高等数学基础归类复习
一、单项选择题
1-1下列各函数对中,( C )中的两个函数相等. A.
2)()(x x f =,x x g =)( B. 2
)(x x f =,x x g =)(
C.3
ln )(x x f =,x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ,1
1
)(2--=x x x g
1-⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f -+的图形关于(C )对称.
A. 坐标原点
B. x 轴
C. y 轴
D. x y =
设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f --的图形关于(D )对称.
A. x y =
B. x 轴
C. y 轴
D. 坐标原点 .函数2
e e x
x y -=
-的图形关于( A )对称.
(A) 坐标原点 (B)
x 轴 (C) y 轴 (D) x y =
1-⒊下列函数中为奇函数是( B ). A.
)1ln(2
x y += B. x x y cos = C.
2
x x a a y -+=
D.
)1ln(x y +=
下列函数中为奇函数是(A ). A.
x x y -=3 B. x x e e y -+= C. )1ln(+=x y D. x x y sin =
下列函数中为偶函数的是( D ).
A
x x y sin )1(+= B x x y 2= C x x y cos = D )1ln(2x y +=
2-1 下列极限存计算不正确的是( D ).
A. 12lim 2
2
=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0
=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01
sin lim =∞→x x x
2-2当0→x 时,变量( C )是无穷小量.
A. x
x
sin B. x 1 C. x x 1sin D. 2)ln(+x
当0→x 时,变量( C )是无穷小量.A x 1 B x x sin C 1e -x
D 2x
x
.当0→x 时,变量(D )是无穷小量.A x 1 B x
x sin C x
2 D )1ln(+x
下列变量中,是无穷小量的为( B )
A ()1sin 0x x →
B ()()ln 10x x +→
C ()1
x e x →∞ D.()22
24
x x x -→-
3-1设
)(x f 在点x=1处可导,则=--→h
f h f h )
1()21(lim 0( D ).
A. )1(f '
B. )1(f '-
C. )1(2f '
D. )1(2f '-
设
)(x f 在0x 可导,则=--→h
x f h x f h )
()2(lim
000( D ). A )(0x f ' B )(20x f ' C )(0x f '- D )(20x f '- 设
)(x f 在0x 可导,则=--→h
x f h x f h 2)
()2(lim
000
( D ).
A. )(20x f '-
B. )(0x f '
C. )(20x f '
D. )(0x f '-
设
x x f e )(=,则=?-?+→?x f x f x )1()1(lim
( A ) A e B. e 2 C. e 21 D. e 4
1
3-2. 下列等式不成立的是(D ).
A.x x
de dx e
= B )(cos sin x d xdx =- C.
x d dx x
=21
D.)1
(ln x d xdx =
下列等式中正确的是(B ).A.xdx x d arctan )11(2=+ B. 2
)1(x
dx
x d -= C.dx d x
x 2)2ln 2(= D.xdx x d cot )(tan =
4-1函数14)(2-+=x x x f 的单调增加区间是( D ).
A. )2,(-∞
B. )1,1(-
C. ),2(∞+
D. ),2(∞+-
函数542-+=x x y 在区间)6,6(-内满足(A ).
A. 先单调下降再单调上升
B. 单调下降
C. 先单调上升再单调下降
D. 单调上升
.函数
62--=x x y 在区间(-5,5)内满足( A )
A 先单调下降再单调上升
B 单调下降
C 先单调上升再单调下降
D 单调上升
. 函数
622+-=x x y 在区间)5,2(内满足(D ).
A. 先单调下降再单调上升
B. 单调下降
C. 先单调上升再单调下降
D. 单调上升
5-1若
)(x f 的一个原函数是
x
1
,则=')(x f (D ). A. x ln B.
2
1x -
C.
x 1 D. 32x
.若)(x F 是 )(x f 的一个原函数,则下列等式成立的是( A )。
A )()()(a F x F dx x f x
a
-=?
B
)()()(a f b f dx x F b
a
-=?
C )()(x F x f ='
D )()()(a F b F dx x f b
a
-='?
5-2若
x x f cos )(=,则='?x x f d )(( B ).
A. c x +sin
B. c x +cos
C. c x +-sin
D. c x +-cos
下列等式成立的是(D ).
A.
)(d )(x f x x f ='? B. )()(d x f x f =?
C. )(d )(d x f x x f =?
D. )(d )(d d
x f x x f x
=? =?x x f x x d )(d d 3
2( B ). A. )(3x f B. )(32x f x C. )(31x f D. )(3
13x f =?x x xf x d )(d d 2
( D ) A )(2x xf B x x f d )(21 C )(21x f D x x xf d )(2 ⒌-3若?+=c x F x x f )(d )(,则?=x x f x
d )(1
( B ). A. c x F +)( B. c x F +)(2 C. c x F +)2( D.
c x F x +)(1
补充: ?=--x e f e x
x d )( c e F x +--)(, 无穷积分收敛的是 dx x ?+∞12
1 函数x
x x f -+=1010)(的图形关于 y 轴 对称。
二、填空题
3
x -的定义域是 (3,+∞) .函数
x x x
y -+-=
4)
2ln(的定义域是 (2,3) ∪ (3,4 ]
函数x
x x f --+=21
)5ln()(的定义域是 (-5,2)
若函数???>≤+=0,20
,1)(2x x x x f x
,则=)0(f 1 .
2若函数???
??≥+<+=0,0,)1()(1
x k x x x x f x ,在0=x 处连续,则=k e
.
.函数?????=≠=00
2sin )(x k
x x x x f 在0=x 处连续,则=k 2
函数???≤>+=0,sin 0
,1x x x x y 的间断点是 x=0 .
函数33
22---=x x x y 的间断点是 x=3 。
函数x
e
y -=11
的间断点是 x=0 3-⒈曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 1/2 .
曲线2)(+=x x f 在)2,2(处的切线斜率是 1/4 .
曲线1)(+=x e x f 在(0,2)处的切线斜率是 1 .
.曲线
1)(3+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 3 .
3-2 曲线x x f sin )(=在)1,2
π
(处的切线方程是 y = 1 .切线斜率是 0
曲线y = sinx 在点 (0,0)处的切线方程为 y = x 切线斜率是 1
4.函数)1ln(2
x y +=的单调减少区间是 (-∞,0 ) .
函数2
e )(x x
f =的单调增加区间是 (0,+∞) .
.函数1)1(2
++=x y 的单调减少区间是 (-∞,-1 ) .
.函数1)(2
+=x x f 的单调增加区间是 (0,+∞) .
函数2
x
e y -=的单调减少区间是 (0,+∞) . 5-1=?-x x
d e d
2
dx e x 2
-
. .
=?x x dx
d
d sin 2 2sin x . ='?x x d )(tan tan x +C .
若?+=c x x x f 3sin d )(,则=')(x f -9 sin 3x .
5-2
?-=+3
3
5
d )2
1
(sin x x 3 . =+?-1
1231dx x x 0 . =+?e
dx x dx d 1)1ln( 0
下列积分计算正确的是( B ).
A
0d )(1
1
=+?
--x e e x
x B 0d )(1
1
=-?--x e e x
x C 0d 1
1
2
=?-x x D
0d ||1
1
=?
-x x
三、计算题
(一)、计算极限(1小题,11分)
(1)利用极限的四则运算法则,主要是因式分解,消去零因子。 (2)利用连续函数性质:)(0x f 有定义,则极限)()(lim 0
x f x f x x =→
类型1: 利用重要极限 计算
1-1求x x x 5sin 6sin lim 0→. 解: 5
65sin lim 5sin 6sin lim 00=?=→→x
x x x x x x 1-2 求 0tan lim
3x x x → 解: =→x x x 3tan lim 031131tan lim 310=?=→x x x
1-3 求x x x 3tan lim 0→ 解:
x x 3tan lim 0→=3313.3tan lim 0=?=→x
x
类型2: 因式分解并利用重要极限化简计算。 2-1求)1sin(1lim 21+--→x x x . 解: )1sin(1lim 1+--→x x x =2)11(1)1.()1sin()
1(lim
1-=--?=-++-→x x x x 2-2()21sin 1lim 1x x x →-- 解: 21
1111)1(1.)1()1sin(lim 1)1sin(lim 121=+?=+--=--→→x x x x x x x 2-3)3sin(3
4lim 23-+-→x x x x 解: 2)1(lim )
3sin()1)(3(lim )3sin(34lim
3323=-=---=-+-→→→x x x x x x x x x x 类型3:因式分解并消去零因子,再计算极限
3-1 4586lim 224+-+-→x x x x x 解: 4586lim 224+-+-→x x x x x ==----→)1)(4()2)(4(lim 4x x x x x 3
2
12lim 4=--→x x x
3-2 2236lim 12x x x x x →-+--- ()()()()22333326
25lim lim
lim 123447x x x x x x x x x x x x x →-→-→-+-+--===--+-- 3-3 423lim 222-+-→x x x x 解 4121lim )2)(2()1)(2(lim 4
23lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x
其他: 0sin 21lim sin 1
1lim 202
0==-+→→x x x x x x , 22
1sin lim 11sin lim
00==-+→→x
x x x x =--++∞→545
6lim 22x x x x x 1lim 22=∞→x x x , =--+∞→54362lim 22x x x x x 3
232lim 22=∞→x x x
(0807考题)计算x x x 4sin 8tan lim 0→. 解: x x
x 4sin 8tan lim 0→=24
8.4sin 8tan lim
0==→x
x x x
x (0801考题. )计算x x x 2sin lim
0→. 解 =→x x x 2sin lim 02
1
sin lim 210=→x x x
(0707考题.))1sin(32lim 21+---→x x x x =4)31(1)
1sin()
3).(1(lim
1-=--?=+-+-→x x x x (二) 求函数的导数和微分(1小题,11分)
(1)利用导数的四则运算法则
v u v u '±'='±)( v u v u uv '+'=')(
(2)利用导数基本公式和复合函数求导公式
x
x 1)(ln =
' 1
)(-='a a ax x x
x e e =')( u e e u u '='.)(
x x x x x x 2
2
sec )(tan sin )(cos cos )(sin '='-='='
类型1
1-1
解:y '=()332233x x x e x e '????'+++ ? ?????
13
22332x x x e x e ??=++ ???1322332x x x e ??=++ ???
1-2 x x x y ln cot 2
+=
解:x x x x x x x x x x x x y ++-='+'+-='+'='ln 2csc )(ln ln )(csc )ln ()(cot 2
2222
1-3 设x x e y x
ln tan -=,求y '
.
解: x
x e x e x e x e x x e y x x x x x 1sec tan 1)(tan tan )()(ln )tan (2
-+=-'+'='-'='
类型22-1
x x y ln sin 2+=,求y ' 解:x
x x x x y 1
cos 2)(ln )(sin 22+
='+'=' 2-2 2sin e cos x y
x -=,求'y
解:2
222cos 2e sin e ).(cos ).(sin )(sin )(cos x x x x e e x e y x x x x x --='-'-='-'='
2-3 x e x y 55ln -+=,求'y , 解:x x
x x
e x y 5455e 5ln 5).()(ln ---='+'='
类型3:x e y x cos =,求y ' 。 解:x e x xe x e x e y x x x x sin cos 2)(cos cos )(2
2-='+'='
其他:x
x y x
cos 2-=,求y '。
解:='-'-='-'='2).(cos .)(cos 2ln 2)cos ()2(x x x x x x x y x x 2cos sin 2ln 2x
x x x x
++ 0807.设2
sin sin x e
y x +=,求y ' 解:2sin 2sin cos 2cos )(sin )(x x x e x e y x x +='+'=' 0801.设
2
x
xe y =,求
y ' 解:2
22222)()(x
x x x e x e e x e x y +='+'='
0707.设
2sin x e y x -=,求'y 解:x xe x x e y x x 2cos )().(sin sin 2sin -='-'='
0701.设x x y e cos ln +=,求'y 解:x
x x x x
e e x y e sin e 1).(sin )(ln -='-'='
计算?x x x d cos 2
解:c x x d x x x x +-=-=??1sin )1(1cos d cos
2
0707.计算?x x d x 1sin 2
. 解: c x
x x x x +=-=??1cos )1(d x 1sin d 1sin 2 0701计算?x x
x d e
21. 解: =-=??)1(d e d e 121x x
x x
c x +-1
e
凑微分类型2.计算
?
x x
x
d cos . 解:
c x x
d x x x x
+==??
sin 2cos 2d cos
0807.计算
?x x
d x sin . 解:c x x d x x x +-==??
cos 2sin 2d x
sin
0801.计算
?
e
x
x
凑微分类型3计算?x d xlnx 1 解:c
x du u
x x +===???|ln |ln ln d xlnx
.计算?
+e
1
d ln 2x x
x
解: ??
++=+e 1e
1
)ln 2()d ln 2(d ln 2x x x x x
25)ln 2(2
11
2=+=e
x
类型1计算?e 1
lnxd x x 解: 1=a , c x x x xdx xdx x +-==??222
4
ln 2ln 2ln 411)4ln 2(ln 21lnxd 22212
e 1e e x x x xdx x x e +=-==?? 1)10()(1)ln (d ln e 1=---=-=?e e e
x x x x x 计算?e 12d ln x x x 解:2-=a , c x
x x x xd dx x x +--=-=??1
ln 1)1(ln ln 2
计算dx x x e ?1ln 解:21
-=a ,c x x x x xd dx x
x +-==??4ln 2ln 2ln dx x x e ?1ln =421
)4ln 2(ln 21
+-=-=?e e
x x x x xd e 0807
=?
e
1lnxd x x 9
4921)94ln 32( x lnxd 3223
2323e 123+
=-=?e e x x x
0707
?e
12x 913+ 类型2 x dx xe 10
2?=x x de x dx xe --??-=1
10120
1)(1+-=--=---e e xe x x x x de x dx xe 21010
221--??-=4
14301)4121(222+-=--=---e e xe x x
(0801类型3: ?
20sin π
x =
?20
cos πxdx x 120
2)cos sin (sin 20
-=+=?π
π
π
x x x x xd
??++-=+-=c x x x xdx x x x x x 2sin 41
2cos 212cos 212cos 21d 2sin =?20
2sin πxdx x 4
040
2)2sin 4
12cos 21(2cos 2
120
ππππ
=-=+-=-?
x x x x xd
2222
00001111cos 2sin 2|sin 2cos 2|2242
x xdx x x xdx x π
πππ
=-==-?? 四、应用题(1题,16分)
类型1: 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ,问当底半径与高分别为多少时,圆柱体的体积最大? 解:如图所示,圆柱体高h 与底半径r 满足
222l r h =+
圆柱体的体积公式为 h h l h r V )(π2
22-==π
求导并令 0)3(π2
2=-='h l V
《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ()2g x x = (C )()f x x = 和 ()() 2 g x x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ).
【高等数学基础】形成性考核册答案 【高等数学基础】形考作业1答案: 第1章 函数 第2章 极限与连续 (一)单项选择题 ⒈下列各函数对中,(C )中的两个函数相等. A. 2)()(x x f =,x x g =)( B. 2)(x x f = ,x x g =)( C. 3 ln )(x x f =,x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ,1 1)(2--=x x x g 分析:判断函数相等的两个条件(1)对应法则相同(2)定义域相同 A 、2()f x x ==,定义域{}|0x x ≥;x x g =)(,定义域为R 定义域不同,所以函数不相等; B 、()f x x = =,x x g =)(对应法则不同,所以函数不相等; C 、3()ln 3ln f x x x ==,定义域为{}|0x x >,x x g ln 3)(=,定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ,定义域为R ;21 ()11 x g x x x -= =+-,定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同,所以两函数不等。 故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f -+的图形关于(C )对称. A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析:奇函数,()()f x f x -=-,关于原点对称 偶函数,()()f x f x -=,关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称, 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设()()()g x f x f x =+-,则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数,即图形关于y 轴对称 故选C ⒊下列函数中为奇函数是(B ). A. )1ln(2x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析:A 、()()()()22 ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=,为偶函数 B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-,为奇函数 或者x 为奇函数,cosx 为偶函数,奇偶函数乘积仍为奇函数 C 、()()2 x x a a y x y x -+-= =,所以为偶函数
高等数学基础归类复习 一、单项选择题 1-1下列各函数对中,( C )中的两个函数相等. A. 2)()(x x f =,x x g =)( B. 2 )(x x f =,x x g =)( C.3 ln )(x x f =,x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ,1 1 )(2--=x x x g 1-⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f -+的图形关于(C )对称. A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f --的图形关于(D )对称. A. x y = B. x 轴 C. y 轴 D. 坐标原点 .函数2 e e x x y -= -的图形关于( A )对称. (A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y = 1-⒊下列函数中为奇函数是( B ). A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 下列函数中为奇函数是(A ). A. x x y -=3 B. x x e e y -+= C. )1ln(+=x y D. x x y sin = 下列函数中为偶函数的是( D ). A x x y sin )1(+= B x x y 2= C x x y cos = D )1ln(2x y += 2-1 下列极限存计算不正确的是( D ). A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0 =+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x 2-2当0→x 时,变量( C )是无穷小量. A. x x sin B. x 1 C. x x 1sin D. 2)ln(+x 当0→x 时,变量( C )是无穷小量.A x 1 B x x sin C 1e -x D 2x x .当0→x 时,变量(D )是无穷小量.A x 1 B x x sin C x 2 D )1ln(+x 下列变量中,是无穷小量的为( B ) A ()1sin 0x x → B ()()ln 10x x +→ C ()1 x e x →∞ D.()22 24 x x x -→- 3-1设)(x f 在点x=1处可导,则=--→h f h f h ) 1()21(lim 0( D ). A. )1(f ' B. )1(f '- C. )1(2f ' D. )1(2f '- 设)(x f 在0x 可导,则=--→h x f h x f h ) ()2(lim 000( D ). A )(0x f ' B )(20x f ' C )(0x f '- D )(20x f '-