弹性力学与有限元法分析及实例讲解

弹性力学与有限元法分析

弹性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性固体在受外力作用、温度

改变、边界约束或其他外界因素作用下而发生的应力、形变和位移状态的科学。有限单元法是力学、数学、物理学、计算方法、计算机技术等多种学科综合发展和结合的产物，是随着计算机技术的广泛应用而迅速发展起来的一种数值分析方法。有限元法的基本思想就是化整为零，分散分析，再集零为整。即用结构力学方法求解弹性力学问题，实质是将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体，单元体之间仅仅通过结点相连，实现化无限自由度问题为有限稀有度问题，将连续场函数的（偏）微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。

有限元方法经过近半个世纪的发展，目前已经成为各种工程问题特别是结构分析问题的标准分析方法，而有限元软件也已成为现代结构设计中不可缺少的工具。有限元软件是有限元理论通向实际工程应用的桥梁，它的应用极大地提高了力学学科解决自然科学和工程实际问题的能力，进一步促进了有限元方法的发展。ANSYS 软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件，广泛用于机械制造、石油化工、航空航天、汽车交通、土木工程、造船、水利等一般工业及科学研究。

ANSYS 软件的组成：

（一）前处理模块

该模块为用户提供了一个强大的实体建模及网格划分工具，可以方便的构造有限元模型，软件提高了100种以上的单元类型，用来模拟工程中的各种结构和材料。包括：

1.实体建模：参数化建模，布尔运算及体素库，拖拉、旋转、拷贝、蒙皮、倒角等。

2.自动网格划分，自动进行单元形态、求解精度检查及修正。

3.在集合模型上加载：点加载、分布载荷、体载荷、函数载荷。

4.可扩展的标准梁截面形状库。

（二）分析计算模块

该模块包括结构分析（可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析）、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力。

（三）后处理模块

将计算结果以彩色等值线、梯度、矢量、粒子流、立体切片、透明及半透明等图形方式显示出来，也可以用图表、曲线形式显示或输出。

由于现在只是对ANSYS 工程软件有初步的了解和掌握，所以本次作业仅以（1）结构静力学分析为例，运用ANSYS 软件对汽车连杆进行受力分析；（2）

三杆桁架的优化设计为例。

举例1对连杆进行受力分析

结构静力学分析是ANSYS工程软件中应用最广泛的一种分析方法，“结构” 不仅包含像桥梁、建筑物等建筑工程结构，也包括像活塞、机械零件和工具等机械零部件一样的船只、航空和机械结构，如船的外壳、航空器、机器的机架等。

结构静力学分析用来求解稳态外载荷引起的系统或部件的位移、应变、应力和力, 稳态载荷包括外部施加的力和压力、稳态的惯性力(重力和旋转速度、施加位移、温度等)。静力分析很适合求解惯性和阻尼对结构的影响并不显著的问题，如确定结构中的应力集中现象，可以进行线性分析，也可以进行非线性分析，如塑性、蠕变、膨胀、大应变及接触分析。静力分析过程分为三个步骤：

图1.静力分析过程三步骤

如图所示为汽车连杆的几何模型，连杆的厚度为0.5in，图中所注尺寸均为英寸，在小头孔的内侧90度范围内承受p=1000psi的面载荷作用，试利用有限元分析该连杆的受力状态。连杆的材料属性为：杨氏模量E=30X 106psi，泊松

比为0.3。

连杆的几何模型

1.建立计算模型

本例是对一个弹性力学平面问题进行结构分析，所以只选择结构分析模块。由于连杆的结构、载荷均对称，因此在分析时只要采用一半进行分析即可。采用由底向上的建模方式，具体的操作过程如下：

(1)生成圆环面和两个矩形，包括创建关键点、直线、样条曲线、倒圆角等；通过对面进行布尔操作产生真实模型。

The stress cacmlating of Liangan

图1.1生成连杆大头圆环面、矩形

AREAS P.PHA m_w

The 9tre9s caculating of Liangan

图1.2生成连杆小头圆环面，进行布尔运算

AREA S

ftPUA raw JUIi S 烹D09 20:42:31

AN

JUL S 2D09 2D:44:11

The stress caculating of liangan

图1.3创建样条曲线

The gtress caculating of liangan

图1.4生成连杆轮廓线

AREA

S JUL S 2D09

20:

LIWES

LINE m_H

AN

JUL 5 2D09

20 :

^30

(2)划分网格，包括定义单元类型：选择单元为solid, quad 8 -node,设置单元尺寸为0.2，采取自由网格划分用20节点的SOLID95单元划分网格。

图1.6采用自由划分网格，生成2D网格

The stress caculating of liangan

图1.7生成3D 网格

(3)定义材料属性

对平面连杆进行线弹性分析计算，所定义的材料属性有弹性模量 106

psi ，泊松比为0.3。 2. 施加约束和载荷并求解

(1)施加约束

AN

JUL S 2D09 2Q:: 59:20

The stcesa maculating of Hang an

图2.1大孔内表面施加对称约束

ELEHENTii

AN

JUL S 2009

2 CH 舅注n

E=30 X

ELEKENTii

图22

Y=0的所有面上施加对称约束

The stress caculating of Liangan

2.3小孔内表面施加面载荷

(3)选择PCG 求解器，求解运算

(2)施加载荷

EL£EEr4T£i

AN

JUL 5 2D09 21:06:14

ELEHEFJTS

JUL S 2D09 21:06:42 NFOR

RFOR

PRES

Lana

The stceaa maculating of Hang an

图3求解运算结果显示图

3. 查看显示结果

WODRL 9OLUTICW STEP ・1 SUE -1

TI^=1

S&JW (AVG1 DMX ».L33E-n3 3MH --&21066 SMS =1097

图4连杆体的受力分布显示

由受力图可知，当连杆小头内侧受到面分布载荷时， 小头孔内侧靠近大头孔

部分受力最大，在一定的条件下，可能最先出现裂纹，也最容易断裂。 举例2:三杆桁架的优化设计

优化设计是一种寻找确定最优设计方案的技术，人们总希望在一切可能的方 案中选择一个最好的，设计方案的任何方面都可以优化， 进行优化设计首先要把 实际的实际问题用数学表达式加以描述， 转化成数学模型，然后根据数学模型的 特性，选择某种适当的优化计算方法及其程序，通过计算机求得最优解。

优化设计的步骤：

AN

JUL 5 2009 21!^11!57

.SZLOBb ^ZL.93^

211_Z7@

632.591

The sEEresEs eacularin-gi o£ Liangan

643-2^3

11054

lZfii

1636

1475

1097

（1）生成循环所用的分析文件，建立优化过程中的参数；

（2）进入OPT处理器，指定分析文件，指定优化变量；

（3）选择优化工具或优化方法；指定优化循环控制方式；

（4）进行优化分析；

（5）查看设计序列结果。

如图所示为一个由三根杆组成的桁架结构，它承受纵向和横向载荷，求该桁架的最小质量。

已知桁架特性如下表所示:

假设结构的初始重量为，缺省允差由计算机自动选择，为了便于收敛，一阶方法的优化分析中将目标函数的允差定为1。根据分析问题的性质，选择设计变量，状态变量，目

标函数如下：

表2

设计变量A 1,A2,A3,B

状态变量6

目标函数Min Wt

该问题的优化数学模型为:

Min f(E)

X =[X i ,X2,X3,X4】=[A i , A 2 ,A 3, B]

3

*s.t 0.6 汉10一A i 兰0.64516 i =1,2,3

10兰B兰25

0 _ max ( j _ 2.76 M pa j = 1,2,3

1.1参数化建立几何模型

(1)定义参数和材料属性

参数初始值：B=25，A仁A2=A3=0.645 ;材料属性：E=2e11，PRXY=0.3，DENS=7800 (2)定义单元类型及属性

单元类型：structural link -2D spar 1 ;定义实常数：A1, A2, A3。

(3)建立有限元模型

hl-ut-EB NTiDK MIIPI

OPT of hangj id

图1.1生成单元(4)施加约束和载荷JUL b 2(]口9

：32

OPT of hangj id

图1.3 4节点施加集中载荷

1.2求解运算

2.1提取并指定状态变量和目标函数

计算单元体积的总和 VTOT=61.7333874 ;计算初始重量：

WT=481520.422

显示单元形状和大小：

lU-OC-EB

AN

JUL £(］口§

20 = 4 S ：32

OPT of hangj id

图1.2施加边界约束

N-uC-EB

NTi DE

JUEL 石 E(J 口 9

2D:45:32

2.2进入优化处理器，指定分析文件

指定分析文件为：hangjia_opt.lgw，指定设计变量：A1、A2、A3、B;设置状态变量: sigl、

sig2、sig3;设置目标函数：WT，允差为1;指定一阶优化方法：first -order。

3.1查看优化结果

信息窗口中将显示了迭代序列的结果，包括每个设计变量、状态变量、目标函数的值。所有序列的结果见程序文件。

图3.1迭代序列优化运行结果

3.2显示目标函数的变化规律

7 UD 13 LE

Ji.l A_1 3.3.S 34-U

Ire ration MuffiDec

■uFT af haaqi ia

图3.2目标函数WT 变化规律 3.3显示基本尺寸的变化规律

OPTIH [:ZATIDM B

LWER UPPER

30

AN

iTUL D 2D09 Zl ：5B ：ie

站

zz

Diiiiensl^ti 2Q|

\

J

—■

If

H

13

sa

Lb

■OPT af hengji 曰

1

4

7

10

1-1

A.l

Ireration MumDer

13.1

13 ]4.S

图3.3 B 的变化规律

m

(K W-2|

AN

JU1 D 21109

Zl ：57：05

)

工01'1'3:cmMnpoaupis

1

3.4显示杆横截面的变化规律

图3.4 A i 的变化规律

SIGI

3IG2

SIG3

Iteration MumDer

图3.5 c j

的变化规律

CTTTMIZATICW

AN

JU1 6 2皿皿

■OFT af

E

叩 J fir R ITJ L K 二口

l

l 苗

p 3.5 显示杆中应力的变化规律 SIGZ

5IG3

(H W'II

3.3.S 34-ft

■0PT af haagj i a

JUX o 21109 Z2!D1：39

QPTIMIZATICH

弹簧单元与梁单元实例计算

弹簧单元与梁单元实例计算 1.绪论 有限元法也叫有限单元法（finite element method, FEM），是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。五十年代初，它首先应用于连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中，用以求得结构的变形、应力、固有频率以及振型。由于这种方法的有效性，有限单元法的应用已从线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料，从连续体扩展到非连续体。 关键词：有限元方法，数值求解，动态分析 2.有限元方法 2.1有限元法概述 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假

设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到 一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。 2.2有限元法的优点 1、物理概念浅显清晰，易于掌握。有限元法不仅可以通过非常直观的物理解释来被掌握，而且可以通过数学理论严谨的分析掌握方法的本质。 2、描述简单，利于推广。有限元法由于采用了矩阵的表达形式，从而可以非常简单的描述问题，使求解问题的方法规范化，便于编制计算机程序，并且充分利用了计算机的高速运算和大量存储功能。 3、方法优越。对于存在非常复杂的因素组合时候，比如不均匀的材料特性、任意的边界条件、复杂的几何形状等混杂在一起的时候，有限元法都能灵活的处理和求解。 4、应用范围广。有限元法不仅能解决结构力学,弹性力学中的各种问题,而且随着其理论基础与方法的逐步改进与成熟,还可以广泛地用来求解热传导、流体力学及电磁场等其他领域的诸多问题。不仅如此,在所有连续介质问题和场问题中,有限元法都得到了很好的应用。 3.有限元法的一般步骤 第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。

有限元讲义弹性力学平面问题有限单元法(四结点四边形等参元-八结点曲线四边形等参元-问题补充)分析

2.6 四结点四边形单元 (The four-node quadrilateral element) 前面介绍了四结点的矩形单元 其位移函数: xy y x U 4321αααα+++= xy y x V 8765αααα+++= 为双线性函数，应力，应变在单元内呈线性变化，比常应力三角形单元精度高。但它对边界要求严格。本节介绍的四结点四边形等参 元，它不但具有较高的精度，而且其网格划分也不受边界的影响。 对任意四边形单元（图见下面）若仍直接采用前面矩形单元的位移函数，在边界上它便不再是线性的（因边界不与x,y 轴一致），这样会使得相邻两单元在公共边界上的位移可能会出现不连续现象（非协调元），而使收敛性受到影响。可以验证，利用坐标变换就能解决这个问题，即可以通过坐标变换将整体坐标中的四边形（图a ）变换成在局部坐标系中与四边形方向无关的边长为2的正方形。 正方形四个结点i,j,m,p 按反时钟顺序对应四边形的四个结点i j m p 。 正方形的 1-=η 和 1=η 二条边界，分别对应四边形的i ，j 边界和p,m 边界； ξ=-1和ξ=+1分别对应四边形的i ，p 边界和j ，m 边界。 如果用二组直线等分四边形的四个边界线段，使四边形绘成一个非正交网格，那么该非正交网格在正方形上对应着一个等距离的规则网格（见图a, b ）。 当然, 局部坐标上的A 点与整体坐标的A 点对应。

一、四结点四边形等参单元的形函数及坐标变换 由于可以将整体坐标下的四边形单元变换成局部坐标下的正方形单元，对于这种正方形单元，自然仍取形函数为： ξηαηαξαα2321+++=U ξηαηαξαα8765+++=V 引入边界条件，即可得位移函数： ∑ =ijmp i i U N U i ijmp i V N V ∑== 写成矩阵形式： {} {}[]{}e e p i p i e d N d N N N N V U f =⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=0 00 式中形函数: ()()()ηηξξηξi i i N ++=114 1 , ()p m j i ,,, 按照等参元的定义,我们将坐标变换式亦取为: p p m m j j i i i ijmp i x N x N x N x N x N x +++==∑ p p m m j j i i i ijmp i y N y N y N y N y N y +++== ∑ ()162-- 式中形函数N 与位移函数中的完全一致。 可以验证，利用坐标变换式(2-6-1)，可以把整体坐标系中的任意四边形单元（图a ）变换成在局部坐标系中与四边形对应的边长为２的正方形。因此可以将上述位移函数和形函数用于任意四边形单元，并将形函数中的ξ,η理解为任意四边形单元的局部坐标。 这样由位移函数可以得到单元各点的位移。在四条边界上分别有ξ＝±和η＝±１，故边界上的位移呈线性变化，位移的连续性可得到保证。 于是，我们可以理解为：任意四边形单元是从基本的正方形单元变换过来的实际单元。因此又称正方形单元为母体单元，或基本单元。 例题： 为了加深理解，现考察实际单元为矩形单元的坐标变换，在2.4节中，我们定义局部坐标与整体坐标的关系是：

弹性力学及有限元大作业

1、已知平面应力问题（单连通域）的应变场为：)(22y x C x +=ε， Dx Cx y +=2ε， Cxy xy 2=γ（C 、D 为常数） 当无体力时，试判断它们是 否为可能的应变场。（10分） 解：将)(22y x C x +=ε，Dx Cx y +=2ε，Cxy xy 2=γ代入到应变表示的相容 方程 y x x y xy y x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε2 2222 因为 C y x 22 2=∂∂ε , C x y 222 =∂∂ε , C y x xy 22=∂∂∂γ 即： 02222-2 2222≠=-+=∂∂∂∂∂+∂∂C C C C y x x y xy y x γεε 因为不满足相容方程，所以它们不是可能的应变场。 2、试推导弹性力学平面问题的平衡微分方程（须画出受力分析图）。（10分） 解：取微元体PABC （P 点附近），x PA d =，dy PB =，Z 方向取单位长度。 设PA 面受到的应力为yx y τσ,；PB 面上受到的应力为xy x τσ,；微单元体的体力为X ,Y 。

因正应力分量是位置坐标的函数，所以： x z y x f σ=),,( dx x dx x f z y x f K dx x f dx x f z y x f z y dx x f x x ∂∂+≈∂∂+≈+∂∂+∂∂+=+σσ),,()(!21),,(),,(22 2 同理可求得AC 面的切应力为： dx x dx x dx x xy xy xy xy xy ∂∂+≈+∂∂+∂∂+τττττ 2 2 2 )(!21 同理可得BC 面上的正应力和切应力为： ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ ∂∂+∂∂+dy y dy y yx yx y y ττσσ 由微元体PABC 平衡，可得： ⎪⎪⎩⎪ ⎪⎨⎧===∑∑∑000y y D F F M 由0=∑D M 可得： 2 121)(2121)(=⨯⨯-⨯⨯∂∂+-⨯⨯+⨯⨯∂∂+dy dx dy dx dy y dx dy dx dy dx x yx yx yx xy xy xy ττττττ整理得：dy y dx x yx yx xy xy ∂∂+=∂∂+ττττ2121 当0,0→→dy dx 时，有yx xy ττ= 由0=∑x F 可得：

材料力学弹性力学有限元法的异同--tl

材料力学、弹性力学、有限元法的异同 力学是研究力对物体的效应的一门学科。力对物体的效应有两种：一种是引起物体运动状态的变化，称为外效应；另一种是引起物体的变形，称为内效应。材料力学研究力的内效应，即物体的变形和破坏的规律。材料力学主要研究物体受力后发生的变形、由于变形而产生的内力以及物体由此而产生的失效和控制失效的准则。工程中各种结构或机械都是由许多杆件或零部件组成。这些杆件或零部件统称为构件。工程上构件的几何形状是各种各样的，可分为杆件、板(或壳)、实体。材料力学主要的研究对象是杆状构件。材料力学的任务，就是在分析构件内力和变形的基础上，给出合理的构件计算准则，满足既安全又经济的工程设计要求，并为后续课程如机械设计、结构力学、弹性力学和复合材料力学等提供必要的理论基础。 弹性力学又称弹性理论，是固体力学的一个分支学科。它是研究可变形固体在外部因素(力、温度变化、约束变动等)作用下所产生的应力、应变和位移的经典科学。确定弹性体的各质点应力、应变、和位移的目的就是确定构件设计中的强度和刚度指标，以此来解决实际工程结构中的强度、刚度和稳定性问题。弹性力学具体的研究对象主要为梁、柱、坝体、无限弹性体等实体结构以及板、壳等受力体。 弹性力学的研究内容和目的的任务原则上与材料力学相同，但其学科所研究的对象不同，研究方法也不完全相同。 （1）在材料力学课程中，基本上只研究杆状构件（直杆、小曲率杆），也就是长度远大于高度和宽度的构件。这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移，是材料力学的主要研究内容。弹性力学解决问题的范围比材料力学要大得多。如孔边应力集中、深梁的应力分析等问题用材料力学的理论是无法求解的，而弹性力学则可以解决这类问题。如板和壳以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构，则必须以弹性力学为基础，才能进行研究。如果要对于杆状构件进行深入的、较精确的分析，也必须用到弹性力学的知识。同时弹性力学又为进一步研究板、壳等空间结构的强度、振动、稳定性等力学问题提供理论依据，它还是进一步学习塑性力学、断裂力学等其他力学课程的基础

弹性力学与有限元ANSYS建模教程

第二题：简支梁的计算（4）mm D 201= 图示一圆截面简支梁，跨度m L 1=，圆截面直径mm D 20=，作用在梁上的集中力N P 1000=，作用点距离支座A 的距离m a 2.0=，已知梁材料的弹性模量 211/102mm N E ?=，泊松比为3.0=μ，试分析该梁的挠度ω。 求解步骤： ⑴ 创建单元类型 选择Structusral Beam 类的2 node 188,点击OK ，创建单元类型。

（2）定义材料特性 Material Props→Material Models→Material Model Number1→Structural→Linear →Elastic→Isotropic 。 输入（泊松比） =P E ? rxy （弹性模量），3.0 10 211= x （3）创建关键点 MainMenu→Proprocessor→Modeling→Creat→Keypoints→In Active CS 在弹出对话框的NPT文本框中输入1，在“X、Y、Z”文本框中分别输入0，0，0。 单击Apply按钮，在NPT文本框中输入2。在“X、Y、Z”文本框中分别输入1，0，0。 单击OK按钮，关键点1、2创建如图所示：

（4）显示关键点号 Utility Menu→PlotCtrls→Numbering。 在弹出的对话框中，将关键点号打开，单击ok按钮。 （5）创建杆件截面 MainMenu→Preprocessor→Sections→Beam→Common Sections 弹出来一个对话框，在Sub-Type中选择圆形截面，m ，点击OK。 .0 R01

有限元理论与技术-习题-弹性力学

弹性力学 填空题： 1、连续体力学包括固体力学、流体力学、热力学和电磁场力学，非连续体力学包括量子力学。 2、弹性力学所研究的范围属于固体力学中弹性阶段。 3、弹性力学的基本假定为：连续性、完全弹性、均匀性和各向同性、变形很小、无初应力。 4、连续性假设是指：物体内部由连续介质组成，物体中应力、应变和位移分量为连续的，可用连续函数表示。 5、均匀性和各向同性假设是指：物体内各点和各方向的介质相同，即物理性质 相同，物体的弹性常数杨氏模量和泊松比不随坐标和方向的变化而变化。 6、完全弹性假设是指：物体在外载荷作用下发生变形，在外载荷去除后，物体 能够完全恢复原形，材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。 7、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别 建立三套方程为：平衡方程、几何方程和物理方程，三组方程分别表示：应力与载荷关系、应变与位移关系、应力与应变关系。 8、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的 应力、形变和位移。 9、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号 规定相适应。 10、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 11、物体受外力以后，其内部将发生以，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。 12、建立平衡方程时，在正六面微分体的6个面上共有2_个应力分量，分别为：，其中正应力为：，剪应力为：，这些应力分量与外载荷共同建立2个方程。

13、建立几何方程时，线应变为，角应变为，这些应变与位移共同建立6 个方程。 14、物理方程表示应力与应变的关系，即为3克定律，其中弹性常数E和〃分别表示材料的杨氏模量和泊松比，物理方程组共包含6个方程。 15、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题，两者所研究得对象分别为等厚度薄平板和等截面长柱体。 16、平面应力问题和平面应变问题基本方程中：平衡方程和几何方程相同，物理方程不相同。（相同或不相同） 17、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 15、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。 18、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 19、弹性力学中边界条件通常可以分为：位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 20、弹性力学问题的解法分为解析法、变分法和差分法，就解题方法而言，又分为如下两种方法：位移法和应力法。 21、将平面应力情况下的物理方程中的弹性模量E，泊松比分别换成及就要得到平面应变情况下相应的物理方程。 22、位移法为物理方程与几何方程联立消除应变分量，得到应力与位移的函数方程式，再与平衡方程联立消除应力，得到载荷与位移的方程式。 简答题： 答：在弹性力学中，（1）根据微元的力平衡分析导出了平衡微分方程，它表达变形体微元内部应力与作用在微元上外载荷之间的关系；（2）根据微元变形的连续性推导出几何方程，它表达变形体内部应变与位移之间的关系；（3）根据广义胡克定律导出物理方程，它表达变形体内部应变与应力之间的关系。 答：泛函：泛函也是一种“函数”，它的独立变量一般不是通常函数的“自变量”，而是通常函数本身。泛函是函数的函数。由于函数的值是由自变量的选取

第2章 弹性力学平面问题有限单元法(1-3节)

第二章 弹性力学平面问题有限单元法 §2-1 三角形单元(triangular Element) 三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是: ①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。 一、结点位移和结点力列阵 设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。 在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x 、y 两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为： 相应结点力列阵为: (式2-1-1) 二、单元位移函数和形状函数 前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构 造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。 构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。 在平面应力问题中，有u,v 两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成: (,)123 u u x y x y ααα==++ 546(,)v v x y x y ααα==++ (2-1-2)a {}??? ?? ?????=????? ???? ?????????????=m j i m e d d d d m j j i v u v u v u i {} i i j j m X Y X (2-1-1)Y X Y i e j m m F F F F ?? ?? ???? ???? ??==??????????????????

式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标)确定。将3个结点坐标(x i,y i ),(x j,y j ),(x m,y m )代入上式得如下两组线性方程: 1 23i i i u x y ααα =++ 123 j j j u x y ααα=++ (a) 1 23m m m u x y ααα =++ 和 54 6i i i v x y ααα =++ 546 j j j v x y ααα=++ (b) 54 6m m m v x y ααα =++ 利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数1α 、2α 、 3α : 11A A α= 22 A A α = 33 A A α = 式中行列式: 1 i i i j j j m m m u x y A u x y u x y = 2111i i j j m m u y A u y u y = 3111i i j j m m x u A x u x u = 2111i i j j m m A x y A x y x y == A 为△ijm 的面积,只要A 不为0,则可由上式解出: 11()2m m i i j j a u a u a u A α =++ 21()2m m i i j j bu b u b u A α=++ （C ） 31()2m m i i j j c u c u c u A α= ++

弹性力学

弹性力学网络课程 第一章绪论 内容介绍 知识点 弹性力学的特点 弹性力学的基本假设弹性力学的发展弹性力学的任务 弹性力学的研究方法 内容介绍： 一. 内容介绍 本章作为弹性力学课程的引言，主要介绍课程的研究对象、基本分析方法和特点；课程分析的基本假设和课程学习的意义以及历史和发展。 弹性力学的研究对象是完全弹性体，因此分析从微分单元体入手，基本方程为偏微分方程。 偏微分方程边值问题在数学上求解困难，使得弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。 本章介绍弹性力学分析的基本假设。弹性力学分析中，必须根据已知物理量，例如外力、结构几何形状和约束条件等，通过静力平衡、几何变形和本构关系等，推导和确定基本未知量，位移、应变和应力等与已知物理量的关系。由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。 课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程。目前，有关弹性力学的文献和工程资料都是使用张量符号的。如果你没有学习过张量概念，请进入附录一学习，或者查阅参考资料。

二. 重点 1.课程的研究对象； 2.基本分析方法和特点； 3.弹性力学的基本假设； 4.课程的学习意义； 5.弹性力学的发展。 特点： 弹性力学，又称弹性理论。作为固体力学学科的一个分支，弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。 构件承载能力分析是固体力学的基本任务，但是对于不同的学科分支，研究对象和方法是不同的。弹性力学的研究对象是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。 弹性是变形固体的基本属性，而“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。完全弹性使得物体变形成为一种理想模型，以便作进一步的数学和力学处理。完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力和应变之间具有一一对应的关系。这种关系与时间无关，也与变形历史无关。 材料的应力和应变关系通常称为本构关系，它表达的是材料在外力作用下抵抗变形的物理性能，因此又称为物理关系或者物理方程。本构关系满足完全弹性假设的材料模型包括线性弹性体和非线性弹性体。 线性弹性体是指载荷作用在一定范围内，应力和应变关系可以近似为线性关系的材料，外力卸载后，线性弹性体的变形可以完全恢复。线性弹性材料的本构关系就是物理学的胡克定理。在应力小于弹性极限条件下，低碳钢等金属材料是典型的线弹性材料。 另外，一些有色金属和高分子材料等，材料在载荷作用下的应力应变关系不是线性的，但是卸载后物体的变形可以完全恢复，这种材料性质可以简化为非线性弹性本构关系。 如果从研究内容和基本任务来看，弹性力学与材料力学是基本相同的，研究对象也是近似的，但是二者的研究方法却有比较大的差别。弹性力学和材料力学

弹性力学同有限元分析的关系

弹性力学同有限元分析的关系 弹性力学：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。 是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力。 研究对象：包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。 弹性力学基本规律：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。 弹性力学同材料力学的比较 1、研究内容：基本上没有什么区别。弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。 2、研究的对象：材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件；弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。 3、研究的方法： 相同点：静力学、几何学与物理学三方面进行研究； 不同点：材料力学：

对构件的整个截面建立分析方程，引用一些截面的变形状况或应力情况的假设，因而得出的结果往往是近似的，不精确。 弹性力学： 对构件采用无限小单元体来建立分析方程的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。 从几何形状复杂程度来考虑可以分为： 1）简单形状变形体—材料力学 2）任意形状变形体—弹性力学 任意变形体是有限元方法处理的对象，因而，弹性力学中有关变量和方程的描述是有限元方法的重要基础。 弹性力学的弱点：由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定。

弹性力学ansys求解实例详解

弹性力学a n s y s求解实 例详解 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

ANSYS 上机实验报告 一、题目描述 如图1所示，一简支梁横截面是矩形，其面积202.0m A =，对弯曲中性轴的惯性矩451067.6m I zz -?=，高m h 2.0=，材料的pa E 11101.2?=，横向变形系数3.0=μ。该梁的自重就是均布载荷N q 4000=和梁中点处的集中力N F 2000=，试讨论在均布荷载作用下，简支梁的最大挠度。 二、问题的材料力学解答 由叠加法可知：梁上同时作用几个载荷时，可分别求出每一载荷单独作用时的变形，把各个形变叠加即为这些载荷共同作用时的变形。 在只有均布载荷q 作用时，计算简支梁的支座约束力，写出弯矩方程，利用 EI M dx w d =22积分两次，最后得出： 铰支座上的挠度等于零，故有0=x 时，0=w ，因为梁上的外力和边界条件都对跨度中点对称，挠曲线也应对该点对称。因此，在跨度中点，挠曲线切线的斜率等于零，即：2l x =时，0=dx dw ，把以上两个边界条件分别代入w 和0=dx dw 的表达式，可以求出243ql C -=，0=D ，于是得转角方程及挠曲线方程为： x ql x q x ql EIw ql x q x ql EI dx dw EI 24 241224643433 32--=--==θ （1） 在跨度中点，挠曲线切线的斜率等于零，挠度为极值，由（1）中式子可得： 即EI ql w q c 3845)(4 -=。在集中力F 单独作用时，查材料力学中梁在简单载荷作用下的变形表可得EI Fl w F c 48)(3 -=。叠加以上结果，求得在均布载荷和集中力共同作用下，梁中点处的挠度是EI Fl EI ql w w w F c q c c 483845)()(3 4--=+=，将各参数代入得m w c 410769.0-?= 三、问题的ansys 解答 建立几何模型 此问题为可采用Beam 分析，所以该几何模型可用线表示。命令流为： K ，1，0，0 ！建立关键点1，为结构的A 点； K ，2，1，0 ！建立关键点2，为结构的C 点； K ，3，2，0 ！建立关键点3，为结构的B 点； L ，1，2 ！建立线1，为结构的AC ；

应力分析中的弹性理论和有限元分析

应力分析中的弹性理论和有限元分析在工程领域中，应力分析是一项非常重要的技术，它可以帮助 工程师预测材料在受到力的作用下的变形情况和材料的强度。应 力分析有两种常用的方法：弹性理论和有限元分析。 弹性理论是基于胡克定律和泊松比等基本假设，通过数学模型 来描述材料在受力作用下的弹性变形情况。该理论可以有效地预 测材料在受力后的变形和应力分布情况。弹性理论适用于线性弹 性材料，即材料满足拉伸和压缩变形曲线呈线性关系。由于弹性 理论的假设较为理想化，故只适用于一些简单的结构。 而有限元分析则运用数值方法，将结构离散化为一个个小单元，把问题简化成一系列未知的连续函数，然后通过数学方法求解。 有限元分析的适用性非常广泛，因为它可以处理复杂的结构和非 线性材料。它可以计算复杂工程结构在受力后的变形和应力分布 情况，并提供有关材料在受力作用下的强度和刚度信息。 虽然弹性理论和有限元分析都能计算材料在受力后的应力分布，但它们的适用范围不同。弹性理论只适用于线性弹性材料和一些 较简单的工程结构。而有限元分析可以适用于不同的材料和工程 结构，并能够模拟最复杂的现实情况。此外，有限元分析还可以

通过改变模型形状、边界条件和材料参数进行多种参数分析，进一步优化设计方案。 当然，有限元分析也有其缺点。由于计算机容量和计算资源限制，有限元分析在计算大型复杂结构和长时间的计算中，计算速度较慢。而且，有限元分析需要许多预处理统计工作，计算结果的准确性取决于这些工作的质量。 总的说来，弹性理论和有限元分析都是应力分析的重要方法。虽然相比之下，有限元分析的适用范围更广，但它也要求更多的计算资源和时间，而且需要许多预处理工作。在实际工程中，应力分析的选择取决于结构的设计，成本和计算资源等因素。需要在不同的方法中进行权衡考虑，以求最优的分析结果。

弹性力学基础及有限单元法

第一章 1、弹性力学的任务是什么 弹性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。 2、弹性力学的基本假设是什么？为什么要采用这些假设？ (1) 假设物体是连续的——物体内部由连续介质组成，物体中没有空隙，因此物体中的应力、应变、位移等量是连续的•可以用坐标的连续函数表示。实际上，所有的物体均由分子构成，但分子的大小及分子间的距离与物体的尺寸相比是很微小的，故可以不考虑物体内的分个构造。根据这个假设所得的结果与实验结果是符合的。 (2) 假设物体是匀质的和各向同性的一一物体内部各点与各方向上的介质相同， 因此，物体各部分的物理性质是相同的。这样，物体的弹性常数(弹性模量、泊松比)不随位置坐标和方向而变化。钢材由微小结晶体组成，晶体本身是各向异性的、但由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为钢材是各向同性的。木材不是各向同性的。 (3) 假设物体是完全弹性的一一物体在外加因家(裁荷、温度变化等)的作用下发生变形，在外加固素去除后，物体完全恢复其原来形状而没有任何剩余变形。同时还假定材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。 (4) 假设物体的变形是很小的——在载荷或温度变化等的作用下，物体变形而产生的位移，与物体的尺寸相比，是很微小的。在研究物体受力后的平衡状态时， 可以不考虑物体尺寸的改变。在研究物体的应变时，可以赂去应变的乘积，因此， 在微小形变的情况下弹性理论中的微分方程将是线性的。 (5) 假设物体内无初应力一一认为物体是处于自然状态，即在载荷或温度变化等作用之前，物体内部没合应力。也就是说，出弹性理论所求得的应力仅仅是由于载荷或温度变化等所产生的。物体中初应力的性质及数值与物体形成的历史有 关。若物体中有韧应力存在，则由弹性理论所求得的应力加上初应力才是物体中的实际应力。 上面基本假设中•假设(4)是属于几何假设，其他假设是属于物理假设。 3、举例说明各向同性的物体和各向异性的物体。 钢材由微小结晶体组成，晶体本身是各向异性的、但由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为钢材是各向同性的。木材是各异性的。 4、弹性力学和材料力学相比，其研究方法和对象有什么区别？ P3 弹性力学具体的研究对象主要为梁、校、坝体、无限弹性体等实体结构以及板、壳等受 力体。 在材料力学课程中，基本上只研究所谓杆状构件，也就是长度远大干高度和觅度的构 件。这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移，是材料力学的主要研究内 容。

工程力学中的弹性力学分析

工程力学中的弹性力学分析 弹性力学是工程力学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下的 变形和应力分布规律。它的应用广泛，涉及到许多领域，如结构设计、材料科学等。本文将介绍弹性力学的基本概念、应力和应变的关系以 及一些常见的弹性力学分析方法。 一、弹性力学的基本概念 1.1 响应函数 在弹性力学中，响应函数描述了物体对外力的响应。它是外力和物 体的变形之间的关系，通常用应力-应变关系表示。响应函数的形式根 据物体的几何形状和材料的性质而定。 1.2 弹性力学模型 弹性力学模型用于描述物体的变形行为。常见的模型有胡克定律、 泊松比等。胡克定律指出应力和应变成正比，泊松比描述了材料在受 拉伸或压缩时横向收缩或扩张的程度。 1.3 应力集中与材料破坏 应力集中是指物体中某一点受到的应力远大于其周围区域的应力。 当应力集中超过了材料的极限强度时，材料可能发生破坏。弹性力学 分析常考虑应力集中和材料的极限强度，以保证结构的安全性。 二、应力和应变的关系

应力和应变是弹性力学中的核心概念，用于描述物体受力后的变形 行为。应力是单位面积上的力，可以分为正应力、剪应力等。应变是 物体长度或体积相对变化的度量，可以分为线性应变、剪应变等。 三、常见的弹性力学分析方法 3.1 静力学方法 静力学方法是最基本的弹性力学分析方法之一，根据力平衡定律和 物体的几何特征来求解应力和位移。通常适用于简单的静力学问题， 如梁的弯曲和轴的伸缩。 3.2 弹性势能法 弹性势能法是一种能量方法，将物体的变形看作是内能的变化。通 过最小化弹性势能的原理，可以得到物体的平衡位置和应力分布。这 种方法适用于复杂的弹性力学问题，如结构的稳定性分析。 3.3 有限元方法 有限元方法是一种数值分析方法，将实际物体离散为有限数量的单元，通过求解单元边界的约束条件来获得整个物体的应力和位移分布。这种方法适用于复杂的几何形状和材料非均匀性的问题。 四、弹性力学在工程中的应用 弹性力学在工程领域有广泛的应用。例如，在结构设计中，弹性力 学分析用于确定结构的强度和稳定性。在材料科学中，弹性力学可以

弹性力学与有限元法分析及实例讲解

弹性力学与有限元法分析 弹性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性固体在受外力作用、温度 改变、边界约束或其他外界因素作用下而发生的应力、形变和位移状态的科学。有限单元法是力学、数学、物理学、计算方法、计算机技术等多种学科综合发展和结合的产物，是随着计算机技术的广泛应用而迅速发展起来的一种数值分析方法。有限元法的基本思想就是化整为零，分散分析，再集零为整。即用结构力学方法求解弹性力学问题，实质是将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体，单元体之间仅仅通过结点相连，实现化无限自由度问题为有限稀有度问题，将连续场函数的（偏）微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。 有限元方法经过近半个世纪的发展，目前已经成为各种工程问题特别是结构分析问题的标准分析方法，而有限元软件也已成为现代结构设计中不可缺少的工具。有限元软件是有限元理论通向实际工程应用的桥梁，它的应用极大地提高了力学学科解决自然科学和工程实际问题的能力，进一步促进了有限元方法的发展。ANSYS 软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件，广泛用于机械制造、石油化工、航空航天、汽车交通、土木工程、造船、水利等一般工业及科学研究。 ANSYS 软件的组成： （一）前处理模块 该模块为用户提供了一个强大的实体建模及网格划分工具，可以方便的构造有限元模型，软件提高了100种以上的单元类型，用来模拟工程中的各种结构和材料。包括： 1.实体建模：参数化建模，布尔运算及体素库，拖拉、旋转、拷贝、蒙皮、倒角等。 2.自动网格划分，自动进行单元形态、求解精度检查及修正。 3.在集合模型上加载：点加载、分布载荷、体载荷、函数载荷。 4.可扩展的标准梁截面形状库。 （二）分析计算模块 该模块包括结构分析（可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析）、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力。 （三）后处理模块 将计算结果以彩色等值线、梯度、矢量、粒子流、立体切片、透明及半透明等图形方式显示出来，也可以用图表、曲线形式显示或输出。 由于现在只是对ANSYS 工程软件有初步的了解和掌握，所以本次作业仅以（1）结构静力学分析为例，运用ANSYS 软件对汽车连杆进行受力分析；（2） 三杆桁架的优化设计为例。

材料力学弹性力学有限元课程学习思路步骤

材料力学弹性力学有限元课程学习思路步骤

解决问题的思路和步骤（基本方程） 根据胡克定律(Hooke's law)，在弹性 限度内，材料的应力与应变成线性关系。 在处理具体的杆件问题时，根据材料性 质和变形情况的不同，可将问题分为三类： ①线弹性问题。在杆变形很小，而且材 料服从胡克定律的前提下,对杆列出的所有 方程都是线性方程,相应的问题就称为线性 问题。对这类问题可使用叠加原理，即为求 杆件在多种外力共同作用下的变形(或内 力)，可先分别求出各外力单独作用下杆件 的变形(或内力)，然后将这些变形（或内力） 叠加，从而得到最终结果。 ②几何非线性问题。若杆件变形较大， 就不能在原有几何形状的基础上分析力的 平衡，而应在变形后的几何形状的基础上进 求解一个弹性力学问题，就是设法 确定弹性体中各点的位移、应变和应力 共15 个函数。从理论上讲，只有15 个函数全部确定后，问题才算解决。但 在各种实际问题中，起主要作用的常常 只是其中的几个函数，有时甚至只是物 体的某些部位的某几个函数。所以常常 用实验和数学相结合的方法，就可求 解。 直角坐标系下的弹性力学的基本 方程为： 有限元方法（FEM）的理论基础 是变分原理和加权余量法。仍然遵 从平衡方程、几何方程、本构方程、 协调方程，其解满足应力边界条件、 位移边界条件。 其基本求解思想是把计算域划 分为有限个互不重叠的单元，在每个 单元内，选择一些合适的节点作为求 解函数的插值点，将微分方程中的变 量改写成由各变量或其导数的节点 值与所选用的插值函数组成的线性 表达式，借助于变分原理或加权余量 法，将微分方程离散求解。采用不 同的权函数和插值函数形式，便构成 不同的有限元方法。

力学中的弹性力学问题解析

力学中的弹性力学问题解析弹性力学是研究物体在受力作用下发生的弹性形变以及恢复力的学科。通过研究弹性力学问题，可以深入理解物体的形变和力学行为。本文将对弹性力学的一些基本概念进行解析。 一、弹性力学的基本概念 1. 弹性形变：当物体受到外力作用时，会发生形变，但在外力消失后能恢复到原来的形状，这种形变称为弹性形变。 2. 弹性力：物体在受到外力作用产生弹性形变时所产生的恢复力，称为弹性力。弹性力的大小与物体的弹性系数相关。 3. 弹性模量：衡量物体抵抗形变的能力大小的物理量，通常用弹性模量表示。常见的弹性模量有杨氏模量、剪切模量和体积模量等。 二、弹性力学问题的解析方法 解决弹性力学问题通常需要运用力学知识和数学方法，本文将介绍两种常见的解析方法。 1. 简化模型法 简化模型法常用于解决弹性力学问题中的简单结构。通过将复杂结构简化为一些基本形状（如梁、杆、圆盘等），可以更容易地分析和计算。 以弹性杆为例，假设杆的长度为L，截面积为A，弹性模量为E，当外力作用于杆上时，杆会发生形变。根据胡克定律（即应变与应力

成正比），可以推导出杆的弹性形变量和应力分布的关系。通过求解 这些关系式，可以得到弹性力学问题的解。 2. 有限元法 有限元法是一种数值解法，可用于解决复杂结构的弹性力学问题。 该方法将结构划分为许多小的单元，每个单元内可以近似看作一个简 单的弹性结构。通过建立单元之间的相互关系，可以计算结构的应力 分布和形变情况。 有限元法的关键在于建立合适的离散模型，并通过数值计算方法求解。该方法适用于解决各种复杂边界条件、不均匀力分布的弹性力学 问题，并可以得到较为准确的解析结果。 三、弹性力学问题的应用 弹性力学问题的研究不仅在理论上对于深化力学理论具有重要意义，也在工程实践中有广泛应用。 1. 结构设计：通过对材料性能和外力条件的分析，可以确定结构形 状和尺寸，以满足在工作过程中的稳定性和强度要求。 2. 材料测试：通过测量材料的弹性模量等参数，可以评估材料的质 量和性能，以便在实际应用中选择合适的材料。 3. 工程分析：对于桥梁、建筑物、机械设备等工程结构，通过弹性 力学问题的分析，可以评估结构的稳定性和安全性，预测结构的寿命 和破坏情况。

弹性力学有限元位移法原理

一、课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分） 主要针对一维（直杆）问题，撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。要求论文论及但不限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的数学、力学基础和基本思想；2）有限元法求解的原理和过程，推导所有计算列式；对基本概念和符号进行解释和讨论；3）收敛性、收敛准则及其数学、力学意义的讨论。 弹性力学有限元位移法原理 一、有限单元法的起源 有限单元法的形成可以追溯到20世纪50年代甚至更早些时间，基本思路来源于固体力学中矩阵位移法的发展和工程师对结构 相似性的直觉判断。对不同结构的杆系、不同的载荷，用矩阵 位移法求解都可以得到统一的公式。在1952-1953年期间， R·W·Clough和M·J·Turner在分析飞机三角翼振动问题时，提出了把平面应力三角形或矩形板组合起来表达机翼刚度的方 法，当时被称为直接刚度法。1956年M·J·Turn er，R·W·Clough，H·C·Martin，L·J·Topp在纽约举行的 航空学会年会上发表论文《Stiffness and deflection analysis of complex structures》(复杂结构的刚度和变形分 析)介绍了这种新的计算方法，从而将矩阵位移法推广推广到求 解弹性力学平面应力问题。它们把平面板壳结构划分为一个个 三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元 节点力与结点位移关系的单元刚度矩阵。1960年，R·W·Clough 在论文《The finite element in plane stress analysis》(平

面应力分析的有限元法)中首次提出了有限单元（Finite Element）这一术语，他也因此被称为“有限单元之父” 二、有限元法的基本思想 有限元法是一种结构分析的方法，正如O·C·Zienkiewicz所 说的：“人类思维的限制在于不能通过一步运算就掌握复杂环境 和事物的行为。因此，先把所有系统分解为它们的元件或单元，这些元件的行为已经被充分的了解，再把元件重新组装成原来 的系统来研究系统的行为”。可以看出有限元法的基本思想是将 连续的求解区域离散为一组由有限个单元组成并按一定方式相 互连接在一起的单元组合体来加以分析。 三、有限单元法的数学基础 当有限单元法成功的应用于求解弹性力学平面问题之后，下一 步要解决的问题就是能否把这种方法应用于求解其他连续介质 问题。在寻找连续介质问题近似算法的时候，数学家们发展了 微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余 量法。 四、有限元分析的基本步骤 ⑴建立研究对象的近似模型 ⑵将研究对象分割成有限数量的单元 ⑶用标准方法对每一个单元提出一个近似解 ⑷将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统 ⑸用数值方法求解这个近似系统

有限元应用举例

1、有限元的定义 有限单元法最初作为结构力学位移法的拓展，它的基本思路就是将复杂的结构看成由有限个单元仅在节点处连接的整体，首先对每一个单元分析其特性，建立县官的物理量之间的相关联系。然后，依据单元之间的联系，再将各单元组装成整体，从而获得整体性方程，再应用方程相应的解法，即可完成整个问题的分析。这种先“化整为零”，然后再“集零为整”和“化未知为已知”的研究方法，是有普遍意义的。有限单元法作为一种近似的（除杆件体系结构静力分析外）数值分析方法，它借助于矩阵等数学工具，尽管计算工作量很大，但是整体分析是一致的，有限强的规律性和统一模式，因此特别适合于编制计算机程序来处理。一般来说，一定前提条件下的分析近似值，随着离散化网络的不断细化，计算精度也随之得到改善。所以，随着计算机硬件、软件技术的飞速发展，有限单元分析技术得到了越来越多的应用，40多年来的发展几乎涉及了各类科学、工程领域中的问题。从应用的深度和广度来看，有限单元法的研究和应用正继续不断地向前探索和推进。有限元法是随电子计算机应用的日益普及和数值分析技术日益发展而迅速发展的一种新颖有效的数值方法。它在50年代起源于飞机结构的矩阵分析，60年代开始被推广用来分析弹性力学平面问题。由于它所依据的理论的普遍性，很快就广泛应用与求解热传导、电磁场、流体力学等连续问题。目前已再各个工程技术领域中得到了十分广泛的应用 2、有限元的发展【1】【2】【3】 有限元”这个名词第一次出现，到今天有限元在工程上得到广泛应用，经历了三十多年的发展历史，理论和算法都已经日趋完善。有限元的核心思想是结构的离散化，就是将实际结构假想地离散为有限数目的规则单元组合体，实际结构的物理性能可以通过对离散体进行分析，得出满足工程精度的近似结果来替代对实际结构的分析，这样可以解决很多实际工程需要解决而理论分析又无法解决的复杂问题。近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径，现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器，国防军工，船舶，铁道，石化，能源，科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃，主要表现在以下几个方面： <1> 增加产品和工程的可靠性； <2> 在产品的设计阶段发现潜在的问题 <3> 经过分析计算，采用优化设计方案，降低原材料成本 <4> 缩短产品投向市场的时间 <5> 模拟试验方案，减少试验次数，从而减少试验经费 国际上早在60年代初就开始投入大量的人力和物力开发有限元分析程序，但真正的CAE软件是诞生于70年代初期，而近15年则是CAE软件商品化的发展阶段，CAE开发商为满足市场需求和适应计算机硬、软件技术的迅速发展，在大力推销其软件产品的同时，对软件的功能、性能，用户界面和前、后处理能力，都进行了大幅度的改进与扩充。这就使得目前市场上知名的CAE软件，在