等差数列与等比数列的基本运算

等差数列与等比数列的基本运算

一、课题：等差数列与等比数列的基本运算

二、教学目标：掌握等差数列和等比数列的定义，通项公式和前n 项和的公式，并能利用这

些知识解决有关问题，培养学生的化归能力．

三、教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前n 项和的公式的应用．

四、教学设计：

（一）主要知识：

1．等差数列的概念及其通项公式，等差数列前n 项和公式；

2．等比数列的概念及其通项公式，等比数列前n 项和公式；

3．等差中项和等比中项的概念．

（二）主要方法：

1．涉及等差（比）数列的基本概念的问题，常用基本量1,()a d q 来处理；

2．使用等比数列前n 项和公式时，必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论； 3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为,,a d a a d ?+；若偶数个成等

差数列且和为定值时，可设中间两项为,a d a d ?+，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似．

4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求．

（三）例题分析：

例1．（1）设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项

为 2 ．

（2）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++=1316

． 例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数

的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数．

解：设这四个数为：2

(),,,a d a d a a d a +?+，则2()16212a d a d a a d ?+?+=???+=? 解得：48a d =??=?或96a d =??=??，所以所求的四个数为：4,4,12,36?；或15,9,3,1．

例3．由正数组成的等比数列{}n a ，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，

第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式． 解：当1q =时，得11211na na =不成立，∴1q ≠， ∴221122331111

(1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ???=?????+=??

① ②

由①得110q =，代入②得110a =， ∴21()10

n n a ?=． 说明：用等比数列前n 项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1．

例4．已知等差数列110,116,122,，

（1）在区间[450,600]上，该数列有多少项？并求它们的和；

（2）在区间[450,600]上，该数列有多少项能被5整除？并求它们的和.

解：1106(1)6104n a n n =+?=+，

（1）由4506104600n ≤+≤，得5882n ≤≤，又*n N ∈, ∴ 该数列在[450,600]上有25项, 其和58821()25131002

n S a a =+?=． （2）∵1106(1)n a n =+?，∴要使n a 能被5整除，只要1n ?能被5整除，即15n k ?=， ∴51n k =+，∴585182k ≤+≤，∴1216k ≤≤，∴在区间[450,600]上该数列中能

被5整除的项共有5项即第61,66,71,76,81项，其和61815()26502

a a S +==． （四）课堂小结：基本知识，解题方法，数学思想三层面进行

（五）课后作业：略

等差数列与等比数列的基本量运算

等差数列与等比数列运算 知识点： 一．等差数列 1．等差数列基本概念 ⑴等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列． 这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示． 即等差数列有递推公式：1(1)n n a a d n +-=≥． ⑵等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-． ⑶等差中项：如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即 2 x y A += ． ⑷等差数列的前n 项和公式：211()(1) 22 n n n a a n n S na d An Bn +-= =+=+． 1．等差数列通项公式的推导： 2132121n n n n a a d a a d a a d a a d ----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得： 1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-． 由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-． 2．等差数列前n 项和公式的推导： 1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++ ++-， 把项的顺序反过来，可将n S 写成： ()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-+ +--， 将这两式相加得： 11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++ ++=+， 从而得到等差数列的前n 项和公式1() 2 n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-， 得11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-= =+． 二．等比数列

2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练及参考答案

2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2?S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】D 【解析】解法一：由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2?S n =36得，(n ＋2)2?n 2=4n ＋4=36，所以n =8. 解法二：S n ＋2?S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ． 【易错点】对S n ＋2?S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________． 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即42 20q q --=，解得q 2=2， ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路： (1)设基本量a 1和公差d (公比q )． (2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．

等差数列基础测试题题库doc

一、等差数列选择题 1．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211, n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则 n a =（ ） A ．21n - B ．43n - C ．54n - D ．n 2．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ） A ．32 B ．33 C ．34 D ．35 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921 a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21 B ．20 C ．19 D ．19或20 4．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且 713n n S n T n -=，则5 5 a b =（ ） A ． 34 15 B ． 2310 C ． 317 D ． 62 27 5．已知等差数列{}n a 中，前n 项和2 15n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ） A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．9 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121 B ．161 C ．141 D ．151 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60 B ．120 C ．160 D ．240 8．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2 B ． 43 C ．4 D ．4- 9．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15 B ．20 C ．25 D ．30

等比数列基本量运算

2018年7月29日高中数学作业 1．已知等比数列满足，则（） A. 243 B. 128 C. 81 D. 64 2．已知数列是公比为正数的等比数列，若，，则数列的前7项和为（）A. 63 B. 64 C. 127 D. 128 3．正项等比数列中，，，则的值是 A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 4．已知等比数列的前项和为,若，则=（） A. 2 B. C. 4 D. 1 5．已知等比数列中，，，则 A. 4 B. －4 C. D. 16 6．在等比数列中，已知，，则（） A. B. C. D. 7．数列为等比数列，若，，则为（） A. -24 B. 12 C. 18 D. 24 8．已知等比数列中，,则=( ) A. 54 B. -81 C. -729 D. 729 9．已知等比数列的公比，其前项的和为，则（） A. 7 B. 3 C. D. 10．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则公比为（） A. B. C. D. 11．等比数列的前项和为，已知，则等于（） A. 81 B. 17 C. 24 D. 73 12．等比数列{a n}中a1＝3，a4＝24，则a3＋a4＋a5＝( )

A. 33 B. 72 C. 84 D. 189

13．数列 中， ， （ ），则 （ ） A. B. C. D. 14．等比数列中，，，的前项和为（ ） A. B. C. D. 15．等比数列中， ，则数列的公比为（ ） A. 2或-2 B. 4 C. 2 D. 16．已知 为等比数列， ， ，则（ ） A. 5 B. 7 C. -7 D. -5 17．等比数列 中， ，则 等于( ) A. 16 B. ±4 C. -4 D. 4 18．已知等比数列中，，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 19．在等比数列中， ， ，则公比等于（ ）． A. B. 或 C. D. 或 20．已知等比数列 满足 ，则的值为 A. 21 B. 32 C. 42 D. 170 21．已知数列{}n a 满足12n n a a +=， 142a a +=，则58a a +=（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 22．己知数列 为正项等比数列，且 ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 23．已知等比数列的前项和为，若成等差数列，则 的值为__________． 24．已知等比数列 的前项和为，若 ，则__________． 25．已知正项等比数列 的前项和为，.若 ，且．则=________．

数列基本量运算

等差、等比数列基本量的运算法宝 典例解析： 题型一 等差、等比数列的基本运算 例1 已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m . 题型二 等差、等比数列的性质及应用 例2 (1)已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( ) A ．25 B ．50 C ．100 D ．不存在 (2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 013，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10 10＝2，则S 2 013的值为( ) A ．－2 011 B ．－2 012 C ．－2 010 D ．－2 013 题型三 等差、等比数列的综合应用 例3 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件2S n ＝3(a n －1)，其中n ∈N *. (1)证明：数列{a n }为等比数列； (2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和．

跟踪训练 1．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( ) A ．－110 B ．－90C ．90 D ．110 2．(2014·课标全国Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C.n (n ＋1)2 D.n (n －1)2 3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( ) A ．－2或1 B ．－1或2 C ．－2 D ．1 4．(2014·大纲全国)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 5．(2014·大纲全国)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n 为整数 的正整数n 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．(2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1 3，则{a n }的通项公式是a n ＝________. 8．(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 9．(2014·安徽)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________. 10．在数列{a n }中，如果对任意n ∈N *都有a n ＋2－a n ＋1 a n ＋1－a n ＝k (k 为常数)，则称数列{a n }为等差比 数列，k 称为公差比．现给出下列问题： ①等差比数列的公差比一定不为零； ②等差数列一定是等差比数列； ③若a n ＝－3n ＋2，则数列{a n }是等差比数列； ④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比． 其中正确命题的序号为________． 11．(2014·课标全国Ⅰ)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{a n 2 n }的前n 项和．

数列常见数列公式(很全)

常见数列公式 等差数列 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示） 2．等差数列的通项公式： 或=pn+q (p、q是常 数)) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=－② d=③ d= 4．等差中项：成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q (m, n, p, q ∈N ) 等差数列前n项和公式 6.等差数列的前项和公式 （1）（2）（3），当d≠0，是一个常数项为零的二次式 8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1）利用：当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n 的值 当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n 的值 （2）利用：由二次函数配方法求得最值时n的值 等比数列 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字 母q表示（q≠0），即：=q（q≠0） 2.等比数列的通项公 式:，

3．｛｝成等比数列=q（,q≠0）“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 5．等比中项：G为a与b的等比中项. 即G=±（a,b同号）. 6．性质：若m+n=p+q， 7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 8．等比数列的增减性： 当q>1, >0或01, <0,或00时, {}是递减数列; 当q=1时, {}是常数列; 当q<0时, {}是摆动数列; 等比数列前n项和 等比数列的前n项和公式： ∴当时，①或② 当q=1时， 当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②. 数列通项公式的求法 一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目． 例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式. 解：设数列公差为 ∵成等比数列，∴， 即 ∵，∴………………………………① ∵∴…………② 由①②得：，

一轮等差数列基本量练习题

等差数列基本量计算练习 1．如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= A ．26 B ．27 C ．28 D ．29 2．已知等差数列{}n a 中，15123456a a a a a a a +=++++=，则（ ） A ．106 B ．56 C ．30 D ．15 3．设等差数列{}n a 的前项和为n S ，已知10100S =，则29a a +=（ ）． A ．100 B ．40 C ．20 D ．12 4．设等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若58215a a a -=+，则9S 等于（ ） A 、60 B 、45 C 、36 D 、18 5．若等差数列}{n a 的前3项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于 A ．1 B ．53 C ．2 D ．3 7．在等差数列{}n a 中，若4681012240a a a a a ++++=，则91113a a - 的值为（ ） A ．30 B ．31 C ．32 D ．33 8．已知等差数列{}n a 中，70,10161514134321=+++=+++a a a a a a a a ，则数列前16项的和等于（ ） A ．140 B ．160 C ．180 D ．200 9．在等差数列{}n a 中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 10．已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =- ， 则它的公差为 （ ） A ．2 B ．3 C ．2- D ．3- 11．已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ） A ．21 B ．20 C ．19 D ．18 12．已知等差数列的前n 项和为n S ，若,0,01213>

数列项与和的关系、等比等差数列定义、基本量运算

数列项与和的关系、等比等差数列定义、基本量运算 一．解答题（共40小题） 1．已知数列{a n}的前n项和为S n，且， （1）求数列{a n}的通项公式； （2）令，求数列{b n}的前n项和． 2．已知数列{a n}前n项和， （1）求数列{a n}的通项公式 （2）求数列{|a n|}的前20项和T20； 3．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+n﹣1． （1）求数列{a n}的通项公式； （2）若b n＝a n?2n，求数列{b n}的前n项和T n． 4．若数列{a n}的前n项和S n，且S n＝n2+n，等比数列{b n}的前n项和T n，且T n＝2n+m （1）求{a n}和{b n}的通项公式 （2）求数列{a n?b n}的前n项和Q n 5．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，点（a n，S n）都在函数f（x）＝2x﹣2的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式； （2）若数列b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n； 6．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2＝4，2S n＝（n+1）a n（n∈N*）． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n． 7．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足． （1）求a1，a2，a3的值； （2）证明{a n+2}是等比数列，并求a n； 8．已如各项均为正数的数列{a n}的前项和为S n，且a1＝1，a n＝，（n∈N*，且n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式； （2）证明：当n≥2时，． 9．已知数列{a n}的前n项和为S n，且． （1）求数列{a n}的通项公式；

等差数列与等比数列的基本运算

一．课题：等差数列与等比数列的基本运算 二．教学目标：掌握等差数列和等比数列的定义，通项公式和前n 项和的公式，并能利用这些知识 解决有关问题，培养学生的化归能力． 三．教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前n 项和的公式的应用． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．等差数列的概念及其通项公式，等差数列前n 项和公式； 2．等比数列的概念及其通项公式，等比数列前n 项和公式； 3．等差中项和等比中项的概念． （二）主要方法： 1．涉及等差（比）数列的基本概念的问题，常用基本量1,()a d q 来处理； 2．使用等比数列前n 项和公式时，必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论； 3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为,,a d a a d -+；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为,a d a d -+，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似． 4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求． （三）例题分析： 例1．（1）设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ． （2）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++=1316 ． 例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数． 解：设这四个数为：2 (),,,a d a d a a d a +-+，则2 ()16212a d a d a a d ?+-+=???+=? 解得：48a d =??=?或96a d =??=-?，所以所求的四个数为：4,4,12,36-；或15,9,3,1． 例3．由正数组成的等比数列{}n a ，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式． 解：当1q =时，得11211na na =不成立，∴1q ≠， ∴221122331111 (1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ?--=?--??+=?? 由①得110 q =，代入②得110a =， ∴21()10 n n a -=． 说明：用等比数列前n 项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1． 例4．已知等差数列110,116,122,， ① ②

等差等比数列基本量刘秋杏含详解

数列—等差等比数列基本量运算 1．【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则 10S =___________. 【答案】100 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得 317 125,613a a d a a d =+=?? =+=?得11 ,2a d =??=? 101109109 101012100.22 S a d ??∴=+ =?+?= 【名师点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键. 2．【2019年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?，

解得11,2 a q =?? =?，2 314a a q ∴==，故选C ． 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若133 14 a S == ，，则S 4=___________． 【答案】5 8 【解析】设等比数列的公比为q ，由已知22 3111314S a a q a q q q =++=++= ，即2 104 q q ++=. 解得1 2 q =-， 所以4 41411() (1)521181()2 a q S q -- -= ==---． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误． 一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算3 343431315 ()428 S S a S a q =+=+= +-=，避免繁分式计算． 4．【2019年高考江苏卷】已知数列* {}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==， 则8S 的值是__________． 【答案】16 【解析】由题意可得：()()()25811191470 98 9272a a a a d a d a d S a d ?+=++++=? ??=+=?? ， 解得：152 a d =-?? =?，则8187 840282162S a d ?=+=-+?=. 5．【2017年高考江苏卷】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知36763 44 S S ==,，则 8a =___________． 【答案】32 【解析】当1q =时，显然不符合题意；

数列基本量计算

等差等比的基本计算练习 1.若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = . 2.已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和， 若125,,a a a 成等比数列，则8S = . 3.已知{}n a 为等比数列，6,3876321=++=++a a a a a a ，则131211a a a ++______=. 4.在等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20S 的值为______ 5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比不为1，若11a =，且对任意的* n ∈N ，都有2120n n n a a a +++-=， 则5S = . 6.各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ?=，则3132310log log log a a a +++= 7.已知等比数列}{n a 为递增数列，且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=，则数列}{n a 的通项公式n a = . 设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为_____ 8.设数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，111==b a ，342b a a =+，342a b b =，分别求出数列{}n a 和{}n b 的前10项和10S 及10T 9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 满足30S =，55S =-. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21231n n a a --??? ??? 的前n 项和.

等差数列基本量及等差中项的计算

等差数列基本量及等差中项的计算 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知等差数列{}n a 满足3456790a a a a a ++++=，则28a a +等于（ ） A ．18 B ．30 C ．36 D ．45 2．在等差数列{}n a 中，143,24a a ==，则7a = A ．32 B ．45 C ．64 D ．96 3．在等差数列{}n a 中，若3712a a +=，则5a =（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 4．在等差数列{}n a 中，若3691215120a a a a a ++++=，则12183a a -的值为（ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．60 5．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则8910a a a ++=（ ） A ．72 B ．60 C ．48 D ．36 6．等差数列{}n a 中，若243,7a a ==，则6a =( ) A ．11 B ．7 C ．3 D ．2 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4=52，S 10=15，则a 7=（ ） A ．12 B ．1 C ．32 D ．2 8．已知等差数列{a n }中，若a 4=15，则它的前7项和为（ ） A ．120 B ．115 C ．110 D ．105 9．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，且S 10=4，则a 3+a 8=（ ） A ．2 B ．35 C ．45 D ．25 10．已知数列{a n }是等差数列，a 4+a 7+a 10=15，则其前13项的和是 A ．45 B ．65 C ．91 D ．195 11．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2834a a +=，438S =，则1a =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1+a 3=6，S 4=16，则a 4= A ．6 B ．7 C ．8 D ．9

全国高考数学数列真题汇总

2016-2018年高考数学全国各地 数列真题汇编 1．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a （ ） A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 答案：B 解答： 111111324 3 3(3)24996732022 a d a d a d a d a d a d ??+ ?=+++??+=+?+=6203d d ?+=?=-，∴51424(3)10a a d =+=+?-=-. 2.（2018北京理）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 【答案】63n a n =- 【解析】13a =Q ，33436d d ∴+++=，6d ∴=，()36163n a n n ∴=+-=-． 3．（2017全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，61165 6615482 S a d a d ?=+ =+=，联立11 2724 ,61548a d a d +=?? +=?解得4d =，故选C. 秒杀解析：因为166346() 3()482 a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=， 即5328a a d -==，解得4d =，故选C. 4.（2017全国新课标Ⅱ理）我国古代数学名着《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】B 5.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6 项的和为（ ）

数列基础练习题

博文教育专用试题 数列基础练习 1．已知等差数列 的公差为 ，若 成等比数列，则 的值为（ ） A. B. C. D. 2．已知等差数列 中，若 ，则它的前 项和为（ ） A. B. C. D. 3．已知等差数列 的前 项和为 ．若 ， ，则 A. 35 B. 42 C. 49 D. 63 4．设等差数列 的前 项和为 .若 ， ，则 A. B. C. D. 5．在等差数列 中，已知 ，则 （ ） A. 38 B. 39 C. 41 D. 42 6．数列{}n a 为等比数列，且21a =，公比2q =，则4a =（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 7．在正项等比数列{}n a 中，若1a ， 31 2 a ， 22a 成等差数列，则53a a =（ ） A. 1+ B. 1 C. 3+ D. 3-8．在等比数列{}n a 中， 22a =， 516a =，则6a =（ ） A. 14 B. 28 C. 32 D. 64 9．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ， 22a ， 3a 成等差数列，若11a =，则4s =（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 10．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ） A. 64 B. 81 C. 128 D. 243 11．若数列 的前n 项和 ,则 A. 120 B. 39 C. D. 12．已知等比数列{}n a ，且684a a +=，则()84682a a a a ++的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 13．已知数列{}n a 满足11 2 n n a a += ，若48a =，则1a 等于 A. 1 B. 2 C. 64 D. 128 14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若35724a a a ++=，则9S =（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 72 15．已知等比数列{}n a 满足132410,5a a a a +=+=，则5a = A. 1 B. 12 C. 1 4 D. 4 16．在等差数列{}n a 中， 315,a a 是方程2 6100x x -+=的根，则17S 的值是 （ ） A. 41 B. 51 C. 61 D. 68 17．在各项为正数的等比数列{}n a 中， 29S =， 321S =，则56a a +=（ ） A. 144 B. 121 C. 169 D. 148 18．若公差为2的等差数列{}n a 的前9项和为81，则9a =（ ）

数列基础之两大基本数列

数列基础之两大基本数列 概念： 若一个数列{}n a ，从第二项起，后一项减去前一项都等于同一个常数d ，则称数{}n a 为等差数列，其中d 称为公差。 递推公式：1n n a a d +-=或者()12n n a a d n --=≥ 通项公式：()11n a a n d =+- 典型例题【1】：已知数列{}n a 是首项为1，公差为2等差数列，求{}n a 的通项公式与前n 项和 变式训练【1】：若等差数列{}n a 中，13a =，412a =，求{}n a 的通项公式 已知数列{}n a 中，()11 22 n n a a n -=+ ≥,则数列{}n a 的前9项和等于 等差数列通项公式的推广：()n m a a n m d =+-，由此可得n m a a d n m -=- 典型例题【1】：若等差数列{}n a 是递增数列，且24,a a 是方程2560x x -+=的两根，求 {}n a 的通项公式 变式训练【1】：若等差数列{}n a 满足：37a =，526a a =+，则6a = 等差数列的恒等性质： 若m n p q +=+，其中* ,,,m n p q N ∈，则n m p q a a a a +=+ 典型例题【1】：在等差数列{}n a 中，若12a =，3510a a +=则7a =（ ） .A 5 .B 8 .C 10 .D 14 变式训练【1】：在等差数列中，，则的值为（ ） .A 5 .B 6 .C 8 .D 10 变式训练【2】：在等差数列{}n a 中，若147105a a a ++=，25899a a a ++=则20a = 变式训练【3】：在等差数列{}n a 中，若34512a a a ++=，则 1234567a a a a a a a ++++++=（ ） .A 14 .B 21 .C 28 .D 35 变式训练【4】：在等差数列{}n a 中，若3456712a a a a a ++++=，则28a a += {}n a 1910a a +=5a

等差数列基础练习题

一、等差数列选择题 1．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237 n n S n T n =+，则6 3a b 的值为 （ ） A ． 5 11 B ．38 C ．1 D ．2 2．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 4．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤 B ．6斤 C ．9斤 D ．12斤 5．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（ ） A ．11 B ．10 C ．6 D ．3 6．已知等差数列{}n a 中，前n 项和2 15n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ） A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．9 7．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则12 15 a b =（ ） A ． 3 2 B ． 7059 C ． 7159 D ．85 8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60 B ．120 C ．160 D ．240 9．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80 10．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ． 47 B ． 1629 C ． 815 D ． 45 11．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（ ）

2020版 高考高频考点对点练12 数列的基本运算

高考高频考点对点练 12 数列的基本运算 1．(2018·江南十校联考)已知数列{a n }是等差数列，a 3＋a 13＝20，a 2＝－2，则a 15＝( ) A ．20 B ．24 C ．28 D ．34 B [∵a 3＋a 13＝2a 8＝20，∴a 8＝10，又a 2＝－2，∴d ＝2，得a 15＝a 2＋13d ＝24.故选B.] 2．(2019·辽宁五校联考)已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( ) A ．10 B ．20 C ．100 D ．200 C [a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝10 2＝100.] 3．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝16，则S 10等于( ) A ．18 B ．24 C ．30 D ．60 C [设等差数列{a n }的公差为d ≠0.由题意， 得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，即2a 1＋3d ＝0.① ∵S 8＝16，∴8a 1＋8×72×d ＝16, ② 联立①②解得 a 1＝－32， d ＝1.则S 10＝10×? ?? ??－32＋10×92×1＝30.] 4．今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织的布的尺数为(不作近似计算)( ) A.12 B.815 C.1629 D.1631 C [由题意可知，该女每天的织布量成等差数列，首项是5，公差为d ，前30项和为390.根据等差数列前n 项和公式，有390＝30×5＋ 30×292d ，解得d ＝

数列的极限及运算法则

数列的极限及其运算法则 学习要求： 1．理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想 2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限 4. 掌握无穷等比数列各项的和公式. 学习材料： 一、基本知识 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向 于无穷大时，n a 的极限等于a ” “n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞ =有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项n a 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项 n a 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大n a 越来越接近于a ；另一方面，n a 不是一般地趋近 于a ，而是“无限”地趋近于a ，即n a a -随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）lim 0n n a →∞ = (a 为常数1a <)，当1a =时，lim 1n n a →∞ =；当1a =-或1a >时，lim n n a →∞ 不存在。 3. 数列极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 特别：若C 为常数，则lim()lim n n n n C a c a CA →∞ →∞ ==g g 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情，若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限，则 n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim

2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练(十三)数列中的基本量计算

课时达标训练(十三) 数列中的基本量计算 A 组 1．(2018·南京三模)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N * ，且a 1＝1，S 6＝3S 3，则a 7的值为________． 解析：由S 6＝(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1q 3 ＋a 2q 3 ＋a 3q 3 ＝(a 1＋a 2＋a 3)(1＋q 3 )＝(1＋q 3 )S 3＝3S 3，得(1＋q 3 )S 3＝3S 3.因为S 3＝a 1(1＋q ＋q 2 )≠0，所以q 3＝2，得a 7＝4. 答案：4 2．(2019·苏北三市一模)在等差数列{a n }中，若a 5＝1 2，8a 6＋2a 4＝a 2，则{a n }的前6项和S 6的值为 ________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 5＝12 ，8a 6＋2a 4＝a 2，得?????a 5＝a 1＋4d ＝12，8（a 1＋5d ）＋2（a 1＋3d ）＝a 1＋d ， 解得? ????a 1＝52， d ＝－1 2 ， 所以S 6＝6a 1＋6×（6－1）2d ＝15 2. 答案：152 3．(2018·苏中三市、苏北四市三调)已知{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．若a 3＝2，S 12＝4S 6，则a 9的值为________． 解析：由S 12＝4S 6，当q ＝1，显然不成立，所以q ≠1，则a 1（1－q 12）1－q ＝4a 1（1－q 6）1－q ，因为a 1 1－q ≠0， 所以1－q 12 ＝4(1－q 6 )，即(1－q 6 )(q 6 －3)＝0，所以q 6 ＝3或q ＝－1，所以a 9＝a 3q 6 ＝6或2. 答案：2或6 4．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2 b 2 ＝________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 则a 4＝－1＋3d ＝8，解得d ＝3； b 4＝－1·q 3＝8，解得q ＝－2. 所以a 2＝－1＋3＝2， b 2＝－1×(－2)＝2， 所以a 2b 2 ＝1. 答案：1