新高考数学二轮专题复习高频考点强化训练13(附解析)
强化训练13立体几何——大题备考 第一次作业 1.[2021·新高考Ⅱ卷]在四棱锥Q-ABCD中,底面ABCD是正方形,若AD=2,QD =QA=5,QC=3. (1)证明:平面QAD⊥平面ABCD; (2)求二面角B -QD -A的平面角的余弦值. 2.[2022·新高考Ⅱ卷]如图,PO是三棱锥P-ABC的高,P A=PB,AB⊥AC,E为PB 的中点. (1)证明:OE∥平面P AC. (2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,P A=5,求二面角C -AE -B的正弦值.
3.[2022·新高考Ⅰ卷]如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,△A1BC的面积为22. (1)求A到平面A1BC的距离; (2)设D到A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.
4.[2021·新高考Ⅰ卷]如图,在三棱锥A -BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点. (1)证明:OA⊥CD; (2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC -D的大小为45°,求三棱锥A -BCD的体积.
强化训练13 立体几何 1.解析:(1)证明:取AD 的中点为O ,连接QO ,CO. 因为QA =QD ,OA =OD ,则QO ⊥AD , 而AD =2,QA = 5 ,故QO =5-1 =2. 在正方形ABCD 中,因为AD =2,故DO =1,故CO = 5 , 因为QC =3,故QC2=QO2+OC2,故△QOC 为直角三角形,且QO ⊥OC , 因为OC∩AD =O ,故QO ⊥平面ABCD , 因为QO ⊂平面QAD ,故平面QAD ⊥平面ABCD. (2)在平面ABCD 内,过O 作OT ∥CD ,交BC 于T ,则OT ⊥AD , 结合(1)中的QO ⊥平面ABCD ,故可建如图所示的空间坐标系. 则D (0,1,0),Q (0,0,2),B (2,-1,0),故BQ → =(-2,1, 2),BD → =(-2,2,0). 设平面QBD 的法向量n =(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n·BQ →=0n· BD →=0 即⎩⎨⎧-2x +y +2z =0-2x +2y =0 ,取x =1,则y =1,z =12 , 故n =(1,1,1 2 ). 而平面QAD 的法向量为m =(1,0,0),故cos 〈m ,n 〉=1 1×32 =23 . 二面角B - QD - A 的平面角为锐角,故其余弦值为2 3 . 2.解析:(1)证明:方法一 连接OA. 因为PO 是三棱锥P - ABC 的高, 所以PO ⊥平面ABC ,所以PO ⊥OA ,PO ⊥OB ,
2021高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题二数列第2讲数列求和及综合问题含解析
高考数学二轮复习专题练: 第2讲数列求和及综合问题 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和,难度中档偏下;2.在考查数列运算的同时,将数列与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟 1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1,前16项和为540,则a1=________. 解析法一因为a n+2+(-1)n a n=3n-1, 所以当n为偶数时,a n+2+a n=3n-1, 所以a4+a2=5,a8+a6=17,a12+a10=29,a16+a14=41, 所以a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16=92. 因为数列{a n}的前16项和为540, 所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=540-92=448.① 因为当n为奇数时,a n+2-a n=3n-1, 所以a3-a1=2,a7-a5=14,a11-a9=26,a15-a13=38, 所以(a3+a7+a11+a15)-(a1+a5+a9+a13)=80.② 由①②得a1+a5+a9+a13=184. 又a3=a1+2,a5=a3+8=a1+10,a7=a5+14=a1+24,a9=a7+20=a1+44,a11=a9+26=a1+70,a13=a11+32=a1+102, 所以a1+a1+10+a1+44+a1+102=184,所以a1=7.
法二 同法一得a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=448. 当n 为奇数时,有a n +2-a n =3n -1, 由累加法得a n +2-a 1=3(1+3+5+…+n )-n +1 2 =32(1+n )·n +12-n +12=34n 2+n +1 4 , 所以a n +2=34n 2+n +1 4+a 1. 所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15 =a 1+⎝⎛⎭⎫34×12+1+14+a 1+⎝⎛⎭⎫34×32+3+14+a 1+⎝⎛⎭ ⎫34×52+5+1 4+a 1+ ⎝⎛⎭⎫34×72+7+14+a 1+⎝⎛⎭⎫34×92+9+14+a 1+⎝⎛⎭⎫34×112+11+14+a 1+ ⎝⎛⎭ ⎫34×132+13+14+a 1=8a 1+392=448,解得a 1=7. 答案 7 2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6=________. 解析 法一 因为S n =2a n +1,所以当n =1时,a 1=2a 1+1,解得a 1=-1. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2a n +1-(2a n -1+1), 所以a n =2a n -1,所以数列{a n }是以-1为首项,2为公比的等比数列, 所以a n =-2n -1. 所以S 6=-1×(1-26) 1-2 =-63. 法二 由S n =2a n +1,得S 1=2S 1+1,所以S 1=-1,当n ≥2时,由S n =2a n +1得S n =2(S n -S n -1)+1,即S n =2S n -1-1,∴S n -1=2(S n -1-1),又S 1-1=-2,∴{S n -1}是首项为-2,公比为2的等比数列,所以S n -1=-2×2n -1=-2n ,所以S n =1-2n ,∴S 6=1-26=-63. 答案 -63 3.(2020·新高考山东卷)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3=8. (1)求{a n }的通项公式; (2)记b m 为{a n }在区间(0,m ](m ∈N *)中的项的个数,求数列{b m }的前100项和S 100.
2023年高考数学二轮复习讲练测(新高考)专题13 圆锥曲线压轴解答题常考套路归类(原卷版)
专题13 圆锥曲线压轴解答题常考套路归类 【命题规律】 解析几何是高考数学的重要考查内容,常作为试卷的拔高与区分度大的试题,其思维要求高,计算量大.令同学们畏惧.通过对近几年高考试题与模拟试题的研究,分析归纳出以下考点: (1)解析几何通性通法研究; (2)圆锥曲线中最值、定点、定值问题; (3)解析几何中的常见模型; 解析几何的核心内容概括为八个字,就是“定义、方程、位置关系”.所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大核心考点展开. 【核心考点目录】 核心考点一:轨迹方程 核心考点二:向量搭桥进行翻译 核心考点三:弦长、面积背景的条件翻译 核心考点四:斜率之和差商积问题 核心考点五:弦长、面积范围与最值问题 核心考点六:定值问题 核心考点七:定点问题 核心考点八:三点共线问题 核心考点九:中点弦与对称问题 核心考点十:四点共圆问题 核心考点十一:切线问题 核心考点十二:定比点差法 核心考点十三:齐次化 核心考点十四:极点极线问题 【真题回归】 1.(2022·浙江·统考高考真题)如图,已知椭圆2 2112x y +=.设A ,B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点,且点 0,21Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 在线段AB 上,直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ,D 两点.
(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值; (2)求||CD 的最小值. 2.(2022·全国·统考高考真题)已知双曲线22 22 :1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ,渐近线方程为 y =. (1)求C 的方程; (2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点,点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上,且 1210,0x x y >>>.过P 且斜率为Q M .从下面①②③中选取两 个作为条件,证明另外一个成立: ①M 在AB 上;②PQ AB ∥;③||||MA MB =. 注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分. 3.(2022·全国·统考高考真题)设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点(),0D p ,过F 的直线交C 于M ,N 两点.当直线MD 垂直于x 轴时,3MF =. (1)求C 的方程; (2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ,B ,记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ.当αβ-取得最大值时,求直线AB 的方程.
专题03基本不等式-2022年(新高考)数学高频考点+重点题型(原卷版)
专题03基本不等式--2022年(新高考)数学高频考点+重点题型 一、关键能力 探索基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单最大(小)值问题,利用不等式求最值的方法较多,要理解运算对象,掌握运算法则,探究运算方向,选择合适大的运算方法,设计合理运算程序,并对条件问题中的代数式合理变形求得运算结果,培养学生的数学运算能力. 二、教学建议 基本不等式是解决问题的基本工具。强化推理证明和不等式的应用意识.从新高考的命题看,试题多与数列、函数、解析几何交汇渗透,对不等式知识、方法技能要求较高.抓好推理论证,强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键. 三、自主先学 1.基本不等式: 2 a b + (1)基本不等式成立的条件:00a b >>,. (2)等号成立的条件:当且仅当a b =时取等号. (3)其中 +2 a b 称为正数a ,b ,a b 的几何平均数. 若0,0a b >>时 , 2 11a b ≤ +2a b +≤当且仅当a b =时等号成 2.几个重要的不等式 (1)重要不等式:22a b +≥2ab (),a b R ∈.当且仅当a b =时取等号. (2ab ≤2 2a b +⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ (),a b R ∈,当且仅当a b =时取等号.
(3()2 22,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭ ,当且仅当a b =时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知0,0x y >>,则 (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x y =时,x y + 有最小值是(简记:积定和最小). (2)如果和x y +是定值s ,那么当且仅当x y =时,xy 有最大值是2 4 s (简记:和定积最大). 四、高频考点+重点题型 考点一、基本不等式求最值(消元法) 1.(2021·曲靖市第二中学高三二模(文))已知(),,0,a b c ∈+∞,320a b c -+=,的( ) A B C D 2.(2021·浙江宁波市·高三二模)已知正数a ,b 满足2a b +=,当a =______时,2-a b 取到最大值为______. 3.设,,x y z 为正实数,满足230x y z -+=,则2y xz 的最小值是
2021新高考数学二轮复习:题型强化练3 解答题组合练(A)
题型强化练3解答题组合练(A) 1.(2020山东青岛一模,17)设等差数列{a n}的前n项和为S n,等比数列{b n}的前n项和为T n.已知 a1b1=2,S2=6,S3=12,T2=4 3 ,n∈N*. (1)求{a n},{b n}的通项公式; (2)是否存在正整数k,使得S k<6k,且T k>13 9 ?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由. 2.(2020山东济南二模,18)已知△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c. (1)证明:a cos B+b cos A=c; (2)在①2c-b cosB =a cosA ,②c cos A=2b cos A-a cos C,③2a-bcosC cosA =ccosB cosA 这三个条件中任选一个补充在下面问 题中,并解答. 若a=7,b=5,,求△ABC的周长.
3. (2020北京朝阳一模,17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ACC1A1⊥平面ABC,四边形ACC1A1是正方形,点D,E分别是棱BC,BB1的中点,AB=4,AA1=2,BC=2√5. (1)求证:AB⊥CC1; (2)求二面角D-AC1-C的余弦值; (3)若点F在棱B1C1上,且B1C1=4B1F,判断平面AC1D与平面A1EF是否平行,并说明理由. 4.
(2020海南线上诊断性测试,21)如图,已知点F 为抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点,过焦点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ,N 两点,且当直线l 的倾斜角为45°时,|MN|=16. (1)求抛物线C 的方程. (2)试确定在x 轴上是否存在点P ,使得直线PM ,PN 关于x 轴对称?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 题型强化练3 解答题组合练(A ) 1.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,在数列{a n }中,a 3=S 3-S 2=6. 又S 2=a 1+a 2=a 3-2d+a 3-d=12-3d=6,解得d=2, 则a 1=a 3-2d=2,所以a n =2+(n-1)×2=2n. 由a 1b 1=2,得b 1=T 1=1, 因为b 2=T 2-T 1=4 3-1=1 3,设数列{b n }的公比为q , 所以 q=b 2 b 1 = 13 ,所以b n =1×(13)n -1= (13)n -1. (2)存在正整数k ,使得S k <6k ,且T k >13 9.由(1)知,S k = k (a 1+a k ) 2=k (k+1),因为S k =k (k+1)<6k ,整理得k 2-5k<0,解得013 9,即1 3 k -1<1 9,解得k>3.因为k 为正整数,所以k=4. 2.(1)证明 由余弦定理可得,a cos B+b cos A=a ·a 2+c 2-b 2 2ac +b ·b 2 +c 2-a 22bc =a 2+c 2-b 2 +b 2 +c 2-a 22c =c ,所以 a cos B+ b cos A=c. (2)解 选①:因为2c -b cosB =a cosA ,所以2c cos A=b cos A+a cos B , 由(1)中所证结论可知,2c cos A=c ,即cos A=1 2. 因为A ∈(0,π),所以A=π 3. 选②:因为c cos A=2b cos A-a cos C ,所以2b cos A=a cos C+c cos A ,
2023年新高考数学二轮专题复习25个高频考点强化训练强化训练13
2023年新高考数学二轮专题复习25个高频考点强化训练强化训练13立体几何——大题备考 第一次作业 1.[2021·新高考Ⅱ卷]在四棱锥Q ABCD中,底面ABCD是正方形,若AD=2,QD=QA=5,QC=3. (1)证明:平面QAD⊥平面ABCD; (2)求二面角B QD A的平面角的余弦值. 2.[2022·新高考Ⅱ卷]如图,PO是三棱锥P ABC的高,P A=PB,AB⊥AC,E为PB 的中点. (1)证明:OE∥平面P AC. (2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,P A=5,求二面角C AE B的正弦值.
3.[2022·新高考Ⅰ卷]如图,直三棱柱ABC A1B1C1的体积为4,△A1BC的面积为22. (1)求A到平面A1BC的距离; (2)设D到A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A BD C的正弦值.
4.[2021·新高考Ⅰ卷]如图,在三棱锥A BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点. (1)证明:OA⊥CD; (2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E BC D的大小为45°,求三棱锥A BCD的体积. 强化训练14立体几何——大题备考 第二次作业 1.[2022·广东深圳二模]如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为正方形,侧面P AD 是正三角形,M是侧棱PD的中点,且AM⊥平面PC D.
(1)求证:平面P AD⊥平面ABCD; (2)求AM与平面PBC所成角的正弦值. 2.[2022·河北唐山二模]如图,△ABC是边长为43的等边三角形,E,F分别为AB,AC的中点,G是△ABC的中心,以EF为折痕把△AEF折起,使点A到达点P的位置,且PG⊥平面AB C. (1)证明:PB⊥AC; (2)求平面PEF与平面PBF所成二面角的正弦值. 3.[2022·山东淄博三模]已知如图,在多面体ABCEF中,AC=BC=2,∠ACB=120°,D 为AB的中点,EF∥CD,EF=1,BF⊥平面AEF.
2023新教材数学高考第二轮专题练习--考点突破练3 三角函数与解三角形
2023新教材数学高考第二轮专题 考点突破练3 三角函数与解三角形 1.(2022·河北石家庄二模)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知b=2,c sin B+C 2 =a sin C. (1)求角A 的大小; (2)请在①sin B=√21 7;②a+c=7两个条件中任选一个,求△ABC 的面积. 2.(2022·全国乙·理17)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin C sin(A-B )=sin B sin(C-A ). (1)证明:2a 2=b 2+c 2; (2)若a=5,cos A=25 31,求△ABC 的周长.
3.(2021·新高考Ⅱ,18)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,b=a+1,c=a+2. (1)若2sin C=3sin A ,求△ABC 的面积. (2)是否存在正整数a ,使得△ABC 为钝角三角形?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由. 4.(2022·广东梅州一模)已知函数f (x )=2sin x cos x-√3cos 2x (x ∈R ). (1)若f (α)=1 2且α∈(5π12,2π 3),求cos 2α的值; (2)记函数f (x )在[π4,π 2]上的最大值为b ,且函数f (x )在[a π,b π](a2023年新高考数学二轮专题复习过关训练考点过关检测3__一元二次不等式
2023年新高考数学二轮专题复习过关训练考点过关检测3__ 一元二次不等式 一、单项选择题 1.[2022·湖北九师联盟]不等式x 2-2x -8≤0的解集为( ) A .{x |-4≤x ≤2} B .{x |-2≤x ≤4} C .{x |x ≥4或x ≤-2} D .{x |x ≥2或x ≤-4} 2.已知不等式x 2-2x -3<0的解集为A ,不等式x 2+x -6<0的解集为B ,不等式x 2 +ax +b <0的解集为A ∩B ,则a +b =( ) A .1 B .0 C .-1 D .-3 3.[2022·广东普师高级中学月考]函数y =log 0.5(4x 2-3x )的定义域为( ) A.⎣⎡⎭⎫-14,0∪⎝⎛⎦⎤3 4,1 B.⎝⎛⎭⎫-14,0∪⎝⎛⎦⎤3 4,1 C.⎣⎡⎭⎫-14,0∪⎝⎛⎭⎫3 4,1 D.⎝⎛⎭⎫-14,0∪⎝⎛⎭ ⎫3 4,1 4.[2022·山东新泰一中月考]若不等式ax 2-x -c >0的解集为⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫ x ⎪ ⎪ -10的解集为{x |-22023年新高考数学二轮专题复习过关训练单元过关检测三 导数及其应用
2023年新高考数学二轮专题复习过关训练单元过关检测三 导数及其应用 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.[2022·江苏灌云一中月考]已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=f ′(2)x 2-3x ,则f (1)的值为( ) A .-2 B .-3 C .2 D .3 2.[2022·广东光明月考]已知函数f (x )=x 2e x -2e x ,若曲线y =f (x )在x =1处的切线与直线2x -ay +3=0垂直,则a =( ) A .-2e B .-2e C.e 2 D .2e 3.设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),若函数f (x )在x =1处取得极大值,则函数y =-xf ′(x )的图象可能是( ) 4.[2022·湖南师大附中月考]已知函数f (x )=x 3+3mx 2+nx +m 2在x =-1处取得极值0,则m +n =( ) A .4 B .11 C .4或11 D .3或9 5.[2022·山东新泰一中月考]若函数f (x )=-x 2+4x +b ln x 在区间(0,+∞)上是减函数,则实数b 的取值范围是( ) A .[-1,+∞) B .(-∞,-1] C .(-∞,-2] D .[-2,+∞) 6.[2022·湖北武汉一中月考]已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足 xf ′(x )b >c B .c >a >b C .b >a >c D .a >c >b 7.若函数f (x )=3x -x 3在区间(a -5,2a +1)上有最小值,则实数a 的取值范围是( ) A .(-1,4] B .(-1,4) C.⎝⎛⎦⎤-1,12 D.⎝⎛⎭⎫-1,12 8.[2022·湖南湘潭月考]已知函数f (x )=e x -ax 2+2ax 有两个极值点,则a 的取值范围是 ( )