离散信号特解的算子求解
离散信号特解的算子求解
离散系统的时域分析在研究这一章的时候，读者要时刻将离散系统与连续系统进行对照类比，很多求解的思路与方法是相类同的，只需要进行连续量到离散量的转换即可。
离散系统与差分方程差分方程的建立
1. 差分的定义（1）移位序列设有一个序列f(k)，
则…,f(k+2),f(k+1),…,f(k-1),f(k-2),…这些被称作是f(k)的移位
序列。
（2）差分运算①一阶差分的定义我们主要使用【后向差分】是因为，后向移位序列（表示号的延迟）在现实生活中更好理解。
②m（m≥2）阶差分的定义
2. 差分的性质
3. 差分方程在连续系统的时域分析中，我们通过建立并求解线性常系数微分方程来求解系统及其响应；在离散系统中，我们把目光聚焦在差分方程的建立与求解上。
（1）定义与概念①文字定义：差分方程就是由未知的输
出序列项（及其移位序列项）和输入序列项（及其移位序列项）构成的等式方程。
②数学表示：n阶差分方程描述的系统就称为n阶系统描述LTI离散系统的方程是线性常系数差分方程（2）差分方程建立的实例差分方程的模拟框图类比之前讨论连续系统的模拟框图，我们首先需要厘清差分模拟框图中需要哪些基本的系统组件。
1. 基本部件单元
2. 模拟框图↔差分方程（1）从模拟框图到差分方程我们的最终目的是希望可以由差分方程绘制出相应的模拟框图；于是我们反其道而行之，先从框图到差分方程的对应关系中去寻找相关结论。
（2）从差分方程到模拟框图一言以蔽之，上述【从模拟框图到差分方程】的逆过程就是建立模拟框图的方法步骤。
首先需要将复杂的（输入号f(k)含有其移位序列）差分方程进行简化：通过引入辅助变量、利用LTI系统特性；根据方程的阶数来设置移位器的个数根据分解得到的每个方程，每个方程对应一个加法器，按照数乘和加(减)法运算来布置整个模拟框图。
差分方程的经典解法
1. 递推迭代法差分方程本质上就是递推的代数方程，在已知初始条件和激励的情况下，利用【迭代法】就可以求得相应的数值解。
迭代法一般无法得到差分方程的闭式解方程是几阶的，就需要知道几个初始条件
2. 经典法求解差分方程的经典法可以类比求解线性微分方程的经典方法来理解和记忆：解的结构同样划分为一般解和特解。
【例】求解差分方程①：根据差分方程列写出对应的特征方程——λ2+4λ+4=
0，求解出来的是一个二重根-2；②：根据特征根与齐次解的对应关系，列写出齐次解的一般形式（含有未知参数，最后会根据初值条件进行求解）；③：根据激励的形式，写出特解的一般形式，此处也含有未知参数，直接把特解代入到差分方程中，即可求出未知参数；④：全解y(k)的表达式其实就反映出了输出号关于输入的变化规律，但未知参数的存在也表明了该变化规律还没有定下一个起点；通过代入初值条件即可确定这个变化规律是从何处开始生效的，所以也把初值条件称为【临界条件】。
零输入响应
1. 定义（线性时不变）离散系统的激励为零，仅由系统的初始状态所引起的响应，用y zi (k）来表示。
零输入响应求解的方程结构形如：y zi (k)+a n-1 y zi (k-1)+…+a 0 y zi (k-n)=0
根据上述方程，所谓零输入响应的求解，本质上就是求解一个齐次差分方程，其方法也是一致的，因此零输入响应求解的关键就在于确定初始值。
2. 初始值的确定在差分系统中，n阶线性时不变离散系统
的初始状态用y(-1),y(-2),…,y(-n)来进行描述；且恒有下式成立：y ( − l ) = y z i ( − l ) + y z s ( − l ) y(-l)=y_{zi}(-l)+y_{zs}(-l)
y(−l)=yzi(−l)+yzs(−l)
在零输入条件下，其初始值可以由下式确定：y z i ( − l )
= y ( − l ) , l = 0 , 1 , 2 , . . . , n − 1 y_{zi}(-l)=y(-l),l=
0,
1,
2,...,n-1 y z i ( − l ) = y ( − l ) , l = 0 , 1 , 2 , . . . , n − 1
上式说明，在小于零的时刻中，零输入的初值就是整个系统的初值；因为在小于零的时刻中，根据零状态的定义（没有历史状态，在大于等于0的时刻才在系统中加入某种输入号），y zs (-l)=
0,l=
0,
1,…,n-1
3. 求解方法求特征方程的特征根；设定齐次解的一般形式；直接代入初始状态y zi (-l),l=
0,
1,
2,…,n-1求解待定系数。
请读者回忆一下求解连续系统的相应响应时，我们还讨论了【从初值状态求解初始值】的方法，这是因为我们求解的响应都是反映系统在时刻t≥0之后的变化规律，因此我们需要的
也是时刻t≥0的初始条件；但是此处我们可以直接把k=-
1,-
2,…-n的条件代入方程来求解未知系数；因为在零输入条
件下，方程是齐次的，系统的响应与输入无关——其
一，系统在跨越0时刻不会发生响应的突变；其
二，我们可以理解为此时系统响应的规律适用性其实更强，可以延伸到小于零的时刻；其
三，从计算层面来看，我们在利用齐次方程来从-
1，-
2，…，-n时刻求解出
0,
1,
2,…n-1时刻的初始值的过程也是与输入号无关的。
零状态响应
1. 定义当系统的初始状态y zs (-l) =
0，l=
1,
2,…,n为零，仅由激励f(k)引起的响应，用y zs （k）来表示。
2. 初始值的确定当给定初始状态y zs (-l)=
0,l=
1,
2,…,n的值后，需要根据迭代法求解出相应的初始值y zs (j),j=
0,
1,
2,…,n
3. 求解方法因为从方程的形式上来看，求解零状态响应就相当于求解一个非齐次的差分方程，其解的结构也是由齐次解和特解组成的。
求解齐次解求解特解，并代入原方程中求解未知系数将初始值代入到全解结构中，求解出剩下的待定系数【例】求解离散系统的零输入(状态)响应离散的基本号及其响应
1. 离散号的表示（1）图形表示（2）解析表示（3）集合表示
2. 单位脉冲序列注意：单位脉冲序列δ(k)是在k=0处号值为
1，其余地方的号值都为0；并不是只在k=0处有定义。
3. 单位阶跃序列单位脉冲响应
1. 定义
2. 求解方法【思路】：基本号δ(k)根据定义，仅仅在k=0处等于
1，在k>0的时候为零。所以此时求解基本响应h(k)就等同于求解系统的零输入（因为输入号为零，所以在k>0的时候可以看做是零输入）响应。
由此，将求解h(k)的问题转换成求解一个齐次方程，在
k>0时；k=0时的值h(0)就可以按照零状态的条件由差分方程
确定。
迭代法求解初始值经典法求解系统的“齐次解”将初始值代入齐次解的一般形式，求出未知系数
3. 示例单位阶跃响应
1. 定义
2. 求解方法【思路】：求解单位阶跃响应的过程更一般化，因为施加的输入号ε(k)在k>0时总是有值的，因此求解的过程
可以看做是求解一个非齐次线性差分方程组，使用经典法按照步骤即可。
迭代法求解出初始值根据特征值设定出相应的齐次解求解出特解（特解的未知系数可以直接代入原方程得出）将初始值代入到一般解的形式中，求出剩下的未知系数
3. 示例
1. 关系定义理解其二者的关系，有以下两个原则可辅助：基本响应之间的关系可以参照基本号之间的关系来理解δ(·)与
ε(·)之间的微积分(和差)关系，可以类比到h(·)与g(·)之间离散
系统与连续系统之间的运算也可以类比对应连续系统中的微分对应离散系统中的差分，连续系统中的积分对应离散系统的累加和
2. 利用关系简化计算离散号与卷积和序列的时域分解卷积和公式定义一言以蔽之，卷积和定义的本质之下就是离散号的时域分解可以类比在连续系统中，我们把连续号的时域分解（积分）定义为卷积积分无论是定义卷积还是定义卷积和，其操作都是在对号进行时域分解，而分解的目的在于将任意输入号转换成基本号的组合，从而可以使得【任意输入对系统产生的响应】这一问题的求解有思路可循。
因果序列的卷积和运算
1. 图解法（1）方法论（2）示例用图解法来求解离散号的卷积过程，同样可以对连续号卷积积分的图解法进行类比。
不管是卷积积分还是卷积和，图解法都很适合求解卷积在某个特定点上的值。
E.g.1 求解某特定点上的卷积和E.g.2 求解任意点的卷积和
2. 不进位乘法（1）基本思想（2）示例性质
1. 常见性质及公式
2. 利用性质求解卷积离散系统的算子描述在号与系统中（不论是离散还是连续），引入算子的目的在于将微分(或差分)方程转换成代数方程，运用代数的求解技巧来求解方程。
差分算子
1. 一般定义
2. 离散系统的差分算子传输算子
1. 传输算子的定义
2. 传输算子的性质
3. 传输算子的求解及意义
第1章 离散时间信号和系统
第1章 思考题参考解答 1．变化规律已知的信号称之为确定信号，反之，变化规律不确定的信号称之为随机信号。以固定常数周期变化的信号称之为周期信号，否则称之为非周期信号。函数随时间连续变化的信号称之为连续时间信号，也称之为模拟信号。自变量取离散值变化的信号称之为离散时间信号。离散信号幅值按照一定精度要求量化后所得信号称之为数字信号。 2．对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 可以从采样点恢复原来的连续信号。而对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 一般不能从采样点恢复原来的连续信号的周期信号，通常采用远高于2f c 的采样频率才能从采样点恢复原来的周期连续信号。 3．被采样信号如果含有折叠频率以上的高频成分，或者含有干扰噪声，这些频率成分将不满足采样恢复定理的条件，必然产生频率混叠，导致无法恢复被采样信号。 4．线性时不变系统的单位脉冲响应h (n )满足n <0，h (n )=0，则系统是因果的。若 ∞<=∑∞ -∞ =P n h n |)(|，则系统是稳定的。 5．ω表示数字角频率，Ω表示模拟角频率。ω=ΩT (T 表示采样周期)。 6．不一定。只有当周期信号的采样序列满足x (n )= x (n +N )时，才构成一个周期序列。 7． 常系数差分方程描述的系统若满足叠加原理，则一定是线性时不变系统。否则，常系数差分方程描述的系统不是线性时不变系统。 8．该说法错误。需要增加采样和量化两道工序。 9．受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统不一定找得到。因此，数字信号处理系统的分析方法是先对采样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长效应所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。 10、只有当系统是线性时不变时，有y (n )= h (n )*x (n )。 11、时域采样在频域产生周期延拓效应。 12．输入信号x a (t )先通过一个前置低通模拟滤波器限制其最高频率在一定数值之内，使其满足采样频率定理的条件。因此，该滤波器亦称为抗混叠滤波器。 经抗混叠滤波后的模拟信号，在采样和模/数(A/D)转换器中每间隔T (采样周期)采样的x a (t )的幅度一次，并将其量化为二进制数据。即模拟信号x a (t )经A/D 转换为数字信号序列x (n )。 数字信号序列x (n )按照不同目的要求在DSP 中进行加工处理后，转化为输出序列y (n )。 输出序列y (n )经数/模(D/A)转换为阶梯模拟信号y a (t )，y a (t )又经过低通滤波器滤除其高频成分，使阶梯信号得到平滑后，得到所需要的模拟信号y (t )。故这里的低通滤波器又称之为平滑滤波器。 第1章 练习题参考答案 1．解：序列h (n )可用单位脉冲序列δ(n )及其加权和表示为
数字信号处理第三版西科大课后答案第1章
第1章 时域离散信号和时域离散系统 1.1.2 重要公式 （1） ∞ -∞ ==-=m n h n x m n h m x n y ) (*)()()()( 这是一个线性卷积公式， 注意公式中是在－∞~∞之间对m 求和。 如果公式中x(n)和h(n)分别是系统的输入和单位脉冲响应， y(n)是系统输出， 则该式说明系统的输入、 输出和单位脉冲响应之间服从线性卷积关系。 （2）x(n)=x(n)*δ(n) 该式说明任何序列与δ(n)的线性卷积等于原序列。 x(n －n0)=x(n)*δ(n －n0) （3）∞ -∞=-=k a n k X T X ) j j (1)j (?s ΩΩΩ 这是关于采样定理的重要公式， 根据该公式要求对信号的采样频率要大于等于该信号的最高频率的两倍以上， 才能得到不失真的采样信号。 ∞ -∞ =--=n a a T nT t T nT t nt x t x /)(π] /)(πsin[)()( 这是由时域离散信号理想恢复模拟信号的插值公式。 1.2 解线性卷积的方法 解线性卷积是数字信号处理中的重要运算。 解线性卷积有三种方法， 即图解法（列表法）、 解析法和在计算机上用MA TLAB 语言求解。 它们各有特点。 图解法（列表法）适合于简单情况， 短序列的线性卷积， 因此考试中常用， 不容易得到封闭解。 解析法适合于用公式表示序列的线性卷积， 得到的是封闭解， 考试中会出现简单情况的解析法求解。 解析法求解过程中， 关键问题是确定求和限， 求和限可以借助于画图确定。 第三种方法适合于用计算机求解一些复杂的较难的线性卷积， 实验中常用。 解线性卷积也可用Z 变换法， 以及离散傅里叶变换求解， 这是后面几章的内容。 下面通过例题说明。 设x(n)=R 4(n), h(n)=R 4(n)， 求y(n)=x(n)*h(n)。 该题是两个短序列的线性卷积， 可以用图解法（列表法）或者解析法求解。 表1.2.1给出了图解法（列表法）， 用公式可表示为 y(n)={…, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, 0, … } 下面用解析法求解， 写出卷积公式为 ∑∞-∞ =∞-∞ =-= -= m m m n R m R m n h m x n y ) ()()()()(44 在该例题中， R 4(m)的非零区间为0≤m ≤3， R 4(n －m)的非零区间为0≤n －m ≤3， 或写成n －3≤m ≤n ，这样y(n)的非零区间要求m 同时满足下面两个不等式：
信号与系统(郑君里)复习要点
信号与系统复习 书中最重要的三大变换几乎都有。 第一章 信号与系统 1、信号的分类 ①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f (t )满足 f (t ) = f (t + m T )， 离散周期信号f(k )满足 f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,… 两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。 ③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号 2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷） 2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号 3.1 单位冲激函数的性质 f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a) 例： 3.2序列δ(k )和ε(k ) f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0) 4、系统的分类与性质 ? d )()4 sin(9 1 =- ? -t t t δπ ) 0()()(f k k f k = ∑∞ -∞ =δ
4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质 T[a f (·)] = a T[ f (·)](齐次性) T[ f1(·)+ f2(·)] = T[ f1(·)]+T[ f2(·)] （可加性） ②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统： y(·) = y f(·) + y x(·) = T[{ f(·) }, {0}]+ T[ {0}，{x(0)}] (可分解性) T[{a f(·) }, {0}] = a T[{ f(·) }, {0}] T[{f1(t) + f2(t) }, {0}] = T[{ f1(·) }, {0}] + T[{ f2(·) }, {0}](零状态线性) T[{0},{a x1(0) +b x2(0)} ]= aT[{0},{x1(0)}] +bT[{0},{x2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统 T[{0}，f(t -t d)] = y f(t -t d)(时不变性质) 直观判断方法： 若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。LTI连续系统的微分特性和积分特性 ①微分特性： 若 f (t) →y f(t) ，则 f ’(t) →y ’f (t) ②积分特性： 若 f (t) →y f(t) ，则 4.5因果系统与非因果系统 5、系统的框图描述 第二章连续系统的时域分析 1、LTI连续系统的响应 1.1微分方程的经典解 ? ?∞- ∞ - →t t x x y x x f d) ( d) ( f
差分方程特解公式总结
差分方程特解公式总结 差分方程是一种离散的数学模型，可以用于描述离散时间下的动态系统。在求解差分方程的过程中，特解是其中一种重要的解法。本文将总结差分方程特解的公式，并对其应用进行讨论。 一、一阶线性差分方程特解公式 一阶线性差分方程的一般形式为：$y_{n+1} = ay_n + b$，其中$a$和$b$为常数。对于这种形式的差分方程，我们可以使用特解公式求解。 特解公式为：$y_n = \frac{b}{1-a}$，其中$n$为自变量的取值。 这个公式的推导思路是将差分方程中的$y_{n+1}$替换为$y_n$，然后求解出$y_n$。这样得到的特解能够满足差分方程的要求。 二、二阶线性差分方程特解公式 二阶线性差分方程的一般形式为：$y_{n+2} = ay_{n+1} + by_n + c$，其中$a$、$b$和$c$为常数。对于这种形式的差分方程，我们可以使用特解公式求解。 特解公式为：$y_n = \frac{c}{1-a-b}$，其中$n$为自变量的取值。 特解公式的推导过程类似于一阶线性差分方程的推导过程。我们将
差分方程中的$y_{n+2}$替换为$y_n$，然后求解出$y_n$。这样得到的特解能够满足差分方程的要求。 三、一般线性差分方程特解公式 对于一般的线性差分方程，特解公式的形式会更加复杂。我们可以通过猜测特解的形式，并将其代入差分方程中，然后求解出特解。 常见的特解形式包括常数特解、多项式特解、指数特解、三角函数特解等。选择特解的形式时需要根据差分方程的具体形式和边界条件进行判断。 四、差分方程特解的应用 差分方程特解的求解在实际问题中具有广泛的应用。例如，在经济学中，差分方程可以用于描述经济系统的动态变化过程。通过求解差分方程的特解，可以预测未来的经济发展趋势。 差分方程特解还可以用于模拟物理系统的运动过程、优化控制问题的求解等。通过建立差分方程模型并求解特解，可以得到系统的稳定性分析和优化策略。 总结： 差分方程特解公式是求解差分方程的一种重要方法。通过特解公式，我们可以快速求解差分方程并得到满足系统要求的解。特解公式的
离散信号特解的算子求解
离散信号特解的算子求解 离散系统的时域分析在研究这一章的时候，读者要时刻将离散系统与连续系统进行对照类比，很多求解的思路与方法是相类同的，只需要进行连续量到离散量的转换即可。 离散系统与差分方程差分方程的建立 1. 差分的定义（1）移位序列设有一个序列f(k)， 则…,f(k+2),f(k+1),…,f(k-1),f(k-2),…这些被称作是f(k)的移位 序列。 （2）差分运算①一阶差分的定义我们主要使用【后向差分】是因为，后向移位序列（表示号的延迟）在现实生活中更好理解。 ②m（m≥2）阶差分的定义 2. 差分的性质 3. 差分方程在连续系统的时域分析中，我们通过建立并求解线性常系数微分方程来求解系统及其响应；在离散系统中，我们把目光聚焦在差分方程的建立与求解上。 （1）定义与概念①文字定义：差分方程就是由未知的输 出序列项（及其移位序列项）和输入序列项（及其移位序列项）构成的等式方程。
②数学表示：n阶差分方程描述的系统就称为n阶系统描述LTI离散系统的方程是线性常系数差分方程（2）差分方程建立的实例差分方程的模拟框图类比之前讨论连续系统的模拟框图，我们首先需要厘清差分模拟框图中需要哪些基本的系统组件。 1. 基本部件单元 2. 模拟框图↔差分方程（1）从模拟框图到差分方程我们的最终目的是希望可以由差分方程绘制出相应的模拟框图；于是我们反其道而行之，先从框图到差分方程的对应关系中去寻找相关结论。 （2）从差分方程到模拟框图一言以蔽之，上述【从模拟框图到差分方程】的逆过程就是建立模拟框图的方法步骤。 首先需要将复杂的（输入号f(k)含有其移位序列）差分方程进行简化：通过引入辅助变量、利用LTI系统特性；根据方程的阶数来设置移位器的个数根据分解得到的每个方程，每个方程对应一个加法器，按照数乘和加(减)法运算来布置整个模拟框图。 差分方程的经典解法 1. 递推迭代法差分方程本质上就是递推的代数方程，在已知初始条件和激励的情况下，利用【迭代法】就可以求得相应的数值解。
实验四 离散时间信号与系统分析
实验四离散时间信号与系统分析
实验四离散时间信号与系统分析 一、实验目的 1、理解离散信号及系统的时频域分析方法 2、掌握Matlab进行信号的卷积、z变换及逆z变换的方法。 3、掌握Matlab进行离散系统时频域的分析方 法 二、实验时数： 2学时 三、实验相关知识 （一）离散信号的卷积 利用函数(,) 可以计算离散信号的卷积和， c conv a b 即c(n)=a(n)*b(n)，向量c长度是a，b长度之和减1。若a(n)对应的n的取值范围为：[n1, n2]；b(n)对应的n的取值范围为：[n3, n4]，则 c(n)=a(n)*b(n)对应的n的取值范围为：[n1+n3, n2+n4]。 例4-1：已知两序列： x(k)={1,2,3,4,5;k=-1,0,1,2,3},y(k)={1,1,1; k=-1,0,1}，计算x(k)*y(k)，并画出卷积结果。
解：利用conv()函数进行离散信号的卷积，注意卷积信号的k 值范围 k_x = -1:3; x=[1,2,3,4,5]; k_y = -1:1; y=[1,1,1]; z=conv(x,y); k_z= k_x(1)+k_y(1):k_x(end)+k_y(end); stem(k_z,z); （二）离散信号的逆z 变换 离散序列的z 变换通常是z 的有理函数，可表示为有理分式的形式，因此可以现将X(z)展开成一些简单而常用的部分分式之和，然后分别求出各部分分式的逆变换，把各逆变换相加即可得到X(z)的逆变换x(n)。 设离散信号的z 变换式如下， 120121212()()1()m m n n b b z b z b z num z X z a z a z a z den z ------++++==++++ 在Matlab 中进行部分分式展开的函数为residuez ()，其调用形式如下： [r,p,k] = residuez(num,den) 其中num=[b0, b1, …, bm]表示X(z)有理分式的分子多项式为12012m m b b z b z b z ---++++；den=[a0, a1, …, am]表示X(z)有理分式的分母多 项式为12012m m b b z b z b z ---++++，注意分子分母多项式均为按z -1的降幂排列的
信号与系统第三版郑君里课后习题答案
信号与系统第三版郑君里课后习题答案 第一章习题参考解 1，判刑下列信号的类型 解：()sin[()];y t A x t = 连续、模拟、周期、功率型信号 。 ()()t t y t x e d τττ--∞ =⎰ 连续、模拟、非周期、功率型信号。 ()(2y n x n =） 离散、模拟、非周期、功率型信号。 ()()y n nx n = 离散、模拟、非周期、功率型信号。 1－6，示意画出下列各信号的波形，并判断其类型。 (1) 0()sin()x t A t ωθ=+ 连续、模拟、周期、功率型 (2) ()t x t Ae -= 连续、模拟、非周期、只是一个函数，不是物理量。 (3) ()cos 0t x t e t t -=≥ 连续、模拟、非周期、能量型 (4) ()21 12,x t t t =+-≤≤ 连续、模拟、非周期、能量型 (5) 4 ()(),0.5 k x k k =≥ 离散、模拟、非周期、能量型 (6) 0().j k x k e Ω= 离散、模拟、周期、功率型 ()sin[()];()()()(2); ()() t t y t A x t y t x e d y n x n y n nx n τ ττ --∞ == ==⎰
1－6题，1－4图。 t=-pi:1/200:pi; y1=1.5*sin(2*t+pi/6); subplot(4,1,1),plot(t,y1),title('1.5sin(2*t+pi/6)'),grid y2=2*exp(-t); subplot(4,1,2),plot(t,y2),title('2exp(-t)'),grid t1=0:1/200:2*pi; y3=10*exp(-t1).*cos(2*pi*t1); subplot(4,1,3),plot(t1,y3),title('10exp(-t1)cos(2*pi*t1)'),grid t2=-1:1/200:2; y4=2*t2+1; subplot(4,1,4),plot(t2,y4),title('2x+1'),grid
信号与系统离散时间系统习题详解
信号与系统离散时间系统习题详解 8-2 列出图题8-2所示系统的差分方程，指出其阶次。 图 题8-2 解： 1201[][1][2][][1]y n b y n b y n a x n a x n ----=+- 二阶 8-3 列出图题8-3所示系统的差分方程，已知边界条件y [-1] = 0，分别求以下输入序列时的输出y [n ]，并绘出其图形（用逐次迭代方法求）。 （1）[][]x n n δ= （2）[][]x n u n = 图 题8-3 解：1 [][1][]3 y n y n x n --= （1） 1[][]3n y n u n ?? = ??? （2）311[](())[]223n y n u n =- 8-7 求解下列差分方程的完全解。 （1）[]2[1]2, [0]1y n y n n y +-=-= （2）[]5[1],y n y n n =--+ [1]0y -= 解：（1）方程齐次解为：h [](2)n y n C =-，特解为：p 12[]y n D n D =+，代入原方程 121212142(1)2 2 , 39 D n D D n D n D D ++-+=-→==- 完全响应为：()14[]239n y n C n =-+-，代入1]0[=y 得：9 13=C ()1314[]2939 n y n n ∴=-+- （2）方程齐次解为：h [](5)n y n C =-，特解为：p 12[]y n D n D =+，代入原方程 0234
12121215 5(1)5 , 636D n D D n D n D D +=---+→== 完全响应为：()1 5 []5636 n y n C n =-++ ，代入0]1[=-y 得：36 5-=C ()1 1[][565]36 n y n n += -++ 8-12 用单边z 变换解下列差分方程。 （1）y [n ] + 0.1y [n -1] - 0.02y [n -2] = 10 u [n ]，y [-1] = 4，y [-2] = 6 （2）y [n ] - 0.9y [n -1] = 0.05 u [n ]，y [-1] = 1 （3）y [n ] + 2y [n -1] = (n -2) u [n ]，y [0] = 1 解： （2）差分方程两边同时进行z 变换： 1 1 211 ()0.9[()[1]]0.05 1 (){10.9}0.050.9[1] 1 0.050.90.050.9()(1)(0.9)(0.9) (1)(10.9)(10.9)()0.50.45 10.910.9 0.50.45[][]0.10.9 z Y z z Y z y z z z Y z z y z z z z Y z z z z z z z Y z A B z z z z z z z y n z z -----+-=--=+--=+=+------=+=+----=+=---1Z 5[]0.45(0.9)[] n u n u n +（3）由差分方程得： 2(0)3(0)2(1)2(1)22 y y y y --+-=-∴-==- 差分方程两边同时进行z 变换： 1 2 211 1222 2 ()2[()(1)]21(1) 22(1) ()(1)(12)(1)(12)(12) ()33(1)2(1)(2)(1) 3949139(1)2(1)z z Y z z Y z y z z z z z y Y z z z z z z Y z z z A B C z z z z z z z z z ----++-=----=---+-++-+==++-+-+--=++ -+-
差分方程的通解和特解公式
差分方程的通解和特解公式 差分方程是一种描述离散时间上变化的数学工具。与微分方程类似，差分方程描述了变量随时间或空间发生变化的规律。差分方程可以用于模拟和解决各种实际问题，比如人口增长、电路分析、金融建模等。在差分方程中，我们通常会遇到两种解：通解和特解。本文将详细介绍差分方程的通解和特解的概念、性质和求解方法。 一、差分方程的基本概念 在介绍通解和特解之前，我们先来了解一下差分方程的基本概念。 差分方程是离散时间序列上的递推关系式，它可以用来描述变量在不连续时间点上发生的变化。一般来说，差分方程可以写成以下形式：y_(n+1)=f(y_n,y_(n-1),...,y_(n-k)) 其中，y_n表示离散时间点n上的变量的取值，f是关于y_n,y_(n-1),...,y_(n-k)的一些函数。 y_(n+k)=f(y_n,y_(n-1),...,y_(n-k)) 其中n为常数，k为正整数。n阶差分方程是一种求解变量的k+1个递推公式的方法。 二、差分方程的通解 如果差分方程的解函数y=y(n,C1,C2,...,Cn)能够满足差分方程的任意初值条件，其中C1,C2,...,Cn是任意给定常数，那么 y=y(n,C1,C2,...,Cn)被称为差分方程的通解。
通解形式通常使用参数C1,C2,...,Cn表示，可以看作是由n个独立 的常数构成的一个函数族。通解的形式是由差分方程的阶数和特解的个数 决定的。如果一个差分方程满足n阶差分方程的递推公式并且有n个特解，那么通解就是特解的线性组合。 对于一阶差分方程： y_(n+1)=f(y_n) 如果我们已知一个特解y=f(y_n)，那么差分方程的通解可以写成： y_(n+1)=f(y_n)+C 其中C是任意给定的常数。 对于二阶差分方程： y_(n+2)=f(y_n,y_(n-1)) 如果我们已知两个特解y1=f(y_n,y_(n-1))和y2=g(y_n,y_(n-1))， 那么差分方程的通解可以写成： y_(n+2)=f(y_n,y_(n-1))+C1*y1+C2*y2 其中C1和C2是任意给定的常数。 对于n阶差分方程也可以类似地推导出通解的形式。 三、差分方程的特解 如果差分方程的解函数y = y(n, a1, a2, ..., an)能够满足差分方 程的特定初值条件，其中a1, a2, ..., an是给定常数，那么y = y(n, a1, a2, ..., an)被称为差分方程的特解。
实验六1 实验六 离散系统状态方程的求解
实验六 离散系统状态方程的求解 一、实验目的 （1）了解离散系统状态方程求解方法。 （2）了解离散系统信号流图化简的方法。 （3）了解函数ode45的调用方法。 二、实验原理 离散系统状态方程的一般形式为 x(k+1)=Ax(k)+Bf(k) 在些只对单输入的n 阶离散系统的状态议程求解。一般采用递推迭代的方式求解，由裙的条件x(0)和激励f(0)求出k=1时的x(1)，然后依次迭代求得所要求的x(0)，……，x(n)的值。 编程时应注意,MATLAB 中变量下标不允许为零，则裙点的下标只能取1，第n 步的x 的下标为n+1。 三、涉及的MATLAB 函数 zeros(2,1) y=lsim(sys,f,[],x0) for i=1:n end clear all 采用函数ode45可以求解微分方程。其调用格式如下 [t,y]=ode45(odefun,tspan,y0) 其中，odefun 指状态方程的表达式，tspan 指状态方程对应的起止时间]t0,tf]，y0指状态变量的初始状态。 四、实验内容与方法 1．验证性实验（参考程序） 采用MATLAB 语言编程，求解离散系统状态方程，并绘制状态变量的波形。 （1）已知离散系统的状态方程为 )(01)1()1(25.025.005.0)1()1(2121k f k x k x k x k x ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ 初始条件为x(0)=⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡-5.01,激励为f(k)=0.5ε(k)，确定该状态方程x(k)前10步的解，并画出波形。 MATLAB 程序： %离散系统状态求解 %A=input(‘系统矩阵 A=’)
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换 摘要 本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT）和离散傅里叶变换（DFT）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。 1. 离散时间傅里叶变换 1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换 离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛ ｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中 是实频率变量。时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换 定义如下： （1.1） 通常 是实变量 的复数函数同时也是周期为 的周期函数，并且
的幅度函数和实部是 的偶函数，而其相位函数和虚部是 的奇函数。这是由于： （1.2） 由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从 中算出： （1.3） 故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。 上述定义给出了计算DTFT的方法，对于大多数时间序列其DTFT可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]= ,此时其傅里叶变换可以写成简单的封闭形式。而一个序列x[n]的DTFT存在的充要条件是其为绝对可和序列，即： 此时对于所有 值有：
1.2 离散时间傅里叶变换的性质与线性卷积 序列x[n]的离散时间傅里叶变换的一般性质包括线性、时移、频移、频域微分、调制及卷积等。其中卷积性质可表示为如下形式： 一般来说，序列x[n]和h[n]的卷积和可以定义为如下形式： ，或 卷积和运算满足交换率、结合率以及分配率，可以对卷积和作如下解释：先将序列h[k]反转得到h[-k]，然后将h[-k]平移（如果n>0，右移n个抽样周期；如果n<0,左移n个抽样周期）形成序列h[n-k]。然后形成乘积序列 v[k]=x[k]h[n-k]，把v[k]的全部样本求和即得到卷积和y[n]的第n个样本。上述过程可用下图表示： 卷积和运算的示意图
离散信号的傅立叶变换
离散信号的傅立叶变换 一、傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大 都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很 难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍， 是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专 门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶 变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享， 希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋 友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是： https://www.docsj.com/doc/b119139119.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的 基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语 原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年 在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具 有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个 论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通 过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅 立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈 服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参 加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到 拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可 以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立 叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余 弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。 一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频
《信号与系统》讲义教案第6章离散信号与系统的Z域分析
第 6 章离散信号与系统的Z 域分析 6.0 引言 与拉氏变换是连续时间傅立叶变换的推广相对应，Z 变换是离散时间傅立叶变换的推广。 Z 变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。当然， Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。 6.1 双边 Z 变换 6.1.1双边Z变换的定义 前面讨论过，单位脉冲响应为h[n] 的离散时间 LTI 系统对复指数输入z n的响应y[n]为 y[ n]H ( z) z n(6.1) 其中H ( z)h[ n] z n(6.2) n 式 (6. 2) 就称为 h[n] 的双边 Z 变换。 当 z= e j时， Z 变换就转变为傅立叶变换。因此一个离散时间信号的双边Z 变换定义为： X ( z)x[ n]z n(6.3) n 式中 z 是一个复变量。而x[n]与它的双边z 变换之间的关系可以记做 z x[n]X (z)
6.1.2双边Z变换的收敛域 x[n] 的双边 Z 变换为一无穷级数，因此存在级数是否收敛的问题，即一方面并非所有信号的 Z 变换都存在；另一方面即使某信号的Z 变换存在，但并非Z 平面上的所有点都能使X(z)收敛。那些能够使X(z)存在的点的集合，就构成了X(z)的收敛域，记为ROC。 只有当式 (6.3) 的级数收敛，X (z) 才存在。 X ( z) 存在或级数收敛的充分条件是 x[n]z n(6.4) n 在 x[ n] 给定的条件下，式 (6.4)级数是否收敛取决于 z 的取值。在 z 复平面上，使式 (6.4)级数收敛的 z 取值区域就是 X(z)的收敛域。 6.1.3零极点图 如果X(z) 是有理函数，将其分子多项式与分母多项式分别因式分解可以得到： N ( z)(z z i ) X ( z)i(6.5) M (z D ( z)z p ) p 则由其全部的零极点即可表示出X ( z) ，最多相差一个常数因子。在Z 平面上表示出全部的零极点，即构成X ( z) 的几何表示——零极点图。如果在零极点图上标出ROC ，则该零极点图可以确定一个信号。 在 Z 平面上将零点、极点表示出来即为零极点图。 图 6.1零极点图
离散时间信号与离散时间系统..
§7-1 概述 一、 离散时间信号与离散时间系统 离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的 信号。 离散时间系统：处理离散时间信号的系统。 混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连 续时间信号的系统。 二、 连续信号与离散信号 连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理： 三、 离散信号的表示方法： 1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。 例如：)1.0sin()(k k f = 2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。例如： f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,} 时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。 四、 典型的离散时间信号 1、 单位样值函数： ⎩⎨ ⎧==其它001)(k k δ 下图表示了)(n k -δ的波形。
这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着 与其相似的性质。例如： )()0()()(k f k k f δδ=， )()()()(000k k k f k k k f -=-δδ。 2、 单位阶跃函数： ⎩⎨ ⎧≥=其它001)(k k ε 这个函数与连续时间信号中的阶跃函数) (t ε相似。用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。 3、 单边指数序列： )(k a k ε
比较：单边连续指数信号： ) () ( )(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。 4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+ 双边正弦序列：)cos(0φω+k A 五、 离散信号的运算 1、 加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。 2、 乘法：)()()(21k f k f k f ⋅= 3、 标量乘法：)()(1k f a k f ⋅= 4、 移序：)()(1n k f k f -= 当n>0时，信号向右移（后移）——>称为减序； 当n<0时，信号向左移（前移）——>称为增序。 离散信号的移序计算相当于连续时间信号的时间平移计算。 六、 线性移不变离散时间系统 1、 线性离散时间系统 系统的激励和响应之间满足齐次性和叠加性关系的离散时间系统。 )()()()(22112211k r a k r a k e a k e a +⇔+ 2、 移不变离散时间系统 系统的激励和响应之间满足移不变关系的离散时间系统。 (a) 0.9a = (d) 0.9a =- (b) 1a = (e) 1a =- (c) 1.1a = (f) 1.1a =-
第三章离散时间信号的傅里叶变换
第三章 离散时间信号的傅里叶变换 课程：数字信号处理
目录 第三章离散时间信号的傅里叶变换 (3) 教学目标 (3) 3.1引言 (3) 3.2傅里叶级数CFS (4) 3.2.1傅里叶级数CFS定义 (4) 3.2.2傅里叶级数CFS性质 (6) 3.3傅里叶变换CFT (7) 3.3.1傅里叶变换CFT定义 (7) 3.3.2傅里叶变换CFT的性质 (8) 3.4离散时间信号傅里叶变换DTFT (9) 3.4.1离散时间信号傅里叶变换DTFT定义 (9) 3.4.2离散时间信号傅里叶变换的性质 (10) 3.5周期序列的离散傅里叶级数(DFS) (14) 3.5.1周期序列的离散傅里叶级数的定义 (14) 3.5.2周期序列的离散傅里叶级数的性质 (18) 3.6离散傅里叶变换(DFT) (20) 3.6.1离散傅里叶变换(DFT) (20) 3.6.2离散傅里叶变换的性质 (23) 3.7CFS、CFT、DTFT、DFS和DFT的区别与联系 (25) 3.8用DFT计算模拟信号的傅里叶分析 (28) 3.9实验 (30) 本章小结 (32) 习题 (33) 参考文献： (36)
第三章离散时间信号的傅里叶变换教学目标 本章讲解由时域到频域的傅里叶变换，频域观察信号有助于进一步揭示系统的本质，对于某些系统可以极大的简化其设计和分析过程。通过本章的学习，要理解连续时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换的和离散时间信号基本概念、性质和应用；了解一些典型信号的傅里叶变换；理解连续时间信号的傅里叶级数(CFS)、连续时间信号的傅里叶变换(CFT)、离散时间傅里叶变换(DTFT)、离散时间傅里叶级数(DTFS)和离散傅里叶变换(DFT)它们相互间的区别与联系；掌握傅里叶变换的参数选择，以及这些参数对傅里叶变换性能的影响；了解信号处理中其它算法（卷积、相关等）可以通过离散傅里叶变换(DFT)来实现。 3.1引言 一束白光透过三棱镜，可以分解为不同颜色的光，这些光再通过三棱镜，就会得到白光。傅里叶指出，一个“任意”周期函数都可以分解为无穷多个不同频率正弦信号的和，这即是傅里叶级数。求解傅里叶系数的过程就是傅里叶变换。傅里叶级数和傅里叶变换又统称为傅里叶分析。傅里叶分析方法相当于三棱镜，信号即是那束白光。 傅里叶的两个最主要的贡献： 1、周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和； 2、非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示。 傅里叶变换源自对傅里叶级数的研究。在对傅里叶级数的研究中，复杂的周期函数可以用一系列简单的正弦、余弦波之和表示。傅里叶变换是对傅里叶级数的扩展，由它表示的函数的周期趋近于无穷。 根据信号的周期性、连续性，可以划分为四种重要的傅里叶变换。周期信号（不管离散与否）都可以用傅里叶级数（Fourier Series）表示：如果输入信号为周期连续时间信号，则有连续时间傅里叶级数（continuous-time Fourier series, CTFS），如果输入信号为周期离散时间信号，则有离散时间傅里叶级数（discrete-time Fourier series，DTFS）。非周期信号（不管离散与否）都可以用傅里叶变换（Fourier transform）表示：连续非周期的输入信号则有连续时间傅里叶变换（continuous-time Fourier transform, CTFT），离散非周期输入信号则有离散时间傅里叶变换（discrete-time Fourier transform，DTFT）。