数列的差分

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数列的差分

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新课程中的现代数学

--数列与差分

新课程中的现代数学(数列与差分)

§1 数列的差分

§2 一阶线性差分方程

§3 一阶线性差分方程组

§4 差分方程和差分方程组的应用

2.§1 数列的差分

一. 数列的概念

二. 数列差分的概念

三. 差分表的性质

一. 数列的概念

一个数列就是实数的任何(有限或无限的)有序集. 这些数称为数列的项或元素.

用an来表示数列的第n项, 称之为数列的通项.

定义1.1 一个数列是一个函数, 其定义域为全体正整数(有时, 为方便计,

是全体非

负整数集合), 其值域包含在全体实数集中.

数列的表示:

列举法:

数列的表示:

通项法:

数列的表示:

图象法: 序列的项通过标出点(n, an)

图示. 直观, 具有可视化的效果

描述法:

数列的一些例子

假如你开了一个10000元的银行帐户, 银行每月付给2%的利息. 假如你既不

加进存

款也不取钱, 那么每个月后的存款余额就构成一个数列.

兔子出生以后两个月就能生小兔, 若每次不多不少恰好生一对(一雌一雄). 假如养了初生的小兔一对, 则每个月小兔的对数也构成一个数列(假设生下的小兔都不死) 斐波那契(Fibonacci意大利约1170-1250本名Leonardo)1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

二. 数列差分的概念

数列相邻项的差, 称为数列的差分.

定义1.2 对任何数列A = {a1, a2, L}, 其差分算子

D(读作delta)定义如下:

Da1 = a2 - a1,

Da2 = a3 - a2,

Da3 = a4 - a3, L,

一般地, 对任何n有

Dan = an+1 - an,

应用这个算子D, 从原来的数列A构成一个新的数列DA, 从数列DA可得到数列D2A ={D2an}, 这里

D2an = D(Dan) = Dan+1 - Dan

= an+2 - an+1 - an+1 + an

= an+2 - 2an+1 + an,

称之为数列A的二阶差分, 二阶差分D2an的差分D3an称为三阶差分, 二阶及二阶以上的差分称为高阶差分, 而称Dan为一阶差分.

差分的物理和几何意义:

在物理方面, 一阶差分表示物体运动的平均速度, 二阶差分表示平均加速度.

在几何方面, 一阶差分表示数列图形中相邻两点连线的斜率.

例. 外出汽车旅行, 每小时记录下里程表的读数.

设A ={an} ={22322, 22352, 22401, 22456, 22479, 22511},

DA = {Dan} = {30, 49, 55, 23, 32},

例. 假设我们有数列{an} = {3n - 5}, 并考虑由表给出的关于n = 1, 2, 3, L的数列. 我们按函

数值列表, 并考虑相邻项的差.

定理1.1 若c和b为常数且对所有n = 1, 2, 3, L有 an = cn + b,

则: 1. 对所有n, 数列{an}的差分为常数;

2. 当画an关于n的图形时, 这些点都落在一条直线上.

定理1.2 若Dan = c, 其中c是一个与n无关的常数, 则有一个an的线性函数(即存在常数b使 an = cn + b).

例. 对二次多项式数列 ,当时造差分表.

定理1.3 若数列{an}由一个二次多项式定义, 则该数列具有性质: 其二阶差

分为常数, D2an = c.

定理1.4 若数列{an}具有性质: 对一切n有D2an = c, c为一个常数, 则该数列的项遵从二次变化模式, 而且表达其通项的公式是一个二次多项式.

注: 一般地, 由k次多项式定义的数列的k+1阶差分为零, 反之, 若数列{an}的k+1阶差分为零, 则存在一个生成该数列的k次多项式

例考虑数列{an} = {1, 3, 6, 10, 15, 21, L}, 则有

{Dan} = {2, 3, 4, 5, 6, L}

以及

{D2an} = {1, 1, 1, 1, 1, L}.

令 an = An2 + Bn + C,

例求数列{an} = {n2} = {12, 22, 32, 42, 52, 62, L}前n项和Sn, 即n

个正整数平方和. 由于

{DSn}={(n+1)2}={22, 32, 42, 52, L},{D2Sn} ={2n+3} = {5, 7, 9, 11, L} 以及

{D3Sn} = {2, 2, 2, 2, L}

令 Sn = An3 + Bn2 + Cn + D.

由S1 = 1, S2 = 5, S3 = 14, S4 = 30得

A +

B +

C +

D =1,

8A +4B + 2C + D =5(23 A +22 B +2C + D =5),

27A + 9B + 3C + D =14(33A + 32B + 3C + D =14),

64A + 16B+ 4C + D =30(43A + 42 B+ 4C + D =30),

解关于A, B, C和D的方程组可得

A = 1/3,

B = 1/2,

C = 1/6,

D = 0,

则

三. 差分表的性质和应用

定义1.3 数列A = {an}在第k项处是增的, 若 ak < ak+1(或用算子记号, Dak 0).数列A在第k项处是减的, 若ak ak+1(或Dak 0).数列A在第k项处达到相对极大, 若ak ak+1而ak ? ak-1(或用算子记号, Dak-1 ? 0而Dak 0).数列A在第k项处达到相对极小, 若ak ak+1而ak ? ak-1(或Dak-1 ? 0而Dak 0).

数列A在第k项处上凹, 若Dak Dak-1(或用二阶差分的算子记号, D2ak-1 0).数列A在第k项处下凹, 若Dak Dak-1(或D2ak-1 0).注意: 在k-1处的二阶差分决定了k项处的凹性. 决定凹性的另一种看法是: 当一阶差分增加时数列上凹, 而当一阶差分减小时数列下凹.

定义1.4 数列A在第k项处有一个拐点, 倘若D2ak和D2ak-1有不同的正负号.

例讨论数列 {n2 - 4n + 3}的性质构造an = n2 - 4n + 3的前7个数列值的差分表, 并用该表确定数列在何处增加、减少, 达到相对极大或极小, 上凹、下凹以及是否有拐点.

一. 差分方程的基本概念

二. 齐次线性差分方程的解析解

定义2.1 差分方程是一种方程, 该方程表明数列中的任意项如何用前一项或

几项来算.初始条件是该数列的第一项. 出现在差分方程中的项的最大下标减去最

小下标得到的数称为差分方程的阶.

定义2.2 如果差分方程中包含数列变量(即包含an)的项不包含数列变量的乘积, 不包含数列变量的幂, 也不包含数列变量的诸如指数, 对数或三角函数在内的函数, 那么我们称该差分方程是线性的. 否则差分方程就是非线性的. 注意这种限制只适用于包含数列变量的项, 而不能用于不包含数列变量的其它项.

线性的

非线性的

定义2.3 线性差分方程称为齐次的, 如果它只包含数列变量的项.如果略掉

非齐次方程中不包含数列变量的项, 就得到一个齐次方程, 称之为与原方程相应的齐次方程.

齐次的

对于差分方程的研究主要是差分方程的求解(当可以求解的时候)以及讨论解的性质. 能够给出解析解的差分方程是为数很少的一部分, 大多数差分方程是不能给出解析解的, 此时, 只能对其解的性质给出一定的讨论, 讨论解的性质(解的变化趋势, 是周期的还是非周期的或混沌的)有两种方法: 一是数值计算方法, 二是定性或定性定量结合的方法.

§2 一阶线性差分方程

差分方程的解具有不同的形式: 数值, 图形, 公式

定义2.4 数值解是从一个或多个初值出发迭代差分方程得到的一张数值表.

例如, 在银行帐户上以7%的利息积累起来的钱数是由差分方程 an+1 = an + 0.07an

来确定, 其中an表示n个月后银行中的存款数.

定义2.5 差分方程的一个解析解是一个函数, 当把它代入差分方程时就得到一个恒等式, 而且还满足任何给定的初始条件.

差分方程 an+1 = an + 0.07an

若把函数ak = (0.07)kc, 其中c为任意常数, 代入差

分方程就得到一个恒等式:

定义2.6 差分方程的一个通解是一个函数, 当代入特定值后就得到相应于不同初值的特解.

ak = (0.07)kc称为差分方程an+1 = an + 0.07an的通解, 因为代入c的特定值就给出与不同的初值a0相应的特解.

数值解与解析解的比较: 在求银行模型的数值解时只需要一个差分方程和一个初值. 这是数值解的一个强有力的性质—求数值解时无须要求差分方程具有特殊的性质. 只要从一个或多个初值开始进行迭代计算就行了. 另一方面, 因为没有第k 项的一个一般的公式, 每一项必须从前一项或几项算得. 从一个数值解来预测解的长期性态可能是困难的.

解析解给出了一个我们可以直接计算数列中任何特定项的函数. 解析解的另一个优点

是, 当我们求得一个解析解时, 通常也同时得到了通解. 相比之下, 用迭代计算求得的解只从属于某个初始条件.

二. 齐次线性差分方程的解析解

定理2.1 一阶线性差分方程an+1 = ran + b的解为

若r ? 1. an = bn + c, 若r = 1.

§3 (二元)一阶线性差分方程组

由两个或多于两个的差分方程构成的方程组称为差分方程组. 在差分方程组中, 单个差分方程的阶数的最大数称为差分方程组的阶数.

§4 差分方程和差分方程组的应用

差分方程模型是实际应用中常见的一种数学模型. 用差分方程模型解决实际问题如同别的数学模型一样, 大致需经过三个步骤.

第一步: 设定好实际问题中的未知函数, 按照已知的相关领域中的物理, 力学, 化学, 生物, 经济等学科的规律用于建立相邻的自变量值(一般就是相邻时间)的未知函数取值间的依赖关系, 建立差分方程模型.

第二步: 对上述建立的差分方程模型, 若能直接求解的则求出其解, 若不能直接求解的或直接求解比较困难的, 则用定性的方法讨论其解的变化趋势及性质.

第三步: 将数学讨论得到的结果与实际情形加以对照, 然后给实际问题一个满意的答复.

例4.1 建立并讨论经济学中的蛛网模型.在分析市场经济中农产品的价格和产

量之间的关系中常常要用到如下的规律: 本期产量(或市场供给量)决定本期价格, 而本期价格决定下期产量. 为了建立相关的数学模型, 可以假设P表示价格, Q表

示产量, D表示需求函数, S表示供给函数, 时间n表示第n期. 那么Pn表示第n

期的价格, Qn表示第n期的产量. 把上述所的规律用数学式子写出来, 即为

将上述两式合并, 得

(4.1)式就是关于Pn为未知函数的差分方程. 下面给出简单情形下的差分方程(4.1). 把市场济中的市场供给量、价格、市场需求量之间的规律归结为下面的三条:

市场供给量对价格变动的反应是滞后的, 即第n期的供给量取决于第n-1期

的价格Pn-1,

而这种相依关系简单地取为

即相依关系是线性的正比例关系, 而价格不能太小，至少，从而

市场需求量对价格变动的反应是瞬时的, 即第n期的市场需求量取决于本期的价格Pn,

类似地这种相依关系简单地取为

即相依关系是线性的, 价格Pn减少, 市场需求量增加, 价格不能太高, 至少

从而

市场平衡条件为市场清销, 供需相等, 即

把(4.2)式和(4.3)式代入(4.4)式得

方程(4.5)就是该问题的差分方程模型, 它是一个一阶常系数线性差分方程.

易知方程(4.5)对应的齐次方程的通解为

方程(4.5)的特解为

因此方程(4.5)的通解为

其中A是任意常数.

用求得则

用(4.6)来讨论方程(4.5)的解的性质:

情形1. 当b d, 若t?+(, 则Pn收敛于P*, 这时称P*为均衡价格;

情形2. 当b = d时, P0, P1, P2, L, Pn, L在均衡价格P*,两旁作周期振荡;

情形3. 当b d时, 若t?+(, 则Pn越来越远离均衡价格发散振荡.

a2 = 130.68, b2 = 139.22,

a7 = 142, b7 = 128,

a14 = 146, b14 = 126,

a30 = 147, b30 = 123,

二阶线性差分方程

对应的齐次方程为

将tn代入(2), 得t满足下列一元二次方程:

情形1. a2 - 4b 0. 此时方程(3)有两个实根t1, t2. 而方程(2)的通解为其中C1和C2是任意常数.

情形2. a2 - 4b = 0. 此时方程(3)仅有一个实根t1. 而方程(2)的通解为其中A和B是任意常数.

情形3. a2 - 4b 0. 此时方程(3)有一对共轭复根

改写为

方程(2)的通解为

其中A和B是任意常数

求(1)的一个特解, 设a* = C, 将其代入方程(1)得

求斐波那契数列的一般项. 比内公式

设第n个月有兔子an对, 则

这是一个二阶齐次差分方程. 求解代数方程

得两个实根

则得

其中A和B是任意常数

等比数列的前n项和.

设数列{an}为以r(r?1)为公比的等比数列, 首项a1 = a, 用Sn记该数列的前

n项和, 则

这是一个二阶齐次差分方程. 求解代数方程

得两个实根

则得

其中A和B是任意常数.

等比数列的前n项和.

由于S1 = a1 = a, S2 = a1 + a2 = a(1 + r), 则

解以上关于A和B的方程组可得

则

植物叶序中的斐氏数列

开卜勒研究了“叶序”问题, 即植物生长过程中叶花果在茎上的排列顺序问题, 其结论中也出现了与斐氏数列有关的数字.

植物的叶子在茎上的排列, 对同一种植物来说是有一定规律的, 若把位于茎周同一母线位置的两片叶子叫做一个周期的话, 那么

将是一些特定的数, 它只是随植物品种不同而不同.

自然界中的斐氏数列

榆树: 山毛榉: 樱桃:

梨树柳树:

树枝生长

波兰数学家史坦因豪斯在其名著《数学万花筒》中有这样一个问题:

一棵树一年后长出一条新枝; 新枝隔一年后成为老枝, 老枝便可每年长出一条新枝. 如此下去, 十年后树枝将有多少?这个问题只是斐波那契数列问题的变化而已, 即树枝的繁衍方式是按照斐波那契数列增加的.

蜜蜂进蜂房问题

一只蜜蜂从蜂房A出发, 想爬到1, 2, 3, L, n号蜂房, 但只允许它自左向右(不许反向倒走), 那么它爬到各号蜂房的路线数也恰好构成一个斐波那契数列.

斐氏数列通项的表达式

组合数和的形式

斐氏数列与数学游戏

把一个边长为8的正方形按图(1)方式剪裁, 然后拼成图(2)的矩形, 拼后你会发现:

原来正方形面积为: 64

矩形面积是: 65

注意到正方形和矩形边长数字 5, 8, 13恰好是斐氏数列中相邻的三项, 斐氏数列有性质:

若按照上面的办法把正方形剪拼成矩形(要求面积不变), 应当如何剪裁?

数列的差分

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新课程中的现代数学 --数列与差分 新课程中的现代数学(数列与差分) §1 数列的差分 §2 一阶线性差分方程 §3 一阶线性差分方程组 §4 差分方程和差分方程组的应用 2.§1 数列的差分 一. 数列的概念 二. 数列差分的概念 三. 差分表的性质 一. 数列的概念 一个数列就是实数的任何(有限或无限的)有序集. 这些数称为数列的项或元素. 用an来表示数列的第n项, 称之为数列的通项. 定义1.1 一个数列是一个函数, 其定义域为全体正整数(有时, 为方便计, 是全体非 负整数集合), 其值域包含在全体实数集中. 数列的表示: 列举法: 数列的表示: 通项法: 数列的表示: 图象法: 序列的项通过标出点(n, an)

图示. 直观, 具有可视化的效果 描述法: 数列的一些例子 假如你开了一个10000元的银行帐户, 银行每月付给2%的利息. 假如你既不 加进存 款也不取钱, 那么每个月后的存款余额就构成一个数列. 兔子出生以后两个月就能生小兔, 若每次不多不少恰好生一对(一雌一雄). 假如养了初生的小兔一对, 则每个月小兔的对数也构成一个数列(假设生下的小兔都不死) 斐波那契(Fibonacci意大利约1170-1250本名Leonardo)1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … 二. 数列差分的概念 数列相邻项的差, 称为数列的差分. 定义1.2 对任何数列A = {a1, a2, L}, 其差分算子 D(读作delta)定义如下: Da1 = a2 - a1, Da2 = a3 - a2, Da3 = a4 - a3, L, 一般地, 对任何n有 Dan = an+1 - an, 应用这个算子D, 从原来的数列A构成一个新的数列DA, 从数列DA可得到数列D2A ={D2an}, 这里 D2an = D(Dan) = Dan+1 - Dan = an+2 - an+1 - an+1 + an = an+2 - 2an+1 + an,

数学找规律技巧和方法

数学找规律技巧和方法 以数学找规律技巧和方法为题，我们来探讨一下数学中寻找规律的一些常用技巧和方法。 一、观察法 观察法是最基本的方法之一。通过观察数列中的数字或图形的特点，找出其中的规律。例如，观察以下数列： 1, 4, 9, 16, 25, … 我们可以观察到这个数列是由每个数字的平方组成的，即第n个数字是n的平方。这种方法适用于寻找数字规律或图形规律。 二、递推法 递推法是指通过已知的一些数值，推导出后面的数值。这种方法常用于数列或数学问题中。例如，观察以下数列： 1, 3, 6, 10, 15, … 我们可以观察到每个数字是前一个数字加上当前的位置。即第n个数字是前n-1个数字之和加1。这种方法适用于寻找数列中的数字规律。 三、代数法 代数法是通过建立代数表达式或方程来寻找规律。例如，观察以下数列： 2, 4, 8, 16, 32, …

我们可以观察到每个数字都是前一个数字乘以2。即第n个数字是2的n-1次方。这种方法适用于寻找数列中的数字规律。 四、差分法 差分法是通过对数列中的数字进行差分运算，寻找数字之间的规律。例如，观察以下数列： 1, 4, 9, 16, 25, … 我们可以观察到每个数字之间的差值是递增的，即1, 3, 5, 7, …。这种方法适用于寻找数字之间的规律。 五、数形结合法 数形结合法是将数学问题中的数字和几何图形结合在一起，通过观察图形的形状和属性，寻找规律。例如，观察以下图形： □, ■, ▲, ●, ☆, … 我们可以观察到每个图形的边数和顶点数是依次递增的。即第n个图形有n个边和n个顶点。这种方法适用于寻找图形规律。 六、归纳法 归纳法是通过已知的一些例子，总结出规律。例如，观察以下数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … 我们可以观察到每个数字是前两个数字之和。即第n个数字是前两个数字之和。这种方法适用于寻找数列中的数字规律。 七、逆向思维法

等差数列四种证明方法

等差数列四种证明方法 一、等差数列的定义 等差数列是指数列中任意两个相邻项之间的差值都相等的数列。设等差数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。其中，n表示数列中的第n项。 二、等差数列的证明方法 1. 数学归纳法证明等差数列的通项公式 数学归纳法是一种常用的证明方法，可以用来证明等差数列的通项公式。首先，我们假设当n=k时，等差数列的通项公式成立，即an = a1 + (k-1)d。然后，我们来证明当n=k+1时，等差数列的通项公式也成立。根据等差数列的定义，an+1 = a1 + (n+1-1)d = a1 + nd + d = (a1 + (k-1)d) + d = a1 + kd。因此，当n=k+1时，等差数列的通项公式也成立。根据数学归纳法的原理，等差数列的通项公式对于任意正整数n都成立。 2. 等差数列的差分证明 差分是一种数列分析的方法，可以用来证明等差数列的通项公式。我们将等差数列an的相邻两项相减，得到差分数列bn = an+1 - an = (a1 + nd + d) - (a1 + (n-1)d) = d。可以看出，差分数列bn 是一个常数数列，且等于等差数列的公差d。根据差分的性质，我

们可以反推回等差数列的通项公式。设差分数列的首项为b1，公差为d，则差分数列的通项公式为bn = b1 + (n-1)d。将bn带入等差数列的差分公式，得到an+1 - an = b1 + (n-1)d。整理得到an+1 = an + (b1 + (n-1)d) = a1 + nd + d，即等差数列的通项公式。因此，通过差分可以证明等差数列的通项公式。 3. 等差数列的前n项和证明 等差数列的前n项和可以用来证明等差数列的通项公式。设等差数列的前n项和为Sn，根据等差数列的定义，Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + (n-1)d)。将Sn的每一项按照等差数列的通项公式展开，得到Sn = na1 + d(1 + 2 + ... + (n-1))。根据等差数列的求和公式，1 + 2 + ... + (n-1) = n(n-1)/2，代入Sn的表达式，得到Sn = na1 + d(n(n-1)/2)。进一步整理，得到Sn = n(a1 + a1 + (n-1)d)/2 = n(a1 + an)/2。因此，等差数列的前n项和可以表示为Sn = n(a1 + an)/2。通过等差数列的前n项和，我们可以反推回等差数列的通项公式。 4. 等差数列的几何证明 等差数列的几何证明是一种直观的证明方法。我们可以将等差数列的项表示为等差数列的首项和公差的函数，然后通过几何图形来直观地理解等差数列的性质。假设等差数列的首项为a1，公差为d，我们可以将等差数列的第n项an表示为an = a1 + (n-1)d。在坐

高考数学中的差分方程及相关概念

高考数学中的差分方程及相关概念在高中数学中，我们学习了许多数学知识，其中差分方程是一 个比较重要的概念，在高考中也经常出现。那么差分方程是什么？有什么用处呢？ 一、什么是差分方程 差分方程，也叫离散微积分方程，是指用有限差分代替导数的 微分方程，其本质是一种递推式。差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n], y[n-1], ... , y[n-k])，其中y[n]是第n个离散点的函数值，y[n-k]是第n-k个离散点的函数值。 差分方程是一种离散的动态系统，可以用来描述各种离散事件 的演化。它广泛应用于数学、物理、工程、经济等领域中各种动 态系统的建模与分析。 二、差分方程的分类 根据差分方程的阶数及系数对n的依赖关系，差分方程可以分 为以下几类：

1.一阶线性差分方程 一阶线性差分方程的一般形式为y[n+1] = ay[n] + b，其中a和b 是常数。这种差分方程的解可以用递推公式y[n] = ay[n-1] + b求得。 2.二阶线性差分方程 二阶线性差分方程的一般形式为y[n+2] + ay[n+1] + by[n] = f[n]，其中a、b是常数，f[n]是已知函数。这种差分方程的解可以用特 征根法或借助于已知解求得通解。 3.非线性差分方程 非线性差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n])，其中f(y[n])是 非线性函数。这种差分方程的解一般需要运用迭代法或数值解法 求解。 三、差分方程的应用

差分方程是一种用来描述具有离散状态的系统演化的工具，它 在许多领域中都有着广泛的应用，例如： 1.物理学 差分方程在物理学中应用广泛，例如：在天体物理学中，用差 分方程描述行星运动的轨迹、研究宇宙星系的演化等；在量子力 学中，用差分方程描述粒子的运动状态等。 2.经济学 差分方程在经济学中也有着广泛的应用，例如：在货币政策分 析中，用差分方程描述货币供应量、利率与物价水平等的变化； 在经济增长模型中，用差分方程描述经济增长的变化趋势等。 3.生物学 差分方程在生物学中也有着广泛的应用，例如：在生态系统中，用差分方程描述种群数量和物种竞争的变化趋势和关系；在癌细 胞生长模型中，用差分方程描述肿瘤的生长和扩散趋势等。

由数列的递推公式求数列的通项公式的几种常用方法

由数列的递推公式的求数列的通项公式几种常用方法 (宁波市北仑中学 竺君祥 315800) 已知递推数列求其数列通项公式，是一类常见的问题，也是教学中的一个难点.本文介绍几种运用数列的递推关系求数列通项公式的几种常用方法. 一． 迭加法 可化为型如)(1n f a a n n =-+的递推数列，用迭加法求其通项公式.且通项公式为 ∑-=+=1 1 1)(n k n k f a a 证明： 例1： 已知数列}{n a ,其中11=a ，521 ++=+n a a n n ，求它的通项公式. 解：由已知得521+=-+n a a n n ， 则51212+⨯=-a a ，52223+⨯=-a a ，53234+⨯=-a a ……5)1(21+-⨯=--n a a n n ，将以上)1(-n 个式子相加，得 )1(5)]1(321[21-+-++++⨯=-n n a a n ,故55)1(1-+-=-n n n a a n ,于是5421-++=n n a a n ,又11=a 即442-+=n n a n . 二． 叠乘法 可化为型如)(1n f a a n n =+的递推数列，用叠乘法求其通项公式. 例2： 已知数列}{n a ,其中11 =a ，n n n a a 51=+，求它的通项公式. 解：由已知得n n n a a 51=+,则512=a a ，2235=a a ，3345=a a ，……,11 5--=n n n a a , 将以上)1(-n 个式子相乘，得2)1()1(3211 55--+++==n n n n a a ，又11=a ,故2)1(5-=n n n a . 三：差分法 可化为型如)()(1n g a k f n k k =∑=的递推数列，用差分法求其通项公式.

求递推数列通项公式的常用方法归纳

求递推数列通项公式的常用方法归纳递推数列通项公式指的是通过递推关系式来得到数列的通项表达式，也就是可以直接通过给定的项数n来计算数列的第n项的关系式。在数学中，常用的方法和技巧有很多，下面将要介绍其中五种常用的归纳方法。 一、差分法 差分法是一种常见的递推数列通项公式求解方法。其思想是通过对数列做差分，找到一个差分数列，然后通过观察差分数列的规律，来得到数列的通项公式。具体步骤为： 1.对原数列进行差分运算，得到一个新的差分数列； 2.观察新的差分数列的规律，尝试找到一个与原数列关联的递推关系式； 3.根据递推关系式，推导出数列的通项公式。 二、代数法 代数法是一种基于代数运算的递推数列通项公式求解方法。其思想是通过对已知的数列进行代数运算，得到与数列通项相关的方程式，然后解方程得到通项公式。具体步骤为： 1.假设数列的通项公式为f(n)，其中n表示项数； 2.对已知的数列进行代数运算，得到一系列数学表达式； 3.将得到的数学表达式与f(n)相等，并进行整理，得到一个与f(n)相关的方程式； 4.解方程式得到通项公式f(n)。

三、递推法 递推法是一种常见的递推数列通项公式求解方法。其思想是通过将数 列的前一项与后一项之间的关系抽象为一个递推公式，然后解递推公式得 到通项公式。具体步骤为： 1.根据数列的前一项与后一项之间的规律，将关系抽象为一个递推公式，形如f(n+1)=f(n)+a； 2.解递推公式，推导出数列的通项公式f(n)。 四、特征根法（线性递推数列） 特征根法主要用于解线性递推数列的通项公式。其思想是通过求解递 推公式的特征方程，找到特征根，并利用特征根求解递推数列的通项公式。具体步骤为： 1.将递推数列表示为递推公式，形如f(n+1)=a*f(n)+b*f(n-1)； 2.假设递推数列的通项公式为f(n)=x^n； 3.将假设的通项公式代入递推公式中，得到一个关于x的方程； 4.解方程得到x的值，然后代入假设的通项公式中，得到递推数列的 通项公式f(n)。 五、生成函数法 生成函数法是一种较为复杂的递推数列通项公式求解方法。其基本思 想是通过引入一个多项式函数，将数列的前一项与后一项之间的关系表达 为生成函数的形式，然后利用生成函数的性质来求解数列的通项公式。

数列的差分

数列的差分 差分是数列中相邻项之间的差值。通过差分，我们可以找到数列的规律，揭示出隐藏在数列背后的规律和特性。同时，差分也可以用来解决一些实际问题，如物理学中的速度和加速度等。 首先，我们来介绍差分的定义和原理。设数列为{a1, a2, a3, ... , an}，差分数列为{d1, d2, d3, ... , dn-1}，其中di = ai+1 - ai。差分数列的长度比原数列少1。通过不断进行差分，我们可以得到差分数列的差分数列，直到差分数列的所有项相等或趋于0。 对于一个等差数列来说，其差分数列是一个常数数列。例如，数列{1, 4, 7, 10, 13, 16}的差分数列为{3, 3, 3, 3, 3}，其中每一项都是3。这表明原数列的公差为3。 对于一个等比数列来说，其差分数列是一个等差数列。例如，数列{2, 6, 18, 54, 162}的差分数列为{4, 12, 36, 108}，差分数列的差分数列为{8, 24, 72}，差分数列的差分数列为{16, 48}，差分数列的差分数列的差分数列为{32}。这表明原数列的公比为2。

差分不仅仅可以应用于等差数列和等比数列，也可以应用于其他 类型的数列。通过观察差分数列的规律，我们可以推断出原数列的规律。例如，若差分数列是一个多项式数列，我们可以根据差分数列的 差分数列的差的规律推断出原数列是一个多项式数列。 差分在解决实际问题时也有广泛应用。例如，平均速度和瞬时速 度之间的关系就可以通过差分来解释。设x(t)表示某物体在时间t时 刻的位置，通过对x(t)进行差分，我们可以得到物体在时间t到 t+Δt时间段内的位移Δx = x(t+Δt) - x(t)，而该时间段内的平均 速度可以表示为v = Δx/Δt。通过取Δt趋于0的极限，即可得到瞬时速度v(t) = dx(t)/dt，即位移对时间的导数。 除了速度，加速度也可以通过差分来表示。加速度是速度对时间 的导数，即a(t) = dv(t)/dt。类似地，我们可以通过对速度差分来获得加速度的近似值。通过多次差分，我们可以获得更精确的加速度近 似值。 差分还可以在数值计算中起到重要的作用。通过对数列进行差分，可以减少数值计算中的复杂性。例如，对于一些需要计算累加和的问

数列知识点归纳总结

数列知识点归纳总结 数列是数学中的重要分支，它已经在现今的各种数学问题中发挥了至关重要的作用。在数列的研究中，数学家们探索了数列的发展历程，总结出了所有关于数列的相关知识点，并且发现了数列规律，提出了许多有趣的数列定理。本文将从以下几个方面归纳总结数列知识点：一、数列的定义；二、数列的基本形式；三、数列的特殊形式； 四、数列的操作；五、数列的性质；六、数列的不等式；七、数列的收敛性；八、等比数列的求和、倍增率和因子；九、数列的几何图形； 十、数列的函数。 一、数列的定义 数列定义是指一系列数的有序排列，其中每一项都是由前面几项递推而得到的，例如，数列{1，2，3，4，5}中，从第2项（2）开始，每一项都是前一项（1）和2相加而得到的。 二、数列的基本形式 数列的基本形式分为三类：等差数列、等比数列和偶函数数列。 1、等差数列 等差数列是由相同的差值（即公差）来定义的数列，如{1、3、5、7、9}，其中2就是公差。 2、等比数列 等比数列是由相同的比值（即公比）来定义的数列，如{2、4、8、16、32}，其中2就是公比。 3、偶函数数列

偶函数数列是指数列中每一项都是一个偶函数的函数值，如{1、 3、5、7、9}，其中每一项都是y=2x+1的函数值。 三、数列的特殊形式 数列的特殊形式有若干种，其中最常见的有三角形数列、杨辉三角形数列、斐波那契数列、欧拉数列和Fibonacci数列等。 1、三角形数列 三角形数列是以三角形元素对应的数字构成的数列，如 1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91。 2、杨辉三角形数列 杨辉三角形数列是一种常见的数列，它由很多正三角形构成，其数字从左上角到右下角数字依次变大，如： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 3、斐波那契数列 斐波那契数列是以兔子的存活数量为依据推算出来的数列，其元素均为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，……。 4、欧拉数列 欧拉数列是由欧拉发现的一种等差数列，其由2个变量组成：它

(完整版)等差数列的求和公式总结

(完整版)等差数列的求和公式总结 概述 等差数列是数学中常见的数列类型之一。求和公式是用于计算等差数列各项之和的公式。本文将总结一些常用的等差数列求和公式。 等差数列 等差数列是一系列数按照相等的差值递增或递减的数列。通常表示为：a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... 其中，a为序列的第一项，d为公差（即相邻两项之间的差值）。 等差数列求和公式 公式1：求和公式 等差数列的求和公式为： Sn = n * (a + l) / 2

其中，Sn表示等差数列的和，n表示等差数列的项数，a表示第一项，l表示最后一项。 公式2：前n项和公式 等差数列前n项和的公式为： Sn = (n / 2) * (2a + (n - 1) * d) 其中，Sn表示等差数列的和，n表示等差数列的项数，a表示第一项，d表示公差。 公式3：差分法求和公式 等差数列的差分法求和公式为： Sn = (n - 1) * (a + l) / 2 其中，Sn表示等差数列的和，n表示等差数列的项数，a表示第一项，l表示最后一项。 示例 以等差数列1, 4, 7, 10为例，利用上述公式计算其和： - 公式1：Sn = 4 * (1 + 10) / 2 = 28

- 公式2：Sn = (4 / 2) * (2 * 1 + (4 - 1) * 3) = 28 - 公式3：Sn = (4 - 1) * (1 + 10) / 2 = 28 可以看到，三个公式得到的结果均为28，验证了公式的正确性。 总结 等差数列的求和公式为Sn = n * (a + l) / 2，前n项和公式为Sn = (n / 2) * (2a + (n - 1) * d)，差分法求和公式为Sn = (n - 1) * (a + l) / 2。这些公式可以帮助我们快速计算等差数列的各项之和。

求数列递推表达式常用的八种方法

求数列递推表达式常用的八种方法 1. 通项公式法（Explicit Formula Method） 通项公式法是一种使用列中已知项的数值来构建一个递推表达 式的方法。根据数列的性质和规律，可以通过观察和找到一个数学 模型来表示数列的通项公式。该公式可以直接给出任意项的值，无 需依赖于前面的项。 2. 递推关系法（Recurrence Relation Method） 递推关系法是通过关系式来定义后一项与前面一项之间的关系。可以根据已知项之间的关系来构建递推关系，从而求得数列的递推 表达式。递推关系可以是线性或非线性的，具体要根据数列的性质 来确定。 3. 线性代数法（Linear Algebra Method）

线性代数法是将数列看作一个向量，通过矩阵运算来求得数列 的递推表达式。可以利用矩阵的特征值和特征向量等性质来求解。 这种方法适用于一些特殊的线性数列，但对于非线性数列则不适用。 4. 拟合法（Curve Fitting Method） 拟合法是通过数学函数来逼近数列的变化趋势，从而得到递推 表达式。可以选择不同的函数模型，如多项式、指数函数、对数函 数等，并使用最小二乘法来拟合数列的数据点。这种方法适用于不 规律和随机的数列。 5. 差分法（Difference Method） 差分法是通过数列中相邻项之间的差值来构建递推表达式。可 以通过一次差分、二次差分等方法来获得递推关系，进而求解数列 的递推表达式。这种方法适用于差分规律明显的数列。 6. 特殊性质法（Special Property Method）

特殊性质法是根据数列的特殊性质来求解递推表达式。可以利 用数列的对称性、周期性、递增性、递减性等特点来构建递推关系。该方法需要对数列的性质特别敏感，适用性较为有限。 7. 生成函数法（Generating Function Method） 生成函数法是将数列看作一个形式幂级数，通过对生成函数进 行操作来求解递推表达式。可以利用生成函数的性质和运算法则来 求得数列的递推关系，进而得到递推表达式。这种方法适用于较为 规则的数列。 8. 递归法（Recursive Method） 递归法是将数列的求解递归地定义为前面若干项的求解。通过 编写递归函数来实现数列的递归求解，进而得到递推表达式。这种 方法适用于递归结构明显的数列。 以上为求数列递推表达式常用的八种方法，每种方法都有其适 用的情况和限制条件。在实际应用中，要根据数列的性质和已知条 件选择适合的方法，并进行合理的推导和验证。

等差数列等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法

等差数列等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法数列是数学中重要的概念之一，是由一系列按照特定规律排列的数所 组成的序列。其中，等差数列和等比数列是最常见且最重要的两种数列。 本文将介绍等差数列和等比数列的相关性质和公式，以及数列的求和方法。 一、等差数列 等差数列是指数列中的任意两个相邻的项之差都相等的数列。常见的 等差数列通常以"a"开头，公差为"d"。以"an"表示等差数列的第n项，其 通项公式为： an = a + (n - 1)d 其中，a为首项，d为公差，n为项数。 等差数列的性质和公式有： 1.任意连续三个项可以构成一个等差中项数列，中项数等于项数减一 2.等差数列的前n项和公式为： Sn=(2a+(n-1)d)*n/2 其中，Sn为前n项和。 二、等比数列 等比数列是指数列中的任意两个相邻的项之比都相等的数列。常见的 等比数列通常以"a"开头，公比为"r"。以"an"表示等比数列的第n项，其 通项公式为： an = a * r^(n - 1)

其中，a为首项，r为公比，n为项数。 等比数列的性质和公式有： 1.任意连续三个项可以构成一个等比中项数列，中项数等于项数减一 2.等比数列的前n项和公式为： Sn=a*(r^n-1)/(r-1) 其中，Sn为前n项和。 数列的求和是指计算数列中一定项数的所有项的和。常见的数列求和方法有以下几种： 1.直接相加法：即将数列中的每一项相加得到和。适用于项数较少、数值较小的数列。 2.通项法：利用数列的通项公式计算出每一项的值，再将这些值相加得到和。适用于项数较多的数列。 3.分组求和法：将数列分成若干组，然后计算每组的和，最后将每组的和相加得到总和。适用于数列中存在规律性的分组。 4.差分法：对等差数列求和，可以通过差分法简化计算。差分法是指利用等差数列的性质，将数列的求和问题转化为差分的求和问题。 五、总结 等差数列和等比数列是数学中常见的数列类型，它们有着明确的公式和性质，可以方便地进行计算。数列的求和方法有多种，选择合适的方法可以提高计算的效率。掌握了数列的相关性质、公式和求和方法，不仅可以对数列问题有更深入的理解，也可以在解题过程中更加得心应手。

等差数列证明方法

等差数列证明方法 等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。常见的等差数列的通项公式为an=a1 + (n-1)d，其中a1为首项，n为项数，d 为公差。 等差数列的证明方法有很多，下面我们将介绍三种常用的证明方法。 一、数学归纳法证明 数学归纳法是证明数学命题的一种常见方法。证明等差数列的通项公式可以使用数学归纳法。 首先，假设数列的首项是a1，公差是d，项数是n。 1.基础情形 当n=1时，数列的首项就是a1，显然成立。 2.归纳假设 假设当n=k时，数列的通项公式成立，即ak=a1 + (k-1)d。 3.归纳证明 当n=k+1时，数列的通项公式是否成立？ 根据等差数列的定义，ak+1=ak + d。 代入归纳假设可得ak+1=a1 + (k-1)d + d=a1 + kd。 所以，数列的通项公式对于n=k+1也成立。 根据数学归纳法原理，数列的通项公式对于任意正整数n都成立。

二、等差数列求和公式证明 等差数列的求和公式是数列前n项和Sn=n/2(a1+an)，其中Sn为数列的前n项和，a1为首项，an为末项，n为项数。 我们可以通过等差数列的求和公式来证明等差数列的通项公式。 首先，根据求和公式可得Sn=n/2(a1+an)。 又an=a1 + (n-1)d，代入求和公式可以得到Sn=n/2(a1+a1+(n- 1)d)=n/2(2a1+(n-1)d)=n(a1+(n-1)d)/2 所以，Sn=n(a1+(n-1)d)/2，即等差数列的求和公式。 再根据逆向思维，将等差数列的通项公式代入求和公式进行计算也可以得到相同的结果。 三、差分公式证明 差分公式是指等差数列的n项与n-1项之差等于常数d。 可以使用差分公式来证明等差数列的通项公式。 设等差数列的n项为an，n-1项为an-1 根据差分公式可得an-an-1=d。 即a1+(n-1)d-(a1+(n-2)d)=d。 整理得a1+d(n-1)-a1-(n-2)d=d。 化简得d(n-1-d)=d。 再整理得n-1=d。 所以，等差数列的项数n-1等于公差d。

数列求通项公式方法总结

数列求通项公式方法总结 数列是数学中一个重要的概念，是指按照一定的规律依次排列的数的集合。求数列的通项公式是数学中常见的一个问题，解决这个问题有多种方法，下面将对其中常用的几种方法进行总结。 一、等差数列的通项公式 等差数列是指数列中的每个数与它的前一个数之间的差值都是一个常数d。求等差数列的通项公式有两种常用的方法。 1. 首项和公差法：设等差数列的首项为a1，公差为d，那么第n项的值可以表示为an = a1 + (n-1)d。 2. 前后两项法：设等差数列的第n项为an，第(n-1)项为an-1，那么第n项的值可以表示为an = an-1 + d。 二、等比数列的通项公式 等比数列是指数列中的每个数与它的前一个数之间的比值都是一个常数q。求等比数列的通项公式有两种常用的方法。 1. 首项和公比法：设等比数列的首项为a1，公比为q，那么第n项的值可以表示为an = a1 * q^(n-1)。 2. 前后两项法：设等比数列的第n项为an，第(n-1)项为an-1，那么第n项的值可以表示为an = an-1 * q。 三、斐波那契数列的通项公式

斐波那契数列是指数列中的每个数都是它前两个数之和。求斐波那契数列的通项公式有两种常用的方法。 1. 递归定义法：设斐波那契数列的第n项为an，那么第n项的值可以表示为an = F(n-1) + F(n-2)，其中F(n)表示第n个斐波那契数。 2. 矩阵法：可以用矩阵的幂等性来求解斐波那契数列的通项公式。设矩阵A = [[1, 1], [1, 0]]，那么第n项的值可以表示为an = (A^(n-1))[0][0]。 四、其他方法 除了上述的常用方法外，还有一些其他方法可以用来求解数列的通项公式。 1. 等差数列的差分法：对等差数列进行差分可以得到一个等差数列，然后求解该等差数列的通项公式，再通过求和得到原等差数列的通项公式。 2. 递推法：通过观察数列的规律，找到数列中相邻项之间的递推关系，然后利用递推关系求解数列的通项公式。 3. 配方法：对于一些特殊的数列，可以使用配方法来求解通项公式。配方法是指通过巧妙地选取适当的数进行配对，使得数列中部分项的和可以简化为一个公式。 综上所述，求解数列的通项公式有很多方法，其中等差数列、

高中数学数列与差分教学小议

高中数学数列与差分教学小议 摘要：高中数学课程将“数列与差分”在2003年，国家教育部颁布了《普通高中数学课程标准（实验）》中作为一个新增内容纳入选修系列专题中。差分理论是离散数学的一个分支，也是近现代数学的重要组成部分，是解决多种领域问题的重要工具。高中数学带入本专题重点在于理解和激发学生研究和思考热情，但由于其抽象和枯燥性，怎样教学？怎样理论联系实际，激发学生学习热情是本文所主要探讨的问题。 关键词：高中数学数列与下差分教学 高中数学是对学生今后生活和升学都十分重要的一门学科，其以选修专题的形式引入本专题，并非是对本专题的不重视，而是以基础的角度学习思考，激发学生学习数学的兴趣和热情，更是为学生全面掌握数学知识，理论运用于实践奠定良好基础。 一、数列与差分的教学思路 1.主动引导：引导学生主动参与“数列与差分”的教学活动，按照理论联系实际再结合理论教学的模式，使整个教学模式呈现循序渐进的教育过程。 2.拓展教学：将理论教学与多媒体，计算机等联合教学，多种方式相结合，主动培养学生思维方式的构建，选择学生感兴趣和可接受生活实例，揭示数学的思想和本质。 通过数学问题引导学生主动参与“数列与差分”专题的教学活动。 二、数列与差分的教学方法 1.由浅入深实例相结合的教学方法 在向学生介绍本专题之前，应该先向学生介绍数列与差分的基本知识，使学生充分理解其本质含义。在教学过程中，主张从学生熟知的，容易理解的情景出发。理论联系实际，多运用实际实例让学生明白并体会其含义，理解其意义。在教学时，要尽量做到具体直观，将抽象的概念和生活息息相关的实际结合起来，寻找充分能够突出其本质，特点明晰的实例，突出其蕴含重要数学思想，引导学生积极思考于胜虎有关数学模型。调动学生积极性，激发学生热情。只有在一定的问题情境中亲身体验学习材料中和尽力知识发展的过程，才能学到有价值的东西。当学生接受新的知识以后，不能够及时的消化吸收，这就要我们注意创设合理的问题情境，真正发挥学生学习的主观能动性，使学生对知识产生渴求和需要，促进学生积极主动的学习并参与教学活动。 2.与实际与现代信息技术整合的教学方法 以前数列与差分只有大学才能够学到，现在成为高中选修的一个专题。其想法是想让学生理解其精髓，重点掌握其数学概念和方法，做为高中数学和大学数学衔接的一个桥梁和纽带。因此，在设置教学的时候，不应该拘泥于古板教学，应该按照其时代要求，进行多样性和趣味性教学。通过选择学生感兴趣和可接受生活实例，充分体现其差分理论，让学生更真实的理解差分的概念和理论，将其函数的观念和思维方式实际化，揭示数学的思想和本质。高中的学生在学习和生活上都有一定的经验积累，因此在开始教学的时候可以在学生现有的经验基础上考虑学生的认知水平和兴趣爱好，选择与生活密切相关的内容（如：养老保险，银行存款，房贷等），让学生感到生活中数学无处不在，激发学生在生活中寻找数学模型的热情。在此处教学时，还应充分利用多媒体技术将差分的概念性质及求解呈现出来。例如，在讲解差分的概念的时候，可以运用几何模型或是3D立体模型呈现出来，是学生从理论理解到理性理解。在数列方程组求解的时候，为了分析其趋势变化，可以以养老保险或是银行存款为主线，做出动态吸晴PPT，从直观到生活主动清晰呈现，加深学生对于迭代解法的理解，帮助学生建立逻辑联系。也可采用饼图，直方图等图形图象方式刺激学生眼球。 3.与数列倒数相关联求同存异的教学方法