高中数学易错易混易忘知识点总结

高中数学易错、易混、易忘知识点总结

【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。 例1、 设

{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A ∩B = B ，求实数a 组成的集合.

综上满足条件的a 组成的集合为110,

,35??

????

。 【练1】已知集合

{}2|40A x x x =+=、(){}22|2110B x x a x a =+++-=，若B A ?，

则实数a 的取值范围是 。答案：1a =或1a ≤-。

【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。

例2、已知

()

22

214

y x ++=, 求22x y +的取值范围. 答案：x 2+y 2的取值范围是[1,

3

28] 【练2】若动点（x, y ）在曲线

22

214x y b

+=()0b >上变化，则22x y +的最大值为（ ） （A ）()()2404424b b b b ?+<

402422b b b b ?+<

（C ）244b +（D ）2b 答案：A

【易错点3】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。

例5、 判断函数

()2lg 1()22

x f x x -=

--的奇偶性。

解析：由函数的定义域为

()()1,00,1-U 定义域关于原点对称，在定义域下()()2lg 1x f x x

-=

-易证

()()f x f x -=

-即函数为奇函数。

【练5】判断下列函数的奇偶性：

①

()f x

=+()(1f x x =-()1sin cos 1sin cos x x

f x x x

++=

+-

答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数

【易错点4】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。 例7、试判断函数

()()0,0b

f x ax a b x

=+

>>的单调性并给出证明。

解析：由于

()()f x f x -=-即函数()f x 为奇函数，因此只需判断函数()f x 在()0,+∞上的单调

性即可。设

120

x x >> ，

()()()

12121212

ax x b f x f x x x x x --=- 由于

120

x x -> 故

当

12,x x ?∈∞??? 时()()120f x f x ->，此时函数()f x

在?∞???

上增函数，同理可证

函数

()f x

在? ?

上为减函数。又由于函数为奇函数，故函

数在?? ? ???

为减函数，在

,?-∞ ?为增函数。综上所述：函数()f x

在,?-∞ ?

和?∞???

上分别为增函数，在? ?

和??

? ???上分别为减函数. 【练7】（1） （潍坊市统考题）

()()10x

f x ax a ax

-=+

>（1）用单调性的定义判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性。

（2）设()f x 在01x <≤的最小值为()g a ，求()y g a =的解析式。 答案：（1）函数在1,a ??+∞ ???为增函数在10,a ??

???为减函数。（2）()()()12101a a y g a a a ?-≥?==??<

【易错点5】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。 【练8】函数

2y x bx c =++()()0,x ∈+∞是是单调函数的充要条件是（）

A 、0b ≥

B 、0b ≤

C 、0b >

D 、0b < 答案：A

【易错点6】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。 例9、 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+

a 1)2+(b+b

1

)2的最小值。

错解 :(a+a

1)2+(b+

b

1)2=a 2+b 2+

2

1a +2

1b +4≥2ab+

ab

2

+4≥4ab ab 1?

+4=8∴(a+

a

1

)2+(b+

b

1)2的最小

值是8

【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2+b 2≥2ab ，第一次等号成立的条件是a=b=

2

1,

第二次等号成立的条件ab=

ab

1

，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。

解析：原式= a 2+b 2+

21a +21b +4=( a 2+b 2)+(21a +2

1b )+4=[(a+b)2

-2ab]+ [(a 1+b 1)2-ab 2]+4

=(1-2ab)(1+221b a )+4由ab≤(2b a +)2=41 得：1-2ab≥1-21=21,且221b a ≥16，1+2

21

b

a ≥17∴原式

≥21×17+4=225 (当且仅当a=b=21时，等号成立)∴(a+a 1)2+(b+b 1)2的最小值是2

25。 【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三

相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。 【易错点7】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。 【练10】设，且试求函数y = log a (4 + 3x – x 2 )的的单调区间。

答案：当01a <

<，函数在31,2??- ???上单调递减在3,42??????上单调递增当1a >函数在31,2?

?- ??

?上单调

递增在

3,42??

????

上单调递减。 【易错点8】 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性． 【练11】不等式x >ax ＋32

的解集是(4,b)，则a ＝________，b ＝_______。

答案：1

,368

a

b ==x t =原不等式变为关于t 的一元二次不等式的解集为(b ）

【易错点9】已知n S 求n a 时, 易忽略n ＝１的情况． 例12、数列

{}n a 前n 项和n s 且111

1,3

n n a a s +==

。（1）求234,,a a a 的值及数列{}n a 的通项公式。 答案：该数列从第二项开始为等比数列故()()21114233n n n a n -=??

=???≥? ???

?。

【知识点归类点拔】对于数列n a 与n s 之间有如下关系：()()

1112n n n s n a s s n -=??=?-≥??利用两者之间的关系可以已知n s 求n a 。但注意只有在当1a 适合()12n n n a s s n -=-≥时两者才可以合并否则要写分段函数

的形式。

【练12】已知数列

{}n a 满足a 1

= 1, a n

= a 1

+ 2a 2

+ 3a 3

+ … + (n – 1)a

n – 1 (n ≥ 2),则数列

{}n a 的通项

为 。

答案：（将条件右端视为数列{}n na 的前n-1项和利用公式法解答即可）()

()11!22

n n a n n =??

=?≥??

【易错点10】利用函数知识求解数列的最大项及前n 项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从1开始） 【练13】设

{}n a 是等差数列，n s 是前n 项和，且56s s <，678s s s =>，则下列结论错误的是（）A 、

0d D 、6s 和7s 均为n s 的最大值。

答案：C （提示利用二次函数的知识得等差数列前n 项和关于n 的二次函数的对称轴再结合单调性解答） 【易错点11】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。 例14、已知关于的方程2

30x

x a -+=和230x x b -+=的四个根组成首项为

3

4

的等差数列，求

a b +的值。

【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。

解析：根据等差数列知识易知此等差数列为：

3579,,44,44故2735,1616a b ==从而a b +=318

。 【易错点12】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况 【练15】（2005高考全国卷一第一问）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n

s >（1）求q 的取值

范围。 答案：

()()1,00,-+∞U

【易错点13】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n 项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。

【练16】已知u n = a n + a n – 1b + a n – 2b 2 + … + ab n – 1 + b n (),0,0n N

a b +

∈>>, 当a b =时，求

数列

{}n a 的前n 项和n s

答案：1a

≠时()()()

2122

1221n n n

n a n a a a

s a +++-+-+=-当1a =时()32

n

n n s +=

.

【易错点14】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。 例17、求=

n S ++++++321121111…n

+++++

Λ3211

． 答案：

2n n + 1

． 【练17】（2005济南统考）求和121222-+=n S ＋141422-+＋161622-+＋…＋1

)2(1

)2(22-+n n ．

答案：+-++-++-+=715115*********n

S …+1211211+--+n n ＝1

22++n n

n ．

【易错点15】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。

【练18】（1）（2000全国）已知数列

{}n c ,其中23n n n c =+,且数列{}1n n c pc +-为等比数列.求常数p

答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根据等比中项的性质建立关于p 的方程，再说明p 值对任意自然数n 都成立）

【易错点16】用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０．尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略. 例19、已知双曲线2

24x

y -=，直线()1y k x =-，讨论直线与双曲线公共点的个数

综上知当1k =±或23

3

k =±

时直线与双曲线只有一个交点，当2323

33

k -

<<

且1k ≠±。时直线与双曲线有两个交点，当233k >

或23

3

k <-时方程组无解此时直线与双曲线无交点。 【知识点归类点拔】判断直线与双曲线的位置关系有两种方法：一种代数方法即判断方程组解的个数对应于直线与双曲线的交点个数另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结合的方法解答，并且这两种方法的对应关系如下上题中的第一种情况对应于直线与双曲线的渐进线平行，此时叫做直线与双曲线相交但只有一个公共点，通过这一点也说明直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要但不充分条件。第二种情况对应于直线与双曲线相切。通过本题可以加深体会这种数与形的统一。

【练19】（1）已知双曲线C ： ，过点P （1，1）作直线l, 使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条

件的直线l 共有____条。答案：4条（可知k l 存在时，令l: y-1=k(x-1)代入14

2

2

=-y x 中整理有(4-k 2)x 2+2k(k-1)x-

(1-k 2)-4=0,∴ 当4-k 2=0即k=±2时，有一个公共点；当k≠±2时，由Δ=0有2

5

=

k ，有一个切点另：当k l 不存在时，x=1也和曲线C 有一个切点∴综上，共有4条满足条件的直线） 【易错点17】易遗忘关于sin θ和cos θ齐次式的处理方法。 例20、已知2tan =θ

，求（1）

θ

θθθsin cos sin cos -+；（2）θ

θθθ22

cos 2cos .sin sin

+-的值.

【易错点18】单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘，应用意识不强，另一方面易将角的三角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来，产生概念性的错误。 例21、下列命题正确的是（） A 、α、β都是第二象限角，若sin sin α

β>，则tan tan αβ>B 、α、β都是第三象限角，若

cos cos αβ>，则sin sin αβ>C 、α、β都是第四象限角，若sin sin αβ

>，则tan tan αβ>D 、α

、β都是第一象限角，若cos cos αβ>，则sin sin αβ

>。

解析：A 、由三角函数易知此时角α的正切线的数量比角β的正切线的数量要小即tan tan αβ

同理可知sin sin α

β

tan tan αβ>。正确。D 、同理可知应为sin sin αβ<。

【易错点19】在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时。易将ω和φ求错。

例23．要得到函数

sin 23y x π?

?=- ??

?的图象，只需将函数1sin 2y x =的图象（）

A 、 先将每个x 值扩大到原来的4倍，y 值不变，再向右平移

3

π

个单位。 B 、 先将每个x 值缩小到原来的14倍，y 值不变，再向左平移3

π

个单位。

C 、 先把每个x 值扩大到原来的4倍，y 值不变，再向左平移个6

π

单位。

D 、 先把每个x 值缩小到原来的14倍，y 值不变，再向右平移6

π

个单位。

【易错点20】没有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象。

例24、已知()0,α

π∈，7

sin cos 13

αα+=

求tan α的值。 解析：据已知7sin cos 13αα+=（1）有120

2sin cos 0169

αα=-<，又由于()0,απ∈，故有

sin 0,cos 0αα><，从而sin cos 0αα->即17

sin cos 13

αα-==（2）

联立（1）（2）可得125sin ,cos 1313αα==，可得12

tan 5

α=。

【易错点21】根据已知条件确定角的大小，没有通过确定角的三角函数值再求角的意识或确定角的三角函数名称不适当造成错解。

例25、若sin 510α

β=

=，且α、β均为锐角，求αβ

+的值。

解析：由sin 510αβ==且α、β均为锐角知解析：由sin 510

αβ=

=且α、

β均为锐角知cos α

β=

=则()cos αβ+==由

α

、β均为锐角即()0,α

βπ+∈故αβ+π

=

【易错点22】对正弦型函数

()sin y A x ωφ=+及余弦型函数()cos y A x ωφ=+的性质：如图象、

对称轴、对称中心易遗忘或没有深刻理解其意义。 例26、如果函数

sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线8

x π

=-

对称，那么a 等于（ ）

A.

2 B.－2 C.1 D.－1

【易错点分析】函数

()sin y A x ωφ=+的对称轴一定经过图象的波峰顶或波谷底，且与y 轴平行，而

对称中心是图象与x 轴的交点，学生对函数的对称性不理解误认为当8

x π

=-

时，y=0，导致解答出错。

解析：（法一）函数的解析式可化为

()21sin 2y a x φ=++，故y

的最大值为

21a +，依题意，

直线8

x π

=-

是函数的对称轴，则它通过函数的最大值或最小值点即

sin cos 44a ππ????

-+- ? ?????

21a =+，解得1a =-.故选D

（法二）若函数关于直线8

x

π

=-

是函数的对称则必有

()04f f π??

=- ???

，代入即得1a =-。

【练26】（1）（2003年高考江苏卷18）已知函数)0,0)(sin()(π?ω?ω≤≤>+=x x f 上R 上的偶函数，其图象关于点)0,43(π

M 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数，求?和ω的值.

答案：2

,2

3

π

φ

ω=

=

或2。 （2）（2005全国卷一第17题第一问）设函数的

()()()sin 2f x x φπφπ=+-<<，

()y f x =图象的一条对称轴是直线8

x π=

，求φ 答案：φ=34

π

-

【易错点23】利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形

解的个数。

例27、在ABC ?中，30,23,2B

AB AC ?===。求ABC ?的面积

解析：故相应的三角形面积为1232sin 3032s ?=

???=或1

232232

??=. 【知识点归类点拔】正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题（1）已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。（2）已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间

()0,π内不严格格单调，此时

三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。如：在ABC ?中，已知a,b 和A 解的情况如下：

（1） 当A 为锐角

（2）若A 为直角或钝角

【练27】如果满足60ABC ?∠=，2AC =，BC k =的三角形恰有一个, 那么k 的取值范围是（）

A 、8

3、012k <≤C 、12k ≥D 、012k <≤或3k =答案：D

【易错点24】含参分式不等式的解法。易对分类讨论的标准把握不准，分类讨论达不到不重不漏的目的。 例29、解关于x 的不等式

2

)

1(--x x a ＞1(a ≠1). 【易错点分析】将不等式化为关于x 的一元二次不等式后，忽视对二次项系数的正负的讨论，导致错解。

解：综上所述：当a ＞1时解集为(－∞，12--a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，12

--a a )；当a =0时，解集为?；当a ＜0时，解集为(1

2

--a a ，2).

【易错点25】求函数的定义域与求函数值域错位 【练30】已知函数

()()()2

21212f x a

x a x =

-+-+R 试分别确定满足

条件的a 的取值范围。答案：（1）1a ≥或3a ≤-（2）31a -≤≤或1a =-

【易错点26】利用函数的的单调性构造不等关系。要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制。 例33、记

()2f x ax bx c =-+，若不等式()0f x >的解集为()1,3，试解关于t 的不等式

()()282f t f t +<+。

解析：不等式的解为：33t -<<。

【练33】（1）设函数

()f x |1||1|2--+=x x ,求使()f x ≥的22的x 取值范围。

答案：x 取值范围是),4

3

[+∞

【易错点27】涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用。易产生概念性错误。 例35、下列命题： ①422

||)()

(a a a =?

②b c a c b a ??=??)()( ③

|·|=||·||④若∥b b ,∥,c 则∥ ⑤∥，则存在唯一实数λ，使λ=

⑥若?=?，且≠，则=⑦设2

1,e e 是平

面内两向量，则对于平面内任何一向量，都存在唯一一组实数x 、y ，使2

1e y e x +=成立。⑧若

|+|=|－|则·

=0。⑨·=0，则=或=真命题个数为（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．3个以上

解析：①正确。②错误，③错误。④错误。⑤错误。⑥错误。⑦错误。⑧正确。⑨错误。 答案：B 【易错点28】利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时，数形结合的意识不够，忽视隐含条件。

例36、四边形ABCD 中，AB ＝ａ，BC ＝ｂ，CD ＝с，DA ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，

试问四边形ABCD 是什么图形? 解：四边形ABCD 是矩形

【练36】（1）（2003高考江苏）O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足

).,0[|

||

|(

+∞∈?+

+=λλAC AC AB AB OA OP 则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

（2）（2005全国卷文科）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ?=?=?，

则点O 是ABC ?的（ ）

（A ）三个内角的角平分线的交点 （B ）三条边的垂直平分线的交点

（C ）三条中线的交点

（D ）三条高的交点

答案：（1）B （2）D

【易错点29】忽视向量积定义中对两向量夹角的定义。

例37、已知ABC ?中,5,8,7a b c ===,求BC CA ?u u u r u u u r 答案：故据数量积的定义知58cos12020BC CA ?

?=??=-u u u r u u u r .

【知识点归类点拔】高中阶段涉及角的概念不少,在学习过程中要明确它们的概念及取值范围,如直线的倾斜角的取值范围是)0

,180?

???，两直线的夹角的范围是0,90??????，两向量的夹角的范围是0,180??

????，异面直线所成的角的范围是

(0,90?

?

??，直线和平面所成的角的范围是0,90?

?

????二面角的取值范围是

()0,180?

?

。

【易错点30】立体图形的截面问题。 例56、正方体

ABCD --1111A B C D ，E 、F 分别是1AA 、1CC 的中点，p 是1CC 上的动点（包括端点）

，过E 、D 、P 作正方体的截面，若截面为四边形，则P 的轨迹是（）

A 、 线段1C F

B 、线段CF

C 、线段CF 和一点1C

D 、线段1C F 和一点C 。 答案：选C

【知识点归类点拔】高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查。考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两种：一种是利有平面的基本定理：一个就是一条直线上有两点在一平面内则这条直线上所在的点都在这平面内和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）（注意该定理地应用如证明诸线共点的方法：先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点都是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上）据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平的交线。另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线。一般情况下这两种方法要结合应用。

【练56】（1）（2005高考全国卷二）正方体ABCD —A 1 B 1 C 1 D 1中，P 、Q 、R 、分别是AB 、AD 、B 1 C 1的中点。那么正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（）

（A ）三角形 （B ）四边形 （C ）五边形 （D ）六边形 答案：D （2）在正三棱柱

ABC -111A B C 中，P 、Q 、R 分别是BC 、1CC 、11A C 的中点，作出过三点P 、Q 、

R 截正三棱柱的截面并说出该截面的形状。答案：五边形。

【易错点31】判断过空间一点与两异面直线成相等的角的直线的条数

例57、（93全国考试）如果异面直线a 、b 所在的角为50?

,P 为空间一定点，则过点P 与a 、b 所成的角都是30?

的直线有几条？

A 、一条

B 二条

C 三条

D 四条

解析：如图，过点P 分别作a 、b 的平行线a '、b '，则a '、b '所成的角也为50?，即过点P 与a '、b '成相等的角的直线必与异面直线a 、b 成相等的角，由于过点P 的直线L 与a '、b '成相等的角故这样的直线L 在a '、

b '

确定的平面的射影在其角平分线上，则此时必有

cos cos cos APB APO OPB

∠=∠?∠当

cos30cos cos 25APO ?

?

∠=

时，有()cos30cos 0,1cos 25APO ??

∠=∈，此时这样的直线存在且有两条当130BPC ?

∠=时，有cos30cos 1cos 65APO ?

?

∠=>这样的直线不存在。故选B

【练57】如果异面直线a 、b 所在的角为100?

,P 为空间一定点，则过点P 与a 、b 所成的角都是50?

的直线有几条？

A 、一条

B 二条

C 三条

D 四条 答案：C

【易错点32】对于两个平面平行的判定定理易把条件误记为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”，容易导致证明过程跨步太大。 例59、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是11111,,C C B C C D 的中点，

求证：平面MNP//平面

1A BD

【易错点分析】本题容易证得MN//1A D ,MP//BD ，而直接由此得出

面

1//MNP A BD 面

解析：连结111,,,B D B C P N Q 分别是1111,D C B C 的中点，11//,PN

B D ∴11//,/B D BD PN BD ∴

又11,//PN A BD PN A BD ?∴面平面同理：1//,MN A BD PN MN N =I 平面又

l

C

B

b '

a '

A

p

1//DMN A BD ∴平面平面。

【知识点归类点拨】个平面平行问题的判定或证明是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，即“线面平行则面面平行”，必须注意这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面，定理中的条件缺一不可。 【练59】正方体

1111ABCD A B C D -中，（1）M ，N 分别是棱1111,A B A D 的

中点，E 、F 分别是棱1111,B C C D 的中点，求证：①E 、F 、B 、D 共面； ②平面AMN//平面EFDB ③平面11AB D //平面1C BD

证明：（1）①1111//,////,EF B D B D BD EF BD ∴Q

则E 、F 、B 、D 共面。

②易证：MN//EF ，设

1111,,AC MN P AC EF Q AC BD O ===I I I

//,//PQ AO PQ AO PA OQ =∴Q //AMN EFDB ∴平面平面

③连结AC ，1111ABCD A B C D -Q 为正方体，AC DB ∴⊥11

,AA ABCD AC BD ⊥∴⊥Q 平面，同理可证

11A C BC ⊥于是得111!1,AC C BD AC ABD ⊥⊥平面同理可证平面111//AB D C BD ∴面面

【易错点33】求异面直线所成的角，若所成角为0

90，容易忽视用证明垂直的方法来求夹角大小这一重要方法。

例60、（2001全国9）在三棱柱

111ABC A B C -中，若12AB BB =，则11AB C B 与所

成角的大小为（ ）A 、0

60 B 、0

90 C 、0

105 D 、0

75 【易错点分析】忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间。

【知识点归类点拨】求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，对特殊的角，如0

90时，可以采用证明垂直的方法来求之。 【练60】（2005年浙江12）

设M ，N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE AD ⊥于E

（如图），现将ADE ?沿DE 折起，使二面角

A DE

B --为045，此时点A 在平面BCDE 内的

射影恰为点B ，则M ，N 的连线与AE 所成的角的 大小等于 。 解析：易知0045,90,AEB ABE AB BE

∠=∠=∴=取AE 中点Q ，连MQ ，

BQ 11

//,,//,22

MQ DE MQ DE DE BC DE BC ==Q

，N 为BC 的中点

//,,//MQ BN MQ BN BQ MN ∴=∴,BQ AE MN AE ⊥∴⊥Q ，

即M ，N 连线与AE 成0

90角。 【易错点34】在求异面直线所成角，直线与平面所成的角以及二面角时，容易忽视各自所成角的范围而出现错误。

【知识点归类点拨】在历届高考中，求夹角是不可缺少的重要题型之一，要牢记各类角的范围，两条异面直线所成的角的范围：0

0090α<≤；直线与平面所成角的范围：00090α≤≤；二面角的平面角的

取值范围：0

00

180α≤≤。同时在用向量求解两异面直线所成的角时，要注意两异面直线所成的角与两

向量的夹角的联系与区别。

【易错点35】求点到平面的距离的方法有直接法、等体积法、换点法。 例65、（2005年春季上海19）如图，已知正三棱锥 P —ABC 的体积为72

3，侧面与底面所成的二面角的大小为060。

（1） 证明PA BC ⊥；

（2） 求底面中心O 到侧面的距离。

解析：（1）证明：取BC 边的中点D ，连结AD 、PD ，则

,AD BC PD BC ⊥⊥，故BC APD ⊥平面PA BC ∴⊥。

（2）解：如图，由（1）可知平面PBC ⊥平面APD ，则PDA ∠是侧面与底面所成二面角的平面角。 过点O 做OE PD ⊥，E 为垂足，则OE 就是点O 到侧面的距离，设OE 为h ，由题意可知点O 在AD 上，

060,2.PDO OP h ∴∠==2,4,3

h OD BC h =

∴=Q ()2

2

34434ABC S h h ?∴==22

183723432,333

h h h h =??=∴=Q 即底面中心O 到侧面的距离为3。

【知识点归类点拨】求点到平面的距离一般由该点向平面引垂线，确定垂足，转化为解三角形求边长，或者利用空间向量表示点到平面的垂线段，设法求出该向量，转化为计算向量的模，也可借助体积公式利用等积求高。

【易错点36】二面角平面角的求法，主要有定义法、三垂线法、垂面法等。

例62、 如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AA 1＝A 1C 1＝a ，E 为BB 1的中点，若截面A 1EC ⊥侧面AC 1．求截面A 1EC 与底面A 1B 1C 1所成锐二面角度数．

答案：所求二面角的度数为45°．

【知识点归类点拨】二面角平面角的作法：（1）垂面法：是指根据平面角的定义，作垂直于棱的平面，通过这个平面和二面角两个面的交线得出平面角。（2）垂线法：是指在二面角的棱上取一特殊点，过此点在二面角的两个半平面内作两条射线垂直于棱，则此两条射线所成的角即为二面角的平面角；（3）三垂线法：是指利用三垂线定理或逆定理作出平面角；

高中生物选择易错知识点总结全

高中生物易错易混知识点 1..能进行光合作用的细胞不一定有叶绿体,自养生物不一定是植物（例如：硝化细菌、绿硫细菌和蓝藻）。 2.生物工程包含基因工程、细胞工程（上游技术）和发酵工程、酶工程（下游技术） 3.生命的共性包含共同的物质基础（元素和化合物）、氨基酸种类、核苷酸种类、DNA和RNA的结构方式、遗传密码、基因结构（编码区和非编码区）等。 4.元素含量占细胞鲜重最多是O，依次是O、C、H、N、P、S，最基本元素是C。 5.无机盐的作用：如缺铁导致红细胞运输氧气能力下降，体现维持细胞的生命活动作用；缺铁导致人贫血，体现维持生物体的生命活动作用。其次构成复杂化合物的作用。 6.植物细胞的储能物质主要是淀粉、脂肪、蛋白质，动物细胞的储能物质主要是糖原和脂肪。区分直接能源、主要能源、储备能源、根本能源。 7.蛋白质结构多样性原因（4个），DNA结构多样性原因（3个），DNA结构稳定性原因（3个） 8.细胞大小在微米水平，电镜下可看到直径小于0.2微米的细微结构。最小的细胞是支原体。 9.蛋白质的基本元素是C、H、O、N，S是其特征元素； 核酸的基本元素是C、H、O、N、P，P是其特征元素； 血红蛋白的元素是C、H、O、N、Fe， 叶绿素的元素是C、H、O、N、Mg， 吲哚乙酸的元素是C、H、O、N； 不含矿质元素的是糖类和脂肪。 10．原核细胞的特点有①无核膜、核仁②无染色体③仅有核糖体④细胞壁成分是肽聚糖⑤遗传不遵循三大规律⑥仅有的可遗传变异是基因突变⑦无生物膜系统⑧基因结构编码区连续11.哺乳动物成熟红细胞无细胞核和线粒体，不分裂，进行无氧呼吸。可作为提取细胞膜的好材料。 12．内质网是生物膜系统的中心，外及细胞膜相连，内及外层核膜相连，还及线粒体外膜相连。对蛋白质进行折叠、组装、加糖基等加工，再形成具膜小泡运输到高尔基体，进一步加工和分泌。 13.分泌蛋白有抗体、干扰素（糖蛋白）、消化酶原、胰岛素、生长激素。经过的膜性细胞结构有内质网、高尔基体

高中数学知识点易错点梳理

高考数学考前提醒：高中知识点易错点梳理 一、集合、简易逻辑、函数 1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜ x ｜,y},且A=B,则x+y= 2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜ y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2 +1,x ∈R}求M ∩N 的区别。 3． 集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的子集B A ?时是否忘记?. 例如：()()012222 <--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论 了a ＝2的情况了吗？ 4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2， 12-n ， 12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个 5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中 7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。{21,}{41,}M x x k k x x k k ==+∈==±∈Z Z 7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表: 9、 互 互 互 为 互 否 逆 逆 否 否 否 否 否 否 互 逆 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. 10、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪几 种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质： ①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. ②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称； 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称； 函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称. ③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数． ④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数． ⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数 ()a x f y +=()0(a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数 ()x f y =+a )0(

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 .

2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念

1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设

生物专题——易错易混知识归类100个

生物专题—— 易错易混知识归类100个 1．应激性（对外界刺激产生一定的反应，是动态的）与适应性（包含应激性，也含静态的适应 特征，如保护色），它们都由遗传性决定。 2．生物工程包含基因工程、细胞工程（上游技术）和发酵工程、酶工程（下游技术） 3．生命的共性包含共同的物质基础（元素和化合物）、氨基酸种类、核苷酸种类、DNA和RNA 的结构方式、遗传密码、基因结构（编码区和非编码区）等。 4．元素含量占细胞鲜重最多是O，依次是O、C、H、N、P、S，最基本元素是C。 5．无机盐的作用：如缺铁导致红细胞运输氧气能力下降，体现维持细胞的生命活动作用；缺铁导致人贫血，体现维持生物体的生命活动作用。其次构成复杂化合物的作用。 6．植物细胞的储能物质主要是淀粉、脂肪、蛋白质，动物细胞的储能物质主要是糖原和脂肪。区分直接能源、主要能源、储备能源、根本能源。 7．蛋白质结构多样性原因（4个），DNA结构多样性原因（3个），DNA结构稳定性原因（3个）8．细胞大小在微米水平，电镜下可看到直径小于0。2微米的细微结构。最小的细胞是支原体。9．蛋白质的基本元素是C、H、O、N，S是其特征元素；核酸的基本元素是C、H、O、N、P，P是其特征元素；血红蛋白的元素是C、H、O、N、Fe，叶绿素的元素是C、H、O、N、Mg，吲哚乙酸的元素是C、H、O、N；不含矿质元素的是糖类和脂肪。 10．原核细胞的特点有①无核膜、核仁②无染色体③仅有核糖体④细胞壁成分是肽聚糖⑤遗传不遵循三大规律⑥仅有的可遗传变异是基因突变⑦无生物膜系统⑧基因结构编码区连续 乳动物成熟红细胞无细胞核和线粒体，不分裂，进行无氧呼吸。可作为提取细胞膜的好材料。11．内质网是生物膜系统的中心，外与细胞膜相连，内与外层核膜相连，还与线粒体外膜相连。 对蛋白质进行折叠、组装、加糖基等加工，再形成具膜小泡运输到高尔基体，进一步加工和分泌。12。分泌蛋白有抗体、干扰素（糖蛋白）、消化酶原、胰岛素、生长激素。经过的膜性 细胞结构有内质网、高尔基体和细胞膜。 13。三种细胞分裂中核基因都要先复制再平分，而质基因都是随机、不均等分配。只有真核生物才分成细胞核遗传和细胞质遗传两种方式。细胞的生命历程是未分化、分化、衰老、死亡。分裂次数越多的细胞表明其寿命越长。细胞衰老是外因和内因共同作用的结果。 14。细胞分化的实质是基因的选择性表达，是在转录水平由基因两侧非编码区调控的。 15．细胞全能性是指已分化的的细胞具有发育的潜能。根据动物细胞全能性大小，可分为全能性细胞（如动物早期胚胎细胞），多能性（如原肠胚细胞），专能性（如造血干细胞）；根据植物细胞表达全能性大小排列是：受精卵、生殖细胞、体细胞；全能性的物质基础是细胞内含有本物种全套遗传物质。 16。影响酶促反应速度的因素有酶浓度、底物浓度、温度、酸碱度等。使酶变性的因素是强酸、强碱、高温。恒温动物体内酶的活性不受外界温度影响。α-淀粉酶的最适温度是60度左右。17。基因工程的工具酶是限制性内切酶、DNA连接酶（作用与磷酸二酯键）；细胞工程的工具酶是纤维素酶和果胶酶（获得原生质体时需配制适宜浓度的葡萄糖溶液，保证等渗，保护原生质体），胰蛋白酶（动物细胞工程）。 18。ATP是细胞内直接能源物质，在细胞内含量少，与ADP相互转化。需耗能的生理活动有主动运输、外排和分泌、暗反应、肌肉收缩、神经传导和生物电、大分子有机物合成等；不需耗能的有渗透作用、蒸腾作用；形成ATP的生理活动是呼吸作用和光反应。 19．光能转变成活跃化学能时最初电子供体是水，最终电子受体是辅酶Ⅱ（NADP+），依赖特殊状态的叶绿素a分子。书写水光解和NADPH形成的两个方程式。 20提高光能利用率的方法是1：延长光合作用时间（一年内轮作）2：增加光合作用面积（合理密植、间作）3：提高光合作用效率（即光合作用速度） 21渗透作用是溶剂分子（如水、丙酮、酒精）通过半透膜的扩散。浓度应换算成摩尔浓度，不是百分浓度。 22蒸腾作用是吸水和运输水分的动力，也是运输离子的动力；植物吸水的动力还可以是根压；影响蒸腾作用的因素是温度、湿度、光照（温度）、风力。植物的吸水量等于利用量（1%--5%）和蒸腾量。湿度大时幼苗出现吐水，是植株正常生长的标志。 23合理灌溉需要根据不同植物、不同需水量、不同季节进行，可采用喷灌、滴灌等先进方法进行灌溉，节约用水。

高二数学易错知识点归纳五篇

高二数学易错知识点归纳五篇 高二这一年，是成绩分化的分水岭，成绩会形成两极分化：行则扶摇直上，不行则每况愈下。下面就是给大家带来的高二数学知识点，希望能帮助到大家！ 高二数学知识点1 1.不等式证明的依据 (2)不等式的性质(略) (3)重要不等式：①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R) ②a2+b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号) 2.不等式的证明方法 (1)比较法：要证明ab(a0(a-b0)，这种证明不等式的方法叫做比较法. 用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号. (2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法.

(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法. 证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等. 高二数学知识点2 第一章：集合和函数的基本概念，错误基本都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就是五分没了。次一级的知识点就是集合的韦恩图，会画图，集合的“并、补、交、非”也就解决了，还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。 第二章：基本初等函数：指数、对数、幂函数三大函数的运算性质及图像。函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习基本就没多大问题。函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及

高中数学知识点总结最全版

高中数学知识点总结 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.

高中生物易错易混知识点归纳

高中生物易错易混知识点归纳 1.植物细胞的储能物质主要是淀粉、脂肪，动物细胞的储能物质主要是糖原和脂肪。区分直接能源、主要能源、储备 能源、根本能源。 2. 蛋白质的基本元素是C、 H 、 O、 N ， S 是其特征元素；核酸的基本元素是C、H 、 O 、 N 、P， P 是其特征元；血红蛋白的元素是C、 H 、 O 、N 、 Fe，叶绿素的元素是C、 H、 O、 N 、 Mg ；不含矿质元素的是糖类和脂肪。 3.原核细胞的特点有：①无核膜、核仁；②无染色体；③仅有核糖体；④细胞壁成分是肽聚糖；⑤遗传不遵循三大 规律；⑥仅有的可遗传变异是基因突变；⑦无生物膜系统；⑧基因结构编码区连续。 4.内质网是生物膜系统的中心，外与细胞膜相连，内与外层核膜相连，还与线粒体外膜相连。对蛋白质进行折叠、组 装、加糖基等加工，再形成具膜小泡运输到高尔基体，进一步加工和分泌。 5.分泌蛋白有抗体、干扰素（糖蛋白）、消化酶原、胰岛素、生长激素。经过的膜性细胞结构有内质网、高尔基体和 细胞膜。 6.三种细胞分裂中核基因都要先复制再平分，而质基因都是随机、不均等分配。只有真核生物才分成细胞核遗传和细 胞质遗传两种方式。 细胞的生命历程是未分化、分化、衰老、死亡。分裂次数越多的细胞表明其寿命越长。细胞衰老是外因和内因共同作 用的结果。 7.细胞分化的实质是基因的选择性表达，是在转录水平调控的。 8.细胞全能性是指已分化的的细胞具有发育成顽症个体的潜能。 根据动物细胞全能性大小，可分为全能性细胞（如动物早期胚胎细胞），多能性（如原肠胚细胞），专能性（如造血 干细胞）； 根据植物细胞表达全能性大小排列是：受精卵、生殖细胞、体细胞；全能性的物质基础是细胞内含有本物种全套遗传 物质。 9.影响酶促反应速度的因素有酶浓度、底物浓度、温度、酸碱度等。 使酶变性的因素是强酸、强碱、高温。恒温动物体内酶的活性不受外界温度影响。α- 淀粉酶的最适温度是60 度左右。

高中数学高考易错知识点归纳

高中数学高考易错知识点归纳 忽视零截距致误 解决有关直线的截距问题时应注意两点：一是求解时一定不要忽略截距为零这种特殊 情况;二是要明确截距为零的直线不能写成截距式。因此解决这类问题时要进行分类讨论，不要漏掉截距为零时的情况。 忽视圆锥曲线定义中条件致误 利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件。如在双 曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值;其二，2a<|F1F2|。如果不满足第一 个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是 双曲线的一支。 误判直线与圆锥曲线位置关系 过定点的直线与双曲线的位置关系问题，基本的解决思路有两个：一是利用一元二次 方程的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零，当二次项 系数为零时，直线与双曲线的渐近线平行或重合，也就是直线与双曲线最多只有一个交点;二是利用数形结合的思想，画出图形，根据图形判断直线和双曲线各种位置关系。在直线 与圆锥曲线的位置关系中，抛物线和双曲线都有特殊情况，在解题时要注意，不要忘记其 特殊性。 两个计数原理不清致误 分步加法计数原理与分类乘法计数原理是解决排列组合问题最基本的原理，故理解 “分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提，在解题时，要分析计数对象的本质 特征与形成过程，按照事件的结果来分类，按照事件的发生过程来分步，然后应用两个基 本原理解决.对于较复杂的问题既要用到分类加法计数原理，又要用到分步乘法计数原理，一般是先分类，每一类中再分步，注意分类、分步时要不重复、不遗漏，对于“至少、至多”型问题除了可以用分类方法处理外，还可以用间接法处理。 排列、组合不分致误 为了简化问题和表达方便，解题时应将具有实际意义的排列组合问题符号化、数学化，建立适当的模型，再应用相关知识解决.建立模型的关键是判断所求问题是排列问题还是 组合问题，其依据主要是看元素的组成有没有顺序性，有顺序性的是排列问题，无顺序性 的是组合问题。 混淆项系数与二项式系数致误

高中生物近五年高考生物易错、易混淆知识点辨析汇总真有用 (1)

高中生物：近五年高考，生物易错、易混淆 知识点辨析汇总 很多同学和我说生物选择题不好，选来选去，时间没少浪费，最终还把错误答案写上了！这其中的痛苦真是不言而喻！生物选择题考察大家对基础知识的扎实程度，所以总会有一些易混淆的知识点，生物姐为大家总结的近五年高考生物考题中的易错点，今天分享给大家，现在看还来得及哦！ 1.类脂与脂类 脂类：包括脂肪、固醇和类脂，因此脂类概念范围大。 类脂：脂类的一种，其概念的范围小。 2.纤维素、维生素与生物素 纤维素：由许多葡萄糖分子结合而成的多糖。是植物细胞壁的主要成分。不能为一般动物所直接消化利用。 维生素：生物生长和代谢所必需的微量有机物。大致可分为脂溶性和水溶性两种，人和动物缺乏维生素时，不能正常生长，并发生特异性病变——维生素缺乏症。

生物素：维生素的一种，肝、肾、酵母和牛奶中含量较多。是微生物的生长因子。 3.大量元素、主要元素、矿质元素、必需元素与微量元素 大量元素：指含量占生物体总重量万分之一以上的元素，如C、H、O、N、P、S、K、Ca、Mg。其中N、P、S、K、Ca、Mg是植物必需的矿质元素中的大量元素。C是基本元素。 主要元素：指大量元素中的前6种元素，即C、H、O、N、P、S，大约占原生质总量的97%。 矿质元素：指除C、H、O以外，主要由根系从土壤中吸收的元素。 必需元素：植物生活所必需的元素。它必需具备下列条件：第一，由于该元素的缺乏，植物生长发育发生障碍，不能完成生活史；第二，除去该元素则表现专一的缺乏症，而且这种缺乏症是可以预防和恢复的；第三，该元素在植物营养生理上应表现直接的效果，绝不是因土壤或培养基的物理、化学、微生物条件的改变而产生的间接效果。

高中数学必修三所有知识点总结和常考题型练习精选

高中数学 必修3知识点 第一章 算法初步 一，算法与程序框图 1，算法的概念：按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。 2，算法的三个基本特征：明确性，有限性，有序性。 （1）顺序结构：顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。 （2）条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 （3）循环结构：直到型循环结构，当型循环结构。一个完整的循环结构，应该包括三个内容：1）循环体；2）循环判断语句；3）与循环判断语句相关的变量。 二，基本算法语句（一定要注意各种算法语句的正确格式） 1，输入语句 2，输出语句 3，赋值语句 注意：“=”的含义是赋值，将右边的值赋予左边的变量 4，条件语句 5，循环语句： 直到型 当型 注意：提示内容用双引号标明，并 与变量用分号隔开。

三，算法案例 1，辗转相除法： 例：求２１４６与１８１３的最大公约数 ２１４６＝１８１３×１＋３３３ １８１３＝３３３×５＋１４８ ３３３＝１４８×２＋３７ １４８＝３７×４＋０ ．．．．．．．．．．．．．．余数为０时计算终止。 为最大公约数 2，更相减损术：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 3，秦九韶算法：将1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 改写成 1210()(()))n n n f x a x a x a x a x a --=+++++ 再由内及外逐层计算。 4，进位制：注意K 进制与十进制的互化。 1）例：将三进制数(3)10212化为十进制数 10212(3)=2+1×3+2×32+0×33+1×34=104 2）例：将十进制数１０４化为三进制数 １０４＝３×３４＋２ ．．．．．．． 最先出现的余数是三进制数的最右一位 ３４＝３×１１＋１ １１＝３×３＋２ ３＝３×１＋０ １＝３×０＋１ ．．．．．．．．．．．． 商数为0时计算终止 １０４=(3)10212 第二章 统计 一，随机抽样 1，简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽取到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。（关键词）逐个，不放回，机会相等 2，随机数表法的步骤： 1）编号； 2）确定起始数字；3）按一定规则读数（所读数不能大于最大编号，不能重复）。 3，系统抽样的步骤： 1）编号； 2）分段（若样本容量为n ，则分为n 段）；分段间隔N k n = ，若N n 不是整数，则剔除余数，再重新分段； 3）在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号； 4）按照 一定的规则在后面每段内各取一个编号，组成整个样本。 4，分层抽样的步骤： 1）确定抽样比； 2）根据个体差异分层，确定每层的抽样个体数（抽样比乘以各层的个体数，如果不是整数，则通过四舍五入取近似值）；3）在每一层内抽取样本（个体数少就用简单随机抽样，个体数多则用系统抽样），组成整个样本。 5，三种抽样方法的异同点 直到型和当型循环可以相互演变，循环体相同，条件恰好互补。

高中数学知识点总结精简

高中数学必修1知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a 属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法： ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x| x-3>2} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且B? A那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B? A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

高中生物易错易混知识点 (完整版)

高中生物易错易混知识点 1. 维生素在动物体内一般不能合成或合成很少，主要是从食物中摄取 2.维生素多是酶的辅助组成成分 3.病毒等少数种类的微生物不能独立进行代谢活动，若认为病毒不能进行代谢活动是不正确的。 4.叶绿体在离体条件下，只需保持其正常生存状态的条件，即可正常发挥其生理作用。 5.细胞板是由高尔基体小泡密集形成的一种结构，在显微镜下可以看见。 6.沉淀物中含少量放射性的原因是在离心过程中部分噬菌体外壳并未脱离大肠杆菌，从而进入沉淀物 7.豌豆杂交实验过程中，去雄一定要选择花粉未成熟时，且要将花粉去除干净。 8.若高茎ⅹ矮茎→高茎、矮茎的现象则不属于性状分离 9.并不是所有生物都有性染色体，也不是进行有性生殖的生物就有染色体，而是雌、雄异体的生物，也没有性染色体，如蜜蜂是由染

色体数目多少决定性别，工蜂和蜂王是二倍体，南昌雄蜂是由未受精的卵细胞发育形成的，是单倍体。 10.豌豆圆粒转基因插入了一段DNA序列变成皱粒基因，也是发生了基因突变。 11.多基因遗传病和染色体异常遗传病不符合孟德尔遗传规律。 12.多基因遗传病具有的家庭聚集现象并不是发病率高的意思，南昌是多基因遗传病往往出现在有亲缘关系的家庭成员中。 13.如2，4—D比天然生长素的作用持久就是因为2，4—D是生长素类似物，体内缺乏分解2，7—D酶。 14.并不是所有植物激素的作用都有双重性，如赤霉素、细胞分裂素、脱落酸、乙烯等的作用都没有双重性。 15.群落演替的结果是增加了生物的种类及总生产量，不是“取而代之｜如森林群落中仍有苔藓植物。 16.甲基绿一吡罗红为碱性染料。 17.解离技术和胰蛋白酶处理动物组织技术：解离技术适用于破坏细胞壁，分散植物细胞，制作临时装片段胰蛋白酶处理动物组织技术适用于分散动物细胞，获得动物细胞悬浮液。

高中必修二数学知识点全面总结

第1章 空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 222r rl S ππ+=

2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形， 锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2

高中数学秘籍高中数学知识点总结

高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ A 表示函数y=lgx 的定义域， B 表示的是值域，而 C 表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}1|032|2===--=ax x B x x x A ，如：集合 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-? ?? ???1013 显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n

种选择， 即集合A 有2n 个子集。 当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n - （）若，；2A B A B A A B B ??==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 ,A B A B A B A B ==U I I U 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30555 50 1539252 2∈--0) 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到m ，n 实际上就是方程 的2个根 5、熟悉命题的几种形式、 ()()(). ∨∧?可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非” 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧

高中生物易错易混知识点

高中生物易错易混知识点 1.。能进行光合作用得细胞不一定有叶绿体,自养生物不一定就是植物(例如:硝化细菌、绿硫细菌与蓝藻)。 2、生物工程包含基因工程、细胞工程(上游技术)与发酵工程、酶工程(下游技术) 3.生命得共性包含共同得物质基础(元素与化合物)、氨基酸种类、核苷酸种类、DNA与ＲNＡ得结构方式、遗传密码、基因结构(编码区与非编码区)等、 ４。元素含量占细胞鲜重最多就是Ｏ,依次就是O、C、H、Ｎ、Ｐ、S,最基本元素就是C、 ５、无机盐得作用:如缺铁导致红细胞运输氧气能力下降,体现维持细胞得生命活动作用;缺铁导致人贫血,体现维持生物体得生命活动作用。其次构成复杂化合物得作用。 6。植物细胞得储能物质主要就是淀粉、脂肪、蛋白质,动物细胞得储能物质主要就是糖原与脂肪。区分直接能源、主要能源、储备能源、根本能源、 ７。蛋白质结构多样性原因(4个),DＮＡ结构多样性原因(3个),DＮA结构稳定性原因(3个) ８、细胞大小在微米水平,电镜下可瞧到直径小于0、２微米得细微结构。最小得细胞就是支原体、 ９。蛋白质得基本元素就是C、H、Ｏ、N,S就是其特征元素; 核酸得基本元素就是C、H、O、Ｎ、P,Ｐ就是其特征元素; 血红蛋白得元素就是C、H、O、N、Fe, 叶绿素得元素就是C、H、O、N、Mg, 吲哚乙酸得元素就是C、H、O、N; 不含矿质元素得就是糖类与脂肪。 10.原核细胞得特点有①无核膜、核仁②无染色体③仅有核糖体④细胞壁成分就是肽聚糖⑤遗传不遵循三大规律⑥仅有得可遗传变异就是基因突变⑦无生物膜系统⑧基因结构编码区连续 1１。哺乳动物成熟红细胞无细胞核与线粒体,不分裂,进行无氧呼吸。可作为提取细胞膜得好材料。 12.内质网就是生物膜系统得中心,外与细胞膜相连,内与外层核膜相连,还与线粒体外膜相连。对蛋白质进行折叠、组装、加糖基等加工,再形成具膜小泡运输到高尔基体,进一步加工与分泌。13。分泌蛋白有抗体、干扰素(糖蛋白)、消化酶原、胰岛素、生长激素、经过得膜性细胞结构有内质网、高尔基体与细胞膜。 １4。三种细胞分裂中核基因都要先复制再平分,而质基因都就是随机、不均等分配。只有真核生物才分成细胞核遗传与细胞质遗传两种方式、 １5、细胞得生命历程就是未分化、分化、衰老、死亡。分裂次数越多得细胞表明其寿命越长。细胞衰老就是外因与内因共同作用得结果。 １6。细胞分化得实质就是基因得选择性表达,就是在转录水平由基因两侧非编码区调控得。17.细胞全能性就是指已分化得得细胞具有发育得潜能。根据动物细胞全能性大小,可分为全能性细胞(如动物早期胚胎细胞),多能性(如原肠胚细胞),专能性(如造血干细胞);根据植物细胞表达全能性大小排列就是:受精卵、生殖细胞、体细胞;全能性得物质基础就是细胞内含有本物种全套遗传物质。 18。影响酶促反应速度得因素有酶浓度、底物浓度、温度、酸碱度等。使酶变性得因素就是强

高中数学易错知识点梳理

高中数学易错知识点梳理 高中数学易错知识点梳理 集合与简单逻辑 第一、遗忘空集是任何非空集合的真子集，因此对于集合B，就有B=A、φ≠B、B≠φ三种情况出现。在实际解题中，如果考生思 维不够缜密，就有可能忽视第三种情况，导致结果出错。尤其是在 解含有参数的集合问题时，要充分注意当参数在某个范围内取值时 所给的集合可能是空集这种情况。空集是一个特殊集合，考生因思 维定式遗忘集合导致结果出错或不全面是常见的错误，一定要倍加 当心。 第二、忽视集合元素的三性集合元素具有确定性、无序性、互异性的特点，在三性中，数互异性对答题的影响最大，尤其是带有字 母参数的集合，实际上就隐含着对考生字母参数掌握程度的要求。 在考场答题时，考生可先确定字母参数的范围，再一一具体解决。 在否定一个命题时，要记住“全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题”的规律。如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，不是“a，b都是奇数”。 第四、充分必要条件颠倒两个条件A与B，若A=>B成立，则A 是B的充分条件，B是A的必要条件;若B=>A成立，则A是B的必 要条件，B是A的充分条件;若A<=>B，则AB互为充分必要条件。考生在解这类题时最容易出错的点就是颠倒了充分性与必要性，一定 要根据充要条件的概念作出准确的判断。 第五、逻辑联结词理解不准确 p∨q真<=>p真或q真，p∨q假<=>p假且q假(概括为一真即真); p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假(概括为一假即假);

┐p真<=>p假，┐p假<=>p真(概括为一真一假)。 函数与导数 第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，考生想要在考场上准确求出定义域，就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。 在求一般函数定义域时，要注意以下几点：分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的0次幂无意义。函数的定义域是非空的数集，在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。 第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数，判断分段函数的单调性有两种方法：第一，在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，然后对各个段上的单调区间进行整合;第二，画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质能够进行直观的判断。函数题离不开函数图象，而函数图象反应了函数的所有性质，考生在解答函数题时，要第一时间在脑海中画出函数图象，从图象上分析问题，解决问题。 对于函数不同的单调递增(减)区间，千万记住，不要使用并集，指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。 在用定义进行判断时，要注意自变量在定义域区间内的任意性。 第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的，在解答此类问题时，考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。多用特殊赋值法，通过特殊赋可以找到函数的不变性质，这往往是问题的突破口。 抽象函数性质的证明属于代数推理，和几何推理证明一样，考生在作答时要注意推理的严谨性。每一步都要有充分的条件，别漏掉条件，更不能臆造条件，推理过程层次分明，还要注意书写规范。