高中数学易错知识点分析汇总(179例)
高中数学易错知识点分析汇总(179例)
解决高中数学易错知识点问题，关键是要在理解的基础上去记忆，勤于反思，举一反三；再进行必要的独立练习，巩固“双基”，就能提高综合解题能力和数学应试水平。要避免两个极端，要么埋头看书整理，懒得独立练习；要么埋头练习，陷入题海。前者，忽视了数学是一门思维的科学，离开了解题实践，数学思维无法展开，无法将学到的知识、方法内化为自己的能力。后者，忽视了有的放矢，容易重复机械操练，缺乏反思提炼，事倍功半。
下面分三个部分共179例，对高中数学易错知识点进行汇总分析，关键时刻定能一招制胜！
易错知识点之一(36个)
1．在应用条件A∪B＝B，A∩B＝A 时，易忽略A是空集Φ的情况。
2
相联系的应用题中，判断两个函数是否是同一函数也要判断函数的定义域，求
三角函数的周期时也应考虑定义域。
3．判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称,优先考
虑定义域对称。
4．解对数不等式时，易忽略真数大于0、底数大于0且不等于1这一条
件。
6．用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的
系数是否为0。尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略。
7
相等）”这一条件。
8．用换元法解+题时，易忽略换元前后的等价性。
10．求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示,而应用逗号连接多个区间。
11
12．已知Sn求a
n
时, 易忽略n＝1的情况。
13．用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时, 易忽略斜率不存在的情况；题目告诉截距相等时，易忽略截距为0的情况。
14.求含系数的直线方程平行或者垂直的条件时，易忽略直线与x轴或者y 轴平行的情况。
15．用到角公式时，易将直线L
1、L
2
的斜率ｋ
1
、ｋ
2
的顺序弄颠倒；使用到
角公式或者夹角公式时，分母为零不代表无解，而是两直线垂直。
16．在做应用题时, 运算后的单位要弄准，不要忘了“答”及变量的取值范围；在填写填空题中的应用题的答案时, 不要忘了单位。应用题往往对答案的数值有特殊要求，如许多时候答案必须是正整数。
17．在分类讨论时,分类要做到“不重不漏、层次分明,进行总结”。
18．在解答题中，如果要应用教材中没有的重要结论，那么在解题过程中
要给出简单的证明，如使用函数y=x+1
x的单调性求某一区间的最值时，应先证
明函数y=x+1
x的单调性。
19．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示；不能用不等式表示。
20．两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；
同时要注意“同号可倒”即A ＞B ＞0，0<1a <1
b 。
21．分组问题要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n 组问题易忘除以n ！。分配问题也注意区分是平均分配还是非平均分配，
22．已知△ABC 中的两个角A 、B 的正余弦值，求第三个角C 的正余弦值，
这是由三角形内角和为180°决定的。
24．求直线与圆、圆锥曲线相交弦问题用韦达定理时，求出字母系数后，应代入判别式中检验。
25．求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90°，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法。
26．二项式(A ＋B)n 展开式的通项公式中A 与B 的顺序不变。
27．使用正弦定理时易忘比值还等于2R,即sin a A =sin b B =sin c
C =2R
28．恒成立问题不要忘了主参换位（即变更主元）以及验证等号是否成立。
29．概率问题要注意变量是否服从二项分布。从而使用二项分布的期望和方差公式求期望和方差，即若ξ～B （n,p ）,则E ξ＝np, D ξ＝npq,这里q=1- p.
30．面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大，正确的判定方法是：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
31．函数的图象的平移、方程的平移以及点的平移公式易混：
（1）函数的图象的平移为“左+右-,上+下-”；如函数y＝2x+4的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为y=2（x＋2）+4－3。即
y=2x+5。
（2）方程表示的图形的平移为“左+右-,上-下+”；如直线2x－y+4=0左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为2(x＋2)-(y＋3)+4=0。即
y=2x+5。
（3）点的平移公式：点P(x,y)按向量 =(h，k)平移到点P’(x’，y’)，则x’＝x+ h，y’＝y+ k。
32．椭圆、双曲线a、b、ｃ之间的关系易记混。对于椭圆应是a2－b2＝ｃ2，对于双曲线应是a2＋b2＝ｃ2。
33．“属于关系”与“包含关系”的符号易用混，元素与集合的关系用a ∈A，集合与集合的关系用A?B。
34．“点A在直线A上”与“直线l在平面α上”的符号易用混，如：A∈A，l?α.
35．椭圆和双曲线的焦点在ｘ轴上与焦点在ｙ轴上的焦半径公式易记混；椭圆和双曲线的焦半径公式易记混。它们都可以用其第二定义推导，建议不要死记硬背，用的时候再根据定义推导。
36．两个向量平行与与两条直线平行易混, 两个向量平行(也称向量共线)包含两个向量重合, 两条直线平行不包含两条直线重合。
易错知识点之二(43个)
1．对于集合，你是否清楚集合中的元素（数、点、符号、图形等）是什么及元素的特性（确定性、互异性、无序性）？在集合运算时是否注意空集和全集？
2．命题的否定（只否结论）与否命题（条件、结论全否）的区别你知道吗？
3．映射的概念你了解吗？对于映射f:A→B，是否注意到集合A中元素的任意性和集合B中与它对应元素的唯一性（B中可有多余元素）？
9．图像变换的时候是否清楚任何变换都是对“变量本身”进行的？
10．数列也是一种特殊的函数你忽视了吗？是否能利用数列性质解题？
11．求数列通项公式的技巧有哪些（观察、公式、作差、作积、构造等），是否验证每一项都满足所求因式了？数列求和时是否先对通项公式加以分析？
12．在解三角问题时，你是否注意到三角函数的定义域、有界性、周期性等，是否能利用图像对三角函数问题进行分析？在条件求值问题中是否注意角的范围讨论？
13．你还记得三角变换化简的通性通法吗（“角”的变换、“名”的变换、“幂”的变换、“形”的变换等）？
15．向量是既有大小又有方向的量，不可比较大小。如何进行向量运算？
17．图像按向量平移的本质是什么（实际上就是点的平移，简言之向量的坐标等于终点<目标函数>坐标减去起点<原函数>坐标）？
18．不等式有哪些重要性质？其中哪些性质在应用的时候要注意限制条件（可乘、累乘、乘方、开方）？
19．利用“均值不等式”证明或求最值的时候是否注意“一正、二定、三相等”的条件？如果等号取不到经常采用哪些办法（利用单调性、配凑、图像法等）？
20．利用换元法证明或求解时，是否注意“新元”的范围变化？是否保证等价转化？
21．利用放缩法证明或求解时，是否注意放缩的尺度及方向的统一？
22．分式不等式的一般解法是什么（移项、通分、合并同类项、分式化整式）？
23．理解直线的倾斜角和斜率的概念了吗？在设直线方程解题时是否忽略斜率不存在的情况？
24．直线的截距概念如何理解（截距可以是正数、负数、零）？
26．圆的弦长的求法你清楚吗（代数法、几何法）？
27．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义，在它们的统一定义里清楚常数e 的含义。掌握一些常用的求轨迹方程的方法并注意验证，会用定义法判断动点轨迹是什么曲线吗？
28．能尽量多地记住圆锥曲线中的一些重要的点（如焦点、顶点）、线段（如长<实>半轴、短<虚>半轴、半焦距、焦准距、焦半径、通径）、线（如准线、渐近线）、图形（如a,b,c的直角关系三角形、焦点三角形、直角梯形）及结论（如焦点弦、焦点三角形的面积公式）的含义并加以灵活运用吗？
29．在直线与圆锥曲线的存在性或范围问题的处理时，是否注意对联立消去参数之后的方程的二次项系数、判别式等进行讨论？是否也能想到利用曲线变量本身的范围进行求解（如椭圆的有界性）？
30．高中阶段都遇到了哪些角的范围，你能分清楚吗？（1）直线与直线平行时为0；（2）直线与直线相交时夹角的范围是（0,π/2]，到角的范围是（0,π）；（3）两异面直线（含垂直）所成角的范围是（0,π/2]；（4）两非零向量所成角的范围是[0,π]；（5）直线与平面所成角的范围是[0,π/2]；（6）斜线与平面所成角的范围是（0,π/2）；（7）二面角的平面角的范围是[0,π]。
31．在证明空间位置关系和求距离的时候除了直接法以外是否能利用转化法或向量法？
32．会求球面距离吗？它的基本类型有哪些？你能把它们转化为熟悉的图形吗（经度同纬度不同转化为线面角、纬度同经度不同转化为二面角）？
33．排列、组合应用问题的解题策略有哪些？（特殊元素优先安排、合理分类准确分步、混合问题先选后排、正难则反等价转化、相邻捆绑不邻插空、分排问题直排处理、定序问题除法处理、分配问题列表隔板、取与不取用组合数、分堆问题没有顺序）
34．能区分互斥事件（A,B两事件不可能同时发生）和对立事件（A,B两事件不可能同时发生，但必有一个发生）吗？
35．能区分互斥事件和相互独立事件（事件A或B是否发生对于事件B或A发生的概率没有影响）吗？
36．采用不同的抽样方法从总体中抽取相同容量的样本各个体被抽到的概率相同吗？（相同，可自行证明）
37．会用数学归纳法证明一些简单的数学命题吗？证明的一般步骤是什么（归纳、猜想、证明<先设n=c时，命题成立；再设n=k,k≥c时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立>）？
39．清楚导数的物理意义和几何意义吗？函数连续与函数可导有什么联系（可导一定连续，但连续不一定可导）？
40．两个复数只能说相等或不相等，不能比较大小。会用两个复数相等的充要条件解题吗（实部和实部相等、虚部和虚部相等）？
42．解答选择题、填空题的特殊方法是什么？（数形结合、特值<含特殊值、特殊位置、特殊图形>、排除、验证、转化、分析、估算、极限等）
43．解答探索性问题时要注意思维的广度，注重知识间的联系，善于运用数学思想解题，一般分猜想归纳型、存在型问题、分类讨论型几种基本题型。
易错知识点之三(100个)
1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.
2．你会用补集思想解决有关问题吗？
3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？特别要注意区间的开闭情况
[问题]:{}1
|2-
=x
y
x、{}1
|2-
=x
y
y、{}1
|)
,
(2-
=x
y
y
x的区别是
什么？ 4．绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？
6．三个二次（哪三个二次？）的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数
求最值？注意到对二次项系数及对称轴进行讨论了吗？解：()0
12
2>
-
-b
x
a？
7．简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是什么？如何判断充分与必要条件？请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别.
8．什么是映射、什么是一一映射？已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作 27 个A到B上的映射，那么可以作 6 个A到B上的一一映射.
9．函数的表示方法有哪一些？如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性？单调性、周期性、奇偶性在函数的图象上如何反应？
[问题]：已知函数()[],9,1,2log 3∈+=x x x f 求函数()[]()22x f x f y +=的单调
递增区间.
10．如何正确表示分数指数幂？指数、对数的运算性质是什么？
11．你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗?
[问题]：已知函数()[)+∞∈=,3log x x x f a 在上，恒有1)(>x f ，则实数的a 取值范围是： 。
12．你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗？（定义法、导数法）
13．如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小；②解抽象函数不等式；③求参数的范围（恒成立问题）.这几种基本应用你掌握了吗？
[问题]：写出函数)0()(>+
=m x m x x f 的图象及单调区间.],[d c x ∈时,求函数的最值. [问题]：证明“函数)(x f 的图象关于直线a x =对称”与证明“函数)(x f 与函数)(x g 的图象关于直线a x =对称”有什么不同吗？
15．等差（等比）数列的三大性质：下标和，等距和，子数列性质
[问题]：在等差数列{}n a 中，369181716-==++a a a a ，其前
n S n 项的和为，()求1n S 的最小值；()n n a a a T +++=Λ212求
16．解决一些等比数列的前n 项和问题，你注意到要对公比1=q 及1≠q 两种情况进行讨论了吗？
17．在“已知n S ，求n a ”的问题中,你在利用公式1--=n n n S S a 时注意到2≥n 了吗？(1=n 时，应有11S a =)
18．解决递推数列问题通常有哪两种处理方法？（①猜证法；②转化为等差（比）数列问题③累加法④累乘法等等）
[问题]：已知:.,32,111n n n n a a a a 求+==-
20．一般数列的求和问题你能够找到一些办法吗?(倒序相加法、错位相减法、拆项裂项法，并项求和法)
*21．用数学归纳法证明问题的基本步骤是什么？第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。第二步证明时要一凑假设，二凑结论.你注意到“用数学归纳法证明中，必须用上归纳假设”吗？
22．正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗?，若角的终边在坐标轴上，那它归哪个象限呢？你知道锐角与第一象限的角;终边相同的角和相等的角的区别吗？
23．角度与弧度如何换算？你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式
吗？l=αR,S=lR R 2
1212=α 24．三角函数的定义及单位圆内的三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）的定义你知道吗?
25．诱导公式， )()()()(,,,βαβαβαβα-+-+S S C C 及二倍角公式你熟记了吗？你会
推导每个三角公式吗？还记得某些特殊角（00,
0000000150,135120,90,60,45,30等）的三角函数值吗？
26．掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质.你会写三角函数的单调区间吗？会写简单的三角不等式的解集吗？(要注意数形结合与书写规范,可别忘了Z k ∈），你是否清楚函数)sin(?ω+=x A y 的图象可以由函数x y sin =经过怎样的变换得到吗？[问题]：如何把函数x y 3sin 2=的图象变成函数)33sin(2π
+=x y 的图象？如何把函数)3sin(2π+=x y 的图象变成函数
)
33sin(2π
+=x y 的图象？
27．你会用五点法画B x A y ++=)sin(φω的草图吗？哪五点？会根据图象求参数B A ,,,φω的值吗？
28.你会求三角函数的周期吗？（先化简再求）
辅助角公式在求周期、化简时起着重要作用：
)sin()cos sin (cos sin 22222222θ++=++++=+x b a x b a b x b a a
b a x b x a
29．在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗？（先求出某一个三角函数值，再判定角的范围）
31．三角函数中的和、差、倍、降幂公式、辅助角公式在求值、化简、和证明时“正用”及“逆用”、“变用”你都掌握了吗？
[问题]：已知,21cos sin =
βα求βαsin cos =t 的变化范围. 32．你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？
33．你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？
（利用2
2||→→=a a ；22||y x a +=） 34．你知道解决向量问题有哪两种途径？（①向量运算；②向量的坐标运算）
35．你弄清“02121=+?⊥→→y y x x b a ”与“0//1221=-?→
→y x y x b a ”了吗？
[问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？①在实数中：若0≠a ，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若→→≠0a ，且0=?→→b a ，不能推出→→=0b .②已知实数)(,,,o b c b a ≠，且bc ab =，则a=c,但在向量的数量积中没有→→→→→→=??=?c a c b b a .③在实数中有)()(c b a c b a ??=??，但是在向量的数
量积中)()(→→→→→→??≠??c b a c b a ，这是因为左边是与→c 共线的向量，而右边是与→
a 共线的向量.
36．向量的平移公式、函数图象的平移公式你掌握了吗？
37．正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？ 38．不等式证明的基本方法你都掌握了吗？（比较法；分析法；综合法；数学归纳法,放缩法等等）重要不等式是指哪几个不等式？由它们推出的均值不
等式链是什么？[问题]：若b a ≠，求证
|||11|22b a b a -<+-+.(注意方法) [问题]：若c b a ,,是不等边三角形的三边长，其面积为1/4，外接圆半径为
1，求证:c b a c b a ++>++111.
[问题]：求证c a c b b a -≥-+-411；若c a n c b b a -≥-+-11恒成立，求n 的
最大值.
39．利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正；二定；三等”.
40．解分式不等式应注意什么问题？用“根轴法”解整式（分式）不等式的注意事项是什么？
41．解含参数不等式怎样讨论？注意解完之后要写上“综上，原不等式的
解集是…”.[问]：
04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的范围.
42．你会用不等式||||||||||||b a b a b a +≤±≤-解（证）一些简单问题吗？
43．处理不等式恒成立问题有哪些常用的方法？（函数法，分离掺量法等等）
44．直线的斜率公式、点到直线的距离公式、到角公式、夹角公式你记住了吗？
45．何为直线的方向向量？直线的方向向量与直线的斜率有何关系？
46．在用点斜式、斜截式求直线的方程时，你是否注意到k不存在的情况？
[问题]：截距是距离吗？“截距相等”意味着什么？
47.解决线性规划问题的基本步骤是什么？请你注意解题格式和完整的文字表达.（①设出变量，写出目标函数②写出线性约束条件③画出可行域④作出目标函数对应的系列平行线，找到并求出最优解⑦应用题一定要有答，注意单位。）
48．你知道解决直线与圆的位置关系问题常常利用圆心到直线的距离吗？直线与圆锥曲线的位置关系怎样判断？
49．三种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质你掌握了吗?
50．利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序？如何利用第二定义推出圆锥曲线的焦半径公式？如何应用焦半径公式？
51．用圆锥曲线方程与直线方程联立求解时，在得到的方程中你注意到
?这一条件了吗？圆锥曲线本身的范围你注意了吗？
≥
52．曲线与直线相交时，弦长如何求，弦长公式你记得吗？
53．解析几何问题的求解中，平面几何知识利用了吗？题目中是否已经有坐标系了，是否需要建立直角坐标系？
54．求轨迹的几种基本方法是什么？每一种方法的基本步骤是怎样的？求轨迹后务必查漏去多（多余的点）
55．圆和椭圆的参数方程是怎样的？常用参数方程的方法解决哪一些问题？
56．平面的基本性质是什么？（三个公理，三个推论）
57．上述各个公理和推论的意义和作用是什么?(请注意在表示点、线、面之间的关系时的符号的规范性.)[问题]：三个平面两两相交，有三条交线，证明：这三条交线两两平行或相交于一点.[问题]：已知：
=I
I
=
a=
,
//证明：a、b、c、d共面.
//
b
,
I,
d
c
d
C
B
d
a
A
b
c
58．你掌握了空间图形在平面上的直观画法吗？（斜二测画法）。
59．理解空间两直线位置关系分类方法，掌握平行直线的性质（公理
4），理解异面直线的概念和判定定理.你知道如何证明空间两直线的位置关系吗？（相交、平行和异面）
60．线面平行和面面平行的定义、判定和性质定理你掌握了吗？线线平行、线面平行、面面平行这三者之间的联系和转化在解决立几问题中的应用是怎样的？每种平行之间转换的条件是什么？
61．线面垂直和面面垂直的定义、判定和性质定理你掌握了吗？线线垂直、线面垂直、面面垂直这三者之间的联系和转化在解决立几问题中的应用是怎样的？每种垂直之间转换的条件是什么？
62．三垂线定理及其逆定理你记住了吗？
63．求线面角的关键是什么？（找直线的射影）.异面直线所成的角如何求？
64．你知道从确定平面外一点向平面作射影的三种常用方法吗？（①面面垂直?线面垂直；②从角的顶点出发引角所在平面的一条斜线，若该斜线与角的两边成等角，则该斜线在此平面上的射影是角平分线所在直线；③利用特殊三棱锥顶点在底面上射影的位置）
65．你知道作二面角的平面角的主要方法是什么？（定义法、三垂线定理、垂面法）
66．你知道公式：θθθcos cos cos 12=和
S S '
cos =θ中每一字母的意思吗？能够熟练地应用它们解题吗？
67．空间向量的意义及其向量的加减、数乘、数量积运算的法则是什么？向量共线、共面、垂直的充要条件是什么？
68．空间向量的基本定理.空间任一向量可由空间基向量唯一表示出来.你知道利用向量解决几何问题的一般步骤是什么？
69．空间向量的夹角的坐标运算公式.你知道如何运用夹角公式求直线与平面所成的角、直线与平面内的直线所成的角、二面角及其平面角吗？请注意这些角的意义、求法和角的取值范围.
70．空间向量的距离的坐标运算公式.分清几个距离的意义和计算方法（公式）. 你知道如何运用距离公式求点到直线的距离、直线到与直线平行的平面的距离、两个平行平面间的距离、异面直线间的距离吗?
72．棱柱及其性质、平行六面体与长方体及其性质、长方体对角线定理及其证明.这些知识你掌握了吗?（注意运用向量的方法解题）
73．棱锥及其性质、正棱锥及其性质、正多面体的种类你掌握了吗?
74．球及其性质；地球经度线和纬度线的意义、球面距离的求法；球的表面积和体积公式. 这些知识你掌握了吗?
75．你掌握了解决排列、组合应用题的常见方法吗？（①考虑特殊元素；②考虑特殊位置；③捆绑法；④插入法；⑤先选后排法；⑥排除法；⑦列举法.）
76．二项式展开式的通项公式记得吗？用赋值法求出二项展开式的奇次项系数之和与偶次项系数之和，你还记得吗？
77．你掌握了三种常见的概率公式吗？（①等可能事件的概率公式；②互斥事件有一个发生的概率公式；③相互独立事件同时发生的概率公式.）
[问题]：某人每次射击击中的概率是0.2,射击中每次射击的结果是相互独立的，求他在10次射击中击中目标的次数不超过5次的概率.
78．n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率公式为
k n k k n n p p C k P --=)1()(，你在运用时有过差错吗？
*79．理解随机变量，离散型随机变量的定义，你能够写出离散型随机变量的分布列吗?
（1）期望值E ξ＝ x 1p 1 + x 2p 2 + … + x n p n + … ;
（2）方差D ξ＝???+-+???+-+-n n p E x p E x p E x 2222121)()()(ξξξ ;
(3)标准差
ξξξξξδξD a b a D b aE b a E D 2)(;)(;=++=+=； [问题]：某人每次投篮投中的概率为0.1,每次投篮的结果是相互独立的，求他首次投篮投中时所需要投篮次数的分布列及他在5次内投中的概率.
*80.你知道二项分布的定义和有关性质吗?
ξ～B (n ，p )，其中n,p 为参数，
,)(k n k k n q p C k P -==ξ 记为:),;(p n k b q p C k n k k n =-；二项分布是一种常见的离散型随机变量的分
布，比如投硬币，投骰子 ，射击等等。怎样的离散型随机变量ξ服从二项分布？又二项分布的期望与方差分别是什么？（若ξ～B （n,p ）,则E ξ＝np, D ξ＝npq,这里q=1- p ）.
81．你知道哪几种常见的抽样方法？它们各自的特点及适用范围是怎样的？简单随机抽样（包括抽签法和随机数表法）；系统抽样，也叫等距离抽样；分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形.
82.如何对总体分布进行估计?(用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图；理解频率分布直方图矩形面积的几何意义.)
*83．你还记得一般正态总体),(2σμN 如何化为标准正态总体)1,0(N 吗？
（对任一正态总体),(2σμN 来说，取值小于x 的概率)()(σμ
-Φ=x x F ，其中
)(σμ
-Φx 表示标准正态总体)1,0(N 取值小于σμ
-x 的概率）
*84．两个变量之间的关系有哪两种？（①函数关系；②相关关系.）你知道对于具有相关关系的两个变量的一组观测值，如何求出的回归直线方程吗？
*85.你了解假设检验的基本思想吗?
（1） 提出统计假设，确定随机变量服从正态分布
),(2σμN ； （2） 确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-；
（3） 作出推断：如果a ∈)3,3(σμσμ+-，接受统计假设； 如果 a ?)3,3(σμσμ+-由于这是小概率事件，就拒绝假设；
(4) 相关系数r,衡量变量y 与x 之间的相关程度，|r|≤1,且|r|越接近于1，相关程度越大；且|r|越接近于0，相关程度越小.
90．你会用“)(x f 在其定义域内可导，且不恒为零，则)(x f 在某区间I 上
单调递增（减）
?)0(0)(/≤≥x f 对I x ∈恒成立。”解决有关函数的单调性问题吗？92. 你知道导数有哪一些应用?
93. 你知道求可导函数最大值与最小值的步骤吗?求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根和使)(x f '不存在的x 值；③检验)(x f '在方程0)(='x f 的根和使)(x f '不存在的x 的左右的符号，如果左正右负，那么函数)(x f y =在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数)(x f y =在这个根处取得极小值.
求可导函数最值的步骤：①求)(x f y =在),(b a 内的极值；②将)(x f y =在各极值点的极值与)()(b f a f 、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值.
*94.你了解复数、实数、虚数、纯虚数、模、共轭复数的概念和复数的几何表示吗?请你熟练掌握结论：①a+bi=c+di ?a=c 且c=d(a,b,c,d ∈R); 复数是实数的条件z=a+bi ∈R ?b=0 (a,b ∈R);z ∈R ?z=z ?z 2≥0;
*96.复数是纯虚数的条件你知道吗?z=a+bi 是纯虚数?a=0且b ≠0(a,b ∈R) ?z ＋z ＝0（z ≠0）?z 2<0;
*97.复数的代数形式及其运算法则你掌握了吗?
*98.复数运算中，请记住几个重要的结论：;z z z )3(;
)2();
(2)1(22222
221221221≠==?+=-++为虚数，则若z z z z z z z z z z ()().;1;;1)6(;11;115;
2)1(434241442i i i i i i i i
i i i i i i n n n n -=-===-=+-=-+±=±+++
99.中学数学解题中常用的思想方法你知道吗？
（函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和化归转化的思想）
100．高中数学课本中的几个研究性学习的材料你清楚吗？（分期付款问题、杨辉三角、欧拉公式、*复数的三角形式等）
高中数学知识点易错点梳理
高考数学考前提醒：高中知识点易错点梳理 一、集合、简易逻辑、函数 1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜ x ｜,y},且A=B,则x+y= 2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜ y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2 +1,x ∈R}求M ∩N 的区别。 3． 集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的子集B A ?时是否忘记?. 例如：()()012222 <--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论 了a ＝2的情况了吗？ 4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2， 12-n ， 12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个 5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中 7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。{21,}{41,}M x x k k x x k k ==+∈==±∈Z Z 7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表: 9、 互 互 互 为 互 否 逆 逆 否 否 否 否 否 否 互 逆 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. 10、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪几 种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质： ①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. ②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称； 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称； 函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称. ③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数． ④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数． ⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数 ()a x f y +=()0(a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数 ()x f y =+a )0( 高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 . 2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念 1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设 高二数学易错知识点归纳五篇 高二这一年，是成绩分化的分水岭，成绩会形成两极分化：行则扶摇直上，不行则每况愈下。下面就是给大家带来的高二数学知识点，希望能帮助到大家！ 高二数学知识点1 1.不等式证明的依据 (2)不等式的性质(略) (3)重要不等式：①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R) ②a2+b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号) 2.不等式的证明方法 (1)比较法：要证明ab(a0(a-b0)，这种证明不等式的方法叫做比较法. 用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号. (2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法. (3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法. 证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等. 高二数学知识点2 第一章：集合和函数的基本概念，错误基本都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就是五分没了。次一级的知识点就是集合的韦恩图，会画图，集合的“并、补、交、非”也就解决了，还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。 第二章：基本初等函数：指数、对数、幂函数三大函数的运算性质及图像。函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习基本就没多大问题。函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及 高中数学知识点总结 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与 高中数学高考易错知识点归纳 忽视零截距致误 解决有关直线的截距问题时应注意两点：一是求解时一定不要忽略截距为零这种特殊 情况;二是要明确截距为零的直线不能写成截距式。因此解决这类问题时要进行分类讨论，不要漏掉截距为零时的情况。 忽视圆锥曲线定义中条件致误 利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件。如在双 曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值;其二，2a<|F1F2|。如果不满足第一 个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是 双曲线的一支。 误判直线与圆锥曲线位置关系 过定点的直线与双曲线的位置关系问题，基本的解决思路有两个：一是利用一元二次 方程的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零，当二次项 系数为零时，直线与双曲线的渐近线平行或重合，也就是直线与双曲线最多只有一个交点;二是利用数形结合的思想，画出图形，根据图形判断直线和双曲线各种位置关系。在直线 与圆锥曲线的位置关系中，抛物线和双曲线都有特殊情况，在解题时要注意，不要忘记其 特殊性。 两个计数原理不清致误 分步加法计数原理与分类乘法计数原理是解决排列组合问题最基本的原理，故理解 “分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提，在解题时，要分析计数对象的本质 特征与形成过程，按照事件的结果来分类，按照事件的发生过程来分步，然后应用两个基 本原理解决.对于较复杂的问题既要用到分类加法计数原理，又要用到分步乘法计数原理，一般是先分类，每一类中再分步，注意分类、分步时要不重复、不遗漏，对于“至少、至多”型问题除了可以用分类方法处理外，还可以用间接法处理。 排列、组合不分致误 为了简化问题和表达方便，解题时应将具有实际意义的排列组合问题符号化、数学化，建立适当的模型，再应用相关知识解决.建立模型的关键是判断所求问题是排列问题还是 组合问题，其依据主要是看元素的组成有没有顺序性，有顺序性的是排列问题，无顺序性 的是组合问题。 混淆项系数与二项式系数致误 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高中数学 必修3知识点 第一章 算法初步 一，算法与程序框图 1，算法的概念：按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。 2，算法的三个基本特征：明确性，有限性，有序性。 （1）顺序结构：顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。 （2）条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 （3）循环结构：直到型循环结构，当型循环结构。一个完整的循环结构，应该包括三个内容：1）循环体；2）循环判断语句；3）与循环判断语句相关的变量。 二，基本算法语句（一定要注意各种算法语句的正确格式） 1，输入语句 2，输出语句 3，赋值语句 注意：“=”的含义是赋值，将右边的值赋予左边的变量 4，条件语句 5，循环语句： 直到型 当型 注意：提示内容用双引号标明，并 与变量用分号隔开。 三，算法案例 1，辗转相除法： 例：求２１４６与１８１３的最大公约数 ２１４６＝１８１３×１＋３３３ １８１３＝３３３×５＋１４８ ３３３＝１４８×２＋３７ １４８＝３７×４＋０ ．．．．．．．．．．．．．．余数为０时计算终止。 为最大公约数 2，更相减损术：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 3，秦九韶算法：将1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 改写成 1210()(()))n n n f x a x a x a x a x a --=+++++ 再由内及外逐层计算。 4，进位制：注意K 进制与十进制的互化。 1）例：将三进制数(3)10212化为十进制数 10212(3)=2+1×3+2×32+0×33+1×34=104 2）例：将十进制数１０４化为三进制数 １０４＝３×３４＋２ ．．．．．．． 最先出现的余数是三进制数的最右一位 ３４＝３×１１＋１ １１＝３×３＋２ ３＝３×１＋０ １＝３×０＋１ ．．．．．．．．．．．． 商数为0时计算终止 １０４=(3)10212 第二章 统计 一，随机抽样 1，简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽取到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。（关键词）逐个，不放回，机会相等 2，随机数表法的步骤： 1）编号； 2）确定起始数字；3）按一定规则读数（所读数不能大于最大编号，不能重复）。 3，系统抽样的步骤： 1）编号； 2）分段（若样本容量为n ，则分为n 段）；分段间隔N k n = ，若N n 不是整数，则剔除余数，再重新分段； 3）在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号； 4）按照 一定的规则在后面每段内各取一个编号，组成整个样本。 4，分层抽样的步骤： 1）确定抽样比； 2）根据个体差异分层，确定每层的抽样个体数（抽样比乘以各层的个体数，如果不是整数，则通过四舍五入取近似值）；3）在每一层内抽取样本（个体数少就用简单随机抽样，个体数多则用系统抽样），组成整个样本。 5，三种抽样方法的异同点 直到型和当型循环可以相互演变，循环体相同，条件恰好互补。 高中数学易错题集锦 指导教师：任宝安 参加学生：路栋胡思敏 李梅张大山 ?【例1②×2①×2③+b a 和 993)3(f ∴3 3在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是 思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 有的学生一看到4 49 - ，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如 果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根βα、 ∴0)6k (4k 42≥+-=??.3k 2k ≥-≤或 当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8； 当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。 (2)已知(x+2)2+=1,求x 2+y 2的取值范围。 错解∴当分析∴ x 2 【例3错解)2的最小 值是分析2 1 ,第二 原式 由ab ∴原式≥2×17+4=2(当且仅当a=b=2时，等号成立)， ∴(a+a 1)2+(b+b 1 )2的最小值是。 ●不进行分类讨论，导致错误 【例4】已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a 错误解法.222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a 。 错误原因：没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是。 高中数学知识点总结 1. 首先对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 要注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 请问你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30 555 5015392522 ∈-- 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 第1章 空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 222r rl S ππ+= 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形， 锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2 高中数学易错知识点梳理 高中数学易错知识点梳理 集合与简单逻辑 第一、遗忘空集是任何非空集合的真子集，因此对于集合B，就有B=A、φ≠B、B≠φ三种情况出现。在实际解题中，如果考生思 维不够缜密，就有可能忽视第三种情况，导致结果出错。尤其是在 解含有参数的集合问题时，要充分注意当参数在某个范围内取值时 所给的集合可能是空集这种情况。空集是一个特殊集合，考生因思 维定式遗忘集合导致结果出错或不全面是常见的错误，一定要倍加 当心。 第二、忽视集合元素的三性集合元素具有确定性、无序性、互异性的特点，在三性中，数互异性对答题的影响最大，尤其是带有字 母参数的集合，实际上就隐含着对考生字母参数掌握程度的要求。 在考场答题时，考生可先确定字母参数的范围，再一一具体解决。 在否定一个命题时，要记住“全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题”的规律。如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，不是“a，b都是奇数”。 第四、充分必要条件颠倒两个条件A与B，若A=>B成立，则A 是B的充分条件，B是A的必要条件;若B=>A成立，则A是B的必 要条件，B是A的充分条件;若A<=>B，则AB互为充分必要条件。考生在解这类题时最容易出错的点就是颠倒了充分性与必要性，一定 要根据充要条件的概念作出准确的判断。 第五、逻辑联结词理解不准确 p∨q真<=>p真或q真，p∨q假<=>p假且q假(概括为一真即真); p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假(概括为一假即假); ┐p真<=>p假，┐p假<=>p真(概括为一真一假)。 函数与导数 第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，考生想要在考场上准确求出定义域，就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。 在求一般函数定义域时，要注意以下几点：分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的0次幂无意义。函数的定义域是非空的数集，在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。 第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数，判断分段函数的单调性有两种方法：第一，在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，然后对各个段上的单调区间进行整合;第二，画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质能够进行直观的判断。函数题离不开函数图象，而函数图象反应了函数的所有性质，考生在解答函数题时，要第一时间在脑海中画出函数图象，从图象上分析问题，解决问题。 对于函数不同的单调递增(减)区间，千万记住，不要使用并集，指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。 在用定义进行判断时，要注意自变量在定义域区间内的任意性。 第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的，在解答此类问题时，考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。多用特殊赋值法，通过特殊赋可以找到函数的不变性质，这往往是问题的突破口。 抽象函数性质的证明属于代数推理，和几何推理证明一样，考生在作答时要注意推理的严谨性。每一步都要有充分的条件，别漏掉条件，更不能臆造条件，推理过程层次分明，还要注意书写规范。 高中数学基础知识整合 函数与方程区间建立函数模型 抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布 单调性：同增异减赋值法，典型的函数 零点函数的应用 A 中元素在 B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多 函数的基本性质 单调性奇偶性周期性 对称性 最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ). 2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0. 3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。 f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。 函数的概念 定义 列表法解析法图象法 表示三要素使解析式有意义及实际意义 常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等 定义域 对应关系值域 函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换 基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数 指数函数与对数函数三角函数 定义、图象、性质和应用 函数 映 射 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 退出 上一页 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 导数 导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率 函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率 ()()的区别 与0x f x f ' '0 t t t v a S v ==，() 0' x f k =导数概念 基本初等函数求导 导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1 log sin cos cos sin 0''' ' 1' 'x x x x a n n e e a a a x x a x x x x x x nx x c c ==== -====-；；；；；；； 为常数()()()()[]()() ()()[]()()()()()()()()()()()[]2)3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=? ? ????+=?±=±是可导的，则有：，设()()[]()() x u u f x g f ' ' ' ?=1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点； 2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值 曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题 ()()()(). 00''在该区间递减在该区间递增，x f x f x f x f ?1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。 一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。 定 积分与微积分 定积分概念 定理应用 性质定理含意微积分基本 定理 曲边梯形的面积变力所做的功 ()的极限 和式i n i i x f ?∑-=1 1 ξ定义及几何意义 1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限； 2.用公式。 ()()()()[]()()()()()()()() c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx x f k dx x kf c b b a c a a b b a b a b a b a b a b a <<=-=±=±=?????????? .；；；()()()()()() 莱布尼兹公式牛顿则若--==?a F b F dx x f x f x F b a ,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程： （2）求变力所作的功； ()?=b a dx x F W ()dt t v s a b ?= 高一数学重要知识点汇总 ————————————————————————————————————————————————————————————————作者：日期： 2 必修 数学知识总结 必修一 一、集合 一、集合有关概念 1. 2. 集合的含义 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合 {H,A,P,Y} (3) 元素的无序性 : 如：{a,b,c} 和{a,c,b} 是表示同一个集合 3. 集合的表示： { } 如： { 我校的篮球队员 } ，{ 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 } (1) 用拉丁字母表示集合： A={我校的篮球队员 },B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作： N 正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1）列举法： {a,b,c } 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内 表示集合的方法。 {x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例： { 不是直角三角形的三角形 } 4）Venn 图: 4、集合的分类： (1) 有限集 (2) 无限集 (3) 空集 含有有限个元素的集合 含有无限个元素的集合 不含任何元素的集合 2 例：{x|x =－5｝ 二、集合间的基本关系 1. “包含”关系—子集 注意： A B 有两种可能（ 1） A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集合。 集合 A 不包含于集反之 : B, 或集合 B 不包含集合 A, 记作 AB 或 BA 2．“相等”关系： A=B (5 ≥ 5，且 5≤5，则 5=5) 2 实例： 设 A={x|x -1=0} B={-1,1} 等” “元素相同则两集合相 即：① 任何一个集合是它本身的子集。 A A ②真子集 : 如果 A B, 且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子 集， 记作 A B( 或 B ③如果 A B, B A) C , 那么 A C ④ 如果 A B 同时 B A 那么 A=B Φ 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定 : 集。 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子 n n-1 有 n 个元素的集合，含有 2 个子集， 2 个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2. 、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 高中数学37个易错知识点汇总分析 为了帮助同学们复习备考，减少不必要的丢分，下面对高中数学易错知识点37个进行汇总分析，供同学们参考。 1．在应用条件A∪B＝B，A∩B＝A 时，易忽略A是空集Φ的情况。 2．求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则，尤其是在与实际生活相联系的应用题中，判断两个函数是否是同一函数也要判断函数的定义域，求三角函数的周期时也应考虑定义域。 3．判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称，优先考虑定义域对称。 4．解对数不等式时，易忽略真数大于0、底数大于0且不等于1这一条件。 5．用判别式法求最值（或值域）时，需要就二次项系数是否为零进行讨论，易忽略其使用的条件，应验证最值。 6．用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为0。尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略。 7．用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正（几个数或代数式均是正数）二定（几个数或代数式的和或者积是定值）三等（几个数或代数式相等）”这一条件。 8．用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性。 9．求反函数时，易忽略求反函数的定义域。 10．求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示，而应用逗号连接多个区间。 11．用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝1的情况。 12．已知Sn求a n 时，易忽略n＝1的情况。 13．用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时，易忽略斜率不存在的情况；题目告诉截距相等时，易忽略截距为0的情况。 14.求含系数的直线方程平行或者垂直的条件时，易忽略直线与x轴或者y 轴平行的情况。 15．用到角公式时，易将直线L 1、L 2 的斜率ｋ 1 、ｋ 2 的顺序弄颠倒；使用到 高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版 一、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?， 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子 集，21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完 全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则： ()()21x f x f -=… (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ；高中数学知识点总结(精华版)
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