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四川省高考理科数学试卷及答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（理工农医科）

第Ⅰ卷

本试卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：

如果事件A B ，互斥，那么

球的表面积公式 2

4πS R = ()()()P A B P A P B +=+

其中R 表示球的半径

如果事件A B ，相互独立，那么球的体积公式 3

4π3

V R =

()()()P A B P A P B =g g

其中R 表示球的半径

一、选择题：

1. 设集合{}{}

2|5,|4210,S x x T x x x =<=+-<则S T =I

Ａ.{}|75x x -<<- Ｂ.{}|35x x << Ｃ.{}|53x x -<< Ｄ.{}|75x x -<<

２.已知函数22log (2)()4(22

a x x f x x x x +≥??

=?-

-?当时当时）在点2x =处连续，则常数a 的值是

Ａ.２Ｂ.３Ｃ.４Ｄ.５

３.复数2

(12)34i i

+-的值是

Ａ.－１Ｂ.１Ｃ.－i Ｄ.i 4.已知函数()sin()()2

f x x x R π

∈，下面结论错误．．

的是 A.函数()f x 的最小正周期为2π

B.函数()f x 在区间0,

2π??

????

上是增函数

C.函数()f x 的图像关于直线0x =对称

D.函数()f x 是奇函数

5.如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，

,2PA ABC PA AB ⊥=平面，则下列结论正确的是

A. PB AD ⊥

B. 平面PAB PBC ⊥平面

C. 直线BC ∥平面PAE

D. 直线PD 与平面ABC 所称的角为?45

6.已知,,,a b c d 为实数，且c d >。则“a b >”是“a c b d ->-”的

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 已知双曲线

21(0)2x y b b

-=>的左右焦点分别为12,F F ，其一条渐近线方程为y x =，点0(3,)P y 在该双曲线上，则12PF PF ?u u u r u u u u r

A. -12

B. -2

C. 0

D. 4

8. 如图，在半径为3的球面上有,,A B C 三点，90,ABC BA BC ?

∠==，

球心O 到平面ABC 的距离是

，则B C 、两点的球面距离是 A.

B.π

C.43π

D.2π

9. 已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线2

4y x =上一动点P 到直线1l 和

直线2l 的距离之和的最小值是 A.2 B.3 C.

115 D.3716

10. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产

每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是

A. 12万元

B. 20万元

C. 25万元

D. 27万元

11. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两

位女生相邻，则不同排法的种数是

A. 360

B. 228

C. 216

D. 96

12. 已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有

(1)(1)()xf x x f x +=+，则5

(())2

f f 的值是

A.0

B.12

C.1

D.5

第Ⅱ卷

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13.6

1(2)2x x

的展开式的常数项是（用数字作答） 14.若⊙221:5O x y +=与⊙22

2:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点

A 处的切线互相垂直，则线段A

B 的长度是 15. 如图，已知正三棱柱111AB

C A B C -的各条棱长都相等，M 是

侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是。

16．设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射

:,f V V a V →∈，记a 的象为()f a 。若映射:f V V →满足：对所有,a b V ∈及任意

实数,λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换。现有下列命题：

①设f 是平面M 上的线性变换，则(0)0f =

②对,()2a V f a a ∈=设，则f 是平面M 上的线性变换；

③若e 是平面M 上的单位向量，对a V ∈，设()f a a e =-，则f 是平面M 上的线性变换；

④设f 是平面M 上的线性变换，,a b V ∈，若,a b 共线，则(),()f a f b 也共线。其中真命题是（写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）

在ABC V 中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且

310

cos 2,sin 5A B ==

（I ）求A B +的值；（II ）若21a b -=-，求,,a b c 的值。

18. （本小题满分12分）

为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中3

是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有

13持金卡，在省内游客中有2

持银卡。（I ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（II ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ。

19（本小题满分12分）

如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，

,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=

（I ）求证：EF BCE ⊥平面；

（II ）设线段CD 的中点为P ，在直线AE 上是否存在一点M ，使得

//PM BCE 平面？若存在，请指出点M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理

由；

（III ）求二面角F BD A --的大小。

20（本小题满分12分）

已知椭圆22

21(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率2e =，右准线方

程为2x =。

（I ）求椭圆的标准方程；

（II ）过点1F 的直线l 与该椭圆交于,M N 两点，且22F M F N +=u u u u r u u u u r ，求直线l 的

方程。

21. （本小题满分12分）

已知0,1a a >≠且函数()log (1)x

a f x a =-。

（I ）求函数()f x 的定义域，并判断()f x 的单调性；

（II ）若()

,lim ;f n n

n a n N a a

→+∞∈+求（III ）当a e =（e 为自然对数的底数）时，设()

2()(1)(1)f x h x e

x m =--+，若函数

()h x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()h x 的极值。

22. （本小题满分14分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记

*4()1n

n n

a b n N a +=

∈-。（I ）求数列{}n b 的通项公式；

（II ）记*

221()n n n c b b n N -=-∈，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：对任意正整数

n ，都有32

n T <

；（III ）设数列{}n b 的前n 项和为n R 。已知正实数λ满足：对任意正整数,n n R n λ≤恒成立，求λ的最小值。

数学（理工农医类）参考答案

一、

选择题：本体考察基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。

（1） C （2） B (3) A (4) D (5) D (6) B (7) C (8) B (9) A （10）D (11) B (12) A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题4分，满分16分。（13） -20 （14）4 （15）90o

（16）①②④ 三、解答题

（17）本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。

解：（Ⅰ）A Q 、B 为锐角，sin 10B =

，cos 10

B ∴== 又2

3cos 212sin 5

A A =-=

，

sin 5A ∴=

，cos 5

A ==，

cos()cos cos sin sin 2

A B A B A B ∴+=-=

= 0A B π<+

A B π

∴+=

…………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知34

C π

,sin 2C ∴=.

由正弦定理

sin sin sin a b c

A B C

得

==，即a =，c =

1a b -=Q ，

1b -=，1b ∴=

a ∴== ……………………………………12分

（18）本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，

考察运用概率只是解决实际问题的能力。

解：

（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。

设事件B 为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，事件1A 为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，事件2A 为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。

12()()()P B P A P A =+

12111

9219621

3636

C C C C C C C =+ 92734170=

+ 3685= 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是

3685

。 …………………………………………………………6分

（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3

33391(0)84C P C ξ===, 1263393

(1)14C C P C ξ===

21633915(2)28C C P C ξ===

，3

63915

(3)21

C P C ξ===，所以ξ的分布列为

ξ 0 1 2 3

184 314 1528 5

21 所以0123284142821

E ξ=?+?+?+?=， ……………………12分（19）本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础

知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。解法一：

（Ⅰ）因为平面ABEF ⊥平面ABCD ,BC ?平面

ABCD ，BC AB ⊥,平面ABEF I 平面ABCD AB =，

所以BC ⊥平面ABEF 所以BC ⊥EF .

因为ABE ?为等腰直角三角形，AB AE =，所以45AEB ∠=o

又因为45AEF ∠=o ，

所以454590FEB ∠=+=o

，即EF ⊥BE ,

因为BC ?平面,BCE BE ?平面BCE ,

BC BE B =I

所以EF ⊥平面BCE 。 ……………………………………4分（Ⅱ）存在点M ,当M 为线段AE 的中点时，//PM 平面BCE

取BE 的中点N ，连接CN,MN ，则MN ∥＝1

AB ∥＝PC 所以PMNC 为平行四边形，所以PM ∥CN 因为CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内，

所以PM ∥平面BCE ……………………………………8分（Ⅲ）由EA ⊥AB,平面ABEF ⊥平面ABCD ，易知，EA ⊥平面ABCD

作FG ⊥AB,交BA 的延长线于G ，则FG ∥EA 。从而，FG ⊥平面ABCD 作GH ⊥BD 于H ，连结FH ，则由三垂线定理知，BD ⊥FH 因此，∠FHG 为二面角F-BD-A 的平面角因为FA=FE, ∠AEF=45°, 所以∠AFE=90°，∠FAG=45°

设AB=1,则. FG=AF ·sinFAG=

在Rt △BGH 中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+

12=32

GH=BG ·sinGBH=

·22=32

在Rt △FGH 中，tanFHG=

FG GH

= 23

故二面角F-BD-A 的大小为arctan 2

. ………………………………12分解法二:

(Ⅰ)因为△ABE 为等腰直角三角形,AB=AE,

所以AE ⊥AB.

又因为平面ABEF ⊥平面ABCD,AE ?平面ABEF, 平面ABEF ∩平面ABCD=AB, 所以AE ⊥平面ABCD. 所以AE ⊥AD.

因此,AD,AB,AE 两两垂直,以A 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系A-xyz. 设AB=1,则AE=1，B （0，1，0），D (1, 0, 0 ) , E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ). 因为FA=FE, ∠AEF = 45°, 所以∠AFE= 90°.

从而，11

(0,,)22

F -. 所以11(0,,)22

EF =--u u u r ,(0,1,1)BE =-u u u

r ,(1,0,0)BC =u u u r .

0022

EF BE ?=+-=u u u r u u u r ,0EF BC ?=u u u r u u u r .

所以EF ⊥BE, EF ⊥BC. 因为BE ?平面BCE,BC ∩BE=B , 所以EF ⊥平面BCE.

(Ⅱ)存在点M,当M 为AE 中点时,PM ∥平面BCE.

M ( 0,0,

12 ), P ( 1,1

2,0 ). 从而PM u u u u r =11(1,,)22

--,

于是PM u u u u r ·EF u u u r =11(1,,)22--·11(0,,)22

--=0

所以PM ⊥FE,又EF ⊥平面BCE ，直线PM 不在平面BCE 内，

故PM ∥平面BCE. ………………………………8分

(Ⅲ)设平面BDF 的一个法向量为1n u r ，并设1n u r

=（x,y,z ）.

110BD =-（，，）uu u v ， 31022

BF =-（，，）

uu u v 11n 0n 0BD BF ?=??=??u v uu u v g u v uu u v g 即 x y 031y z 022

-=???-+=??

取y=1，则x=1，z=3。从而1n 113=u u v

（，，）。取平面ABD 的一个法向量为2n =u u v （0，0，1）

。

12212

n n cos(n ,n )n n ==

=1u v u u v

u u v u u v g u v u u v g 故二面角F —BD —A 的大小为

arccos

。……………………………………12分（20）本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题

及推理运算能力。解：

（Ⅰ）由条件有2

22c a a c

?=????=??

，解得a c=1=。

b 1∴==。

所以，所求椭圆的方程为2

2x y 12+=。…………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1(1,0)F -、21

0F （，）。若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =- 将1x =-

代入椭圆方程得y 2

=±

。

不妨设(1,

2M -、12

N --（，），

22(2,(2,(4,0)22

F M F N ∴+=-+--=-uuuu v uuuv .

224F M F N ∴+=uuuu v uuuv

,与题设矛盾。 ∴直线l 的斜率存在。

设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y=k （x+1）。设11(x y )M ，、22(,)N x y ，

联立2

212(1)x y y k x ?+=???=+?

，消y 得2222

(12)4220k x k x k +++-=。

由根与系数的关系知2122412k x x k -+=+，从而12122

2(2)12k

y y k x x k

+=++=+，又211(1,)F M x y =-u u u u v Q ，222(1,)F N x y =-u u u u v

， 221212(2,)F M F N x x y y ∴+=+-+u u u u v u u u u v

。

22221212(2)()F M F N x x y y ∴+=+-++u u u u v u u u u v 222

822()()1212k k k k +=+++ 42424(1691)

441k k k k ++=++

42242

4(1691)441k k k k ++∴=++。化简得4

4023170k k --= 解得2

1k =或者2

k =-

（舍） 1k ∴=±

∴所求直线l 的方程为1y x =+或者1y x =-- ……………………………12分（21）本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理

和运算能力。解：

（Ⅰ）由题意知10x

a ->

当01a <<时，()f x 的定义域是(0,)+∞；当1a >时，()f x 的定义域是0-∞（，）

， ln ()log 11

x x a x x a a a f x e a a -'==--g

当01a <<时，(0,)x ∈+∞，因为10,0x x a a -<>，故'

()0f x <，所以()f x 是减函数

当1a >时，(,0)x ∈-∞，因为10,0x x

a a -<>，故()0f x '<，所以()f x 是减函数 …………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）因为()

()log (1),1n f n n a f n a a

a =-=-所以由函数定义域知1n

a ->0,因为n 是正整数，故0

所以()11

lim lim f n n n

n n n a a a a a a a →∞→∞-==++ …………………………………6分（Ⅲ）2)(1)(0)x h x e x m x =-+<（

，所以2

()(21)x h x e x x m '=+-+ 令2

()0,210,00h x x x m m '=+-+=?≥≥即由题意应有，即

① 当m=0时，()0h x '=有实根1x =-，

在1x =-点左右两侧均有()0h x '>，故()h x 无极值

② 当01m <<时，()0h x '=有两个实根1211x x =-=-当x 变化时，()h x '、()h x 的变化情况如下表所示：

()h x ∴的极大值为12e -，()h x 的极小值为12e -

③ 当1m ≥时，()0h x '=

在定义域内有一个实根，1x =- 同上可得()h x

的极大值为12e -

综上所述，0∈+∞m （，）时，函数()h x 有极值；当01m <<时()h x 的极大值

为12e -，()h x 的极小值

为

12e -

当1m ≥时，()h x

的极大值为12e -

（22）本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。解：

（Ⅰ）当1n =时，1111

51,4

a a a =+∴=-

又 1151,51n n n n a a a a ++=+=+Q

1111

5,4

n n n n n a a a a a +++∴-==-即

∴数列{}n a 成等比数列，其首项114a =-，公比是1

q =-

()4n n a ∴=-

14()411()4

n n

b +-∴=

--……………………………………..3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知5

4(4)1

n n b =+

2212215525164141(161)(164)

n n n n n n n c b b --?∴=-=+=-+-+

=22

2516251625

(16)3164)(16)16

n n n n n n ??<=+?- 又121134

3,,33b b c ==

∴= 当13

n T =<时，

当234111225()3161616

n n n T ≥<+?+++K 时， 1

2211[1()]416

162513116146931625 (713482116)

n --=+?-<+?=<-分（Ⅲ）由（Ⅰ）知5

4(4)1

n n b =+

一方面，已知n R n λ≤恒成立，取n 为大于1的奇数时，设*

21()n k k N =+∈ 则1221n k R b b b +=+++K

12321

1111

45()41414141k n +=+?-

+-+-+-++K K 12322111111

45[()()]4141414141k k n +=+?-+-++-+-+-+K K

>41n -

41,41n n R n n λλ∴≥>-->-即（）对一切大于1的奇数n 恒成立

4,41n λλ∴≥->-否则，（）只对满足1

4n λ

-的正奇数n 成立，矛盾。另一方面，当4λ=时，对一切的正整数n 都有4n R n ≤恒成立事实上，对任意的正整数k ，有

2122125

8(4)1(4)1n n k k b b --+=+

----

520

8(16)1(16)4

k k

--+ 151640

88(161)(164)k k k ?-=-

<-+ ∴当n 为偶数时，设*2()n m m N =∈

则1234212()()()n m m R b b b b b b -=++++++K

<84m n =

当n 为奇数时，设*

21()n m m N =-∈

则1234232221()()()n m m m R b b b b b b b ---=+++++++K

<8(1)4844m m n -+=-=

∴对一切的正整数n ，都有4n R n ≤

综上所述，正实数λ的最小值为4……………………………14分