一种快速聚类算法的GPU加速

Chapter43

Fast Clustering of Radar Re?ectivity Data

on GPUs

Wei Zhou,Hong An,Hongping Yang,Gu Liu,Mu Xu

and Xiaoqiang Li

Abstract In short-term weather analysis,we use clustering algorithm as a fun-damental tool to analyze and display the radar re?ectivity data.Different from ordinary parallel k-means clustering algorithms using compute uni?ed device architecture,in our clustering of radar re?ectivity data,we face the dataset of large scale and the high dimension of texture feature vector we used as clustering space. Therefore,the memory access latency becomes a new bottleneck in our application of short-term weather analysis which requests real time.We propose a novel parallel k-means method on graphics processing units which utilizes on-chip registers and shared memory to cut the dependency of off-chip global memory. The experimental results show that our optimization approach can achieve409 performance improvement compared to the serial code.It sharply reduces the algorithm’s running time and makes it satisfy the request of real time in appli-cations of short-term weather analysis.

Keywords Clustering algorithmáReal timeáShort-term weather forecastáGPUáCUDA

W.Zhou(&)áH.AnáG.LiuáM.XuáX.Li

Department of Computer Science and Technology,

University of Science and Technology of China,

230027Hefei,China

e-mail:greatzv@https://www.docsj.com/doc/b65047224.html,

H.Yang

China Meteorological Administration,Meteorological Observation Centre,

100081Beijing,China

W.Zhou

Hefei New Star Research Institute of Applied Technology,

230031Hefei,China

487 J.J.Park et al.(eds.),Proceedings of the International Conference on Human-centric Computing2011

and Embedded and Multimedia Computing2011,Lecture Notes in Electrical Engineering102,

DOI:10.1007/978-94-007-2105-0_43,óSpringer Science+Business Media B.V.2011

488W.Zhou et al.

43.1Introduction

There are many existing research efforts conducted in the radar data analysis for numerical weather prediction[1].Some of them take the clustering of radar re?ectivity data as a fundamental tool to depict the storm structure.The large volume and high updating frequency(*every5min)of the radar re?ectivity data poses a strict requirement of real timing on the data processing.

Lakshmanan[2]conducted a comparing of several segmentation algorithms used to analyze weather images,and also proposed a nested segmentation method using k-means clustering[3].However,the execution time required by k-means algorithm is signi?cantly long and scales up with the size and dimensionality of the dataset.Such feature hinders its application into the short-term weather analysis,which emphasizes the real-timing a lot.

On the other hand,as a specialized single-chip massively parallel architecture, graphics processing units(GPUs)are becoming increasingly attractive for general purpose parallel computation beyond their traditional uses in graphics rendering. For the parallel codes that required costly computational clusters to achieve rea-sonable speedup,they could be ported to GPUs to gain the equivalent perfor-mance.The NIVDIA compute uni?ed device architecture(CUDA)makes the programming easier.

GPU also brings convenience and lower cost.It has shown throughput and performance per dollar that is higher than traditional CPU by orders of magnitude. Consequently,parallel clustering algorithms for the traditional computational clusters could be ported to desktop machines or laptops now.Thus,GPU are providing weather researchers great convenience to conduct fast weather analysis and forecast.

The intrinsic feature of clustering algorithm makes it suitable to be imple-mented as multithreaded SIMD program in CUDA.Many researches aimed at porting the clustering algorithm to CUDA-enabled GPU[4–7];however,most of them only port part of clustering works to the GPU,not the whole process of clustering algorithm including k centroids re-calculation.Therefore,the rich memory hierarchy of GPU has not been fully utilized yet.Meanwhile,the bot-tleneck in our real time system actually derives from the long memory access latency.

In this paper,we propose a novel method using on-chip registers and shared memory to reduce the global memory latency,and in turn fully utilize the feature of many-core architecture and the rich memory hierarchy to optimize the whole process of the clustering of radar re?ectivity data.The result shows that our approach reduces the algorithm’s execution time within4s with1million points input,and thus enable its satisfaction of the real time requirement of short-term weather analysis.Moreover,our approach could be applied in the cases of mul-timedia computing in which clustering is adopted in the process of images.

43Fast Clustering of Radar Re?ectivity Data on GPUs489 The paper is organized as follows.Section43.2presents the related works of clustering algorithm using CUDA.Section43.3presents the clustering of radar re?ectivity data based on CPU.Section43.4gives the details of our fast clustering of radar re?ectivity data.It shows the strategy of parallelizing and the complexity of our algorithm.The experiments of our approach are reported in Sect.43.5. Finally,conclusions are drawn in Sect.43.6.

43.2Related Work

As the clustering algorithm is widely used in many areas,many researches have been made to port the clustering algorithm onto GPU[4–7].

Farivar et al.[4]parallelized the k-means algorithm and achieved a satisfying speed up.But the algorithm only dealt with1D dataset and only parallelized the ?rst phase of algorithm.

Chen et al.[7]propose a mean shift clustering algorithm and accelerate the k means clustering using CUDA.But after each of iteration,they use a single thread to solve the means updating and threads synchronization which reduce the performance.The GPU’s rich memory hierarchy was not well utilized in this step.

Walters et al.[6]used clustering in liver segmentation.They ignored the threads synchronization between block and made the difference ratio in control. Achieve great speed up at the cost of sacri?cing the precision.

Most of the work only parallelized the partial steps of clustering[4,5,7]. The rich memory hierarchy on GPU was seldom fully utilized to combine with the algorithm improvement.In order to meet the request of real time,our fast clus-tering of radar re?ectivity data adopts a new method and achieves higher speed up.

43.3Clustering of Radar Re?ectivity Data

Clustering algorithm is widely used in automated weather analysis area. Lakshmanan[3]proposed a method to segment radar re?ectivity data using tex-ture.In the implementation of this method,k-means clustering algorithm was adopted to cluster the radar re?ectivity data.

The k-means algorithm is one of the most popular clustering methods.In our implementation,a set of n data points R={r1,r2,…,r n}in a d-dimensional space is given,where each data point represents1km*1km and the d-dimensional space is composed by the texture feature vectors extracted from radar composition re?ectivity.The task of k-means is to partition R into k clusters S={S1,S2,…, S k}such that each cluster has maximal similarity as de?ned by a cost function related to weather analysis[8].

In our clustering of radar data,we preprocess the input data by labeling the areas requiring computation.Then,we adopt k-means algorithm iteratively to partition the dataset into k clusters.It ?rst divides up the measurement space into k equal intervals and each data point was initially assigned to the interval in which its re?ectivity data value lies,and so the initial k centroids are calculated.Then,the algorithm iterates as follows:(1)Compute the cost function between each pair of data point and the centroid,and then assign each data point to the centroid with the minimum cost function.The cost function incorporates two measures,the euclidean distance and contiguity measure [8];(2)Recalculate new centroids by taking the means of all the data points in each cluster.The iteration terminates when the changes in the centroids are less than some threshold or the number of iterations reaches a prede?ned threshold.The whole process is shown in Algorithm 1.

We point out that there’s an interesting distribution of radar re?ectivity.The points with the same value are always in the same area.We only need to compute the area we care about.The areas where re?ectivity data value below a threshold can be ignored in our meteorology application.So we preprocess the input data and label the areas needing computation before performing k-means.The areas needing computation are only the rectangle areas in Fig 43.1b.the feature of the re?ectivity distribution sharply reduces the computational requirement.Our clustering of radar re?ectivity data includes the following steps

1.Preprocess the input data.

2.Partition the input data using k-means with the cost

function.

Fig.43.1a The distribution of radar re?ectivity data.b The value of the area outside the rectangle is bellow 5dbz,thus,we can ignore it in our weather analysis,and sharply reduce the computation.c The result after clustering

490W.Zhou et al.

43Fast Clustering of Radar Re?ectivity Data on GPUs491 Algorithm1Clustering of radar data based on CPU

43.4Design of Fast Clustering of Radar Re?ectivity Data

on GPUs

The computational complexity of algorithm1is O[n?m(nk?n?k)].Lines 1–2preprocess the data once and get complexity O(n);Lines3–28contain a series of2-phase steps.Lines3–12compute the cost function and assign each point to the cluster whose centroid has minimum cost function values with it.This phase has a complexity of O(nk);Lines13–23recalculate the centroids and has a complexity O[(n?k)d],where d is dimension of the data point.

492W.Zhou et al.

Many works have been done to parallelize the?rst phase:data points assign-ment.But after parallelizing the?rst phase,the problem we faced is that the second phase recalculating the centroids becomes the new bottleneck for our short-term weather forecast application which has strict real time requirements.To see this,observe that with p cores we can accelerate the?rst phase to O(nk/p),so the ratio between the two is O[nk/p(n?k)]&O(k/p)(for n)k)when d=1.That means when k is a few orders of magnitude larger than the amount of cores,the algorithm is bound by the?rst phase and not by the second.For example,in the Farivar’s[4]implementation,there were about k=4,000clusters and32 streaming multiprocessors and the performance is bound by the?rst phase only. But in our clustering of radar re?ectivity data,k is3–16[1],and there are16or30 multiprocessors(p=16or30).So the second phase becomes the new bottleneck for us.We show it with the experimental results in Sect.43.5.part A.The high-dimensional of dataset causes larger memory access and makes things worse. Therefore,we adopt a new method including parallelizing the second phase on GPUs utilizing the shared memory and registers to reduce the memory access latency.

The problems in the?rst phase are the large scale dataset and the high dimension of the data point which causes long memory latency.The on-chip register resource must be utilized skillfully to decrease the reading latency.The strategy is simply as follow:(1)keep the multiprocessors busy;(2)keep register usage high and reduce the usage of local memory;besides,coalesced access to global memory also decreases the reading latency.

We discuss speci?c design decisions to accelerate k-means for the CUDA architecture in the following two subsections.Section43.4.1introduces parallel algorithm for assignment of data points.Section43.4.2illustrates our novel par-allel algorithm for k centroids recalculation.

43.4.1Data Points Assignment

The CPU-based algorithm of assignment of data points is shown in algorithm1 lines3–12.There are two strategies to parallel the algorithm.The?rst is the centroid-oriented,in which the cost function value from each centroid to all data points are calculated and then,each point get its own centroid with minimum cost function value.Another is the data points-oriented.It dispatching one data point to one thread and then each thread calculates the cost function from one data point to all the centroids,and maintains the minimum cost function value and the corre-sponding centroid.The former strategy has disadvantage that each point which is stored in off-chip global memory has to be read several times and causes long latency.Another disadvantage in our clustering of radar data is that our k is small (k=3–16),resulting in making the number of threads too small for GPU sche-duler to hide the latency well in this strategy.Therefore,the latter strategy is adopted in our application.The parallel algorithm of data point assignment is

43Fast Clustering of Radar Re?ectivity Data on GPUs493 shown in Algorithm2.Lines1–2show the design of block size and grid;line3–5 calculate the position of the corresponding data points for each thread in global memory;line6loads the data point into the register;line7–13compute the cost function and maintain the minimum one.

Algorithm2Data points assignment based on GPU

Algorithm2only has one loop instead of two loops in Algorithm1.The loop for n data point has been dispatched to n threads.If the number of processing elements were equal to the number of data points,this pass could be?nish in one step.However,the number of processing elements is limited in our GPU and with p cores we can accelerate the?rst phase to O(nk/p).

The key point of achieving high ef?ciency is reducing the global memory access latency utilizing the on-chip register and hiding the latency with GPU scheduler.We accomplish as follows.

To fully utilize the on-chip register,?rstly,we load the data points into the on-chip registers and ensure that reading data points from global memory happens only once when calculating the cost function in the thread.Reading from the register is much faster than reading from global memory which largely reduces the latency.Secondly,we adjust the block size and optimize the kernel program to fully use the register and reduce the usage of local memory which stored in global memory.Because of the total number of registers in stream multiprocessor is limited,the kernel program have to be adjusted properly and the block size have to be adjusted to utilize the SM’s limited registers resources.Our experiments in Sect.43.5show that a block size of128results better performance than block size of32,64and256.Besides,coalesced access to the global memory also decreases

494W.Zhou et al. the reading latency.In our design of the thread block and grid,the access of global memory can be coalesced well.

Hiding the latency is mainly done by GPU scheduler automatically.The mul-tiprocessor SIMT unit creates,manages,schedules,and executes threads in groups of32parallel threads called warps.So the block size should be a multiple of32. The number of blocks in our application is large enough to be scheduled. 43.4.2K Centroids Recalculation

In order to achieve the new centroids,the points have to be added in variable centros_temp in Algorithm1,line16.The second phase of k centroids recalcu-lation has a relatively low computational complexity of O(nd)and is dif?cult to be fully parallelized due to the write con?ict.

Though it has a low computational complexity,it is a time consuming pro-cessing in our clustering of radar re?ectivity data due to the long memory access latency.In order to compute the new centroids on GPU,we have to accumulate all data points in k variables in centros_tmp array.It should be done in atomic operations.Thus,the process was turned into a serial process in fact.What makes things worse,because of the variables of centros_tmp should be shared by all threads in all the blocks,they have to be stored in global memory suffering long global memory access latency.

We give a new method to solve the problem of the serial accumulation process and the long latency of global memory.Our method includes two steps as follows. Figure43.2shows the two steps.

Firstly,we use‘‘divide and conquer’’strategy to turn the serial process into a parallel one.We divide the dataset and accumulate the partial sum of each sub dataset in different multiprocessor simultaneously.Each part of sum would be dispatched to one block.The algorithm is shown in algorithm3.In line1,we use shared memory instead of global memory to store the variables of centroid_temp because of the shared memory can be shared in one block.This reduces the latency caused by atomic operations on global memory.With p cores we can get the complexity of this step to O(n/p)when d=1.

Algorithm3Data points assignment based on GPU

Secondly,we accumulate all the partial sums using parallel reduction algorithm which has a complexity of O(log n).We make the partial sums be accessed from global memory only once and accessed coalesced(algorithm4,lines4).The

496W.Zhou et al. computation process is accomplished in shared memory(algorithm4,lines6–13). The algorithm is shown in algorithm4.The variable of count can also be calcu-lated in this way.After that,we get the centroids by dividing the total sum variables by count variables.

Thus,we can accelerate the whole process of the second phase to O(n/p?k log n).However the number of process elements is limited.In fact,because the shared memory is used in the two step of centroids calculation,the latency has been sharply reduced.Meanwhile,the serial process of accumulation is parallel-ized to be done in several multiprocessors and the accumulation of partial sums is calculated in parallel reduction.Therefore,the whole process of centroids was largely parallelized.The performance is shown in our experiments in Sect.43.5.

Algorithm4Parallel reduction on GPU

43.5Experiments

We have implemented our fast clustering of radar data using CUDA version2.3. Our experiments were conducted on a PC with an NVIDIA Geforce GTX275and an Intel(R)Core(TM)Q8200CPU.GTX275has30multiprocessors,and per-forms at1.40GHz.The memory of GPU is1GB with the peak bandwidth of 127GB/s.The CPU has four cores running at2.33GHz.The main memory is 4GB with the peak bandwidth of5.6GB/s.Our data set consist of a d-dimen-sional texture feature vector extract from radar re?ectivity data.There are several million data points to be clustered,and the number of clusters k is smaller than32 according to our application demands.

43.5.1Time Consuming Analysis

The radar re?ectivity data generated by multiple radars at different times in one day was used as our input data:CREF_20100717_010,CREF_20100717_020,and CREF_20100717_030.

We show the time consuming proportion of the second phase in the algorithm based on CPU in Table 43.1.We show the proportion of the second phase after only parallelizing the ?rst phase in Table 43.2.It shows that in the CPU based algorithm,the ?rst phase is the bottleneck to accelerate.But after parallelizing the ?rst phase only,the second phase of k centroids recalculation becomes the new bottleneck in our real time system which takes more than 57%of the total con-suming time.And the proportion doesn’t change with the scale of input data.43.5.2Speed up of Fast Clustering of Radar Re?ectivity Data

Figure 43.3present the speedups gained by using our method on GPU for the second phase.It has a 2X speed improvement over the serial one.

The data sets with 1,2,3million points were created.Figure 43.4shows the speed up of our fast clustering method for the whole process.We experienced a 36*40X speed improvement over a baseline application running on host machine.The speed up almost doesn’t change with the input data scale.Table 43.1The proportion in CPU based algorithm

Input radar data The ?rst phase (s)The second

phase (s)

Proportion of the second phase (%)CREF_20100717_010

152.203 3.201 2.06CREF_20100717_020

152.882 3.093 1.98CREF_20100717_030153.293 3.162 2.02

Table 43.2The proportion after parallelizing the ?rst phase only

Input radar data The ?rst phase (s)The second

phase (s)

Proportion of the second phase CREF_20100717_010

2.204

3.20159.2%CREF_20100717_020

2.187

3.09358.5%CREF_20100717_030 2.377 3.16257.1%02

4123T i m e (s )cpubased gpubased

Fig.43.3The speed up of the second phase using our method 43Fast Clustering of Radar Re?ectivity Data on GPUs 497

43.6Conclusion and Future Work

In this paper,we proposed the fast clustering of radar re?ectivity data algorithm.It accelerates two phase of k-means clustering algorithm.The ?rst phase mainly utilizes the on-chip register and adjusts the execution con?guration to reduce the global memory latency and hide the latency with scheduler.The second phase adopts a novel algorithm.It ?rstly accumulates the partial sums of centroids in shared memory of different blocks in parallel.And then,it uses parallel reduction to get the total sum of partial sums and get the centroids eventually.In this way,our clustering algorithm show over a 409performance improvement.It meets the request of real time in application of short-time weather analysis and forecast.Acknowledgment This work is supported ?nancially by the National Basic Research Program of China under contract 2011CB302501,the National Natural Science Foundation of China grants 60633040and 60970023,the National Hi-tech Research and Development Program of China under contracts 2009AA01Z106,the National Science &Technology Major Projects 2009ZX01036-001-002and 2011ZX01028-001-002-3.

References

1.Yang HP,Zhang J,Langston C (2009)Synchronization of radar observations with multi-scale storm tracking.J Adv atmos sci 26

https://www.docsj.com/doc/b65047224.html,kshmanan V,Rabin R,DeBrunner V (2003)Multiscale storm identi?cation and forecast.J Atmos Res 67–68:367–380

https://www.docsj.com/doc/b65047224.html,kshmanan V,Rabin R,DeBrunner V (2001)Segmenting radar re?ectivity data using texture.30th international conference on radar meteorology,Zurich,Switzerland

4.Farivar R,Rebolledo D,Chan E,Campbell R (2008)A parallel implementation of K-means clustering on GPUs.International conference on parallel and distributed processing techniques and applications (PDPTA 2008),pp.340–345

5.Miao Q,Fu ZL,Zhao XH (2009)A new approach for color character extraction based on parallel clustering.International conference on computational intelligence and software engineering,IEEE Computer Society 1

611162126313641050

100

150

200

2503003504004505001million 2million 3million

s p e e d u p

T i m e (s )cpu based

our GPU method

speedup

Fig.43.4The speed up of

our parallel clustering method

of whole process

498

W.Zhou et al.

43Fast Clustering of Radar Re?ectivity Data on GPUs499 6.Walters JP,Balu V,Kompalli S(2009)Evaluating the use of GPUs in liver image

segmentation and HMMER database searches.IEEE International Parallel And Distributed Processing Symposium,IEEE Computer Society

7.Chen J.,Wu XJ,Cai R(2010)Parallel processing for accelerated mean shift algorithm with

GPU.J Comput-Aided Des Comput Gr3

8.Wang GL(2007)The Development on a multiscale identifying algorithm for heavy rainfall

and methods of extracting evolvement information.Ph.D Thesis,Nanjing University of Information Science and Technology

PAM聚类算法的分析与实现

毕业论文（设计）论文（设计）题目：PAM聚类算法的分析与实现 系别： 专业： 学号： 姓名： 指导教师： 时间：

毕业论文（设计）开题报告 系别:计算机与信息科学系专业:网络工程 学号姓名高华荣 论文（设计）题目PAM聚类算法的分析与实现 命题来源□√教师命题□学生自主命题□教师课题 选题意义(不少于300字): 随着计算机技术、网络技术的迅猛发展与广泛应用，人们面临着日益增多的业务数据，这些数据中往往隐含了大量的不易被人们察觉的宝贵信息，为了得到这些信息，人们想尽了一切办法。数据挖掘技术就是在这种状况下应运而生了。而聚类知识发现是数据挖掘中的一项重要的内容。 在日常生活、生产和科研工作中，经常要对被研究的对象经行分类。而聚类分析就是研究和处理给定对象的分类常用的数学方法。聚类就是将数据对象分组成多个簇，同一个簇中的对象之间具有较高的相似性，而不同簇中的对象具有较大的差异性。 在目前的许多聚类算法中，PAM算法的优势在于：PAM算法比较健壮，对“噪声”和孤立点数据不敏感；由它发现的族与测试数据的输入顺序无关；能够处理不同类型的数据点。 研究综述(前人的研究现状及进展情况，不少于600字): PAM（Partitioning Around Medoid,围绕中心点的划分）算法是是划分算法中一种很重要的算法，有时也称为k-中心点算法，是指用中心点来代表一个簇。PAM算法最早由Kaufman和Rousseevw提出，Medoid的意思就是位于中心位置的对象。PAM算法的目的是对n个数据对象给出k个划分。PAM算法的基本思想：PAM算法的目的是对成员集合D中的N个数据对象给出k个划分，形成k个簇，在每个簇中随机选取1个成员设置为中心点，然后在每一步中，对输入数据集中目前还不是中心点的成员根据其与中心点的相异度或者距离进行逐个比较，看是否可能成为中心点。用簇中的非中心点到簇的中心点的所有距离之和来度量聚类效果，其中成员总是被分配到离自身最近的簇中，以此来提高聚类的质量。 由于PAM算法对小数据集非常有效，但对大的数据集合没有良好的可伸缩性，就出现了结合PAM的CLARA（Cluster LARger Application）算法。CLARA是基于k-中心点类型的算法，能处理更大的数据集合。CLARA先抽取数据集合的多个样本，然后用PAM方法在抽取的样本中寻找最佳的k个中心点，返回最好的聚类结果作为输出。后来又出现了CLARNS（Cluster Larger Application based upon RANdomized

K - M e a n s 聚 类 算 法

基于K-means聚类算法的入侵检测系统的设计 基于K-means聚类算法的入侵检测系统的设计 今天给大家讲述的是K-means聚类算法在入侵检测系统中的应用首先，介绍一下 聚类算法 将认识对象进行分类是人类认识世界的一种重要方法，比如有关世界的时间进程的研究，就形成了历史学，有关世界空间地域的研究，则形成了地理学。 又如在生物学中，为了研究生物的演变，需要对生物进行分类，生物学家根据各种生物的特征，将它们归属于不同的界、门、纲、目、科、属、种之中。 事实上，分门别类地对事物进行研究，要远比在一个混杂多变的集合中更清晰、明了和细致，这是因为同一类事物会具有更多的近似特性。 通常，人们可以凭经验和专业知识来实现分类。而聚类分析（cluster analysis）作为一种定量方法，将从数据分析的角度，给出一个更准确、细致的分类工具。 （聚类分析我们说得朴实一点叫做多元统计分析，说得时髦一点叫做数据挖掘算法，因为这个算法可以在一堆数据中获取很有用的信息，这就不就是数据挖掘吗，所以大家平时也不要被那些高大上的名词给吓到了，它背后的核心原理大多数我们都是可以略懂一二的，再

比如说现在AI这么火，如果大家还有印象的话，以前我们在大二上学习概率论的时候，我也和大家分享过自然语言处理的数学原理，就是如何让机器人理解我们人类的自然语言，比如说，苹果手机上的Siri系统，当时还让杨帆同学帮我在黑板上写了三句话，其实就是贝叶斯公式+隐含马尔可夫链。估计大家不记得了，扯得有点远了接下来还是回归我们的正题，今天要讨论的聚类算法。） K-Means是常用的聚类算法，与其他聚类算法相比，其时间复杂度低，结果稳定，聚类的效果也还不错, 相异度计算 在正式讨论聚类前，我们要先弄清楚一个问题：如何定量计算两个可比较元素间的相异度。用通俗的话说，相异度就是两个东西差别有多大，例如人类与章鱼的相异度明显大于人类与黑猩猩的相异度，这是能我们直观感受到的。但是，计算机没有这种直观感受能力，我们必须对相异度在数学上进行定量定义。 要用数量化的方法对事物进行分类，就必须用数量化的方法描述事物之间的相似程度。一个事物常常需要用多个特征变量来刻画，就比如说我们举一个例证，就有一项比较神奇的技术叫面部识别技术，其实听起来很高大上，它是如何做到的，提取一个人的面部特征，比如说嘴巴的长度，鼻梁的高度，眼睛中心到鼻子的距离，鼻子到嘴巴的距离，这些指标对应得数值可以组成一个向量作为每一个个体的一个标度变量（）,或者说叫做每一个人的一个特征向量。 如果对于一群有待分类的样本点需用p 个特征变量值描述，则每

聚类分析算法解析.doc

聚类分析算法解析 一、不相似矩阵计算 1.加载数据 data(iris) str(iris) 分类分析是无指导的分类，所以删除数据中的原分类变量。 iris$Species<-NULL 2. 不相似矩阵计算 不相似矩阵计算，也就是距离矩阵计算，在R中采用dist()函数，或者cluster包中的daisy()函数。dist()函数的基本形式是 dist(x, method = "euclidean", diag = FALSE, upper = FALSE, p = 2) 其中x是数据框（数据集），而方法可以指定为欧式距离"euclidean", 最大距离"maximum", 绝对值距离"manhattan", "canberra", 二进制距离非对称"binary" 和明氏距离"minkowski"。默认是计算欧式距离，所有的属性必须是相同的类型。比如都是连续类型，或者都是二值类型。 dd<-dist(iris) str(dd) 距离矩阵可以使用as.matrix()函数转化了矩阵的形式，方便显示。Iris数据共150例样本间距离矩阵为150行列的方阵。下面显示了1~5号样本间的欧式距离。 dd<-as.matrix(dd)

二、用hclust()进行谱系聚类法（层次聚类） 1.聚类函数 R中自带的聚类函数是hclust()，为谱系聚类法。基本的函数指令是 结果对象 <- hclust（距离对象, method=方法） hclust()可以使用的类间距离计算方法包含离差法"ward"，最短距离法"single"，最大距离法"complete"，平均距离法"average"，"mcquitty"，中位数法 "median" 和重心法"centroid"。下面采用平均距离法聚类。 hc <- hclust(dist(iris), method="ave") 2.聚类函数的结果 聚类结果对象包含很多聚类分析的结果，可以使用数据分量的方法列出相应的计算结果。 str(hc) 下面列出了聚类结果对象hc包含的merge和height结果值的前6个。其行编号表示聚类过程的步骤，X1，X2表示在该步合并的两类，该编号为负代表原始的样本序号，编号为正代表新合成的类；变量height表示合并时两类类间距离。比如第1步，合并的是样本102和143，其样本间距离是0.0，合并后的类则使用该步的步数编号代表，即样本-102和-143合并为1类。再如第6行表示样本11和49合并，该两个样本的类间距离是0.1，合并后的类称为6类。 head (hc$merge,hc$height)

迭代法的加速

6.5 迭代法的加速 一、教学目标及基本要求 通过对本节的学习，使学生掌握方程求根迭代法的加速。 二、教学内容及学时分配 本章主要介绍线性方程求根的迭代法的加速方法。要求 1．了解数值分析的研究对象、掌握误差及有关概念。 2．正确理解使用数值方法求方程的解的基本思想、数学原理、算法设计。 3．了解插值是数值逼近的重要方法之一，正确理解每一种算法的基本思想、计算公式、算法设计、程序框图设计和源程序。 4．掌握数值积分的数学原理和程序设计方法。 5．能够使用数值方法解决一阶常微分方程的初值问题。 6．理解和掌握使用数值方法对线性方程组求解的算法设计。 三、教学重点难点 1．教学重点：非线性方程迭代收敛性与迭代加速、牛顿法。 2. 教学难点：迭代的收敛性。 四、教学中应注意的问题 多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解，迭代加速的算法实现。 五、教案正文 6.1 迭代公式的加工 迭代过程收敛缓慢，计算量将很大，需要进行加速。 设k x 是根*x 的某个近似值，用迭代公式校正一次得()k k x x ?=+1，假设) ('x ?

在所考察得范围内变化不大，其估计值为L ，则有： k k k k x L L x L x x x L x x ---≈?-≈-++111)(1**1* 有迭代公式k k k x L L x L x ---=++11111 ，是比1+k x 更好的近似根。这样加工后的计算过程为： 迭代()k k x x ?=+1 改进k k k x L L x L x ---= ++11111 合并的])([111k k k Lx x L x --=+? 例3 P133 6.2 埃特金算法 上述加速方法含有导数()x '?，不便于计算。设将迭代值()k k x x ?=+1再迭代一次，又得() 11~++=k k x x ?，由于)(~1*1*++-≈-k k x x L x x 又)(*1*k k x x L x x -≈-+，消去L 得 k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x +---≈?--≈--++++++++112 111*1**1*1*2~)~(~~ 计算过程如下： 迭代()k k x x ?=+1 迭代()11~++=k k x x ? 改进k k k k k k k x x x x x x x +---=++++++11211112~)~(~ 小结：这节课我们主要介绍了线性方程组迭代法加速的基本思想及其常用的几种迭代方法。要求大家掌握埃特金算法及其收敛速度，收敛的阶。 作业：课后作业10-13

聚类算法总结

聚类算法的种类：

--------------------------------------------------------- 几种常用的聚类算法从可伸缩性、适合的数据类型、高维性（处理高维数据的能力）、异常数据的抗干扰度、聚类形状和算法效率6个方面进行了综合性能评价，评价结果如表1所示：

--------------------------------------------------------- 目前聚类分析研究的主要内容： 对聚类进行研究是数据挖掘中的一个热门方向，由于以上所介绍的聚类方法都 存在着某些缺点，因此近些年对于聚类分析的研究很多都专注于改进现有的聚 类方法或者是提出一种新的聚类方法。以下将对传统聚类方法中存在的问题以 及人们在这些问题上所做的努力做一个简单的总结： 1 从以上对传统的聚类分析方法所做的总结来看，不管是k-means方法，还是CURE方法，在进行聚类之前都需要用户事先确定要得到的聚类的数目。然而在 现实数据中，聚类的数目是未知的，通常要经过不断的实验来获得合适的聚类 数目，得到较好的聚类结果。 2 传统的聚类方法一般都是适合于某种情况的聚类，没有一种方法能够满足各 种情况下的聚类，比如BIRCH方法对于球状簇有很好的聚类性能，但是对于不 规则的聚类，则不能很好的工作；K-medoids方法不太受孤立点的影响，但是 其计算代价又很大。因此如何解决这个问题成为当前的一个研究热点，有学者 提出将不同的聚类思想进行融合以形成新的聚类算法，从而综合利用不同聚类 算法的优点，在一次聚类过程中综合利用多种聚类方法，能够有效的缓解这个 问题。 3 随着信息时代的到来，对大量的数据进行分析处理是一个很庞大的工作，这 就关系到一个计算效率的问题。有文献提出了一种基于最小生成树的聚类算法，该算法通过逐渐丢弃最长的边来实现聚类结果，当某条边的长度超过了某个阈值，那么更长边就不需要计算而直接丢弃，这样就极大地提高了计算效率，降 低了计算成本。 4 处理大规模数据和高维数据的能力有待于提高。目前许多聚类方法处理小规 模数据和低维数据时性能比较好，但是当数据规模增大，维度升高时，性能就 会急剧下降，比如k-medoids方法处理小规模数据时性能很好，但是随着数据 量增多，效率就逐渐下降，而现实生活中的数据大部分又都属于规模比较大、 维度比较高的数据集。有文献提出了一种在高维空间挖掘映射聚类的方法PCKA （Projected Clustering based on the K-Means Algorithm），它从多个维度中选择属性相关的维度，去除不相关的维度，沿着相关维度进行聚类，以此对 高维数据进行聚类。 5 目前的许多算法都只是理论上的，经常处于某种假设之下，比如聚类能很好 的被分离，没有突出的孤立点等，但是现实数据通常是很复杂的，噪声很大， 因此如何有效的消除噪声的影响，提高处理现实数据的能力还有待进一步的提高。

CLOPE-快速有效的聚类算法

CLOPE：针对交易的数据快速有效聚类算法 摘要 本文研究分类数据的聚类问题，特别针对多维和大型的交易数据。从增加聚簇直方图的高宽比的方法得到启发，我们开发了一种新的算法---CLOPE，这是一种非常快速、可伸缩，同时又非常有效的算法。我们展示了算法对两个现实数据集聚类的性能，并将CLOPE与现有的聚类算法进行了比较。 关键词 数据挖掘，聚类，分类数据，可伸缩性 1.简介 聚类是一种非常重要的数据挖掘技术，它的目的是将相似的交易[12, 14, 4, 1]分组在一起。最近，越来越多的注意力已经放到了分类数据[10,8,6,5,7,13]的聚类上，分类数据是由非数值项构成的数据。交易数据，例如购物篮数据和网络日志数据，可以被认为是一种特殊的拥有布尔型值的分类数据，它们将所有可能的项作为项。快速而精确地对交易数据进行聚类的技术在零售行业，电子商务智能化等方面有着很大的应用潜力。 但是，快速而有效聚类交易数据是非常困难的，因为这类的数据通常有着高维，稀疏和大容量的特征。基于距离的算法例如k-means[11]和CLARANS[12]都是对低维的数值型数据有效。但是对于高维分类数据的处理效果却通常不那么令人满意[7]。像ROCK这类的分层聚类算法在分类数据聚类中表现的非常有效，但是他们在处理大型数据库时表现出先天的无效。 LargeItem[13]算法通过迭代优化一个全局评估函数对分类数据进行聚类。这个评估函数是基于大项概念的，大项是在一个聚簇内出现概率比一个用户自定义的参数——最小支持度大的项。计算全局评估函数要远比计算局部评估函数快得多，局部评估函数是根据成对相似性定义的。这种全局方法使得LargeItem算法非常适合于聚类大型的分类数据库。 在这篇文章中，我们提出了一种新的全局评估函数，它试图通过增加聚簇直方图的高度与宽度之比来增加交易项在聚簇内的重叠性。此外，我们通过引用一个参数来控制聚簇紧密性的方法来泛化我们的想法，通过修改这个参数可以得到

十、解非线性方程(组)的迭代法和加速法

一、一般迭代法求解非线性方程组。 function [k,piancha,xdpiancha,xk]=diedai1(x0,k) x(1)=x0; for i=1:k x(i+1)=fun1(x(i)); piancha=abs(x(i+1)-x(i)); xdpiancha=piancha/(abs(x(i+1))+eps); i=i+1;xk=x(i); [(i-1) piancha xdpiancha xk] end if (piancha>1)&(xdpiancha>0.5)&(k>3) disp('此迭代序列发散，请重新输入新的迭代公式') return; end if (piancha<0.001)&(xdpiancha<0.0000005)&(k>3) disp('此迭代序列收敛，且收敛速度较快') return; end p=[(i-1) piancha xdpiancha xk]'; 1、function y=fun1(x) y=(10-x.^2)./2 >> [k,piancha,xdpiancha,xk]=diedai1(5,10) 此迭代序列发散，请重新输入新的迭代公式 k = 10 piancha = 2.4484e+271 xdpiancha = 1 xk = -2.4484e+271 2、function y=fun1(x) y=10./(x+2) >> [k,piancha,xdpiancha,xk]=diedai1(5,25) 此迭代序列收敛，且收敛速度较快 k = 25 piancha = 9.5676e-007 xdpiancha = 4.1300e-007 xk = 2.3166 二、第二种迭代法。

聚类分析K-means算法综述

聚类分析K-means算法综述 摘要：介绍K-means聚类算法的概念，初步了解算法的基本步骤，通过对算法缺点的分析，对算法已有的优化方法进行简单分析，以及对算法的应用领域、算法未来的研究方向及应用发展趋势作恰当的介绍。 关键词：K-means聚类算法基本步骤优化方法应用领域研究方向应用发展趋势 算法概述 K-means聚类算法是一种基于质心的划分方法，输入聚类个数k，以及包含n个数据对象的数据库，输出满足方差最小标准的k个聚类。 评定标准：同一聚类中的对象相似度较高；而不同聚类中的对象相似度较小。聚类相似度是利用各聚类中对象的均值所获得一个“中心对象”（引力中心）来进行计算。 解释：基于质心的划分方法就是将簇中的所有对象的平均值看做簇的质心，然后根据一个数据对象与簇质心的距离，再将该对象赋予最近的簇。 k-means 算法基本步骤 （1）从n个数据对象任意选择k 个对象作为初始聚类中心 （2）根据每个聚类对象的均值（中心对象），计算每个对象与这些中心对象的距离；并根据最小距离重新对相应对象进行划分 （3）重新计算每个（有变化）聚类的均值（中心对象） （4）计算标准测度函数，当满足一定条件，如函数收敛时，则算法终止；如果条件不满足则回到步骤（2） 形式化描述 输入：数据集D，划分簇的个数k 输出：k个簇的集合 （1）从数据集D中任意选择k个对象作为初始簇的中心； （2）Repeat （3）For数据集D中每个对象P do （4）计算对象P到k个簇中心的距离 （5）将对象P指派到与其最近（距离最短）的簇；

（6）End For （7）计算每个簇中对象的均值，作为新的簇的中心； （8）Until k个簇的簇中心不再发生变化 对算法已有优化方法的分析 (1)K-means算法中聚类个数K需要预先给定 这个K值的选定是非常难以估计的，很多时候,我们事先并不知道给定的数据集应该分成多少个类别才最合适，这也是K一means算法的一个不足"有的算法是通过类的自动合并和分裂得到较为合理的类型数目k，例如Is0DAIA算法"关于K一means算法中聚类数目K 值的确定，在文献中，根据了方差分析理论，应用混合F统计量来确定最佳分类数，并应用了模糊划分嫡来验证最佳分类数的正确性。在文献中，使用了一种结合全协方差矩阵RPCL算法，并逐步删除那些只包含少量训练数据的类。文献中针对“聚类的有效性问题”提出武汉理工大学硕士学位论文了一种新的有效性指标：V(k km) = Intra(k) + Inter(k) / Inter(k max)，其中k max是可聚类的最大数目,目的是选择最佳聚类个数使得有效性指标达到最小。文献中使用的是一种称为次胜者受罚的竞争学习规则来自动决定类的适当数目"它的思想是：对每个输入而言不仅竞争获胜单元的权值被修正以适应输入值，而且对次胜单元采用惩罚的方法使之远离输入值。 (2)算法对初始值的选取依赖性极大以及算法常陷入局部极小解 不同的初始值，结果往往不同。K-means算法首先随机地选取k个点作为初始聚类种子，再利用迭代的重定位技术直到算法收敛。因此，初值的不同可能导致算法聚类效果的不稳定，并且，K-means算法常采用误差平方和准则函数作为聚类准则函数(目标函数)。目标函数往往存在很多个局部极小值，只有一个属于全局最小，由于算法每次开始选取的初始聚类中心落入非凸函数曲面的“位置”往往偏离全局最优解的搜索范围，因此通过迭代运算，目标函数常常达到局部最小，得不到全局最小。对于这个问题的解决，许多算法采用遗传算法(GA)，例如文献中采用遗传算法GA进行初始化，以内部聚类准则作为评价指标。 (3)从K-means算法框架可以看出，该算法需要不断地进行样本分类调整，不断地计算调整后的新的聚类中心，因此当数据量非常大时,算法的时间开销是非常大 所以需要对算法的时间复杂度进行分析，改进提高算法应用范围。在文献中从该算法的时间复杂度进行分析考虑，通过一定的相似性准则来去掉聚类中心的候选集，而在文献中，使用的K-meanS算法是对样本数据进行聚类。无论是初始点的选择还是一次迭代完成时对数据的调整，都是建立在随机选取的样本数据的基础之上，这样可以提高算法的收敛速度。

加速收敛方法概述

加速收敛方法概述 1 当地时间步长法 原理： 根据稳定性条件，对于方程的显示时间推进必须遵循Courant条件。为了增加时间步长，提高收敛效率，采用当地时间步长。当地时间步长方法就是在时间推进求解每个网格上的数值解时，采用该网格单元满足稳定性条件的最小时间步长，而不是整个计算域内的所有结点都满足稳定性条件的最小时间步长，这可以大大减少计算量。 U IJ t =R IJ U ij n+1?U ij n ?t =R ij 原来时间步长：?t~min CFL?x λ 受制于最小空间步长。边界层近壁空间网格y w+≈1 ?x~10?4 ~10?6, 因此?t也很小，计算速度慢。 当地时间步长：每点采用不同的时间步长推进 U ij n+1?U ij n （?t） ij =R ji 数值方法： S表示该网格单元面积，n表示该网格单元的边法向，c表示当地声速，CFL为Courant数。适用性： 对定常问题，收敛后不影响计算精度，可大幅加速收敛。 2多重网格方法 多重网格时近几十年来发展起来的一种加速收敛方法。它先被用于加速收敛椭圆型问题，该方法能够使得迭代矩阵的谱半径与网格间距无关。随着计算流体力学的发展，多重网格在求解欧拉方程、N-S方程过程中得到了应用：Jamson等人首先将其运用到中心差分格式中，并结合runge-kutta法加速了收敛：D.J Marviplis等人将其运用到非结构网格中，并取得了较好的效果。 多重网格算法的基本思想是引入一系列连续变粗的网格，并将其计算流场发展的部分任务转移到粗网格上进行。细网格上的低频误差在粗网格上相当于高频误差，因此用一种消除高频误差的有效方法，在各自的网格上消除相对于该网格的高频误差，但对细网格而言，就消除了一系列频率的误差。这样做的目的有两个好处： （1）在粗网格上推进一步所需要的时间要少得多，工作量小，提高计算效率； （2）在粗网格上空间步长大，推动了解的快速发展，从而使得迭代较少的步数就可能将误差推到计算域外。 这两个优点皆能加速流场的发展，使得迭代的步数较少，减少了工作量。具体的执行是在粗网格与密网格上交替进行。 多重网格的缺点之一是难以表达粗网格与密网格之间的几何关系。尤其对非结构网格，由于

聚类算法分析报告汇总

嵌入式方向工程设计实验报告 学院班级：130712 学生学号：13071219 学生姓名：杨阳 同作者：无 实验日期：2010年12月

聚类算法分析研究 1 实验环境以及所用到的主要软件 Windows Vista NetBeans6.5.1 Weka3.6 MATLAB R2009a 2 实验内容描述 聚类是对数据对象进行划分的一种过程，与分类不同的是，它所划分的类是未知的，故此，这是一个“无指导的学习” 过程，它倾向于数据的自然划分。其中聚类算法常见的有基于层次方法、基于划分方法、基于密度以及网格等方法。本文中对近年来聚类算法的研究现状与新进展进行归纳总结。一方面对近年来提出的较有代表性的聚类算法，从算法思想。关键技术和优缺点等方面进行分析概括；另一方面选择一些典型的聚类算法和一些知名的数据集，主要从正确率和运行效率两个方面进行模拟实验，并分别就同一种聚类算法、不同的数据集以及同一个数据集、不同的聚类算法的聚类情况进行对比分析。最后通过综合上述两方面信息给出聚类分析的研究热点、难点、不足和有待解决的一些问题等。 实验中主要选择了K 均值聚类算法、FCM 模糊聚类算法并以UCI Machine Learning Repository 网站下载的IRIS 和WINE 数据集为基础通过MATLAB 实现对上述算法的实验测试。然后以WINE 数据集在学习了解Weka 软件接口方面的基础后作聚类分析，使用最常见的K 均值（即K-means ）聚类算法和FCM 模糊聚类算法。下面简单描述一下K 均值聚类的步骤。 K 均值算法首先随机的指定K 个类中心。然后： （1）将每个实例分配到距它最近的类中心，得到K 个类； （2）计分别计算各类中所有实例的均值，把它们作为各类新的类中心。 重复（1）和（2），直到K 个类中心的位置都固定，类的分配也固定。 在实验过程中通过利用Weka 软件中提供的simpleKmeans （也就是K 均值聚类算法对WINE 数据集进行聚类分析，更深刻的理解k 均值算法，并通过对实验结果进行观察分析，找出实验中所存在的问题。然后再在学习了解Weka 软件接口方面的基础上对Weka 软件进行一定的扩展以加入新的聚类算法来实现基于Weka 平台的聚类分析。 3 实验过程 3.1 K 均值聚类算法 3.1.1 K 均值聚类算法理论 K 均值算法是一种硬划分方法，简单流行但其也存在一些问题诸如其划分结果并不一定完全可信。K 均值算法的划分理论基础是 2 1 min i c k i k A i x v ∈=-∑∑ （1） 其中c 是划分的聚类数，i A 是已经属于第i 类的数据集i v 是相应的点到第i 类的平均距离，即

数值分析实习作业不同迭代法求解(简单迭代法,艾特肯加速迭代法,牛顿法弦割法)

实习题六：用简单迭代法，艾特肯加速迭代法，牛顿法弦割法求解方程1-x-sin(x) = 0在[0,1]上的根。 简单迭代法和艾特肯加速法求解方程1-x-sin(x) = 0在[0,1]上的根。 主程序： %利用简单迭代法求解方程1-x-sin(x) = 0在[0,1]上的根 clear clc format long f = @f1; a = 0; b = 1; eps = 0.5*10^(-4); [x,time] = iteration(f,a,b,eps); disp('利用简单迭代法求解方程1-x-sin(x) = 0在[0,1]上的根') disp('方程1-x-sinx = 0的根是 x = ') disp(x) disp('迭代次数') disp (time) %% %利用艾特肯加速法求解方程1-x-sin(x) = 0在[0,1]上的根 [x,time] = iteration_aitken(f,a,b,eps); disp('利用艾特肯加速法求解方程1-x-sin(x) = 0的[0,1]上的根') disp('方程1-x-sinx = 0的根是 x = ') disp(x) disp('迭代次数') disp (time) 简单迭代法函数： function [y,time] = iteration(f,a,b,eps) x0 = (a+b)/2; D = 1; time = 0; while abs(D)>=eps x1 = feval(f,x0); D = x1-x0; x0 = x1; time = time+1; end y = x0; 艾特肯加速法函数 function [y,time] = iteration_aitken(f,a,b,eps) x0 = (a+b)/2; D = 1; t = 0; while abs(D)>=eps

迭代加速技术

四川理工学院《数值计算方法》课程设计 题目迭代加速技术 专业数学与应用数学 班级2013级1班 姓名高尚牟庆张玉玲

一、摘要 (2) 二、应用计算方法的基本原理 (3) 2.1.Aitken加速法 (3) 2.1.1算法描述 (3) 2.2.Steffensen迭代法 (3) 2.2.1算法描述 (3) 三、例题的计算及结果 (4) 3.1.Aitken加速法迭代法在水力计算中的应用 (4) 3.1.1收缩水深的计算 (4) 3.2用Steffensen迭代法计算方程的近似解 (5) 3.2.1用Steffensen迭代法计算31 =-在0 1.5 x x x=附近的近似解 (5) 四、总结及心得体会 (6) 五、参考文献 (6)

一、摘要 本设计报告主要围绕Aitken加速法和Steffensen 迭代法展开。 在生活中面对实际问题时，常常遇到非线性方程的求解问题，为此，我们常使用迭代技术求解，但一般的迭代技术不一定收敛且收敛速度慢，带来大量的计算问题，为了提高计算效益，我们采用迭代加速技术求解此类问题，迭代加速技术有Aitken加速法和Steffensen迭代法，其中Steffensen迭代法将Aitken加速技巧与不动点迭代相结合，更易于计算。 首先根据方程构造一个迭代函数，根据基本原理中两种加速迭代格式公式进 行迭代，最终得到结果。最后我们对本次课程设计进行了总结，总结了程序的优 缺点并对本次试验过程中遇到的问题及困难进行了解答，此外我们还写出了对本 次课程设计的心得体会。

二、应用计算方法的基本原理 2.1.Aitken 加速法 2.1.1算法描述 Aitken 加速法是一个很重要的加速法，他是基于简单迭代法的迭代函数构造新的迭代函数而产生的。 设{}k x 是一个线性收敛的序列，收敛于方程()x x ?=的根*x ，因{}k x 线性收敛于根*x ，故对充分大的k ，有 )0(* * 1≠≈--+c c x x x x k k （1） c x x x x k k ≈--++* 1* 2 （2） 由上面两式得 ≈--+* *1x x x x k k *1* 2x x x x k k --++ （3） 解得 k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x +--- =+--≈+++++++++122122122 1 2* 2)(2 （4） 或 k k k k k k x x x x x x x +--- ≈++++122 12* 2)( （5） 把式（4）右端的值作为新的近似值k x ~，可望获得更好的近似结果，于是提 出Aitken 加速方案。 迭代： 1()k k x x ?+= （6） 在迭代： 21()k k x x ?++= （7） 加速： k k k k k k k x x x x x x x +--- ≈+++122 12)(~ （8） 2.2.Steffensen 迭代法 2.2.1算法描述 Steffensen 迭代法主要用于改善线性收敛或不收敛迭代。现在，针对一种不动点迭代函数?，其不动点为*x ，由0x 出发构建迭代公式

一种基于密度的快速聚类算法

第37卷第11期 2000年11月计算机研究与发展JOU RNAL O F COM PU T ER R ESEA RCH &D EV ELO PM EN T V o l 137,N o 111N ov .2000 原稿收到日期:1999209220;修改稿收到日期:1999212209.本课题得到国家自然科学基金项目(项目编号69743001)和国家教委博士点教育基金的资助.周水庚,男,1966年生,博士研究生,高级工程师,主要从事数据库、数据仓库和数据挖掘以及信息检索等的研究.周傲英,男,1965年生,教授,博士生导师,主要从事数据库、数据挖掘和W eb 信息管理等研究.曹晶,女,1976年生,硕士研究生,主要从事数据库、数据挖掘等研究.胡运发,男,1940年生,教授,博士生导师,主要从事知识工程、数字图书馆、信息检索等研究. 一种基于密度的快速聚类算法 周水庚　周傲英　曹　晶　胡运发 (复旦大学计算机科学系　上海　200433) 摘　要　聚类是数据挖掘领域中的一个重要研究方向.聚类技术在统计数据分析、模式识别、图像处理等领域有广泛应用.迄今为止人们提出了许多用于大规模数据库的聚类算法.基于密度的聚类算法DBSCAN 就是一个典型代表.以DBSCAN 为基础,提出了一种基于密度的快速聚类算法.新算法以核心对象邻域中所有对象的代表对象为种子对象来扩展类,从而减少区域查询次数,降低I O 开销,实现快速聚类.对二维空间数据测试表明:快速算法能够有效地对大规模数据库进行聚类,速度上数倍于已有DBSCAN 算法. 关键词　空间数据库,数据挖掘,聚类,密度,快速算法,代表对象 中图法分类号　T P 311.13;T P 391 A FAST D ENSIT Y -BASED CL USTER ING AL G OR ITH M ZHOU Shu i 2Geng ,ZHOU A o 2Y ing ,CAO J ing ,and HU Yun 2Fa (D ep a rt m en t of Co mp u ter S cience ,F ud an U n iversity ,S hang ha i 200433) Abstract C lu stering is a p rom ising app licati on area fo r m any fields including data m in ing ,statistical data analysis ,p attern recogn iti on ,i m age p rocessing ,etc .In th is paper ,a fast den sity 2based clu stering algo rithm is developed ,w h ich con siderab ly speeds up the o riginal DB SCAN algo rithm .U n like DB SCAN ,the new DB SCAN u ses on ly a s m all num ber of rep resen tative ob jects in a co re ob ject’s neighbo rhood as seeds to exp and the clu ster so that the execu ti on frequency of regi on query can be decreased ,and con sequen tly the I O co st is reduced .Experi m en tal resu lts show that the new algo rithm is effective and efficien t in clu stering large 2scale databases ,and it is faster than the o riginal DB SCAN by several ti m es . Key words spatial database ,data m in ing ,clu stering ,den sity ,fast algo rithm ,rep resen tative ob jects 1　概 述 近10多年来,数据挖掘逐渐成为数据库研究领域的一个热点[1].其中,聚类分析就是广为研究的问题之一.所谓聚类,就是将数据库中的数据进行分组,使得每一组内的数据尽可能相似而不同组内的数据尽可能不同.聚类技术在统计数据分析、模式识别、图像处理等领域都有广泛的应用前景.迄今为止,人们已经提出了许多聚类算法[2～7].所有这些算法都试图解决大规模数据的聚类问题.以基于密度的聚类算法DB SCAN [4]为基础,本文提出一种基于密度的快速聚类算法.通过选用核心对象附近区域包含的所有对象的代表对象作为种子对象来扩展类,快速算法减少了区域查询的次数,从而减低了聚类时间和I O 开销 .本文内容安排如下:首先在第2节中介绍基于密度的聚类算法DB SCAN 的基本思想,并分析它的局限

方程的加速迭代法

2013-2014（1）专业课程实践论文题目：方程的加速迭代方法

一、算法理论 Aitken 加速迭代算法基本原理： 对于收敛的迭代过程，只要迭代足够多次，就可以使结果达到任意的精度。但有时迭代过程收敛缓慢，从而使计算量变得很大，因此，迭代过程的加速是个重要的过程。 设0x 是跟*x 的某个预测值，只迭代公式校正一次)(01x f x =,而由微分中值定理有：)x (x (t)f x x **-?'=-01（其中t 介于*x 与0x 之间） 。 假定()x f '改变不大，近似的取某个近似值L ，则由)(*0*1x x L x x -?≈-得到 L x L L x x -?- -= 1101 *,可以期望按上式右端求得 ()L x x L x L L x L x x --?+ =-?--= 11101101 2是比1x 更好的近似值，将每得到一次改进值算做一步，并用k x '和k x 分别表示第K 步的校正值和改进值，则加速迭代计算方案可表述如下： 校正：1+'k x ()k x f = 改进：=+1k x ()L x x L x k k k --'?+'++111 然而上述加速公式有个缺点，由于其中含有倒数()x f '的有关信息L ，实际使用不便。 仍设已知*x 的某个猜测值为0x ，将校正值()01x f x =,再校正一次，又得 ()12x f x =。由于≈-*2x x ()*1L x x -?将它与式 = *x L x L L x -?- -1101 联立，消去未知L ，然后有 =*x ()2 102 1222x x x x x x +?--- 这样构造出的改进公式确定不再含有关于导数的

K-means聚类算法分析应用研究

K-means聚类算法分析应用研究 发表时间：2011-05-09T08:59:20.143Z 来源：《魅力中国》2011年3月上作者：李曼赵松林 [导读] 本文浅谈了数字图像处理的发展概况、研究背景并对彩色图像K-means算法进行分析。 李曼赵松林 （商丘职业技术学院河南商丘，476000） 中图分类号：TP39 文献标识码：A 文章编号：1673-0992（2011）03-0000-01 摘要：本文浅谈了数字图像处理的发展概况、研究背景并对彩色图像K-means算法进行分析.主要详细谈论了是对K-means算法的一些认识，并且介绍K-means聚类的算法思想、工作原理、聚类算法流程、以及对算法结果进行分析，得出其特点及实际使用情况。 关键字：数字图像处理；K-means算法；聚类 一、数字图像处理发展概况及边缘的概念 数字图像处理（Digital Image Processing）即计算机图像处理，就是利用计算机对图像进行去除噪声、增强、复原、分割、特征提取、识别等处理的理论、方法和技术[1]。最早出现于20世纪50年代，它作为一门学科大约形成于20世纪60年代初期。它以改善图像的质量为对象，以改善人的视觉效果为目的。在处理过程中，输入低质量图像，输出质量高图像，图像增强、复原、编码、压缩等都是图像处理常用的方法[1]。数字图像处理在航天、航空、星球探测、通信技术、军事公安、生物工程和医学等领域都有广泛的应用，并取得了巨大的成就。 边缘就是图像中灰度有阶跃变化或屋顶变化的像素的集合，边缘是图像最重要的特征之一，它包含了图像的大部分信息。实质上边缘检测就是采用算法提取图像中对象与背景间的交界线。在目标与背景、目标与目标、区域与区域、基元与基元之间都存在边缘，这是图像分割所依赖的最重要的特征之一。根据灰度变化的剧烈程度，边缘可以分为两种：一种是屋顶边缘，一种为阶跃性边缘。对于屋顶状边缘，二阶导数在边缘初取极值，而对阶跃性边缘，二阶导数在边缘处零交叉；。 二、彩色图像的K-means聚类算法 （一）K-means聚类 聚类就是把数据分成几组，按照定义的测量标准，同组内数据与其他组数据相比具有较强的相似性。K-means聚类就是首先从n个数据对象任选k个对象作为初始聚类中心；剩下的其它对象，则根据它们与这些聚类中心的距离（相似度），分别将它们分配给与其最相似的（聚类中心所代表的）聚类；然后再计算每个所获新聚类的聚类中心（该聚类中所有对象的均值）；一直重复此过程直至标准测度函数收敛为止。通常都采用均方差作标准测度函数。k个聚类有以下特点：各聚类本身尽可能的紧凑，而各聚类之间尽可能的分开。 聚类的用途是很广泛的。在商业上，聚类可以帮助市场分析人员从消费者数据库中区分出不同的消费群体来，并且概括出每一类消费者的消费模式或者说习惯。它作为数据挖掘中的一个模块，可以作为一个单独的工具以发现数据库中分布的一些深层的信息，并且概括出每一类的特点，或者把注意力放在某一个特定的类上以作进一步的分析；并且，聚类分析也可以作为数据挖掘算法中其他分析算法的一个预处理步骤。 （二）算法思想分析 输入：聚类个数k，以及包含 n个数据对象的彩色图片。 输出：满足方差最小标准的k个聚类。 处理流程： (1)从 n个数据对象任意选择 k 个对象作为初始聚类中心； (2)根据每个聚类对象的均值（中心对象），计算每个对象与这些中心对象的距离；并根据最小距离重新对相应对象进行划分； (3)重新计算每个（有变化）聚类的均值（中心对象）； (4)循环(2)到(3)直到每个聚类不再发生变化为止。 首先设置K值，也就是确定若干个聚类中心。使用rand函数随机获得K个颜色值，存放在矩阵miu中，第一次对每个像素点中的K种颜色进行迭代运算，得到最小的颜色矩阵的2范数，同时标记该颜色，依次相加的到各点的颜色矩阵总值。再次迭代得到K中颜色的各个矩阵均值。最后提取出标记的各个颜色，依次对各个点进行颜色赋值，使每个像素点的颜色归类。得到聚类后的图像。 （三）算法的数学描述 （四）算法过程分析 设置K值为8，读入一幅图片后计算图像上所有的像素点个数为N，即令N=size(X,1)*size(X,2)，令颜色矩阵R为矩阵[N,K]并清零。随机获得颜色聚类中心为Miu=fix(255*rand(K,3))。

一种基于K-Means局部最优性的高效聚类算法

ISSN 1000-9825, CODEN RUXUEW E-mail: jos@https://www.docsj.com/doc/b65047224.html, Journal of Software, Vol.19, No.7, July 2008, pp.1683?1692 https://www.docsj.com/doc/b65047224.html, DOI: 10.3724/SP.J.1001.2008.01683 Tel/Fax: +86-10-62562563 ? 2008 by Journal of Software. All rights reserved. ? 一种基于K-Means局部最优性的高效聚类算法 雷小锋1,2+, 谢昆青1, 林帆1, 夏征义3 1(北京大学信息科学技术学院智能科学系/视觉与听觉国家重点实验室,北京 100871) 2(中国矿业大学计算机学院,江苏徐州 221116) 3(中国人民解放军总后勤部后勤科学研究所,北京 100071) An Efficient Clustering Algorithm Based on Local Optimality of K-Means LEI Xiao-Feng1,2+, XIE Kun-Qing1, LIN Fan1, XIA Zheng-Yi3 1(Department of Intelligence Science/National Laboratory on Machine Perception, Peking University, Beijing 100871, China) 2(School of Computer Science and Technology, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China) 3(Logistics Science and Technology Institute, P.L.A. Chief Logistics Department, Beijing 100071, China) + Corresponding author: E-mail: leiyunhui@https://www.docsj.com/doc/b65047224.html, Lei XF, Xie KQ, Lin F, Xia ZY. An efficient clustering algorithm based on local optimality of K-Means. Journal of Software, 2008,19(7):1683?1692. https://www.docsj.com/doc/b65047224.html,/1000-9825/19/1683.htm Abstract: K-Means is the most popular clustering algorithm with the convergence to one of numerous local minima, which results in much sensitivity to initial representatives. Many researches are made to overcome the sensitivity of K-Means algorithm. However, this paper proposes a novel clustering algorithm called K-MeanSCAN by means of the local optimality and sensitivity of K-Means. The core idea is to build the connectivity between sub-clusters based on the multiple clustering results of K-Means, where these clustering results are distinct because of local optimality and sensitivity of K-Means. Then a weighted connected graph of the sub-clusters is constructed using the connectivity, and the sub-clusters are merged by the graph search algorithm. Theoretic analysis and experimental demonstrations show that K-MeanSCAN outperforms existing algorithms in clustering quality and efficiency. Key words: K-MeanSCAN; density-based; K-Means; clustering; connectivity 摘要: K-Means聚类算法只能保证收敛到局部最优,从而导致聚类结果对初始代表点的选择非常敏感.许多研究 工作都着力于降低这种敏感性.然而,K-Means的局部最优和结果敏感性却构成了K-MeanSCAN聚类算法的基 础.K-MeanSCAN算法对数据集进行多次采样和K-Means预聚类以产生多组不同的聚类结果,来自不同聚类结果的 子簇之间必然会存在交集.算法的核心思想是,利用这些交集构造出关于子簇的加权连通图,并根据连通性合并子 簇.理论和实验证明,K-MeanScan算法可以在很大程度上提高聚类结果的质量和算法的效率. 关键词: K-MeanSCAN;基于密度;K-Means;聚类;连通性 中图法分类号: TP18文献标识码: A ? Supported by the National High-Tech Research and Development Plan of China under Grant No.2006AA12Z217 (国家高技术研究发 展计划(863)); the Foundation of China University of Mining and Technology under Grant No.OD080313 (中国矿业大学科技基金) Received 2006-10-09; Accepted 2007-07-17