矩阵论_最小多项式_JORDAN式子

λ-矩阵

一、λ-矩阵的基本概念

数域P 上m n ⨯的λ-矩阵的一般形式

()()()

()()()()1111n ij mn

m mn a a A a a a λλλλλλ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪

⎝⎭ ，其中各()[]ij a P λλ∈.

1 ()A λ的某行（列）不为零：该行（列）的元素不全为零多项式； 2

()

A λ的：该子式是一个非零多项式；

3 ()A λ的秩为r ：

()

A λ有一个r 级子式不为零，而所有的1r +级子式（如果还有

的话）全为零；

4 n 级λ-矩阵()A λ可逆：存在n 级λ-矩阵()B λ使

()()()()A B B A E λλλλ==，这时记

()

B λ为

()

1A λ-称为

()

A λ的逆矩阵。

()

A λ可逆

()A λ⇔=

非零常数（即零次多项式）. 5 ()

A λ与()

B λ等价：

()A λ与

()

B λ可以经过初等变换互相转化。

()A λ与

()

B λ等价⇔存在可逆矩阵

()()

,P Q λλ使

()()()()

P A Q B λλλλ=.

二、λ-矩阵的标准准形及三种因子

1 每个λ-矩阵()A λ都可以经过初等变换（可以同时作行变换和列变换）化为标准

形

()()()()

1200r d d B d λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪

= ⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪⎝⎭ ， 其中

()()()12,,,r d d d λλλ 均为首一多项式，称为

()

A λ的不变因子。它们满足依次整

除关系：

()()1i i d d λλ+，1,2,,1i r =- .

因为初等变换不改变

()

A λ的秩，所以上述

()()

r r A λ=.

2

()

A λ的所有k 级子式的首一最大公因式

()

k D λ称为

()

A λ的k 级行列式因子。

（1）若

()()r A r

λ=，则

()

A λ的行列式因子恰有r 个：

()()()

12,,,r D D D λλλ .

（2）初等变换不改变()

A λ的各级行列式因子，所以

()

A λ与它的标准形

()

B λ有相同

的行列式因子。显然()

B λ的各级行列式因子为：

()()()()()()()()()

1121212,,,r r D d D d d D d d d λλλλλλλλλ=== .

所以

()

A λ的行列式因子也满足依次整除关系：

()()

1i i D D λλ+，1,2,,1i r =- .

（3）若

()

A λ行列式因子已求出，则不必再做初等变换也可求出

()

A λ的不变因子：

()()()()()()()

()211211,,,r

r r D D d D d d D D λλλλλλλλ-==

= .

（4）两种极端情况下求行列式因子的简易方法： 若()

A λ有一个k 级子式等于非零常数，则()()11

k D D λλ=== ；

若

()A λ有两个k 级子式互素，则

()()11

k D D λλ=== .

3 将

()

A λ的各个不变因子在P 上作标准分解，凡幂指数为正的因式（在多个不变因子

中重复出现的要重复计算）都称为()

A λ的初等因子。()

A λ的所有初等因子编在一块称为

()

A λ的初等因子组。

初等因子组的求法有两种： （1）分解不变因子法。

（2）先用初等变换将

()

A λ化为

()()()()

1200r c c C c λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪

= ⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪⎝⎭ （不一定是标准形），

其中

()()()12,,,r c c c λλλ 均为首一多项式。再将它们在P

上作标准分解，所有那些幂

指数组为正的因式就构成

()

A λ的初等因子组。

4 若已知

()

A λ的秩r 和初等因子组，则可按下列步骤确定

()

A λ的不变因子：

10

将同底初等因子按升幂排成一个r 元序列，不足r 个时就在前面添上若于个1，使之构成r 元序列；

20

将上述各序列的的同序号元素相乘就得到()

A λ的全部不变因子。

三、数字方阵的特征矩阵 数字方阵n n

A C ⨯∈的特征矩阵E A λ-是一个λ-矩阵，我们称E A λ-的三种因子为

A 的三种因子。

1 因为

()()

110

n

n n E A tr A A λλλ--=-++-≠ ，所E A λ-是满秩的，但不

可逆，因为E A

λ-不等于非零常数。

2 A 的行列式因子和不变因子（可能有些是1）的个数都是n ，初等因子都是一元一次首一多项式的方幂，个数不超过n .

3

E A λ-恰好等于它的各个不变因子的乘积，也是所有初等因子的乘积。

4 两个数字方阵,n n

A B P ⨯∈相似的充要条件是它们的特征矩阵等价或者说它们的三种

因子对应相同。

作业：消化346~360P 的内容。

第28、29讲

四、数字矩阵的Jordan 标准形 1 形如

1

2

s J J J J ⎛⎫

⎪=

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，其中

1,1,2,,1i i i i i i n n J i s λλλ⨯⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ .

的n 级准对角数字矩阵称为Jordan 矩阵，其中i J 称为i n 级Jordan 块。

因为

1

1i i

i n i i E J λλλλλλλ--⎛⎫

⎪--=

⎪- ⎪ ⎪-⎝

⎭

有一个1i

n -级子式等于()1

1i n --是非零常数，而

i

n i E J λ-的i n 级子式为()i

n i λλ-，所以

i

n i E J λ-的行列式因子为：

()()()()

111,i

i

i

n

n n i D D D λλλλλ-====- ；

不变因子为：

()()()()

111,i

i i n n n i d d d λλλλλ-====- ；

初等因子只有一个：

()i

n i λλ-.

于是，经过初等变换可将

i

n i E J λ-化为标准形：

()()11i

i i

i n i n n B λλλ⨯⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ （1）

若还有一个i n 级矩阵i A 也以()i n

i λλ-为唯一的初等因子，即

i n i E A λ-的初等因子只有()i

n

i λλ-，则

()i i n i i n i i i E A B E J A J λλλ-≅≅-⇒ .

假定n n

A ⨯∈

的初等因子组为：

()

1

1n λλ-，

()2

2n λλ-， ，

()s

n s λλ-，其中

12s n n n n +++= .

则由上面的推理方法知：

1211

2

2

s n n n s n s E J B E J B E J B E J λλλλ-⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪-

⎪-=≅ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ，

所以J 的初等因子组也是：

()1

1n λλ-，

()2

2n λλ-， ，

()s

n s λλ-，A J .

Jordan 定理 复数域上的每个n 级矩阵A 都与一个Jordan 矩阵J 相似，这个J 除了

Jordan 块的排列次序外是被A 唯一确定的。

例1 求下列矩阵的Jordan 标准形：

（1）1

1152117

62621A -⎛⎫ ⎪=- ⎪--⎝

⎭；（2）120020221B ⎛⎫ ⎪= ⎪---⎝⎭；（3）308316205C ⎛⎫

⎪=- ⎪--⎝⎭. 解 （1）

21

110015211717124062621221550E A λλλλλλλλλ+---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

-=--→--- ⎪ ⎪-+++-+⎝⎭⎝⎭ ()()22220010011005310010010

221550100001λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫--⎛

⎫ ⎪ ⎪ ⎪→++→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭

.

所以A 的不变因子有：()()()()21231,1d d d λλλλλ===+；

初等因子组为：

()

2

1,0λλ+-；

Jordan 标准形为：

10100J -⎛⎫ ⎪

= ⎪⎝⎭. （2）12

0210020200221221E B λλλλλλλ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

-=-→- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()()()()

1220010

0012001200110

1λλλλλλλ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪

⎪+++⎝⎭⎝⎭.

A 的初等因子组为：1,2,1λλλ--+.

Jordan 标准形为：

12

1J ⎛⎫

⎪= ⎪-⎝⎭. （3）

3

08205316316205308E C λλλλλλλ--+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

-=-+-→-+- ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭

()()332

2322051000101

0001001λλλλλλ⎛⎫⎛⎫

+ ⎪ ⎪→++→+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭

⎝⎭.

所以C 的初等因子组为：1λ+，

()2

1λ+.

Jordan 标准形为：

1111J -⎛⎫

⎪

=- ⎪-⎝⎭.

例2 求下列矩阵的若尔当标准形：

（1）

12

3401230012000

1B ⎛⎫ ⎪=

⎪ ⎪⎝⎭； （2）()

101a b b a a b

C b b a a b b a -⎛⎫ ⎪- ⎪-

⎪=≠- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭

.

解（1）

1234123121E B λλλλλ----⎛⎫ ⎪

----=

⎪

-- ⎪

-⎝⎭的3级子式中有两个是：

()()3

11

23

121001

M λλλλλ---=

--=--

()()

()122234234

12303121012012M λλλλλλ------=---=-+-+---- ()()200

01041002λλλλ-=-+=-+-.

显然

()()()12

,1M M λλ=（复数域上没有公共根的两多项式必互素），所以B 的行列式因

子为：

()()()1231

D D D λλλ===，

()()

4

41D E A λλλ=-=-；

不变因子为：

()()()1231

d d d λλλ===，

()()

4

41d λλ=-；

初等因子只有一个：

()4

1λ-.

Jordan 标准形为：

11

0001100011000

1J ⎛⎫ ⎪=

⎪ ⎪⎝⎭.

（2）

1

1a b

b a

a b

E C b a a b b a λλλλλλλ-⎛⎫ ⎪--

⎪-

⎪

-=-- ⎪

- ⎪ ⎪-⎝⎭的右上角5级子式

3M b =（非零常数），所以C 的行列式因子中：()()151

D D λλ=== .

下面计算

()6D E C

λλ=-：

记

6M E C

λ=-，按第1,2行展开：落在这两行上的3个形式不为零的2级子式中，

只有

()()()222

a

b

a b a b a b M b

a

λλλλλ-=--=-+--- 的余子式

4M 形式不为

零，所以由拉普拉斯定理得

()

1212

62424

1M M M M M +++=-=；同理又得

422M M M =. 所以

()()()()

3

3

3

662D M M a b a b λλλ===-+--.

于是，C 的不变因子为：()()()()()

3

3

1561,d d d a b a b λλλλλ====-+-- .

初等因子组为：()()()()

3

3

,a b a b λλ---+.

Jordan 标准形为：

()()()3311,11a b a b a b

J diag J a b J a b a b a b a b -⎛⎫

⎪- ⎪-

⎪=-+=+ ⎪

+

⎪ ⎪+⎝⎭.

五、Jordan 标准形应用举例

例1 设A 是n 级方阵，若有自然数m 使m

A E =，证明A 可以对角化。 证明 设A 的Jordan 标准形为

12

s J J J J ⎛⎫

⎪=

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，其中

1

,1,2,,1i i

i i

i i n n J i s λλλ⨯⎛⎫

⎪== ⎪

⎪

⎪⎝⎭

.

则存在可逆矩阵P 使1

J P AP -=，于是

1112

m m m m m s J J J P A P P EP E

J --⎛⎫ ⎪

==== ⎪ ⎪

⎪⎝

⎭

.

所以i

m i n J E =，由此可以断定各个Jordan 块都是1级的，从而A 可对角化。否则，设有某

个

1i n >，则

111

11

1i i i i i n m n m

m i m i m i m m

i i n m m i m i n n C C J E C λλλλλλ--+--⨯⎛⎫

⎪=≠

⎪ ⎪

⎪⎝⎭

（当l k >时规定

0l k C =）. 这就导致矛盾。

口述：若2

A E =，则称A 为对合矩阵，而对合矩阵可以对角化是我们过去证明过的。

所以本题结论是过去结论的推广。

例2 证明：任一复方阵A 都可以分解成A M N =+的形式，其中M 为幂零矩阵（即

存在自然数l 使l

M O =），N 是可对角化矩阵，且MN NM =.

证明 设A 的Jordan 标准形为

12

s J J J J ⎛⎫

⎪=

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，

1

,1,2,,1i i

i i

i i n n J i s λλλ⨯⎛⎫

⎪== ⎪

⎪

⎪⎝⎭

.

则存在可逆矩阵P 使1

J P AP -=.

令

010,10i i i i

i i i n n B C λλλ⨯⎛⎫

⎛⎫

⎪ ⎪

==

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭ ，1,2,,i s = .

则

1122s s B C B C J B C B C +⎛⎫

⎪+=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭ ，

其中

1122,s s B C B C B C B C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . 令

()

12max ,,,s l n n n = ，则l

B O =，于是

()11A PJP P B C P M N

--==++ ，其中1

1,M PBP N PCP --==.

11

l l M PB P POP O --===； N 与对角矩阵C 相似。

例 5 （日本京都大学）设n 级方阵A 在复数域上的全部特征值为12,,,n λλλ ，

()[]10m m f x b x b x b C x =+++∈ ，则()10m m f A b A b A b E =+++ 的全部特征值为：

()()()12,,,n f f f λλλ .

证明 由Jordan 定理，存在可逆矩阵T 使

112***n T AT λλλ-⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （Jordan 标准形） 从而

()()1110m m T f A T T b A b A b E T

--=+++

1

1

1

10m

m b T A T b T AT b T ET ---=+++ ()1110m

m b T AT b T AT b E

--=+++

1

12210*

***11**

1m m

m m n n b b b λ

λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+++

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭

()()

()12***

n f f f λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭

.

所以矩阵()

f A 的全部特征值为：()()()12,,,n f f f λλλ . 注：1 本题的结论可当定理用；

2 应用上三角可逆矩阵的逆矩阵仍是上角矩阵和本题的结论还可以证明： 若可逆矩阵A 的全部复数特征值是12,,,n λλλ ，则1A -与*A 的全部特征值是

12

1

1

1

,

,,

n λλλ 与1

2

,

,,

n A

A

A

λλλ .

例7（中国科技大学）设n 级矩阵

()

ij A a =的全部特征值为12,,,n λλλ . 证明等式：

21

,1

n

n

i

ik ki

i i k a a λ

===∑∑.

分析 1 因为2

2

2

12,,,n λλλ 是2A 的全部特征值，所以()

221n

i

i tr A λ

==∑；

2 相似的矩阵有相同的特征值，因而有相同的迹。

3 由已知条件无法判定A 是否可对角化，故只能考虑用Jordan 标准形。 证明 由Jordan 定理，存在可逆矩阵T 使

2112

112

2

22*

**

*

*

*

n n T AT T A T λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪=⇒=

⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

，

而

1112

22

1

*

*

**

**

n

k k k n

k

k k nk kn a a a

a A a a ==⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

⎪= ⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎝⎭∑∑∑

， 所以

()()21

2

2

1

11

,1

n

n n n

i

ik ki ik ki

i i k i k tr T A T tr A

a a a a λ

-========∑∑∑∑.

例8 （吉林大学）设

()()

1k k r A r A +=. 证明：如果A 有零特征值，则零特征值对应

的初等因子次数不超过k .

证明 由Jordan 定理，存在可逆矩阵T 使

011

s J J T AT J -⎛⎫

⎪=

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，

其中

0J 是由所有主对角元为特征值00λ=的Jordan 块构成的Jordan 矩阵。1,,s J J 以A

的非零特征值1

,,s λλ 为主对角元的Jordan 块，显然0,1,,i J i s ≠= .

设m 是0J 的各Jordan 块的最大级数，则

0m

J O =，下面只要证明m k ≤： 若m k >，则由

1001

111

111,k k k

k k k k k s s J J J J T A T T A T J J ++--++⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪==

⎪

⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭

（1）

和0k J O ≠知()()100k k r J r J +>；而由1,,s J J 均可逆知()()1,1,,k k i i r J r J i s +== .

比较（1）中两个等式两边矩阵的秩知

()()

1k k r A r A +>，这与题设矛盾。

作业：消化

361~375P 的内容。

第30、31讲

六、最小多项式的概念

设

()[]

,n n A P f x P x ⨯∈∈，如果

()f A O

=，就称

()

f x 是A 的一个零化多项式。

由Hamilton-Cayley 定理知，A 的特征多项式

()x xE A ϕ=-就是A 的一个零化多

项式。又由于2

2,,,,n E A A A 是2n 维空间n n P ⨯中的21n +个向量，因而是线性相关的，

即存在不全为零的数2012,,,,n a a a a 使2

22012n n a E a A a A a A O

++++= ，所以

()2

22012n

n f x a x a x a x a x =++++

也是A 的零化多项式。

在A 的所有零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A 的最小多项式，记为()

A m λ.

注 任一个方阵的最小多项式的次数都不小于1.

例1 aE 的最小多项式()aE m a λλ=-，特别地()(),1

O E m m λλλλ==-.

七、最小多项式的性质

1 唯一性。

2 能整除任一个零化多项式，特别地，能整除特征多项式。

3 与特征多项式有相同的根（重数可能不同）。

4 是相似不变量。

5 准对角矩阵的最小多项式是各分块的最小多项式的最小分倍式。

6 r 级Jordan 块()

r J a 的最小多项式

()()

r

A m a λλ=-（即

()

r J a 的初等因子）。

7

()

A m λ是A （即E A λ-）的最后（即次数最高的）一个不变因子。

八、最小多项式的求法 1 试因式法：（1）在P 上对

()E A ϕλλ=-作标准分解，写出所有不同的根：

12,,,s λλλ ；

（2）对()ϕλ的含有

()()()

12s λλλλλλ--- 的因式按次数从低到高的顺序进行检测，第一个能零化A 的因式就是A 的最小多项式。

2 初因小倍法：先求出A （即E A λ-）的初等因子组，再求出它们的最小公倍式即可。

3 不变高因法：求出A （即E A λ-）的次数最高的一个不变因子即可。 九、用最小多项式判别方阵可否对角化

A 可对角化的充要条件是它的最小多项式可以表为一些互不相同（即互素）的首一多

项式的乘积。所以有下列结论：

1 若A 有一个零化多项式无重根，则A 可对角化；

2 A 可对角化⇔A 的初等因子全是一次的⇔A 的不变因子没有重根。

例2 （大连理工大学）求数域P 上方阵A 的全体零化多项式作成的集，其中

01

0110100101101

0A ⎛⎫ ⎪=

⎪ ⎪⎝⎭.

解 先求A 的最小多项式：

21

00

01

01101

1

11100

1

100011110101101011E A λλλλλλλλλλλλλλ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪-------==

→

⎪

⎪ ⎪-----

⎪

⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭

212

23221

210001

0001000010001000

10

00000000200

0400200λλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→→→ ⎪ ⎪ ⎪

-- ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.

所以A 的最小多项式是

()34A m λλλ

=-.

A 的零化多项式集为：()()()()[]

{

}3

4f h h P λλ

λλλλ=-∈.

例3 （北京大学,1999）设实数域 上的矩阵

110101300A ⎛⎫ ⎪

=- ⎪-⎝⎭. （1）求A 的特征多项式

()

f λ；

（2）()

f λ是否在 上可约；

（3）求A 的最小多项式；

（4）分别在, 上判定A 是否可以对角化。

解

()131330

11

0110113001E A λλλλ

λλλλλ⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→--- ⎪ ⎪ ⎪--⎝

⎭⎝⎭

32100010

003λλλ⎛⎫

⎪→ ⎪-+-⎝⎭

.

A 的不变因子为：()()()32

1231,3d d d λλλλλλ===-++.

（1）

()()()()321233f E A d d d λλλλλλλλ=-==-++.

（2）()

f λ是三次实系数多项多项式，当然在 上可约，因为不可约的实系数多项式只能一次或二次的。

（3）A 的最小多项式()()3233A m d λλλλλ==-++.

（4）因为()

A m λ的奇次项系数之和等于偶次项系数之和，所以它有一个因式是1λ+，

直接用综合除法得

()()()

2123A m λλλλ=+-+.

而

()2

241380

--⨯⨯=-<，所以2

23λλ-+在 上不可约。从()

A m λ在 上不能表为

互素的一次多项式的乘积，因此A 在 上不能对角化。

在 上

()

A m λ可以表为互素的一次多项式的乘积

()(

)(

)()

111A m λλλλ⎡⎤⎡⎤

=+--⎣⎦⎣⎦.

因此A 在 上可对角化。

例4 (华中师范大学) 设()

m λ是n 级矩阵A 的最小多项式，

()ϕλ是次数大于零的多

项式，证明：

()0

A ϕ≠的充要条件是

()()(),1m ϕλλ=.

证明 充分性：若()()(

),1m ϕλλ=，则存在()()[],u v P λλλ∈使

()()()()1

u v m λϕλλλ+=.

所以 ()()()()()()

E u A A v A m A u A A ϕϕ=+=.

因此

()A ϕ可逆，()0A ϕ≠.

必要性：设()0

A ϕ≠，即

()A ϕ可逆。下面用反证法证明()()(),1m ϕλλ=：

设

()()()(),1m d ϕλλλ=≠，则()()()()()()1

2

,d q m d q ϕλλλλλλ==，且

()()()()()()()()2

2

q d q m λλλλ∂<∂+∂=∂，由

()()()()2

1

q m q ϕλλλλ=得

()()()()()()1

212A q A m A q A O q A A O O

ϕϕ-==⇒==.

这与

()

m λ是A 的最小多项式相矛盾。

例 5 n 级方阵A 称为m 次幂零矩阵，如果存在一个自然数m 使m

A O =，同时

()

11k A O k m ≠≤≤-.证明所有n 级1n -次幂零矩阵彼此相似，并求它们的Jordan 标准

形。

解 设A 是1n -次幂零矩阵，则由1

n A O -=知A 复数特征值全为0，所以

()n E A ϕλλλ=-=.

A 的最小多项式()m λ只能从21,,,,n n

λλλλ- 中产生。由题设条件知()1

n m λλ

-=，

所以A 的最后一个不变因子()1

n n

d λλ-=，由不变因子的依次整除关系，及特征多项式等

于不变因子的乘积得：

()()()()1

1211,,n n n n d d d d λλλλλλ---===== .

因为每个1n -次幂零矩阵都有相同的上述不变因子，所以它们是彼此相似的。它们的初等

因子组都是：1

,n λλ

-，Jordan 标准形是

()()11000100010n J J J -⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪==

⎪

⎪⎝

⎭ ⎪

⎪⎝⎭ .

例6（北京大学，北京航空航天大学）n 级矩阵A 称为周期矩阵，如果存在正整数m 使

m A E =. 证明：复数域上的周期矩阵A 一定可以对角化。

证明 依题设，A 有零化多项式()1m f λλ=-，而由

()()()()1,1,1

m

m f f m λλλ

λ-'=-=

知

()

f λ无重根，从而作为

()

f λ的因式的最小多项式

()

m λ也无重根。故A 可对角化。

例7 （清华大学）设A 是n 级幂等矩阵，它的秩为r ，试求： （1）A 的相似标准形，并说明理由； （2）计算

2E A

-.

解 （1）因为2

A A =，所以()()21f λλλλλ=-=-是A 的一个无重根的零化多项

式。故A 可对角化。 由

()

f λ的结构知A 的特征值只有1或0。

A 的相似标准形,,,0,,0.r E r n E O r n O O O r =⎧⎪⎪⎛⎫=<<⎨ ⎪⎝

⎭⎪=⎪⎩若若若

（2）当0r n <<时，由（1）的结果知，存在可逆矩阵P 使

()11

22r r

n r E O E

O P AP P E A P O E O O ---⎛⎫

⎛⎫=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

.

由此知

22n r

E A --=.显然,当r n =或0时,此结论也成立.

作业：消化

375~387P 的内容。

矩阵论习题

1、检验下列集合对于指明的数域和指定的运算，是否构成线性空间： 1)集合：数域F 上的所有5次多项式；数域：F ；运算：多项式的加法和数乘． 2)集合：n 阶实矩阵的全体；数域：实数域R ；运算：矩阵的加法及数乘． 3)集合：数域F 上的n 阶对称矩阵的全体；数域：F ；运算：矩阵的加法及数乘． 4)集合：全体整数；数域：实数域R ；运算：数的加法及乘法． 5)集合：],[b a 上的全体连续函数；数域：实数域R ；运算：函数的加法及数乘． 6)集合：数域F 上的齐次线性方程组0=Ax 的所有解向量；数域：F ；运算：数组向量的加法及数乘． 7)集合：},0{R b a b b a V ∈??? ? ? ?-=；数域：实数域R ；运算：矩阵的加法及数乘． 8)集合：},1{R b a b b a V ∈??? ? ??-=；数域：实数域R ；运算：矩阵的加法及数乘． 解 1) 不是，对加法不封闭，(或对数乘不封闭，F ?0)； 2) 是； 3) 是； 4) 不是，对数乘运算(即通常数的乘法)不封闭； 5) 是； 6) 是； 7) 是； 8) 不是，无零元素． 2、设V 是数域F 上的线性空间，n εεε,,,21 是V 的一组基．证明： 1) 对于数域F 中任意非零的数k ，向量组n k k k εεε,,,21 是V 的一组基； 2) n n εεε,,2,21 是V 的一组基． 3) 对于F 中任何一组全不为零的数n k k k ,,,21 ，向量组n n k k k εεε,,,2211 是V 的一组基． 证 1) 设存在F 中数n k k k ,,,21 ，使得02211=+++n n k k k k k k εεε ，则由 n εεε,,,21 线性无关，有021====k k k k k k n ，因0≠k ，所以 021====n k k k ，所以n k k k εεε,,,21 线性无关，又它们共有n 个，所以是V 的一 组基． 2)因为A n n n ),,,(),,2,(2121εεεεεε =，???? ? ? ? ??=n A 21，因为0!≠=n A ，

矩阵函数的求法

二、利用零化多项式求解矩阵函数. 利用Jordan 标准型求解矩阵函数的方法比较复杂，它需要求J 和P 。下面我们介绍根据零化多项式求解矩阵函数的一种方法。 定律：n 阶方阵A 的最小多项式等于它的特征矩阵的第n 个（也就 是最后一个）不变因子n d ()λ。（可参见张远达《线性代数原理》P215） 设n 阶方阵A 的不变因子反向依次为n d (),λn 11d (),,d ()-λλ ，由它们给出的初等因子分别为 12r m m m 12r (),(),,()λ-λλ-λλ-λ ；s r 1m m r 1s (),,()++λ-λλ-λ ； ，s i i 1 m n ==∑ 由于1223n 1n d ()|d (),d ()|d (),,d ()|d ()-λλλλλλ ，故 1o r 1s ~+λλ必定出现在1r ~λλ中； 2o 若i j (i r)(j r)λ>=λ≤则i j m m ≤ 根据上述定理，A 的最小多项式 12r m m m 012r ()()()()?λ=λ-λλ-λλ-λ 即 12r m m m 12r (I A)(I A)(I A)O λ-λ-λ-= 令r i i 1m m ==∑，则可见m A 可以由02m 1A I,A,A ,,A -= 线性表示，从 而m i A (0)+λ>亦可由02m 1A I,A,A ,,A -= 线性表示。所以，矩阵函数f(A)若存在，也必定可由0m 1A ~A -线性表示。 因此，我们定义一个系数待定的(m -1)次多项式m 1 i i i 0g()c -=λ=λ∑，根据 以上论述，适当选择系数0m 1c ~c -，就可以使f (A )=g (A )

矩阵论小结

矩阵论 线性空间定义： 本质是个集合，满足一定条件卜•的集合。首先定义了加法运算（满足加法的交换结合律），在这个集合中能找到零元素，与负元素；然后定义数乘运算（数域上的元素与集合当中的元素相乘），并且满足数乘的分配，结合律（集合中的兀素能否进行乘法运算并没有定义）。最后指出，这些运算都是封闭的，运算的结果与集合中的九素唯一对应。称这样的一个集合为线性空间。 注总:运算结果与集介中的元素对应。例如0*a=0 （此零非彼零,不是数域里的零,而是线性空间当中的零,即集合当中的零元素＜很可能不是零〉） 核空间： 矩阵A对应于齐次线性方程组Ax=O的解空间。 子空间： 线性空间对应集合的一个子集，并且也满足线性空间的定义的一个子集。 其中，冬空间，与线性空间本身构成平凡子空间，还存在的其他子空河构成非平凡子空间。矩阵A的核空间就是他的•个子空间，相当于对矩阵A构成的空间中的尤素进行了限定。矩阵A的列向量的线性组介构成了矩阵A的值域空间（其中的基为最人无关组的个数）。注意:子空间交,与子空间的和任然为子空间,但子空间的并集不一定再是子空间。属于两个子空间的线性无关的两个基的并基构成新的元素，但是这个元素不在属于原来的两个子空间的任意一个。 子空间中的几个等价定义： （1）直和定义为VI与V2的交空间只包含零元素（不一定是数字零），构成零子空间 （2）直和空间中的元素表达式唯一。 （3）VI的基于V2的基直接构成直和空间的基。 （4）和空间的维度等于VI巧V2维度的和。 线性映射性质： （1）VI的零元素经过线性映射变为V2的零元素 （2 ）线性相关组经过线性映射之后任然为线性相关 （3）线性无关组经过单射线性映射后任然为线性无关 同构： 两个线性空间之间存在一个一一对应的线性变换，则称这两个矩阵是同构的。相应的线性变换称为同构映射。任一线性空间都能够找到一个数域向量与其同构,这个向最就是坐标。线性变换T的秩，线性映射的坐标表示： T表示线性空间到线性空间的映射，在貝体的基底下（两个线性空间基都确定的情况），可以由一个矩阵A表示T,为V到V '的线性映射。（区别去前面提到的过渡矩阵，过渡矩阵指的在同一个线性空间中，两组不同基底Z间的过渡，过渡矩阵町以看做线性映射的特例，在V与V’是同一个线性空间的情况下，过渡矩阵跟线性变换相同）。 在空间V中的任一向量a在V的基底下的坐标为X,则对应像T （a）在V •基底下的坐标y=Ax. 线性空间Z间的线性映射与在某一组特定基卜•的表示矩阵一一对应。线性映射的全体与数组矩阵一一对应。 线性映射跟线性变换的区别：映射是两个线性空间之间的，变换是•个线性空间中的。 （有时候不加区别） 同一线性变换在不同基底下的表示： T是V空间的一个线性变换,在基底a卜的表示矩阵为A,在基底b卜•的表示矩阵为B, 由基a到

矩阵多项式与多项式矩阵

§8矩阵多项式与多项式矩阵 设A 是n 阶阵，则为矩阵A 的特征多项式 事实上，n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 因此有 一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱） Th 2.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即 0111=++++--E a A a A a A n n n n （矩阵） 注：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。 eg 1.设???? ? ??-=010110201A 试计算E A A A A A 432)(2458-++-=? 解：A 的特征多项式为 12)(23+-=-=λλλλA E f 取多项式432)(2 458-++-=λλλλλ? )()()149542(235λλλλλλr f +?-+-+= 余项103724)(2+-=λλλr 由上定理0)(=A f ???? ? ??----=+-==∴346106195026483103724)()(2E A A A r A ? Df 2.一般地，设)(λ?是多项式，A 为方阵，若0)(=A ?，则称)(λ?是矩阵A 的零化多项式。 根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即A E f -=λλ)( Df 3.设A 是n 阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。 显然：①矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。 ②矩阵A 的最小多项式是唯一的 Th 3.矩阵A 的最小多项式的根必是A 的特征根；反之，A 的特征根也必是A 的最小多项式的根——特征多项式与最小多项式之间的关系。 由此可得，求最小多项式的一个方法： 设n n C A ?∈，其所有不同的特征值为s λλλ,,,21 ，则其特征多项式为ks s k k A E f )()()()(2121λλλλλλλλ---=-=

矩阵理论名词解释汇总

1、λ-矩阵：以λ的复系数多项式为元素的矩阵，有时也称为多项式矩阵。P62 2、λ-矩阵的等价：λ-矩阵()A λ经过有限次初等变换化为λ-矩阵()B λ，则 ()A λ与()B λ等价。P63 3、λ-矩阵的Smith 标准形 ： 4、k 阶行列式因子：()A λ的所有k 阶子式的最高公因式（取首一多项式）.p66 5、不变因子：标准形主对角线上的非零元)(,),(),(21λλλr d d d Λ称为λ-矩阵 )(λA 的不变因子（来自百度） 6、初等因子：设A (λ)是复n 阶λ－矩阵，将A (λ)的每个次数大于0的不变因子分解 为互不相同的一次因式的正整数幂的乘积，所有这些一次因式的正整数幂(相同的按出现的次数计算)叫做A (λ)的初等因子（来自百度） 7、Jordan 标准型

8、相似矩阵设Ａ，Ｂ为n阶矩阵，如果有n阶非奇异矩阵Ｐ存在，使得Ｐ^(-1)*A*P=B成立,则称矩阵A与B相似,记为A~B（来自百度） 9、零化多项式 10、最小多项式P92 定义2 11、1-范数P114 例1 12、p-范数P115例3

12、 -范数P114 例2 13、范数的等价P119 定义2 14、按范数收敛：p121 这个题难概括 15、矩阵的相容范数：p122定义4 16、F-范数：p123，例6 17、算子范数：p125例7

18、行范数：p129 19、列范数：p128 20、1 -范数：p129例10 21. g逆（p199） 22、23.左逆、右逆(p200)

24、反射g逆（p205） 25、极小范数g逆（p226） 26、最小二乘解（p231） 27、最小二乘g逆（p233）

矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用

中图分类号： O151.2 本科生毕业论文（设计） （申请学士学位） 论文题目矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用 作者姓名 专业名称数学与应用数学 指导教师 2011年5月1日

学号： 论文答辩日期：年月日 指导教师：（签字）

滁州学院本科毕业设计（论文）原创性声明 本人郑重声明：所呈交的设计（论文）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 年月日

目录 摘要 (1) Abstract (1) 绪论................................................................................................................ 错误！未定义书签。1矩阵最小多项式与特征多项式................................................................. 错误！未定义书签。 1.1相关符合及定义................................................................................ 错误！未定义书签。 1.2矩阵最小多项式................................................................................ 错误！未定义书签。 1.2.1最小多项式的定义 ................................................................ 错误！未定义书签。 1.2.2有关定理及推论 .................................................................... 错误！未定义书签。 1.3矩阵特征多项式 (5) 1.3.1特征多项式定义 (5) 1.3.2特征多项式性质 (6) 1.4特征多项式解最小多项式的一种方法 (6) 1.5Frobenius块和若当块的最小多项式与特征多项式 (9) 1.5.1Frobenius块 (9) 1.5.2若挡块 (10) 2矩阵最小多项式与特征多项式相等情形下的等价命题 (11) 3定理应用 (13) 3.1相等情形下的三个推论.............................................................. 错误！未定义书签。 3.2定理与推论的应用....................................................................... 错误！未定义书签。参考文献......................................................................................................... 错误！未定义书签。致谢. (18)

jordan块的最小多项式

jordan块的最小多项式 在数学中，Jordan是一系列多项式组合的局部分解。它的数学 定义是：一个n阶多项式矩阵A，它的Jordan是由一系列n阶多项 式组成，每个n阶多项式都是矩阵A的最小多项式。 Jordan最早由法国数学家Jean-Victor Poncelet在19世纪定义。他发现，多项式矩阵中存在着一种特殊的分解方法，即可以将多项式矩阵分解成若干个小部分，其中每个小部分都是一个最小多项式。也就是说，Jordan就是由一系列小的最小多项式组成的多项式矩阵 的局部分解。 Jordan的最小多项式的性质非常有趣，它可以用来描述特定的 系统，例如线性系统、相似系统等。而且，由此可以解决许多数学问题，例如求解特定的多项式方程组等。 因此，Jordan的最小多项式对于理解和解决许多数学问题都非 常有用。 首先，Jordan的最小多项式能够有效地拆分复杂的多项式矩阵。使用这种方法，可以将矩阵分解成一系列最小多项式，这样可以更容易地理解矩阵中的数学关系。 其次，Jordan的最小多项式也可以用来求解线性系统中的特定 方程。例如，如果有一个线性系统，它包括多个方程，可以用Jordan 的最小多项式将它分解成若干部分，然后再求解每一部分的方程，最终将这些解组合成最终解。 此外，Jordan的最小多项式还可以用来解决相似系统中的特定

方程。例如，有一个系统，它包括多个相似的方程，可以用Jordan 的最小多项式将它分解成若干部分，然后再求解每一部分的方程，最终将这些解组合成最终解。 总之，Jordan的最小多项式是一种非常有用的数学工具，可以用来解决许多数学问题，例如求解特定的多项式方程组以及相似系统中的特定方程等等。它提供了一种有效的方法来拆解复杂的多项式矩阵，可以使多项式方程组更容易理解和解决。

最小多项式

§9 最小多项式 根据哈密尔顿—凯莱定理，任给数域P 上一个n 级矩阵A ，总可以找到数域P 上一个多项式)(x f ，使0)(=A f . 如果多项式)(x f 使0)(=A f ，就称)(x f 以A 为根 当然，以为A 根的多项式是很多的. 一、定义 1．定义：次数最低的首项系数为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式. 2．基本性质 引理1 矩阵A 的最小多项式是唯一的. 引理2 设)(x g 是矩阵A 的最小多项式，那么)(x f 以A 为根的充要条件是)(x g 整除)(x f . 由此可知，矩阵A 的最小多项式是A 的特征多项式的一个因式. 3．如何求矩阵A 的最小多项式 例1 数量矩阵kE 的最小多项式为k x -， 特别地，单位矩阵的最小多项式为1-x ， 零矩阵的最小多项式为x . 另一方面，如果A 的最小多项式是1次多项式，那么A 一定是数量矩阵. 例2 设 ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=1111A 求A 的最小多项式. 例3 相似矩阵有相同的最小多项式， 反之不然． 设 111111,1222A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ ⎭. A 与B 的最小多项式都等于)2()1(2--x x ，

但是它们的特征多项式不同，因此A 和B 不是相似的. 二、应用最小多项式来判断一个矩阵能否对角化的问题 １．引理3 设A 是一个准对角矩阵 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛=21A A A , 并设1A 的最小多项式为)(1x g ，2A 的最小多项式为)(2x g , 那么A 的最小多项式为)(1x g , )(2x g 的最小公倍式)](),([21x g x g . 这个结论可以推广到A 为若干个矩阵组成的准对角矩阵的情形.即：如果 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛=s A A A A 2 1 , i A 的最小多项式为s i x g i ,,2,1,)( =，那么A 的最小多项式为 )](,),(),([21x g x g x g s ２．引理4 k 级若尔当块 ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=a a a J 11 的最小多项式为k a x )(-. ３．定理15 数域P 上n 级矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件为A 的最小多项式 是P 上互素的一次因式的乘积. ４．推论 复数矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是A 的最小多项式没有重根. 更广一点讲, 在复数域上, 如果存在一个没有重根的多项式 ()f x , 满足()0f A =, 则 A 就可以对角化. 例. 设 A 是 n 阶方阵，满足 32220A A A E +--=， 问 A 是否相似于对角矩阵 解：32()22(1)(1)(2)f x x x x x x x =+--=+-+ 是 A 的化零多项式， 从而 A 的最小多项式没有重根，可以对角化，

(完整版)不变子空间、若当、最小多项式(简介)

§7 不变子空间 ◎ 本节重点：不变子空间的定义与“限制”. 已知可对角化对应于对角矩阵，但是并不是每个都能对角化的.退一步，对应于准对角形也好；虽然比对角形复杂，但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念. 一、定义与例子 1.定义：)(n V L ∈σ，W 是σ的不变子空间W ⇔是V 的子空间，且,W ∈∀ξ有W ∈)(ξσ. 简称σ-子空间. （注意：与线性变换有关） 2.例子：设)(n V L ∈σ，则下列子空间W 都是σ的不变子空间： 1）{}0=W 2）V W = 3）)0(1-=σW 4）)(V W σ= 5）{}ξλξσξλ0)(|0=∈==V V W 例1若线性变换A 与B 是可交换的，则B 的核与值域都是A -子空间. 二、线性变换在不变子空间上的“限制” 1.定义：设W 是)(n V L ∈σ的不变子空间，可只在W 中考虑σ，记为W |σ. 【意义】缩小了线性变换的范围，从而简化线性变换.因此，如果V 可分解为若干-σ子空间 i W 的直和，那么对V 的线性变换σ的研究就归结为对各个子空间i W 的直和研究. 2.区别：W |σ与σ的作用结果一样，但作用范围不同.即 σξξσξ=⇒∈)|(W W ；ξσξ)|(W W ⇒∉无意义. 三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系（意义） 设V 可分解为若干个σ-子空间的直和：s W W W V ⊕⊕⊕= 21，在每个不变子空间i W 中 取基k i i i εεε,,,21 ，s i ,2,1=，并把他们合并为V 的一组基，则在这组基下，σ的矩阵具有 准对角形⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛s A A 1，其中i A ，s i ,2,1=是i W A |在对应基下的矩阵. 进一步的，我们有： *四、不变子空间的直和分解 定理12：设线性变换)(n V L ∈σ的特征多项式)(λf 可分解成一次因式： S r S r r f )()()()(2121λλλλλλλ---= ,则V 可以分解成不变子空间的直和：

方阵最小多项式性质探讨

方阵最小多项式的性质探讨 摘要：讨论方阵最小多项式的几个性质及相关的几个简单应用 关键词：方阵，最小多项式，零化多项式，特征多项式 概念1：设方阵A ，若f(x) F(x)，使f(A)=0，则称f(x)为A 的零化多项式。 命题1：方阵的零化多项式是存在的。 证明：设A 为n n ⨯方阵，()n M F 表示域F 上的所有n n ⨯方阵的集合，构一线性空间，它的维数为2n ，A 属于()n M F ，由22,,,,n E A A A 这21n +个向量一定线性相关。则存在一组不全 为零的数：201,,,n a a a , 使得22010n n a E a A a A ++ +=， 作多项式2201()n n f x a a x a x =+++,且()0f x ≠，有()0f A =, 即()n M F 中的任意向量A 来讲，零化多项式是存在的。 概念2：次数最低首项为1的零化多项式称为最小多项式。 由命题1的证明进程，咱们明白最小多项式是存在的。只要由,,,k E A A ，随k 增大往上找。可是这也只能说方阵A 的最小多项式的次数最多不超过2n ,那个估量是比较粗糙的，咱们能够估量得更精准些。 命题2：（cayley-Hamilton 定理）设A 是数域P 上一个n n ⨯矩阵，()f x E A λ=-是A 的特征多项式，则 11122()()(1)0n n n nn f A A a a a A A E -=-+++++-= 证明：详见北大数教材《高等代数》P303。

也就是说能够把方n n ⨯方阵的最小多项式的次数缩小到不超过n 。 下面介绍几个最小多项式的性质： 命题3：矩阵A 的最小多项式是唯一的。 命题4：设g(x)为方阵A 的最小多项式，那么f(x)以A 为根当且仅当g(x)整除f(x). 命题5:相似矩阵具有相同的最小多项式。 证明：设方阵A 的最小多项式是()m x ,矩阵B 最小多项式是n(x),由A 与B 相似知，有1B P AP -=，其中P 为可逆阵。 则 11()()()0m B m P AP P m A P --=== 由命题4得()n x 整除()m x ，同理可证()m x 整除()n x ，且()m x ，()n x 都是首一的。所以()()m x n x =。得证 命题6：设A 是一个分块矩阵，12s A A A A ⎡⎤⎢ ⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，A 的最小多项多等于i A 的最小多项式的最小公倍式，1,2, ,i s =。 证明：设i A 的最小多项式为()i f x ，A 的最小多项式为 ()f x ,()i f x 的最小公倍式是()g x ,由()i f x 整除()g x 知()0i g A =， 1,2,,i s =。

矩阵论解题技巧

解题技巧 第一章 矩阵的相似变换 1.判断矩阵A 是否是正规矩阵，若果是，则求酉矩阵U ，使AU U 1 -为对角矩阵。 理论依据：（1）A 酉相似于对角矩阵的充要条件是A 为正规矩阵（即：H H AA A A =）。 （2）Hermite 矩阵（A A H =)，实对称矩阵，对角矩阵等常用矩阵都是正规矩阵。 注：酉矩阵A （H A A =-1 ，1det =A ），H A ：先转置，再共轭（虚部取反）。 结论：所以判断矩阵A 是否是正规矩阵，只需判断A A H =是否成立，若A A H =成立，则 存在酉矩阵U ，使AU U 1 -为对角矩阵。 （当矩阵A 中都为实数时，T H A A =) 解题步骤： （1）由A 为Hermite 矩阵（A A H =)或实对称矩阵，推出A 为正规矩阵。 （2）由()A I -λdet 求得矩阵的特征值i λ，并求出相应的特征向量i p 。 （3）对特征向量先正交化（不同特征值之间的特征向量两两正交，无需正交化。只有在重根所对应的特征向量之间需要正交化）；然后再单位化（当特征值都不同时只需正交化即可）。 正交化公式： ()()量） 为重根的另一个特征向 为重根的一个特征向量2 1111222111(,,) (x y x x x x x y x x y - == (4)得酉矩阵U(为单位化之后的向量321,,q q q 组成的矩阵），对角矩阵AU U 1 -（为特征值所组成的对角矩阵)。 （注：内积计算公式：()x y y x H =,，尤其注意虚数的计算） 2.求解矩阵的最小多项式()λA m 。 理论依据：（1）最小多项式()λA m 包含A 的所有互不相同的特征多项式的因式。 （2）特征多项式必须是零化多项式。 （3）设n n C A ⨯∈，i λλλ ，，2是A 所有互不相同的特征值，则： ()()()()t m i m m A m λλλλλλλ---= 2121，其中i m 是A 的标准型J 中含i λ的Jordan 块的 最高阶数。 解题步骤：（1）先求出A 的特征多项式()A I -λdet （2）由公式()() ()()t m i m m A m λλλλλλλ---= 2 1 21求得()λA m （注意i m 是A

北京化工大学2013-2014年矩阵论试题及其解答

北京化工大学2013-2014学年第一学期 《矩阵论》试题 一、 设矩阵2512516153A -⎛⎫ ⎪ =- ⎪ ⎪-⎝⎭ , 1. 求A 的特征多项式和全部特征值； 2. 求A 的不变因子、初等因子和最小多项式； 3. 求A 的Jordan 标准型J ； 4. 求lim k k A →+∞ ； 5. 计算At e 6. 求微分方程组()()dx t Ax t dt =满足初值1(0)11x ⎛⎫ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎝⎭ 的解. 解： 2222 511521521. 251152061533156055100100 0000. 0500I A λλλλλλλ λλλλλλλλλλλ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-+-→-+-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ →→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 特征多项式为3 λ，特征值为0()λ=三重. 2. 不变因子为()()()2 1231,,d d d λλλλλ===. 初等因子为2 ,λλ，最小多项式为()2 m λλ=. 3. Jordan 标准型为00101 000J ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 或者. 4. 由于()=0<1 lim 0k k A A ρ→+∞ ⇒=. 5. 取多项式()t f e λλ=, 由带余除法设 ()()()10(),()f q t m b t b λλλλλ=++，代入 ()00f b =，()()10f b t '=得

()011b t b t =⎧⎨=⎩，所以 125()21561513At t t t e f A tA I t t t t t t +-⎛⎫ ⎪==+=- ⎪ ⎪-+⎝⎭。 6. 微分方程组的解为125112()(0)21511261513116At t t t t x t e x t t t t t t t t +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ . 二、 已知矩阵110010211i A +⎛⎫ ⎪ = ⎪ ⎪-⎝⎭ ， 1. 求1 1,,,,m m F A A A A A ∞ ∞； 2. 设,,n H x y C B xy ∈=，试比较F B 与2 2x y 的大小，给出理由. 解： 1. 1 16 6, 2 4, m m F A A A A A ∞ ∞===== 2. 相等，直接计算或者 2 2. F B x y ====== 三、用Householder 变换求矩阵1 2001 03410301 204A ⎛⎫ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎝⎭ 的QR 分解. 解 记1111x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则22x α==，111 11x e α-⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，取111121u -⎛⎫ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪⎝⎭. 得141111111112111121111T H I uu ⎛⎫ ⎪-- ⎪=-= ⎪ -- ⎪--⎝⎭，12 2 3 4000000040 230H A ⎛⎫ ⎪ ⎪ = ⎪ - ⎪ -⎝⎭ . 对1000004230A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，记1002x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1122x α==，111 202x e α-⎛⎫ ⎪'-= ⎪ ⎪ ⎝⎭ ，取1101u -⎛⎫ ⎪=⎪⎪⎭。

矩阵论

矩阵论 为何要学矩阵论？ 自然界和社会发展的本质——“变”（change ）。 种子幼苗 树林 房梁、桌椅…… 婴儿 小学生 中学生 硕士、博士…… 数学描述：f ：x y=f(x)：Rx Ry function 推于T ： )(αβαT =→： βαB B T −→− transformation B α，B β具有线性结构：ααααααB B 2121∈⇒∈，，， 变换具有线性性质： )()()(2121ααααT T T +=+，)()(ααkT k T = 那么α可表为向量α=（x1，… xn ）T ，T 可表为矩阵n m ij a A ⨯=)( ， αβA y T =⋯=)y (m 1 因此要研究矩阵的性质。（等于研究线性变换的性质） 如解线性方程组：Ax=b b A x 1-=⇒，1-A 存在？唯一？ 正如二次型Ax x x x a x x f T j i j i ij n ==⋯∑，，),(1 若有P 使∧=⋯=)(n 1λλ，，diag AP P T 则2n 211y )()(x n T T y Px Px Ax λλ+⋯+=∧= ~标准化 其中T n y y Px y )(1，，⋯== 引出相似对角化问题。 2.方阵的相似化简 2.1 Jordan 标准型 2．1.1 矩阵的相似及对角化 A 与 B 有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。 A 课相似对角化~)(~1n diag A λλ，，⋯ 定理1.5.6 A 可相似对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量。 事实上i i i x Ax λ= n i ，， ⋯=1 取)x (1n x P ⋯= （可选）

(整理)工程矩阵理论

双语国际教育版 系统分析的数学工具——工程矩阵理论（适用于数学专业和其它理工科研究生） 倪郁东编著 合肥工业大学数学学院

目录 第一章线性空间与线性变换 1 §1.1 线性空间 1 §1.2 线性变换及其矩阵 3 §1.3 内积空间8 §1.4 正交变换及其几何与代数特征 §1.5 应用于小波变换的框架理论15 第二章矩阵的标准形理论 §2.1 线性变换的特征值和特征向量29 §2.2 矩阵的相似对角化32 §2.3 特征矩阵的Smith标准形34 §2.4 矩阵的Jordan标准形34 §2.5 矩阵的最小多项式 第三章矩阵分解29 §3.1 Gauss消去法与矩阵三角分解29 §3.2 矩阵的QR分解32 §3.3 矩阵的满秩分解34 §3.4 矩阵的奇异值分解34 §3.5 矩阵分解的应用 第四章矩阵范数理论及其应用16 §4.1 范数与赋范线性空间 §4.2 向量范数及其性质17 §4.3 矩阵的范数18 §4.4 范数的应用19 第五章矩阵分析及其应用20 §5.1 矩阵序列20 §5.2 矩阵级数21 §5.3 矩阵函数22 §5.4 矩阵的微分和积分25

§5.5 矩阵函数的一些应用26 §5.6 梯度分析和最优化27 第六章特征值估计及极性38 §6.1 特征值的估计38 §6.2 广义特征值问题40 §6.3 对称矩阵特征值的极性41 §6.4 广义特征值分析的应用42 第七章广义逆矩阵43 §7.1 投影矩阵43 §7.2 广义逆矩阵46 §7.3 总体最小二乘方法49 第八章Matlab中的矩阵运算简介50 §8.1 基本矩阵运算50 §8.2 矩阵分解52 §8.3 广义逆矩阵和解线性系统54 参考文献57