泊松公式的解

圆和半平面上的迪利希莱（Dirichlet）问题

—泊松积分公式

在第二章的中，我们曾讨论过调和函数与解析函数之间的密切联系. 在这一节中，我们将继续阐述这种联系.

具有物理应用的一类重要的数学问题是迪利希莱（Dirichlet）问题，即要找一个未知函数，它在某个区域内是调和的，而且在这个区域的边界上取得预先指定的值. 例如，一半径为1的圆柱体充满导热的物质. 我们知道，圆柱体内的温度是由调和函数T(r,θ)来描述的. 若圆柱体表面的温度是已知的，是由sinθcos2θ所T(r,θ)在0≤r≥1,0≤θ≥2π上是连续的，因此，我们的问题是要求一个单位圆上的调和函数T(r,θ)，使得T(1,θ)= sinθcos2θ. 这就是我们所要解的迪利希莱问题.

我们刚才所讨论的迪利希莱问题，其边界是简单的几何形状，如在大多数关于偏微分方程的教科书中所述的，通常用变量分离法来解，对更复杂的形状，有时要用共形映照的方法. 这种方法将在以后讨论. 在这节里，我们只讨论区域的边界是圆周或无限直线的情况. 一．圆的迪利希莱问题

对解边界为圆周的迪利希莱问题，柯西积分公式是有帮助的. 考虑z-复平面上半径为R，中心为原点的圆. 设f(z)是在圆周z=R上及其内解析的函数.

对这函数f(z)和这圆周应用柯西积分公式，对圆内的任何一点z，我们有

f(z)=i

π21?=-R w z w w f )(dw. (2-25)

令z=z R 2，它位于过圆点和点z 的射线上，且1z =z R 2>R ，因此，1z 位于圆z ≤R 的外部. 于是，由柯西定理，我们有

0=i π21

?=-R w z w z f 1)(dw =dw z

R w w f i R w ?=-2)(21π. (2-26) 将式(2-25)与式(2-26)的两边分别相减，我们获得 f(z)=

.))(()(21

22dw z R w z w z R z w f i R w ?=????????????---π (2-27) 令w=Re θi ，z=re θi ,于是θi re z -=. 将它们代入(2-27)式，我们有 f(z)=?ππθ?θ??θθ?d e r R re e r R re f i i i i i i i i ??????

???????---2022))(Re (Re Re )()(Re 21

. 将分子和分母同时乘以)()(θ?+--i e R r ，则

分子=R 22r -，

分母=(Re )cos(2Re ))(Re 222)()()(θ?θ?θ?θ?--+==-------Rr r R r r r i i i ， 于是，最后我们有 f(z)=.)(Re ))

cos(2(21202222?θ?π?π

d f Rr r R r R i ?--+- 现将解析函数f(z)表示成其实部U 和V ，于是，

f(re ),(),()θθθr iV r U i +=, f(Re ),(),()???R IV R U i +=,上述方程成为 U(r,[]???θ?πθθπd R iV R U Rr r R r R i r iV ),(),()

cos(221),()202222+--+-=+? 由于这个方程两边的实部必相等，于是我们得到下列泊松（Poisson ）

公式

U(r,?--+-=π

θθ??πθ202222)

cos(2))(,(21)d Rr r R r R R U (2-28) 对V(r,)θ与V(R,)?，我们也有类似的公式.

泊松积分公式（2-28）是重要的. 这个公式告诉我们：当U 在圆周R w =上的取值U(R,)?已知时，则调和函数U(r,)θ在这圆内任意一点的值由公式(2-28)所给出.

由于我们要求f(z)在这半径为R 的圆周上及其内部是解析的，因此读者必须假定方程(2-28)中的函数U(R,)?是连续的. 事实上，这条件可放宽成允许U(R,)?有有限个“跳跃的”不连续点，泊松公式仍成立.

例 设一根半径为1的导电的管子被无限裂缝分成两半. 上半管（R=1，0

解 由于电位势是个调和函数，因此泊松公式是可用的. 由公式（2-28），R=1，我们有 U(πθ21),=r ??--+----+-πππ

θ??πθ??2222022)

cos(21)1(21)cos(21)1(r r d r r r d r . （2-29） 在每个积分中，我们作变数变换x=θ?-,并利用下述积分公式

????????+--=+-?b a x tg b a tg b a x b a dx )2(2

cos 22122. (2-30) 取 a=1+r 2，b==-2r ，我们得到 U(r,??

????--+---+---+=---))2(11())2(11())22(11(21)111θθπθππθtg r r tg tg r r tg tg r r tg .

由于反正切函数是多值函数，在应用这个公式时，必须取适当的单值支，使得U(r,)θ对一切r<1是连续的和U （1,)θ仅在裂缝θ=0和πθ=时是不连续的.

二．对于半平面的迪利希莱问题

我们的问题是要在上半-+=iv u w 平面上求一个函数),(v u ?,使得它在上半平面(v >0的区域)上是调和的,而在实数轴v =0上),(v u ?必须满足欲先给定的边界条件)0,(u ?.

设),(),()(v u i v u w f ψ?+=在0≥v 上是解析的.考虑闭围道R C ,它由半

径为R 的上半圆周R γ和实数轴上的线段[]R R l R ,-所组成. 令z 是C R 內任何一点，由柯西积分公式，我们有

dw z

w w f i z f R C ?-=)(21)(π. (2-32) 由于z 位于上半平面，则z 必位于下半平面，因此，它必在C R 的外部. 于是，据柯西定理，有

dw z

w w f i R C ?-=)(210π. (2-33) 将（2-32）式和（2-33）式的两边分别相减，我们获得

--=?R C z w w f i z f 1)((21)(πdw z

w )1- =???---+---=---R R R l C dw z w z w w f z z i dw z w z w w f z z i dw z w z w z z w f i ))(()()(21))(()()(21)

)(())((21πππγ. 令z=x+iy ，则iy x z -=. 上式右端的第二个积分I 2等于

?-+-R R y x u du u f y

22)()(π. （2-35） 记（2-34）右端的第一个积分为I 1，在R γ上it w Re =，

??-≤--≤πγππ021.)()(Re Re )

)(()(Re dt z R R f y d z w z w f y

I it it it R 若在上半平面v ≥上∞<≤M w f )(，则得21)

(z R R M

y I -≤. 于是，对任意给定的点z ，我们有 01lim =∞→I

R . (2-36)

由于（2-34）式对任何C )(z R R >都是成立的，因此,我们有

?+∞∞-∞→+-=

+=2221)()()()(lim y x u du u f y

I I z f R π. 将f(z)和f(w)用它们的实部和虚部来表示

f(z)=),(),(y x i y x ψ?+，f(w)=),(),(v u i v u ψ?+，由（2-37）式，我们有

),(),(y x i y x ψ?+=du y x u u i u y ?+∞∞-+-+22)()

0,()0,(ψ?π

于是，取实部，我们既得对上半平面的泊松积分公式:

=),(y x ?du y x u u y ?+∞∞-+-22)()

0,(?π （2-38）

关于),(y x ψ与)0,(u ψ也有相似的公式.

当?在整个实数轴上的值完全已知时，泊松积分公式（2-38）给出了调和函数),(y x ?在上半平面内每一点的值. 我们能证明，在上半平面上有界的迪利希莱问题的解是唯一的. 若没有这个限制，还能找到其他的解. 在我们的推导过程中，我们假定，),(v u ?是在闭上半平面0≥=w I v m 上解析的函数f(u,v)的实部，这要求方程（2-38）中的函数)0,(u ?对∞-

例 上半空间0>w I m 充满着导热的物质. 在边界v=0,u>0上，温度保持在0C 0，而在边界v=0,u<0，上，温度保持在C T 00. 求整个导体的稳定的温度分布),(y x ?.

解 我们知道，温度),(y x ?是一个调和函数，泊松积分公式（2-38）是直接可用的. 我们有;0,)0,(0<=u T u ?，又0,0)0,(>=u u ?，于是

??+∞∞-+-++-=0220

220)(0)(),(y x u du y y x u du

T y y x ππ?

第二个积分是零. 在第一个积分中作变量变换p=x-u ，则 ???

???

-==+=-∞-∞?y x tg T y p tg T y p dp y T y x x x 10

102202|),(π

πππ?.

(2-39) 由于θπ==---)()(211x y tg y x tg ，故00

),(0T T y x ≤=≤θπ?.

泊松分布的概念及表和查表方法

目录 1命名原因 2分布特点 3关系 4应用场景 5应用示例 6推导 7形式与性质 命名原因 泊松分布实例

泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。 分布特点 泊松分布的概率函数为： 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为特征函数为 关系 泊松分布与二项分布 泊松分布 当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧20,p≦时，就可以用泊松公式近似得计算。 事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。 应用场景 在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性）。 应用示例

(整理)偏微分方程相关材料翻译

目录 前言vii 1 应用与方法概述 1 1.1 什么是偏微分方程1 1.2 求解并解释偏微分方程7 2傅里叶级数17 2.1 周期函数18 2.2 傅里叶级数26 2.3 以任意数为周期的函数的傅里叶级数38 2.4 半幅展开:余弦级数和正弦级数50 2.5 均方逼近和帕塞瓦尔恒等式53 2.6 傅里叶级数的复数形式60 2.7 受迫振动69 收敛性的补充内容 2.8 傅里叶级数表示定理的证明77 2.9 一致收敛性和傅里叶级数85 2.10 狄利克雷判别法和傅里叶级数的收敛性94 3 直角坐标中的偏微分方程103 3.1 物理和工程中的偏微分方程104 3.2 建模2 弦振动和波动方程109 3.3 一维波动方程的求解:分离变量法114 3.4 达朗贝尔方法126 3.5 一维热传导方程135 3.6 棒中的热传导:各种边界条件146 3.7 二维波动方程和热传导方程155 3.8 直角坐标中的拉普拉斯方程163 3.9 泊松方程:特征函数展开法170 3.10 诺伊曼条件和罗宾条件180 3.11 最大值原理187 4 极坐标与柱面坐标中的偏微分方程193

4.1 各个坐标系中的拉普拉斯算子194 4.2 圆膜的振动:对称情况198 4.3 圆膜的振动:一般情况207 4.4 圆域中的拉普拉斯方程216 4.5 圆柱体中的拉普拉斯方程228 4.6 亥姆霍兹方程和泊松方程231 关于贝塞尔函数的补充内容 4.7 贝塞尔方程和贝塞尔函数237 4.8 贝塞尔级数展开248 4.9 贝塞尔函数的积分公式和渐近式261 5球面坐标中的偏微分方程269 5.1 问题和方法概述270 5.2 对称狄利克雷问题274 5.3 球面调和函数和一般狄利克雷问题281 5.4 亥姆霍兹方程及其在泊松方程、热传导方程和波动方程中的应用291 关于贝塞尔函数的补充内容 5.5 勒让德微分方程300 5.6 勒让德多项式和勒让德级数展开308 5.7 连带勒让德函数和连带勒让德级数展开319 6施图姆-刘维尔理论及其在工程中的应用325 6.1 正交函数326 6.2 施图姆-刘维尔理论333 6.3 悬链346 6.4 四阶施图姆-刘维尔理论353 6.5 梁的弹性振动和屈曲360 6.6 双调和算子371 6.7 圆板的振动377 7傅里叶变换及其应用389 7.1 傅里叶积分表示390 7.2 傅里叶变换398 7.3 傅里叶变换法411

圆和半平面上的迪利希莱(Dirichlet)问题—泊松积分公式

圆和半平面上的狄利克雷（Dirichlet ）问题—泊松积分公式 在第一章的§2.5中，我们曾讨论过调和函数与解析函数之间的密切联系。在这一节中，我们将继续阐述这种联系。 具有物理应用的一类重要的数学问题是迪利希莱（Dirichlet ）问题，即要找一个未知函数，它在某个区域内是调和的，而且在这个区域的边界上取得预先指定的值。例如图2.8所示，一半径为1的圆柱体充满导热的物质。我们知道，圆柱体内的温度是由调和函数(,)T r θ来描述的。若圆柱体表面的温度是已知的，是由2sin cos θθ所给定的，由于(1,)T θ在01,02r θ≤≥≤≥上是连续的，因此，我们的问题是要求一个单位圆上的调和函数(,)T r θ，使得2(1,) sin cos T θθθ=。这就是我们所要解的迪利希莱问题。 图 2.8 我们刚才所讨论的迪利希莱问题，其边界是简单的几何形状，如在大多数关于偏微分方程的教科书中所述的，通常用变量分离法来解，对更复杂的形状，有时要用共形映照的方法。这种方法将在以后讨论。在这节里，我们只讨论区域的边界是圆周或无限直线的情况。 一．圆的迪利希莱问题 对解边界为圆周的迪利希莱问题，柯西积分公式是有帮助的。考虑z-复平面上半径为R ，中心为原点的圆（见图2.9）设f(z)是在圆周z R =上及其内解析的函数。 图2.9 对这函数f(z)和这圆周应用柯西积分公式，对圆内的任何一点z ，我们有 1() ()2w R f w f z dw i w z π== -? (2-25)

令2 R z z =，它位于过圆点和点z 的射线上，且 2 1R z R z =>，因此，1z 位于圆的 外部。于是，由柯西定理，我们有 2 11()1 () 02-2w R w R w f w f w dw dw R i w z i z ππ==- = =? ? . (2-26) 将式(2-25)与式(2-26)的两边分别相减，我们获得 2 21 ()().2()()w R R z z f z f w dw R i w z w z π=??-?? = ???? --???? ? (2-27) 令e i i w R z re φθ==，,于是θi re z -=。将它们代入(2-27)式，我们有 222 ()e 1 ()(e )2(e )(e )i i i i i i i i R re e R r f z f R d R R re R e r θθφ π φφθφθφπ ??-??= ???? --???? ? . 将分子和分母同时乘以()()i r e R φθ-+-，则分子22R r =-， 分母2 22()()2cos()i i i i i i Re re Re re Re re R r Rr φθφθφθφθ--=--=-=+--。于是，最后我们有 22 2220 1 ()()(e ).22cos() i R r f z f R d R r Rr π φφπ φθ-= +--? 现将解析函数f(z)表示成其实部U 和V ，于是， ()(,)(,)i f re U r iV r θθθ=+, ()(,)(,)i f Re U R iV R φφφ=+, 上述方程成为 []22 22201(,)(,)(,)(,)22cos() R r U r iV r U R iV R d i R r Rr πθθφφφπφθ-+=++--? 由于这个方程两边的实部必相等，于是我们得到下列泊松（Poisson ）公式 22222 1 (,)() (,)22cos() U R R r U r d R r Rr π φθφπ φθ-= +--? , (2-28)

泊松方程

泊松方程 泊松方程只得是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。 在数学以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（Laplace operator 或Laplacian）是一个微分算子，通常写成Δ或；这是为了纪念皮埃尔-西蒙·拉普拉斯而命名的。 拉普拉斯算子有许多用途，此外也是椭圆型算子中的一个重要例子。在物理中，常用于波方程的数学模型、热传导方程以及亥姆霍兹方程。在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见。在量子力学中，其代表薛定谔方程式中的动能项。 在数学中，经拉普拉斯算子运算为零的函数称为调和函数；拉普拉斯算子是霍奇理论的核心，并且是德拉姆上同调的结果。 泊松方程成立的条件 泊松首先在无引力源的情况下得到泊松方程,△Φ=0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时,有▽Φ=f（f为引力场的质量分布）.后推广至电场磁场,以及热场分布.该方程通常用格林函数法求解,也可以分离变量法,特征线法求解.

泊松方程的物理内涵 泊松方程可以看做是不可压缩的流体运动方程。方程的意义相当于穿过任意封闭曲面的液体的流量等于曲面内所包含的流体源产生液体的总量。对于电动力学中静电场，电场强度相当于流密度，净电荷相当于流体源电动力学中电场对空间坐标的二次导数与空间内电荷量成正比。 半导体中的泊松方程 泊松方程表明电荷产生电场：电位的二阶导数与电荷密度成正比。近似条件：PIN结中无载流子即全部耗尽，施主和受主完全电离。PIN结的泊松方程： (0

复变函数四川大学数学学院课程号20123140

课程号：20123140 课程名称：复变函数 总学时：68 学分： 4 先修课程：数学分析 教学目的：熟练掌握复变函数的基本理论和基本方法，对解析函数、柯西积分定理、柯西积分公式、解析函数的泰勒展开与罗朗展开、留数理论、保形变换、解析开拓、调和函数等有较深入的了解。 第一章第一章复数与复变函数 一、基本内容 复数的表示，复数的性质与运算，平面图形的复数表示，区域与约当曲线，复变函数的概念，复变函数的极限与连续性，复球面，无穷远点与扩充复平面。 二、基本要求 1．1．熟练掌握复数的模与幅角、复数的三种表示、复数的基本性质，掌握复数的乘幂与方根的求法，会用复数表示平面图形，会用复数解决一些简单的几何问题。 2．2．理解平面点集的几个基本概念，理解区域与约当曲线的概念，了解约当定理，会区分单连通区域与多连通区域。 3．3．充分理解复变函数、多值函数、反函数等概念，理解复变函数的几何表示，会求简单平面图形的变换象（或原象），理解复变函数的极限，掌握极限的等价刻划 定理，理解复变函数的连续性及其等价刻划定理，熟悉有界闭集上连续函数的性质。 4．4．了解复球面，理解无穷远点与扩充复平面。 三、建议课时安排（7学时） 1．复数、复数的模与幅角、复数的乘幂与方根2学时 2．复数在几何上的应用、复平面上的点集2学时 3．复变函数的概念、复变函数的极限与连续2学时 4．复球面与无穷远点心1学时 第二章第二章解析函数 一、基本内容 复变函数的导数与微分，解析函数及其简单性质，柯西-黎曼条件，指数函数，三角函数，双曲函数，根式函数，对数函数，一般幂函数与一般指数函数，具有多个支点的多值函数，反三角函数与反双曲函数。 二、基本要求 1．1．理解复变函数的导数的概念，掌握解析函数的定义及其简单性质，熟练掌握解析函数的等价刻划定理特别是柯西-黎曼条件。 2．2．熟练掌握指数函数的定义与主要性质，掌握三角函数的定义与基本性质，了解双曲函数定义与基本性质。 3．3．掌握幂函数与指数函数的变换性质与单叶性区域，理解并逐步掌握通过限制幅角或割破平面的方法求根式函数和对数函数的单值解析分支，了解一般幂函数与一 般指数函数，理解并掌握求具有多个支点的多值函数的支点从而使其能分出单值解 析分支的方法，会由已知单值解析分支的初值计算终值，了解反三角函数与反双曲 函数。 三、建议课时安排（11学时） 1．解析函数的概念与柯西-黎曼条件3学时 2．指数函数、三角函数与双曲函数2学时 3．根式函数2学时 4．对数函数、一般幂函数与一般指数函数2学时 5．具有多个支点的多值函数、反三角函数与反双曲函数2学时

泊松方程

泊松方程 在很多APP或者网站中常能看到泊松分布在足球预测中的应用，很久以前笔者就曾研究过泊松分布，本文笔者将对其进行更深入的探讨，运用泊松分布的原理建立预测模型，详细说明建立过程并分析预测结果，抛砖引玉，相互探讨。 首先，我们大概了解一下什么是泊松分布。泊松分布是以法国数学家泊松（1781~1840）命名的，他是19世纪概率统计学领域里的卓越人物，在数学统计领域中以他命名的理论除了泊松分布外，还有泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松过程、泊松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松比、泊松流、泊松核、泊松括号、泊松稳定性、泊松积分表示、泊松求和法等等。

简单来说泊松分布就是假设我们知道某一个事件的平均发生次数，并且假设事件与事件之间发生是相互独立的，那么我们就可以计算出这些不确定事件的发生概率分布。泊松分布被运用到很多小概率事件上，比如二战中的V-2导弹袭击伦敦、交通事故的概率、放射性衰变等。同理，在足球场上的进球从某种程度上来说就是小概率事件，所以我们可以把定义中提到的事件换成进球。 也就是说，在足球比赛中，如果我们知道对阵双方各自的预期进球数，那么1）我们就能通过运算得到一个囊括所有可能比分的概率分布图（例如图1，每种比分都有对应的概率，左下方是主队获胜比分，右上方是客队获胜比分，夹在中间的是平局比分）；2）根据比分概率分布图，进而可以得出胜平负所对应的概率；3）同样还能得到大小球、双方都进球玩法的概率。 图1 泊松分布- 比分概率分布图

1. 泊松分布详细步骤 1）选择目标联赛：笔者以26个联赛为研究标的，包括五大联赛、五大联赛各自二级别联赛、荷甲、荷乙、葡超、苏超、挪威超、俄超、瑞典超、瑞士超、土超、英甲、希腊超、巴甲、中超、日职、日职乙、澳超。 2）确定数据样本范围：笔者用2014/15至2018/19这5个赛季作为被预测赛季，假设还未进行（如果是非跨年联赛则为2014至2018赛季），样本数据库从2013/14开始向前追溯至2006/07赛季。分别以被预测赛季过去1、3、5、8个赛季跨度的数据为样本进行泊松分布的概率计算（共计4个样本，且样本包含被预测赛季已赛场次）。假设2014/15是一个还未进行的赛季，作为被预测赛季，笔者以过去1个赛季（2013/14）的数据为样本来计算泊松分布概率，并且随着模拟预测场次的进行会把2014/15已赛场次包含在样本中，同时笔者还会以过去3个赛季（2011/12至2013/14）、过去5个赛季（2009/10至2013/14）、过去8个赛季（2006/07至2013/14）的数据为样本分别进行计算。这是一个动态的过程，如果被预测赛季为2015/16赛季，那么数据样本分别选自于过去1个赛季（2014/15）、过去3个赛季（2012/13至2014/15）、过去5个赛季（2010/11至2014/15）、过去8个赛季（2007/08至2014/15）。（注：通常在研究泊松分布时研究人员会选择某一个样本范围，例如3个赛季或是5个赛季，笔者之所以选择4个样本跨度是希望观察球队的概率变动趋势，与下文的研究方向有关） 3）统计数据：确定好4个样本跨度后（被预测赛季之前的1、3、5、8个赛季），需要统计各个样本中各支球队的主场场均进球数及主场场均失球数，以及整个样

泊松 (Poisson, Simeon-Denis)

泊松（Poisson, Simeon-Denis） （1781—1840） “泊松是第一个沿着复平面上的路径实行积分的人.”──克兰“我建立了描述随机现象的一种概率分布.”──泊松 法国数学家.1781 年6月21日生于法国卢瓦雷省的皮蒂维耶，1840年4月25日卒于法国索镇.泊松是法国数学家、物理学家和力学家.1781年6月21日生于皮蒂维耶；1840年4月25日卒于巴黎附近的索镇. 1798年入巴黎综合工科学校深造.在毕业时，因优秀的研究论文而被指定为讲师.受到P.-S.拉普拉斯、J.-L.拉格朗日的赏识.1800年毕业后留校任教，1802年任副教授,1806年接替J.-B.-J.傅里叶任该校教授.1808年任法国经度局天文学家,1809年任巴黎理学院力学教授.1812年当选为巴黎科学院院士. 泊松的父亲是退役军人，退役后在村里作小职员，法国革命爆发时任村长.泊松最初奉父命学医，但他对医学并无兴趣，不久便转向数学.于1798年进入巴黎综合工科学校，成为拉格朗日、拉普拉斯的得意门生.在毕业时由于其学业优异，又得到拉普拉斯的大力推荐，故留校任辅导教师，1802年任巴黎理学院教授.1812年当选为法国科学院院士.1816年应聘为索邦大学教授.1826年被选为彼得堡科学院名誉院士.1837年被封为男爵.著名数学家阿贝尔说：“泊松知道怎样做到举止非常高贵.” 泊松是法国第一流的分析学家.年仅18岁就发表了一篇关于有限差分的论文，受到了勒让德的好评.他一生成果累累，发表论文300多篇，对数学和物理学都作出了杰出贡献. 泊松一生从事数学研究和教学，他的主要工作是将数学应用于力学和物理学中.他第一个用冲量分量形式写分析力学，使用后称为泊松括号的运算符号；

几种特殊积分的计算方法

几种特殊积分的计算方法 1前言 积分发展的动力来自于实际应用中的需求.实际操作中，有时候可以粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值.要求简单几何形体或者体积，可以套用已知的公式.比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长乘宽乘高求出.但如果游泳池是卵形、抛物型或者更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积.物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个（比如力）的累积效果，这时候也需要积分.在古希腊数学的早期，数学分析的结果是隐含给出的.比如，芝诺的两分法悖论就隐含了无限几何和.再后来，古希腊数学家如欧多克索斯和阿基米德使数学分析变得更加明确，但还不是很正式.他们在使用穷竭法去计算区域和固体的面积和体积时，使用了极限和收敛的概念. 在古印度数学（英语：Indian mathematics）的早期，12世纪的数学家婆什迦罗第二给出了导数的例子，还使用过现在所知的罗尔定理.数学分析的创立始于17 世纪以牛顿（Newton, I.）和莱布尼茨（Leibniz, G.W.）为代表的开创性工作，而完成于19世纪以柯西（Cauchy, A.-L.）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass, K.(T.W.)）为代表的奠基性工作.从牛顿开始就将微积分学及其有关内容称为分析.其后，微积分学领域不断扩大，但许多数学家还是沿用这一名称.时至今日，许多内容虽已从微积分学中分离出去，成了独立的学科，而人们仍以分析统称之.数学分析亦简称分析（参见“分析学”）.数学分析的研究对象是函数，它从局部和整体这两个方面研究函数的基本性态，从而形成微分学和积分学的基本内容.微分学研究变化率等函数的局部特征，导数和微分是它的主要概念，求导数的过程就是微分法.围绕着导数与微分的性质、计算和直接应用，形成微分学的主要内容.积分学则从总体上研究微小变化（尤其是非均匀变化）积累的总效果，其基本概念是原函数（反导数）和定积分，求积分的过程就是积分法.积分的性质、计算、推广与直接应用构成积分学的全部内容.牛顿和莱布尼茨对数学的杰出贡献就在于，他们在1670年左右，总结了求导数与求积分的一系列基本法则，发现了求导数与求积分是两种互逆的运算，并通过后来以他们的名字命名的著名公式反映了这种互逆关系，从而使本来各自独立发展的微分学和积分

调和函数

调和函数harmonic function 定义： 在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x,y,z),如果在D内满足拉普拉斯方程Δu=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0，则称U(x,y,z)为区域D上的调和函数。 调和函数-----数学物理方程 如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程,则称f为区域二元函数Ω中的调和函数. 满足拉普拉斯方程 在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程 若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式：即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值。 更一般地，圆内任何一点x=rcosφ，y=rsinφ(0≤r

拉普拉斯方程1 拉普拉斯方程2

形如上式右端的积分称作泊松积分。 设u(x,y)为平面区域G中的调和函数,且在G的闭包上连续,则借助于平均值公式可以证明,它不能在G 的内部取其最大值与最小值，除非它恒等于一常数。这就是调和函数的最大、最小值原理。 由泊松积分出发可解决下列狄利克雷问题：在区域G的边界嬠G上给定一连续函数?(x,y)，要求给出G中的调和函数u(x,y)，使其在嬠G上取?(x,y)的值，即拉普拉斯方程， 在G的边界嬠G满足一定的条件下,这个问题的解存在且惟一。 对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。 二维调和函数与解析函数论有着密切联系。在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部；反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数，并称其虚部为实部的共轭调和函数。用复数z=x+iy的记法,将u(x,y)写成u(z),若u(z)在│z│

简单理解泊松分布

正确理解泊松分布 很多人在上概率论这门课的时候就没搞明白过泊松分布到底是怎么回事，至少我就是如此。虽然那个时候大家都会背“当试验的次数趋于无穷大，而乘积np 固定时，二项分布收敛于泊松分布”，大部分的教科书上也都会给出这个收敛过程的数学推导，但是看懂它和真正理解还有很大距离。如果我们学习的意义是为了通过考试，那么我们大可停留在“只会做题”的阶段，因为试卷上不会出现“请发表一下你对泊松公式的看法”这样的题目，因为那样一来卷子就变得不容易批改。所以现在的大部分考试都会出一些客观题，比如到底是泊松分布还是肉松分布。而如果我们学习的目的是为了理解一样东西，那么我们就有必要停下来去思考一下诸如“为什么要有泊松分布？”、“泊松分布的物理意义是什么？”这样的“哲学”问题。 如果我们要向一个石器时代的人解释什么是电话，我们一定会说：“电话是一种机器，两个距离很远的人可以通过它进行交谈”，而不会说：“电话在1876年由贝尔发明，一台电话由几个部分构成……”（泊松分布在1876年由泊松提出，泊松分布的公式是……）所以我们问的第一个问题应该是“泊松分布能拿来干嘛？” 泊松分布最常见的一个应用就是，它作为了排队论的一个输入。什么是排队论？比如我们每天去食堂打饭，最头疼的一个问题就是排队，之所以要排队是因为食堂打饭的大叔有限，假设学校有1000个学生，而食堂恰好配了1000个大叔和打饭的窗口，那么就永远不会有人排队。但是出于经营成本方面的考虑食堂通常不会这么干，因此如何控制窗口的数量并且保证学生不会因为排队时间太长而起义是一门很高深的学问。 在一段时间t （比如1个小时）内来到食堂就餐的学生数量肯定不会是一个常数，（比如一直是200人），而应该符合某种随机规律：比如1个小时内来200个学生的概率是10%，来180个学生的概率是20%……一般认为，这种随机规律服从的就是泊松分布。 也就是在单位时间内有k 个学生到达的概率为： ,...1,0,! )(==-k k e k f k λλ 其中λ为单位时间内学生的期望到达人数。 问题是“这个式子是怎么来的呢？”——我们知道泊松分布是二项分布满足某种条件的一个特殊形式，因此可以先从简单的二项分布入手，寻找两者之间的联系。 二项分布很容易理解，比如一个牛仔一枪打中靶子的概率是p ，如果我们让他开10枪，如果每击中一次目标就得一分，问他一共能得几分？虽然我们不能在牛仔射击前准确地预测出具体的得分k ，但可以求出k 的概率分布，比如k=9的概率是50%，k=8的概率是30%……并且根据k 的分布来判断他的枪法如何，这便是概率统计的思想。 具体计算的方法就是求出“得k 分”的概率。比如“得9分”可以是“射失第一发，而命中其余的9发”，它的概率是p 的9次方乘上（1-p ），当然，可能情况不只这种，我们用X 代表“没命中”，O 代表“命中”，“得9分”所有的可能的情况如下： XOOOO OOOOO OXOOO OOOOO OOXOO OOOOO

泊松公式的解

圆和半平面上的迪利希莱（Dirichlet）问题 —泊松积分公式 在第二章的中，我们曾讨论过调和函数与解析函数之间的密切联系. 在这一节中，我们将继续阐述这种联系. 具有物理应用的一类重要的数学问题是迪利希莱（Dirichlet）问题，即要找一个未知函数，它在某个区域内是调和的，而且在这个区域的边界上取得预先指定的值. 例如，一半径为1的圆柱体充满导热的物质. 我们知道，圆柱体内的温度是由调和函数T(r,θ)来描述的. 若圆柱体表面的温度是已知的，是由sinθcos2θ所T(r,θ)在0≤r≥1,0≤θ≥2π上是连续的，因此，我们的问题是要求一个单位圆上的调和函数T(r,θ)，使得T(1,θ)= sinθcos2θ. 这就是我们所要解的迪利希莱问题. 我们刚才所讨论的迪利希莱问题，其边界是简单的几何形状，如在大多数关于偏微分方程的教科书中所述的，通常用变量分离法来解，对更复杂的形状，有时要用共形映照的方法. 这种方法将在以后讨论. 在这节里，我们只讨论区域的边界是圆周或无限直线的情况. 一．圆的迪利希莱问题 对解边界为圆周的迪利希莱问题，柯西积分公式是有帮助的. 考虑z-复平面上半径为R，中心为原点的圆. 设f(z)是在圆周z=R上及其内解析的函数. 对这函数f(z)和这圆周应用柯西积分公式，对圆内的任何一点z，我们有

f(z)=i π21?=-R w z w w f )(dw. (2-25) 令z=z R 2，它位于过圆点和点z 的射线上，且1z =z R 2>R ，因此，1z 位于圆z ≤R 的外部. 于是，由柯西定理，我们有 0=i π21 ?=-R w z w z f 1)(dw =dw z R w w f i R w ?=-2)(21π. (2-26) 将式(2-25)与式(2-26)的两边分别相减，我们获得 f(z)= .))(()(21 22dw z R w z w z R z w f i R w ?=????????????---π (2-27) 令w=Re θi ，z=re θi ,于是θi re z -=. 将它们代入(2-27)式，我们有 f(z)=?ππθ?θ??θθ?d e r R re e r R re f i i i i i i i i ?????? ???????---2022))(Re (Re Re )()(Re 21 . 将分子和分母同时乘以)()(θ?+--i e R r ，则 分子=R 22r -， 分母=(Re )cos(2Re ))(Re 222)()()(θ?θ?θ?θ?--+==-------Rr r R r r r i i i ， 于是，最后我们有 f(z)=.)(Re )) cos(2(21202222?θ?π?π d f Rr r R r R i ?--+- 现将解析函数f(z)表示成其实部U 和V ，于是， f(re ),(),()θθθr iV r U i +=, f(Re ),(),()???R IV R U i +=,上述方程成为 U(r,[]???θ?πθθπd R iV R U Rr r R r R i r iV ),(),() cos(221),()202222+--+-=+? 由于这个方程两边的实部必相等，于是我们得到下列泊松（Poisson ）

数学物理方法知识点归纳

第一章 复述和复变函数 1.5连续 若函数)(x f 在0z 的领域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且 )()(0lim z f z f z z =→， 则称f(z)在0z 点连续。 1.6导数 若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??在点不仅存在而且连续。 (ii)C-R 条件在该点成立。C-R 条件为 ???? ?? ???-=????=??y y x u x y x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析 若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。 解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??存在。 (ii)C-R 条件在该点成立。 解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在领域内(i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??不仅存在而且连续。 (ii)C-R 条件在该点成立。 1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数： 22x u ??+2 2y u ??=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。 ②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)? 通过C —R 条件列微分方程 第二章 复变函数的积分 2.2解析函数的积分 柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分 ?B A dz z f )(的值均相等。 柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。 ?=C dz z f 0)( 二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。 n+1连区域柯西定理： ???? ΓΓΓΓ+++=n i i i e dz z f dz z f dz z f dz z f )(....)()()(2 1 推论：在f(z)的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。 2.3柯西公式 若f(z)在单连有界区域D 内解析，在闭区域D 的边界连续，则对于区域D 的任何一个内点a ，有?Γ -= dz a z z f i a f ) (21)(π其中Γ是境 界线。 2.5柯西导数公式 ξξξπd z f i n z f C n n ?+-= 1)() () (2!)( 第三章 级数 3.2复变函数项级数 外尔斯特拉斯定理：如果级数 ∑∞ =0 )(k k z u 在境 界Γ上一致收敛，那么 (i)这个级数在区域内部也收敛，其值为F(z) (ii)由它们的m 阶导数组成的级数

泊松积分值的计算方法及其应用

泊松积分值的计算方法及其应用 王雯雯 摘要 在一般高等数学教材中对泊松积分的计算很少有涉及，而在实际问题中，例如在处理概率与统计问题及热传导等问题时都会用到泊松积分，但由于泊松积分的被积函数不是初等函数，因此，不能用牛顿-莱布尼兹公式来计算其积分值,本文介绍泊松积分的七种证明方法，最后给出泊松积分在数学分析、概率统计及其物理等方面的应用. 关键词：泊松积分；方法；应用 The Computing Methods And Applications 0f Poisson Integral Wang Wenwen Abstract In generally textbooks of Advanced Mathematics，the methods of solving Poisson integral was less mentioned. It encountered Poisson integral in practical problem usually，such as heat conduction problem or probability problem. It couldn't solve integral value with New-Leibniz formula,because the primitive function of integrand wasn't elementary function. This paper introduces seven methods of solving Poisson integral,and applications in mathematical analysis,physics and probability statistics. Key words: Poisson integral;methods;applications

球面平均法和泊松公式

§7.2 球面平均法和泊松公式 一 本节主要思想 （1）对三维波动方程的初值问题，先假设已知空间某一点(,,)M x y z 的振动(,,,)u x y z t ，然后以M 点为发射子波的波源，根据球面波的对称性，可根据加权平均的思想来考察球面M r S 的平均振动(,)u r t ，从而将问题归结为两个自变量的一维波动方程，最后采用极限的思想，令0r =，即可得到M 点的振动(,,,)u x y z t ． （2）对二维波动方程的初值问题，采用将其上升到三维空间的思想，根据已有的三维波动方程的泊松公式，获得此问题的三维解，再采用降维法，最终获得二维解． 二 三维波动方程的初值问题，泊松公式 １三维波动方程初值问题解的泊松公式 考察三维波动方程的初值问题： 200(,,),(,,)tt t t t u a u u x y z u x y z ?ψ==?=???==?? 0,,,(1),,(2) t x y z x y z >-∞<<∞-∞<<∞ 以M r S 表示以点(,,)M x y z 为心，半径为r 的球面，以d ω表示1S 的面元，则r S 的面元2dS r d ω=． 注：22sin sin d d d dS r d dS r d d ωθθ? ωθθ?=??=?=? 下面用加权平均的思想（即球面平均法）求函数(,,,)u x y z t 在球面M r S 上的平均值(,)u r t ： 21 (,)(,,,)(3)4M r s u r t u t dS r ξηζπ=?? 123123(,,),,,,(4) sin cos ,sin sin ,cos (5) M r S x r y r z r ξηζξαηαζααθ?αθ?αθ∈=+=+=+===． 注：（4）、（5）实际上是球的参数方程的表达式 （3）式也可写成 1231(,)(,,,)4M r s u r t u x r y r z r t d αααωπ= +++??， 注：由于2221sin ,dS r d d r d dr r θθ?ω==不含故可将 放入积分号中，与2r 正好约掉． 由此可知0(,,,)r u u x y z t ==，所以，为了求u 可以先求u 下面就来讨论如何求u ： 注意到r =

【精品】相关概念

【关键字】精品 物质 物质的表面具有表面张力σ，在恒温恒压下可逆地增大表面积dA，则需功σdA，因为所需的功等于物系自由能的增加，且这一增加是由于物系的表面积增大所致，故称为表面自由能或表面能。 也可以这样理解，由于表面层原子朝向外面的键能没有得到补偿，使得表面质点比体内质点具有额外的势能,称为表面能。 内能改变 由于物体表面积改变而引起的内能改变，单位面积的表面能的数值和表面张力相同，但两者物理意义不同。 例子：比如东西放时间长了会发现有灰尘附着，就是因为灰尘附着降低了物体的表面积，从而降低了物体的表面能，物质能量都有自动趋向降低，保持稳定的特点。 编辑本段表面能级 能量守恒 砸碎石头，就增大了石头的表面能，但是同时你也做了功，能量守恒。 大学化学的解释是表面层分子比内部分子多出一部分能量称为表面能。 表面能级：晶体内部原有的三维周期性在表面处中断而形成的电子能级，又称表面态。机械加工表面质量 机械加工表面质量，是指零件在机械加工后被加工面的微观不平度，也叫粗糙度，以Ra\Rz\Ry三种代号加数字来表示，机械图纸中都会有相应的表面质量要求，一般是工件表面粗糙度Ra<0.8um的表面时称：镜面。其加工后的表面质量直接影响被加工件的物理、化学及力学性能。产品的工作性能、可靠性、寿命在很大程度上取决于主要零件的表面质量。一般而言，重要或关键零件的表面质量要求都比普通零件要高。这是因为表而质量好的零件会在很大程度上提高其耐磨性、耐蚀性和抗疲劳破损能力。 晶体即是内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体。 晶体有三个特征 (1)晶体拥有整齐规则的几何外形。 (2)晶体拥有固定的熔点，在熔化过程中，温度始终保持不变。 (3)晶体有各向异性的特点：固态物质有晶体与非晶态物质(无定形固体)之分，而无定形固体不具有上述特点。

泊松方程拉普拉方程

泊松方程和拉普拉斯方程 势函数的一种二阶偏微分方程。广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。 简史 1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点 的质量m k除以它们到任意观察点P的距离r k，并且把这些商加在一起，其总和 即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所 受总引力的相应分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程： ，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。1813年，S.-D.泊松撰文 指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为 ，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。文中要求重视势 函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程： ， 式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854 ×10-12法／米。在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。在各分区的公共界面上，V满足边值关系，

， 式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。 边界条件和解的唯一性 为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄 利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。 边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。 除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。 静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程 在SI制中，静磁场满足的方程为 式中j为传导电流密度。第一式表明静磁场可引入磁矢势r)描述：。 在各向同性、线性、均匀的磁媒质中，传导电流密度j 0的区域里，磁矢势满足的方程为 选用库仑规范，墷?r)=0，则得磁矢势r)满足泊松方程， 式中纯数μr 为媒质的相对磁导率，真空磁导率μo=1.257×10-6亨／米。在传导电流密度j=0的区域里，上式简化为拉普拉斯方程?2Α=0。

泊松方程

泊松方程 泊松方程（英语：Poisson's equation）是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。 泊松方程为 在这里代表的是拉普拉斯算子，而f和φ可以是在流形上的实数或复数值的方程。当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，因此泊松方程通常写成 在三维直角坐标系，可以写成 如果没有，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。 泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation。现在有很多种数值解。像是relaxation method，不断回圈的代数法，就是一个例子。 静电学 在静电学很容易遇到泊松方程。对于给定的f找出φ是一个很实际的问题，因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电场的问题。在国际单位制（SI）中： 此代表电势（单位为伏特），是电荷体密度（单位为库仑/立方米），而是真空电容率（单位为法拉/米）。 如果空间中有某区域没有带电粒子，则

此方程就变成拉普拉斯方程： [编辑]高斯电荷分布的电场 如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度： 此处，Q代表总电荷 此泊松方程：的解Φ(r)则为 erf(x)代表的是误差函数. 注意：如果r远大于σ，erf(x)趋近于1，而电场Φ(r)趋近点电荷电场；正如我们所预期的。 [编辑]参阅 ?离散泊松方程 [编辑]参考资料 ?Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations. ?L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2

二维泊松方程很基础详细的求解过程

Topic 2: Elliptic Partial Di?erential Equations Lecture 2-4: Poisson’s Equation: Multigrid Methods Wednesday, February 3, 2010 Contents 1 Multigrid Methods 2 Multigrid method for Poisson’s equation in 2-D 3 Simple V ?cycle algorithm 4 Restricting the Residual to a Coarser Lattice 2 3 5 7

1 MULTIGRID METHODS 5 Prolongation of the Correction to the Finer Lattice 6 Cell-centered and Vertex-centered Grids and Coarsenings 7 Boundary points 8 Restriction and Prolongation Operators 9 Improvements and More Complicated Multigrid Algorithms 8 8 11 11 15 1 Multigrid Methods The multigrid method provides algorithms which can be used to accelerate the rate of convergence of iterative methods, such as Jacobi or Gauss-Seidel, for solving elliptic partial di?erential equations. Iterative methods start with an approximate guess for the solution to the di?erential equation. In each iteration, the di?erence between the approximate solution and the exact solution is made smaller. One can analyze this di?erence or error into components of di?erent wavelengths, for example by using Fourier analysis. In general the error will have components of many di?erent wavelengths: there will be