等差数列与等比数列复习小结

等差数列和等比数列的总结与联系

等差数列和等比数列的综合及其联系 课题设计背景： 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型，研究等差数列的通项、性质以及求和公式，并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标： （1）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式； （2）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式；体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。

例题分析： 1、已知(), f x = 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法，求和： (5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值 2、已知公差不为零的等差数列{n a }中，236,,a a a 组成等比数列的连续三项，求公比q 3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== （1）求1a 和d 的值；（2）16b 是不是数列{}n a 中的项，为什么？ （二）等差数列和等比数列之间的转化 结论： （1）{}n a 成等差数列，则{}(0,1)n a c c c >≠成等比数列； （2）正项数列{}n a 成等比数列，则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列，再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析： 1、 已知数列)}({* N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比，以11(0)a a >为首项的等比数列，求 12lg lg ...lg n a a a +++ 2、 若数列)}({* N n a n ∈是等差数列，则有数列*123......,()n n a a a a b n N n ++++= ∈ 也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列)}({* N n c n ∈是等比数列，且0>n c ，则 有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。 3、 设)}({* N n a n ∈是等差数列，12n a n b ?? = ? ?? ，已知123123211 ,,88 b b b b b b ++= =求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。 （三）学法总结： （四）课后反思：

等差、等比数列知识点总结

一、任意数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：???≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n 二、等差数列 1、等差数列及等差中项定义 d a a n n =--1、2 1 1-++= n n n a a a 。 2、等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=、d k n a a k n )(-+= 当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式；当0=d 时，n a 是一个常数。 3、等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S += d n n na S n 2 ) 1(1-+= 4、等差数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+ 5、等差数列}{n a 的公差为d ，则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、…… 仍为等差数列。 6、B A a A d Bn An S n +==+=122，， 7、在等差数列}{n a 中,有关n S 的最值问题 利用n S （0≠d 时，n S 是关于n 的二次函数）进行配方（注意n 应取正整数） 三、等比数列 1、等比数列及等比中项定义： q a a n n =-1 、112+-=n n n a a a 2、等比数列的通项公式： 11-=n n q a a k n k n q a a -= 3、等比数列的前n 项和公式：当1=q 时，1na S n = 当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 q q a a S n n --=11 4、等比数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a ?=? 5、等比数列}{n a 的公比为q ，且0≠n S ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、 m m S S 23-、……仍为等比数列 6、0=++=B A B Aq S n n ，则 四、求数列}{n a 的最大的方法： 1-1n n n n a a a a ≥≥+ 五、求数列}{n a 的最小项的方法： 1 -1n n n n a a a a ≤≤+ 例：已知数列}{n a 的通项公式为：32922-+-=n n a n ，求数列}{n a 的最大项。 例：已知数列}{n a 的通项公式为：n n n n a 10) 1(9+=，求数列}{n a 的最大项。

等差数列及其性质典型例题及练习(学生)

等差数列及其性质 典型例题： 热点考向一：等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中， （1） 已知81248,168S S ==，求1,a 和d （2） 已知6510,5a S ==，求8a 和8S 变式训练： 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知 102030,50a a ==. （1）求通项公式{}n a ； （2）若242n S =，求n . 热点考向二：等差数列的判定与证明. 例2：在数列{}n a 中，11a =，1114n n a a +=- ，221 n n b a = -，其中* .n N ∈ （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求证：在数列{}n a 中对于任意的* n N ∈，都有 1n n a a +>. （3 ）设n b n c =，试问数列{n c }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由. 跟踪训练：已知数列{n a }中，13 5 a = ，数列11 2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足 1()1 n n b n N a *=∈- （1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三：等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值； （2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？ 跟踪训练3：设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知 .0,0,1213123<>=S S a （I ）求公差d 的取值范围； （II ）指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大，并说明理由。 热点考向四：等差数列的综合应用 例4.已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点列(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3 a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得 T n +都成立。求证：c 的最大值为 2 9。

等差、等比数列公式总结

一、等差数列 1.定义：)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式：d n a )1(a 1n -+= 3.变式：d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和：2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义： ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义：常数）(a 1q a n n =+ 2.通项公式：11a -=n n q a 3.变式： m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n

前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式：m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质： ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和： 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2．裂项相消法． ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列，项和，其中的前项为用于通 从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分

等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列和等比数列知识点梳理 第一节：等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈） 2、等差数列通项公式： 1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差 推导过程：叠加法 推广公式：()n m a a n m d =+- 变形推广：m n a a d m n --= 3、等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或 b a A +=2 （2）等差中项： 数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1) 2n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ 前N 相和的推导:当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=。（注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。

5、等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6、等差数列的证明方法 定义法或者等差中项发? {}n a 是等差数列． 7、等差数列相关技巧： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、 n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8、等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。

等差数列经典题型

等差数列 第三课时 前N 项和 1、在等差数列{a n }中,已知d ＝2,a n ＝11, S n ＝35,求a 1和n . 2、设{a n }为等差数列, S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7＝7, S 15＝75, T n 为数列? ??? ? ? S n n 的前n 项和,求T n . (1)等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ; (2)两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3,求a 5 b 5 的 值. 3、已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n ＝7n ＋45 n ＋3,则使 得a n b n 为整数的正整数n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4、现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( ) A.9 B.10 C.19 D.29 5、等差数列{a n }中, S 10＝4S 5,则a 1 d 等于( ) A.12 B.2 C.1 4 D.4

6、已知等差数列{a n}中,a23＋a28＋2a3a8＝9,且a n<0,则S10为() A.－9 B.－11 C.－13 D.－15 7、设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3＝9, S6＝36.则a7＋a8＋a9等于() A.63 B.45 C.36 D.27 8、在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为() A.765 B.665 C.763 D.663 9、一个等差数列的项数为2n,若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90,a2＋a4＋…＋a2n＝72,且a1－a2n＝33,则该数列的公差是() A.3 B.－3 C.－2 D.－1 10、设{a n}是公差为－2的等差数列,如果a1＋a4＋…＋a97＝50,那么a3＋a6＋…＋a99＝______. 11、在项数为2n＋1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为______.

等差数列与等比数列练习和解析(高考真题)

1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2 －8n D ．S n ＝12 n 2 －2n 2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足，a n ＋1＋2a n ＝0，且a 2 ＝2，则{a n }前10项的和等于( ) A.1－2103 B ．－1－210 3 C ．210－1 D ．1－210 3．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠－1，且a 5＋a 4＝3(a 3 ＋a 2)，则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A ．－9 B ．9 C ．－81 D ．81 4．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 5．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零，S n 为其前n 项和，S 3＝9，且a 2－1，a 3－1，a 5－1构成等比数列，则S 5＝( ) A ．15 B ．－15 C ．30 D ．25 二、填空题 6．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________． 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，

数列教案、考点、经典例题_练习

澳瀚教育 学习是一个不断积累的过程，不积跬步无以至千里，不积小流无以 成江海，在学习中一定要持之以恒，相信自己，你一定可以获得成功！ 高中数学 一、定义 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） 2．等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d = 11--n a a n ③ d =m n a a m n -- 定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项 看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+ 性质1：在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 二．例题讲解。 一.基本问题 例1：在等差数列{}n a 中 111111(1)(1)2()2, (1)(1)2()2, .m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明：

人教课标版高中数学必修5典型例题剖析：等差数列的通项与求和

等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示． 8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2 b a +叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：???≥-==-).2(),1(1 1n S S n S a n n n 若 a 1适合a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n .

小学奥数等差数列经典练习题

小学奥数等差数列经 典练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

小学奥数等差数列经典练习题 一、判断下面的数列中哪些是等差数列在等差数列的括号后面打√。0,2,6,12,20,30,36…… 6,12,18,24,30,36,42……700,693,686,679,673…… 90,79,68,57,46,35,24,13…… 1，3，5，7，10，13，16……5，8，11，14，17，20…… 1，5，9，13，17，21，23…90，80，70，60，50，……20，10 二、求等差数列3，8，13，18，……的第30项是多少 三、求等差数列8，14，20，26，……302的末项是第几项 四、一个剧院的剧场有２０排座位，第一排有３８个座位，往后每排比前一排多２个座位，这个剧院一共有多少个座位五、计算 11+12+13……+998+999+10002+6+3+12+4+18+5+24+6+30 3、求等差数列6，9，12，15，……中第99项是几 4、求等差数列46，52，58……172共有多少项 5、求等差数列245，238，231，224，……中，105是第几项 6、求等差数列0，4，8，12，……中，第31项是几在这个数列中，2000是第几项 7、从35开始往后面数18个奇数，最后一个奇数是多少、已知一个等差数列的第二项是8，第3项是13，这1个等差数列的第10项是多少 1、计算：100+200+300+……21001+79+……+17+15+13 2、有20个同学参加聚会，见面的时候如果每人都和其他同学握手一次，那么参加聚会的同学一共要握手多少次 3、请用被4

等差数列与等比数列

等差数列与等比数列 一.选择题 (1)在等差数列｛a n ｝中, a 7=9, a 13=-2, 则a 25= ( ) A -22 B -24 C 60 D 64 (2) 在等比数列｛a n ｝中, 存在正整数m, 有a m =3, a m+5=24, 则, a m+15= ( ) A 864 B 1176 C 1440 D 1536 (3)已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = ( ) A –4 B –6 C –8 D –10 (4)设数列{}n a 是等差数列，且n S a a ,6,682=-=是数列{}n a 的前n 项和，则 ( ) A S 4+><，则使前n 项和0n S >成 立的最大自然数n 是： （ ） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．4008 (7) 数列｛a n ｝的前n 项和S n =3n -c, 则c=1是数列｛a n ｝为等比数列的 ( ) A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 (8) 在等比数列｛a n ｝中, a 1<0, 若对正整数n 都有a n 1 B 0

等差数列与等比数列的类比练习题(带答案)

等差数列与等比数列的类比 一、选择题（本大题共1小题，共5.0分） 1.记等差数列{a n}的前n项和为S n，利用倒序求和的方法得S n=n(a1+a n) 2 ； 类似地，记等比数列{b n}的前n项积为T n，且b n>0(n∈N?)，类比等差数列求和的方法，可将T n表示成关于首项b1，末项b n与项数n的关系式为( ) A. (b1b n)n B. nb1b n 2C. nb1b n D. nb1b n 2 1. A 二、填空题（本大题共9小题，共45.0分） 2.在公差为d的等差数列{a n}中有：a n=a m+(n?m)d(m、n∈N+)， 类比到公比为q的等比数列{b n}中有：______ ． 2. b n=b m?q n?m(m，n∈N?) 3.数列{a n}是正项等差数列，若b n=a1+2a2+3a3+?+na n 1+2+3+?+n ，则数列{b n}也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列{c n}，若d n=______ 则数列{d n}也为等比数列． 3. (c 1 c22c33…c n n)1 4.等差数列{a n}中，有a1+a2+?+a2n+1=(2n+1)a n+1，类比以上性 质，在等比数列{b n}中，有等式______ 成立． 4. b1b2…b2n+1=b n+1 2n+1 5.若等比数列{a n}的前n项之积为T n，则有T3n=(T2n T n )3；类比可得到以下正确结论：若等差数列的前n项之和为S n，则有______ ． 5. S3n=3(S2n?S n) 6.已知在等差数列{a n}中，a11+a12+?+a20 10=a1+a2+?a30 30 ，则在等比数列{b n} 中，类似的结论为______ 10b11?b12?…?b20=30b1?b2?b3?…?b30 7.在等比数列{a n}中，若a9=1，则有a1?a2…a n=a1?a2…a17?n(n< 17，且n∈N?)成立，类比上述性质，在等差数列{b n}中，若b7=0，则有______ ． b1+b2+?+b n=b1+b2+?+b13?n(n<13，且n∈N?)

等差数列典型例题及分析

第四章 数列 [例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.正解：（1）a n =3n －2; (2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n －1项的和. [例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12 ++=n n S n 求数列{}n a 的通项公式。 正解： ①当1=n 时，1 11==S a 当2≥n 时，3 4)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合，∴34-=n a n ②当1=n 时，3 11==S a 当2≥n 时，n n n n n a n 21)1()1(12 2=-----++= ∴ ?? ?=n a n 23 ) 2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。 正解：由题意：??? ????=?+=?+70 2293030102 9101011d a d a 得152,521= =d a 代入得S 40 ＝120402 39 40401=??+ d a 。 [例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25－5n ，求数列{}||n a 的前n 项和； 正解： ??? ????≥+--≤-6,502)5)(520(5,2 ) 545(n n n n n n [例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220， 由此可以确定求其前n 项和的公式吗？ [例7]已知：n n a -+=12lg 1024 （3010.02lg =）+∈N n （1） 问前多少项之和为

(完整版)高考等差等比数列知识点总结

高考数列知识点 等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式：* 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = + 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4） 数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数） 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列 7.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函 数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 (6)求n S 的最值 法一：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要 注意数列的特殊性 *n N ∈。 法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和 即当，，001<>d a 由?? ?≤≥+0 1n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值． （2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当，，001>

等差数列与等比数列十大例题

等差数列与等比数列十大例题 例1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n = 2 1 1 n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有 11 27 21026a d a d +=?? +=?，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1) 3n+22 ?=2n +2n 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n = 2 1 1n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?=111(-)4n n+1 ?， 所以n T = 111111(1-+++-)4223n n+1?- =11(1-)=4n+1?n 4(n+1) ， 即数列{}n b 的前n 项和n T = n 4(n+1) 。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 例2、 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，* n N ∈，其中k 是常数． （I ） 求1a 及n a ； （II ）若对于任意的* m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ， 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*） 经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 42 2.=∴， 即)18)(12()14(2 +-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ，

等差数列与等比数列的基本运算

一．课题：等差数列与等比数列的基本运算 二．教学目标：掌握等差数列和等比数列的定义，通项公式和前n 项和的公式，并能利用这些知识 解决有关问题，培养学生的化归能力． 三．教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前n 项和的公式的应用． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．等差数列的概念及其通项公式，等差数列前n 项和公式； 2．等比数列的概念及其通项公式，等比数列前n 项和公式； 3．等差中项和等比中项的概念． （二）主要方法： 1．涉及等差（比）数列的基本概念的问题，常用基本量1,()a d q 来处理； 2．使用等比数列前n 项和公式时，必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论； 3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为,,a d a a d -+；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为,a d a d -+，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似． 4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求． （三）例题分析： 例1．（1）设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ． （2）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++=1316 ． 例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数． 解：设这四个数为：2 (),,,a d a d a a d a +-+，则2 ()16212a d a d a a d ?+-+=???+=? 解得：48a d =??=?或96a d =??=-?，所以所求的四个数为：4,4,12,36-；或15,9,3,1． 例3．由正数组成的等比数列{}n a ，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式． 解：当1q =时，得11211na na =不成立，∴1q ≠， ∴221122331111 (1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ?--=?--??+=?? 由①得110 q =，代入②得110a =， ∴21()10 n n a -=． 说明：用等比数列前n 项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1． 例4．已知等差数列110,116,122,， ① ②

等差等比数列知识点梳理及经典例题

A 、等差数列知识点及经典例题 一、数列 由n a 与n S 的关系求n a 由n S 求n a 时，要分n=1和n ≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段 函数的形式表示为1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-≥?。 〖例〗根据下列条件，确定数列{}n a 的通项公式。 分析：（1）可用构造等比数列法求解； （2）可转化后利用累乘法求解； （3）将无理问题有理化，而后利用n a 与n S 的关系求解。 解答：（1） （2） …… 累乘可得， 故 （3）

二、等差数列及其前n 项和 （一）等差数列的判定 1、等差数列的判定通常有两种方法： 第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n --=≥常数，第二种是利用等差中项，即112(2)n n n a a a n +-=+≥。 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。 （1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =An+B,则{n a }是等差数列； （2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2 n S An Bn =+的形式（A ，B 是常数），则{n a }是等差 数列。 注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。 〖例〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足111120(2),2 n n n n S S S S n a ---+=≥=g （1）求证：{ 1 n S }是等差数列； （2）求n a 的表达式。 分析：（1）1120n n n n S S S S ---+=g → 1n S 与1 1n S -的关系→结论； （2）由 1 n S 的关系式→n S 的关系式→n a

经典等差数列性质练习题(含答案)讲解学习

等差数列基础习题选（附有详细解答） 一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（） A．一1 B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（） A．1B．3C．2D． 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11 A．25 B．24 C．20 D．19 A．5B．3C．﹣1 D．1 A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（） A．1B．﹣1 C．2D． A．﹣1 B．1C．3D．7

14．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（） A．B．C．D． 15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（） A．6B．7C．8D．9 16．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（） A．30 B．35 C．36 D．24 17．（2012?营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是A．5B．6C．5或6 D．6或7 A．58 B．88 C．143 D．176 A．﹣1 B．0C．1D．2 2 A．6B．7C．8D．9 2 A．4或5 B．5或6 C．4D．5 A．12 B．10 C．8D．4 A．230 B．140 C．115 D．95 A．5B．25 C．50 D．100 25．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（） A．1B．2C．3D．4 A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项 二．填空题（共4小题）