等差数列与等比数列解题技巧

等差数列与等比数列解题技巧

【摘要】在高中数学课程内容中，数列作为离散函数的典型代表之一，不仅在高中数学中具有重要位置，而且，在现实生活中有着非常广泛的作用.因此掌握数列的解题技巧，在我们高中数学中是很有必要的.

引言：数列在高考中主要考察用数列的递推公式、等差数列的通项公式参数的确定和性质、前n 项和公式和性质及常见的数列的求和方法. 一、求数列通向公式的方法 1、分析法

通过与一些已知通向公式的基本数列进行比较、分析、归纳综合找数列的项与项数之间的关系，求出数列的通向公式.

例1、写出数列的一个通向公式

（1）、0.7，0.77，0.777.0.7777，... （2）、2，, (16)

81

,833,413,25 解：（1）原列各项可以写成有数列

{}得到，而乘的每一项除以79,...999.0,99.0,9.0:n a

,1.01n n a -=故原数列的一个通向公式为()

n n n a b 1.019

7

97-==

（2）、原数列可改写为,...,21

5,214,213,212,21143210+++++

故其通向公式为12

1

-+=n n n a

例2、根据下面各个数列的首项和递推公式，写出它的前4项并归纳出数列的一个通向公式 （1）、)(2,111

*+∈+==N n a a a n n ；)(2

2,1)2(11*+∈+=

=N n a a a a n n

n

解：分析:写出前4项，找出规律，然后归纳出通向公式. (1)、由已知，得

312,1121=+==a a a

,1512,7123423=+==+=a a a a

即,12,12221

-=-=a a

,12,124433-=-=a a

故数列的一个通向公式为)(12*∈-=N n a n n

(2)、由已知，得,3

2

22,11121

=+=

=a a a a

,5

2

22,2122334223=+==+=

a a a a a a

即.5

2,4221,32,2214321

=====

=a a a a 故数列的一个通向公式为)(1

2

*∈+=

N n n a n 注:上述题设给出，数列的前n 项或给出递推公式和初始条件，分析数列的特征，找出规律，写出通向公式. 2、待定系数法 例1、已知数列{}n a 的通向公式是关于n 的二次多项式，按照下列条件，写出数列{}n a 的一个通向公式.

（1）、;7,3,1321

===a a a （2）

、;8,4,2321===a a a （3）、.0,3321===a a a 分析：设出,2c bn an a n

++=然后将321a a a 、、代入求出系数,c b a 、、即得通向公式.

解：（1）、,2

c bn an a n ++=依题意，得?????=++=++=++,739,324,1c b a c b a c b a 解得??

???=-==,1,1,

1c b a

.12+-=∴n n a n

（2）、设,2

c bn an a n ++=依题意，得?????=++=++=++,839,424,2c b a c b a c b a 解得??

???=-==,2,1,1c b a

.22+-=∴n n a n

（3）、的两个根。

是方程、032,032

=∴==n a a a 设),3)(2(--=n n a a n ,2

3

,311=∴==a a n 时，当

).

3)(2(2

3

--=∴n n a n 注：由n 个独立条可确定n 个参数的值，因此，当已知数列

{}n a 中m 项数值时，可设通项为（m-1）次多

项式，并应用待定系数法，求出这一多项式个项系数的值，进而写出n a 的表达式。 3、换元法

换元的关键步骤是变换题设中所给的递推公式，构造出等差数列或等比数列，这种被构造出来的数列称为辅助数列，借助辅助数列便可求得原数列的通向公式. 例1、已知数列{},2,,,1221d a a a q a p a a n n n n =+-==++且中求数列{}n a 的通向公式.

分析：将d a a a n n n =+-++122变形为,)()(112d a a a a n n n n =---+++换元后转化为求等差数列的通

向公式.

解:将已知条件改写为,)()(112d a a a a n n n n =---+++

令.,11d u u a a u n n n n n =--=++则

数列

{}n u 是以p q a a u -=-=121为首项，公差为d 的等差数列，

,...,,,.

)1()()1(11,3342231121--=-=-=-=--+-=-+=∴n n n n u a a u a a u a a u a a d n p q d n u u 又

将上述（n-1）个式子相加，得:

d

n n p q n u u u a a n n )2)(1(21

))(1(1211--+--=+++=-- .)2)(1(2

1

))(1(d n n p q n p a n --+--+=∴

例2、数列

{}{}的通向公式。

求数列满足n n n n a a a a a ,12,111+==+ 分析:将),1(211211+=++=++n n n n a a a a 变形为转化为求等比数列的通向公式.

解：.1211211

）（，+=+∴+=++n n n n a a a a

,21,2,1111=+==+=+a u u u a u n n n n 则令 ∴数列{}n u 是以21=u 为首项，以2为公比的等比数列.

.12,21,2221-=∴=+=?=∴-n n n n n n n a a u 即

4、累加法 例1、求数列

{}n a ：6，9，14，21，30，...的通向公式.

分析:观察数列的特征，后面一项减去前面一项的差组成的数列{}n b ：3，5，7，9，...是首项为3，公差

为2的等差数列，故可先求出数列

{}n b 的通向公式，再推出{}n a 的通向公式.

解：设原数列中相邻两项（后项减去前项）的差所组成的数列{}n b ，则12+=n b n ，

显然，,12,,7,5,311334223112

-==-==-==-==---n b a a b a a b a a b a a n n n

各式相加，得：

,1125321-=-+++=-n n a a n .51622+=-+=∴n n a n

5、乘约法 例1、已知数列

{}n a 满足n n n a a 21=+，且21=a ，求通向公式n a .

分析：由n n n a a 21

=+得

n n

n a a 21

=+，当=n 1，2，3，...,（n-1）时得到n-1个关系式，将这n-1个关系式连乘可得n a 的通向公式.

解：由n n n a a 21

=+得

n n

n a a 21

=+， 当1>n 时，有

11

334223122,2,2,2--====n n n a a a a

a a a a ， 将以上各式左右两端分别相乘得12

)

1(2

)

1(1)1(212

22

2+---+++=?==n n n n n n a a ，

又1a 也满足上式，

{}12

)

1(2

+-=∴n n n n a a 的通向公式为.

注:必须对1a 进行验证，若1a 满足关系式，则统一写成n a 的形式；若1a 不满足，要写成分段形式. 6、构造数列法

由已知递推公式进行变形，构造出新的等比数列，然后用累加法、乘约法或直接利用等比数列写出通向公式.

例1、已知数列

{}n a 满足

??

?+==+d

ca a b a n n 11,其中

.

1,0≠c 证明这个数列的通向公式是

.1

)(1---+=-c d c b d bc a n n n

分析:由递推关系可分别用累加法和构造数列法证明. 证法1（累加法） d ca a n n +=+1,两边同除以1+n c 得：

1

11++++=n n n n n c d

c a c a ， 当1>n

时，有:

n n n n n c

d c a c a c d

c a c a c

d c a c a =-=-=-

--11322332122,,, ,

将以上各式分别相加，得

c

c c d

c c c

d c a c a n n n n 11)1

1(1)111(12321--=+++=-- ， ∴.1

)(1---+=

-c d

c b

d bc a n n n

证法2：（构造法）设d ca a n n +=+1可化为)(1r a c r a n n +=++，

由待定系数法可得: )1

(11

-+=-+

+c d

a c c d a n n , 可知数列?

??

?

??-+

1c d a n

为以1-+

c d b 为首项，以c 为公比的等比数列， ,)1

(11--+=-+

∴n n c c d

b c d a ∴.1

)(1---+=

-c d

c b

d bc a n n n 7、递推法 例1、已知数列{}n a 中，21=a ，)2)(12(1+-=+n n a a ，,,3,2,1 =n 求{}n a 的通向公式；

解: )2)(12(1

+-=+n n a a ,

)222()12(1-+-=∴-n n a a (

)1

2-=

(

)(

)[]()2

22222122-+-+--n a

(

)

()()()22222212122

2

-+--+-=

-n a

=

(

)

(

)(

)(

)

(

)

??

???

?-+-+

-+

-+-=

--2

2

11

1

2121212221

2n n a

(

)

(

)(

)

1

211

211

221

221

1

+----+-=--n n

(

)

(

)

1

1

122

21

22----+-=n n

()(

)

.1

22

221

---+=n

二、简单的递推数列即处理策略 （1）、对()()n f a a n f a a n n

n n

=+=--1

1或

型数列通项的求法可用累加法或乘约法. （2）、对()n f Aa a n n

+=-1型数列通项的求法可用累加法和构造数列法. （3）、对n n n Ba Aa a +=++12型数列通项的求法可用累加法和构造数列法.

（4）对

B

Aa D Ca a n n n ++=

--11型数列通项的求法两边同加上一个常数，这个常数是方程

()02=--+D x B C Ax 的根，然后构造数列求解.

（5）、对

()0,=n n s a f 型数列通项的求法由1--=n n n s s a ()2≥n 代入原关系式中化只含有n a 或n

s 的关系式，然后求解. 1、有关“a a =1

，()()n f a a n f a a n n

n n =+=--1

1或

”型数列通项公式的求法. 例1、数列

{}n a 中，

，21=a cn a a n n +=+1（c 为常数， ,3,2,1=n ）且321,,a a a 成公比不为1的等比数列. （1）、求c 的值；

分析：（1）由321,,a a a 成等比数列可求出c ；（2）用累加法可求通向公式. 解（1）21

=a ，c a c a 32,232+=+=，

因为321,,a a a 成等比数列， 所以

()()c c 32222+=+，

解得0=c 或，2=c

当0=c

时，321a a a ==不符合题意，舍去，故2=c .

（2）当2≥n 时，由于 ,2,2312c a a c a a =-=-()c n a a n n 11-=--，

所以()[]()c n n c n a a n 2

11211-=

-+++=- .

又21

=a ，2=c 故22+-=n n a n () ,3,2=n .当n =1时，上式也成立.

所以() ,2,122=+-=n n n a n

.

2、有关“a a =1，()n f Aa a n n +=-1()0≠A ”型数列通项公式的求法.

例1、在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 221+=+.

（1）、设n

b 1

2-=n n a ，证明：数列

{}n b 是等差数列.

（2）、求数列

{}n a 的前n 项和n S .

分析:此题可先求出n a ，也可通过变形直接证明，求出n b ，再求出n a ，进而求出n S .

（1）证明： n n n a a 221

+=+，1221

1+=∴

-+n n

n n a a n b 1

2-=

n n

a ，11+=∴+n n

b b ，即11=-+n n b b ，11=b ，

故数列

{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列。

（2）解:由（1）知n b n

=，12-=n n n a ，则

()12102212221--?+?-++?+?=n n n n n S ， ()n n n n n S 22122212121?+?-++?+?=- ，

两式相减，得

12222212110+-?=---?-?=-n n n n n n n S .

3、有关“b a a a ==21

,,n n n Ba Aa a +=++12()为常数、B A ”型数列通项公式的求法.

例1、已知数列{}n a 中，2,121==a a ，且()111-+-+=n n n qa a q a （2≥n ，0≠q ）.

（1）、设n n n

a a

b -=+1()*

∈N

n ，证明{}n

b 是等比数列；

（2）、求数列

{}n a 的通向公式；

分析:首先将原关系式变形为()11-+-=-n n n n a a q a a ，构造出新的数列可证明n b 为等比数列，且n a 可

求.

（1）证明：由题设()11

1-+-+=n n n qa a q a （2≥n ）

，得 ()11-+-=-n n n n a a q a a ，即()2,1≥=-n qb b n n 。

由{}是所以n b q a a b ,0,1121

≠=-=首项为1，公比为q 的等比数列。

（2）解：由（1），

,,,12312 q a a a a =-=-

().221≥=---n q a a n n n

将以上各式相加，得()2121≥+++=--n q q a a n n ，

即()2121≥++++=-n q q a a n n

所以当2≥n

时，

??

???=≠--+

-.1,,,1,1111

q n q q

q a n n 上式对1=n 显然成立. 4、有关“,1a a =B

Aa D

Ca a n n n ++=

--11（其中D C B A 、、、为不同时为零的常数）”型数列通项公式的

求法. 例1、已知数列

{}n a 的首项3

21=a ，,121+=

+n n

n a a a .,2,1 =n 证明：数列?

?????-11n a 是等比数列.

证明: ,121

+=

+n n n a a a ,12121211

1n

n n n a a a a ?+=+=∴+

).11

(21111-=-∴

-n

n a a 又321

=

a ，2

1

111=-∴

a ， ∴数列?

?????-11n a 是以

21为首项，

2

1

为公比的等比数列.

5、有关“,1a a =()0,=n n s a f ”型数列通项公式的求法.

例1、设数列

{}n a 的前n 项和n n n a S 22-=.

（1）、求3a 、4a ； （2）、证明：{}n n a a 21-+是等比数列；

（3）、求

{}n a 的通向公式.

分析:可通过递推关系

n

n n a S 22-=求

1

a ，由

1

1111222+++++++=+=n n n n n n S a S a 得

112+++=n n n S a 可得出2a 、3a 、a

要注意()21≥-=-n S S a n n n

的关系.

解（1） ,22,1111+==S a S a ∴2,211==S a .

由n n n

S a 22+=知11111222+++++++=+=n n n n n n S a S a ，得()1.211+++=n n n S a

∴62222212=+=+=S a ,402,24,16282,8434333232=+===+=+==S a S S a S (

2)、由题意和（1）式知()()

n n n n n n n n n S S a a 222222111=-=+-+=-+++，

所以

{}n n a a 21-+是首项为2，公比为2的等比数列.

（3）、()()()1112221122222a a a a a a a a n n n n n n n -----+-++-+-=

()121-?+=

n n .

三、数列求和

对于数列的求和问题，一般先要仔细地分析数列的通向公式的特点，在分析通项的基础上再来确定是选用哪种求和方法.若不能直接求和的数列可以拆或并成几个可以求和的数列，用分组法。若数列的每一项变为两数之差，可以使大部分项能“正、负抵消”，只剩下有限的几项，此时可用裂项法；若一个数列距首末等距离的和相等，可采用倒序相加法；若数列的各项是由一等差数列和一等比数列组成的，可用错位相减法；若数列的通项n a 中含

()n 1-，可分类讨论或错位相减法.

1、错位相减法:这是在推倒等比数列前n 项和公式所用的方法，这种方法主要用于求数列{}n n b a ?的前n

项和，其中

{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列.

例1、求和()132127531--+++++=n n x n x x x S

解：当1=x 时，2n S n =；

当1≠x

时， ()132127531--+++++=n n x n x x x S

()n n x n x x x x xS 12753432-+++++=∴

两式相减得：

()n S x -1(

)

()()()

()()(),

111212112121121211122x

x x n x n x

x x x n x n x x x x n n n n

n

n -+++--=--+

--=?--+++++=+--

()()()().1112122

1x x x n x n S n n n -+++--=∴+

2、倒序相加法:将一个数列倒过来排列（倒序），当它与原数列相加时，，若有公因式可提并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。等差数列求和公式()2

1n n a a n S +=

就是用倒序相加法

推倒出来的. 例1、求和:,32321n

n n n n nC C C C S

++++=

分析在：注意到,,,2

211

--==n n n n n n C C C C 且相等项的系数之和都为n ，故可用“倒序相加法”求和。

解：,32321n n n n n nC C C C S ++++=

()(),211

21n n n n n n n C C n C n nC S ++-+-+=-- n

n

n n n n n nC nC nC nC nC S +++++=∴-12102 ,2)(210

n n

n n n n

n C C C C n ?=++++=

12-?=∴n n S

3、分组求和法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列。若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，分别求和，然后再合并. 例1、求数列()(){}121++n n n 的前n 项和.

解:()()121++=n n n a n

,3233n n n ++=

()()

()n n n S n +++++++++++=∴ 21213212222333

()()()()2

12121212

2++++++=n n n n n n n ()().2

212

++=n n n 3、裂项法:这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，裂项法的实质是将数列中的某些项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 例1、()),2

1

1(2121+-=+=

n n n n a n

()()()

121222+-=

n n n b n ).1

21121(211+--+

=n n 例2、求数列()()?

??

???-+++11112

2n n 的前n 项和. 分析：变换通向公式，将其拆为若干项的和或差.拆项的原则是在各项相加的过程中能消去一些项.

解：()()()()()1

1211121111112

22

22-++=-++-+=-+++n n n n n ()2

1

11221+-+=++

=n n n n ，

()()1

111141

41313121222

222222-++++

+-++-++-+=∴n n S n )2111()51311()41211()31111(+-+++-++-++-+=n n

() 1

111个n +++=2

1

11211+-+-++n n

.2

1

1123+-+-+

=n n n 注：将通项进行变换，构造两项之差，这是求和过程中消项的基础.常见的拆项公式有

()()1

1

1111+-

=+n n n n ；

()

)1

1

11(211122

+--=-n n n ；

()

()()()()()];21111[212113++-+=++n n n n n n n ()());1

1(114k n n k k n n +-=+

()

);(115n k n k

n k n -+=++()();!!1!6n n n n -+=?();711m

n m n m n C C C +-=

()().281≥-=-n S S a n n n

4、并项法 例1、求100994321100

-+-+-= S 的值.

分析:本题可以视为求两个等差数列的代数和，但运算量较大。若用并项求和法轻而易举就可以解决。 解：()()()50100994321100

-=-++-+-= S .

5、降次递推法 例1、求和2222321n S n

++++=

分析：可利用公式

(),1331233+++=+k k k k

(),1331233

++=-+∴k k k k 令,,,3,2,1n k =

分别代入上式，得;1131312

233

+?+?=-;1232323233+?+?=-

();1331;;1333334233

233+?+?=-++?+?=-n n n n

将以上各式分别相加，得:

()()().321332*********n n n n ++++++++++?=-+

(

)

()()2

3212311213233

2

22n

n n n n n n n ++=

-+--+=+++?∴

()().2

121++=

n n n

2222321n S n ++++= ()().

6

121++=

n n n

参考文献：

[1]张环、胡剑涛、杨玉蓉主编。《高中数学综合能力培养》上册1991年3月印刷。 [2]刘宗贤责任主编。《高中代数疑难解析》1984年8月第2次印刷。 [3]王兴旺主编。《高考完全解读》2007年7月湖北第1次印刷。 [4]欧阳维诚主编。《高中数学考试解题精典》1995年6月第2次印刷。 [5]袁桐、金立建主编《新编高中数学大观》1991年2月第1次印刷。 [6]彭士元、朱铁夫主编。《数列求和》1989年6月第一次印刷。

等差数列和等比数列的总结与联系

等差数列和等比数列的综合及其联系 课题设计背景： 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型，研究等差数列的通项、性质以及求和公式，并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标： （1）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式； （2）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式；体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。

例题分析： 1、已知(), f x = 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法，求和： (5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值 2、已知公差不为零的等差数列{n a }中，236,,a a a 组成等比数列的连续三项，求公比q 3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== （1）求1a 和d 的值；（2）16b 是不是数列{}n a 中的项，为什么？ （二）等差数列和等比数列之间的转化 结论： （1）{}n a 成等差数列，则{}(0,1)n a c c c >≠成等比数列； （2）正项数列{}n a 成等比数列，则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列，再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析： 1、 已知数列)}({* N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比，以11(0)a a >为首项的等比数列，求 12lg lg ...lg n a a a +++ 2、 若数列)}({* N n a n ∈是等差数列，则有数列*123......,()n n a a a a b n N n ++++= ∈ 也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列)}({* N n c n ∈是等比数列，且0>n c ，则 有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。 3、 设)}({* N n a n ∈是等差数列，12n a n b ?? = ? ?? ，已知123123211 ,,88 b b b b b b ++= =求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。 （三）学法总结： （四）课后反思：

等差、等比数列知识点总结

一、任意数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：???≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n 二、等差数列 1、等差数列及等差中项定义 d a a n n =--1、2 1 1-++= n n n a a a 。 2、等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=、d k n a a k n )(-+= 当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式；当0=d 时，n a 是一个常数。 3、等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S += d n n na S n 2 ) 1(1-+= 4、等差数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+ 5、等差数列}{n a 的公差为d ，则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、…… 仍为等差数列。 6、B A a A d Bn An S n +==+=122，， 7、在等差数列}{n a 中,有关n S 的最值问题 利用n S （0≠d 时，n S 是关于n 的二次函数）进行配方（注意n 应取正整数） 三、等比数列 1、等比数列及等比中项定义： q a a n n =-1 、112+-=n n n a a a 2、等比数列的通项公式： 11-=n n q a a k n k n q a a -= 3、等比数列的前n 项和公式：当1=q 时，1na S n = 当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 q q a a S n n --=11 4、等比数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a ?=? 5、等比数列}{n a 的公比为q ，且0≠n S ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、 m m S S 23-、……仍为等比数列 6、0=++=B A B Aq S n n ，则 四、求数列}{n a 的最大的方法： 1-1n n n n a a a a ≥≥+ 五、求数列}{n a 的最小项的方法： 1 -1n n n n a a a a ≤≤+ 例：已知数列}{n a 的通项公式为：32922-+-=n n a n ，求数列}{n a 的最大项。 例：已知数列}{n a 的通项公式为：n n n n a 10) 1(9+=，求数列}{n a 的最大项。

数列解题技巧归纳总结---好(5份)

知识框架 111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-? ?-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解 的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ??????????????????? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??????????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和 求和倒序相加求和累加累积 归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握 了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？

等差数列及其性质典型例题及练习(学生)

等差数列及其性质 典型例题： 热点考向一：等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中， （1） 已知81248,168S S ==，求1,a 和d （2） 已知6510,5a S ==，求8a 和8S 变式训练： 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知 102030,50a a ==. （1）求通项公式{}n a ； （2）若242n S =，求n . 热点考向二：等差数列的判定与证明. 例2：在数列{}n a 中，11a =，1114n n a a +=- ，221 n n b a = -，其中* .n N ∈ （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求证：在数列{}n a 中对于任意的* n N ∈，都有 1n n a a +>. （3 ）设n b n c =，试问数列{n c }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由. 跟踪训练：已知数列{n a }中，13 5 a = ，数列11 2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足 1()1 n n b n N a *=∈- （1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三：等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值； （2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？ 跟踪训练3：设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知 .0,0,1213123<>=S S a （I ）求公差d 的取值范围； （II ）指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大，并说明理由。 热点考向四：等差数列的综合应用 例4.已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点列(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3 a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得 T n +都成立。求证：c 的最大值为 2 9。

等差、等比数列公式总结

一、等差数列 1.定义：)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式：d n a )1(a 1n -+= 3.变式：d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和：2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义： ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义：常数）(a 1q a n n =+ 2.通项公式：11a -=n n q a 3.变式： m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n

前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式：m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质： ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和： 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2．裂项相消法． ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列，项和，其中的前项为用于通 从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分

等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列和等比数列知识点梳理 第一节：等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈） 2、等差数列通项公式： 1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差 推导过程：叠加法 推广公式：()n m a a n m d =+- 变形推广：m n a a d m n --= 3、等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或 b a A +=2 （2）等差中项： 数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1) 2n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ 前N 相和的推导:当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=。（注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。

5、等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6、等差数列的证明方法 定义法或者等差中项发? {}n a 是等差数列． 7、等差数列相关技巧： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、 n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8、等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。

高考数学经典解题技巧和方法复习(等差数列等比数列)

高中数学经典的解题技巧和方法（等差数列、等比数列） 【编者按】等差数列、等比数列是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下等差数列、等比数列的经典解题技巧。 首先，解答等差数列、等比数列这两个方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题： 1．数列的概念和简单表示法 （1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）。 （2）了解数列是自变量为正整数的一类函数。 2．等差数列、等比数列 （1）理解等差数列、等比数列的概念。 （2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式。 好了，搞清楚了等差数列、等比数列的上述内容之后，下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。 一、有关等差数列的基本问题 考情聚焦：1．等差数列作为高考中数学的重点内容，在历年高考中都有所考查。 2．该类问题一般独立命题，考查等差数列的概念、性质、通项公式、前n 项公式，有时与函数的单调性、不等式知识结合在一起命题。 3．多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题。 解题技巧：1．涉及等差数列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式“知三求二”解决问题； 2．等差数列前n 项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值问题；有时利用数列的单调性（d ＞0,递增；d ＜0，递减）； 3．证明数列{n a }为等差数列有如下方法：①定义法；证明1n n a a d +-=（与n 值无关 的常数）；②等差中项法：证明112(2,)n n n a a a n n N *-+=+≥∈。 例1：（2010·浙江高考文科·Ｔ19）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数

等差数列经典题型

等差数列 第三课时 前N 项和 1、在等差数列{a n }中,已知d ＝2,a n ＝11, S n ＝35,求a 1和n . 2、设{a n }为等差数列, S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7＝7, S 15＝75, T n 为数列? ??? ? ? S n n 的前n 项和,求T n . (1)等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ; (2)两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3,求a 5 b 5 的 值. 3、已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n ＝7n ＋45 n ＋3,则使 得a n b n 为整数的正整数n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4、现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( ) A.9 B.10 C.19 D.29 5、等差数列{a n }中, S 10＝4S 5,则a 1 d 等于( ) A.12 B.2 C.1 4 D.4

6、已知等差数列{a n}中,a23＋a28＋2a3a8＝9,且a n<0,则S10为() A.－9 B.－11 C.－13 D.－15 7、设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3＝9, S6＝36.则a7＋a8＋a9等于() A.63 B.45 C.36 D.27 8、在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为() A.765 B.665 C.763 D.663 9、一个等差数列的项数为2n,若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90,a2＋a4＋…＋a2n＝72,且a1－a2n＝33,则该数列的公差是() A.3 B.－3 C.－2 D.－1 10、设{a n}是公差为－2的等差数列,如果a1＋a4＋…＋a97＝50,那么a3＋a6＋…＋a99＝______. 11、在项数为2n＋1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为______.

数列教案、考点、经典例题_练习

澳瀚教育 学习是一个不断积累的过程，不积跬步无以至千里，不积小流无以 成江海，在学习中一定要持之以恒，相信自己，你一定可以获得成功！ 高中数学 一、定义 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） 2．等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d = 11--n a a n ③ d =m n a a m n -- 定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项 看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+ 性质1：在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 二．例题讲解。 一.基本问题 例1：在等差数列{}n a 中 111111(1)(1)2()2, (1)(1)2()2, .m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明：

等差数列与等比数列练习和解析(高考真题)

1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2 －8n D ．S n ＝12 n 2 －2n 2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足，a n ＋1＋2a n ＝0，且a 2 ＝2，则{a n }前10项的和等于( ) A.1－2103 B ．－1－210 3 C ．210－1 D ．1－210 3．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠－1，且a 5＋a 4＝3(a 3 ＋a 2)，则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A ．－9 B ．9 C ．－81 D ．81 4．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 5．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零，S n 为其前n 项和，S 3＝9，且a 2－1，a 3－1，a 5－1构成等比数列，则S 5＝( ) A ．15 B ．－15 C ．30 D ．25 二、填空题 6．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________． 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，

数列常见解题方法

数列解题方法 一、基础知识： 数列： 1．数列、项的概念：按一定 次序 排列的一列数，叫做 数列 ，其中的每 一个数叫做数列的项 ． 2．数列的项的性质：① 有序性 ；② 确定性 ；③ 可重复性 ． 3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示 项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，（…），简记作 {a n } ．其中a n 是该数列的第n 项，列表法、 图象法、 符号法、 列举法、 解析法、 公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法． 4．数列的一般性质：①单调性 ；②周期性 ． 5．数列的分类： ①按项的数量分： 有穷数列 、 无穷数列 ； ②按相邻项的大小关系分：递增数列 、递减数列 、常数列、摆动数列 、其他； ③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他； ④按项的变化X 围分：有界数列、无界数列． 6．数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的函数 关系可以用一个公式a n =f （n ）（n ∈N +或其有限子集{1，2，3，…，n}） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 ．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是 散点图 ，点的横坐标是 项的序号值 ，纵坐标是 各项的值 ．不是所有的数列都有通项公式，数

列的通项公式在形式上未必唯一． 7．数列的递推公式：如果已知数列{a n }的第一项（或前几项），且任一项 a n 与它的前一项a n -1（或前几项a n-1，a n -2，…）间关系可以用一个公式a n =f （a 1n -）（n =2，3，…） （或a n =f （a 1n -,a 2n -）(n=3，4，5，…)，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列的 递推公式 ． 8．数列的求和公式：设S n 表示数列{a n }和前n 项和，即S n =1n i i a =∑=a 1+a 2+… +a n ，如果S n 与项数n 之间的函数关系可以用一个公式S n = f （n ）（n =1，2，3，…） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 求和公式 ． 9．通项公式与求和公式的关系： 通项公式a n 与求和公式S n 的关系可表示为：11(1) (n 2)n n n S n a S S -=?=?-≥? 等差数列与等比数列：

人教课标版高中数学必修5典型例题剖析：等差数列的通项与求和

等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示． 8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2 b a +叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：???≥-==-).2(),1(1 1n S S n S a n n n 若 a 1适合a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n .

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数列解题技巧归纳总结 基础知识： 1．数列、项的概念：按一定 次序 排列的一列数，叫做 数列 ，其中的每一个数叫做数列的项 ． 2．数列的项的性质：① 有序性 ；② 确定性 ；③ 可重复性 ． 3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形 式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，（…），简记作 {a n } ．其中a n 是该数列的第 n 项，列表法、 图象法、 符号法、 列举法、 解析法、 公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法． 4．数列的一般性质：①单调性 ；②周期性 ． 5．数列的分类： ①按项的数量分： 有穷数列 、 无穷数列 ； ②按相邻项的大小关系分：递增数列 、递减数列 、常数列、摆动数列 、其他； ③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他； ④按项的变化范围分：有界数列、无界数列． 6．数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的函数关系可以用一个公式a n =f （n ）（n ∈N + 或其有限子集{1，2，3，…，n}） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 ．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是 散点图 ，点的横坐标是 项的序号值 ，纵坐标是 各项的值 ．不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一． 7．数列的递推公式：如果已知数列{a n }的第一项（或前几项），且任一项a n 与它的前一项a n -1（或前几项a n-1， a n -2，…）间关系可以用一个公式 a n =f （a 1n -）（n =2，3，…） （或 a n =f （a 1n -,a 2n -）(n=3，4，5，…)，…） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 递推公式 ． 8．数列的求和公式：设S n 表示数列{a n }和前n 项和，即S n = 1 n i i a =∑=a 1 +a 2 +…+a n ，如果S n 与项数n 之间的函数 关系可以用一个公式 S n = f （n ）（n =1，2，3，…） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 求和公式 ． 9．通项公式与求和公式的关系： 通项公式a n 与求和公式S n 的关系可表示为：11(1) (n 2) n n n S n a S S -=?=? -≥? 等差数列与等比数列： 等差数列 等比数列 文字定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。 符号定义 1n n a a d +-= 1 (0)n n a q q a +=≠ 分类 递增数列：0d > 递减数列：0d < 递增数列：1101001a q a q >><<<，或，

小学奥数等差数列经典练习题

小学奥数等差数列经 典练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

小学奥数等差数列经典练习题 一、判断下面的数列中哪些是等差数列在等差数列的括号后面打√。0,2,6,12,20,30,36…… 6,12,18,24,30,36,42……700,693,686,679,673…… 90,79,68,57,46,35,24,13…… 1，3，5，7，10，13，16……5，8，11，14，17，20…… 1，5，9，13，17，21，23…90，80，70，60，50，……20，10 二、求等差数列3，8，13，18，……的第30项是多少 三、求等差数列8，14，20，26，……302的末项是第几项 四、一个剧院的剧场有２０排座位，第一排有３８个座位，往后每排比前一排多２个座位，这个剧院一共有多少个座位五、计算 11+12+13……+998+999+10002+6+3+12+4+18+5+24+6+30 3、求等差数列6，9，12，15，……中第99项是几 4、求等差数列46，52，58……172共有多少项 5、求等差数列245，238，231，224，……中，105是第几项 6、求等差数列0，4，8，12，……中，第31项是几在这个数列中，2000是第几项 7、从35开始往后面数18个奇数，最后一个奇数是多少、已知一个等差数列的第二项是8，第3项是13，这1个等差数列的第10项是多少 1、计算：100+200+300+……21001+79+……+17+15+13 2、有20个同学参加聚会，见面的时候如果每人都和其他同学握手一次，那么参加聚会的同学一共要握手多少次 3、请用被4

等差数列与等比数列

等差数列与等比数列 一.选择题 (1)在等差数列｛a n ｝中, a 7=9, a 13=-2, 则a 25= ( ) A -22 B -24 C 60 D 64 (2) 在等比数列｛a n ｝中, 存在正整数m, 有a m =3, a m+5=24, 则, a m+15= ( ) A 864 B 1176 C 1440 D 1536 (3)已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = ( ) A –4 B –6 C –8 D –10 (4)设数列{}n a 是等差数列，且n S a a ,6,682=-=是数列{}n a 的前n 项和，则 ( ) A S 4+><，则使前n 项和0n S >成 立的最大自然数n 是： （ ） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．4008 (7) 数列｛a n ｝的前n 项和S n =3n -c, 则c=1是数列｛a n ｝为等比数列的 ( ) A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 (8) 在等比数列｛a n ｝中, a 1<0, 若对正整数n 都有a n 1 B 0

等差数列典型例题及分析

第四章 数列 [例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.正解：（1）a n =3n －2; (2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n －1项的和. [例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12 ++=n n S n 求数列{}n a 的通项公式。 正解： ①当1=n 时，1 11==S a 当2≥n 时，3 4)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合，∴34-=n a n ②当1=n 时，3 11==S a 当2≥n 时，n n n n n a n 21)1()1(12 2=-----++= ∴ ?? ?=n a n 23 ) 2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。 正解：由题意：??? ????=?+=?+70 2293030102 9101011d a d a 得152,521= =d a 代入得S 40 ＝120402 39 40401=??+ d a 。 [例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25－5n ，求数列{}||n a 的前n 项和； 正解： ??? ????≥+--≤-6,502)5)(520(5,2 ) 545(n n n n n n [例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220， 由此可以确定求其前n 项和的公式吗？ [例7]已知：n n a -+=12lg 1024 （3010.02lg =）+∈N n （1） 问前多少项之和为

(完整版)高考等差等比数列知识点总结

高考数列知识点 等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式：* 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = + 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4） 数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数） 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列 7.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函 数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 (6)求n S 的最值 法一：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要 注意数列的特殊性 *n N ∈。 法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和 即当，，001<>d a 由?? ?≤≥+0 1n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值． （2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当，，001>

等比数列及数列中解题方法

英杰教育学科教师辅导教案 审查组长： 学员编号： 年 级：高 一 课 时 数：3课时 学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师： 授课主题 数列的概念与等差数列 教学目的 1、理解并掌握等比数列的通项公式，前n 项和公式． 2、会灵活运用等比中项,会用构造新数列法求通项公式， 3、掌握递推公式法、倒序相加法、列项相消法、错位相减求数列的前n 项和； 教学重点 构造新数列法；数列的前n 项和求法 授课日期及时段 教学内容 一、等比数列 1、高考考点 （1） 等比数列的概念（2）等比数列的通项公式与前n 项和的公式 考试要求 （1）掌握等比数列的通项公式与前n 项和的公式 （2）能在具体问题情境中识别数列的等比关系，并能有关知识解决问题； （3）了解等比数列与指数函数的关系. 2、知识梳理 等比数列 定义 1 n n a q a +=或212n n n a a a ++= 注意；0,0.n a q ≠≠ 通项公式 11n n m n m a a q a q --== 前n 项和公式 11,1,(1), 1.1n n na q S a q q q =?? =-?≠?-? 注意q 含字母讨论 简单性质 若* (,,,)m n s t m n s t N +=+∈, 则m n s t a a a a ?=?.

3、 等比数列重要结论 （1）定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即： 1 -n n a a =q （q ≠0）｛n a ｝成等比数列?n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） ①“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q ，q ≠0) ② 隐含：任一项00≠≠q a n 且 ③ q= 1时，{a n }为常数 例 下面四个数列：（1）1，1,2,4,8,16,32,64；（2）在数列{}n a 中，12a a =2,23a a =2；（3）常数列a,a,a,...； （4）在数列{}n a 中， 1 -n n a a =q ；其中是等比数列的有 （2）既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． （3）等比定理：q=12a a =23a a =34 a a =...=1-n n a a =1 321432......-+++++++n n a a a a a a a a （4）等比数列基本量的求法：1a 和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出。——m n m n m n m n a a q a a q --== ;；q=n n a a 1+ （5）等比数列与指数函数：11-?=n n q a a ，即n n q q a a ?=1,与指数函数x q y =类似，可借助指数函数的图像和性质来研究 4、 典型例题讲解 例1 等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列 （1）求{n a }的公比q ； （2）求1a －3a ＝3，求n s 解：（Ⅰ）依题意有 )(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++ 由于 01≠a ，故022=+q q