数学期望的计算及应用

数学期望的计算及应用

数学与应用数学111 第四小组

引言： 我们知道，随机变量的概率分布是随机变量的一种最完整的数学描述，而数学期望又是显现概率分布特性的最重要的特征数字之一。因此，掌握数学期望的计算并应用他来分析和解决实际问题显得尤为重要。在学习了概率论以后，我们计算数学期望一般有三种方法：1.从定义入手，即∑∞

==

1

)(k k k

p x

X E ；2. 应用随机变量函数的期望公式

∑∞

==1

)())((k k k p x q x q E 3. 利用期望的有关性质。但是还是会碰到许多麻烦，这里我们将

介绍一些解决这些难题的简单方法。在现实生活中，许多地方都需要用到数学期望。如果我们可以在学会怎么解决数学期望的计算之后，将数学期望应用到现实生活中。就可以解决许多问题，例如农业上，经济上等多个方面难以解决的难题。

下面就让我们来看看，除了最常用的三种计算方法之外还有哪些可以计算较为棘手的数学期望的方法。 1. 变量分解法

]

1[

如果可以把不易求得的随机变量X 分解成若干个随机变量之和,应用

)(...)()()...(2121n n X E X E X E E E X E ++=++再进行求解得值，这种方法就叫做变量

分解法。这种方法化解了直接用定义求数学期望时的难点问题，因为每一种结果比较好计算，分开来计算便可以比较简单的获得结果。

例题1 ： 从甲地到乙地的旅游车上载有20位旅客，自甲地开出，沿途有10个车站，如到达一个车站没有旅客下车，就不停车，以X 表示停车次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的)

分析 ： 汽车沿途10站的停车次数X 所以可能取值为0，1，….，10，如果先求出X 的分布列，再由定义计算E(X)，则需要分别计算{X=0}，{X=1}，…，{X=10}等事件的概率，计算相当麻烦。注意到经过每一站时是否停车，只有两种可能，把这两种结果分别与0，1对应起来，映入随机变量i X 每一种结果的概率较易求得。把X 分解成若干个随机变量i X 之和，然后应用公式)(...)()()...(2121n n X E X E X E E E X E ++=++就能最终求出E(X)。

解 ： 引进随机变量

=i X

站有人下车

第站没有人下车

第i i ⎩⎨⎧0

1i=1,2,3,4、、、、、 则1021...X X X X +++=.

根据题意，任一旅客在第i 站不下车的概率为

10

9

，因此20位旅客在第i 站都不下车的概率为20

109⎪⎭⎫ ⎝⎛，在第i 站有人下车的概率为20

1091⎪⎭⎫ ⎝⎛-。即20

109}0{⎪⎭

⎫ ⎝⎛==i X P ，

20

1091}1{⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-==i X P ，20

1091)(⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=i X E ，其中i=1，2，3，…10，从而

784.8109110)...()(201021≈⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=X X X E X E ，也就是说平均要停车近9

次。但是并不是每个问题都可以拆分开来，甚至有些问题是需要有每一种情况总结到总的问题来解决。也就是把所求数学期望E(X)作为序列1E ，2E ，…，k E 中的一般项，根据实际意义导出k E 的递推关系式，然后发掘出蕴藏着的初始条件，最终求出E(X)。这是求数学期望的方法我们叫做建立递推关系法。 2. 建立递推关系法

]

1[

例题2： 设一个实验有m 个等可能的结局。求至少一个结局接连发生k 次的独立是啊一年的次数。

分析： 显然独立实验的次数X 的随机变量，X 的所有可能的取值为k ，k+1，,,,，如果把“至少一个结局接连发生k 次”这一事件所需要的实验次数k ，k+1，…，的概率一一写出，然后相应求出X=k ，k+1…的概率，那是相当困难的。于是可以考虑构建关于k E 的递推关系式。

解 ： 设k E 是“至少一个结局接连发生k 次”(记此事件为k A )所需的试验次数的期望，则1-k E 表示至少一个结局接连发生k-1次，(记此事件为1-k A )所需试验次数的期望。而事件

k A 与1-k A 之间有这样的关系：在1-k A 发生的条件下，或者继续试验一次，同一结局又发生

了，这样便导致k A 的发生，其概率为m

1

；或者继续试验一次，这个结局没有发生(其概率为m

1

1-

)，而另外的结局发生了，这样要使k A 发生，等于从头开始，它的期望次数是k E 。根据这种分析，得

k k k E m m E E ⎪⎭

⎫

⎝⎛-++=-111*

11，即 11+=-k k mE E 。 注意到11=E ，故由递推关系式(1)，最后求得数学期望

1

1 (11)

2--=++++=-m m m

m m E k k k . 条件数学期望是概率论中最重要的概念之一，期望是条件期望的特例，概率也是条件期望的特例，因此，通过对某类随机现象的适当的条件化处理，应用全期望公式，可以给出计算数学期望和计算概率更简洁的方法。

设()ηξ,是二维随机向量，ξE 存在，则有()ξηξE E E =]|[，这就是我们接下来要说的全期望公式法。 3 全期望公式法

]

2[

例题3：一名矿工陷入一个有三扇门的矿井中，第一扇门通过一个隧道，走2小时后他可到达安全区；第二扇门通到另一个隧道，走3个小时后使他回到矿井中；第三扇门通到有一个隧道，走5个小时后使他回到矿井中。嘉定这位矿工总是等可能地选择三扇门中的一扇门中走，试求他达到安全区所需的平均时间。

解： 设T 表示到达安全区所需时间，T 是一个随机变量，ξ表示最初选择门的编号，按题设有 ()3

1

=

=i P ξ，i=1，2，3. T= 2， 当＝１ξ， 3+1T 当2＝ξ， 5+1T 当3=ξ，

其中1T 为返回原处时算起至走到安全区所需的时间。由题设知道返回原处后在此选择门的概率分布不变。故

][]|[]2|[21T E T E T E ===ξξ,于是

()()()()()][25323

1

]}3|5[]2|3[2{31

]}3|[]2[]1|[{313]3|[2]2|[1]1|[]|[][11T E T E T E T E T E T E p t e P T E P T E T E E T E +++==++=++==+=+====+==+====ξξξξξξξξξξξξ由此，可得E[T]=10小时。

4. 连续型随机变量数学期望的简易公式法

]

3[

我们知道数学期望有离散型随机变量的数学期望，连续型随机变量的数学期望，还有既非 离散型又非连续型随机变量的数学期望，这里我们介绍连续型随机能力的数学期望。

若连续型随机变量ξ的密度函数为)(x f ，如果

⎰

+∞

∞

-dx x f x )(||收敛，积分⎰+∞

∞

-dx x xf )(

为随机变量ξ的数学期望，相反，如果ξ的分布函数)(X F ,求数学期望ξE 需要先求出密度函数)(x f ，计算过程会比较复杂，这里介绍一个简易的连续型随机变量的数学期望。 定理 若连续型的随机变量ξ的分布函数为()X F ，且数学期望ξE 存在，则

()()⎰⎰

∞+∞

---=0

0]1[dx X F dx X F E ξ．

证明

()dx x f x ||⎰

+∞

∞

-存在，则()⎰+∞∞

-∞

()()()()⎰

⎰

⎰

∞

-∞

--∞→∞

--∞→-∞

→-∞

→=≤≤=x

x

x x

x x x y dF y y ydF y dF x

x xF 0|||lim

lim

|lim ||lim

()()()⎰

⎰∞-∞

→∞

-∞

→-∞

→=≤=-≤x

x x

x x y ydF y dF x X F x 0

lim

lim ]1[lim 0()()0]1[lim lim =-=-∞

→-∞

→x F x x xF x x

()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞

∞-+∞

∞

-∞+--=--=+==00

00

0|1dx x F x xF x F xd x xdF x xdF x xdF x xdF E ξ ()()⎰

+∞∞+-+

-0

0]1[|]1[dx x F x F x

由(1)式得 ()()⎰

⎰

∞+∞

---=

0]1[dx X F dx X F E ξ

例题4 已知连续型的随机变量ξ的分布函数为()x

e X F 2

1=

x<0 ，求ξE

=x

e --2

11 x ≥0 解 ()

⎰

⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-----=-=---=

0002

102

12121]11[dx e e dx e dx e E x x x x

ξ

5. 结合随机微分方程求数学期望

例题5 求证()⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛=⎰-S S S f e E t T dt

r T

t

t |]

4[成立，其中t S 代表t 时刻标的资产的价格，t r 是

即期无风险利率，()T S f 是欧式未定权益的到期收益。

1973年，Black 和Scholes 利用无套利原理给出了著名的期权定价公式

]

5[，促进了金融属性

领域的快速发展。由现代金融数学理论，欧式未定权益的价值最终归结为在风险中性下的数学期望

()⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=⎰-S S S f e E t T dt

r T

t t |

记

()()()

()S S K S e E S t v t T t T r P =-=+

--|,，

其中r ，K 为常数，t S 满足 随机微分方程 t t t t dB S dt rS S d σ+=，

t B 为风险中性概率测度P 下的标准布朗运动。P

E 表示在测度P 的条件期望算子，

()()0,max K S K S T T -=-+

,这个期望在金融中代表标准视频看涨期权的价值。

()()

()

(

)

S S K

e

E S t v t t T r P

=-=+

--|e

ξ

，

()

()

()()()()

()⎰∞

+∞

-+

-----+----=dx t T t T r S x t T K

e

e

x

t T r }2]2/ln [exp{21

2

2

2σσσπ()

()

()()()()

()⎰∞+-----+----=K

x

t T r dx t T t T r S x t T K

e

e

ln 2

2

2}2]2/ln [exp{21

σσσπ()

()()()()

()----+---=

⎰∞

+--dx t T t T r S x e t T e K x

t T r ln 22

2}2]2/ln [exp{2σσσπ

()()()()()

()

⎰

∞+-----+---K

t T r dx t T t T r S x t T Ke ln 2

2

2}2]2/ln [exp{2σσσ

π 对第一个式子进行配方，对第二个式子作变换()()()

()

t T t T r S x y ---=-=

σ

σ2/ln 2,并记

()()()

()

t T t T r K S d --++=

σ

σ2//ln 21 ，()()

()

()

()t T d t T t T r K S d --=---+=

σ

σσ122//ln 2

得

()()

()()()()

()()⎰∞+----++--++---=K

t T r dx t T r S t T t T r S x t T e

S t v ln 2

2

2]}[ln 2]2/ln [exp{21

,σσσ

π()⎰∞+--

--2

2

2

21d y t T r dy e

K e π

()⎰⎰∞

+-∞+--

----=1

2

222

2

2121d d y t T r y dy e

K e dx e

S ππ

()⎰

⎰

∞

-∞

--

---

-=1

2

222

2

2121d d y t T r y dy e

K e dx e

S ππ

()()()21d N Ke d SN t T r ---=

其中()⎰∞

--

=

x

y dy e

x N 2

2

21

π

为标准正态累积分布函数。

小结：数学期望的计算在概率论中占据着很重要的位置，我们可以发现不同的数学条件需要用不同的方法来解决问题。下面我们就来看看，数学期望可以应用在那些领域，哪些方面。从中去领会数学期望的重要性和必要性。 二．数学期望的应用

1.数学期望与方差在农作物决策问题中的应用]

6[

在农业生产当中，选种优良农作物品种是取得丰产的前提，人们通过在某一一特定的区域分别种两种或两种以上品种，经过连续几年的实验．统计有关数据应用概率中的数学期望与方差的思想确定产量稳定的品种即优良品种．以下我们看两个关于选小麦种和水稻种的例子：

例题6 : 甲乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量 如下：

(单位：吨／平方千米)

解(1)先求出甲乙两种小麦产量的期望值：

.10)2.10101.109.98.95

1

=++++=（甲x 0

.108.97.98.103.104.95

1

=++++=）（乙x 可得出甲乙两种小麦产量的期望值相等． (2)求出甲乙两种小麦产量的方差

02

.0]2.01.01.02.0[5

122222

=+++=甲s

124

.0]2.03.08.03.06.0[5

1222222

=++++=乙s 从而可确定小麦品种甲产量比较稳定．

2、用数学期望的方法来调整刀具尺寸]

7[

除了农业，现实中经常要用到的刀具也需要利用数学期望来解决问题。下面就让我们来了解一下数学期望在这方面的应用。

需知一批零件之间，首先要调整好刀具或砂轮的尺寸，在只考虑刀具调整尺寸(单因素)引起的误差日十，一般可按公差带的中心尺寸来调整，但这样调整使得可修复的疵品与不可修复的废品出现的概率相等。由于可修复品与废品的损失是不同的(通常后者要远大于前者)。为此，我们可以根据可修复品与废品损失的不同值用数学期望的方法来找出最佳p 值获得最大利润率：

例如，在镗床上用镗，J 来镗削一批工件，其合格尺寸范围为p ～q ，每牛产销售个合格产品的收人为n

元，而生产一个大于口的产品损失为s 元，生产一个小

于p 的产品损失为m 元，这样生产一个零件的利润a(x)与直径的关系如下：

⎪⎩

⎪

⎨⎧--=s n m

X a )( q X q

X p p X ><<< X 的概率密度为：

]

)(21exp[21)(2σμπ

σ--=

x x f

)(X a 的数学期望为：

1

)()()()()]

(1[)()]()([}

{}{}{)()()()]([--+--+=--------=>-<-<<=-++-=⎰⎰⎰+∞

∞

-σ

μ

φσμφσ

μφσ

μφσμφσμφp m n q s n q s p m p q n q X sP p X mP q X p nP dx

x sf dx x nf dx x mf X a E q

p

q

p

其中是)(x φ标准正态分布函数，设)(x ψ为标准正态分布函数，为求的)]([X a E 的极值点，将关于μ求导，得：

)

(2)}ln(){ln(20]2)(exp[2)(]2)(exp[2)(0

)]}

([{)

()()()()]}([{2222

2

22q p q p m n s n p m n q s n d X a E d p m n q s n d X a E d --++-+=

=--+---+=-+--+=σμσμπ

σσμπσμσϖψσμψμ 即当μ 等于上述值时，)]([X a E 的值最大，即利润最大。 3.数学期望在民事纠纷中的应用

在民事纠纷案件中如果受害人将案件提交法院诉讼,他(她)除了要考虑胜诉的可能性外

还要考虑诉讼费用的负担。理性的当事人往往通过私下协商赔偿费用而趋于和解，免于起诉。 在一个典型的交通事故案件中司机（致害人）开车撞伤了受害人 ，使受害人遭受了10万元的经济损失。假若将案件提交诉讼 ，诉讼费用共需要0.4万元并按所负责任的比例由双方承担。从事故发生的情形分析，法院对事故判决可能有三种情况：

（一）致害人应承担100%的责任，要向受害人赔偿10万元的损失费用，并支付全部 0.4万元的诉讼费；

（二）致害人应承担70%的责任，要向受害人赔偿7万元的损失费用，并支付0.4 万元诉讼费的 70%，诉讼费另外的30%由受害人支付；

（三）致害人应承担50%的责任，要向受害人赔偿5万元的损失费用，0.4万元的诉讼费由双 方各负担一半。

受害人估计三种情况发生的概率分别为0.2、0.6和0.2，如果致害人希望私下和解而免于起诉，

他应至少给受害人多少数额的赔偿费，才会使受害人从经济收益上考虑而趋于和解？]

8[

解：设受害人上诉时可获得的收益为ξ，其分布为：

则受害人上诉时可获得的期望收益为：

100.2(70.40.3)0.6(50.40.5)0.27.96(E ξ=⨯++⨯⨯++⨯⨯=万元）

因此致害人至少应给受害人7.96万元的赔偿费，才会使受害人从经济收益上考虑趋于和解。 参考文献：

[1] 刘崇林. [J]. 数学教学研究， 2009，28（5）：51—53. [2] 朱福国. [J]. 高等数学研究V ol.13,No.4 Jul. 2010：71—73. [3] 刘成. [J]. 赤峰学院学报，第25卷 第3期 : 6—8. [4] 王琦. [J]. 大学数学，2010，26（1）：（193—197）

[5] Black F ，Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities [J]. Journal of

Polictical Economy ，1973，81：637—654. [6] 张少华. 数学期望在农业生产中的应用 [J]. 安徽农业科学,2011,39（16）.

[7] 李建，毛汉玲. 数学期望在加工过程刀具调整中的应用 [J]. 机械工程师，2001,12：16-17. [8] 刘淑环，数学期望在名师纠纷中的应用[J],.学的实践与认识，2003，（5）.

数学期望的计算公式

数学期望的计算公式 数学期望是概率论中的重要概念，用于描述随机变量在大量试验中的平均值。数学期望常用于统计分析和决策模型的建立。本文将介绍数学期望的计算公式，并举例说明其应用。 一、离散型随机变量的数学期望计算公式 对于离散型随机变量X，其取值有限且可数，其概率分布可以用概率质量函数P(X=x)表示。则X的数学期望E(X)计算公式如下：E(X) = Σ[xP(X=x)] 其中，Σ表示求和运算，x表示随机变量X的取值，P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。 例如，假设有一个骰子，其有6个面，每个面的点数分别为1、2、3、4、5、6，且每个面的点数出现的概率相等。我们可以通过计算骰子的数学期望来获取平均点数的预期值。 设随机变量X表示骰子的点数，则X取值为1、2、3、4、5、6的概率均为1/6，因此骰子的数学期望E(X)的计算如下： E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5 因此，通过计算可得，骰子的数学期望为3.5。 二、连续型随机变量的数学期望计算公式

对于连续型随机变量X，其取值在某个区间上，其概率分布可以用概率密度函数f(x)表示。则X的数学期望E(X)计算公式如下：E(X) = ∫[xf(x)]dx 其中，∫表示积分运算，x表示随机变量X的取值，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。 例如，假设有一个服从均匀分布的随机变量X，其取值范围在0到1之间。我们可以通过计算随机变量X的数学期望来预测其取值的平均数。 设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则在0到1之间，f(x)的取值为1。因此，X的数学期望E(X)的计算如下： E(X) = ∫[x * 1]dx = ∫xdx = 1/2 因此，通过计算可得，随机变量X的数学期望为1/2。 综上所述，对于离散型随机变量和连续型随机变量，其数学期望的计算公式分别为Σ[xP(X=x)]和∫[xf(x)]dx。通过计算数学期望，我们可以了解随机变量取值的平均情况，从而进行更准确的统计分析和决策模型的建立。数学期望的计算公式是概率论中的基础知识，对于数学和统计学的学习具有重要的意义。 参考文献： （省略）

数学期望在生活中的应用原文

一、数学期望的定义及性质 （一）数学期望分为离散型和连续型 1、离散型 离散型随机变量的一切可能的取值Xi与对应的概率Pi(=Xi)之积的和称为该离散型随机变量的数学期望（设级数绝对收敛），记为E（X）。数学期望是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。如果随机变量只取得有限个值，称之为离散型随机变量的数学期望。它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。E(X) = X1*P(X1）+ X2*P(X2)+ …… + Xn*P(Xn)。X1,X2,X3，……，Xn 为这几个数据，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3，……，Xn出现的频率f(Xi),则：E(X) = X1*P(X1）+ X2*P(X2）+ …… + Xn*P(Xn) = X1*f1(X1） + X2*f2(X2）+ …… + Xn*fn(Xn)。 2、连续型 连续型则是：设连续性随机变量X的概率密度函数为f（X），若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，记为E(X)。若随机变量X的分布函数F(X)可表示成一个非负可积函数f(X)的积分，则称X为连续随机变量，f(X)称为X的概率密度函数（分布密度函数）。能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为连续型随机变量。 （二）数学期望的常用性质 1.设X是随机变量，C是常数，则E（CX）=CE（X）； 2.设X，Y是任意两个随机变量，则有E（X+Y）=E（X）+E（Y）； 3.设X,Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X）E（Y）。 对于第一条性质，假设E（X）你的考试成绩，C为你们全班人数，则你们全班总分的期望等于全班人数乘以个人的期望，这很好理解。 对于第二条性质，E（X）为你的考试成绩，E(Y)是小明的考试成绩，你和他成绩总和的期望当然等于你和他的期望值和。 对于第三条性质，我们一再强调是独立的，也就是相互没有关联，有关联是肯定是不是不等的。

数学期望的六个公式

数学期望的六个公式 数学期望是一个概念，用于描述概率实验或随机变量的预期值，被广泛应用于统计学，信息论，投机策略和把数字概念应用于实际问题的其他领域。数学期望有六个公式，它们是总和期望，乘积期望，定义期望，方差公式，协方差公式和零期望公式。 首先，总和期望公式定义为任何给定的两个事件X和Y的期望相加的结果，即E(X+Y) = E（X）+ E（Y）。这意味着，如果一个随机变量X的期望值为3，而Y的期望值为4，那么X和Y的总和期望就为7。 其次，乘积期望公式定义为任何给定的两个事件X和Y的期望相乘的结果，即E（XY）=E（X）×E（Y）。乘积期望不仅用于双重期望，而且还用于多重期望。同样，如果一个随机变量X的期望值为3，而Y的期望值为4，那么X和Y的乘积期望就为12。 接下来是定义期望，即定义期望公式，它定义为分布的期望的加权平均值，其中每个可能的值X在函数f（x）上有不同的权重。这个公式可以用来求解可能的联合分布的任何期望。 下一个是方差公式，即方差公式，它定义为一个随机变量与其期望之间的偏离度量，并且可以用来衡量概率分布的扩散程度。方差公式可以表达为Var（X）= E（X-E（X）），记作σ2。 然后是协方差公式，也称为协方差矩阵，它定义为两个随机变量之间的度量，它表示两个随机变量之间的关系。它可以用来衡量两个变量之间正负相关性，并且可以用来检测金融数据中的关联性。协方

差公式可以表达为Cov（X，Y）= E（XY）-E（X）E（Y），记作σxy。 最后，是零期望公式，它定义为任意离散变量的期望是0，即E （X）= 0。它常用于信号处理，表示非零值时没有偏移。 以上就是数学期望的六个基本公式。数学期望在统计学，信息论，投机策略和其他应用概率的领域都有广泛的应用，有助于我们对概率分布的理解和分析。

数学期望的原理及应用

数学期望的原理及应用 1. 原理 数学期望是概率论中的一个重要概念，用于描述随机变量的平均值。在概率论中，随机变量是指在一个随机实验中，可以随机地取不同值的变量。数学期望可以看作是随机变量的平均取值，它是对随机变量可能取值的加权平均。 数学期望的计算公式为: $$E(X) = \\sum_{i=1}^{n} X_i \\cdot P(X_i)$$ 其中，X i是随机变量的某个取值，P(X i)是X i对应的概率。 数学期望的求解步骤如下： 1.确定随机变量的全部可能取值； 2.计算每个取值的概率； 3.计算每个取值与其对应概率的乘积； 4.将上述乘积相加即得到数学期望。 2. 应用 数学期望在各个领域都有广泛的应用，以下是数学期望在一些具体问题中的应 用案例： 2.1 统计学 在统计学中，数学期望是一个重要的统计指标，用于衡量一个随机变量的中心 位置。例如，在对一个随机样本的分析过程中，可以通过计算样本的数学期望来了解样本的平均水平。数学期望还被广泛应用于估计总体的参数，例如通过样本的平均值来估计总体的均值。 2.2 金融学 在金融学中，数学期望在投资组合的管理中发挥重要作用。通过计算各个投资 标的的数学期望，可以评估投资标的的预期收益。基于这些数学期望，投资者可以根据自己的风险偏好进行资产配置，以达到最优的投资组合。 2.3 工程学 在工程学中，数学期望可以应用于各种实际问题的分析。例如，在电力系统中，可以通过计算电力负荷的数学期望来确定电力系统的设计容量。在工程项目的成本估算中，也可以通过计算工程成本的数学期望来进行成本控制和决策。

2.4 计算机科学 在计算机科学中，数学期望被广泛用于分析算法的性能。通过计算算法的平均运行时间的数学期望，可以评估算法的效率和性能。数学期望还被用于建模和优化网络传输的时延和吞吐量。 3. 总结 数学期望作为概率论中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。它是随机变量的平均取值，描述了随机变量的中心位置。通过计算随机变量的数学期望，可以用于统计分析、金融投资、工程项目和计算机科学等领域的问题解决。熟练掌握数学期望的原理和应用，有助于提升问题分析和决策能力。

数学期望在生活中的运用

数学期望的性质及其在实际生活中的应用 ●数学期望的概念： 在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。是最基本的数学特征之一，它反映随机变量平均取值的大小。 ●数学期望的定义 E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) X1,X2,X3,……,Xn为这几个数据，p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3,……,Xn出现的频率f(Xi). 则： E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn) E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。 ●数学期望的应用： 例一、某一彩票中心发行彩票10万张，每张2元。设头等奖1个，奖金1万元，二等奖2个，奖金各5千元；三等奖10个，奖金各1千元；四等奖100个，奖金各100元； 五等奖1000个，奖金各10元。每张彩票的成本费为0.3元，请计算彩票发行单位的创收利润。 E（X）＝10000×＋5000×＋ 0 ＝0.5（元） 每张彩票平均可赚 2－0.5－0.3＝1.2（元）， 因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为 100000×1.2＝120000（元） 小结：通过计算期望，我们可以得到单张彩票的平均利润，从而得出总共的创收利润。 例二、某投资者有10万元资金，现有两种投资方案供选择：一是购买股票;二是存人银行。买股票的收益主要取决于经济形势，假设经济形势分为三种状态：形势好、形势中等、形势不好。在股市投资10万元，以一年计算，若形势好可获利40 000元;若形势中等可获利10 000元;若形势不好则会损失20 000元。如果存人银行，假设年利率为8%，即一年可得利息8 000元。又设年经济形势好、中等、不好的概率分别为30%、50%和20%。试问该投资者想获得最高收益期望应选择哪种投资方案? 分析： 购买股票的收益与经济形势有关，存入银行的收益与经济形势无关。购买股票在经济形势好和中等的情况下是合算的，但是如果经济形势不好，则采取存人银行的方案比较好。因此，要辨别哪一种方案更优，就必须计算购买股票的收益期望，然后与存入银行的收益进行比较来判断。 如果购买股票，其收益的期望值E=40000×0.3+10000×0.5+(-20000)×0.2=13000(元);如

数学期望公式3篇

数学期望公式 第一篇：基础概念与定义 数学期望是概率论中的一个重要概念，它可以用于描述 随机变量的平均值，也可以用于评价随机事件的平均结果。在现代数学、统计学以及应用科学等领域，数学期望被广泛应用。本文将介绍数学期望的基础概念与定义。 数学期望，又称为期望值或期望数，是指对于一组数据，分别乘以它们出现的概率后再相加得到的结果。从数学上来说，对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)可以用下面的公式来表示： E(X) = Σ(x*p(x)) 其中，x为X的可能取值，p(x)为X取值为x的概率，Σ表示对所有可能取值x的求和操作。 同样的，对于一个连续型随机变量X，它的数学期望E(X)可以用下面的积分形式来表示： E(X) = ∫x*f(x)dx 其中，f(x)为X的概率密度函数。 在实际应用中，数学期望可以用来解决很多问题。例如，对于平均身高为175cm的人群，如果我们想知道某一个个体身高与平均身高的差距有多大，我们可以计算出这个人的身高与平均身高的差值，并将其除以人群总数。这样，得到的结果就是所有个体身高与平均身高之差的平均值，即身高的数学期望。通过比较这个差值与标准差，我们可以了解这个人的身材是否比较健康和匀称。

另外，数学期望还可以用于描述随机事件的效果。例如，当我们掷骰子时，我们可以计算出每个点数和其对应的概率，然后将它们相乘再相加，得到的结果就是掷骰子的数学期望。如果我们掷了十次骰子，我们可以将每次掷骰子得到的点数的平均值与掷骰子的数学期望相比较，了解我们掷骰子的效果如何。 总之，数学期望是衡量随机变量的均值的一种方法，它 可以用于处理多种实际问题。在实际应用中，要根据实际情况选择相应的数学期望公式进行计算和分析。在下一篇文章中，我们将继续介绍数学期望的一些重要性质和应用。 第二篇：数学期望的性质和应用 数学期望作为概率论中的一个重要概念，其具有多种性 质和应用。通过了解这些性质和应用，我们可以更深入地了解数学期望的本质。本文将介绍数学期望的一些重要性质和应用。 数学期望具有可加性和线性性。可加性是指，对于两个 随机变量X和Y，它们的和Z=X+Y的数学期望等于X的数学期 望和Y的数学期望之和，即E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)。线性性 是指，对于一个随机变量X和一个常数a，有E(aX)=aE(X)。 这些性质可以简化数学期望的计算和分析过程。 除了可加性和线性性外，数学期望还具有独立性。如果 两个随机变量X和Y互不相关，则它们的乘积Z=XY的数学期 望等于X的数学期望和Y的数学期望的积，即 E(Z)=E(XY)=E(X)E(Y)。这个性质在统计学中很常见，因为它 可以用来对数据进行拟合和预测。 在实际应用中，数学期望可以用于处理多种问题。例如，在投资问题中，我们可以用数学期望来计算一个投资组合的收益率和风险因素。在保险模型中，数学期望可以用来计算保险

高考数学期望知识点

高考数学期望知识点 数学作为高考的一门基础学科，在社会发展的过程中扮演着重 要的角色。而其中的数学期望概念，更是每个高中学生必须掌握 的知识点之一。本文将从不同角度对高考数学期望知识点展开深 入的探讨，希望对广大考生有所帮助。 1. 数学期望的定义 数学期望是统计学中的一个重要概念，用来描述一组数据的平 均值。在高考数学中，期望值通常用符号E(X)表示，其中X是随 机变量。数学期望的计算方法根据不同的随机变量类型而异，比 如离散型随机变量和连续型随机变量。对于离散型随机变量，期 望可以通过每个事件发生的概率乘以对应的取值，再求和来计算；对于连续型随机变量，期望可以通过概率密度函数进行积分求解。 2. 数学期望的应用 数学期望在实际生活中有着广泛的应用。以购买彩票为例，假 设一张彩票中奖的概率为p，中奖金额为x，不中奖的金额为y。 那么购买一张彩票的期望收益可以表示为(1-p)y+px，其中(1-p)y为

不中奖的期望收益，px为中奖的期望收益。通过计算这个期望值，可以帮助人们做出更明智的决策。 在金融领域，数学期望也扮演着重要的角色。例如，在投资理 财中，人们可以通过计算不同投资方案的期望收益来评估风险和 回报。通过对期望收益的比较，可以选择最合适的投资组合，以 达到最佳的资产配置目标。 3. 数学期望的性质 数学期望具有一些特殊的性质，这些性质在高考中也经常被考察。其中，最重要的性质是线性性质。即期望运算对于常数的线 性性质，对于随机变量X,Y和常数a,b，有E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y)。这个性质使得计算复杂随机变量的期望值变得相对简单。 另外，数学期望还具有一个重要的性质，即保序性。对于两个 随机变量X和Y，如果对于任意的实数x，有P(X≤x) ≤ P(Y≤x)， 那么有E(X) ≤ E(Y)。这个性质直观地表明了数学期望可以用于比 较不同随机变量的概率分布。

数学期望及其应用

数学期望及其应用 在经济学和决策科学中，期望效用理论是一种基本的理论基础，用于解释个体在不确定条件下如何进行决策。该理论认为，个体在做出决策时，会根据对结果的期望效用值来权衡各种可能的结果。本文将详细探讨期望效用理论及其检验研究，旨在提供一个全面的概述。 期望效用理论可以简单定义为：个体对未来不确定结果的偏好，是基于其对结果的可能性和效用值的预期。在决策分析中，它被广泛应用于评估风险和不确定条件下的决策结果。该理论有两个基本假设：一致性假设和独立性假设。一致性假设指个体会按照预期的效用值来选择决策；独立性假设则指个体的选择不受无关因素影响。 在期望效用理论的应用中，通常涉及到的定理有：风险厌恶定理、风险中性定理和确定性效应定理。这些定理揭示了个体在面对风险和不确定性时的行为特征。 对于期望效用理论的检验，研究者们采用了多种方法，包括实证检验、历史文献回顾等。实证检验主要是通过实验或调查收集数据，然后运用统计方法来验证理论是否符合实际观察的结果。历史文献回顾则是通过对已有研究进行梳理，分析期望效用理论在不同领域的应用效果。

在实证检验方面，研究者们通常会设计一些实验或调查来收集数据，以验证期望效用理论的有效性。例如，通过让被试者在不同的奖励和风险条件下进行决策，然后分析他们的选择是否符合期望效用理论的预测。 历史文献回顾表明，期望效用理论在经济学、金融学、心理学、社会学等多个领域都有广泛的应用。如在经济学中，期望效用理论被用于研究消费者和生产者的行为决策；在金融学中，该理论被用于解释投资者的风险偏好和资产配置；在心理学中，期望效用理论被用于分析人类的判断和决策过程；在社会学中，该理论被用于研究社会偏见和歧视现象。 期望效用理论在实践中的应用非常广泛。例如，在经济领域，基于期望效用理论的决策模型被用于预测消费者的购买行为和企业的最优 定价策略；在金融领域，该理论被用于设计风险对冲策略和资产定价模型；在医疗领域，基于期望效用理论的决策分析被用于制定疾病治疗方案和评估医疗政策的效果。 期望效用理论在各个领域的实践应用都表明，它能够有效地描述和分析个体在不确定条件下的决策过程。然而，尽管期望效用理论具有广泛的应用和实证支持，但其本身仍存在一些限制和挑战。例如，该理

数学期望的计算及应用

数学期望的计算及应用 数学与应用数学111 第四小组 引言： 我们知道，随机变量的概率分布是随机变量的一种最完整的数学描述，而数学期望又是显现概率分布特性的最重要的特征数字之一。因此，掌握数学期望的计算并应用他来分析和解决实际问题显得尤为重要。在学习了概率论以后，我们计算数学期望一般有三种方法：1.从定义入手，即∑∞ == 1 )(k k k p x X E ；2. 应用随机变量函数的期望公式 ∑∞ ==1 )())((k k k p x q x q E 3. 利用期望的有关性质。但是还是会碰到许多麻烦，这里我们将 介绍一些解决这些难题的简单方法。在现实生活中，许多地方都需要用到数学期望。如果我们可以在学会怎么解决数学期望的计算之后，将数学期望应用到现实生活中。就可以解决许多问题，例如农业上，经济上等多个方面难以解决的难题。 下面就让我们来看看，除了最常用的三种计算方法之外还有哪些可以计算较为棘手的数学期望的方法。 1. 变量分解法 ] 1[ 如果可以把不易求得的随机变量X 分解成若干个随机变量之和,应用 )(...)()()...(2121n n X E X E X E E E X E ++=++再进行求解得值，这种方法就叫做变量 分解法。这种方法化解了直接用定义求数学期望时的难点问题，因为每一种结果比较好计算，分开来计算便可以比较简单的获得结果。 例题1 ： 从甲地到乙地的旅游车上载有20位旅客，自甲地开出，沿途有10个车站，如到达一个车站没有旅客下车，就不停车，以X 表示停车次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的) 分析 ： 汽车沿途10站的停车次数X 所以可能取值为0，1，….，10，如果先求出X 的分布列，再由定义计算E(X)，则需要分别计算{X=0}，{X=1}，…，{X=10}等事件的概率，计算相当麻烦。注意到经过每一站时是否停车，只有两种可能，把这两种结果分别与0，1对应起来，映入随机变量i X 每一种结果的概率较易求得。把X 分解成若干个随机变量i X 之和，然后应用公式)(...)()()...(2121n n X E X E X E E E X E ++=++就能最终求出E(X)。

随机变量的数学期望与方差

随机变量的数学期望与方差随机变量是概率论和统计学中的重要概念，用来表示随机试验的结果。在研究随机变量时，我们常常关注它们的数学特征，其中最常用的指标是数学期望和方差。 一、数学期望 数学期望是描述随机变量平均取值的一个指标，记作E(X)。对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为： E(X) = ∑(x * P(X = x)) 其中，x 表示随机变量可能的取值，P(X = x)表示随机变量取值为 x 的概率。通过这个公式，我们可以计算出随机变量的平均取值。 例如，假设我们抛一枚公平的硬币，正面为1，反面为0。随机变量 X 表示硬币正面朝上的次数，那么 X 的所有可能取值及其概率为：X = 0，P(X = 0) = 1/2 X = 1，P(X = 1) = 1/2 根据数学期望的计算公式，我们可以计算得到该随机变量的数学期望为： E(X) = 0 * 1/2 + 1 * 1/2 = 1/2 这意味着，在多次独立重复抛硬币的实验中，硬币正面朝上的平均次数大约为 1/2。

对于连续型随机变量，数学期望的计算公式稍有不同，可以使用积 分的方法计算。 二、方差 方差是描述随机变量取值分散程度的一个指标，记作Var(X)或σ²。对于离散型随机变量，方差的计算公式为： Var(X) = ∑((x - E(X))² * P(X = x)) 其中，x 表示随机变量可能的取值，E(X)表示随机变量的数学期望，P(X = x)表示随机变量取值为 x 的概率。通过这个公式，我们可以计算 出随机变量的方差。 方差的计算公式可以拆解为方差等于随机变量与数学期望的偏差的 平方乘以概率的和。这意味着方差可以用来衡量随机变量的取值与其 期望值之间的差异程度。 例如，我们继续以抛硬币的例子来说明方差的计算过程。在之前的 例子中，我们已经计算出随机变量 X 的数学期望为 1/2。现在，我们可以使用方差的公式来计算方差： Var(X) = (0 - 1/2)² * 1/2 + (1 - 1/2)² * 1/2 = 1/4 这意味着在多次独立重复抛硬币的实验中，硬币正面朝上的次数与 其期望值的差异程度可以用方差 1/4 来描述。 需要注意的是，数学期望和方差是描述随机变量的两个重要指标， 但并不能完全代表随机变量的全部特征。在实际应用中，我们还需要 考虑其他指标如偏度、峰度等，来全面了解随机变量的性质。

数学期望及其应用

数学期望及其应用 信息上的例谈数学期望这篇文章，对数学期望的相关性质以及应用做了进一步的探讨. 1.数学期望的定义 由于随机变量分为离散随机变量和连续随机变量，所以在定义数学期望式分两种情况. 1.1 离散随机变量的数学期望 设离散随机变量X的分布列为： 这里例题所求运用了期望的定理1，对随机变量所得函数进行了期望计算. 3.2 数学期望在实际生活中的应用 3.2.1 数学期望在商店进货问题中应用 例2 设某商店销售某种商品，该商品每周的需求量ξ是一个服从区间[100，300] 上的均匀分布的随机变量.正常情况下，每销售一单位商品可获利500元.若供大于求，则削价处理，每处理一单位剩余商品亏损100元；若供不应求，可以外部调剂供应，此时一单位商品获利300元.问该商店进货量应该为多少，可使平均每周的利润达到最大？ y实际上为变量，对y求导得0，得到y=23.33.又因为E L ″ 1/ 3

y=-150.所以当y=23.33时，利润的数学期望E L 取得最大值. 3.2.2 数学期望在法律纠纷中的应用 在民事纠纷案件中，受害人如果将案件提交法院诉讼，其不仅需要考虑诉讼胜利的可能性，还应该考虑承担诉讼的费用问题.如果对案件进行理性思考，一般人往往会选择私下解决而不通过法院.现在以一个民事纠纷案件来说明. 例3 某施工单位A在施工过程中由于某种原因致使居民B 受伤，使居民受伤并使其遭受了20万元的经济损失.若将该案件提交诉讼，则诉讼费共需要0.8万元，并按所负责任的比例双方共同承担.而根据案件发生的情形以及外部因素的影响，法院最后的判决可能有三种情况： （1）施工单位A承担事故100 % 责任，要向受害人B支付20万元的赔偿费，并支付诉讼费0.8万元； （2）施工单位A承担70 % 的责任，要向受害人B支付14万元的赔偿费，并支付诉讼费0.56万元，另外0.24万元诉讼费由受害人支付； （3）施工单位A承担50 % 的责任，要向受害人B支付10万元的赔偿费，并支付诉讼费0.4万元，另外0.4万元诉讼费由受害人支付. 居民B估计法院三种判决的可能性分别为0.2，0.6，02，如 2/ 3

数学期望的原理及应用

数学期望的原理及应用 数学期望是概率论中的一个基本概念，它描述了一个随机变量的平均水平或预期值。具体地说，数学期望通过将随机变量的可能取值与相应的概率加权求和来计算。 数学期望的原理可以简单地表示为：对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X每个可能取值xi乘以对应的概率p(xi)的累加和。数学期望的计算公式可以表示为： E(X) = x1*p(x1) + x2*p(x2) + ... + xn*p(xn) 其中，x1, x2, ..., xn为随机变量X所有可能的取值，p(x1), p(x2), ..., p(xn)为对应的概率。 对于连续型随机变量，数学期望的计算方法类似，只是将求和换成了求积分。具体地说，对于一个连续型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X在整个取值范围上的每个取值x乘以对应的概率密度函数f(x)的乘积的积分。数学期望的计算公式可以表示为： E(X) = ∫x*f(x)dx 数学期望的应用非常广泛，以下列举了一些常见的应用场景：

1. 风险评估：数学期望可以用于评估风险，通过计算损失的数学期望来衡量风险的大小。例如，在金融领域中，投资者可以通过计算股票的预期收益来评估投资的风险和回报。 2. 制定决策：数学期望可以帮助人们在面临多个选择时做出决策。通过计算不同选择的数学期望，可以找出最具有潜在利益的选择。 3. 设计优化：数学期望可以帮助优化设计过程。例如，在工程领域中，可以通过计算产品的预期性能来指导设计参数的选择和调整。 4. 分析：数学期望被广泛应用于分析中。游戏参与者可以通过计算不同下注策略的数学期望来制定最终的下注策略。 5. 统计推断：数学期望是许多重要的统计量的基础，如方差、标准差等。通过计算数学期望，可以进行更深入的统计分析和推断。 6. 优化调度：在运输和调度问题中，数学期望可以用来优化资源的分配和调度。通过计算任务完成时间的数学期望，可以制定最优的任务调度策略。 总之，数学期望是概率论中一个重要的工具和概念，它可以帮助我们理解和分析随机现象，并在很多实际问题中发挥重要作用。无论是在风险评估、决策制定、

数学期望的计算方法及其应用

数学期望的计算方法及其应用 摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。 关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法 ABSTRACT ： 第一节 离散型随机变量数学期望的计算方法及应用 1.1 利用数学期望的定义，即定义法[1] 则随机变量Ｘ的数学期望E(X)= )(1 i n i i x p x ∑= 学期望不存在[] 2 例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？ 按数学期望定义，该推销人每箱期望可得 =)(X E 10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元 1.2 公式法 对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。

数学期望及其应用

本科生毕业论文 题目: 数学期望的计算方法与实际应用专业代码: 070101

原创性声明 本人重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名: 日期

指导教师签名: 日期 目录 1.引言1 2.数学期望的定义及其性质2 2.1数学期望的定义2 2.2数学期望的基本性质3 2.3数学期望的计算方法3 3 数学期望在实际生活中的应用8 3.1在医学疾病普查中的应用8 3.2数学期望在体育比赛中应用9 3.3数学期望在经济问题中的应用11 3.3.1 免费抽奖问题11 3.3.2 保险公司获利问题13 3.3.3 决定生产批量问题13 3.3.4 机器故障问题14 3.3.5 最佳进货量问题15 3.3.6 求职决策问题16 4 结论17

参考文献18 致19 摘要 数学期望简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，它代表了随机变量总体取值的平均水平。数学期望的涉及面非常之大，广泛应用于实际生活中的各个领域。在实际生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决。其意义是运用对实践中抽象出来的数学模型进行分析的方法，从而达到认识客观世界规律的目的，为进一步的决策分析等提供准确的理论依据。 本文从数学期望的涵出发，介绍了数学期望的定义、性质，介绍了数学期望的几种计算方法并举以实例，通过数学期望在医学疾病普查、体育比赛和经济问题中的应用的探讨。特别是在经济问题方面，本文又详细分为免费抽奖问题、保险公司获利问题、决定生产批量问题、机器故障问题、最佳进货量问题和求职决策问题，试图初步说明数学期望在实际生活中的重要作用，几个例子将数学期望与实际问题结合，用具体实例说明利用数学期望方法解决实际问题的可行性，体现了数学期望在生活中的应用。 关键词：概率论与数理统计；数学期望；性质；计算方法；应用

期望的计算方法及其性质

期望的计算方法及其性质 期望是数学中一种重要的概念，表示事物发生的平均值。在概 率论、统计学、经济学、物理学等众多领域中都有着广泛的应用。在计算期望时，需要根据不同的情况选择合适的方法，以达到正 确计算的目的。本文将对期望的计算方法及其性质进行探讨，希 望能够为读者提供一些有价值的参考。 一、期望的定义 在概率论中，期望是事件发生的平均值。设X是一个随机变量，其分布函数为F(x)，则X的期望E(X)定义如下： E(X)=∫xf(x)dx 其中f(x)是X的概率密度函数。当X是离散型随机变量时，其 期望可以表示为： E(X)=∑x p(x)x

其中p(x)是X取到值为x的概率。当X是连续型随机变量时，其期望可以表示为积分的形式。 二、期望的基本性质 1. 线性性 设X和Y是两个随机变量，a和b是常数，则有： E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y) 这种关系称为期望的线性性。当a=b=1时，此式表述了期望的可加性。这一性质十分重要，其意义在于，期望可以将事件的发生情况抽象成一个实数，使其具有线性的演算。例如，在经济学中，我们可以将利润或收益看做一种随机变量，通过期望的线性性质，便可以对其进行计算和统计。 2. 单调性 若X≤Y，则有：

E(X)≤E(Y) 这是期望的单调性质。从定义上来看，当X≤Y时，X的取值总是小于等于Y的，因此X的期望值也应该小于等于Y的期望值。这一性质告诉我们，期望可以衡量事件发生的趋势，可以用来进行决策和分析。 3. 平移性 设Z=X+c，则有： E(Z)=E(X+c)=E(X)+c 这是期望的平移性质。从定义上来看，当Z=X+c时，Z的期望值应该等于X的期望值加上c。这一性质告诉我们，期望可以平移，可以用来分析事物发生的变化趋势。 三、常见的计算方法

数学期望在实际生活中的应用

摘要 在现代快速发展的社会中，数学期望作为一门重要的数学学科，它是随机变量的重要数字特征之一，也是随机变量最基本的特征之一。通过几个例子，阐述数学期望在实际生活中的应用包括经济决策、彩票抽奖、求职决策、医疗、体育比赛等方面的一些实例，体现出数学期望在实际生活中颇有价值的应用。通过探讨数学期望在实际生活中的应用，以起到让大家了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。所谓的求数学期望其实就是去求随机变量的以概率为权数的加权平均值，而平均值这一概念又是我们在实际应用中最常用的一个指标,在预测中使用是很具有科学性的。 关键词：数学期望随机变量性质实际应用

Abstract In the rapid development of modern society, the mathematical expectation as an important mathematical subject, it is one of the important digital features of random variables, is also one of the basic characteristics of random variables. Through several examples, in this paper, the mathematical expectation in the practical application of life including economic decision-making, lottery tickets, job, health, sports, etc. In some instances, manifests the mathematical expectation valuable application in real life. Through discuss the application of mathematical expectation in real life to play let everybody understand the knowledge and practice closely linked human rich background, personal experience "mathematics really useful". So-called mathematical expectation is to actually ask for random variables of the probability weighted average of the weight, and mean value in actual application of this concept is our one of the most commonly used indicators, used in the forecast, it is very scientific. Key words: Mathematical Expectation; Stochastic Variable; quality; Practical Application