高考数学试题分类汇编大全——三角函数
三角函数
一、选择题
1.（重庆理6）若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足
，且C=60°，则ab 的值为
A ．
B ．
C ． 1
D ．
【答案】A
2.（浙江理6）若
，，
，，则
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 3.（天津理
6）如图，在△中，是边
上的
点，且
，则的值为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
4.（四川理6）在ABC 中．．则A 的取值范围是
A ．（0，]
B ．[ ，）
C ．（0，]
D ．[ ，）
【答案】C
【解析】由题意正弦定理
5.（山东理6）若函数 (ω>0)在区间上单调递增，在区间上单
2
2a b 4c +-=（）4
38-2
302π
α＜＜
02πβ-＜＜1
cos()43πα+=
cos()42πβ-=cos()2
β
α+
=
33-
99-
ABC D AC ,2,2AB CD AB BC BD
===sin C ?2
2
2
sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-6π
6ππ3π
3π
π2222
2
2
2
2
2
11cos 023b c a a b c bc b c a bc A A bc π
+-≤+-?+-≥?≥?≥?<≤
()sin f x x ω=0,3π?????
?,32ππ??
????
调递减，则ω=
A ．3
B ．2
C ．
D ．
【答案】C
6.（山东理9）函数
的图象大致是
【答案】C
7.（全国新课标理5）已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线
上，则=
（A ）
（B ） （C ） （D ）
【答案】B
8.（全国大纲理5）设函数
，将的图像向右平移个单位长
度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
9.（湖北理3）已知函数
，若
，则x 的取值范围为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
10.（辽宁理4）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAsinB+bcos2A=
，则
32232sin 2x
y x =
-θ2y x =cos2θ45-
35-
3545()cos (0)f x x ωω=＞()y f x =3π
ω1
336
9()cos ,f x x x x R
=-∈()1f x ≥|,3x k x k k Z ππππ??+≤≤+∈???
?|22,3x k x k k Z ππππ??
+≤≤+∈??
??5{|,}6
6x k x k k Z π
πππ+
≤≤+
∈5{|22,}66x k x k k Z ππ
ππ+≤≤+∈a 2=
a b
（A ）
（B ）
（C
（D
【答案】D
11.（辽宁理7）设sin ，则 （A ）
（B ）
（C ） （D ）
【答案】A
12.（福建理3）若tan =3，则的值等于
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
【答案】D
13.（全国新课标理11）设函数
的最小正
周期为，且
则
（A ）
在单调递减 （B ）在单调递减 （C ）
在单调递增 （D ）在单调递增 【答案】A
14.（安徽理9）已知函数，其中为实数，若
对恒成立，且
，则
的单调递增区间是
（A ） （B ）
（C ） （D ）
【答案】C
二、填空题
15.（上海理6）在相距2千米的．两点处测量目标，若，
则．两点之间的距离是 千米。
1+=
4
3πθ（）sin 2θ=7
9-
1
9-1979α2
sin 2cos a α()sin()cos()f x x x ω?ω?=+++(0,||)
2π
ω?><
π()()f x f x -=()y f x =(0,)2π()y f x =3(,)
44ππ()y f x =(0,)2π()y f x =3(,)
44ππ()sin(2)f x x ?=+?()()
6f x f π
≤x R ∈()()
2f f π
π>()f x ,()
36k k k Z ππππ?
?-+∈????,()
2k k k Z πππ?
?+∈????2,()63k k k Z ππππ??++∈????,()2k k k Z πππ??
-∈?
???A B C 00
75,60CAB CBA ∠=∠=A C
【答案】
16.（上海理8）函数的最大值为 。 【答案】
17.（辽宁理16）已知函数=Atan （x+）
（
），
y=的部分图像如下图，则 ．
【答案】
18.（全国新课标理16）
中，，则AB+2BC 的最大值为_________．
【答案】
19.（重庆理14）已知，且，则
的值为__________
【答案】
20.（福建理14）如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______。
6sin()cos()
26y x x ππ
=+-23
+)(x f ω?2||,0π
?ω<
>)(x f =
)24
(
π
f 3ABC ?60,3,
B A
C =?=271sin cos 2α=+α0,2π??α∈ ?
??cos 2sin 4πα
??α- ???14
-
232
【答案】
21.（北京理9）在中。若b=5，，tanA=2，则sinA=____________；
a=_______________。
【答案】
22.（全国大纲理14）已知a ∈（，），sinα=，则tan2α=
【答案】
23.（安徽理14）已知 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的
等差数列，则的面积为_______________.
【答案】
24.（江苏7）已知
则的值为__________
【答案】
三、解答题 25.（江苏9）函数
是常数，的部分图象如图所
示，则f(0)=
【答案】
26.（北京理15）
已知函数。
ABC ?4B π
∠=
10
25
5
22π
π543-
ABC ?ABC ?315,
2)4
tan(=+
π
x x x
2tan tan 94
??,,(),sin()(w A wx A x f +=)0,0>>w A 26
()4cos sin()1
6f x x x π
=+-
（Ⅰ）求
的最小正周期：
（Ⅱ）求
在区间上的最大值和最小值。
解：（Ⅰ）因为
所以
的最小正周期为
（Ⅱ）因为
于是，当
时，取得最大值2；
当
取得最小值—1.
27.（江苏15）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为
（1）若
求A 的值；
（2）若，求的值.
本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力。
解：（1）由题设知
，
()f x ,64ππ??-????1
)6
sin(cos 4)(-+
=π
x x x f 1)cos 21
sin 23(
cos 4-+=x x x 1
cos 22sin 32-+=x x x x 2cos 2sin 3+=)
62sin(2π
+
=x )(x f π.326
26
,4
6
π
π
π
π
π
≤
+
≤-
≤
≤-
x x 所以6,2
6
2π
π
π
=
=
+
x x 即)(x f )(,6,66
2x f x x 时即π
π
π
-=-
=+
c b a ,,,
cos 2)6
sin(A A =+
π
c
b A 3,31
cos ==C sin 0
cos ,cos 3sin ,cos 26
sin
cos 6
cos
sin ≠==+A A A A A A 所以从而π
π
.
3,0,3tan π
π=
<<=A a A 所以因为
（2）由
故△ABC 是直角三角形，且.
28.（安徽理18）
在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作
，再令
.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设
求数列
的前项和
.
本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运
用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力. 解：（I ）设
构成等比数列，其中则
① ②
①×②并利用
（II ）由题意和（I ）中计算结果，知
另一方面，利用
得
所以
29．（福建理16）
.
,cos 23,3cos 222222c b a A bc c b a c b A -=-+===得及31
cos sin ,2
=
==
A C
B 所以π
n 2n +2n +n
T ,lg n n a T =1n ≥{}
n a 1tan tan ,n n n b a a +=g {}
n b n n
S 2
21,,,+n l l l Λ,
100,121==+n t t ,2121++????=n n n t t t t T Λ,
1221t t t t T n n n ????=++Λ得
),21(1022131+≤≤==+-+n i t t t t n i n .
1,2lg ,10)()()()()2(2122112212≥+==∴=????=+++++n n T a t t t t t t t t T n n n n n n n n Λ.
1),3tan()2tan(≥+?+=n n n b n ,
tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan k k k
k k k ?++-+=
-+=.
11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=
?+k
k k k ∑∑+==?+==23
1
tan )1tan(n k n
k k n k
k b S .
1tan 3tan )3tan()
11tan tan )1tan((
2
3
n n k k n k --+=--+=∑+=
已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=。
（I ）求数列{an}的通项公式；
（II ）若函数
在
处取得最大值，且最大值
为a3，求函数f （x ）的解析式。
本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分13分。
解：（I ）由 解得
所以
（II ）由（I ）可知
因为函数
的最大值为3，所以A=3。
因为当
时取得最大值，
所以
又
所以函数的解析式为
30.（广东理16）
已知函数
（1）求
的值；
13
3()sin(2)(0,0)f x A x A p ??π=+><<<6x π
=
313(13)1313
3,,
3133a q S -===-得11
.
3a =121
33.
3n n n a --=?=233, 3.
n n a a -==所以()f x 6x π
=
()f x sin(2) 1.
6
π
??
+=0,.
6π
?π?<<=
故()f x ()3sin(2)6f x x π
=+1()2sin(),.
36f x x x R π
=-∈5(
)
4f π
（2）设
求
的值．
解：（1）
；
（2）
故
31.（湖北理16）
设的内角A 、B 、C 、所对的边分别为a 、b 、c ，已知
（Ⅰ）求的周长 （Ⅱ）求
的值
本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满分10分）
解：（Ⅰ）
的周长为
106,0,,(3),(32),
22135f a f ππαββπ??
∈+=+=????
cos()αβ+515(
)2sin()4346f ππ
π=?
-2sin
4
π
=-=10132sin 32sin ,132326f πππααα???
???=+=?+-= ? ? ???????Q
61(32)2sin (32)2sin 2cos ,5362f ππβπβπββ???
?=+=?+-=+= ? ?????53
sin ,cos ,135αβ∴=
=12cos ,
13α∴===
4sin ,
5β===3125456
cos()cos cos sin sin .
51313565αβαβαβ+=+=?-?=ABC ?1
1. 2.cos .
4a b C ===ABC ?()
cos A C -2221
2cos 14444c a b ab C =+-=+-?
=Q 2.c ∴=ABC ∴?122 5.a b c ++=++=
（Ⅱ）
，故A 为锐角，
32.（湖南理17）
在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csinA=acosC ． （Ⅰ）求角C 的大小；
sinA-cos （B+）的最大值，并求取得最大值时角A 、B 的大小。
解析：（I ）由正弦定理得
因为
所以
（II ）由（I ）知
于是
取最大值2．
的最大值为2，此时 33.（全国大纲理17）
△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知
A—C=90°，b ，求 C ．
1cos ,sin 44C C =
∴===Q sin 4sin 28a C A c ∴===
,a c A C <∴ cos .8A ∴===7111 cos()cos cos sin sin .848816A C A C A C ∴-=+= ?+?=4π sin sin sin cos .C A A C =0,A π< >=≠==从而又所以则3.4B A π = -cos()cos()4 cos 2sin(). 6 3110,,,, 46612623A B A A A A A A A A A π ππ πππππππ -+=--=+=+<<∴<+<+==Q 从而当即时2sin() 6A π +cos()4A B π-+5,. 312A B ππ == 解：由及正弦定理可得 …………3分 又由于故 …………7分 因为， 所以 34.（山东理17） 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知． （I ）求的值； （II ）若cosB=，b=2，的面积S 。 解： （I ）由正弦定理，设 则 所以 即 ， a c + =sin sin .A C B +=90,180(),A C B A C -=?=?- +cos sin ) C C A C += +2) C =? +2.C =cos cos 2, 22C C C +=cos(45)cos 2.C C ?-=090C ?< = cos B b sin sin C A 1 4ABC ?,sin sin sin a b c k A B C ===22sin sin 2sin sin , sin sin c a k C k A C A b k B B ---==cos 2cos 2sin sin . cos sin A C C A B B --=(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=- 化简可得 又， 所以 因此 （II ）由得 由余弦定理 解得a=1。 因此c=2 又因为 所以 因此 35.（陕西理18） 叙述并证明余弦定理。 解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍。或：在ABC 中，a,b,c 为A,B,C 的对边，有 证法一 如图 sin()2sin().A B B C +=+A B C π++=sin 2sin C A =sin 2.sin C A =sin 2sin C A =2.c a =2222221 2cos cos ,2, 4 1 44. 4b a c ac B B b a a =+-==+-?及得4=a 1 cos ,. 4B G B π=<<且15sin .4B = 111515sin 12.2244S ac B = =???=?2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-2 a BC BC =?u u u v u u u v ()() AC AB AC AB =-?-u u u v u u u v u u u v u u u v 即 同理可证 证法二 已知ABC 中A,B,C 所对边分别为a,b,c,以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则, 同理可证 36.（四川理17） 已知函数 （1）求 的最小正周期和最小值； （2）已知 ，求证： 解析： 222AC AC AB AB =-?+u u u v u u u v u u u v u u u v 222cos b bc A c =-+222 2cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-?(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c 2222 (cos )(sin )a BC b A c b A ∴==-+22222cos 2cos sin b A bc A c b A =-++2222cos b a c ac B =+-2222222cos , 2cos .b c a ca B c a b ab C =+-=+-73 ()sin()cos(),44f x x x x R ππ=++-∈()f x 44cos(),cos(),(0)552a πββααβ-= +=-<<≤2[()]20f β-=7733()sin cos cos sin cos cos sin sin 4444 2sin 2cos 2sin() 4f x x x x x x x x πππππ =+++=-=-max 2,()2 T f x π∴==222AC AC AB COSA AB =-?+u u u v u u u v u u u v u u u v （2） 37.（天津理15） 已知函数 （Ⅰ）求 的定义域与最小正周期； （II ）设 ，若求的大小． 本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、 余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分13分. （I ）解：由 ， 得 . 所以 的定义域为 的最小正周期为 （II ）解：由 得 4 cos()cos cos sin sin (1) 54 cos()cos cos sin sin (2) 5 cos cos 00cos 02 2 βααβαββααβαβαβπ π αβββ-=+=+=-=-=<<≤ ?=?= K K L L Q 2()(())20 f f ββ∴=?-=()tan(2), 4f x x π =+()f x 0,4 πα?? ∈ ? ? ?()2cos 2,2f α α=α2,4 2 x k k Z π π π+ ≠ +∈,8 2k x k Z π π ≠ + ∈()f x {|,}8 2k x R x k Z π π ∈≠ + ∈()f x . 2π ()2cos 2, 2a f a =tan()2cos 2, 4a a π +=22sin() 42(cos sin ),cos() 4a a a a π π+=-+ 整理得 因为 ，所以 因此 由，得 . 所以 38.（浙江理18）在中，角所对的边分别为a,b,c ． 已知且 ． （Ⅰ）当 时，求 的值； （Ⅱ）若角为锐角，求p 的取值范围； 本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14 分。 （I ）解：由题设并利用正弦定理，得 解得 （II ）解：由余弦定理， sin cos 2(cos sin )(cos sin ). cos sin a a a a a a a a +=+--(0,) 4a π ∈sin cos 0.a a +≠211(cos sin ),sin 2. 22a a a -==即(0,)4a π∈2(0,) 2a π ∈2,. 6 12a a π π = = 即ABC ?..A B C ()sin sin sin ,A C p B p R +=∈2 14ac b =5 ,1 4p b = =,a c B 5,41,4a c ac ?+=??? ?=??1,1, 41, 1.4a a c c =?? =???? =??=? ?或222 2cos b a c ac B =+-222222()22cos 11 cos , 2231 cos , 22a c ac ac B p b b b B p B =+--=--=+即 因为， 由题设知 39.（重庆理16） 设， 满足，求函数 在上的最大值和最小值. 解： 由 因此 当为增函数， 当为减函数， 所以 又因为 故上的最小值为 23 0cos 1,(,2) 2B p <<∈
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