＝800kN ，n st =1.48，98＝P λ 60＝s λ，经验公式λσ121304.cr －=，材料的许用应力[σ]=160MPa ，试校核压杆是否安全。
[解]
图13－7所示压杆有两种可能的失效形式：
失稳：整个压杆由直线形式的平衡变为曲线形式的平衡，局部截面尺寸变化对弯曲变形影响很小，个别截面上铆钉开孔对整个压杆的稳定性影响可忽略不计。因此，在压杆稳定计算中，采用未开铆钉孔时的压杆横截面尺寸（相应的面积称为“毛面积”，用A 表示）；
强度失效，在铆钉开孔截面，截面尺寸的削弱，会导致截面上的正应力增大，超过材料的许用应力。因此需要校核铆钉开孔处横截面上的正应力强度。在计算中要用开孔后的截面尺寸（其面积称为“净面积”，用A 0表示）。
综上所述，需要首先分别校核压杆的整体稳定和铆钉开孔处正应力强度，才能判断出压杆是否安全。 1．稳定校核
压杆失稳时，二等边角钢将作为一整体发生屈曲，并绕组合截面惯性矩最小的形心主轴（z 轴）转动
其中I z1、i z1和A 1分别为单根角钢对z 轴的惯性矩、惯性半径和横截面面积，可由型钢表中查得。
l y z φ23
125×125×12P F P
l
图13－7
6662421 .
i .i l
z
min
＝＝
?=μλ
s P λλλ>> 所以，用经验公式计算压杆的临界应力：
MPa b a cr 8.23366.6212.1304=?-=－＝λσ
代入稳定条件，进行稳定校核
()
st cr n ...F A
n >=?????==
-691108001092821082333
46P
σ
所以压杆稳定。 2．强度校核：
组合截面在铆钉孔处因开孔而削弱，削弱后的净面积为：
A 0=2×28.9×10-4－2×0.023×0.012=5.28×10-3m 2
该截面上的正应力
[]σσ<=??==-MPa 15310285108003
3
0P .A F
压杆强度安全
3．由上述稳定计算和强度计算可知，压杆安全。
解题指导：
1．压杆稳定计算用毛面积，强度计算用净面积。
2．请读者思考：如果两根槽钢只在两端连接，这时上述稳定计算和强度计算会不会发生变化?
例题13.8 图13－8所示正方形桁架结构，由五根圆截面钢杆组成，连接处均为铰链，各杆直径均为
d ＝40 mm ，a ＝1 m 。材料的λp =110，λs =60，E ＝200 GPa ，经验公式为 λσ121304.cr －=，n st ＝1.8。试
求结构的许可载荷。
)
( 2
2
P 压F F F F F CD BC AD AB ====
[解]
1．计算各杆的受力值
分别以节点A 、B 为研究对象，应用平面汇交力系平衡方程，同时考虑结构的对称性，可计算和确定出各杆的受力分别为
F DB = F P （拉）
由上述计算结果可知，杆AB 、AD 、BC 、CD 为压杆，应考虑的失效形式为失稳，需要进行稳定计算；杆BD 为拉杆，应考虑的失效形式为强度失效，需进行强度计算。
2．稳定计算 对于AB 等压杆
s P λλλ>> 用经验公式计算压杆的临界应力：
由稳定条件
st cr
n F
F n ≥=
[][]kN 6.1878
.17
.23822=?=≤
st ABcr P n F F
3. 强度计算
对于拉杆BD ，F N = F DB = F P ，由强度条件
[]σσ≤=
A
F N
可得
d A F F BD 4
π10160][2
6
P ?
?=≤=σ()()26
cr
π304114100401002387MN 2387kN
4...AB F a b λA -=-=-????==图13－8
C CD
w l ?＝
4．结构的许可载荷
由上述稳定计算和强度计算结果可知，结构的许用载荷为
例题13.9材料相同的梁及柱如图13-9（a ）所示，竖杆为两根63×63×5等边角钢（连结成一整体），承受均布载荷q = 24 kN/m ，材料的许用应力[σ]=160MPa ，E = 200 GPa ，λP =132, 60＝s λ，经验公
式 ，n st ＝2.8。试校核该结构。
1．由C 点的变形协调条件，计算多余未知力
原结构为一次静不定，取如图13－9（b ）所示静定基和相当系统。由变形协调条件
2
00680235λσ.-=cr 图13－9 （a ） F R C
F ′R C F A
F B x
A
E D C B x
M C （b ） （c ） A
其中
得
EA
l F EI l F EI ql RC z RC z 248384534
=
- RC z RC F A
I l F ql 24838452
3=- kN 8591028612210113048438441024524838454
8
23
323RC
.)
.()A I l (ql F z =???+???=+=--
2．梁的强度校核
梁的受力如图13－9(c)所示，由平衡方程
0=∑y F ， q F F N A 42=+
得梁的支反力
()kN 11821859244./.F F A B =-?==
梁的弯矩图如图13－9(c)所示。 C 截面弯矩
kNm 8114242
1
2411822122..q F M A C -=??-?=?-
?= D 或E 处剪力F s =0，由
0=-=qx F F A Q
得D 截面位置为
x = 0.75 m
所以，D 或E 截面梁弯矩值：
m kN 836750242
1
7501182?=??-?=....M D
所以，梁上最大弯矩值为
34
R 538448C C z z
F l ql w EI EI -
＝
1200
103194
.l
i
μλ?=
=
=<132m kN 811?==.|M ||M |C max
梁的最大正应力为：
MPa 698310141108116
3..W |M |z max max
=??==-σ
[]MPa 160=<σσmax
梁安全。
3．柱的稳定计算 柱的柔度
s P λλλ>> 用经验公式计算压杆的临界应力：
临界压力
kN 200102861210916246cr Pcr =???==-..A F σ
工作安全系数
823438
59200
st RC Pcr .n ..F F n =>===
柱也安全。
4．由上述梁的强度计算和柱的稳定计算结果可知，整个结构安全。
例题13.10 一直径为d 的圆截面平面曲拐ABC （AB ⊥BC ，位于xz 平面），与直径为d 0的圆截面杆CD 铰接于C 点，如图13－10所示。今有一重为W 的物体，由高度为H 处自由落下冲击于曲拐B 点，已知材料的力学性能分别为：σp = 200MPa ，E = 200GPa ，G = 80GPa ，μ=0.3；结构尺寸：d = 50mm ，d 0 = 10mm ， l = 1m ，载荷W = 200N ，高度H = 20mm ；强度安全系数n = 2，稳定安全系数[ n w ] = 1.5。试校核CD 杆的安全。
2cr 235000681629MPa
..σλ=-=
[解]
1．计算多余未知力
在此空间结构B 点上作用静载荷W ，该一次静不定结构在C 点的变形协调条件为：平面曲拐在点的位移C ?等于CD 杆的压缩量，即
CD C l ??=
设杆CD 承受压力为F ，则
EI
Fl l GI l Fl EI Fl EI Wl p C 3333
33-
??--=?
EA
l
F l CD 2?=
?
代入CD C l ??=，解出
N GI l EI l EA EI Wl F p
6.34)322(3222=++=
2．冲击动荷系数
静载荷W 作用于原空间结构B 点时，用叠加法可求得冲击点相应的静位移为：
mm EI
l F W jB
9.03)(3=-=?
代入自由落体时的动荷系数表达式，得：
74.7211=+
+=jB
d H
K ?
图13－10
3．CD 杆承受的动荷
N 268634747=?==..F K F d d
4．校核CD 杆
由于CD 杆为压杆，应进行稳定计算 CD 杆的柔度
18004
102000
1λμλ>=?=
=
i
l
而
1002≈=p
P E σπλ
P λλ> 故CD 为大柔度杆， 用欧拉公式计算压杆的临界应力：
()
N 2422
2==
ul EI
F cr π
工作安全系数
5.19.0268
242<===
d cr W F F n 所以CD 杆不安全的。
例题13.11：承压立柱由两根32a 槽钢组成，若柱的总长为 l =8m ，两端球铰约束，中间由间距为a 的缀条用铆钉连接，如图13－11所示。铆钉直径d =17mm ， 材料的σs=235MPa ， n s =1.47 n st =1.58 λ1=132 λ2=60 经验公式σcr =235-6.8×10-3λ2，试求：
1为使立柱承受最大载荷，b 的合理取值； 2求立柱承载最大时的许用载荷； 3在许用载荷作用下a 的取值。 [解]
1．为使立柱承受最大载荷，立柱在y 、z 方向应具有相同的稳定性，则λy =λz ，即：I y =I z
????
???
???? ??-+=12
111222A z b I I y z
查型钢表计算得：
b=289.6mm
2．最大许用载荷： 1）由稳定条件
查型钢表计算可知 i =124.9mm 整个组合压杆的柔度为
1.649
.12410813
=??===λλλz y
s P λλλ>> 用经验公式计算压杆
的临界应力：
MPa 207164108623523=??-=-..cr σ
由稳定条件
st cr
n F
F ≥ 得立柱的许用载荷
kN 1276=≤
st
cr n A
F σ
2）考虑铆钉处的截面削弱，由强度条件：
[]MPa 1600=≤s
s n A F σσσ＝＝
得立柱的许用载荷
F ≤1548kN
由上述稳定计算和强度计算可知，压杆的最大许用载荷为
F ＝1276kN
3．确定a 的取值:
为保证整体和局部具有同样的稳定性，同时失稳，要求
局部整体＝λλ
由上式可得
a =1603mm
图13－11
图13－12
4 自我测试
1正三角形截面压杆，如图13－12所示，其两端为球铰链约束，加载方向通过压杆轴线。当载荷超过临界值，压杆发生屈曲时，横截面将绕哪一根轴转动？现有四种答案，请判断哪一种是正确的。
（A ） 绕y 轴；
（B ） 绕通过形心C 的任意轴； （C ） 绕z 轴；
（D ） 绕y 轴或z 轴。
正确答案是
2 两端为球铰的细长压杆，有面积相同的四种截面可供选择，如图13－13所示，由稳定性考虑：
(A)空心圆截面一定最好； (B)圆截面最不好；
(C)正方形截面一定比矩形、圆形好； (D)矩形截面一定比圆形截面好。 正确答案是：
3两个压杆材料和细长比均相同，则： (A)两杆的临界力与临界应力均相等； (B)两杆的临界应力不等，但临界力相等；
(C)两杆的临界应力相等，但临界力不一定相等； (D)两杆的临界力与临界应力均不一定相等。 正确答案是：
图13－13
材料力学习题册答案-第9章-压杆稳定
第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A 、弯曲变形消失，恢复直线形状； B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变； D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形（ C ） A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。 A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B 、材料，长度和约束条件； C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ，直径50mm 。其柔度为 ( C ) A.60； B.66.7； C .80； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小； B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大； C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大； D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A 、λ≤ P E πσ B 、λ≤s E πσ C 、λ≥ P E π σ D 、λ≥s E π σ
工程力学 第十二章 压杆的稳定性 课后习题答案
第十二章 压杆的稳定性 12-1 图示细长压杆，两端为球形铰支，弹性模量200E GPa =，对下面三种截面用欧拉公式计算其临界压力。（1）圆截面，25, 1.0d mm l m ==；（2）矩形截面，240h b mm ==， 1.0;l m =（3）16号工字钢， 2.0l m =。 解：结构为两端铰支，则有22 1,0,lj EI P l πμ== (1)圆截面杆，4 34 932(0.025),2001037.61037.664 (1.0)64 lj d I P kN ππ?== ??=?=? (2)矩形截面杆， 323123493 2 2020401040,20010531053121212(1.0) lj bh I mm P N kN π-???==?=??=?=? (3)16号工字查型钢表知 284 932 113010200 1130,1046110461(2.0) lj I cm P N kN π-???== ?=?= 题12-1图 题12-2图 12-2 图示为下端固定，上端自由并在自由端受轴向力作用的等直压杆。杆长为l ，在临界力lj p 作用下杆失稳时有可能在xy 平面内维持微弯曲状态下的平衡。杆横截面积对z 轴的惯性矩为I ，试推导其临界压力lj p 的欧拉公式，并求出压杆的挠曲线方程。
解：()()M x v ρδ=-，结合 ()EIv M x ''=设2 k EI ρ = ，则有微分方程： 2 2 V k v k δ''+= 通解为sin cos v A kx B kx δ=++ 边界条件：0,0,x v ==则0B δ+=，解出B δ=- 0,0x v '==（转角为零），0A k ?=，解出0A = 解得挠曲线方程为：(1cos )v kx δ=- 因为v 在x l =处为δ，则cos 0kl δ?=，由于0δ≠，可得：cos 0,2 kl kl π == （最小值） 而2 k EI ρ = ，得22 (2)lj EI P l π= 注：由cos 0kl =，本有02 kl n π π=+ >，计算可见0n =（2 kl π = 时），对应的P 值 是最小的，这一点与临界力的力学背景是相符的。 12-3 某钢材，230,274p s MPa MPa σσ==，200E GPa =，338 1.22lj σλ=-，试计算p λ和s λ值，并绘制临界应力总图（0150λ≤≤）。 解：92.6,52.5,s P s a b σλλ-=== =式中338, 1.22a b == s σσs p 50 题12-3图 12-4图示压杆的横截面为矩形，80,40,h mm b mm ==杆长2l m =，材料为优质碳钢， 210E GPa =。两端约束示意图为：在正视图（a ）的平面内相当于铰支；在俯视图（b ） 的平面内为弹性固定，并采用0.6μ=。试求此杆的临界应力lj P 。
第十一章压杆稳定
第十一章 压杆稳定 是非判断题 1 压杆失稳的主要原因是由于外界干扰力的影响。（ ） 2 同种材料制成的压杆，其柔度愈大愈容易失稳。（ ） 3 细长压杆受轴向压力作用，当轴向压力大于临界压力时，细长压杆不可能保持平衡。（ ） 4 若压杆的实际应力小于欧拉公式计算的临界应力，则压杆不失稳（ ） 5 压杆的临界应力值与材料的弹性模量成正比。（ ） 6 两根材料、长度、截面面积和约束条件都相同的压杆，则其临界力也必定相同。（ ） 7 若细长杆的横截面面积减小，则临界压力的值必然随之增大。（ ） 8 压杆的临界应力必然随柔度系数值的增大而减小。（ ） 9 对于轴向受压杆来说，由于横截面上的正应力均匀分布，因此不必考虑横截面的合理形状问题。 （ ） 填空题 10 在一般情况下，稳定安全系数比强度安全系数要大，这是因为实际压杆总是不可避免地存在 以及 等不利因素的影响。 11 按临界应力总图，1λλ≥的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 ；1 2λλλ≤≤的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 ；2λλ≤的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 。 12 理想压杆的条件是① ；② ；③ 。 13 压杆有局部削弱时，因局部削弱对杆件整体变形的影响 ；所以在计算临界压力时，都采 用 的横截面面积A 和惯性矩I 。 14 图示两端铰支压杆的截面为矩形，当其失稳时临界压力F cr = ，挠曲线位于 平 面内。 z C 题15图 15 图示桁架，AB 和BC 为两根细长杆，若EI 1＞EI 2，则结构的临界载荷F cr = 。 16 对于不同柔度的塑性材料压杆，其最大临界应力将不超过材料的 。 17 提高压杆稳定性的措施有 ， ，以及 和 。 18 细长杆的临界力与材料的 有关，为提高低碳钢压杆的稳定性，改用高强度钢不经济， 原因时 。 19 b 为细长杆，结构承载能力将 。 B P
第十四章 轴向压杆的稳定计算
第十四章轴向压杆的稳定计算 【教学要求】 了解压杆稳定与失稳的概念； 理解压杆的临界力和临界应力的概念； 能采用合适的公式计算各类压杆的临界力和临界应力； 熟悉压杆的稳定条件及其应用； 了解提高压杆稳定性的措施。 【重点】 1、计算临界力。 2、掌握折减系数法对压杆进行稳定设计与计算的基本方法【难点】 折减系数法对压杆进行稳定设计与计算的基本方法。 【授课方式】课堂讲解 【教学时数】共计4学时 【教学过程】 ?14.1 压杆稳定的基本概念0.5学时?14.2 压杆的临界力和临界应力 1.5学时★14.3 压杆的稳定条件及其应用 1.5学时?14.4 提高压杆稳定性的措施0.5学时【小结】 【课后作业】 ?14.1 压杆稳定的基本概念 ?
? 有实例提出问题，总结引申新的课题。 1、概念 压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态的能力。 压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，简称为压杆失稳。 研究压杆稳定性的意义： 压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大的破坏性。 在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等设计中都必须考虑其稳定性要求。 2、平衡状态的稳定性 当P ＜cr P ，时，是稳定平衡状态 当P ＝cr P 时，是随遇平衡状态，这种状态称为临界平衡状态 当P ＞cr P 时，是不稳定平衡状态 当P ＝cr P 时，压杆的平衡状态是介于稳定和不稳定之间的临界平衡状态，因此定值cr P 。 3、压杆临界力F cr 14.2 压杆的临界力和临界应力 临界力的影响因素 临界力F cr 的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响直杆弯曲变形的因素有关： 杆的长度l 、抗弯刚度EI 、杆端支承。 14.2.1临界力的欧拉公式 22()cr EI P l πμ= 适用条件：弹性范围内。 式中，EI 称为压杆的抗弯刚度， I 是截面对形心轴最小的惯性矩。
材料力学_陈振中_习题第十四章压杆稳定
第十四章 压 杆 稳 定 14.1某型柴油机的挺杆长度l =25.7cm,圆形横截面的直径d =8mm,钢材的E=210Gpa,MPa p 240=σ。挺杆所受最大压力kN P 76.1=。规定的稳定安全系数 5~2=st n 。试校核挺杆的稳定性。 解：计算柔度，挺杆两端可认为较支，μ=1, 1294 /008.0257.01== =?i l μλ 而 9.926 9 22102401021014.31== = ???p E σπλ 1λλ 用欧拉公式计算临界压力，校核稳定性。 kN P L EI lj 30.62 644 )5108(14.3922 2 ) 257.01(1021014.3)(== = ?? ??-??μπ 58 .376.130 .6=== P P lj n 在2~5之间，安全。 14.4图中所示为某型飞机起落架中承受压力的斜撑杆。杆为空心圆管，外径D=52mm ，内径d =44mm,l =950mm.材料为30CrMnS i N i 2A, 试求斜撑杆的临界压力lj P 和临界应力 lj σ。（原图见教材P173.）(GPa E MPa MPa p b 210,1200,1600===σσ) 解：斜撑两端按铰支座处理， 5 .419 .55017.0044.0052.06 921012001021014.31017.095.01224 1224 1 == = ====+= += ????p E i l m d D i σπμλλ 1λλ ，可用拉欧公式计算 2 )044.0052.0(1040164 ) 044.0052.0(14.3) 95.01(1021014.3)(/665401224 3 4 49 222m MN kN P A P lj l EI lj lj == = =?= = -?-???π σμπ 14.5三根圆截面压杆，直径均为d=160mm,材料为A3钢，E=200Gpa,MPa s 240=σ.两端均为铰支，长度分别为l 1l 2和l 3，且m l l l 532321===。试求各杆的临界压力lj P 。 解：对于A3钢 1.57,10012 .1240 3042===≈--b a s σλλ 分别计算三杆的柔度 3 .31)3(5.62)2(125)1(4 /16.025.114/16.05.214/16.05 13 32 21 1== = ======???i l i l i l μμμλλλ
第十三章-压杆稳定
第十三章 压杆稳定 1 基本概念及知识要点 1.1 基本概念 理想受压直杆、理想受压直杆稳定性 、屈曲、 临界压力。 1.2 临界压力 细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。 1.3 稳定计算 为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算： st cr n F F n ≥= －稳定条件 2 重点与难点及解析方法 2.1临界压力 临界压力与压杆的材料、截面尺寸、约束、长度有关，即和压杆的柔度有关。因此，计算临界压力之前应首先确定构件的柔度，由柔度值确定是用欧拉公式、经验公式还是强度公式计算临界压力。 2.2稳定计算 压杆的稳定计算是材料力学中的重要内容，是本课程学习的重点。 利用稳定条件可进行稳定校核，设计压杆截面尺寸，确定许用外载荷。 稳定计算要求掌握安全系数法。 解析方法：稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。临界压力根据 柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。 3典型问题解析 3.1 临界压力
mm .h A I i min 55113 2===mm .a A I i 31632===例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图13－1所示，面积均为3.2×103mm 2，截面尺寸分别为(1)、b=40mm 、(2)、a=56.5mm 、(3)、d=63.8mm 、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm 。若已知材料的E =200GPa ，σs =235MPa ，σcr =304－1.12λ，λp =100，λs =61.4，试计算各杆的临界荷载。 [解] 压杆的临界压力，取决于压杆的柔度。应根据各压杆的柔度，由相应的公式计算压杆的临界压力。 (1)、两端固定的矩形截面压杆，当b=40mm 时 λ＞ λP 此压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力 (2)、两端固定的正方形截面压杆，当a=56.5mm 时 所以 9.12910 55.113 5.031=??==-i l μλkN 37521 21=?=?=A E A F cr cr λπ σ 0.7d 图13－1
材料力学_陈振中_习题第十四章压杆稳定
第十四章压杆稳定 14.1某型柴油机的挺杆长度l=25.7cm,圆形横截面的直径d=8mm,钢材的 E=210Gpa, ；「p =240MPa 。挺杆所受最大压力 n st = 2 ~ 5。试校核挺杆的稳定性。 解：计算柔度，挺杆两端可认为较支， 尸1, ，=银黑=129 用欧拉公式计算临界压力，校核稳定性。 在2~5之间，安全。 14.4图中所示为某型飞机起落架中承受压力的斜撑杆。杆为空心圆管，外径 内径d=44mm,l=950mm.材料为30CrMnS i N i 2A,试求斜撑杆的临界压力 P lj 和临界应力 Gj 。(原图见教材 P173.) (6 =1600MPa,；「p = 1200MPa ,E = 210GPa ) 解：斜撑两端按铰支座处理, i =4-D 2 d 2 =1、0.0522 0.0442 = 0.017m 「縣=55.9 ■ - '1，可用拉欧公式计算 14.5三根圆截面压杆，直径均为 d=160mm,材料为A3钢，E=200Gpa,匚s = 240 MPa 俩 端均为铰支，长度分别为 hb 和b ，且h =212 = 3I 3 =5m 。试求各杆的临界压力 P lj 。 分别计算三杆的柔度 P =1.76kN 。规定的稳定安全系数 =92.9 3.142 210 109 彳14(8 10 色)4 4 (1W.257)2 二 6.30kN P lj 6.30 n = 百=彳76 = 3.58 D=52mm , 3.14 210 109 1200 106 = 41.5 3.142 210 109 (1 0.95) 4 4 3.14(0.052" -0.0444) 64 = 401kN lj _ 401 103 _ -4 '(0.0522 -0.0442) 2 = 665MN /m 2 解：对于A3钢 100,十晋=57.1 '(1) (2) (3) =口 125 i 1 0.16/4 125 二.农=1 2.5 i 2 二— i 0.16/4 二 62.5 =31.3 /. 1 2 9 3.142 210 109 -------------- 6 ---- 240 10 P j
第十二章 压杆稳定(习题解答)
12-4 图示边长为a 的正方形铰接结构，各杆的E 、I 、A 均相同，且为细长杆。试求达到临界状态时相应的力P 等于多少？若力改为相反方向，其值又应为多少？ N B B C N B A B C C D 解：（1）各杆的临界力 2 2 2 ..2 2 2cr BD cr EI EI P P a a ππ= = = 外 （2）求各杆的轴力与P 的关系。 由对称性可知，外围的四个杆轴力相同，AB BC CD DA N N N N ===。研究C 、B 结点，设各杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力，C 、B 结点受力如图所示。 第一种情况： C:)02450CB CB X P N cos N =→ --=→=- ∑ 压杆 B:()02450BD BC BD BC Y N N cos N P = →--=→==∑ 拉杆 令2 ,.2 = C B cr C B cr EI N P P P a a π=- == ?外第二种情况： )C B P N = 拉杆 ()-BD BC N P ==压杆 2 2 .2 2 -== 22BD BC cr BD EI EI N P P P a a ππ=== ? 12-6 图示矩形截面松木柱，其两端约束情况为：在纸平面内失稳时，可视为两端固定；在出平面内失稳时，可视为上端自由下端固定。试求该木柱的临界力.
解：（1）计算柔度： ①当压杆在在平面内xoz 内失稳，y 为中性轴。 0.57101.04xz xz y l i μλ??= = = ②当压杆在出平面内xoy 内失稳，z 为中性轴。 27242.490.200xy xy z l i μλ??= = = ③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。 m ax(.)242.49xz xy λλλ== （2）松木75242.49P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr 2 2 2 11 2(0.110) (0.1200.200)40.28242.49 cr cr E P A A πσλ π=?= ???= ??=N kN 12-7铰接结构ABC 由具有相同截面和材料的细长杆组成。若由于杆件在ABC 平面内失稳而引起破坏。试确定荷载P 为最大时的θ角。（2 0π θ< <） 解：（1）研究B 结点求两杆轴力与P 的关系：
建筑力学第11章压杆稳定
第11章压杆稳定 [内容提要]稳定问题是结构设计中的重要问题之一。本章介绍了压杆稳定的概念、压杆的临界力-欧拉公式，重点讨论了压杆临界应力计算和压杆稳定的实用计算，并介绍了提高压杆稳定性的措施。 11.1 压杆稳定的概念 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆。前面各章中我们从强度的观点出发，认为轴向受压杆，只要其横截面上的正应力不超过材料的极限应力，就不会因其强度不足而失去承载能力。但实践告诉我们，对于细长的杆件，在轴向压力的作用下，杆内应力并没有达到材料的极限应力，甚至还远低于材料的比例极限σP时，就会引起侧向屈曲而破坏。杆的破坏，并非抗压强度不足，而是杆件的突然弯曲，改变了它原来的变形性质，即由压缩变形转化为压弯变形（图11-1所示），杆件此时的荷载远小于按抗压强度所确定的荷载。我们将细长压杆所发生的这种情形称为“丧失稳定”，简称“失稳”，而把这一类性质的问题称为“稳定问题”。所谓压杆的稳定，就是指受压杆件其平衡状态的稳定性。 为了说明平衡状态的稳定性，我们取细长的受压杆来进行研究。图11-2(a)为一细长的理想轴心受压杆件，两端铰支且作用压力P，并使杆在微小横向干扰力作用下弯曲。当P较小时，撤去横向干扰力以后，杆件便来回摆动最后仍恢复到原来的直线位置上保持平衡（图11-2(b)）。因此，我们可以说杆件在轴向压力P的作用下处于稳定平衡状态。 P，杆件受到干扰后，总能回复到它原来的直线增大压力P，只要P小于某个临界值 cr P时，杆件虽位置上保持平衡。但如果继续增加荷载，当轴向压力等于某个临界值，即P= cr 然暂时还能在原来的位置上维持直线平衡状态，但只要给一轻微干扰，就会立即发生弯曲并停留在某一新的位置上，变成曲线形状的平衡（图11-2(c)）。因此，我们可以认为杆件在P的作用下处在临界平衡状态，这时的压杆实质上是处于不稳定平衡状态。 P= cr
工程力学第十三章 压杆稳定
第十三章 压杆稳定 思考题 1 何谓失稳？何谓稳定平衡与不稳定平衡？ 2 试判断以下两种说法对否？ （1）临界力是使压杆丧失稳定的最小荷载。 （2）临界力是压杆维持直线稳定平衡状态的最大荷载。 3 应用欧拉公式的条件是什么？ 4 柔度λ的物理意义是什么？它与哪些量有关系，各个量如何确定 。 5 利用压杆的稳定条件可以解决哪些类型的问题？试说明步骤。 6 何谓稳定系数？它随哪些因素变化？为什么？ 7 提高压杆的稳定性可以采取哪些措施？采用优质钢材对提高压杆稳定性的效果如何？ 习题 1 图示四根压杆的材料及截面均相同，试判断哪一根杆最容易失稳？哪一根杆最不容易失稳？ 2 图示压杆，材料为Ｑ235钢，横截面有四种形式，但其面积均为3.2×103ｍｍ2。试计算它们的临界力，并进行比较。已知弹性模量Ｅ＝200ＧＰａ，ａ＝240ＭＰａ，ｂ＝0.00682ＭＰａ。 题1图题2图
3 图示压杆的横截面为矩形，ｈ＝60mm，ｂ＝40mm，杆长l＝2.4ｍ，材料为Ｑ235钢，Ｅ＝200GPa。杆端约束示意图为：在正视图（a）的平面内两端为铰支；在俯视图（b）的平面内，两端为固定。试求此杆的临界力。 4 已知柱的上端为铰支，下端为固定，外径Ｄ＝200ｍｍ，内径ｄ＝100ｍｍ，柱长l ＝9ｍ，材料为Ｑ235钢，许用应力[σ]＝160ＭＰａ。试求柱的许可荷载[Ｆ]。 题3图题4图 5 两端铰支工字钢受到轴向压力Ｆ＝400ｋＮ的作用，杆长l＝3ｍ，许用应力[σ]＝160ＭＰａ，试选择工字钢的型号。 6 压杆由两根∟140×12的等边角钢组成，如图示，杆长ｌ＝3ｍ，许用应力[σ]＝160ＭＰａ，两端固支。承受的轴向压力为Ｆ＝850ｋＮ。试对压杆进行稳定性校核。 7 图示一简单托架，其撑杆ＡＢ为圆截面木杆，已知ｑ＝50ｋＮ/ｍ，许用应力[σ]＝11ＭＰａ，ＡＢ两端为柱形铰，试求撑杆所需的直径ｄ。 题6图题7图 8 图示结构中，ＡＢ为刚性梁，Ａ端为水平链杆，在Ｂ点和Ｃ点分别与直径ｄ＝40ｍｍ的钢圆杆铰接。已知ｑ＝35ｋＮ/ｍ，圆杆材料为低碳钢，[σ]＝170ＭＰａ。试问此结构是否安全？ 9 图示结构中钢梁ＡＣ及柱ＢＤ分别由№22ｂ工字钢和圆木构成，均布荷载集度ｑ＝8ｋＮ/ｍ。梁的材料为Ｑ235钢，许用应力[σ]＝160ＭＰａ；柱的材料为杉木，直径ｄ＝160ｍｍ，[σ]＝11ＭＰａ，两端铰支。试校核梁的强度和立柱的稳定性。
13-第十三章压杆稳定讲解
第十三章 压杆稳定 §13.1 压杆稳定的概念 构件受外力作用而处于平衡状态时，它的平衡可能是稳定的，也可能是不稳定的。 一、压杆稳定 直杆在压力作用下，保持原直线状态的性质。 二、失稳（屈曲） 压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡。 三、临界压力 压杆保持其直线状态的最小压力，cr F 。 §13.2 两端铰支细长压杆的临界压力 在压杆稳定性问题中，若杆内的应力不超过材料的比例极限，称为线弹性稳定问题。 图示坐标系中，距原点为x 的任一截面的挠度为y ， 则该截面得弯矩为：y F M(x)cr = 代入挠曲线近似微分方程，即EI M(x) -y d 2 2=dx 得： EI F k k dx cr y ,0y y d 2 22 2==+ 方程通解为：0cos Asin y =+=kx B kx 由杆端的边界条件：0y 0===时，和l x x 求得 ： 0A s i n ,0==kx B 解得： ),2,1,0(????==n l n k π2 22F l EI n cr π= 除n=0外，无论n 取何值，都有对应的cr F ，1n =压杆失稳时的最小荷载是临界载荷 2 2F l EI cr π= 上式称为两端铰支细长压杆的临界荷载的欧拉公式。杆越细长，其临界载荷越小，即杆越容易失稳。对两端铰支细长压杆，欧拉公式中的惯性矩I 应是横截面最小的惯性矩，即形心主惯性矩中的做小值min I
§13.3其他支座条件下细长压杆的临界压力 几种常见约束方式的细长压杆的长度因数与临界载荷 例题：两端铰支压杆如图11-8所示，杆的直径20mm d =，长度800mm l =，材料为Q235钢，200GPa E =，200MPa p σ=。求压杆的临界载荷cr F 。 解：根据欧拉公式 239412 22 20010201024.2kN ()64(10.8)cr EI F l ππμ-????===?? 此时横截面上的正应力 3 cr P 26 424.21077MPa 2010 F A σσπ-??===≤?? 图 11-8
第12章-压杆稳定
第12章压杆稳定 一、选择题 1、一理想均匀直杆等轴向压力P=P Q；时处于直线平衡状态。与其受到一微小横向干扰力后发生微小 弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（）。 A、弯曲变形消失，恢复直线形状； B、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C、微弯充到状态不变； D、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q，时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P，则压杆的微弯 变形（） A、完全消失 B、有所缓和 C、保持不变 D、继续增大 3、两根细长压杆a,b的长度，横截面面积，约束状态及材料均相同，若a,b杆的横截面形状分别为正 方形和圆形，则二压杆的临界压力P a e和P b e;的关系为（） A、P a e〈P b e B、P a e＝P b e C、P a e〉P b e D、不可确定 4、细长杆承受轴向压力P的作用，其临界压力与（）无关。 A、杆的材质 B、杆的长度 C、杆承受压力的大小 D、杆的横截面形状和尺寸 5、压杆的柔度集中地反映了压杆的（）对临界应力的影响。 A、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B、材料，长度和约束条件； A、A、 B、材料，约束条件，截面尺寸和形状；D、材料，长度，截面尺寸和形状； 6、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（）来到断的。 A、长度 B、横截面尺寸 C、临界应力 D、柔度 7、细长压杆的（），则其临界应力σ越大。
A、弹性模量E越大或柔度λ越小； B、弹性模量E越大或柔度λ越大； B、B、 C、弹性模量E越小或柔度λ越大； D、弹性模量E越小或柔度λ越小； 8、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（）。 A、λ≤π√E/σp B、λ≤π√E/σs C、λ≥π√E/σp D、λ≥π√E/σs 9、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（） A、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是； B、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是； C、细雨长杆和中长杆的临界应力均是减小的； D、细长杆种中长杆的临界应力均不是减小的； 10、两根材料和柔度都相同的压杆（） A.界应力一定相等，临界压力不不一定相等； B.临界应力不一定相等，临界压力一定相等； C.临临界应力和临界压力一定相等； D.临界应力和临界压力不一定相等； 11、在下列有关压杆临界应力σe的结论中，（）是正确的。 A、细长杆的σe值与杆的材料无关； B、中长杆的σe值与杆的柔度无关； C、中长杆的σe值与杆的材料无关； D、粗短杆的σe值与杆的柔度无关；
第十四章 压杆稳定
一、是非题 14.1 由于失稳或由于强度不足而使构件不能正常工作，两者之间的本质区别在于：前者构件的平衡是不稳定的，而后者构件的平衡是稳定的。（） 14.2 压杆失稳的主要原因是临界压力或临界应力，而不是外界干扰力。（） 14.3 压杆的临界压力（或临界应力）与作用载荷大小有关。（） 14.4 两根材料、长度、截面面积和约束条件都相同的压杆，其临界压力也一定相同。（） 14.5 压杆的临界应力值与材料的弹性模量成正比。（） 二、选择题 14.6 在杆件长度、材料、约束条件和横截面面积等条件均相同的情况下，压杆采用图（）所示的截面形状，其稳定性最好；而采用图（）所示的截面形状，其稳定性最差。 14.7一方形横截面的压杆，若在其上钻一横向小孔（如图所示），则该杆与原来相比（）。 A. 稳定性降低，强度不变 B. 稳定性不变，强度降低 C. 稳定性和强度都降低 D. 稳定性和强度都不变 14.8 若在强度计算和稳定性计算中取相同的安全系数，则在下列说法中，（）是正确的。
A. 满足强度条件的压杆一定满足稳定性条件 B. 满足稳定性条件的压杆一定满足强度条件 C. 满足稳定性条件的压杆不一定满足强度条件 D. 不满足稳定性条件的压杆不一定满足强度条件 三计算题 14.9无缝钢管厂的穿孔顶针如图所示。杆端承受压力。杆长l =4.5m ，横截面直径d =15cm ，材料为低合金钢，E =210 Gpa 。两端可简化为铰支座，规定的稳定安全系数为=3.3 。试求顶杆的许可载荷。 14.10某厂自制的简易起重机如图所示，其压杆BD 为20号槽钢，材料为A3 钢。起重机的最大起重量是P = 40 kN 。若规定的稳定安全系数为=5 ，试校核BD 杆的稳定性。 14.11 10 号工字梁的C 端固定，A 端铰支于空心钢管AB 上。钢管的内径和外径分别为30mm 和40mm ，B 端亦为铰支。梁及钢管同为A3 钢。当重为300N 的重物落于梁的 A 端时，试校核A B 杆的稳定性。规定稳定安全系数=2.5 。
材料力学压杆稳定答案
9-1(9-2)图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与成反比，此处，为与约束情况有关的长度系数。 （a）=1×5=5m （b）=0.7×7=4.9m （c）=0.5×9=4.5m （d）=2×2=4m （e）=1×8=8m （f）=0.7×5=3.5m 故图e所示杆最小，图f所示杆最大。 9-2(9-5) 长5m的10号工字钢，在温度为时安装在两个固定支座之间， 这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数。试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定？ 解： 9-3(9-6) 两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力的算式。 解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况： （a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：
（b）两根立柱一起作为下端固定而上 端自由的体系在自身平面内失稳 失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆 组成一组合截面。 （c）两根立柱一起作为下端固定而上 端 自由的体系在面外失稳 故面外失稳时最小 =。 9-4(9-7)图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成，在点B铰支，而在点A和点C固定，D为铰接点，。若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D处的荷载F的临界值。 解：杆DB为两端铰支，杆DA及DC为一端铰支一端固定，选取。此结构为超静定结构，当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD及DC也失稳时整个结构才丧失承载能力，故 9-5(9-9) 下端固定、上端铰支、长m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。 已知杆的材料为Q235钢，强度许用应力，试求压杆的许可荷载。解： m 9-6(9-10)如果杆分别由下列材料制成： （1）比例极限，弹性模量的钢；
新材料力学习题册答案-第9章 压杆稳定
第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A 、弯曲变形消失，恢复直线形状； B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变； D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形（ C ） A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。 A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B 、材料，长度和约束条件； C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ，直径50mm 。其柔度为 ( C ) A.60； B.66.7； C .80； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小； B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大； C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大； D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A 、λ≤ P E πσ B 、λ≤s E πσ C 、λ≥ P E πσ D 、λ≥s E π σ
工程力学答案 第11章 压杆稳定
11-1 两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量E=200GPa，试计算其临界荷载。（1）圆形截面，25,1 d l == mm m；（2）矩形截面2400,1 h b l === m m；（3）16号工字钢，2 l=m l 解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力： （1）圆形截面，25,1 d l == mm m： 2 29 2 22 0.025 20010 6437.8 1 cr EI P l π π π ? ??? === N kN （2）矩形截面2400,1 h b l === m m 当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先失稳 2 0.040.02 min(,) 12 y z y I I I I ? ===，故： 2 29 2 22 0.040.02 20010 1252.7 1 cr EI P l π π ? ??? === N kN （3）16号工字钢，2 l=m 查表知：44 93.1,1130 y z I I == cm cm，当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时 4 min(,)93.1 y z y I I I I ===cm，故： 2298 22 2001093.110 459.4 2 cr EI P l ππ- ???? === N kN 11-3 有一根30mm×50mm的矩形截面压杆，一端固定，另一端铰支，试问压杆多长时可以用欧拉公式计算临界荷载已知材料的弹性模量E=200GPa，比例极限σP=200MPa。 解：（1）计算压杆能采用欧拉公式所对应的 P λ 2 2 99.35 P P P E π σλ λ =→=== （2）矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于 P λ可采用欧拉公式计算临界力。故 0.7 80.83 1.229 0.03 99.35 x P y z l l l l i μ λλ ? ===>> =→mm， 即 1.229 l>mm为细长杆，可采用欧拉公式计算临界力。 11-6 某钢材的比例极限230 P σ=MPa，屈服极限274 s σ=MPa，弹性模量E=200GPa，331 1.09 cr σλ =-。 试求 P s λλ 和，并绘制临界应力总图（0150 λ ≤≤）。
第11章 压杆稳定
第十一章 压杆稳定 11-1 图示压杆在主视图a 所在平面内，两端为铰支，在俯视图b 所在平面内，两端为固定，材料的为Q235钢，弹性模量GPa 210=E 。试求此压杆的临界力。 (a ) (b ) 解： 在主视图所在平面内，如图(a)所示，压杆的柔度为 6.1386240 323212 13=?==?= =h l bh bh l i l a a a μλ 在俯视图所在平面内，如图(b)所示，压杆的柔度为 9.1034240 3312 5.03=?=== =b l bh hb l i l b b b μλ ∵ 100p ≈>>λλλb a ，∴为大柔度压杆，且失稳时在主视图平面内 失稳 故压杆的临界力为 kN 9.258N 40606.1381021023 222cr =????= =πλπA E F a 11-2 两端固定的矩形截面细长压杆，其横截面尺寸为 m m 60=h ，m m 30=b ，材料的比例极限MPa 200p =σ，弹性模量GP a 210=E 。试求此压杆的临界力适用于欧拉公式时的最小长度。 解： 由于杆端的约束在各个方向相同，因此，压杆将在惯性矩最小的平面内失稳，即压杆的横截面将绕其惯性矩为最小的形心主惯性轴转动。 3 2123 min min b bh hb A I i === 欧拉公式适用于max λp λ≥，即 m i n m a x i l μλ=p σπ E ≥ 由此得到 =≥P E i l σμπm i n m 76.1m 10 200102105 .0321030326 9 3p =?????= -π σμπE b 故此压杆适用于欧拉公式时的最小长度为1.76m 。
!第八章压杆稳定性要点
15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？ 解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。 15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。 解：(a) 柔度： 230 1500.4 λ?= = 相当长度：20.30.6l m μ=?= (b) 柔度： 150 1250.4 λ?== 相当长度：10.50.5l m μ=?= (c) 柔度： 0.770 122.50.4 λ?= = 相当长度：0.70.70.49l m μ=?= (d) 柔度： 0.590 112.50.4 λ?= = 相当长度：0.50.90.45l m μ=?= (e) 柔度： 145 112.50.4 λ?== 相当长度：10.450.45l m μ=?= 由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。即：() 22 cr EJ P l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为： () 2948 2 2 2 320010 1.610640.617.6410cr EJ P l N π ππμ-??? ??= ==?
() 2948 2 2 2 320010 1.610640.4531.3010cr EJ P l N π ππμ-??? ??= ==? 15-3 某种钢材P σ=230MPa ，s σ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr ，试计算该材料压杆的P λ及S λ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。 解： 92.6 33827452.5 p s s a λπσλ===--=== 15-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr P 。若实际作用于挺杆的最大压缩力P =2.33kN ，规定稳定安全系数W n =2~5。试校核此挺杆的稳定性。 解：(1)
压杆稳定作业答案Word版
13-2 题13-2图所示压杆的截面为矩形，h =60mm ，b =40mm ，杆长l =2.0m ，材料为Q235钢，E =2.1×105MPa 。两端约束示意图为：在正视图(a)的平面内相当于铰支；在俯视图(b)的 平面内为弹性固定，采用μ=0.8。试求此杆的临界力F cr 。 解: 图(a)12115.5,0.06/23 z λ?= =图(b)0.82138.60.04/23 y λ?= =,即y z p λλλ>> 3 2 9 220.060.042.11012258.8()(0.82) y cr y EI F kN l ππμ????∴===? 13-4 题13-4图所示结构中，两根杆的横截面均为50×50mm 2 正方形，材料的弹性模量 E =70×103MPa ，试用欧拉公式确定结构失稳时的荷载 F 值。 解:由结点B 的平衡,34,55 BA BC F F F F == 229422 70100.05/1290()2BAcr EI F kN l ππμ???===,5 1503 cr BAcr F F kN ∴== 22942270100.05/12160() 1.5BCcr EI F kN l ππμ???===,52004 cr BCcr F F kN ∴== 所以结构失稳时荷载:150cr F kN = 题13-4图 F F BA F BC B 题13-2图
13-6 题13-6图所示5根圆杆组成的正方形结构。a =1m ，各结点均为铰接，杆的直径均为d =35mm ，截面类型为a 类。材料均为Q235钢，[σ]=170MPa ，试求此时的容许荷载F 。又若力F 的方向改为向外，容许荷载F 又应为多少? 解:(1)由结点A(C)的平衡，得 2 AB BC AD CD F F F F F ====(压), 由结点B(D)的平衡，得 BD F F =(拉) 压杆:11 114.3,0.035/4 l i μλ?= = =查表13-1,0.533?= 由[][]2222,123424 F F kN d σ?σ?σπ= ≤∴≤= 拉杆BD:[] 2 163,4 d F kN πσ≤=所以,容许荷载[]123F kN = （2）若力F 的方向改为向外:BD 杆受压,12 161.6,λ?= =查表13-1,0.297?= []48.6F kN ?σ≤=,即容许荷载[]48.6F kN = 13-11 题13-11图所示结构中，AD 为铸铁圆杆，直径d 1=60mm ，容许压应力[σc ]＝120MPa ；BC 杆为钢圆杆，直径d 2=10mm ，材料为Q235钢，容许应力 [σ]＝170MPa 。试求容许分布荷载[q ]。 解：由平衡条件 6.75AD F q =-（压）， 2.25BC F q =题13-11图 A B C D 1.5m 3m 1.5m q F AD F F BD q 题13-6图 F BD F BC F BA F AB F F A
第十一章 压杆稳定
第十一章 压杆稳定 § 11-1 压杆稳定的概念 承受轴向压力的直杆称为压杆。对较短粗压杆，当压杆横截面上的正应力不超过材料的容许应力，就能保证杆件正常工作，这类问题属于强度问题。但对于细长压杆，当其所受轴向压力达到某一数值之后，其直线的平衡形式将突然转变为弯曲形式，致使构件或结构丧失正常承载能力而发生破坏。在工程史上，曾发生过不少类似长杆的突然弯曲破坏导致整个结构毁坏的事故。其中最有名的是1907年北美北克圣劳伦斯河上的大铁桥，因桁架中一根受压弦杆突然弯曲，引起大桥的坍塌。这类细长压杆突然破坏问题属于“稳定问题”。稳定问题与强度、刚度问题一样，在构件和结构设计中占据着重要的地位。 图11-1 当压力P 的数值增大到某一极限值cr P 时,如图11-1(d)。压杆虽然也可能处于直线平衡位置，但一旦受到侧向干扰发生微小弯曲，即使除去干扰，压杆仍处于弯曲的平衡位置，而不能恢复原有的直线形状，这时压杆在直线形状下的平衡是处于不稳定的临界平衡状态，压杆所能承受轴向压力的极限值cr P 称为压杆的临界压力,简称为临界力。 不仅压杆会出现失稳现象，其它类型构件，如梁、拱、薄壁筒、圆环等也存在稳定问题，这些构件的稳定问题都比较复杂，不予研究，本章仅讨论常见压杆稳定问题。 § 11-2 细长压杆的临界力、临界应力 一、细长压杆的临界力 意大利科学家欧拉最先证明，在压杆内的应力小于材料的比例极限时，细长压杆的临界力计算可由挠曲线近似微分方程推得为 ()2 2l EI P cr μπ= 式（11-1） μ——长度系数。μ反映了压杆两端支承对临界力的影响，l μ称为相当长度。各 种支承情况下压杆的μ见表11-1。 应当注意，在两端支承各方向相同时，杆的弯曲必然发生在抗弯能力最小的平面内，所以，上式中惯性矩应为压杆横截面的最小惯性矩，如图11-2(a)所示，受压柱会左右失稳，所以I 用y I ；对于杆端各方向支承情况不同时，如图11-2(b) 所示, 左右稳定和前后稳定所对应的两端约束μ、I 是不同的，应分别计算，然后取最小的cr P 作为压杆的临界荷载。