2005年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试
高等数学 试卷
一、单项选择题(每小题2分,共计60分)
在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案,并将其代码写在题
干后面的括号内。不选、错选或多选者,该题无分. 1.
函
数
x
x y --=
5)1ln(的定义域为为
( )
A.1>x 5 解:C x x x ?<???>->-51050 1. 2. 下 列 函 数 中 , 图 形 关 于 y 轴对称的是 ( ) A .x x y cos = B. 13++=x x y C. 222x x y --= D.2 22x x y -+= 解:图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数2 22x x y -+=为 偶函数,应选D. 3. 当0→x 时,与12 -x e 等价的无穷小量是 ( ) A. x B.2x C.x 2 D. 22x 解: ?-x e x ~12~12 x e x -,应选B. 4.=?? ? ??++∞ →1 21lim n n n ( ) A. e B.2e C.3e D.4e 解:2)1(2lim 2 )1(221 21lim 21lim 21lim e n n n n n n n n n n n n n n =? ?? ????? ??? ??+=?? ? ??+=?? ? ? ? + +∞→+?∞ →+∞ →∞→,应选B. 5.设 ?? ? ??=≠--=0,0,11)(x a x x x x f 在0=x 处连续,则 常数=a ( ) A. 1 B.-1 C.21 D.2 1 - 解:2 1 )11(1lim )11(lim 11lim )(lim 0000 =-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且2 1 )1()21(lim 0 =--→h f h f h ,则=')1(f ( ) A. 1 B.21- C.41 D.4 1 - 解:4 1 )1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='?='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h , 应选D. 7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dy dx 为 ( ) A. )1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y -- C.)1()1(-+y x x y D.) 1() 1(-+x y y x 解:对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++, 即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-, 所以 dy dx ) 1() 1(x y y x --= ,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f =',则=)()(x f n ( ) A. 1)]([+n x f n B. 1)]([!+n x f n C. 1)]()[1(++n x f n D. 1)]([)!1(++n x f n 解:423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ! ='?='''?='='', ?ΛΛ=)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B. 9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 ( ) A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x f C.]1,1[,11 )(2 --= x x f D .]1,1[|,|)(-=x x f 解:由罗尔中值定理条件:连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有 ]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A. 10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,2 1 (内,)(x f 单调 ( ) A.增加,曲线)(x f y =为凹的 B.减少,曲线)(x f y =为凹的 C.增加,曲线)(x f y =为凸的 D.减少,曲线)(x f y =为凸的 解: 在)1,21 (内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函 数)(x f 在)1,2 1 (内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B. 11.曲线x e y 1- = ( ) A. 只有垂直渐近线 B. 只有水平渐近线 C. 既有垂直渐近线,又有水平渐近线, D. 无水平、垂直渐近线 解:0lim ;11lim 0 =?∞==?=-→±∞ →x y y y x x ,应选C. 12.设参数方程为?? ?==t b y t a x sin cos ,则二阶导数 =2 2dx y d ( ) t a b 2sin .t a b 32sin - t a b 2cos .t t a b 2 2cos sin - 解:dx dt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ?'??? ??-='??? ??-=?-=''=sin cos sin cos sin cos 22 t a b t a t a b 322sin sin 1sin - =-?= ,应选B. 13.若?+=C e dx e x f x x 11 )(,则=)(x f ( ) A. x 1- B.21x - C.x 1 D.21 x 解:两边对x 求导 2211 1)()1()(x x f x e e x f x x -=?-?=,应选B. 14. 若 ?+=C x F dx x f )()( ,则 ?=dx x xf )(sin cos ( ) A.C x F +)(sin B.C x F +-)(sin C.C x F +)(cos D.C x F +-)(cos 解:??+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A. 15.下列广义积分发散的是 ( ) ?+∞ +0 2 11 dx x ? -1 2 11dx x ? +∞ e dx x x ln ?+∞-0dx e x 解:2arctan 11002π==+∞ ++∞?x dx x 。2 arcsin 111 010 2 π = =-? x dx x 。 ∞==+∞ ∞ +? e e x dx x x 2)(ln 2 1 ln 。10 =-=+∞-+∞-?x x e dx e ,应选C. 16. =? -1 1 ||dx x x ( ) 32343 2 -解:被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A. 17.设 ) (x f 在],[a a -上连续,则定积分 ? -=-a a dx x f )( ( ) B.?a dx x f 0 )(2 C.?--a a dx x f )( D.?-a a dx x f )( 解:?? ??-----===-===-a a a a a a a a u t dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D. 18.设)(x f 的一个原函数是x sin ,则='?xdx x f sin )( ( ) A.C x x +-2sin 2121 B.C x x ++-2sin 41 21 C.x 2sin 21 D.C x +-2sin 2 1 解:x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='?=?=' C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='? ??2sin 4 1 2122cos 1sin sin )(2,应选B. 19.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则不正确的是 ( ) A.?b a dx x f )(是)(x f 的一个原函数 B.?x a dt t f )(是)(x f 的一个原函数 C.?a x dt t f )(是)(x f -的一个原函数 D.)(x f 在],[b a 上可积 解:?b a dx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即?b a dx x f )(不是)(x f 的原 函数 ,应选A. 20.直线2 2 113+= -=-z y x 与平面01=+--z y x 的关系是 ( ) A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行 解:n s n s ρρρρ⊥?--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D.. 21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数x z ??和y z ??存在是它在该点处可微 的 ( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件 解:两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B. 22.设y x z 2ln = ,则=)2,1(dz ( ) A. dx x y 2 B.dy dx 2121- C.dy dx 21- D.dy dx 2 1+ 解:dy y dx x dz y x y x z 1 1ln 2ln 2ln -=?-==dy dx dz 2 1)2,1(-=?,应选C. 23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极小值点是 ( ) A.)1,1(- B.)1,1(- C.)1,1(-- D.)1,1( 解:)1,1(),(012012-=????????=-+=??=++=??y x y x y z y x x z ,应选B. 24.二次积分??2 2 ),(x dy y x f dx 写成另一种次序的积分是 ( ) A.?? 402),(y dx y x f dy B. ??400 ),(y dx y x f dy C.??40 2 2),(x dx y x f dy D. ?? 40 2 ),(y dx y x f dy 解:积分区域}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D ,应选A. 25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成的闭区域,则 ??=σD d y x f ),(() A.?? πθθθ20 20 )sin ,cos (a rdr r r f d B.??πθθθ20 20 )sin ,cos (a dr r r f d C.?? πθ θθθ20 cos 20 )sin ,cos (a rdr r r f d D.?? πθ θθθ20 cos 20 )sin ,cos (a dr r r f d 解:积分区域在极坐标下可表示为:}θcos 20,2 π θ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=,从而??= σD d y x f ),(? ? πθ θθθ20 cos 20 )sin ,cos (a rdr r r f d ,应选C. 26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧,=+?L dy x xydx 22() A. -1 B.1 C. 2 D. -1 解:L :,2 ???==x y x x x 从0变到1 , 1422210 4 10 310 332===+=+??? x dx x dx x dx x dy x xydx L ,应选B. 27. 下 列级数中,条件收敛的是 ( ) A .∑∞ =+-11)1(n n n n B .∑∞ =-1321 )1(n n n C .∑∞ =-1 21)1(n n n D .∑∞ =+-1)1()1(n n n n 解:∑∞ =+-11)1(n n n n 发散, ∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛,∑∞=-132 1)1(n n n 是收敛的,但∑ ∞ =1 3 21 n n 是32=p 的级数发散的,从而级数∑∞ =-1321)1(n n n 条件收敛,应选B. 28. 下列 命题 正确的是 ( ) A .若级数∑∞ =1n n u 与∑∞ =1n n v 收敛,则级数21 )(n n n v u +∑∞ =收敛 B .若级数∑∞ =1n n u 与∑∞=1n n v 收敛,则级数)(2 1 2n n n v u +∑∞ =收敛 C .若正项级数∑∞=1 n n u 与∑∞=1n n v 收敛,则级数21 )(n n n v u +∑∞ =收敛 D .若级数∑∞=1 n n n v u 收敛,则级数∑∞=1 n n u 与∑∞ =1 n n v 都收敛 解:正项级数∑∞=1 n n u 与∑∞=1n n v 收敛?∑∞=12 n n u 与∑∞ =1 2 n n v 收敛, 而)(2)(222 n n n n v u v u +≤+,所以级数21 )(n n n v u +∑∞ =收敛 ,应选C 。 29. 微分方程y x y y x -='-2)2(的通解为 ( ) A. C y x =+22 B.C y x =+ C.1+=x y D.222C y xy x =+- 解:注意对所给的方程两边求导进行验证,可得通解应为222C y xy x =+-,应选D. 30.微 分 方 程 0β2 2 2=+x dt x d 的通解是 ( ) A. t C t C x βsin βcos 21+= B. t t e C e C x β2β1+=- C.t t x βsin βcos += D.t t e e x ββ+=- 解:微分方程的特征方程为0βλ22=+,有两个复特征根i βλ±=,所以方程的通解为t C t C x βsin βcos 21+=,应选A. 二、填空题(每小题2分,共30分) 1.设2)1(2+=+x x f ,则=-)2(x f _________. 解:?+-=?++-+=+32)(3)1(2)1()1(22x x x f x x x f 116)2(2+-=-x x x f . 2.52 6lim 22=--+→x ax x x ,则=a _____________. 解:因10)6(lim 0)2(lim 22 2 =?=-+?=-→→a ax x x x x . 3.设函数x y arctan =在点)4 π ,1(处的切线方程是__________. 解:21111 2 1= +='===x x x y k ,则切线方程为)1(2 1 4π-=-x y , 即02 π 12=+ --y x . 4.设x x e x y 1=,则=dy ___________. 解:dx x x e x x x x d e dy e y x x x x x x x x ]1ln 1[)ln (2 1 ln ln +-=+=?=++ . 5.函数x x y ln 22-=的单调递增区间是 __________. 解:?>???? ?? >>-?-='21001414x x x x x x y ),21(∞+ 或),21[∞+. 6.曲线x e y =的拐点是_________. 解:104)1(21=?=-= ''?? ='x x x x e y x e y x x ,得拐点为),1(e . 7.设)(x f 连续,且x dt t f x ?=3 )(,则=)27(f _________. 解:等式x dt t f x ?=3 0)(两边求导有13)(23=x x f ,取3=x 有27 1 )27(= f . 8.设3)2(,2)2(,1)0(='==f f f ,则 ?=''1 )2(dx x f x __________. 解:???'-'='= ''101 0101 2)2(4 1)2(21)2(21)2(x d x f x f x x f xd dx x f x 4 5)0(41)2(41)2(21)2(41)2(211 0=+-'=-'=f f f x f f . 9.函数?-=x t dt te y 0 的极小值是_________. 解:0)0(00=?=?=='-f x xe y x . 10.?=+-dx x x x cos sin 1 ________. 解:??++=++=+-C x x x x x x d dx x x x |cos |ln cos )cos (cos sin 1. 11.由向量}2,1,0{},1,0,1{=-=b a ρρ 为邻边构成的平行四边形的面积为______. 解: 6||2210101=?=?+-=-=?b a S k j i k j i b a ρ ρρρρρρρρρ . 12.设 y z z x ln = ,则 =??+ ??y z x z _________. 解:令y z z x y z z x F ln ln ln +-=-= ,则 221,1,1z z x z z x F y F z F z y x +-=--='='= '. )(;2z x y z F F y z z x z F F x z z y z x += ''-=??+=''-=?? ,所以)() (z x y z y z y z x z ++=??+?? . 13.设D 是由0,,12==-=y x y x y ,所围成的第一象限部分,则 ??D dxdy x y 2 )( =_______. 解:积分区域在极坐标系下表示为}10,4 π θ0|)θ,{(≤≤≤ ≤=r r D ,则 ??????-=??? ??=104π 02102 4π 02 θ)1θ(sec θcos θsin θ)(rdr d rdr d dxdy x y D 8 π21)θθ(tan 21θ)1θ(sec 214π02 4π 02-=-=-=?d . 14.将2 23 )(x x x f -+= 展开为x 的幂级数是_________. 解:2 11 21112111)2)(1(323)(2 x x x x x x x x x f -++=-++=-+=-+=, 所以)11(,21)1()2(21)()(0100<<-????? ? +-=+-=∑∑∑∞ =+∞=∞ =x x x x x f n n n n n n n n . 15.用待定系数法求方程x e x y y y 2)12(44+=+'-''的特解时,特解应设为__________. 解:2是特征方程04λ4λ2=+-的二重根,且)12(+x 是一次多项式,特解应设为 x e B Ax x 22)(+. 三、计算题(每小题5分,共40分) 1.x x x x x cos sin 1lim 2 -+→. 解:x x x x x x x x x x x x x cos sin 1) cos sin 1(lim cos sin 1lim 202 0-+++=-+→→ )cos sin 1(lim cos sin 1lim 0 20x x x x x x x x x ++?-+=→→ x x x x x x x x x x cos sin 22lim 2cos sin 1lim 200 2 0+=-+=→→ 3 4 314sin cos 31lim 400 0=?=-=→x x x x . 2.已知2 arctan )(,2523x x f x x y ='?? ? ??+-=,求 =x dx dy . 解:令u x x =+-2 52 3,则)(u f y = , 22 )25(162523arctan 2523)(+???? ??+-='??? ??+-'=?=x x x x x u f dx du du dy dx dy , 所以 π4π42161arctan 2 =?=? ==x dx dy . 3.求不定积分 ?+dx x x 2 31. 解:??? +=+=+222 22 3111x d x dx x x x dx x x )1(11)(1122222222x d x x x x d x x x ++-+=+-+=?? C x x x ++-+=23 22 2 )1(3 2 1. 4.设??? ??<+≥+=0,210),1ln()(x x x x x f ,求?-20 )1(dx x f . 解:令t x =-1 ,则??-=-1 1 2 )()1(dt t f dx x f ????+++=+=--10 11 00 1)1ln(21 )()(dt t dt t dt t f dt t f ?+-+++=-101 0011)1ln()2ln(dt t t t t t ?+--+=10)11 1(2ln 2ln dt t 12ln 3)1ln(2ln 21 010-=++-=t t . 5.设),sin (22y x y e f z x += ,其中),(v u f 可微,求 y z x z ????,. 解:令v y x u y e x =+=22,sin ,则),(v u f z =,复合关系结构如图05-1所示, x v v z x u u z x z ?????+?????=?? ),(2),(sin v u f x v u f y e v u x '+'=, y v v z y u u z y z ??? ??+?????=?? ),(2),(cos v u f y v u f y e v u x '+'=. 6.求?? D dxdy y x 22 ,其中D 是由2,1===x x y xy 及所围成的闭区域. 解:积分区域如图05-2所示,曲线x y xy ==,1在第一象限内的交点为(1,1),积分区域可表示为:x y x x ≤≤≤≤1 , 21. 则????? -==2 1 12 122 2 12 2 )1(dx y x dy y x dx dxdy y x x x x x D ?? -=?????? -=2132 1 2 )(1dx x x dx x x x 49242 124=???? ? ?-=x x . 7.求幂级数1 20 12)1(+∞ =∑+-n n n x n 的收敛域(考虑区间端点). 解: 这是缺项的规范的幂级数, 因为 2 21232113212lim )1(1232)1(lim lim ρx n n x x n n x u u n n n n n n n n n =++=-+?+-==∞→+++∞→+∞→, z v u x x y y 图05-1 x x 图05-2 当1ρ<,即11<<-x 时,幂级数绝对收敛; 当1ρ>,即1>x 或1- 若1=x 时,幂级数化为∑∞ =+-0 12)1(n n n 是交错级数,满足来布尼兹定理的条件, 是收敛的,若1-=x 时,幂级数化为∑∞ =++-01 1 2)1(n n n 也是交错级数,也满足来布尼兹 定理的条件,是收敛的. 故幂级数的收敛域为[-1,1]. 8.求微分方程 0cos 2)1(2=-+'+x xy y x 通解. 解:微分方程可化为 1cos 1222+= ++ 'x x y x x y ,这是一阶线性非齐次微分方程,它对应的齐次线性微分方程0122=++'y x x y 的通解为1 2 +=x C y . 设非齐次线性微分方程的通解为1 ) (2 += x x C y ,则222)1()(21)(+-+'='x x xC x x C y ,代入方程得x x C cos )(=',所以C x x C +=sin )(. 故原微分方程的通解为1 sin 2 ++=x C x y (C 为任意常数). 四、应用题(每小题7分,共计14分) 1. 一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套 公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修费.试问租金定为多少可获得最大收入最大收入是多少 解:设每套公寓租金为x 元时,所获收入为y 元, 则 )2000(),200](100 2000 50[>---=x x x y , 整理得 ),14000007200(100 1 2-+-= x x y )72002(100 1 +-= 'x y 均有意义, 令0='y 得唯一可能的极值点3600=x ,而此时050 1 <-=''y ,所以3600=x 是使y 达到极大值的点,即为最大值的点. 最大收入为115600340034)2003600](100 2000 360050[=?=--- =y (元). 故 租金定为每套3600元时,获得的收入最大,最大收入为115600元. 2.平面图形由抛物线x y 22=与该曲线在点)1,21 (处法线所围成,试求: (1)该平面图形的面积。 (2)该平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积. 解:平面图形如图05-3所示,切点)1,21 (A 处的切线斜率为2 1='=x y k , 由x y 22=得y y 1 = ',故A 点处的切线斜率 112 1='='===y x y y k , 从而A 点处的法线斜率为-1, 法线方程为02 3 =-+y x . 联立方程组??? ??=-+=0 23 22 y x x y 得另一交点)3,29(-B . (1) 把该平面图形看作Y 型区域,其面积为 316)6223(2)2 3(1 3321 32=--=??????--=--?y y y dy y y S 。 (2) 根据抛物线的对称性知,该平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积等于平面图形OBC 绕x 轴旋转所成旋转体的体积,有 故 ??+--=--=292 32 92 332290 22290 )3 1 2349(ππ)2 3 (π2πx x x x dx x xdx V x π4 45]9 81[ π=-=. x 图05-3 02 3 =- y 五、证明题(6分) 试证:当0>x 时,有 x x x x 11ln 11<+<+. 证明:构造函数x x f ln )(=,它在)0(∞+,内连续, 当0>x 时,函数在区间]1,[x x +上连续,且x x f 1 )(= '. 故)(x f 在]1,[x x +上满足Lagrange 中值定理,存在)1,(ξ+∈x x , 使得)ξ()()1(f x f x f '=-+,)1ξ(+< x f x 1 ξ1)ξ(11<='<+,故有 x x x x 1ln )1ln(11<-+<+, 即0>x 时,x x x x 1 1ln 11<+<+成立.