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幂等矩阵的性质研究

滨州学院

毕业设计（论文）

题目幂等矩阵的性质研究

系（院）数学系

专业数学与应用数学

班级2010级1班

学生姓名崔世玉

学号1014070124

指导教师田学刚

职称讲师

二〇一四年六月十日

独创声明

本人郑重声明：所呈交的毕业设计(论文)，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。

本声明的法律后果由本人承担。

作者签名：

二〇一四年月日

毕业设计（论文）使用授权声明

本人完全了解滨州学院关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定。

本人愿意按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版，同意学校保存学位论文的印刷本和电子版，或采用影印、数字化或其它复制手段保存设计（论文）；同意学校在不以营利为目的的前提下，建立目录检索与阅览服务系统，公布设计（论文）的部分或全部内容，允许他人依法合理使用。

（保密论文在解密后遵守此规定）

作者签名：

二〇一四年月日

幂等矩阵的性质研究

摘要

幂等矩阵是一类非常特殊的矩阵，不仅在矩阵论中有着重要的应用，而且在其它许多领域也有广泛的应用.本文的主要内容是探讨幂等矩阵性质及其应用，首先对幂等矩阵性质进行分析整理并作简单的推广；然后利用分类讨论的思想研究幂等矩阵线性组合的幂等性，在一定条件下给出3个幂等矩阵的线性组合幂等的充要条件；最后研究幂等矩阵的线性组合的可逆性，给出其可逆的具体刻画.本文研究内容能够丰富幂等矩阵的相关结论，有利于矩阵在其它领域的应用。

关键词:幂等矩阵；线性组合；可逆矩阵；矩阵的秩

Research on the properties of idempotent matrix

Abstract

Idempotent matrix is a very special class of matrices, which having important applications not only in matrix theory, but also in many other fields .The main content of the paper is to investigate the properties of idempotent matrix and its application.Firstly, the properties of idempotent matrix are analyzed and promoted.By using the category talk and the idempotent matrix idempotency of linear combinations.In some conditions three idempotent matrices the necessary and sufficient conditions in which the linear combination is also idempotent are given.The last research idempotent matrix of the linear combination of reversibility, gives its reversible specific features.In this paper, the research content to enrich the idempotent matrix related conclusions, which is helpful for the application of matrix in other areas.

Key words: idempotent matrix; linear combination; invertible matrix; rank matrix

第一章幂等矩阵的概述 (1)

1.1研究背景 (1)

1.2基本概念介绍 (2)

第二章幂等矩阵的性质 (4)

2.1幂等矩阵的主要性质 (4)

2.2幂等矩阵的等价命题 (7)

第三章幂等矩阵线性组合的幂等性 (12)

3.1 3个幂等矩阵线性组合的幂等性 (12)

3.2 3个立方幂等矩阵的线性组合的幂等性 (14)

第四章幂等矩阵线性组合的可逆性 (16)

4.1 幂等矩阵线性组合的可逆性 (16)

4.2 三个三次幂等矩阵的线性组合的可逆性问题 (18)

小结 (20)

参考文献 (21)

谢辞 (22)

第一章幂等矩阵的概述

1.1研究背景

幂等矩阵是矩阵中非常特殊的一类矩阵，也是非常重要且非常常见的一类矩阵，很多其他特殊矩阵都与幂等矩阵有着密切的联系，如对合矩阵及投影矩阵.幂等矩阵在数学领域及其他许多领域的应用都非常广泛，幂等矩阵更是矩阵论中的一个基础部分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要作用.近年来有关此问题的研究吸引了国内外许多研究学者的关注，关于幂等矩阵的研究已经成为矩阵论中的活跃的研究领域.幂等矩阵在研究广义逆矩阵中占有非常重要的位，研究幂等矩阵的性质是研究其他特殊矩阵的基础.广义逆的思想可追溯到1903年(E.) i. Fred Holm的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆(他称之为伪逆)。1904年，D. Hilbert broadly 在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H. Moore在1920年提出的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上.当时人们对此似乎很少注意。这一概念在以后30年中没有多大发展.曾远荣在1933年，F.J. Murray 和J. von Neumann在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆作过讨论。T.N.E. Greville, C.R. Rao和其他人也作出了重要的贡献.1955年，Penrose证明了存在唯一的+

X满足前述性质①～④，并以此作为+A的定

义.1956年，R. Colorado证明了彭罗斯定义的广义逆与穆尔定义的广义逆是等价的，因此通称+

A为穆尔-彭罗斯广义逆矩阵。幂等矩阵是国内外学者都非常感兴趣的一类矩阵，如文[1]中研究了幂等矩阵的可对角化性质，证明了幂等矩阵是可对角化的；文[2]研究了幂等矩阵的伴随矩阵的幂等性等等。本文在接下来的章节中，我们将先给出幂等矩阵的定义及几个简单命题，并证明.然后给出幂等矩阵的一系列性质，在前人的基础上进行总结以及推广，并进行证明。再给出幂等矩阵的等价命题，并给出证明。然后讨论幂等矩阵的线性组合的相关性质并对幂等矩阵进行深入研究。

1.2 幂等矩阵的概念定义1.1]3[ 若n n C A ⨯∈有性质A A =2, 则称A 为幂等矩阵. 为了更好地了解幂等矩阵, 现在来看以下几个命题:

引理1.1 若n 阶方阵A 是幂等矩阵, 则与A 相似的任意n 阶方阵是幂等矩阵. 证明设A B ~(即矩阵B 与矩阵A 相似),则,可逆n n C P ⨯∈∃使得

B AP P =-1且 P A P AP P AP P B 21112---=⋅=,

又 A A =2,所以

B AP P P A P B ===--1212，

所以B 是幂等矩阵.

定理1.1也可以表述为: 若A 是幂等矩阵, 则对于任意可逆阵T , AT T 1-也为幂等矩阵.

引理1.2 若n 阶方阵A 是幂等矩阵, 则A 的转置T A , A 的伴随矩阵*A 及A E - 都是幂等矩阵.

证明 ()()T T T A A A ==22, 即T A 为幂等矩阵;

对*A , 先证明对任意两个幂等矩阵B A 、, 有关系式()***A B AB =.

由binet Cauchy -公式有:

()()=j i AB ,*

矩阵AB 的第i 行第j 列的代数余子式所以,

()()()2

*****2

*A A A AA A A ====，对A E -, 有

()A E A A E A A E A E -=+-=+-=-22222

. 引理1.3 若A 是幂等矩阵, A 的k 次幂仍是幂等矩阵.

证明可用数学归纳法证明. 当1=k 时, 显然成立.假设当n k =时, 命题成立, 现考虑1+n 情形:

()1222221+++=⋅=⋅==n n n n n A A A A A A A ，

即当1+=n k 时命题仍成立, 由数学归纳法知, 对任意N k ∈命题都成立.

第二章幂等矩阵的性质

2.1 幂等矩阵的主要性质

性质2.1 0矩阵和单位矩阵E 都是幂等矩阵.

证明由0和E 的定义可知命题成立.

性质2.2 幂等矩阵A 满足: ()()0=-=-A A E A E A .

证明 ()02=-=-=-A A A A A E A ,

()02=-=-=-A A A A A A E .

性质2.3 若矩阵B A ,均为幂等矩阵, 且BA AB =, 则AB 与T T B A 也是幂等矩阵.

证明 ()AB B A B AB A B BA A AB AB AB ==⋅⋅=⋅⋅=⋅=222

, 同理, T T B A 也是幂等矩阵.

性质2.4 若幂等矩阵A 可逆, 则E A =.

证明因为A A =2.

所以

E A A A A A =⋅=⋅=--121.

性质2.5 幂等矩阵的特征值只能为0或1.

证明设A 是幂等矩阵, 即A A =2, 再设A 的特征值为λ, 则λλ=2

(由特征值的性质), 故10或=λ.

由这个性质可以知道幂等矩阵是半正定矩阵.

性质2.6 幂等矩阵可对角化.

证明设A 是幂等矩阵, λm 为A 的最小多项式, 由性质2.5知: λλ=m 或1-λ或()1-λλ,

最小多项式是互素的一次因式的乘积, 从而A 可对角化. 另]1[证明当E A 或0=(即n r A 或0=)时, 显然成立.

当n r A <<0时, A 的特征值全为0, 1. A 的属于1的特征子空间的维数等于齐次线性方程组()0=-x A E 的解空间的维数()A E r n --. 属于0的特征子空间的维数等于齐次线性方程组0)(=--x A E 的解空间的维数A r n -.由幂等矩阵的性质有

[])(A E r n --[]n n n r r n r n A A E A =-=--=-+-22)(

故A 可对角化, 设t r A =, 则由幂等矩阵的性质得()r r n A E =--, 因此A 的相

似标准型为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡000r

E . 性质2.7 若A 是幂等矩阵, 则()1,0≠∈∀a R a , aE A +是可逆矩阵.

证明因为A A =2，

所以

()()[]()()E a a E a a A A E a A aE A 1112+-=+--=+-+,

又因为

A A =21,0≠a ,

所以

()()()[]E E a A a a aE A =⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+-+-+111, 故aE A +可逆, 且

()()[]E a a A a a aE A 1)

1(11+-+-=+-. 性质2.8 幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩, 即()()A rank A tr =.

证明设()X r A rank ,,λ=分别为A 的特征值及其相应的特征向量, 于是有: X AX X A AX X 22λλλ====,

从而有()01=-λλ. 由此可推得结果. 性质2.9 若A 满足()n r r E A A =+-, 则A 是幂等矩阵.

证明设0=Ax 的基础解系为r ξξξ,,,21 (其实它们都是特征值0的特征向量), 再设()0=-x E A 的基础解系为t r r r +++ξξξ,,,21 (它们都是特征值为1的特征向

量), 且n t r =+, 设矩阵(可逆)()n r r T ξξξξξ,,,,,,121 +=满足

B E AT T t =⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=-0001

, 而B 是幂等矩阵, 故1

-=TBT A 也是幂等矩阵.

例2.1 设B A 、都是幂等矩阵, 且BA AB =, 证明AB B A -+是幂等矩阵.

证明由题意可知B B A A ==2

2,, 且BA AB =, 于是:

()()2

222

AB ABB ABA BAB B BA AAB AB A AB B A +---++-+=-+

ABAB AB ABA BAB B BA AB AB A +---++-+= AB AB AB BA B BA A +---++= AB B A -+=.

例2.2 设B A ，

为n 阶幂等矩阵, 且BA AB =, ()0,≠∈∀ab R b a . 证明 (1) 若()E bB aA =+2

则0==BA AB 或1±=+b a .

(2) 若()E bB aA =-2

则0==BA AB 或1±=-b a .

证明 (1) ()E bB aA =+2

, 由题设知

BA AB B B A A ===,,22,

则有

()B b abAB A a B b abBA abAB A a bB aA 2

2++=+++=+.

对上式两边同乘于B A ，

得 AB AB b abAB AB a =++222.

移项得

()

()[]

01122

2=-+=-++AB b a AB b ab a .

从而有()012

==+AB b a 或, 即0==BA AB 或1±=-b a .

同理可证)2(.

例2.3 设A 是n 阶实对称阵, 且A A =2, 证明∃正交矩阵T ,使得

⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡=-00

01r

E AT T . 证明设ξ是属于λ的特征向量, 那么

λξξ=A ,()ξλξλλξξ22===A A A ，

又A A =2,λξξ=2

A , 从而()

02=-ξλλ,但0≠λ，所以λλ=2

，故1=λ或0，

(由幂等矩阵的性质也可以得知), 故A 的特征值不是0就是1.

故∃正交矩阵T ,使得⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡=-00

01r

E AT T (T 可由特征向量构造, 将A 转化为

()A Im x x Ax ∈⇔=.

（1）⇔（5） “⇒” 因为A A =2

，所以()0=-A E A .

故A E -的列向量都满足0=Ax . 从而

()()A Ker A E Im ⊆-,

又()A Ker α∈∀, 有

()()()A E Im A E A E A A -∈⇒-=-+⇒=ααααα0.

由α的任意性可知

()()A Ker A E Imf ⊇-.

综上, ()()A Ker A E Im =-.

“⇐” 对n R ∈∀α有()()()A Ker A E Im αA E =-∈-,即()()A Ker A E ∈-α. 于是有

()[]()

002=-⇒=-ααA A A E A .

由α的任意性得A A A A ==-2

20，即.

同理可证⇔=A A 2()()A E Ker A Im -=.

（1）⇔（6）若()()A E Im A Im x -⋂∈, 即()z A E Ay x -==对某两个z y 、成立, 则

()02=-==z A E A y A x ,

故

()(){}0A E Im A Im =-⋂.

同理可证后面一个式子，从而（4）成立. 反之, 若（6）成立, 则对任一x , 有

()x A E Ax x -+=是x 的唯一分解.

但又有唯一分解

()

x A E x A x 22-+=,

又

()()

()A E Im x A E ，A Im x A 22-∈-∈，

于是对任何x 成立着x A Ax 2

=, 从而A A =2

（6）⇔（7）注意到()x A E Ax x -+=对任何x 成立, 故总有()()n

R A E Im A Im =-⊕, 故(vi)与(vii)等价.

（7）⇔（8） ()()n R A E Im A Im =-⊕总是成立的. 由维数公式知

()[]()[]()n A E A A E A A E A =-+=-⋂+-+dim dim dim dim .

由性质2.8可知, 若A A =2, 则trA r A =.

另外, 利用矩阵的满秩分解, 我们可以具体的找出(ix)中的变换阵()0≠P P . 设11Q P A =,22Q P A E =-均为满秩分解, 则有

[]E Q Q P P =⎥⎦⎤⎢

⎣⎡2121,,且[]⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡2121,Q Q P P ，均为方阵. 从而

[]E Q Q P P =⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡2121,，由此可知

r E P Q =11, 021=P Q , 012=P Q , r n E P Q -=22.

于是可证明

[]⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00

0,2121r

E P P A Q Q . 从此式还可以看出, 1P 与2P 的列向量分别是A 的属于特征值1与0的特征向量. 最后,矩阵的满秩分解可用来判定幂等性: 若21A A A =是满秩分解, 则A A =2当且仅当E A A =12. 另一方面, 常用此特殊性来构造幂等矩阵. 下面给出几个构造幂等矩阵的定理:

定理2.2]4[ 设非零列向量()T

n αααα，，， 21=, 则n 阶矩阵T E A αα-=为幂

等矩阵⇔12

2221=+++=n T ααααα .

证明 “⇒”因为A A =2

, 所以

()()T

E E E αα

αααα-=--,

即

()

T T T T E E αααααααα-=+-2,

从而()

01=-T T αααα,因为α, 0≠T

α, 因此, 12

1=+++=n T

ααααα . “⇐”因为

122221=+++=n T ααααα ,

所以

()

A E E A T T T T =-=+-=αααααααα22.

推论2.1 令T E A αα-=, 其中: ()T

n αααα，，

， 21=为非零列向量. 若122221=+++=n T ααααα , 则n 阶方阵A 不可逆.

证明设A 可逆, 则由幂等矩阵的性质可知E A =, 当12

1=+++n ααα 时, 由定理2.2可知A 为幂等矩阵, 即A A =2,但T E A αα-=, 所以T E E αα-=, 得0=T αα, 与12

1=+++n ααα 矛盾, 所以A 不可逆. 定理2.3]5[ 若A 和B 是同阶幂等矩阵, 则

B A +为幂等矩阵⇔0=+BA AB .

证明因为

()BA AB B A B BA AB A B A +++=+++=+222,

所以

0=+⇔+BA AB B A 为幂等矩阵.

定理2.4 若A 和B 是同阶幂等矩阵, 且BA AB =,则AB 为幂等矩阵. 证明由题意可得 ()AB AABB ABAB AB ===2

, 即AB 为幂等矩阵.

定理2.5 若A 为幂等矩阵, 且E A ≠, 则A 不可逆.

证明设A A =2,则有()0=-E A A . 若A 可逆, 则

1-∃A ,t s .E A A AA ==--1

在()0=-E A A 的两边同时乘以1-A , 得0=-E A ,即E A =. 与题设矛盾, 故A 不可逆.

定理2.6 若A 是幂等矩阵, 且E A ≠, 则矩阵方程0=Ax 有非零解.

证明由定理2.5可知, A 不可逆, 即0=A . 故矩阵方程0=Ax 有非零解.

定理2.7 若A 和B 是同阶幂等矩阵, 则

B A -是幂等矩阵⇔B BA AB ==.

证明 “⇒”因为B A -是幂等矩阵, 所以

()BA AB B A B BA AB A B A B A --+=+--=-=-222,

将BA AB B +=2两边分别左乘和右乘B 得:

BBA BAB B +=22, 即BA BAB B +=2. （2.1） BAB AB B +=222, 即BAB AB B +=2. （2.2）两式相减可得BA AB =, 从而B BA AB ==.

“⇐” ()B A B B B A B BA AB A B A -=+--=+--=-2

第三章幂等矩阵线性组合的幂等性

3.1 3个幂等矩阵线性组合的幂等性

设1T ，2T ，3T 是3个不同的非零的两两相互可交换的m m ⨯幂等矩阵，对于非零复数1l ，2l ，3l 我们将讨论

332211T l T l T l T ++= （3.1）

是幂等矩阵的一些充分条件.

首先，我将给出以下2个引理。

引理3.1 设1T ，2T ，3T 是3个不同的非零的两两相互可交换的m m ⨯幂等矩阵并且1l ，2l ，3l 是非零复数，那么（3.1）是幂等矩阵当且仅当

+-+-+-3323222

21121)()()(T l l T l l T l l 0222323231312121=++T T l l T T l l T T l l （3.2）

我们定义m m ⨯矩阵），，（321l l l ∆如下：

），，（321l l l ∆=+-+-+-332322221121)()()(T l l T l l T l l

323231312121222T T l l T T l l T T l l ++.

引理3.2 设1T ，2T ，3T 是3个不同的非零的两两相互可交换的m m ⨯幂等矩阵并且1l ，2l ，3l 是非零复数，那么（3.1）是幂等矩阵当且仅当

，

，，，n i t l l l t l l l i i i i i i 10)1)((321321==-++++μλμλ 其中i i i t ，，μλ分别是1T ，2T ，3T 的特征值.

下面给出（3.1）是幂等矩阵的一些充分条件.

定理3.1 设1T ，2T ，3T 是3个不同的非零的两两相互可交换的m m ⨯幂等矩阵并且1l ，2l ，3l 是非零复数.如果下列情形之一成立，则（3.1）是幂等矩阵.

（1），，，21

3212211===l l l 并且）（3211T T T T +=，）（3122T T T T +=，）（2133T T T T +=；（2）），且，，，（，，k j i k j i l l l k j i ≠≠===-=3,21

2121，并且）（3211T T T T +=，）（3122T T T T +=，）

（2133T T T T +=；（3）），且，，，（，，k j i k j i l l l k j i ≠≠===-=3,21112，并且；k j k i j i i T T T T T T T ===

（4）），且，，，（，，k j i k j i l l l k j i ≠≠==-=-=3,21211，

并且

j i k j i T T T T T =-+2

）（；（5）），且，，，（，，k j i k j i l l l k j i ≠≠===-=3,21111，

并且0))((=--k i j i T T T T ；

（6），，，111321===l l l 并且0323121=++T T T T T T .

证明通过引理1知道（3.1）是幂等矩阵当且仅当），，（321l l l ∆=0. 如果（1）成立，我们有

），，（21

2121∆=）

（32312132141222T T T T T T T T T +++--- =[(41)13121T T T T T -++)(23221T T T T T -++)](33231T T T T T -+ =0.

所以在（1）成立下，T 是幂等矩阵. 如果（2）成立，我们有

），，（212121-∆=）

（323121321412223T T T T T T T T T +---- =(3[41-)13121T T T T T -++)(23221T T T T T -++)](33231T T T T T -+ =0.

同理，，），，（0212121=-∆02121

21=-∆）

，，（. 所以在（2）成立下，T 是幂等矩阵. 如果（3）成立，我们有

）（1,1,2-∆=1111323121124462446T T T T T T T T T T T +--+--=0. 同理，）（1,2,1-∆=0，）（2,1,1-∆=0. 所以在（3）成立下，T 是幂等矩阵. 如果（4）成立，我们有

），（2,11--∆=323121321442222T T T T T T T T T --+++ =0])[(2212321=--+T T T T T .

同理，0121=--∆），，

（，0112=--∆），，（. 所以在（4）成立下，T 是幂等矩阵. 如果（5）成立，我们有

）（1,1,1-∆=32312112222T T T T T T T +-- =))((23121T T T T -+=0.

同理，01,1,1=-∆）（

，01,1,1=-∆）（. 所以在（5）成立下，T 是幂等矩阵.

如果（6）成立，我们有

）（1,1,1∆=323121222T T T T T T ++=）（3231212T T T T T T ++=0，所以在（6）成立下，T 是幂等矩阵. 证明完毕.

3.2 3个立方幂等矩阵的线性组合的幂等性

定义3.1 任意矩阵m m L T ⨯∈，如果T T =3，则称T 为立方幂等矩阵. 定理3.2 设非零矩阵m m L T T T ⨯∈321，满足)3,2,1(=≠±≠j i j i T T j i ，，，

0321=T T T 且3=r ，令T 是321T T T ，，的线性组合，即i i i T l T ∑==3

，22j i j i T T T T =且矩阵

T 是立方幂等矩阵的充要条件是

（1）（321l l l ）=（111）（2）（32

1l l l ）=（111---）

证明（1）必要性

因为矩阵T 是立方幂等矩阵，所以

=3T 3

332211）

（T l T l T l ++=T l T l T l 321++ （3.3）又

i j j i T T T T =，0321=T T T ，

所以（3.3）等价于

()

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡---32133

323

131T T T l l l l l l +(

)

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡3223212213223

212213T T T T T T l l l l l l +

(

)

⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡2322312212322

312

13T T T T T T l l l l l l =0 （3.4）

由22j i j i T T T T =)3,2,1(=≠j i j i ，，可得

()

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡---32133

2131T T T l l l l l l +(

)23232

313212212213l l l l l l l l l l l l +++⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡322321221T T T T T T =0.

因为)321(，，=i T i 是非零矩阵，）

（3,2,1=i l i 是非零复数，所以（32

1l l l ）=（111）或（321l l l ）=（111---）.

（2）充分性因为

（32

1l l l ）=（111）

，所以

3T = =()111⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡321T T T +3()111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322321221T T T T T T +3()111⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡232231221T T T T T T +6321T T T , ()111

31l l -⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡321T T T +(

)

132

121l l ⎥

⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡322321221T T T T T T +()1311l l ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡232231221T T T T T T =0

当i j j i T T T T =，0321=T T T 时， =3T 321T T T ++=T .同理可证（2）的充分性.

幂等矩阵的研究现状与意义

幂等矩阵的研究现状与意义研究现状幂等矩阵是一类具有良好性质的矩阵，在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛.先前已经有许多学者对幂等矩阵的一些性质和结论进行了归纳总结并对相关性质进行了推广，优化解题和证明问题的过程，使思维更简洁.四川师范大学陈明俭对幂等矩阵的若干等价条件进行了循环证明;雁北师范学院肖润梅介绍了幂等矩阵、对合矩阵的概念，讨论了幂等矩阵的充要条件;连云港师范学院王秀芳探讨了幂等矩阵的性质;内蒙古民族师院满良讨论了关于幂等矩阵秩的一类性质;大庆师范学院的董庆华、王成伟对幂等矩阵的相似标准型与分解形式进行了研究.学者们都在各自的研究课题上深入探讨，但目前能涵盖幂等矩阵完整性质的文献并不多，对于幂等矩阵分类问题的研究文献也很少. 意义本文主要对幂等矩阵的若干等价命题、幂等矩阵的特征性质进行了概括并加以证明，以及对幂等矩阵的分类问题进行了研究.如本文首先对幂等矩阵下定义和刻划，接着对幂等矩阵的一些性质(包括幂等矩阵的特征值、幂等矩阵的秩的性质、幂等矩阵的和的性质等)进行了归纳总结，通过这部分内容来加深我们对幂等矩阵这一概念的理解，最后重点研究了幂等矩阵的分类问题.首先从 A'=A这类比较简单的幂等矩阵的分类问题入手，进而推广至k次幂等矩阵，

并对这类幂等矩阵分别在复数域和实数域上的分类问题进行讨论．这对我们理解幂等矩阵的本质，灵活运用幂等矩阵分析解决相关问题有一定的意义和作用. 在这次的研究中我学到了很多东西，不仅加深了我对幂等矩阵的理解，也让我积累了一些解决相关问题的经验.但是在这方面的知识我还有很多需要学习，今后我仍然会继续学习这方面的知识，不断完善自己.

关于广义幂等矩阵的性质的探讨正文

关于广义幂等矩阵的性质的探讨左航（导师：谢涛）（湖北师范学院数学与统计学院湖北黄石 435002） 1.引言在高等代数中，矩阵是代数学的一个重要研究对象，也是数学研究中不可缺少的工具。我们把满足2A A =的矩阵A 叫做幂等矩阵，把满足2σσ=的线性变换σ叫做幂等变换。文【1，2】已给出了幂等矩阵与幂等变换的性质和等价条件。本文试图通过引入k 次幂等矩阵和k 次幂等变换的概念，来推广幂等矩阵和幂等变换，并讨论它们的性质。同时由于可逆矩阵对处理矩阵问题的重要性，文中在可逆幂等矩阵的基础上给出可逆n 阶k 次幂等矩阵的定义，并总结出相关的一些性质。而且在计量经济学中对于大多数经济现象进行比较静态分析的结果，都可以合理地归结为一个线性经济模型Ax=b ，其中的系数矩阵A 往往是一个幂等矩阵。为此，也有必要对幂等矩阵展开理论方面的深入研究。 1.幂等矩阵定义1.1 任何一个满足幂等关系2A A =的矩阵A 称为幂等矩阵。显然，n 阶零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。关于幂等矩阵，目前已有一些结论，我们选择其中一些性质列举如下： 1.1.1幂等矩阵的特征值只取0和1两个数值； 1.1.2所有的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是奇异矩阵； 1.1.3所有幂等矩阵的秩与迹相等，即()()Rank P Tr P =； 1.1.4若P 为幂等矩阵，则'P 也为幂等矩阵； 1.1.5若P 为幂等矩阵，则I P -也为幂等矩阵()()Rank I P n Rank P -=-所有对称的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是半正定的； 1.1.6令n ?n 幂等矩阵P 的秩为r,则P 有r 个特征1和n r -个特征值0；

幂零矩阵的性质及应用

本科毕业论文论文题目：幂零矩阵的性质及应用学生姓名：学号：2010411676 专业：数学与应用数学指导教师：学院：数学科学学院 2014 年4月22 日

毕业论文（设计）内容介绍

目录摘要：....................................................................................................................... - 1 - Abstract: . ............................................................................................................... - 1 - 一、相关的基本概念............................................................................................... - 2 - 二、相关的一些引理............................................................................................... - 2 - 三、性质................................................................................................................... - 4 - 四、关于幂零矩阵的简单应用............................................................................. - 12 - （一）、利用幂零矩阵求下列矩阵的逆...................................................... - 12 - （二）、有关幂零矩阵的其他应用举例...................................................... - 15 - 参考文献：............................................................................................................. - 20 -

幂等矩阵的性质研究

滨州学院毕业设计（论文）题目幂等矩阵的性质研究系（院）数学系专业数学与应用数学班级2010级1班学生姓名崔世玉学号1014070124 指导教师田学刚职称讲师二〇一四年六月十日

独创声明本人郑重声明：所呈交的毕业设计(论文)，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本声明的法律后果由本人承担。作者签名：二〇一四年月日毕业设计（论文）使用授权声明本人完全了解滨州学院关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定。本人愿意按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版，同意学校保存学位论文的印刷本和电子版，或采用影印、数字化或其它复制手段保存设计（论文）；同意学校在不以营利为目的的前提下，建立目录检索与阅览服务系统，公布设计（论文）的部分或全部内容，允许他人依法合理使用。（保密论文在解密后遵守此规定）作者签名：二〇一四年月日

幂等矩阵的性质研究摘要幂等矩阵是一类非常特殊的矩阵，不仅在矩阵论中有着重要的应用，而且在其它许多领域也有广泛的应用.本文的主要内容是探讨幂等矩阵性质及其应用，首先对幂等矩阵性质进行分析整理并作简单的推广；然后利用分类讨论的思想研究幂等矩阵线性组合的幂等性，在一定条件下给出3个幂等矩阵的线性组合幂等的充要条件；最后研究幂等矩阵的线性组合的可逆性，给出其可逆的具体刻画.本文研究内容能够丰富幂等矩阵的相关结论，有利于矩阵在其它领域的应用。关键词:幂等矩阵；线性组合；可逆矩阵；矩阵的秩

幂等矩阵的性质及应用

JIU JIANG UNIVERSITY 毕业论文（设计）题目幂等矩阵的性质及应用英文题目Properties and Application of Idempotent Matrix 院系理学院专业数学与应用数学姓名邱望华年级 A0411 指导教师王侃民二零零八年五月

幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。 [关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合

The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices. [Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence, linear combination

高等代数论文

有关幂等矩阵与对合矩阵换位子的进一步讨论聂晓柳 (数学与应用数学系指导教师:杨忠鹏) 摘要：本文主要研究了复数域上幂等矩阵和对合矩阵换位子的秩等式，及其可逆的等价条件.同时利用幂等矩阵与对合矩阵的性质,研究了它们的差与和的秩等式及其可逆的等价条件.在这篇文章中，主要使用了两种经典的方法：一、把对合矩阵转化为幂等矩阵；二、分块矩阵的高斯消元法.我们还进一步涉及了其它类型的特殊矩阵的换位子的相关性质，并提出了以后的研究方向. 关键词：幂等矩阵对合矩阵换位子矩阵的秩可逆性 Abstract ：In this paper, we mainly study the rank equalities for the communicator of the idempotent matrix and the involutory matrix, and the invertible equivalent conditions of the communicator in the complex field. Using properties of idempotent matrices and involutory matrices, we also study the rank equalities of the difference and the sum of one idempotent matrix and one involutory matrix, including their invertibility, respectively, by two classical tools: transforming an involutory matrix into an idempotent matrix and applying block Gaussian elimination. Besides we further study the rank equalities of the communicator of other special matrices. And we also propose some problems for further work in the future. Key words ： Idempotent matrix Involutory matrix Communicator Rank equality Invertibility 0、符号说明及引言幂等矩阵与对合矩阵是矩阵论中的重要组成局部,在许多内容和各种学科中都非常有用,请参看[1-11,14-17].为了后面的写作方便，首先进行符号说明. 用m n C ⨯表示复数域C 上的所有m n ⨯矩阵组成的集合; n C 表示复数域C 上所有n 维列向量组成的集合, E 表示n 阶单位矩阵，()r A 表示矩阵A 的秩。假设2,n n A C A A ⨯∈=，称A 为幂等矩阵。设复矩阵()ij n n A a ⨯=为A 的共轭矩阵,其中ij a 为ij a 的共轭复数.'A 即对A 进行转置.'A 表示A 的共轭转置矩阵. 在本文中用*A 表示A 的共轭转置矩阵;假设3,n n A C A A ⨯∈=，称A 为三次幂等矩阵。假设,n n m A C A A ⨯∈=，称A 为m 次幂等矩阵；假设 2,n n A C A E ⨯∈=，称A 为对合矩阵。假设 ,n n m A C A E ⨯∈=,称A 为幂么矩阵；分块矩阵()m n k M C ⨯+∈,[],M A B =, m n A C ⨯∈,m k B C ⨯∈.()m l n N C +⨯∈,A N C ⎡⎤ =⎢⎥⎣⎦, m n A C ⨯∈,l n C C ⨯∈。假设2,P P λ=称P 为scalar-potent 矩阵，以下简记为S -矩阵； ,,n n A B C AB BA ⨯∈-称为A 与B 的换位子.()R T 表示T 的值域.对分块矩阵的初等变换的符号说明:()()r i r j ±表示矩阵的第i 行加上或减去第j 行，()()p i p j ±表示矩阵的第i 列加上或减去第j 列，()()r i k r j ±⋅表示第i 行加上或减去第j 行的k 倍；()()p i p j k ±⋅表示第i 列加上或减去第j 列的k 倍. Yongge Tian ，George P.H.Styan 在文献 [1]中得到了同一种类型矩阵的差，和，换位子的秩等式，即两个幂等矩阵的差,和,换位子的有关秩等式,同时相应地得到了两个对合矩阵

幂等矩阵的行列式

幂等矩阵的行列式在线性代数中，幂等矩阵是指一个方阵，其自乘结果等于其本身。幂等矩阵在多个领域中具有广泛的应用，如图像处理、网络通信等。本文将介绍幂等矩阵的定义、性质以及一些实际应用。一、定义幂等矩阵的定义很简单：一个方阵A是幂等的，如果满足A^2=A。也就是说，将矩阵A乘以自身得到的结果仍然等于A。幂等矩阵通常用I表示，即幂等矩阵是单位矩阵的一种特殊情况。二、性质 1. 幂等矩阵的行列式为0或1 由于幂等矩阵A满足A^2=A，因此可以通过计算A^2-A=0来求解幂等矩阵的行列式。根据行列式的性质，可以得出幂等矩阵的行列式只能是0或1。 2. 幂等矩阵的特征值为0或1 设A是一个n阶幂等矩阵，λ是A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。则有Ax=λx。将幂等矩阵的定义代入，可以得到A^2x=Ax=A。即λ^2x=λx，进一步可得λ^2=λ。由此可知，幂等矩阵的特征值只能是0或1。 3. 幂等矩阵的秩等于其迹

矩阵的迹定义为主对角线上元素的和。对于幂等矩阵A，由于A^2=A，可以得到A^2的迹等于A的迹。进一步推导可知，幂等矩阵的秩等于其迹。三、应用 1. 图像处理中的二值化在图像处理中，二值化是将灰度图像转化为黑白图像的过程。幂等矩阵可以用来实现二值化操作。通过将灰度图像乘以幂等矩阵，可以将所有大于阈值的像素值设为1，小于等于阈值的像素值设为0，从而实现图像的二值化。 2. 网络通信中的数据校验在网络通信中，为了确保数据的完整性和正确性，常常需要对数据进行校验。幂等矩阵可以用来生成校验码。通过将数据矩阵与幂等矩阵进行矩阵乘法运算，得到的结果作为校验码发送给接收端。接收端将接收到的数据矩阵与幂等矩阵进行矩阵乘法运算，如果结果与接收到的校验码相等，则说明数据没有被篡改。 3. 数据库中的数据操作在数据库中，幂等矩阵可以用来实现幂等性操作。幂等性操作是指多次执行操作所产生的结果与执行一次操作所产生的结果相同。通过将操作矩阵与幂等矩阵进行矩阵乘法运算，可以确保多次执行操作不会对数据库中的数据产生重复的影响。

幂等变换和幂等矩阵的性质

幂等变换和幂等矩阵的性质中文摘要:本文在已有文献资料的基础上，对幂等变换和幂等矩阵的性质作了归纳。关键词:幂等变换，幂等矩阵，性质正文: （一）定义及说明定义 1.设σ是数域P 上线性空间V 上的线性变换，且 2σσ=，则称σ为V 上的幂等变换。定义2.设A 是数域P 上的n 级方阵，若2A A =，则称A 为V 上的幂等矩阵。因为数域P 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合()()n L V P 对于线性变换的加法和数量乘法构成的P 上的线性空间与数域P 上的n 级方阵构成的线性空间n n P ⨯同构，即()()n n n L V P P ⨯≅。所以幂等变换σ对应于幂等矩阵 A ,2A A =. （二）幂等变换的一个性质及其推广[1] 定理1.设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换，且2σσ=，则有（1）()Ker σ={}()|V ξσξξ-∈,Im()σ={}()|V ξσξξ=∈ （2）()Im()V Ker σσ=⊕ （3）若τ是V 的一个线性变换，则()Ker σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是σττσ= 将幂等变换的定义加以推广：设σ是数域P 上线性空间V 上的线性变换，且n σσ=，则称 σ为V 上的幂等变换。

对于满足n σσ=的线性变换有类似性质定理2. 设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换，且n σσ=（2n ≥），则有（1）()Ker σ={}1()|n V ξσξξ--∈，Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈ （2）()Im()V Ker σσ=⊕ （3）若τ是V 的一个线性变换，则()Ker σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是11n n σττσ--= 证明：已知n σσ= （1）：(),()0Ker ασσα∀∈=即 122()(())(0)0n n n σσσσασ---⇒=== 1()n αααα-∴=-∈{}1()|n V ξσξξ--∈ 因此()Ker σ⊆{}1()|n V ξσξξ--∈ 反之，1()n ασ α-∀-∈{}1()|n V ξσξξ--∈，由1(())()()()()0n n σασασασασασα--=-=-= ⇒1()n ασα--∈()Ker σ 因此{}1()|n V ξσξξ--∈⊆()Ker σ 从而()Ker σ={} 1()|n V ξσξξ--∈ Im(),,V ασβασβ∀∈∃∈=使得（） 11,()(())()()n n n n σσσασσβσβσβα--=∴==== α∴∈{}1()|n V ξσξξ-=∈ 因此Im()σ⊆{}1()|n V ξσξξ-=∈ 反之，{} 11()()|,n n V V ασαξσξξα--∀=∈=∈∈，有 2(())Im()n ασσασ-=∈

幂等矩阵的性质及其应用

幂等矩阵的性质及其应用 0 引言幂等矩阵是一类性质特殊的矩阵，不仅在高等代数中有着重要的应用，在其它课程中，如计量经济学、统计学课程中也有着重要应用。在代数学中，线性变换的许多问题都可以转化为幂等矩阵来解决。但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的。因此本文对幂等矩阵的性质做出相关讨论。本文主要给出幂等矩阵特征值、特征子空间和Jordan标准型的基本性质，同时给出了一些相关的应用。 1 主要结果首先给出幂等矩阵的定义和基本性质。定义1：若n阶方阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵。下面给出关于幂等矩阵的一些简单的性质。定理1：幂等矩阵A的特征值只能是0或者1。证明：设A为任意一个幂等矩阵。由A2=A，可得 λ2=λ 其中λ为A的特征值。于是有 λ=1或0，命题得证。推论：可逆的幂等矩阵的特征值均为1。证明：设A为一可逆的幂等矩阵。由A2=A可得 A2A-1=AA-1 即 A=E。此时有 λE-E=0 即 λ=1 其中，λ为A的特征值。命题得证。定理2：任意的幂等矩阵A都相似于对角阵，即存在可逆阵P，使得： P-1AP=E■ 00 0，其中r=R（A）。证明：A为任意幂等矩阵，J为其Jordan标准型，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=J=■，其中Ji=■。由此可得J 2=J。于是有，Ji 2=Ji。此时，Ji只能为数量矩阵λ■E。又因为A2=A，所以λ■=0或1，且r=R（A）。命题得证。定理3：幂等矩阵的特征值为1的特征子空间为其值域，特征值为0的特征子空间为其零（核）空间。证明：（i）A为一n阶幂等矩阵。？琢为其特征值1对应的特征向量。则有，A？琢=？琢。由此可得？琢属于A的值域。

线性代数中的幂等矩阵与幂等算子

线性代数中的幂等矩阵与幂等算子线性代数是研究向量空间与线性变换的数学分支。在线性代数中，存在一类特殊的矩阵和算子，称为幂等矩阵和幂等算子。本文将介绍幂等矩阵和幂等算子的定义、性质以及应用。一、幂等矩阵的定义和性质在线性代数中，幂等矩阵是指矩阵和自身相乘后仍然保持不变的矩阵。具体地，对于一个n×n的矩阵A，如果满足A^2=A，那么A就是一个幂等矩阵。幂等矩阵有以下性质： 1. 幂等矩阵的特征值只能是0或1。设A是一个幂等矩阵，λ是A 的特征值，那么有A^2x=Ax=λx。将A^2x=Ax代入到Ax=λx中可得 A(Ax)=λ(Ax)，即A^2x=λ^2x，由于A是幂等矩阵，即A^2=A，所以有λ^2x=λx，即(λ^2-λ)x=0。因为x不为0，所以必然有(λ^2-λ)=0，即特征值λ满足λ(λ-1)=0，所以λ=0或λ=1。 2. 幂等矩阵的秩等于其迹。设A是一个幂等矩阵，根据特征值的性质，A的特征值只能是0或1。设A的特征值1的个数为r，那么0的个数为n-r，由于特征值的个数等于矩阵的秩，所以A的秩为r。又因为迹等于特征值之和，所以A的迹为r×1+(n-r)×0=r。 3. 幂等矩阵具有不变子空间。设A是一个幂等矩阵，对于任意非零向量x，由A^2x=Ax可知Ax在不变子空间中。不变子空间是线性代数

中一个重要的概念，表示矩阵作用下保持不变的向量组成的空间。幂等矩阵的不变子空间是其所有特征值为1对应的特征向量张成的空间。二、幂等算子的定义和性质幂等算子是指线性变换与自身复合后仍然保持不变的线性变换。可以看出，幂等算子的定义与幂等矩阵的定义是相似的。幂等算子的定义如下：对于一个向量空间V上的线性变换T，如果满足T^2=T，那么T就是一个幂等算子。幂等算子也有一些类似于幂等矩阵的性质： 1. 幂等算子的特征值只能是0或1。与幂等矩阵类似，设T是一个幂等算子，λ是T的特征值，那么有T^2v=Tv=λv。将T^2v=Tv代入到Tv=λv中可得T(Tv)=λ(Tv)，即T^2v=λ^2v，由于T是幂等算子，即 T^2=T，所以有λ^2v=λv，即(λ^2-λ)v=0。因为v不为零向量，所以必然有(λ^2-λ)=0，即特征值λ满足λ(λ-1)=0，所以λ=0或λ=1。 2. 幂等算子的秩等于其迹。与幂等矩阵类似，幂等算子的秩等于其特征值1的个数。这是因为特征值1的个数等于算子的不变子空间的维度，而不变子空间是由所有特征值为1对应的特征向量张成的。三、幂等矩阵与幂等算子的应用幂等矩阵和幂等算子在数学和物理学中有广泛的应用。以下列举几个典型的应用：

数学与应用数学毕业论文-关于斜幂等矩阵性质的探讨

莆田学院毕业论文题目关于斜幂等矩阵性质的探讨学生姓名学号专业数学与应用数学班级数本054 指导教师二00九年五月十日

目录摘要·······································································（错误!未定义书签。） 0 引言·································································（错误!未定义书签。） 1 一些引理 (2) 2 单个斜幂等矩阵的性质 (4) 3 多个斜幂等矩阵的运算性质 (6) 4 斜幂等矩阵的等价条件 (10) 结束语 (14) 致谢 (14) 参考文献 (14)

关于斜幂等矩阵性质的探讨（数学与应用数学系指导老师：晏瑜敏）摘要：本文主要是对斜幂等矩阵的某些性质进行探讨、研究.在与幂等矩阵性质的对照下，本文得出主要的相关结论有：单个斜幂等矩阵的性质，多个斜幂等矩阵的运算性质以及矩阵 A 为斜幂等矩阵的等价条件.通过这些斜幂等矩阵性质的研究，揭示了斜幂等矩阵与幂等矩阵在一般性质上的异同点，以及为进一步认识斜幂等矩阵奠定基础. 关键词：斜幂等矩阵幂等矩阵秩矩阵. Abstract: Some properties of the srew-idempotent matrix are discussed and studied in this paper.In comparison with the properties of idempotent matrix,the primary conclusions in this paper are the properties of single srew-idempotent matrix, multiple srew-idempotent matrix and operation properties the equivalent condition of A is srew-idempotent matrix. According to the study of these properties, the same and different points between the idempotent matrix and srew-idempotent matrix are revealed , as well as a better understanding of idempotent matrix inclined to lay the foundation. Keywords: srew-idempotent matrix idempotent matrix rank equivalent condition 0 引言 n n P ⨯表示数域P 上的n n ⨯阶矩阵构成的集合；符号)(),(,,,* 1A tr A r A A A -'分别表示矩阵A 的转置，逆，伴随矩阵，秩，迹；E 表示n 阶单位矩阵；r E 表示r 阶单位矩阵；)(A R 表示A 的列空间，即{} 1)(⨯∈=n P X AX A R ；)(A R '表示A 的行空间，即{} 1()n R A XA X P ⨯'=∈； )(dim A R 表示)(A R 的维数；)(V φ表示线性变换φ的值域,即{}V V ∈= ξφξφ)(；()V φ的维数称为φ的秩；)0(1 -φ 表示 φ的核，即{}V ∈==-ξφξξφ,0)0(1；)0(1-φ的维数称为φ的零度. 设n n A P ⨯∈，若满足A A =2 ，则称矩阵A 是幂等矩阵；若满足A A -=2 ，则在参考文献[1-2] 中称矩阵A 是斜幂等矩阵；若满足E A =2 ，则称矩阵A 是对合矩阵. 幂等矩阵是一类很重要的矩阵，在矩阵理论中有着较广泛的应用，它的相关结论也已经被许多学者研究，见文献[3-8].而关于斜幂等矩阵的文章却不多，在国内的相关文章只有参考文献[1-2]. 在参考文献[1]中研究的是关于斜幂等矩阵的一些秩的等式，它是利用幂等矩阵秩的有关等式来刻画斜幂等矩阵的一些与秩有关的等式，从而给出了两个斜幂等矩阵的和、差以及乘积仍为斜幂等矩阵的等价条件. 在文献[2]中研究的是用广义逆刻画斜幂等矩阵的性质，它是利用广义Schur 补B CA D - -的最

对称等幂矩阵

对称等幂矩阵数学中有一类矩阵，被称为“对称等幂矩阵”。它们具有特殊的性质，吸引着数学家和科学家的深度研究。一、定义及性质对称等幂矩阵是指满足以下两个条件的矩阵： 1. 矩阵是对称矩阵，即A=AT。 2. 矩阵的幂A^k是对称矩阵，即(A^k)=(A^k)T。此外，对称等幂矩阵还具有以下性质： 1. 对称等幂矩阵的特征值均为实数。 2. 对称等幂矩阵可对角化为实对角矩阵，即存在一个实矩阵S，使得 S^-1AS=D，其中D是对角矩阵。二、应用对称等幂矩阵在数学和科学中有着广泛的应用。 1. 线性代数中的应用。对称等幂矩阵是线性代数中非常重要的一类矩

阵。在矩阵论、特征值及特征向量等方面有着广泛应用。 2. 物理学中的应用。对称等幂矩阵在物理学中也有着广泛的应用。例如，在量子力学中，哈密顿矩阵是对称等幂矩阵，它描述了量子体系在时间上的演化。 3. 机器学习中的应用。对称等幂矩阵在机器学习中也有着广泛的应用。在人脸识别、图像处理等领域，对称等幂矩阵被用于特征提取和分类。三、相关研究对称等幂矩阵已经被广泛研究，在其中有着许多经典结果。以下是一些相关研究的例子。 1. 黑尔定理。黑尔定理是指对称等幂矩阵的特征值的大小可以用从1 到n的某些整数来表示。 2. 莱特斯里多定理。莱特斯里多定理是指对于一个具有n个自由度的实物理系统，有n-1个独立的对称量，可以用来描述物理系统的状态。 3. 矩阵均值问题。矩阵均值问题是指如何定义对称等幂矩阵的均值，以及如何计算这个均值。四、结论

对称等幂矩阵是一类具有特殊性质的矩阵，在数学和科学中有着广泛的应用。它们被广泛研究，并在其中产生了许多经典结果。随着科学技术的不断发展，对称等幂矩阵将在更多的领域得到应用。

幂等矩阵的行列式

幂等矩阵的行列式什么是幂等矩阵？在线性代数中，幂等矩阵是指满足以下条件的方阵： 1.矩阵的平方等于它自身，即 A^2 = A； 2.矩阵的行列式为 0 或 1。简单来说，幂等矩阵就是一个方阵，它自己乘以自己得到的结果还是它自己，并且其行列式值为 0 或 1。幂等矩阵的性质幂等矩阵具有一些特殊的性质和特点，下面我们将介绍其中一些重要的性质。性质一：幂等矩阵的特征值对于任意一个幂等矩阵 A，其特征值只能为 0 或 1。这是因为根据定义可知，A 自己乘以自己得到 A，即有 A^2 = A。假设λ 是 A 的一个特征值，则存在非零向量 x 使得Ax = λx。将这个式子两边同时乘以 A，则有： A(Ax) = λ(Ax) A^2x = λAx Ax = λAx 由于 x 非零，所以Ax ≠ 0。而根据定义可知Ax = λx。因此，λ 只能等于 0 或 1。性质二：幂等矩阵的秩幂等矩阵的秩等于其迹（trace）的值。迹是指矩阵主对角线上元素的和。证明如下：设 A 是一个 n 阶幂等矩阵，其迹为 tr(A)。我们知道，一个方阵的迹等于其特征值之和。根据性质一可知，A 的特征值只能为 0 或 1。假设 A 中特征值为 1 的个数为 r，则特征值为 0 的个数为 n-r。因此，tr(A) = r * 1 + (n-r) * 0 = r 又因为 A 是幂等矩阵，所以 A^2 = A。对两边同时取迹，则有 tr(A^2) = tr(A)。由于 A^2 = A，则有 (A2)T = A^T。其中 ^T 表示转置操作。再次利用迹的性质 tr(AB) = tr(BA)，可得 tr(A^TA) = tr((A T)TA^T)

幂等矩阵组合的可逆性

幂等矩阵组合的可逆性左可正,谢涛 (湖北师范学院数学与统计学院,湖北黄石435002) 摘要：本文研究的是组合aP bQ cPQ dQP ePQP +---的两个矩阵P 和Q 的非奇异性(,,,,,0,0)a b c d e a b ∈≠≠ 。利用P Q -的可逆性和幂等矩阵的性质，我们得到了两个幂等矩阵P 和Q 的组合aP bQ cPQ dQP ePQP +---的可逆性的一些充分条件和必要条件。推广了J.J.Koliha and V.Rakocevic'[1], ZuoKe-zheng[2].的结论。关键词：幂等矩阵；直和；矩阵的秩；核子空间；非奇异性 MR(2000)主题分类号：15A03; 15A24 中图分类号:O151.21文章ID ：0255-7797(2009)03-0285-04 1 引言一个在数域上的复矩阵A ，若2A A =，则我们称A 未幂等矩阵；如果它是幂等且共轭的，那么我们叫它为一个正交投影，使得2*A A A ==，其中*A 表示A 的转置。作为矩阵理论的基本模块之一，幂等矩阵在许多地方是非常有用的，并且已经在大量文献中被广泛研究。特别是，许多作者都研究了这个问题：如果P 和Q 是幂等，那么在什么情况下P Q ±和PQ 也是幂等？见，例[]3,4,5。在什么情况下P Q ±和aP bQ cPQ +-非退化的？见，例[]6,7,8。在这篇文章中，我们研究的是P Q -和aP bQ cPQ dOP ePQP +---(,,,,,0,0)a b c d e a b ∈≠≠ 之间非奇异性的关系，而且我们得到了两个幂等矩阵P 和Q 的组合a P b Q c P Q d Q P e P +---(,,,,,0,0 a b c d e a b ∈≠≠ 的可逆性的一些充分条件和必要条件。这些结论是由J.J.Koliha and V.Rakocevic'[1], ZuoKe-zheng[2].的结论推广得到的。我们把m n ⨯ 记未复数域上的所有m n ⨯矩阵的集合。n 表示上的n -列向量

幂等矩阵的性质及应用(定稿)

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幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广.首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质. [关键词］幂等矩阵，性质,幂等性，线性组合

The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix 。This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix 。Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices。文档为个人收集整理，来源于网络个人收集整理，勿做商业用途 [Key Words] the idempotent，the nature, the idempotence, linear combination

幂等变换

摘要幂等变换是一类特殊的线性变换，它不是孤立存在的，而是与其它线性变换紧密相连，在物理、化学等学科中也有着广泛的应用，极大地推动和丰富了它们的发展，许多新的理论、技巧和方法的诞生与发展都是幂等变换理论的应用与推广. 本文首先简要叙述了一般线性变换的基本理论，在此基础上给出幂等变换的定义，并指出几类特殊的幂等变换；其次，归纳总结了幂等变换的性质，如幂等矩阵的形式、幂等变换的特征值与特征向量、特征多项式、秩与迹及幂等变换的对角化问题，讨论过程由浅入深，层层推进，对幂等变换的相关知识形成了较为完整的知识体系，对幂等变换的一些特殊的性质理解深刻；最后，结合幂等变换的概念与性质，给出常见的习题及解题技巧，并举例说明幂等变换与其它线性变换的联系与转化. 关键词：幂等变换；幂等矩阵；性质；应用

Abstract Idempotent transformations are a special type of linear transformation.It's not isolated，but closely connected with other linear transformation.In physics，chemistry，and other disciplines also has a wide range of applications，greatly promote and enrich their development.Birth of many new theories，techniques and methods are idempotent transformations and development application and popularization of the theory. This paper begins with a brief description of the basic theory of linear transformations，on this basis for idempotent transformation defined，the idempotent transformation and pointed out that some kinds of special.Second，discussed the nature of power transform，idempotent matrix of the form，idempotent transformation characteristic value and characteristic vector，characteristic polynomial，diagonalization of rank and track and idempotent transformation problems，discussion easy-to-digest，layers of promoting.For idempotent transformation knowledge formed a relatively complete system of knowledge，some special properties for idempotent transformation understand deep.Finally，with idempotent transformation and the concept of nature，out common problems and problem-solving skills，descriptions and examples of power-link，and other linear transforms and transformation. Key words: Idempotent transformation; Idempotent matrix; Nature; Application