泊松方程

泊松方程

泊松方程（法语：équation de Poisson）是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。

泊松方程为

在这里代表的是拉普拉斯算子，而和可以是在流形上的实数或复数值的方程。当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，因此泊松方程通常写成

在三维直角坐标系，可以写成

如果有恒等于0，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。

泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考屏蔽泊松方程。现在也发展出很多种数值解，如松弛法（一种迭代法）。

通常泊松方程表示为

这里代表拉普拉斯算子，为已知函数，而为未知函数。当时，这个方程被称为拉普拉斯方程。

为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如狄利克雷边界条件:

其中为有界开集。

这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基础函数为:

其中为n维欧几里得空间中单位球面的体积，此时可通过卷积得到的解。

为了使方程满足上述边界条件，我们使用格林函数

为一个校正函数，它满足

通常情况下是依赖于。

通过可以给出上述边界条件的解

其中表示上的曲面测度。

此方程的解也可通过变分法得到。