固体物理第四章总结1
第四章总结成员及分工
1：一维晶格以及三维晶格的振动
2：晶格热容的量子理论
3：简谐近似和简谐坐标
4：晶格的状态方程和热膨胀
5：离子晶体的长波近似
4－1 一维晶格以及三维晶格的振动一、知识脉络
二、重点
1.格波的概念和“格波”解的物理意义
(1)定义：晶格原子在平衡位置附近作振动时，将以前进波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。
(2)物理意义：一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动，不同原子之间有位相差。相邻原子之间的位相差为aq 。
(3) q 的取值范围：－(π/a) 这个范围以外的值，不能提供其它不同的波。q 的取值及范围常称为布里渊区（Brillouin zones ）。 (4) Born-Von Karman 边界条件: 1)(=-Naq i e h Na q ⨯= π2 2.一维单原子链的色散关系 22241[1cos ]sin ()2aq aq m m ββω= -= 把 ω 与q 之间的关系称为色散关系(disperse relation)，也称为振动频谱或振动谱。 3.一维单原子链的运动方程 相邻原子之间的相互作用 βδδ-≈-=d dv F a d v d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22δβ 第n 个原子的运动方程 11() (2) n n n n i t naq nq m Ae ωμβμμμμ∙∙ +--=+-= 4.一维双原子链中两种原子的运动方程及其解 （1）运动方程( equation) )2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++∙ ∙ )2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++∙ ∙ （2）方程的解(solution) ])2([2q na t i n Ae -=ωμ ])12([12aq n t i n Be +-+=ωμ 5.声学波与光学波的概念与物理意义 （1）声学波与光学波的定义 }]sin )(41[1{2 /122 2aq M m mM mM M m +-++=+β ω }]sin ) (41[1{2/122 2aq M m mM mM M m +--+=-β ω ω＋对应的格波称为光学波（optic wave ）或光学支（optic branch) ；ω－对应的格 波称为声学波(acoustic wave)或声学支（acoustic branch ） （2）两种格波的振幅比 aq m A B cos 222 ββω-- =⎪⎭⎫ ⎝⎛++ aq m A B cos 222 ββω-- =⎪⎭⎫ ⎝⎛-- （3）ω＋ 与ω－ 都是q 的周期函数 )()(q a q --=+ωπ ω )()(q a q ++=+ωπ ω 其中a q a 22π π ≤ 〈- 6.对色散关系的讨论 （1）一维单原子链与一维双原子链的格波解的差异 一维单原子链只有一支格波（一个波矢对应一个格波）— 声学波；而一维双原子链则有两支格波（一个波矢对应两个格波）— 声学波和光学波，两支格波的频率各有一定的范围： 0)0()(min ==--ωω M a βπ ωω2)2( )(max = =-- m a βπ ωω2)2( )(min = =++ mM M m ) (2)0()(max +==++βωω 在ω-max 与ω+min 之间有一频率间隙，说明这种频率的格波不能被激发。 （2）声学波的物理本质 声学格波反映的是原胞的整体振动，或者说是原胞质心的振动。 （3）光学波是复式格子特有的 光学格波是两种原子保持质心不动的情况下作刚性的相对振动 （4）q 的取值 12=Na iq e π22Na h q = 7. 在三维晶格中，对于一定的波矢q ，有3个声学波，（3n －3）个光学波。 8. 三维晶格中“q 空间”以及q 在其中的分布密度 （1）q 空间 “q 空间”亦称为波矢空间(wave vector space)。 （2）q 在波矢空间的密度 分布密度 ＝V ／（2π）3 （3）波矢数和格波数 晶格振动的波矢数＝晶体原胞数 晶格振动频率的数目＝晶格的自由度数 9.三维晶格振动谱的物理意义 （1）对于原胞只含有一个原子的晶格，与一维单原子链类似，只有声学支。不同之处在于一维单原子链的一个原子只有一个自由度，相应于一个声学支,现在除了纵波外，还可有两个原子振动方向与波传播方向垂直的横声学波存在。 （2）对于原胞包含两个以上原子的复式晶格，类似于双原子链，除声学支外还有光学支，在q ＝0 处有非零的振动频率ω。 三、难点 1． 一维单原子链中原子的运动方程及其解 2． 一维单原子链的色散关系 3． 一维双原子链中两种原子的运动方程及其解 4． 一维双原子链的色散关系 5． 三维晶格中“q 空间”以及q 在其中的分布密度 四、基本要求 1． 掌握一维单原子链振动的格波解及色散关系的求解过程，以及格波解的物理意 义。 2． 掌握一维双原子链振动的色散关系的求解过程，清楚声学波与光学波的定义以及 他们的物理意义 3． 了解三维晶格的振动 4． 掌握q 空间意义及相关性质 五．思考题 从一维双原子链色散关系出发，推导一维单原子链色散关系： 当M ＝m 时，变为单原子链 在考虑到双原子链，原子位置的周期性排列之后得: 4-2 简正坐标 主要内容：一、简谐近似的定义 二、简正坐标的引入与振动模的定义 三、晶格振动和声子 重点：简谐近似和简正坐标 难点：关于声子的本质的理解 一、简谐近似的定义 将N 个原子体系的势能函数在平衡位置附近展开成泰勒级数,忽略二阶以上的高阶 项，则得到 j i j i N j i V V μμμμ0231,)(21∂∂∂=∑ = 体系的势能函数只保留至μi 的二次方程，称为简谐近似（harmonic approximation ）。要考虑到高阶作用的则称为非谐作用（an-harmonic interaction ）。 注：晶格振动是一个小振动问题。对于此类问题常采用简谐近似。上式假设平衡位置V0=0. 1 222 2411sin ()m M mM aq mM m M ωβ⎧⎫⎡⎤+⎪⎪=±-⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎪⎪ ⎩⎭ 1222222 2411sin (2)M M aq M M ωβ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=±-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪ ⎩⎭ 1222211sin aq M ωβ⎧⎫⎡⎤=±-⎨⎬⎣⎦⎩⎭ {}221cos aq M βω=±{}221cos aq M β ω= - 二、简正坐标的引入与振动模的定义 为了使问题简化，引入简正坐标 Q1，Q2,…，Q3N ，它与位移坐标μi 之间通过如下 的正交变换形式相联系 j ij N j i i Q a m ∑== 31 μ 一般地说，一个简正振动并不是表示某一个原子的振动，而是表示整个晶体所有原子都参与的振动，而且它们的振动频率都相同。由简正坐标所代表的，体系中所有原子一起参与的共同振动，常称为一个振动模或简正模（normal mode ）。 对一个体系来说，只要能找到简正坐标，或是说振动模，则体系的能量以及波函数就可以求解出来了。 对应关系 系统的势能函数 系统的动能函数 系统的哈密顿量 j i j i N j i V V μμμμ0231,)(21∂∂∂=∑ = 三、晶格振动和声子 晶格振动等价于3N 个独立谐振子的振动,因此,晶格振动是这些谐振子能量的总和 i i N i n E ω )21(31 += ∑ =这说明,晶格振动的能量是量子化的,能量的是以ω 为单元变化的. 将晶格振动的能量量子称为为声子(phonon )。声子不是真实的粒子，称为“准粒子” (quasi-particle )，它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元。虽然声子是假想的粒子,但理论和实验都已证明,其他粒子与晶格相互作用时,恰似它们与能量为ω ,动量为q 的 粒子作用一样,称q 为声子的准动量.但声子不携带真实的动量. （1）声子不携带真实的动量。 （2）声子的等价性。 （3）决定晶格振动能高低的因素:晶体温度的高低是晶格振动能高低的反映。 （4）温度一定时的平均声子数 23121i i N i m T ∙=∑=μ H=V+T 231 21i N i Q T ∙=∑=2 231 2 1 i i N i Q V ω∑ == ) (212 2231 i i i N i Q p H ω+=∑=（9 在高温时,平均声子数与温度成正比,与频率成反比.温度一定时,频率低 的格波的声子数比频率高的格波的声子数要多. ［声子－声子的相互作用］ （1）非谐作用使晶格振动达到热平衡 非谐作用是晶格振动达到热平衡的最主要的原因。 （2）N 过程和U 过程 4－5 离子晶体的长波近似 主要内容： 一、长光学波的宏观运动方程 二、长光学波的横波频率ωTO 与纵波频率ωLO （LST 关系） 三、离子晶体的光学性质 四、极化激元的概念 重点： 一 、长光学波的宏观运动方程及系数的推导 二 、LST 关系及两个结论 一、长光学波的宏观运动方程 离子晶体在做长光学波振动时，由于原胞内正负离子作相对运动，因而产生宏观极化（出现宏观电偶极矩），从而可以和电磁波发生强烈相互作用。所以长光学波与离子晶体的电学、光学性质密切相关。 对于长声学波：可以看作连续介质弹性波，它满足在弹性理论基础上建立的宏观运动方程，因此由宏观弹性介质理论即可得到长声学格波解。 对于长光学波：也可以在宏观理论的基础上进行近似处理，这就是我国著名的物理学家黄昆于1951年提出的方法。 黄昆建立了一对方程，称为黄昆方程：1112W b W b E ∙∙=+ （1） 2122P b W b E =+ （2） 这里 P 是宏观极化强度，E 是宏观电场强度。其中，方程（1）是决定离 321q q q ω ωω =+n G q q q +=+321 子相对振动的动力学方程，称为振动方程。方程（2）表示除去正负离子相对位移产生极化，还要考虑宏观电场存在时的附加极化，称为极化方程。 可证明b12＝b21。 系数的确定分为两种情况: 1，静电场情况下，晶体的介电极化 令（1）式中的0W ∙∙= 得 代入方程（2）中得 （3） 因为 （4） 其中ε0为真空中的介电常数，ε（0）为静电介电常数 对比（3）式和（4）式知： （5） 2，高频电场情况下的介电极化 由W ＝0 带入（3）可得22P b E = （6） 又因为 可得 由上面可知 且对于长光学振动，有 2 11ω=-b ω0是横光学波的频率，可以从晶体的红外吸收谱测量中得到. 由上面的讨论，我们得到 二、长光学波的横波频率ωTO 与纵波频率ωLO （LST 关系） 1，横波和纵波满足的方程 1211 b W E b =- 21212222211 ()b P b W b E b E b =+=- 0[(0)1]P E εε=- 00(0)D E P E εεε=+= 11 212220]1)0([b b b -=-εε0[()1]P E εε=∞- 220]1)([b =-∞εε11 2 12 0)]()0([b b -=∞-εεε2 011ω-=b 022]1)([εε-∞=b 0 2 /102/12112)]()0([ωεεε∞-==b b 横波满足的方程： 2 11 2 T T d W b W dt = 纵波满足的方程： 22 12 11 2 022 L L d W b b W dt b ε ⎛⎫ =- ⎪ + ⎝⎭ 2、横波与纵波的频率比（LST关系） 横波与纵波的频率比 2/1 ) ( )0( ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∞ = ε ε ω ω TO LO 这被称作为LST（Lyddano-Sachs-Teller）关 系。 由LST关系，有以下结论： （1）由于静电介电常数ε（0）一般总是大于高频介电常数ε（∞），所以，长光学纵波的频率ωLO总是大于长光学横波的频率ωTO。 这是因为在离子性晶体中长光学波产生极化电场，增加了纵波的恢复力，从而提高了纵波的频率。极化电场的大小与正负离子的有效电荷有关。一般地，有效电荷越大，两者的差值越大。而对非离子性晶体，横波与纵波频率相同。 （2）当ωTO→0时，ε（0）→∞，这意味着晶体内部出现自极化。把ωTO趋于零的振动模式称为光学软膜。 三、离子晶体的光学性质 正负离子间的相对振动产生一定的电偶极矩，从而可以和电磁波相互作用，引起远红外区的强烈吸收。也就是说，当长光学波和与它频率相同的电磁波相互作用时，可以发生共振吸收。在ω＝ω0处有一个吸收峰，宽度为ωr。这意味着横波的光波激励了横光学波的格波。 这实际上就是前面介绍的长光学波在离子晶体中的重要性。也正是由于长光学波的这种特点，一维双原子链色散关系的ω ＋ 一支才被称为光学波。 四、极化激元的概念 考虑晶格的长光学振动和电磁场相耦合的系统，将电磁方程和晶格的唯象方程结合，求解得到的振动模实际上就代表了格波和光波的耦合振动模。 不仅格波有这样的耦合模式，等离子振荡、激子、自旋波等也都有类似的现象，统称为极化激元。 固体物理总结 绪论 1研究对象及内容 研究固体的结构及其组成粒子间相互作用与运动规律以阐明固态物质性能和用途的学科。 2 固体物理学发展的里程碑 十八世纪： 阿羽依（R. J. Ha üy 法）--坚实、相同、平行六面体的“基石”有规则重复堆积. 十九世纪： 布喇菲(A.Bravais 法)--空间点阵学晶体周期性. 二十世纪初： X-射线衍射 揭示晶体内部结构 量子理论 描述晶体内部微观粒子运动过程 近几十年： 固体物理学→凝聚态物理：无序、尺度、维度、关联；晶体→凝聚态物质 第一部分 晶体结构 1 布喇菲点阵和初基矢量 晶体结构的特点在于原子排列的周期性质。布喇菲点阵是平移操作112233R n a n a n a =++所联系的诸点的列阵。布喇菲点阵是晶体结构周期性的 数学抽象。点阵矢量112233R n a n a n a =++，其中，1n ，2n 和3n 均为整数，1a ，2a 和3a 是不在同一平面内的三个矢量，叫做布喇菲点阵的初基矢量，简 称基矢。初基矢量所构成的平行六面体是布喇菲点阵的最小重复单元。 布喇菲点阵是一个无限的分立点的列阵，无论从这个列阵中的哪个点去观察，周围点的分布和排列方位都是完全相同的。 对一个给定的布喇菲点阵，初级矢量可以有多种取法。 2 初基晶胞(原胞) 初基晶胞是布喇菲点阵的最小重复单元。初基晶胞必定正好包含布喇菲点阵的一个阵点。 对于一个给定的布喇菲点阵，初基晶胞的选取方式可以不只一种，但不论初基晶胞的形状如何，初基晶胞的体积是唯一的，()123c V a a a =⋅⨯。 3 惯用晶胞(单胞) 惯用晶胞是为了反映点阵的对称性而选用的晶胞。惯用晶胞可以是初基的或非初基的。惯用晶胞的体积是初基晶胞体积的整数倍，c V nV =。其中，n 是惯用晶胞所包含的阵点数。 确定惯用晶胞几何尺寸的数字叫做点阵常数。 4 维格纳-赛兹晶胞(W-S 晶胞) 维格纳-赛兹晶胞是另一种能够反映晶体宏观对称性的晶胞，它是某一阵点与相邻阵点连线的中垂面(或中垂线)所围成的最小体积。维格纳-赛兹晶胞是初基晶胞。 5 晶体结构 理想的晶体结构是由相同的物理单元放置在布喇菲点阵的阵点上构成的。这些物理单元称为基元，它可以是原子、分子或分子团(有时也可以指一组抽象的几何点)。将基元平移布喇菲点阵的所有点阵矢量，就得到晶体结构，或等价地表示为 基元十点阵＝晶体结构 当选用非初基的惯用晶胞时,一个布喇菲点阵可以用带有基元的点阵去描写。 第二部分 倒易点阵和晶体衍射 1．倒易点阵和倒易点阵初基矢量 和一种晶体结构相联系的点阵有两种：晶体点阵和倒易点阵．前者是真实空间中的点阵，具有[长度]的量纲．后者是在与真实空间相联系的傅里叶空间中的点阵，具有[长度]-1量纲． 一个具有晶体点阵周期的周期函数n (r )＝n (r+R )展成傅氏级数后，其傅氏级数中的波矢在傅里叶空间中表现为一系列规则排列的点，这些点排列的规律性只决定于函数n (r )的周期性而与函数的具体形式无关．我们把在傅里叶空间中规则排列着的点的列阵称为倒易点阵．倒易点阵是 第四章总结成员及分工 1：一维晶格以及三维晶格的振动 2：晶格热容的量子理论 3：简谐近似和简谐坐标 4：晶格的状态方程和热膨胀 5：离子晶体的长波近似 4－1 一维晶格以及三维晶格的振动一、知识脉络 二、重点 1.格波的概念和“格波”解的物理意义 (1)定义：晶格原子在平衡位置附近作振动时，将以前进波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。 (2)物理意义：一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动，不同原子之间有位相差。相邻原子之间的位相差为aq 。 (3) q 的取值范围：－(π/a) 2.一维单原子链的色散关系 22241[1cos ]sin ()2aq aq m m ββω= -= 把 ω 与q 之间的关系称为色散关系(disperse relation)，也称为振动频谱或振动谱。 3.一维单原子链的运动方程 相邻原子之间的相互作用 βδδ-≈-=d dv F a d v d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22δβ 第n 个原子的运动方程 11() (2) n n n n i t naq nq m Ae ωμβμμμμ∙∙ +--=+-= 4.一维双原子链中两种原子的运动方程及其解 （1）运动方程( equation) )2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++∙ ∙ )2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++∙ ∙ （2）方程的解(solution) ])2([2q na t i n Ae -=ωμ ])12([12aq n t i n Be +-+=ωμ 5.声学波与光学波的概念与物理意义 （1）声学波与光学波的定义 }]sin )(41[1{2 /122 2aq M m mM mM M m +-++=+β ω }]sin ) (41[1{2/122 2aq M m mM mM M m +--+=-β ω ω＋对应的格波称为光学波（optic wave ）或光学支（optic branch) ；ω－对应的格 波称为声学波(acoustic wave)或声学支（acoustic branch ） （2）两种格波的振幅比 aq m A B cos 222 ββω-- =⎪⎭⎫ ⎝⎛++ aq m A B cos 222 ββω-- =⎪⎭⎫ ⎝⎛-- （3）ω＋ 与ω－ 都是q 的周期函数 )()(q a q --=+ωπ ω )()(q a q ++=+ωπ ω 固体物理复习要点 第一章 1、晶体有哪些宏观特性？ 答：自限性、晶面角守恒、解理性、晶体的各向异性、晶体的均匀性、晶体的对称性、固定的熔点 这是由构成晶体的原子和晶体内部结构的周期性决定的。说明晶体宏观特性是微观特性的反映 2、什么是空间点阵？ 答：晶体可以看成由相同的格点在三维空间作周期性无限分布所构成的系统，这些格点的总和称为点阵。 3、什么是简单晶格和复式晶格？ 答：简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为简单晶格。 复式晶格：如果晶体的基元由两个或两个以上原子组成，相应原子分别构成和格点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。 4、试述固体物理学原胞和结晶学原胞的相似点和区别。 答：(1)固体物理学原胞(简称原胞) 构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。 特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。它反映了晶体结构的周期性。 (2)结晶学原胞（简称晶胞） 构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向，它具有明显的对称性和周期性。 特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。 5、晶体包含7大晶系，14种布拉维格子，32个点群？试写出7大晶系名称；并写出立方晶系包含哪几种布拉维格子。 答：七大晶系：三斜、单斜、正交、正方、六方、菱方、立方晶系。 6．在晶体的宏观对称性中有哪几种独立的对称元素？写出这些独立元素。 答： 7.密堆积结构包含哪两种？各有什么特点？ 答：(1)六角密积 第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号1,2,3,4,5,6。 第二层：占据1,3,5空位中心。 第三层：在第一层球的正上方形成ABABAB······排列方式。 六角密积是复式格，其布拉维晶格是简单六角晶格。 基元由两个原子组成，一个位于(000)，另一个原子位于 c b a r 213132:++=即 (2)立方密积 第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号为1,2,3,4,5,6。 第二层：占据1，3，5空位中心。 第三层：占据2，4，6空位中心，按ABCABCABC······方式排列，形成面心立方结构，称为立方密积。 8.试举例说明哪些晶体具有简单立方、面心立方、体心立方、六角密积结构。并写出这几种结构固体物理学原胞基矢。 答：CsCl 、ABO3 ； NaCl ； ； 纤维锌矿ZnS 9.会从正格基矢推出倒格基矢，并知道倒格子与正格子之间有什么区别和联系？ 11.会求晶格的致密度。 14.X 射线衍射的几种基本方法是什么？各有什么特点？ 答：劳厄法：(1)单晶体不动，入射光方向不变；(2)X 射线连续谱，波长在 间变化，反射球半径 转动单晶法：(1)X 射线是单色的；(2)晶体转动。 粉末法 ：(1)X 射线单色(λ固定)；(2)样品为取向各异的单晶粉末。 第二章 1、什么是晶体的结合能，按照晶体的结合力的不同，晶体有哪些结合类型及其结合力是什么力？ 答：晶体的结合能就是将自由的原子（离子或分子）结合成晶体时所释放的能量。 结合类型：离子晶体—离子键 分子晶体—范德瓦尔斯力 共价晶体—共价键 金属晶体—金属键 氢键晶体—氢键 max min ~λλ Chapter 4 能带理论（energy band theory ） 一、简要回答下列问题（answer the following questions ） 1、波矢空间与倒格子空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准连续的？ ［答］波矢空间与倒格子空间处于统一空间，倒格子空间的基矢分别为321,,b b b ，而波矢空间的基矢分别为321332211,,;/,/,/N N N N N N b b b 分别是沿正格子基矢321,,a a a 方向晶体的原胞数目。 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 *)(321Ω=??b b b 波矢空间中一个波矢点对应的体积为 N N N N *)(3 32 21 1Ω= ??b b b 即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N 。由于N 是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。也就是说，波矢点在倒格子空间是极其稠密的。因此，在波矢空间内作求和处理时，可以把波矢空间的状态点看成是准连续的。 2、在布里渊区边界上电子的能带有何特点？ ［答］电子的能带依赖波矢的方向，在任一方向上，在布里渊区的边界上，近自由电子的能带一般会出现禁带。若电子所处的边界与倒格矢G h 正交，边界是G h 的中垂面，则禁带的宽度Eg=2|Vn|，Vn 是周期势场的付里叶级数的系数。 不论何种电子，在布里渊区的边界上，其等能面在垂直于在布里渊区的边界上的斜率为零，即电子的等能面与布里渊区的边界正交。 3、带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点？ ［答］能带顶部是能带的极大值的位置，所以 022 ??k E ，晶格对电子作正功，有效质量大于零。 4、单电子理论是怎样将多体问题简化为周期场中的单电子问题的？ [答]单电子理论是在经过几步近似之后，将多体问题转化为单电子问题，以单电子在周 4.1，根据 k 第四章 能带理论 = ± π 状态简并微扰结果，求出与 E ? 及 E +相应的波函数ψ ? 及ψ+?，并说明它 a 们的特性．说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 ψ2 说明能隙的来源(假设V n =V n *)。 ＜解＞令 k = + π ， k ′ = ? π ，简并微扰波函数为ψ = A ψk ( ) + B ψk ( ) a * a ?E k ( ) ? E A V B n = 0 ( ) V A n + ?E k ? E B = 取 E E + 带入上式，其中 E + = E k 0( ) + V n V(x)<0,V n < 0 ,从上式得到 于是 A ? n π ? n π ? π ψ = A ?ψ 0( )?ψk 0′( )? = i x e a ? e i x a =2A sin n x + ? k ? L ? ? ? L a 取 E E ? ， E ?=E k 0( )? V n V A n = ?V B n ,得到A B A ? i n πx ?i n πx ? π ψ = A ?ψ 0( )?e a ? =2 A cos n x ? ? k ?? L ? L a 由教材可知，Ψ+及 Ψ ? ν ( ) 为零．产生 驻波因为电子波矢 n k π = 时，电子波的波长 a λ =2 π=2a k n 能量。 4.2,写出一维近自由电子近似，第 n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数 k π = 的0级波函数。 2a 1 1 r 2π 1 π2π 1 i2π 1 x i mx i x i mx(m+ ) ψ * ＜解＞( ) = ikx= e ikx a e e = e2a? e a= e a 4 k L ?π=L * L π 1 i2x L 第一能带：m0, m = 0,ψ( ) = e a 2a b b′则b′ →, k 2π ?= ? L 2π , m= ?1,i 2πx i π ∴ψ *( )= 1 3π i x e 第二能带：a a即（e a=e ）2a k L2a 2π2π 1 π2π 1 5π 第三能带：c′ →, ?= a a即m = , * 1,ψk( ) = L i x i x e2a?e a = L i x e2a 解答（初稿）作者季正华- 1 - 第一章晶体结构 晶体-----内部组成粒子（原子、离子或原子团）在微观上作有规则的周期性重复排列构成的固体。 晶体的通性------所有晶体具有的共通性质，如自限性、最小内能性、锐熔性、均匀性和各向异性、对称性、解理性等。 单晶体和多晶体-----单晶体的内部粒子的周期性排列贯彻始终；多晶体由许多小单晶无规堆砌而成。 基元、格点和空间点阵------基元是晶体结构的基本单元，格点是基元的代表点，空间点阵是晶体结构中等同点（格点）的集合，其类型代表等同点的排列方式。原胞、WS原胞-----在晶体结构中只考虑周期性时所选取的最小重复单元称为原胞；WS原胞即Wigner-Seitz原胞，是一种对称性原胞。 晶胞-----在晶体结构中不仅考虑周期性，同时能反映晶体对称性时所选取的最小重复单元称为晶胞。 原胞基矢和轴矢----原胞基矢是原胞中相交于一点的三个独立方向的最小重复矢量；晶胞基矢是晶胞中相交于一点的三个独立方向的最小重复矢量，通常以晶胞基矢构成晶体坐标系。 布喇菲格子（单式格子）和复式格子------晶体结构中全同原子构成的晶格称为布喇菲格子或单式格子，由两种或两种以上的原子构成的晶格称为复式格子。简单格子和复杂格子（有心化格子）------一个晶胞只含一个格点则称为简单格子，此时格点位于晶胞的八个顶角处；晶胞中含不只一个格点时称为复杂格子，其格点除了位于晶胞的八个顶角处外，还可以位于晶胞的体心（体心格子）、一对面的中心（底心格子）和所有面的中心（面心格子）。 密堆积和配位数-----晶体组成原子视为等径原子时所采取的最紧密堆积方式称为密堆积，晶体中只有六角密积与立方密积两种密堆积方式。晶体中每个原子周围的最近邻原子数称为配位数。由于晶格周期性限制，晶体中的配位数只能取：12，8，6、4、3（二维）和2（一维）。 晶列、晶向（指数）和等效晶列-----晶列是晶体结构中包括无数格点的直线， 固体物理习题指导 第一章 晶体的结构 第二章 晶体的结合 第三章 晶格振动与晶体热学性质 第四章 晶体的缺陷 第五章 能带 第六章 自由电子论和电子的输运性质 第一章 晶体的结构 思 考 题 1. 1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比. [解答] 设原子的半径为R , 体心立方晶胞的空间对角线为4R , 晶胞的边长为3/4R , 晶胞的体积为 ()3 3/4R , 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为()2/3/43 R ,单位体积晶体中的原子数为()3 3/4/2R ; 面心立方晶胞的边长为2/4R , 晶胞的体积为()3 2/4R , 一个晶胞包含四个原子, 一个原子占的体积为()4/2/43 R , 单位体积晶体中的原子数为()3 2/4/4R . 因此, 同体积的体心和面心 立方晶体中的原子数之比为2/323 ? ??? ??=0.272. 2. 2. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 3. 3. 基矢为=1a i a , =2a aj , =3a ()k j i ++2a 的晶体为何种结构? 若=3a ()k j +2a +i 23a , 又 为何种结构? 为什么? [解答] 有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积 23 321a = ??=a a a Ω. 由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题14, 我们可以构造新的矢量 =-=13a a u 2a ()k j i ++-, 第四章 晶格结构中的缺陷 4.1 试证明，由N 个原子组成的晶体，其肖托基缺陷数为 s B k T s n Ne μ- = 其中s μ是形成一个空位所需要的能量。 证明：设由N 个原子组成的晶体，其肖托基缺陷数为s n ，则其微观状态数为 ! ()!! s s s N P N n n = - 由于s μ个空位的出现，熵的改变 []! ln ln ln ()ln()ln ()!! B s B B s s s s s s N S k P k k N N N n N n n n N n n ∆===----- 晶体的自由能变化为 []ln ()ln()ln s s s s B s s s s F n T S n k T N N N n N n n n μμ=-∆=----- 要使晶体的自由能最小 B ()ln 0s s s s T n F u k T n N n ⎡⎤⎛⎫∂∆=+= ⎪⎢⎥∂-⎣⎦⎝⎭ 整理得 s B k T s s n e N n μ -=- 在实际晶体中，由于, s n N < 第一章 1. 何为布拉伐格子，简单晶格、复式格子？ 并举例说明哪种晶体是简单格子，哪种晶体是复式格子？了解常见的几种晶体结构。 布拉伐格子：由 332211a l a l a l ++确定的空间格子。 简单晶格：每一个原胞有一个原子。 复式格子：每一个原胞含有两个或更多的原子。 举例：（1）简单晶格：具有体心立方晶格结构的碱金属和具有面心立方晶格结构的Au,Ag,Cu 晶体都是简单晶格 。 （2）复式格子：NaCl 晶格，CsCl 晶格，金刚石，ZnS,Si,Ge 等 晶体结构：面心立方单胞原子数4，配位数12 体心立方单胞原子数2，配位数8 CsCl 单胞原子数2，配位数8 金刚石单胞原子数8，配位数4 NaCl 单胞原子数na4 cl4共8个，配位数6 2 简述晶体、非晶体和准晶体的特点。 晶体：原子排列是十分有规律的，主要体现是原子排列具有周期性，或称为是长程有序的。 非晶体：不具有长程有序的特点,短程有序。 准晶体：有长程取向性，而没有长程的平移对称性。 3 晶格点阵与实际晶体结构有何区别和联系？ 晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。 晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为： 晶格点阵＋基元＝实际晶体结构 4 结晶学原胞和固体学原胞有何不同？（何为单胞和原胞？二者有何不同？） 结晶学原胞（单胞）：常取最小重复单元 (原胞)的一倍或几倍作为重复单元。 固体学原胞（原胞）：一个晶格中最小重复单元。 不同：结晶学原胞除了要考虑晶体结构的周期性外，还要反映晶体的对称性。它的结点既可以在顶角上也可以在体心或者面心处。 固体物理学原胞只要求反映晶格周期性的特征，结点只在顶点上，内部和面上皆不含其他结点。而且，固体物理学原胞只含一种原子。 5 根据晶体的对称性进行分类，有多少种点群、空间群、布拉伐格子？ 32种点群，230个空间群，14种布拉伐格子，7大晶系 第一章 晶体结构 1、把等体积的硬球堆成下列结构，求球可能占据的最大体积和总体积之比。 （1）简立方 （2）体心立方 （3）面心立方（4）金刚石 解：（1）、简立方，晶胞含有一个原子n=1，原子球半径为R ，立方晶格的顶点原子球相切，立方边长a=2R,体积为()3 2R ， 所以 ()33 344330.526 2n R R K V R πππ? ==== （2）、体心立方晶胞含有2个原子n=2，原子球半径为R ，晶胞边长为a ，立方晶格的体对角线原子球相切，体对角线长为4个原子半径，所以3 a R = 33 3 44 23330.6843n R R K V R πππ??====?? ??? （3）、面心立方晶胞含有4个原子n=4，晶胞的面对角线原子球相切，面对角线长度为4个原子半径，立方体边长为a,所以2 a R = 33 3 4442330.7442n R R K V R πππ??====?? ??? (4)、金刚石在单位晶格中含有8个原子，碳原子最近邻长度2R 为体对角线 1 4 长，体对角线为83R a = 33 3 4483330.3483n R R K V R πππ??====?? ??? 2、证明面心立方和体心立方互为倒格子。 09级微电子学专业《固体物理》期末考复习题目 至诚 学院 信息工程 系 微电子学 专业 姓名： 陈长彬 学号： 210991803 3、证明：倒格子原胞体积为 ()3 * 2 c v v π =，其中v c为正格子原胞的体积。 4、证明正格子晶面 与倒格矢 正交。 5能写出任一晶列的密勒指数，也能反过来根据密勒指数画出晶列；能写出任一晶面的晶面指数，也能反过来根据晶面指数画出晶面。 见课件例题 以下作参考： 15.如图1.36所示，试求： （1） 晶列ED ，FD 和OF 的晶列指数； （2） 晶面AGK ,FGIH 和MNLK 的密勒指数； （3） 画出晶面（120），（131）。 密勒指数：以晶胞基矢定义的互质整数( )。 [截a,b,c.] 晶面指数：以原胞基矢定义的互质整数( )。 [截a1, a2, a3.] 注意： a) 互质整数所定义的晶面不一定代表最近原点的晶面； b) 所有等价的晶面(001)以{001}表示； c) 晶面不一定垂直于晶向(其中li=hi)；仅对具有立方对称性的晶体， 才垂直于晶向； d) 对理想布喇菲格子，晶面的两面是等价的，故有=，但对复式格子的实际晶体，这是不成立的。如 AsGa 的（111度，生长速度等就不一样。 a 2 x y z A B D C G F E O I H y x A a 2 K O G L N M z 图1.36 解：（1）根据晶列指数的定义易求得晶列ED 的晶列指数为[111]，晶列FD 的晶列指数为[110]，晶列OF 的晶列指数为[011]。 （2）根据晶面密勒指数的定义 晶面AGK 在x ，y 和z 三个坐标轴上的截距依次为1，-1和1，则其倒数之比为1:1:11 1 :11:11=-，故该晶面的密勒指数为（111）。 晶面FGIH 在x ，y 和z 三个坐标轴上的截距依次为1/2，∞和1，则其倒数之比为 1:0:21 1 :1:2/11=∞，() 321h h h 332211b h b h b h K h ++= 第一章 晶体结构 名词解释： 1. 晶体：原子按一定的周期排列规则的固体（长程有序）。例如：天然的岩盐、水晶以及 人工的半导体锗、硅单晶都是晶体。 2. 晶体结构：晶体中原子的具体排列形式称为晶体结构。晶体结构=基元+布拉菲点阵。 3. 平移周期性： 4. 元胞：一个晶格中的最小重复单元（体积最小）。 5. 晶胞（单胞？）：为了反应晶格的对称性，常取最小重复单元的几倍作为重复单元。 6. 基元：由不等价分人原子组成的最小重复单元。 7. 布拉菲点阵：为了简单明确地描述晶体内部结构的周期性，常把基元抽象成一点，这个 基元的代表点称为格点。格点在空间的周期性排列就构成布拉菲点阵（格子）。 8. 倒易点阵：倒点阵是正点阵的傅里叶变换，它是与坐标空间联系的傅里叶空间中的周期 性阵列。 9. 倒易格矢： 10. 基矢：倒格子基矢与原胞基矢有如下关系： 原胞体积： 11. 晶格常数：晶格常数指的就是晶胞的边长，也就是每一个立方格子的边长。 12. 复式格子：基元（格点）含有2种或2种以上的原子。 13. 简单格子（布拉菲格子）：基元（格点）只有一个原子的晶格。 14. 维格纳-塞茨原胞：由某一个格点为中心，做出最近各点和次近各点连线的中垂面，这些 所包围的空间为维格纳-塞茨原胞。 15. 晶面指数：以基矢a 1、a 2、a 3为坐标系，从原点算起第一个晶面的截距的倒数h 1、h 2、 h 3去标记这一簇晶面，记为（h 1h 2h 3），称为晶面指数。 16. 米勒指数：以单胞的三条棱a 、b 、c 为坐标系，决定的指数，称为米勒指数，记为（hkl ）。 17. 晶向指数：如果从一个结点沿某晶列方向到最近邻结点的平移矢量为R l =l 1a 1+l 2a 2+l 3a 3， 则用l 1、l 2、l 3来标志该晶列所对应的晶向，记为[l 1，l 2，l 3]，称为晶向指数。 18. 金刚石结构： 19. 六角密排结构： 20. 立方密排结构： 21. NaCl 结构： 22. 几种对称操作及相应对称元素： 对称操作所凭借的几何元素—对称元素。 常见对称操作介绍: 3 21b k b l b h K ++= 第四章 晶格振动和晶体的热学性质 ● 晶格振动：晶体中的原子在格点附近作热振动 ● 原子的振动以波的形式在晶体传播（原子的振动波称为格波） ● 晶格振动对晶体的性质有重要影响 主要内容 ● 晶格动力学（经典理论，1912年由波恩和卡门建立） 晶格振动的模式数量（有多少种基本的波动解） 晶格振动的色散关系（波动的频率和波数的关系） ● 晶格振动的量子理论 ● 固体的热容量 4.1 一维单原子链的振动 原子链共有N 个原胞，每个原胞只有一个原子,每个原子具有相同的质量m,平衡时原子间距等于晶格常数a,原子沿链方向运动,第n 个原子离开平衡位置的位移用x n 表示,第n 个原子和第n+1个原子间的相对位移为 一维单原子链 原子振动时，相邻两个原子之间的间距: 基本假设 ● 平衡时原子位于Bravais 格点上 ● 原子围绕平衡位置作微振动 ● 简谐近似：原子间的相互作用势能只考虑到平方项 微振动时： 简谐近似：势能展开式保留到二次项 微振动：原子离开平衡位置的位移与原子间距相比是小量。 晶体中原子的平衡位置由原子结合能（势）决定。 任何一种晶体，原子间的相互作用势能可以表述成原子之间距离的函数。 n n x x -=+1δδ+=a x ()()???+???? ??+??? ??+=+=222 21 )(δδδa a x d U d x d U d a U a U x U 把qa改变一个2π的整数倍，原子的振动相同，因此可以把qa限制负pi和正pi之间，此范围以外的q值，并不提供新的物理内容. 群速度是指波包的传播速度，dw/dq,也就是能量在介质中的传播速度。在布里渊区的边界上，群速度为零，波是一个驻波。 4.2 一维双原子链的振动 q趋于0时，w也趋于零，称为声学波 课程内容结构 ?绪言 ?第一章晶体结构 ?第二章固体的结合 ?第三章晶格振动与晶体的热学性质 ?第四章晶体中的缺陷 ?第五章金属电子论 ?第六章能带理论 固体物理 ?固体物理: 研究固态物质的宏观物理性质、内部微观结构、内部各种粒子的相互作用,运动规律，以及宏观性质与微观运动间的联系的科学。 第一章晶体结构 二、布拉伐晶格(Bravais lattice) 基元:放置在格点上的原子或原子团称为基元是一个格点所代表的物理实体。 由基元代表点在空间中的周期性排列所形成的晶格称为布拉伐晶格，布拉伐晶格是一种数学上的抽象，是格点在空间中周期性的规则排列，其每个格点是几何等价的。 简单晶格与复式晶格图示 ?3 简单晶格必须由同种原子组成； ?反之，由同种原子组成的晶格却不一定是简单晶格，如：金刚石、Mg、Zn等晶格都是复式晶格, 如: 相同原子但几何位置不等价的原子构成的晶体金刚石。 ?4由基元代表点在空间中的周期性排列所形成的晶格称为Bravais晶格. ?5 只有将基元以同样方式放置在每个格点上才能得到晶体结构。即：晶体结构是基元与Bravais晶格相结合的结果： 基元+Bravais晶格=晶体结构 ?6 基元可以含有一个或多个原子，但所含原子必定不等价，否则还可以进一步划分为更小的单元，这是构成基元的必要条件。 ?7 Bravais晶格反映晶体结构的几何性质，最主要特点是周期性，每个格点在几何上完全等价的。 三、原胞，晶胞 三维晶格的原胞与基矢 晶胞 定义：晶体学通常选取较大的周期单元来研究晶格结构，为同时反映周期性与对称性，称为晶胞。 立方格子的特征 原胞与晶胞的区别与联系 例：以二维有心长方晶格为例，画出固体物理学原胞、晶胞，并说出它们各自的特点 四晶面与密勒指数 1、晶面的概念 布拉伐格子的格点还可看成分列在平行等距的平面系上，格点在每个平面上的分布是相同的，这种平面称为晶面。整个晶格可以看作无数互相平行等距分布的全同的晶面构成，而晶格的所有格点都处于这族晶面上。 立方结构的晶格的晶向与晶面问题 ?立方结构的晶格(如面心立方，体心立方等)均以立方单胞(即晶胞)为单位来研究晶向与晶面的问题。 晶面指数与晶面间距 关系分析 画出体心立方和面心立方晶格结构在(100),(110),(111)面上的原子排列 （2）面心立方晶格 2 对称原素与对称操作 (一) n度旋转对称轴 证明n度旋转轴中n只能取1、2、3、4、6 ?任何一种晶体一定属于7个晶系之一,其晶格一定是14种Bravais晶格之一， ?Bravais晶格即反映晶格的周期性也反映其对称性。 ?32点群，230空间群 2、倒格子定义 3、倒格子与正格子的关系 3.2 倒格子与正格子基矢间关系 3.3位矢之间关系 小结 习题 二维正方格子的布里渊区 二维正方格子布里渊区图示（演示） 按照原子相互作用力的类型，晶体可分为五种类型 5 氢键晶体 共价键、金属键、范德瓦尔斯键共存的石墨结构 2.1.6 原子电负性 §2.3 非晶体 ?固态物质的基态应该是长程有序结构的晶体,体系自由能最低. ?非晶态是一种热力学的亚稳态,在一定条件下可以转变为晶态----晶化 ?此外在急冷过程中所形成的亚稳非晶态不一定是唯一的,可能会向更稳定的亚稳态转变,此现 第一章 晶体结构 1、试说明空间点阵和晶体结构的区别。 答：空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分析晶体结构的周期性和对称性，它是由几何点在三维空间理想的周期性规则排列而成，由于各阵点的周围环境相同，它只能有14种类型。 晶体结构则是晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因此实际存在的晶体结构是无限的。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。 2、证明体心立方格子和面心立方格子互为倒格子 证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ?=+?? ?=+?? ?=+?? r r r r r r r r r 由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=?Ω r r r 31230, ,22 (), 0,224 ,,0 2 2a a a a a a a a a a Ω=??==r r r Q ，223,,, 0,()224,,0 2 2 i j k a a a a a i j k a a ?==-++r r r r r r r r 213422()()4a b i j k i j k a a ππ∴=??-++=-++r r r r r r r 同理可得：232() 2() b i j k a b i j k a ππ=-+=+-r r r r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。 所以，面心立方的倒格子是体心立方。 （2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）： 1 2 3 () 2 () 2 () 2 a a i j k a a i j k a a i j k ? =-++? ? ? =-+ ? ? ? =+- ?? r r r r r r r r r r r r 由倒格子基矢的定义： 123 2 () b a a π =? Ω r r r 3 123 ,, 222 (),, 2222 ,, 222 a a a a a a a a a a a a a - Ω=??=-= - r r r Q， 2 23 ,, ,,() 2222 ,, 222 i j k a a a a a a j k a a a ?=-=+ - r r r r r r r 2 13 22 2()() 2 a b j k j k a a π π ∴=??+=+ r r r r r 同理可得： 2 3 2 () 2 () b i k a b i j a π π =+ =+ r r r r r r 即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。 所以，体心立方的倒格子是面心立方。 3、六角密堆结构的固体物理学元胞基矢为 求其倒格基矢。 解：晶胞体积为 其倒格矢为 第四章 晶体的缺陷 习 题 1.求证在立方密积结构中,最大的间隙原子半径r 与母体原子半径R 之比为 414.0R r [解答] 对于面心立方结构,如图4.1所示,1原子中心与8原子中心的距离,等于1原子中心与2原子中心的距离,对于立方密积模型, 图 4.1 面心立方晶胞 因为1原子与8原子相切,所以1原子与2原子也相切,同理,1,2,3,4原子依次相切,过1,2,3,4原子中心作一剖面,得到图4.2.1与2间的距离为 图4.2通过面心立方晶胞上下左右面心的剖面图 a R 2 22= , 即a R 4 2 = .与1,2,3,4相切的在1,2,3,4间隙中的小球的半径r 由下式决定 ,22r R a += 即a r )4221(-=. 于是有414.012=-=R r . 2.假设把一个Na 原子从Na 晶体中移到表面上所需的能量为1eV,计算室温时肖特基缺陷的浓度. [解答] 对于肖特基缺陷,在单原子晶体中空位数为 T k u B Ne n 1 1-= 式中N 为原子数, 1u 为将一个原子由晶体内的格点移到表面所需的能量,取室温时K T 300=， 得到温时肖特基缺陷的相对浓度17 6.382319110*72.1300*10*38.110*60.1exp 1 -----==⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-==e e N n T k u B 3.在上题中,相邻原子向空位迁移时必须越过0.5eV 的势垒,设原子的振动频率为1012 Hz 试估计室温下空位 的扩散系数.计算温度C 100时空位的扩散系数提高百分之几. [解答] 由《固体物理教程》(4.32)式可知,空们扩散系数的表示式为 第四章 能带理论 1设电子在一维弱周期势场V(x)中运动，其中V(x)= V(x+a)，按微扰论求出k=±π/a 处的能隙 2怎样用能带论来理解导体、绝缘体、及半导体之间的区别？（可以画图说明） 3简单推导布洛赫（Bloch ）定理 4对于一个二维正方格子，晶格常数为ａ， λ 在其倒空间画图标出第一、第二和第三布里渊区； λ 画出第一布里渊区中各种不同能量处的等能面曲线； λ 画出其态密度随能量变化的示意图。 5 在一维周期场近自由电子模型近似下，格点间距为ａ，请画出能带E(k)示意图，并说明能隙与哪些物理量有关。 6推导bloch 定理；写出理想情况下表面态的波函数的表达式，并说明各项的特点。 7在紧束缚近似条件下，求解周期势场中的波函数和能量本征值。 设晶体中第m 个原子的位矢为： 112233m m m m =++R a a a …………………………………………………………（5-4-1） 若将该原子看作一个孤立原子，则在其附近运动的电子将处于原子的某束缚态()i m ϕ-r R ，该波函数满足方程： 2 2()()()2m i m i i m V m ϕεϕ⎡⎤-∇+--=-⎢⎥⎣⎦ r R r R r R …………………………（5-4-2） 其中()m V -r R 为上述第m 个原子的原子势场，i ε是与束缚态i ϕ相对应的原子能级。如果晶体为N 个相同的原子构成的布喇菲格子，则在各原子附近将有N 个相同能量i ε的束缚态波函数i ϕ。因此不考虑原子之间相互作用的条件下，晶体中的这些电子构成一个N 个简并的系统：能量为i ε的N 度简并态()i m ϕ-r R ，m=1，2，…，N 。 实际晶体中的原子并不是真正孤立、完全不受其它原子影响的。由于晶体中其它诸原子势场的微扰，系统的简并状态将消除，而形成由N 个能级构成的能带。根据以上的分析和量子力学的微扰理论，我们可以取上述N 个简并态的线性组合 (,)()()m i m m a ψϕ=-∑k r k r R …………………………………………………（5-4-3） 第一章 晶体结构 1.晶体：组成固体的原子（或离子）在微观上的排列具有长程周期性结构；eg ：单晶硅。晶体具有的典型物理性质：均匀性、各向异性、自发的形成多面体外形、有明显确定的熔点、有特定的对称性、使X 射线产生衍射。 非晶体：组成固体的粒子只有短程序，但无长程周期性；eg ：非晶硅、玻璃 准晶：有长程的取向序，沿取向序的对称轴方向有准周期性，但无长程周期性，不具备晶体的平移对称性；eg ：快速冷却的铝锰合金 2.三维晶体中存在7种晶系14种布拉菲格子；对于简单格子晶胞里有几个原子就有几个原胞，复式格子中包含两个或更多的格子。 3.典型格子特点： sc bcc fcc hcp Diamond 晶胞体积 3a 3a 3a 32a 3a 每晶胞包含 的格点数 1 2 4 6 8 原胞体积 3a 321a 341a 332a 341a 最近邻数 （配位数） 6 8 12 12 4 填充因子 0.524 0.68 0.74 0.74 0.34 典型晶体 NaCl CaO Li K Cu Au Zn Mg Si Ge 4.sc 正格子基矢：k a a j a a i a a ===321,,； sc 倒格子基矢：k a b j a i a πππ2,2b ,2b 321=== ； fcc 正格子基矢：)2 ),2),2321j i a a k i a a k j a a +=+=+=（（（； fcc 倒格子基矢：)2),2),2b 321k j i a b k j i a b k j i a -+=+-=++-=（（（πππ； bc c 正格子基矢： )2 ),2),2321k j i a a k j i a a k j i a a -+=+-=++-=（（（； bcc 倒格子基矢：)2),2),2b 321j i a b k i a b k j a +=+=+=（（（πππ； 倒格子原胞基V a a )(2b 321⨯=π，V a a )(2b 132⨯=π，V a a )(2 b 213⨯=π 正格子和倒格子的基矢关系为ij a πδ2b j i =⋅； 设正格子原胞体积为V,倒格子原胞体积为Vc ，则3)2(V c V π=⨯。 W-S 原胞体积和倒格子原胞体积大小相等。 5.晶向指数：晶列是连接任意两个格点所形成的直线，而晶列的取向称为晶向，如果从一个原子到最近的原子的位移矢量为332211a l a l a l ++，则晶向就用321,,l l l 来表示，记作][321l l l ,标志晶向的这组数称为晶向指数，如涉及负的指数按惯例在头上加一横线来表示。 密勒指数：找出该晶面在晶轴上的以晶轴长度321,,a a a 量度的截距，取这些截距的倒数，化为具有相同比例的三个最小整数，扩在圆括号里)(321h h h 即为密勒指数，用来标志晶面系。 晶面簇)(321h h h 的晶面间距d=3 212h h h G π,其中321h h h G 为倒格失321h h h G 的长度。 第二章 固体的结合 1.晶体四种结合的特点： 离子结合：正负离子间的库仑作用，离子晶体硬度大、固态下不导电、熔 一、考试重点 晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带论的基本概念和基本理论和知识 二、复习内容 第一章晶体结构 基本概念 1、晶体分类及其特点： 单晶粒子在整个固体中周期性排列 非晶粒子在几个原子范围排列有序（短程有序） 多晶粒子在微米尺度内有序排列形成晶粒，晶粒随机堆积 准晶体粒子有序排列介于晶体和非晶体之间 2、晶体的共性： 解理性沿某些晶面方位容易劈裂的性质 各向异性晶体的性质与方向有关 旋转对称性 平移对称性 3、晶体平移对称性描述： 基元构成实际晶体的一个最小重复结构单元 格点用几何点代表基元，该几何点称为格点 晶格、 平移矢量基矢确定后，一个点阵可以用一个矢量表示，称为晶格平移矢量 基矢 元胞以一个格点为顶点，以某一方向上相邻格点的距离为该方向的周期，以三个不同方向的周期为边长，构成的最小体积平行六面体。原胞是晶体结构的最小体积重复单元，可以平行、无交叠、无空隙地堆积构成整个晶体。每个原胞含1个格点，原胞选择不是唯一的 晶胞以一格点为原点，以晶体三个不共面对称轴（晶轴）为坐标轴，坐标轴上原点到相邻格点距离为边长，构成的平行六面体称为晶胞。 晶格常数 WS元胞以一格点为中心，作该点与最邻近格点连线的中垂面，中垂面围成的多面体称为WS原胞。WS原胞含一个格点 复式格子不同原子构成的若干相同结构的简单晶格相互套构形成的晶格 简单格子 点阵格点的集合称为点阵 布拉菲格子全同原子构成的晶体结构称为布拉菲晶格子。 4、常见晶体结构：简单立方、体心立方、面心立方、 金刚石 闪锌矿 铅锌矿 氯化铯 氯化钠 钙钛矿结构 5、密排面将原子看成同种等大刚球，在同一平面上，一个球最多与六个球相切，形成密排面 密堆积密排面按最紧密方式叠起来形成的三维结构称为密堆积。 六脚密堆积密排面按AB\AB\AB…堆积固体物理基本概念
固体物理第四章总结1
固体物理学整理要点
固体物理第四章
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《固体物理学》习题第四章晶体结构中的缺陷
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《固体物理学答案》第四章 晶体的缺陷
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固体物理学复习总结
固体物理知识点总结