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专升本高数真题及答案

专升本高数真题及答案
专升本高数真题及答案

2005年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试

高等数学 试卷

一、单项选择题(每小题2分,共计60分)

在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案,并将其代码写在题

干后面的括号内。不选、错选或多选者,该题无分. 1.

x

x y --=

5)1ln(的定义域为为

( )

A.1>x 5

解:C x x x ?<->-51050

1.

2.

,

y 轴对称的是

( )

A .x x y cos = B. 13++=x x y

C. 222x x y --=

D.2

22x

x y -+=

解:图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数2

22x

x y -+=为

偶函数,应选D.

3. 当0→x 时,与12

-x e 等价的无穷小量是 ( ) A. x B.2x C.x 2 D. 22x

解: ?-x e x

~12~12

x e

x -,应选B.

4.=??

? ??++∞

→1

21lim n n n ( )

A. e

B.2e

C.3e

D.4e

解:2)1(2lim

2

)1(221

21lim 21lim 21lim e n n n n n n n n

n n n n n n =?

??

?????

??? ??+=??

? ??+=??

? ?

?

+

+∞→+?∞

→+∞

→∞→,应选B.

5.设

??

?

??=≠--=0,0,11)(x a x x

x

x f 在0=x 处连续,则 常数=a ( )

A. 1

B.-1

C.21

D.2

1

-

解:2

1

)11(1lim )11(lim 11lim

)(lim 0000

=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C.

6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且2

1

)1()21(lim 0

=--→h f h f h ,则=')1(f

( )

A. 1

B.21-

C.41

D.4

1

- 解:4

1

)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='?='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,

应选D.

7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dy

dx

( )

A.

)1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y -- C.)1()1(-+y x x y D.)

1()

1(-+x y y x

解:对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++,

即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++,

dy x xy dx xy y )()(-=-,

所以

dy dx )

1()

1(x y y x --=

,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f =',则=)()(x f n ( ) A. 1)]([+n x f n B. 1)]([!+n x f n

C. 1)]()[1(++n x f n

D. 1)]([)!1(++n x f n

解:423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f !

='?='''?='='', ?ΛΛ=)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.

9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 ( ) A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x f C.]1,1[,11

)(2

--=

x

x f D .]1,1[|,|)(-=x x f 解:由罗尔中值定理条件:连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有

]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A.

10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,2

1

(内,)(x f 单调 ( )

A.增加,曲线)(x f y =为凹的

B.减少,曲线)(x f y =为凹的

C.增加,曲线)(x f y =为凸的

D.减少,曲线)(x f y =为凸的

解: 在)1,21

(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函

数)(x f 在)1,2

1

(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B.

11.曲线x

e

y 1-

=

( )

A. 只有垂直渐近线

B. 只有水平渐近线

C. 既有垂直渐近线,又有水平渐近线,

D. 无水平、垂直渐近线 解:0lim ;11lim 0

=?∞==?=-→±∞

→x y y y x x ,应选C.

12.设参数方程为??

?==t

b y t a x sin cos ,则二阶导数

=2

2dx y

d ( )

t a b 2sin .t a b

32sin -

t a b 2cos .t

t a b

2

2cos sin - 解:dx

dt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ?'??? ??-='??? ??-=?-=''=sin cos sin cos sin cos 22

t

a b

t a t a b 322sin sin 1sin -

=-?=

,应选B. 13.若?+=C e dx e x f x

x

11

)(,则=)(x f ( )

A. x 1-

B.21x -

C.x 1

D.21

x

解:两边对x 求导 2211

1)()1()(x

x f x e e x f x

x

-=?-?=,应选B. 14. 若

?+=C

x F dx x f )()( ,则

?=dx x xf )(sin cos

( )

A.C x F +)(sin

B.C x F +-)(sin

C.C x F +)(cos

D.C x F +-)(cos 解:??+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A.

15.下列广义积分发散的是 ( )

?+∞

+0

2

11

dx x

?

-1

2

11dx

x ?

+∞

e

dx x x ln ?+∞-0dx e x 解:2arctan 11002π==+∞

++∞?x dx x

。2

arcsin 111

010

2

π

=

=-?

x dx x 。 ∞==+∞

+?

e

e

x dx x x 2)(ln 2

1

ln 。10

=-=+∞-+∞-?x

x e dx e ,应选C.

16.

=?

-1

1

||dx x x

( ) 32343

2

-解:被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A. 17.设

)

(x f 在],[a a -上连续,则定积分

?

-=-a

a

dx x f )(

( )

B.?a dx x f 0

)(2 C.?--a a

dx x f )( D.?-a

a

dx x f )(

解:??

??-----===-===-a

a

a

a

a a

a

a

u

t dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.

18.设)(x f 的一个原函数是x sin ,则='?xdx x f sin )( ( )

A.C x x +-2sin 2121

B.C x x ++-2sin 41

21 C.x 2sin 21 D.C x +-2sin 2

1

解:x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='?=?='

C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='?

??2sin 4

1

2122cos 1sin sin )(2,应选B. 19.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则不正确的是 ( )

A.?b a

dx x f )(是)(x f 的一个原函数 B.?x

a

dt t f )(是)(x f 的一个原函数

C.?a

x

dt t f )(是)(x f -的一个原函数 D.)(x f 在],[b a 上可积

解:?b a

dx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即?b

a

dx x f )(不是)(x f 的原

函数 ,应选A.

20.直线2

2

113+=

-=-z y x 与平面01=+--z y x 的关系是 ( )

A. 垂直

B.相交但不垂直

C. 直线在平面上

D. 平行

解:n s n s ρρρρ⊥?--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D..

21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数x

z ??和y z

??存在是它在该点处可微

( )

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.无关条件

解:两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.

22.设y

x z 2ln = ,则=)2,1(dz ( ) A.

dx x y 2 B.dy dx 2121- C.dy dx 21- D.dy dx 2

1+ 解:dy y dx x dz y x y x z 1

1ln 2ln 2ln

-=?-==dy dx dz 2

1)2,1(-=?,应选C. 23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极小值点是 ( ) A.)1,1(- B.)1,1(- C.)1,1(-- D.)1,1(

解:)1,1(),(012012-=????????=-+=??=++=??y x y x y

z y x x

z

,应选B.

24.二次积分??2

2

),(x dy y x f dx 写成另一种次序的积分是 ( )

A.??

402),(y dx y x f dy B. ??400

),(y

dx y x f dy C.??40

2

2),(x

dx y x f dy D. ??

40

2

),(y

dx y x f dy

解:积分区域}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D ,应选A.

25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成的闭区域,则

??=σD

d y x f ),(()

A.??

πθθθ20

20

)sin ,cos (a

rdr r r f d B.??πθθθ20

20

)sin ,cos (a

dr r r f d

C.??

πθ

θθθ20

cos 20

)sin ,cos (a rdr r r f d D.??

πθ

θθθ20

cos 20

)sin ,cos (a dr r r f d

解:积分区域在极坐标下可表示为:}θcos 20,2

π

θ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=,从而??=

σD

d y x f ),(?

?

πθ

θθθ20

cos 20

)sin ,cos (a rdr r r f d ,应选C.

26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧,=+?L

dy x xydx 22()

A. -1

B.1

C. 2

D. -1

解:L :,2

???==x

y x

x x 从0变到1 , 1422210

4

10

310

332===+=+???

x dx x dx x dx x dy x xydx L

,应选B.

27.

列级数中,条件收敛的是

( )

A .∑∞

=+-11)1(n n

n n B .∑∞

=-1321

)1(n n n

C .∑∞

=-1

21)1(n n

n D .∑∞

=+-1)1()1(n n

n n

解:∑∞

=+-11)1(n n

n n 发散, ∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛,∑∞=-132

1)1(n n

n 是收敛的,但∑

=1

3

21

n n 是32=p 的级数发散的,从而级数∑∞

=-1321)1(n n n

条件收敛,应选B.

28. 下列

命题

正确的是

( )

A .若级数∑∞

=1n n u 与∑∞

=1n n v 收敛,则级数21

)(n n n v u +∑∞

=收敛

B .若级数∑∞

=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛,则级数)(2

1

2n n n

v u +∑∞

=收敛 C .若正项级数∑∞=1

n n u 与∑∞=1n n v 收敛,则级数21

)(n n n v u +∑∞

=收敛

D .若级数∑∞=1

n n n v u 收敛,则级数∑∞=1

n n u 与∑∞

=1

n n v 都收敛

解:正项级数∑∞=1

n n u 与∑∞=1n n v 收敛?∑∞=12

n n

u 与∑∞

=1

2

n n v 收敛,

而)(2)(222

n

n

n n v u v u +≤+,所以级数21

)(n n n v u +∑∞

=收敛 ,应选C 。

29. 微分方程y x y y x -='-2)2(的通解为

( )

A. C y x =+22

B.C y x =+

C.1+=x y

D.222C y xy x =+-

解:注意对所给的方程两边求导进行验证,可得通解应为222C y xy x =+-,应选D.

30.微

0β2

2

2=+x dt

x d 的通解是

( )

A. t C t C x βsin βcos 21+=

B. t t e C e C x β2β1+=-

C.t t x βsin βcos +=

D.t t e e x ββ+=-

解:微分方程的特征方程为0βλ22=+,有两个复特征根i βλ±=,所以方程的通解为t C t C x βsin βcos 21+=,应选A.

二、填空题(每小题2分,共30分)

1.设2)1(2+=+x x f ,则=-)2(x f _________.

解:?+-=?++-+=+32)(3)1(2)1()1(22x x x f x x x f

116)2(2+-=-x x x f .

2.52

6lim 22=--+→x ax x x ,则=a _____________. 解:因10)6(lim 0)2(lim 22

2

=?=-+?=-→→a ax x x x x .

3.设函数x y arctan =在点)4

π

,1(处的切线方程是__________.

解:21111

2

1=

+='===x x x y k ,则切线方程为)1(2

1

4π-=-x y , 即02

π

12=+

--y x .

4.设x x

e x y 1=,则=dy ___________. 解:dx x x e x x x x d e

dy e

y x x x x

x

x x

x

]1ln 1[)ln (2

1

ln ln +-=+=?=++ .

5.函数x x y ln 22-=的单调递增区间是 __________.

解:?>????

??

>>-?-='21001414x x x

x x x y ),21(∞+ 或),21[∞+. 6.曲线x

e y =的拐点是_________.

解:104)1(21=?=-=

''??

='x x

x x e y x

e

y x x

,得拐点为),1(e .

7.设)(x f 连续,且x dt t f x ?=3

)(,则=)27(f _________.

解:等式x dt t f x ?=3

0)(两边求导有13)(23=x x f ,取3=x 有27

1

)27(=

f . 8.设3)2(,2)2(,1)0(='==f f f ,则 ?=''1

)2(dx x f x __________.

解:???'-'='=

''101

0101

2)2(4

1)2(21)2(21)2(x d x f x f x x f xd dx x f x 4

5)0(41)2(41)2(21)2(41)2(211

0=+-'=-'=f f f x f f . 9.函数?-=x

t dt te y 0

的极小值是_________.

解:0)0(00=?=?=='-f x xe y x .

10.?=+-dx x x x

cos sin 1 ________.

解:??++=++=+-C x x x

x x x d dx x x x |cos |ln cos )cos (cos sin 1.

11.由向量}2,1,0{},1,0,1{=-=b a ρρ

为邻边构成的平行四边形的面积为______.

解: 6||2210101=?=?+-=-=?b a S k j i k j i b a ρ

ρρρρρρρρρ .

12.设

y

z z x ln = ,则 =??+

??y z

x z _________.

解:令y z z

x

y z z x F ln ln ln +-=-=

,则 221,1,1z

z x z z x F y F z F z y x +-=--='='=

'. )(;2z x y z F F y z z x z F F x z z y z x +=

''-=??+=''-=?? ,所以)()

(z x y z y z y z x z ++=??+?? . 13.设D 是由0,,12==-=y x y x y ,所围成的第一象限部分,则

??D

dxdy x y 2

)( =_______.

解:积分区域在极坐标系下表示为}10,4

π

θ0|)θ,{(≤≤≤

≤=r r D ,则 ??????-=??? ??=104π

02102

02

θ)1θ(sec θcos θsin θ)(rdr d rdr d dxdy x y D

8

π21)θθ(tan 21θ)1θ(sec 214π02

02-=-=-=?d .

14.将2

23

)(x x x f -+=

展开为x 的幂级数是_________. 解:2

11

21112111)2)(1(323)(2

x x x x x x x

x x f -++=-++=-+=-+=, 所以)11(,21)1()2(21)()(0100<<-?????

?

+-=+-=∑∑∑∞

=+∞=∞

=x x x x x f n n n n n n n n

.

15.用待定系数法求方程x e x y y y 2)12(44+=+'-''的特解时,特解应设为__________.

解:2是特征方程04λ4λ2=+-的二重根,且)12(+x 是一次多项式,特解应设为

x e B Ax x 22)(+.

三、计算题(每小题5分,共40分) 1.x

x x x x cos sin 1lim

2

-+→.

解:x x x x x x x x

x x x x x cos sin 1)

cos sin 1(lim

cos sin 1lim 202

0-+++=-+→→ )cos sin 1(lim cos sin 1lim 0

20x x x x x x x x x ++?-+=→→ x

x x x

x x x x x x cos sin 22lim 2cos sin 1lim

200

2

0+=-+=→→

3

4

314sin cos 31lim

400

0=?=-=→x x x x .

2.已知2

arctan )(,2523x x f x x y ='??

? ??+-=,求

=x dx dy .

解:令u x x =+-2

52

3,则)(u f y = , 22

)25(162523arctan 2523)(+???? ??+-='??? ??+-'=?=x x x x x u f dx du du dy dx dy , 所以

π4π42161arctan 2

=?=?

==x dx

dy

.

3.求不定积分 ?+dx x

x 2

31. 解:???

+=+=+222

22

3111x d x dx x x x dx x x

)1(11)(1122222222x d x x x x d x x x ++-+=+-+=??

C x x x

++-+=23

22

2

)1(3

2

1.

4.设???

??<+≥+=0,210),1ln()(x x x x x f ,求?-20

)1(dx x f .

解:令t x =-1 ,则??-=-1

1

2

)()1(dt t f dx x f

????+++=+=--10

11

00

1)1ln(21

)()(dt t dt t dt t f dt t f ?+-+++=-101

0011)1ln()2ln(dt t

t t t t

?+--+=10)11

1(2ln 2ln dt t

12ln 3)1ln(2ln 21

010-=++-=t t .

5.设),sin (22y x y e f z x += ,其中),(v u f 可微,求

y

z

x z ????,. 解:令v y x u y e x =+=22,sin ,则),(v u f z =,复合关系结构如图05-1所示,

x v v z x u u z x z ?????+?????=?? ),(2),(sin v u f x v u f

y e v u x '+'=, y

v

v z y u u z y z ???

??+?????=?? ),(2),(cos v u f y v u f y e v u x '+'=.

6.求??

D

dxdy y

x 22

,其中D 是由2,1===x x y xy 及所围成的闭区域. 解:积分区域如图05-2所示,曲线x y xy ==,1在第一象限内的交点为(1,1),积分区域可表示为:x y x

x ≤≤≤≤1

,

21. 则?????

-==2

1

12

122

2

12

2

)1(dx y x dy y x dx dxdy y x x

x

x

x D

??

-=??????

-=2132

1

2

)(1dx x x dx x x x

49242

124=???? ?

?-=x x . 7.求幂级数1

20

12)1(+∞

=∑+-n n n x n 的收敛域(考虑区间端点). 解: 这是缺项的规范的幂级数,

因为 2

21232113212lim )1(1232)1(lim lim ρx n n x x n n x u u n n n n n n n

n n =++=-+?+-==∞→+++∞→+∞→, z

v

u

x

x

y

y

图05-1

x

x

图05-2

当1ρ<,即11<<-x 时,幂级数绝对收敛; 当1ρ>,即1>x 或1-

若1=x 时,幂级数化为∑∞

=+-0

12)1(n n

n 是交错级数,满足来布尼兹定理的条件,

是收敛的,若1-=x 时,幂级数化为∑∞

=++-01

1

2)1(n n n 也是交错级数,也满足来布尼兹

定理的条件,是收敛的.

故幂级数的收敛域为[-1,1].

8.求微分方程 0cos 2)1(2=-+'+x xy y x 通解.

解:微分方程可化为 1cos 1222+=

++

'x x

y x x y ,这是一阶线性非齐次微分方程,它对应的齐次线性微分方程0122=++'y x x y 的通解为1

2

+=x C

y . 设非齐次线性微分方程的通解为1

)

(2

+=

x x C y ,则222)1()(21)(+-+'='x x xC x x C y ,代入方程得x x C cos )(=',所以C x x C +=sin )(.

故原微分方程的通解为1

sin 2

++=x C

x y (C 为任意常数).

四、应用题(每小题7分,共计14分)

1. 一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套

公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修费.试问租金定为多少可获得最大收入最大收入是多少

解:设每套公寓租金为x 元时,所获收入为y 元, 则 )2000(),200](100

2000

50[>---=x x x y , 整理得 ),14000007200(100

1

2-+-=

x x y

)72002(100

1

+-=

'x y 均有意义, 令0='y 得唯一可能的极值点3600=x ,而此时050

1

<-=''y ,所以3600=x 是使y 达到极大值的点,即为最大值的点.

最大收入为115600340034)2003600](100

2000

360050[=?=---

=y (元).

故 租金定为每套3600元时,获得的收入最大,最大收入为115600元.

2.平面图形由抛物线x y 22=与该曲线在点)1,21

(处法线所围成,试求:

(1)该平面图形的面积。

(2)该平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积.

解:平面图形如图05-3所示,切点)1,21

(A 处的切线斜率为2

1='=x y k ,

由x y 22=得y

y 1

=

',故A 点处的切线斜率 112

1='='===y x y y k ,

从而A 点处的法线斜率为-1,

法线方程为02

3

=-+y x .

联立方程组???

??=-+=0

23

22

y x x

y 得另一交点)3,29(-B . (1) 把该平面图形看作Y 型区域,其面积为

316)6223(2)2

3(1

3321

32=--=??????--=--?y y y dy y y S 。

(2) 根据抛物线的对称性知,该平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积等于平面图形OBC 绕x 轴旋转所成旋转体的体积,有

故 ??+--=--=292

32

92

332290

22290

)3

1

2349(ππ)2

3

(π2πx x x x

dx x xdx V x

π4

45]9

81[

π=-=.

x

图05-3 02

3

=-

y

五、证明题(6分)

试证:当0>x 时,有

x

x x x 11ln 11<+<+. 证明:构造函数x x f ln )(=,它在)0(∞+,内连续, 当0>x 时,函数在区间]1,[x x +上连续,且x

x f 1

)(=

'. 故)(x f 在]1,[x x +上满足Lagrange 中值定理,存在)1,(ξ+∈x x , 使得)ξ()()1(f x f x f '=-+,)1ξ(+<

x f x 1

ξ1)ξ(11<='<+,故有

x

x x x 1ln )1ln(11<-+<+, 即0>x 时,x

x x x 1

1ln 11<+<+成立.

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