泊松方程拉普拉方程

泊松方程和拉普拉斯方程

势函数的一种二阶偏微分方程。广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。

简史

1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点

的质量m k除以它们到任意观察点P的距离r k，并且把这些商加在一起，其总和

即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所

受总引力的相应分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：

，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。1813年，S.-D.泊松撰文

指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为

，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。文中要求重视势

函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。

静电场的泊松方程和拉普拉斯方程

若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：

，

式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854

×10-12法／米。在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。在各分区的公共界面上，V满足边值关系，

，

式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。

边界条件和解的唯一性

为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄

利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。

边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。

除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。

静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程

在SI制中，静磁场满足的方程为

式中j为传导电流密度。第一式表明静磁场可引入磁矢势r)描述：。

在各向同性、线性、均匀的磁媒质中，传导电流密度j 0的区域里，磁矢势满足的方程为

选用库仑规范，墷?r)=0，则得磁矢势r)满足泊松方程，

式中纯数μr 为媒质的相对磁导率，真空磁导率μo=1.257×10-6亨／米。在传导电流密度j=0的区域里，上式简化为拉普拉斯方程?2Α=0。

静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程是矢量方程，它的三个直角分量满足的方程与静电势满足的方程有相同的形式。对比静电势的解，可得矢势方程的解。

参考书目

郭硕鸿著:《电动力学》，人民教育出版社，北京，1979。

J.D.杰克逊著，朱培豫译：《经典电动力学》下册，人民教育出版社，北京，1980。(J.D. Jackson，Classical Electrodynamics，John Wilye & Sons，New York，1976.)

拉普拉斯方程

拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学、热力学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质

基本概述

拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：▽p=γ（1/R1+1/R2）式中γ是液体表面张力。该公式成为拉普拉斯方程

定义

三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z 二阶可微的实函数φ ：。这组方程常常又写为

或者；其中，div表示矢量场的散度（结果是一个标场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场）。这方程又可写为；其中，Δ

称为拉普拉斯算子。拉普拉斯方程的解称为调和函数。如果等号右边是一个给定的函数

f(x, y, z)，即

，则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型微分方程。偏微分算子或（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子。

边界条件

拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域内定义的函数φ，使

得在的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。

拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域边界处的温度函数φ本身，而是φ沿的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。

拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数的任意线性组合同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将各种通解线性组合起来，以满足所有边界条件。

二维拉普拉斯方程

两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：。

解析函数

解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若z= x+ iy，并且

，那么f(z)是解析函数的充要条件是u(x,y)，v(x,y)

可微，且满足下列柯西-黎曼方程：。上述方程继续求导就得到

。所以u满足拉普拉斯方程。类似的计算

可推得v同样满足拉普拉斯方程。反之，给定一个由解析函数（或至少在某点及其邻域内解析的函数）f(z)的实部确定的调和函数，若写成下列形式：

，则等式。成立就可使得柯西-黎曼方程得到满足。上述关系无法确定ψ，只能得到它的微增量表达式：

。φ满足拉普拉斯方程意味着ψ满足可积条件：。

所以可以通过一个线积分来定义ψ。可积条件和斯托克斯定理的满足说明线积分的结果与积分经过的具体路径无关，仅由起点和终点决定。于是，我们便通过复变函数方法得到了φ和ψ这一对拉普拉斯方程的解。这样的解称为一对共轭调和函数。这种构造解的方法只在局部（复变函数f(z)）的解析域内）有效，或者说，构造函数的积分路径不能围绕有f(z)

的奇点。譬如，在极坐标平面(r,θ)上定义函数，那么相应的解析函数为

。在这里需要注意的是，极角θ仅在不包含原点的区

域内才是单值的。

拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导（这是解析函数的一个性质），因此可以展开成幂级数形式，至少在不包含奇点的圆域内是如此。这与波动方程的解形成鲜明对照，后者包含任意函数，其中一些的可微分阶数是很小的。

幂级数和傅里叶级数之间存在着密切的关系。如果我们将函数f在复平面上以原点为中心，R为半径的圆域内展开成幂级数，即，将每一项系数适当地分离出实部和虚部。那么

这便是f的傅里叶级数。

流体动力学

设、分别为满足定常、不可压缩和无旋条件的流体速度场的和方向分

量（这里仅考虑二维流场），那么不可压缩条件为：[3]:99-101，无旋条件为：。若定义一个标量函数，使其微分满足：，那么不可压缩条件便是上述微分式的可积条件。积分的结果函数称为流函数，因为它在

同一条流线上各点的值是相同的。的一阶偏导为：，

无旋条件即令满足拉普拉斯方程。的共轭调和函数称为速度势。柯西-黎曼方

程要求。所以每一个解析函数都对应着平面内的一个定常不可压缩无旋流场。解析函数的实部为速度势函数，虚部为流函数

静电学

根据麦克斯韦方程组，二维空间中不随时间变化的电场(u,v)满足：

，和，其中ρ为电荷密度。第一个麦克斯韦方程便是下列微分式的可积条件：，所以可以构造电势函数φ使其满足。第二个麦克斯韦方程即：

，这是一个泊松方程，当空间不包含自由电荷时，方程等号右边变

为0，方程变为拉普拉斯方程。

三维拉普拉斯方程

基本解

拉普拉斯方程的基本解满足

，

其中的三维δ函数代表位于的一个点源。由基本解的定义，若对u作用拉普拉斯算子，再把结果在包含点源的任意体积内积分，那么

。

由于坐标轴旋转不改变拉普拉斯方程的形式，所以基本解必然包含在那些仅与到点源距离r相关的解中。如果我们选取包含点源、半径为a的球形域作为积分域，那么根据高斯

散度。求得在以点源为中心，半径为r的球面上有，所以。经过类似的推导同样可求得二维形式的解。

格林函数

格林函数是一种不但满足前述基本解的定义，而且在体积域V的边界S上还满足一定的边界条件的基本解。譬如，可以满足

，

。现设u为在V内满足泊松方程的任意解:，且u在边界S上取值为g，那么我们可以应用格林定理（是高斯散度定理的一个推论），得到

u n和G n分别代表两个函数在边界S上的法向导数。考虑到u和G满足的条件，可将这满足狄利克雷边界条件的公式化简

。

所以格林函数描述了量f和g对点函数值的影响

圆球壳案例

格林函数在半径为a的球面内的点上得值可以通过镜像法求得：距球心ρ的源点

P的通过球面的“反射镜像”P'距球心。需要注意的是，如果P在球内，

那么P'将在球外。于是可得格林函数为；其中，R表示距

源点P的距离，R'表示距镜像点P'的距离。从格林函数上面的表示式可以推出泊松积分公式。设ρ、θ和φ为源点P的三个球坐标分量。此处θ按照物理学界的通用标准

定义为坐标矢径与竖直轴（z轴）的夹角（与欧洲习惯相同，与美国习惯不同）。于是球面内拉普拉斯方程的解为：[2]:64-65

；

其中，。

这个公式的一个显见的结论是：若u是调和函数，那么u在球心处的取值为其在球面上取值的平均。于是我们可以立即得出以下结论：任意一个调和函数（只要不是常函数）的最大值必然不会在其定义域的内部点取得。

参考文献

严镇军编，《数学物理方程》，第二版，中国科学技术大学出版社，合肥，2002，

L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998.

I. G. Petrovsky, Partial Differential Equations, W. B. Saunders Co., Philadelphia, 1967.

A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002.

A. Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics, Academic Press, New York, 1949.

拉普拉斯方程

拉普拉斯方程 拉普拉斯方程又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。 通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：▽p=γ（1/R1+1/R2）式中γ是液体表面张力。该公式成为拉普拉斯方程。 在数理方程中

拉普拉斯方程拉普拉斯方程为：Δ u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中Δ为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：其中Δ称为拉普拉斯算子. 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是 Laplace operator或简称作Laplacian。 狄利克雷问题 拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。

拉普拉斯方程

拉普拉斯方程应该和泊松方程是同胞兄弟了，都是扩散方程，用来描述散度场的。只不过拉普拉斯方程是无源场，泊松方程是有源场。预备内容：梯度、旋度、散度和拉普拉斯算子在曲线坐标下的表达式： 如果在某个曲线坐标系内位移微元（其中是坐标），那么便有： 梯度：散度：旋度：拉普拉斯算符： 对于直角坐标系、球坐标系和柱坐标系来说，的值为： 于是，我们便可以轻松地默写球坐标下拉普拉斯算符的表达式\^o^/ 下面进入正题 1.直角坐标系 当出现金属平板之类的边界条件时，使用直角坐标系较为方便。 在直角坐标系下，拉普拉斯方程的表达式为： i）二维问题 假设沿z轴平移V保持不变，于是方程便简化为二维形式： 我们假设V可以写成两个函数相乘的形式： （乍看之下这不是一个很合理的假设。但是我们很快可以看到为什么可以这样做）

代入原方程并在两边除以V: 因为两部分之和为0，因此我们可以假设一个是正数另一部分是负数：（这里以含x的部分为正含y的部分为负为例） 很显然，这两个方程的解就是： 注记：这里决定哪一部分是正数哪一部分是负数要由边界条件来确定。比如说，沿x方向到达无限远时电势为零，x就应该含有指数衰减项，因此令含x的部分为正数。 于是，方程的一个解是 对所有可能的k求和，可以得到通解： 常数A,B,C,D的值需要由边界条件来确定。通常情况下，通过边界条件可以把k化成含有正整数的式子。将求和号改成对n求和，可以看到，第二个括号里的项便是傅里叶级数。狄利克雷定理保证了这个级数可以拟合任何边界条件。傅里叶系数可以由积分来确定。 ii)三维问题 三维问题的处理方法与二维的情形类似。 同样，假设是这种形式： 同样，代入方程并在两边同除以V:

泊松方程和拉普拉斯方程

拉普拉斯方程和泊松方程 摘要：拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象的性质。 关键词：分离变量电磁场拉普拉斯 简史 1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离r k，并且把这些商加在一起，其总和 即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程： ，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。1813年，S.D.泊松撰文指出，如 果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-V高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程： 式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。在各分区的公共界面上，V满足边值关系，

, 式中i ，j 指分界面两边的不同分区，σ 为界面上的自由电荷密度，n 表示边界面上的内法 线方向。 边界条件和解的唯一性 为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物 理情况，此情况叫做边界条件。有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄 利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷 ，叫做诺埃曼边界条件。 静电场的唯一性定理： 设区域V 内给定自由电荷分布)(x ，在V 内电势满足泊松方程 或拉普拉斯方程,在V 的边界S 上给定电势 ,或V 边界上给定电势的法线方向偏导数 ,则V 内场（静电场）唯一确定。 除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。 各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任 何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。 静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程 在SI 制中，静磁场满足的方程为 ,式中j 为传导电流密度。第一式表明静磁 场可引入磁矢势r)描述： 。 在各向同性、线性、均匀的磁媒质中，传导电流密度j 0的区域里，磁矢势满足的方程 为 。 选用库仑规范，，则得磁矢势A 满足泊松方程 ，式中纯数μr 为媒质的相对磁导率， 真空磁导率μo =1.257×10-6亨／米。在传导电流密度j=0的区域里，上 式简化为拉普拉斯方程 。

拉普拉斯方程

拉普拉斯方程，也称为谐波方程和势方程，是一种偏微分方程，最早由法国数学家拉普拉斯提出。 拉普拉斯方程是液体表面曲率和液体表面压力之间关系的公式。 曲面称为曲面。通常，使用两个相应的曲率半径来描述表面，即在表面上的某个点处绘制垂直于该表面的直线，然后通过该线制作一个平面。平面和表面的截面是曲线，并且在该点与曲线相切的圆的半径称为曲线的曲率半径R1。第二剖面线及其曲率半径R2可以通过使第二平面垂直于第一平面并与表面相交来获得。液面的弯曲可以用R1和R2表示。如果液体表面弯曲，则液体P1内部的压力将与液体外部的压力P2不同，并且液体表面的两侧之间将存在压力差△P = P1-P2，这称为附加压力。压力。其值与液体表面的曲率有关，可以表示为：其中γ是液体的表面张力系数，称为拉普拉斯方程。 在数学公式中 拉普拉斯方程是：其中∥是拉普拉斯算子，而这里的拉普拉斯方程是二阶偏微分方程。在三维情况下，拉普拉斯方程可按以下形式描述。可以将问题简化为求解对于实变量X，y和Z可二阶微分的实函数φ ?2称为拉普拉斯算子。 拉普拉斯方程的解称为谐波函数。 如果在等号右边是给定的函数f（x，y，z），即： 然后将该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆偏微分方程。偏微分算子（可以在任何维空间中定义）称为拉

普拉斯算子。 方程解 它称为谐波函数，可以在建立方程的区域进行分析。如果任何两个函数满足拉普拉斯方程（或任何线性微分方程），则这两个函数的总和（或它们的任何线性组合）也满足上述方程。这种非常有用的特性称为叠加原理。根据这一原理，可以将已知的复杂问题的简单特殊解组合起来，以构建具有更广泛适用性的一般解。

泊松方程和拉普拉斯方程

拉普拉斯方程和泊松方程 摘要：拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象的性质。 关键词：分离变量 电磁场 拉普拉斯 简史 1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量m k 除以它们到任意观察点P 的距离r k ，并且把这些商加在一起，其总和 m k r k n k=1 = V x ，y ，z 即P 点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P 点的质点所受总引力的相应分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程： ?2V ?x +?2V ?y +?2V ?z =0，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。1813年，S.D.泊松撰文指出， 如果观察点P 在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为?2V ?x 2 + ?2V ?y 2 + ?2V ?z 2 =?4πρ， 叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。文中要求重视势函数 V 在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-?V 高斯定理微分式??E =ρ/εr ε0，即可导出静电场的泊松方程：?2V ?x 2+?2V ?y 2+?2V ?z 2=?2V =?ρ/εr ε0 式中ρ为自由电荷密度，纯数 εr 为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo =8.854×10-12 法／米。在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程?2V =0 。 在各分区的公共界面上，V 满足边值关系V i =V j ， ε0εri ?V ?n i ?ε0εrj ?V ?n j =??,

拉普拉斯方程

拉普拉斯方程 拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。 [1] 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。 中文名 拉普拉斯方程 外文名 Laplace's equation 别称 调和方程、位势方程 提出者 拉普拉斯 关键词 微分方程、拉普拉斯定理 涉及领域 电磁学、天体物理学、力学、数学 目录 .1基本概述 .?在数理方程中 .?方程的解 .2二维方程 .3人物介绍

基本概述 一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为： ，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。 在数理方程中 拉普拉斯方程为： ，其中?2为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 其中?2称为拉普拉斯算子。 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子 （可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。 方程的解 称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 [2] 二维方程

第六章溅射物理

溅射物理 我们知道具有一定能量的离子入射到固体表面上时，它将同表面层内的原子不断地进行碰撞，并产生能量转移。固体表面层内的原子获得能量后将做反冲运动，并形成一系列的级联运动。如果某一做级联运动的原子向固体表面方向运动，则当其动能大于表面的结合能时，它将从固体表面发射出去，这种现象称为溅射。早在1853年Grove就观察到了溅射现象，他发现在气体放电室的器壁上有一层金属沉积物，沉积物的成份与阴极材料的成份完全相同。但当时他并不知道产生这种现象的物理原因。直到1902年，Goldstein 才指出产生这种溅射现象的原因是由于阴极受到电离气体中的离子的轰击而引起的，并且他完成了第一个离子束溅射实验。到了1960年以后，人们开始重视对溅射现象的研究，其原因是它不仅与带电粒子同固体表面相互作用的各种物理过程直接相关，而且它具有重要的应用，如核聚变反应堆的器壁保护、表面分析技术及薄膜制备等都涉及到溅射现象。1969年，Sigmund 在总结了大量的实验工作的基础上，对Thompson的理论工作进行了推广，建立了原子线性级联碰撞的理论模型，并由此得到了原子溅射产额的公式。对于低能重离子辐照固体表面，可以产生原子的非线性级联碰撞现象，通常称为“热钉扎”(thermalized spike) 效应。在1974年，这一现象被H.H. Andersen 和H. L. Bay的实验所验证。 本章主要介绍溅射物理过程的一些基本概念和特征、计算溅射产额的Sigmund的线性级联碰撞模型、Matusnami 等人的溅射产额经验公式、热钉扎溅射以及溅射过程的计算机模拟等。最后，我们还对表面腐蚀现象与溅射过程之间的关系进行简要的讨论。 §6.1 溅射过程的一般描述 溅射过程可以用溅射产额Y这个物理量来定量地描述，其定义为平均每入射一个粒子从靶表面溅射出来的原子数，即

第七章 玻耳兹曼统计教案..

热力学与统计物理课程教案

第七章 玻耳兹曼统计 7.1 热力学量的统计表达式 一、 定域系统的内能、广义力和熵统计表达式 在§6.8说过,定域系统和满足经典极限条件的玻色系统都遵从玻耳兹曼分布。本章根据玻耳兹曼分布讨论这两类系统的热力学性质。本节首先推导热力学量的统计表达式。 内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值.所以 ∑∑--==l βεαl l l l l l e ωεεa U ① 引入函数1Z :∑-=l βεl l e εZ 1 ② 名为粒子配分函数。由式∑--=l βεαl l e ωN ②，得：1Z e e ωe N αl βεl αl ---==∑ ③ 上式给出参量α与N 和1Z 的关系,可以利用它消去式①中的α。经过简单的运 算,可得：11ln Z βZ N e ωβe e ωεe U l βεl αl βεl l αl l ???? ????-=???? ????-==∑∑---- ④ 式④是内能的统计表达式。 在热力学中讲过,系统在程中可以通过功和热量两种方法与外界交换能量。在无穷小过程中，系统在过程前后内能的变化dU 等于在过程中外界对系统所作的功W d 及系统从外界吸收的热量Q d 之和：Q d W d dU +=。 如果过程是准静态的, W d 可以表达为Ydy 的形式,其中dy 是外参量的改变量,Y 是外参量y 相应的外界对系统的广义作用力。 粒子的能量是外参量的函数。由于外参量的改变,外界施于处于能级l ε的一个粒子的力为 y εl ??。因此，外界对系统的广义作用力Y 为： 11 ln 11Z y βN Z y βe e ωy βe e ωy ε a y εY αl βεl αβεαl l l l l l l l ??-=??? ? ????-=???? ????-=??=??=-----∑∑∑ ⑤

泊松方程拉普拉方程

泊松方程和拉普拉斯方程 势函数的一种二阶偏微分方程。广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。 简史 1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点 的质量m k除以它们到任意观察点P的距离r k，并且把这些商加在一起，其总和 即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所 受总引力的相应分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程： ，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。1813年，S.-D.泊松撰文 指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为 ，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。文中要求重视势 函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程： ， 式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854 ×10-12法／米。在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。在各分区的公共界面上，V满足边值关系，

， 式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。 边界条件和解的唯一性 为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄 利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。 边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。 除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。 静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程 在SI制中，静磁场满足的方程为 式中j为传导电流密度。第一式表明静磁场可引入磁矢势r)描述：。 在各向同性、线性、均匀的磁媒质中，传导电流密度j 0的区域里，磁矢势满足的方程为 选用库仑规范，墷?r)=0，则得磁矢势r)满足泊松方程， 式中纯数μr 为媒质的相对磁导率，真空磁导率μo=1.257×10-6亨／米。在传导电流密度j=0的区域里，上式简化为拉普拉斯方程?2Α=0。

chenpc_文件下载_数理方法_实验四、拉普拉斯方程与泊松方程的求解

实验四 拉普拉斯方程与泊松方程的求解 一、拉普拉斯方程的求解 例题：求解定界问题： ()()()()()00,030,0,,sin 3,00,,sin cos xx yy u u x a y b y u y u a y b x x u x u x b a a πμππμ??+=≤≤≤≤????==? ?????????==? ? ?????? 任意选取定界问题中参数的值，例如取1,1,1a b μ===。用偏微分方程工具箱来求解的步骤如下。 1、画求解区域 在指令窗口中，输入pdetool ，打开偏微分方程工具箱的界面， 图1 微分方程工具箱的界面 选择菜单Options/Axes Limits ，打开对话框如图2所示。 图2 设置坐标变化范围的对话框

在X-axis range 和Y-axis range 栏中都输入[-0.1 1.1]，单击按钮Apply 确认，再关闭对话框。 单击左上角画矩形框按钮，在pdetool 的窗口中画一个矩形，然后，在刚画出的灰色矩形区域内部双击鼠标左键，出现如图3所示的对话框，设置左边界（Left ）参数为0，下边界（Bottom ）参数为0，宽度（Width ）参数为1，高度（Hight ）参数为1，点击OK 按钮，画出一个边长为1的正方形区域01,01x y ≤≤≤≤，这个正方形被自动命名为R1，并显示在区域上方的公告栏（Set Formula ）中。 图3 确定正方形区域的边界位置和名称的对话框 2、设定方程类型 单击按钮，打开如图4所示的对话框。 图4 设置方程类型的对话框 在方程类型中选择椭圆型，这时方程的形式为 ()c u au f -???+= 取1,0,0c a f ===，设置好参数后，单击OK 即可。 3、设定边界条件 单击按钮，进入边界模式。这时区域由灰色变成白色，而边界变成红色。选择菜单Boundary/Show Edge Labels ，给四条边界标上序号1,2,3,4。根据题意，双击边界1，打

matlab程序(解泊松方程)

求解泊松方程的 function Finite_element_tri(Imax) % 用有限元法求解三角形形区域上的Possion方程 Jmax=2*Imax; % 其中Imax Jmax分别表示x轴和y轴方向的网格数，其中Jmax等于Imax的两倍 % 定义一些全局变量 global ndm nel na % ndm 总节点数 % nel 基元数 % na 表示活动节点数 V=0; J=0;X0=1/Imax;Y0=X0;%V=0为边界条件 domain_tri % 调用函数画求解区域 [X,Y,NN,NE]=setelm_tri(Imax,Jmax); % 给节点和三角形元素编号，并设定节点坐标 % 以下求解有限元方程的求系数矩阵 T=zeros(ndm,ndm); for n=1:nel n1=NE(1,n); n2=NE(2,n); n3=NE(3,n);%整体编号 s=abs((X(n2)-X(n1))*(Y(n3)-Y(n1))-(X(n3)-X(n1))*(Y(n2)-Y(n1)))/2;%三角形面积 for k=1:3 if n1<=na|n2<=na T(n1,n2)=T(n1,n2)+((Y(n2)-Y(n3))*(Y(n3)-Y(n1))+(X(n3)-X(n2))*(X(n1)-X(n3)))/(4*s); T(n2,n1)=T(n1,n2); T(n1,n1)=T(n1,n1)+((Y(n2)-Y(n3))^2+(X(n3)-X(n2))^2)/(4*s);%V=0则边界积分为零，非零时积分编程类似，再加边界积分。 end k=n1;n1=n2;n2=n3;n3=k; % 轮换坐标将值赋入3阶主子矩阵中 end end M=T(1:na,1:na); % 求有限元方程的右端项 f=X;%场源函数 G=zeros(na,1); for n=1:nel n1=NE(1,n); n2=NE(2,n); n3=NE(3,n); s=abs((X(n2)-X(n1))*(Y(n3)-Y(n1))-(X(n3)-X(n1))*(Y(n2)-Y(n1)))/2; for k=1:3 if n1<=na G(n1)=G(n1)+(2*f(n1)+f(n2)+f(n3))*s/12;%f在单元上为线性差值时场域单元的积分公式 end n4=n1; n1=n2; n2=n3; n3=n4; % 轮换坐标标 end end F=M\G; % 求解方程得结果

泊松方程

泊松方程是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程。是因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。 泊松首先在无引力源的情况下得到泊松方程，△Φ=0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时，有△Φ=f（f为引力场的质量分布）。后推广至电场磁场，以及热场分布。该方程通常用格林函数法求解，也可以分离变量法，特征线法求解。 方程的叙述 泊松方程为在这里代表的是拉普拉斯算子，而f和可以是在流形上的实数或复数值的方程。当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，因此泊松方程通常写成在三维 直角坐标系，可以写成如果有恒等于0，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。 泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考屏蔽泊松方程。有很多种数值解。像是松弛法，不断回圈的代数法，就是一个例子。 泊松方程数学表达 通常泊松方程表示为

这里代表拉普拉斯算子，f为已知函数，而为未知函数。当f=0时，这个方程被称为拉普拉斯方程。 为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如狄利克雷边界条件: 其中为有界开集。 这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的 基础函数为: 其中为n维欧几里得空间中单位球面的体积，此时可通过卷积得到的解。 为了使方程满足上述边界条件，我们使用格林函数 为一个校正函数，它满足通常情况下是依赖于。 通过可以给出上述边界条件的解 其中表示上的曲面测度。 此方程的解也可通过变分法得到。 泊松方程应用 在静电学很容易遇到泊松方程。对于给定的f找出φ是一个很实际的问题，因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电场的问题。在国际单位制（SI）中：此代表电势（单位为伏

《第七章玻耳兹曼统计》(期末复习资料)

《第七章 玻耳兹曼统计》（期末复习） 一、热力学第一定律的统计解释： Q d W d dU += l l l l l l l l da d a dU a U ∑∑∑+=?=εεε 比较可知：l l l d a W d ε∑= l l l da Q d ∑=ε 即：从统计热力学观点看， 做功：通过改变粒子能级引起内能变化； 传热：通过改变粒子分布引起内能变化 二、相关公式 1、非定域系及定域系的最概然分布 l e a l l βεαω--= 2、配分函数： 量子体系：∑-=l l l e βεω1Z ∑---==l l l l l l l l e e e a βεβεβεωωωN Z N 1 半经典体系：()r r r p q r h dp dp dp dq dq dq e h d e l ΛΛΛ2121,1Z ???==-βεβεω 经典体系：()r r r p q r h dp dp dp dq dq dq e h d e l 02121,01Z ΛΛΛ???==-βεβε ω 3、热力学公式（热力学函数的统计表达式） 内能：β ??=1lnZ -N U 物态方程：V lnZ N 1??=βp 定域系：自由能：1-NkTlnZ F = 熵：B M k .ln S Ω=或??? ? ? ? ??-=ββ11lnZ ln Nk S Z

三、应用： 1、用玻耳兹曼分布推导单原子分子的理想气体物态方程并说明所推导的物态方程对多原子分子的理想气体也适用。 2、能量均分定理 ①能量均分定理的内容 ②能量均分定理的应用： A 、熟练掌握用能量均分定理求理想气体（单原子分子，多原子分子）内能、热容量。知道与实验结果的一致性及存在的问题。 B 、知道经典的固体模型，熟练掌握用能量均分定理求经典固体的内能及定容热容量。知道与实验结果的一致性及存在的问题。 3、定域系的量子统计理论： ①、爱因斯坦固体模型；②、熟练掌握用量子统计理论求爱因斯坦固体的内能及其热容量；③、知道爱因斯坦固体模型成功之处及其不足和原因。 四、应熟练掌握的有关计算 1、求配分函数1Z 进而求系统的热力学性质 2、用Ω=kln S 的证明及相关应用 四、解题指导 1、求广义力的基本公式∑??=l l l y a εY 的应用； 例1：根据公式V a p l l l ??-=∑ε，证明：对于极端相对论粒子，

拉普拉斯方程

拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。 基本概述 一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为： ，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。 在数理方程中 拉普拉斯方程为：，其中?2为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普

拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 其中?2称为拉普拉斯算子。 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。 方程的解 称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 二维方程 两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式： 解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。 人物介绍

拉普拉斯方程

拉普拉斯方程 求助编辑百科名片 拉普拉斯方程 拉普拉斯方程（Laplace'sequation），又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。 目录 拉普拉斯方程（Laplace equation） 在数理方程中 狄利克雷问题 诺伊曼边界条件 拉普拉斯方程的解 二维拉普拉斯方程 解析函数 三维情况下 二维拉普拉斯方程 解析函数 在流场中的应用 在电磁学中的应用 三维拉普拉斯方程 基本解 格林函数 在流场中的应用 拉普拉斯人物介绍 展开 拉普拉斯方程（Laplace equation） 在数理方程中 狄利克雷问题 诺伊曼边界条件 拉普拉斯方程的解 二维拉普拉斯方程 解析函数 三维情况下 二维拉普拉斯方程 解析函数 在流场中的应用 在电磁学中的应用 三维拉普拉斯方程 基本解 格林函数 在流场中的应用

拉普拉斯人物介绍 展开 编辑本段拉普拉斯方程（Laplace equation） 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：▽p=γ（1/R1+1/R2）式中γ是液体表面张力。该公式成为拉普拉斯方程。 在数理方程中 拉普拉斯方程为：Δu=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中Δ 为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 其中Δ称为拉普拉斯算子. 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。 狄利克雷问题 拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。 诺伊曼边界条件 拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。 拉普拉斯方程的解 称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 编辑本段二维拉普拉斯方程 两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式： 函数h (x,y) 为二元函数，h(x,y) 对x的二阶偏导数+ h(x,y)对y的二阶偏导数= 0 解析函数 解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若z= x+ iy，并且 那么f(z)是解析函数的充要条件是它满足下列柯西-黎曼方程：f（z）= u(x,y) + iv(x ,y) u 对x的偏导数= v 对y 的偏导数，u 对y 的偏导数= - （v 对x 的偏导数）上述方程继续求导就得到 所以u满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得v同样满足拉普拉斯方程。

波尔兹曼

路德维希·玻尔兹曼(Ludwig Edward Boltzmann 1844.2.20-1906.9.5)，热力学和统计物理学的奠基人之一。 玻尔兹曼1844年出生于奥地利的维也纳，1866年获得维也纳大学博士学位。 玻尔兹曼的贡献主要在热力学和统计物理方面。1869年，他将麦克斯韦速度分布律推广到保守力场作用下的情况，得到了玻尔兹曼分布律。1872年，玻尔兹曼建立了玻尔兹曼方程（又称输运方程），用来描述气体从非平衡态到平衡态过渡的过程。1877年他又提出了著名的玻尔兹曼熵公式。 人物生平 生于维也纳，卒于意大利的杜伊诺，1866年获维也纳大学博士学位，历任格拉茨大学、维也纳大学、慕尼黑大学和莱比锡大学教授。他发展了麦克斯韦的分子运动类学说，把物理体系的熵和概率联系起来 ，阐明了热力学第二定律的统计性质，并引出能量均分理论（麦克斯韦-波尔兹曼定律)。他首先指出，一切自发过程，总是从概率小的状态向概率大的状态变化，从有序向无序变化。1877年，波尔兹曼又提出，用“熵”来量度一个系统中分子的无序程度，并给出熵S与无序度W（即某一个客观状态对应微观态数目，或者说是宏观态出现的概率）之间的关系为S=k ㏒W。这就是著名的波尔兹曼公式，其中常数k=1.38×10^(-23) J/K 称为波尔兹曼常数。他最先把热力学原理应用于辐射，导出热辐射定律，称斯忒藩-波尔兹曼定律。他还注重自然科学哲学问题的研究，著有《物质的动理论》等。作为哲学家，他反对实证论和现象论，并在原子论遭到严重攻击的时刻坚决捍卫它。 “如果对于气体理论的一时不喜欢而把它埋没，对科学将是一个悲剧；例如：由于牛顿的权威而使波动理论受到的待遇就是一个教训。我意识到我只是一个软弱无力的与时代潮流

麦克斯韦-玻尔兹曼载流子统计

玻尔兹曼方程 Boltzmann equation玻尔兹曼方程 （1）基本概念： 对于载流子的导电、导热等输运过程的分析，简单的方法就是采用所谓粒子平均运动的模型来处理。这能够得到载流子的各种输运参量，但是因为忽略了许多因素，故结果不太精确。 玻尔兹曼方程是经典粒子牛顿力学运动模型，和能态跃迁的量子力学模型相糅合的产物。如果忽略所有的相干效应，经过一定的简化，可以从量子输运模型中推导出玻尔兹曼方程。经典的输运理论建立在玻尔兹曼传输理论的基础上，玻尔兹曼理论的基本假设包括： (i) 电子和空穴都是微小粒子； (ii) 粒子之间各自独立，没有相干性，通过散射互相作用； (iii) 粒子可以用Bloch理论描述； (iv) 散射是一种瞬态行为，没有时间和空间上的持续性； (v) 只考虑两个粒子之间的散射，不考虑多个粒子之间的共同作用。 （2）玻尔兹曼方程： Boltzmann equation 又称为玻尔兹曼输运方程，它就是分布函数法中所采用的一种方程，即是非平衡分布函数f(k,r,t)所满足的一个方程，求解此方程可得到不同条件下的f(k,r,t)，然后即可求出电子的各种输运参量。 玻尔兹曼输运方程中考虑到了载流子的速度分布和散射的方向性，因此较为精确。 在有电场或温度梯度等外场的情况下，根据分布函数因电场、磁场、温度梯度等外场而引起的漂移变化以及因散射而引起的变化，即可建立起Boltamann方程，由于其中的散射项应是一个对散射几率的积分, 所以Boltamann方程是一个微分-积分方程。该方程的求解很复杂, 通常采用近似方法，常用的一种近似方法就是弛豫时间近似。 玻尔兹曼方程是一个高维的方程，三维波矢空间（k），三维实空间（r），再加上一维时间（t），难于求解，常用蒙特卡罗方法来模拟。 （3）局限性： 随着半导体器件进入纳米尺度，量子效应对器件性能的影响越来越重要，载流子的输运进入了量子输运的领域，这同时体现在空间和时间两个方面。一方面，位于费米能量的电子的德布罗易波长与器件的尺寸相比拟，电子的波动性更加明显；另一方面，电子在沟道中的输运时间动量和能量的弛豫时间相当，使得描述载流子散射的费米黄金定则的适用性受到局限。因此，对纳米尺度半导体器件，玻尔兹曼方程的适用性受到局限，载流子输运需要建立在量子力学理论框架上。

Boltzmann方程的量子修正

中国科学 G辑:物理学 力学 天文学 2008年 第38卷 第9期:1178~1187 https://www.docsj.com/doc/7c18902173.html, https://www.docsj.com/doc/7c18902173.html, 1178 《中国科学》杂志社SCIENCE IN CHINA PRESS Boltzmann方程的量子修正 王正川①*, M. Levy Peter② ①中国科学院研究生院物理科学学院, 北京 100049; ②Department of Physics, New York University, New York, NY10003 * E-mail: wangzc@https://www.docsj.com/doc/7c18902173.html, 收稿日期: 2007-05-31; 接受日期: 2007-12-18 国家自然科学基金(批准号: 10404037)和中国科学院研究生院科研启动基金(编号: 055101BM03)资助项目 摘要讨论了经典玻尔兹曼分布函数的量子修正项及其满足的方程. 我们将用于推导量子玻尔兹曼方程的梯度近似中的普朗克常数明显地写出, 并且将量子Wigner分布函数用普朗克常数展开, 经过推导就可以得到量子修正项所满足的方程. 量子Wigner分布函数的普朗克常数展开式中的一阶和高阶项正好是量子修正项, 它们可具有负值, 而零阶项则具有正值. 这样我们自然在量子Wigner分布函数中分离出正的分布函数, 避免了用Husimi方法做粗粒平均取得正值的传统框架. 另外我们也用量子Wigner分布函数普朗克常数展开的方法讨论了量子热力学熵的经典极限这一问题. 关键词 量子玻尔兹曼方程Wigner分布函数量子修正项 Boltzmann方程描述的是单粒子的非平衡分布函数如何随时间空间变化的运动方程[1~5]. 通常它只适用于稀薄的单原子分子气体动力学的研究, 但是近年来一些人开始用它来研究介观系统的输运问题, 如用它来研究磁性多层膜系统中的自旋极化隧穿现象[6~11]. 可是常用的经典Boltzmann方程不适用于描述诸如磁性多层膜表面那样的尺度非常小的区域, 所以人们怀疑它应用于介观系统输运问题的研究是否正确. 事实上, 经典Boltzmann方程仅适用于介观系统中没有明显的量子干涉效应的耗散输运过程的研究. 可是量子Boltzmann方程却有助于克服经典Boltzmann方程的上述局限性. 利用非平衡Green函数理论, Kadanoff和Baym得到了量子形式的Boltzmann方程. 它实际上是一个关于Green函数的运动方程, 其中经典Boltzmann方程中的分布函数在这里变成了量子Wigner分布函数[12~14]. 量子Boltzmann方程和经典Boltzmann方程形式上具有相似性, 因此人们尝试着用它来研究介观系统中的输运问题. 然而量子Boltzmann方程也有它适用的局限性[12~14], 而且还会碰到负几率的困难[15~17]. 这是因为在量子Boltzmann方程中引入了所谓的Wigner分布函数[12~14], 这个分布函数中

[整理]拉普拉斯方程

[整理]拉普拉斯方程 拉普拉斯方程 求助编辑百科名片 拉普拉斯方程 拉普拉斯方程(Laplace'sequation)，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由 法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领 域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流 场等物理对象(一般统称为“保守场”或“有势场”)的性质。 目录 拉普拉斯方程(Laplace equation) 在数理方程中狄利克雷问题诺伊曼边界条件拉普拉斯方程的解二维拉普拉斯方程解析函数 三维情况下 二维拉普拉斯方程解析函数 在流场中的应用在电磁学中的应用三维拉普拉斯方程基本解 格林函数 在流场中的应用拉普拉斯人物介绍展开 拉普拉斯方程(Laplace equation)

在数理方程中狄利克雷问题诺伊曼边界条件拉普拉斯方程的解二维拉普拉斯方程解析函数 三维情况下 二维拉普拉斯方程解析函数 在流场中的应用在电磁学中的应用三维拉普拉斯方程基本解 格林函数 在流场中的应用 拉普拉斯人物介绍 展开 编辑本段拉普拉斯方程(Laplace equation) 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差?P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为:?p=γ(1/R1+1/R2)式中γ是液体表面张力。该公式成为拉普拉斯方程。 在数理方程中 拉普拉斯方程为:Δu=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中Δ 为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ : 其中Δ 称为拉普拉斯算子. 拉普拉斯方程的解称为调和函数。