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概率论(计算)习题讲解

概率论计算：

1．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。（1）两只都是正品？（2）两只都是次品？（3）一只是正品，一只是次品？（4）第二次取出的是次品？解：设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1)

2897108)1|2()1()21(=?==A A P A P A A P

(2)

191102)1|2()1()2,1(=?=

=A A P A P A A P

(3) 45

169810292108)1|2()1()1|2()1()

21()21(=???=+=+A A P A P A A P A P A A P A A P (4)

19110292108)1|2()1()1|2()1()

2(=???=+=A A P A P A A P A P A P

2．某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据~~~设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？

解：设Bi （I=1,2,3）表示任取一只是第I 厂产品的事件，A 表示任取一只是次品的事件。（1）由全概率公式

0125

.003.005.001.080.002.05.0)3|()3()2|()

2()1|()1()(=?+?+?=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P （2）由贝叶斯公式

.00125.002.015.0)

()

1|()1()|1(=?==

A P

B A P B P A B P

3．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。解：由等可能概型有：（1）12110

25==

C C P ; （2）

==C C P

4．6件产品中有4件正品和2件次品，从中任取3件，求3件中恰为1件次品的概率。解：设6件产品编号为1，2……6，由等可能概型

5336

1224==

C C C P

5．设随机变量X 具有概率密度????

?≤>-=0,

3)(x x x ke x f 。（1）确定常数k ；（2）求P （X>0.1）

解：（1）由1)(=∞

-+∞

?dx x f 有33

3303301==-+∞

=-+∞-??k k x

d x

e k dx x ke 所以（2）

7408

.0331

.0)1.0(=-+∞=>?

dx x e x P

6．一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t ，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至多有3个设备被使用的概率是多少？（3）至少有1个设备被使用的概率是多少？

解：由题意，以X 表示任一时刻被使用的设备的台数，则X~b(5,0.1)，于是（1）

0729.039.021.025

)2(===C X P （2）

9995

.051.0559.041.045[1)]5()4([1)

3(1)3()2()1()0()3(=+-==+=-=>-==+=+=+==≤C C X P X P X P X P X P X P X P X P

（3）

40951

.059.001.0051)0(1)1(=-==-=≥C X P X P

7．设随机变量X 的概率密度为,,0,

40,8

)(??

???<<=其它

x x

x f

求解：

183)31(==≤

x x P

8．由某机器生产的螺栓的长度（cm ）服从参数μ=10.05，σ=0.06的正态分布，规定长度在范围10.05±0.12内为合格品。求一螺栓为不合格品的概率。解：由题意，所以为

0456

.0)]2(1[2)]06

.012

.0()06.012.0([1)12.005.1012.005.10(1=Φ-=-Φ-Φ-=+<<--x P

9．设X~N （3，22）求：（1）)

3(),2|(|),

104(),52(>>≤<-≤ 解：（1）

5328

.0)5.0()1()232()235(

)52(-=-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤

.0)5.3()5.3()

4()2310()

104(=-Φ-Φ=--Φ--Φ=≤<-x P

6977

.0)]2

2()232([1)22(1)2|(|1)2|(|=--Φ--Φ-=≤≤--=≤-=>x P x P x P

5.0)0(1)3(=Φ-=>X P

（2）由P>c=P(x ≤c)，即

3,02

21)23()23

()23(

1==-=

-Φ-Φ=-Φ-c c c c c 所以

求Y=X 的分布律。

解：Y=X 2的全部取值为0，1，4，9且P （Y=0）=P （X=0）=5

1， P （Y=1）=P （X=-1）+P （X=1）=30

715161=

+， P （Y=4）=P （X=-2）

1， P （Y=9）=P （X=3）=3011故Y 的分布律为 11．设二维随机变量（x ，y ）具有概率密度?????>>+-=其它

,0,)2(2)(y x y x e

x f （1）求分布函数F （x ，y ）；

（2）求概率P （Y ≤X ）解：（1）

????

?>>----=??

???>>+-=∞

-∞-=????

其它其它,

,0),1)(21(,00

,0)2(200),(),(y x y e x e y x dx y x e

x dy y

dxdy y x f y

x y x F （2）

1])2(2[0),()(=+-∞+∞+==≤??

??dy dx y x e y dxdy y x f X Y P

求X 及Y 的边缘分布律。

13．设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为?

?≤≤=其它

010,

6),(x y x f ，边缘概率密度)(),(y y f x x f 。

解：

????

?≤≤-=??

?????≤≤=∞

-+∞=??

其它其它,010),2(6,

010,62),()(x x x x dy x x dy

y x f x x f

????

?≤≤-=??

?????≤≤=∞

-+∞=??

其它其它,

010),(6,

010,6),()(y y y y dx y y

y x f y y f

14．设（X ，Y ）的概率密度为

??<<<<--=其它,04

20),6(),(y x y x k y x f

（1）确定常数k ；（2）求P （X<1，Y<3）；（3）求边缘概率密度)(x x f 解：（1）

,18,8)6(2

02),(=

==--=∞-+∞

∞-+∞????k k k dy y x k dx dxdy

y x f 得由

（2）

3)6(812301)3,1(=--=<

（3）

???<<-=?????<<--=∞

-+∞=??

其它

其它,

01026,010,)6(81

24),()(x x x dy y x dy

y x f x x F

求23(),2(),(+X E X E X E 解：

.03.023.004.02)(-=?+?+?-=X E

.23

.0223

.0204.02)2()2(=?+?+?-=X E 4

.135)2(3)523(=+=+X E X E

16．设X —b(n,p),求E(X),D(X)

)

1()(...)2()1()()(...)2()1()(,,...,2,1)

,...,2,1(,0,1,...21:p np n X D X D X D X D np

n X E X E X E X E n X X X n i i i X n X X X X -=+++==+++==?????=+++=于是相互独立且反之

次发生第其中

设解

17．设随机变量X 在(a,b)上服从均匀分布，求E （X ），D （X ）。解：X 的概率密度为

2)(42)(3222)]([)2()(23

2212)(2)2(2

)()(,0,1

)(a b b a b ab a x E X E X D b

b ab a dx a b x dx

x f x X E b a b dx

a b x dx x xf X E b x a a

b x f -=

++=-=+=-=∞

+∞-=-=-∞+∞-==??

??<<-=????其它

18．设随机变量X 服从分布，其概率密度为

2222

)]([)2()(02212)2(01)(:).

(),(,0,0,00

,1)(θθθθθθθ

θθθθ

=-=-=∞+=-==∞+-=>???????≤>-=??X E X E X D dx x e X X E dx x

e X X E X D X E x x x e x

f 解求常数是

其中

19．已知X —N （μ，σ2），求E （X ），D （X ）。

2222

)]([)2()(2222)(21)

(2)(212

)2(2)(21)

(2)(21)(:2

σμμσμσμσπσ

σμπσ

μμσπσ

μσμπσ

=-+=-=+=∞+∞

+==-=∞+∞--===∞

+∞

-=∞

+∞--=????X E X E X D dt t e t t x dx

x e x

X E dt t e t t x dx

x e x

X E 设

设为解

20．在总体N （52，6.33）中随机抽一容量为36的样本，求样本平均值X 落在50.8到53.8之间的概率。

8293

.0)14.1()71.1(05.12.105.18.163.6528.5363.65263

.6528.50)8.538.50(:=-Φ-Φ=?

??? ??-Φ-???? ??Φ=???

?????????-<-<-=

21．已知X —t(n)，求证X 2—F(1，n)

)

,1(2/1/2/22.),(2~),1,0(~/)(:n F x F n

V U V V U x V U n x V N U n

V U X n t X -=

-分布定义即知由于是

相互独立与且其中必有由证明

22．设n X X X ,...2,1为总体的一个样本，求下列各总体的密度函数中未知参数的极大似然估计量。

∑∑∏∑∑∏====+=-==-=

=-=

==-+=+-==+-=

>??

??≤≤-=>>??

???≤>+-=i i X n n i i x n d L d n X X X n

i x L n

i c n i X n

n i i x c n n

d L d n X X X n c n n

i i x c L x x x f c c x c

x x c x f 12)ln (2?,01

ln 212)(ln 1)....21(211

)()2(1

ln ln ?,1

0ln ln )

(ln )

1()...21(1)

1()()1(:,0,

,010,1)()2(,

0,0,

,0,)1()()1(θ

θθθ

θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ解得似然方程为

似然函数为解得似然方程为

似然函数为解为未知参数其中其它为未知参数

为已知其中

23．设总体为随机变量X ，且E （X ）=a （常数，未知），试说明样本平均值X 是a 的无偏估计量。

的无偏估计量

是即解a X n i a na n i X E n n i i X n E X E ∑∑==?==??

??==11

)(111)(:

24．设总体X 在[a,b]上服从均匀分布，a,b 未知，n X X X ,...2,1是一个样本，试求a,b 的矩估计量。

2)1

2(3(?2)12(3(?2

24/2)(12/2)(12/)(4

/2)(12

/2)()2(22

/)()(1:A A X b A A a

i X n A b a a b X A b a b a a b X E b a X E -+=--=?????

????

==++-==+++-==+==∑解得令解μμ

25．设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.1,6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,5.0。设干燥时间

总体服从正态分布N （μ，σ2），求μ的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知σ=0.6（小时）；

（2）若σ为未知。)

4416.6,5584.5()

8(025.03

5745

.00.6)

1(2)1(2,)2()392.6,608.5(96

.12.00.622,)1(:所以置信区间为现在置信区间为

未知时所以置信区间为现在置信区间为已知时解t n a t n

X n a t n S

X a z n X a z n X ±=-±

????? ??-±?±=±?

????

?±σ

σσ

26．随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差S=11（m/s ），设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间。

)

1.21,

43.7(,)1(222)1(,)1(2

22)1(95.0,:查表计算得代入有关数值的置信区间为

置信度为标准差由题条件解????????

? ?

?----n a

x S n n a x S n σ

27．某种电子元件的寿命x （以小时计）服从正态分布，μ，σ2均未知，现测得16只元件的寿命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时（取a=0.05）

小时

于认为元件平均寿命不大故接原假设由于计算得拒绝域为

此检验如下解225,0,7531.16685.07531.1)15(05.0,6685.0)

1(/0225:1225:0::H t t n a t n

S x t H H <==-≥-=>=≤μμμμ

求X 及Y 的边缘分布律

.23.0223.0204.02)2()2(2

.0=?+?+?-=-=X E

30．盒子有4个新乒乓球，2个旧乒乓球，甲从中任取一个用后放回（此球下次算旧球），乙再从中取一个，那么乙取到新球的概率是多少？

5923164622164)|()()|()()(2;1:=+=?+?=+=B A P B P B A P B P A P B 件由全概率公式

次取到新球的事表示第事件次取到新球的表示第设解

31．对于正态总体的大样本（n>30），S 近似服从正态分布N(σ，σ2/2n)，其中σ为总全的标准差，试证：σ的100（r 2）%的置信区间为

x Z S

n x Z S x

Z n S x Z x

x Z n S x Z P N n S n N S n

x Z S n

x Z S 2/2

12/2122/2122/2)1,0(2/)2/2,(::2/2

12/2

1-<<+<-<-∴-=???

???<-<--∴-<

<+σσσ

σσσσσσσ即则近似服从近似服从证解

32．总体X~N （μ，σ2）n X X X ,...2,1是来自总体区的容量n=16的样本，S 2是样本方差{}4375

.0475.195.075.1)15(95.0)4)116((1616/)

(:95.0)(.16

2)(11612=∴=-=<∴=>-=???

?????

>-=+>=+>=--=

∑k k

t P k t P k s u

Z P ks u X P K ks u X P i i Z S 有解值的试求满足

33．已知离散型随机变量X 服从对数为2的泊松分布，即...2,112)(===K K

K Z P 求X=3X-2的数学期望E （X ）。

)(42232)(3)23()(2

)(:=∴=-?=-=-=∴=X E X E X E X E X E 解

34．设随机变量X 与Y 独立，且X~N （1，2）Y~N （0，1）试求X=2X-Y+3的概密度。

18)5(231)(9)()(4)32()(53)()(2)32()(:2--

∴=+=+-==+-=+-=x e g z f Y D X D Y X D X D Y E X E Y X E X E π

解

35．设随机变量的分布律为P （Z=K ）=0....)2,1,0(1

>=λλk k

a ，确定a 。

λλλ

e a ae k k i k a k k k a k K Z P =∴=∞==∞

=∞

===∑∑

∑0

10101

)(:

解

36．设（X ，Y ）的密度函数为??

???>>-=其它,0,0,),(x y x y e y x f 求X ，Y 的边缘密度函数判别其独立性。

不独立

与其它同理

其它时当解Y Z y y f x z f y x f y y ye y y f x x e y x f x e x

dy y e dy

y x f X z f X ∴≠????

?>-=?????>-=∴-=∞

+-=∞

+∞-=>??)()(),(,00

,)(,00

,),(),()(,

37．设随机变量（X ，Y ）的概率密度为??

???

>>+-=其它,00

,0,)43(),(y x y x Ce y x f 求：常数C 及联合分布主数F （X ，Y ）。

?????>>----=∴----=∞+∞-∞+∞

-==∴∞+∞

?--=∞+∞-∞+∞

-∴+∞∞-+∞

∞-=????????其它

解,00,0)41)(31()

,()41)(31(),(),(12

12003),(1

),(:y x y e x e y x F y e x e dxdy

y x f y x F C c dy y e dx x e C dxdy y x f dxdy y x f

38．设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数????

?≥≥--+----=

其它

当,00,03331),(y x y x y x y x F 求二维随机变量

（X ，Y ）的联合φ（x,y ）解：可验证F （x,y ）是连续型二维随机变量的分布函数，则

?????≥≥--=∴--=???----=?????=

其它

,00

,0,)3(ln 3

),(2)3(ln 323ln 33ln 32),(2

y x y x y x y x y

x F

y x x X F

x F

y x φφ

39．测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出S=0.037%，设测定值总体为正态分布，σ2为总体方差试在水平a=0.05下检验假设 H 0:σ=0.04%, H 1:a<0.04%。

S h x x n x x x H H 接受现在

拒绝域为

解∴>=?=-===--≤=<==325.3707.72

0004.02

00037.09202)1(2325.3)9(205.0)1(212%04.00:1%04.001:0:σσσσσ

40．设随机变量X 的概率密度为????

?<≥-=0

,00

,32)(2

x x x e x x z P 求Y=X 2的概率密度函数P y (Y)。

{

}?????<≥-==-=≤≤-=≥=<==≤?0

,00,)(1)(0

232)(000)()()(:y y y ye y y F y y P y

x e x y

Z y P y y F y y y y F y y F y Y P 时解

41．设随机变量X 的分布函数为

???

???>≤≤<=1,110,20,0)(x x AX x x F 求常数

A 及X 的概率密度P （X ）。

?≤≤=???

???>≤≤<==∴=+==+其它

求寻得解,01

0,2)()(1,11

0,20,0)(1

1)01()1()1()01(:x x x P x F x x AX x x F A F A F F F

42．设随机变量X 的概率密度函数是+∞<<-∞-=x x e x f ,||2

1)(求X 的分布函数F （x ） ????

???≥--<=∴--=∞-+=

≥=∞-=

?≥-<=??0,2110,2

1)(2112121)(02

121)(00,2

10,2

1)(:x x e x x

e x F x e x dt t e x F x x

e x dt t

e x F x x x e x x

e x

f 时

当时当解

43．在长为a 线段上任取两点M 与N ，试求线段MN 长度的数学期望。

00)(00)(2100

1|||)(|,00,0,2

),(:

a a dx a dy a y a a dy y x a a a

axay

a y x Y Z E a

y a x a y x P =??????-+??????-=-=-∴?????≤≤≤≤=??????其它解

44．设总体X 服从区间[θ，2θ]上的均匀分布，θ>0是未知参数，n X X X ,...2,1是来自总体X 的容量为n 的样

本，记∑==n

i i Z n Z 1

1。证明：的无偏估计为θθZ 3

2?=。 θθθ

θθθθθθθ

=?==∴====∴?????≤≤=?

32)(3

2)32()?(23

)(2

32)(,02,1

)(:Z E Z E E EZ E dx x

Z E x x P X 其它的分布概率密度函数解

45．设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度函数为?

?<<<<=其它

,00,10,3),(x

y x x y x P 求X=X-Y 的概率密度函数。

???≤≤-===≥-=

>--=≤-=<≤=<其它

时当时

当时

当解,01

0),2

1(2

3)()(1)(,132

123)(1)()(000

0:Z Z z z F dz d z z P Z z F Z Z Z Z Y X P Z Y X P z z F X Z z F X

46．设随机变量Z 的概率密度为+∞

<<∞--=x x e x P |

1)(求E （Z ）及D （Z ）。

02)(2)]([)(0

||21)(:=∞

-=∞

+∞--==+∞

∞--?=???dx x e x dx

X P Z E X Z D dx x e x x Z E 解

47．对圆的直径作挖测量，设其值均匀地分布在[a,b]内，求圆面积的数学期望。

解：设圆直径为随机变量Z ，圆面积为Y 。

)22(12124)]([)(,0,1

)(2

4)(b ab a b a dx a b x X f E Y E b x a a

b x z P Z Z f Y ++=-==∴???

??≤≤-==

=?πππ

其它则

48．随机向量（X ，Y ）在区域D={(x,y)|0

21814)(22)12()(18

)(2)2()(211

022)2(321

02)(,01

0,22)(10,0||10,1),(1

:=?

==+==

-==

?==

?=??

?<<=∴-==<

?<<<=∴???Z D Z D Z D Z E Z E Z D xdx x Z E xdx x Z E x x z P x

dx x z P x x

y x y x P 其它时当其它面积为解

49．设n X X X ,...2,1是来自参数为λ的泊松分布为总体的一个样本，试求λ的极大似然估计。

Z n

i i

x n n i n i x n

i i i x n n i i x L n i i

i X e xi L x e x x Z P =====-=--===-=

-==∑∑∑∑∏

1?1

)ln[(1ln )(ln 1)()(1

][:λλλλλλλλ

λ令解

50．已知随机变量Z 的分布函数为

???????>≤<<=4

,14

0,40

,0)(x x x

x x F 求E （Z ）和D （Z ）。

122)04()(2

0)(04[,04

0,41

)()(:=

-==+=∴??

???≤<==

Z D Z E Z x dx x dF x P 上的均匀分布

服从其它

解

51．设随机变量（X ，Y ）的概率密度为??

?<<<<--=其它

,040,20),6()

,(y x y x k y x f (1)确定常数K ；（2）求P{Z<1.5}

275.1042)6(81

)5.1()2(8

18204

8)6(1),()1(:=--=<=

=∴=--∞+∞-∞

+∞-=??????dy y x dx Z P K K k

dy y x dx k dxdy y x f 即解

52．Z 的概率密度为

???>-=其它,00),22/(2

2)(x x e

x x f θθ

其中θ>0，θ为未知参数，求θ的极大似然估计值。

∑∑∑∑∏∏==∴==+-=-+=+

-==-

===

n i i

x n n i i x n n

i i x n

i i

x nLn L n

i x e i x n n

i i x f L i 12

21?0

12312)

ln 2)(ln 1222

)

,()(:22θ

θθθθθθθθθ令解

53．设总体Z 的概率密度为????

≤≤-=其它

,01

0,1)(x x x f θθ其中θ>0, θ为未知参数，求θ的矩估计量。

01)

(:+=-==?θθθθdx x X Z E i w 解

1?????

?-=∴=+Z Z Z a

θθ令

54．设随机变量Z 服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=Z2在（0，4）内的概率分布密度函数f y (y)，求f y (y)。

??<<=∴==∞-=∞-=≤≤-=≤=≤=>?????<<=??其它

时其它解,040,41

)(41)(1)(2

1)(()2(][)(0,02

0,2

)(:y y

y Y f y y Y

F y Y f y dx y dx x z f y

Z y P y Z P y Y P y y F y x x z f

55．已知

P(A)=P(B)=P(C)=4,P(AB)=6

,P(AC)=P(B),求A ，B ，C 均不发生的概率。 12

7]6143[1)]()()()([)]

()()([1)

(1)()(:=

--=+---++-=++-=++=ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 解

56．甲、乙、丙三人进行投篮比赛，已知甲的命中率为0.9，乙的命中率为0.8，丙的为0.7，现每人各投一次，求三人中至少有两人投中的概率。解：设A 为“甲投中”，B 为“乙投中”，C 为“丙投中”则

902

.0)()()(2)()()

()()()()

(2)()()()

()(,,7.0)(,8.0)(,9.0)(=--+=-++=++=+++===C P B P A p A P C P C P B P B P A P ABC p CA P BC P AB P CA BC AB P ABC CA BC AB P C B A C P B P A P 相互独立显然

57．某工厂生产的100个零件中有5个次品，采用不放回抽样，每次任取一个，求（i ）第一次抽次品。（1）第一次和第二次都抽到次品（2）第一，二，三次都抽到次品。

16170

198********)/()/()()(495

19941005)/()()(100

5)(:=

??===?===

AB C P A B P A P ABC P A B P A P AB P A P 解

58．若AB ，A>C,P(A)=0.9，

.0)8.01(9.0)](1[)()](1[)()()()(,:)

(8.0)(=--=+--=--=-=-∴>∴>>-=+C B P A P C B P A P BC P A P BC A P BC A C A B A BC A P C B P 解求

59．对以往数据进行分析，结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率为30%，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。设某日早上第一件产品是合格品，试问机器调整得主奶好的概率是多少？

9.03

.025.09.075.09

.075.0)

/()()/()()

/()()

/(75.0)(,3.0)/(,9.0)/(,"""":=?+??=+=

===B A P B P B A P B P B A P B P A B P B P B A P B A P B A 的概率为所求则调整良好机器为产品合格为设解

60．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的胸章，任选三人记录共胸章的号，求（1）最小号码为5；（2）最大号码煤矿的概率。

10242)2(121

310251)1(:=

=C C P C C P 解

61．一个工人看管12台同一类型的机器，在一段时间内每台机器需工人维修的概率为101

，求这段时间内至

少有两台机器需要工人维修的概率。解：设k A 为“K 台机器需维修”，则

341

.011

)109(10212)109(111)109)(101(112

12)109(0)101(012

112)109()101(12

)(≈?--=--=-=C C k k k C k A P

62．制帽厂生产帽子合格率为0.8，一盒中装有帽子4顶。一个采购员从每盒中随机地取出两顶帽子进行检验，若两顶帽子都合格，则买下这盒帽子，求每盒帽子被买下的概率。解：设B 为“一盒帽子被买下”，Ai 为“一盒帽子中有I 顶帽子合格”。则

.04

22324)2.0()8.0(4

)

/()()()4,3,2(242

)/()1,0(0)/()

4,3,2,1.0(4)2.0()8.0(4)(==-===∴=====-=∑∑i C i C x i x i x i C i A i B P i A P B P i C i C i A B P i i A B P i i i i C i A P

63．某种电子元件的寿命X （以小时计）服从正态分布，μ，σ2均未知，现测得16只元件的寿命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时（取a=0.05），已知t 0.05(15)=1.7531。解：此检验如下：

225,0,7531.16685.07531.1)15(05.0,6685.0)

15(05.0)1(/0225

:1225

0:0小时认为元件平均寿命大于设故接受原假由于计算得拒绝域为

H t t t n a t n

S x t H H <===-≥-=>=≤μμμ

四、综合题

1.对于正态总体的大样本（n>30），s 近似服从正态分布2n N σσ，（，其中σ为总体的标准差，试证：)%1100

ασ-（的的置信区间为n

n z

1221α

σα

-<<+

解：

)

2/2n N s σσ，（近世服从

)1,02/（近世服从N n

s σσ

-∴

则α

ασσ

α-=??

????

???<-<

-122/2

n s z P

2/2ασσαz

n s z <-<-∴ 即

n z

1221α

σα

-<<+

2.测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出S=0.037%，设测定值总体为正态分布，2

σ为总体方差试在水平α=0.05下检验假设%04.0:%,04.0:10<=σσH H 解:

220

05.021*********.3707.70004.000037.09)1(325

.3)9(1%

04.0%

04.0H s n x x n x x H H 所以接受现在）（拒绝域为>=?=

==-≤=<====-σσσσσα

3.总体X~N 162,12......),,(X X X σμ是来自总体区的容量n=16的样本，

值。

的（试求满足是样本方差

K KS X P i X i X S S 95.0),

(1161

22=+>=--=

∑μ

解：

()

(){}4375

.0475.195.075.1)15(95

.04)116(1616-==-=<=>-=????

??????>-=+>K K t P K t P K S X P KS

X P 所以有所以μμ

概率论第二章练习答案

《概率论》第二章练习答案一、填空题： ”2x c S 1 1.设随机变量X的密度函数为f(x)= 则用丫表示对X的3次独立重复的 0 其匕 '- 观察中事件(X< -)出现的次数，则P (丫= 2)= ___________________ 。 2 2.设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0

4. 设为随机变量，E =3, E 2=11,则 E (4 10) = 4E TO =22 5. 已知X的密度为(x)二ax?"b Y 01 0 . x :: 1 1 1 (x ) =P(X?),则 3 3 6. 7. 1 1 (X〈一)= P ( X〉一)一 1 (ax b)dxjQx b) 联立解得: dx 若f(x)为连续型随机变量X的分布密度，则J［f(x)dx= ________ 1 ——'J 设连续型随机变量汕分布函数F(x)=x2/：, 丨1, x ：： 0 0 岂 x ：：： 1，则 P ( E =0.8 ) = _0_; P(0.2 ：：：： 6) = 0.99 8. 某型号电子管，其寿命(以小时记)为一随机变量，概率密度：(x)二 x _100 x2，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不0(其他) 需要更换的概率为_____ 厂100 8/27 _________ x> 100

统计概率经典例题(含(答案)和解析)

统计与概率经典例题（含答案及解析） 1．（本题8分）为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： ⑴表中a和b所表示的数分别为：a= .，b= .； ⑵请在图中补全频数分布直方图； ⑶如果把成绩在70分以上（含70分）定为合格，那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名？ 2．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图：（1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有家．请将折线统计图补充完整；（2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的 2家企业恰好都是餐饮企业的概率． 3．（12分）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图．

根据以上信息解答下列问题：（1）求实验总次数，并补全条形统计图；（2）扇形统计图中，摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度？（3）已知该口袋中有10个红球，请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量．4．（本题10分）某校为了解2014年八年级学生课外书籍借阅情况，从中随机抽取了40名学生课外书籍借阅情况，将统计结果列出如下的表格，并绘制成如图所示的扇形统计图，其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%．类别科普类教辅类文艺类其他册数（本）128 80 m 48 （1）求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角a的度数；（2）该校2014年八年级有500名学生，请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本？ 5．（10分）将如图所示的版面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上（“A”看做是“1”）。（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；（3分）（2）从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是；（3分）（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树形图的方法求组成的

概率论(计算)习题

概率论计算： 1．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。（1）两只都是正品？（2）两只都是次品？（3）一只是正品，一只是次品？（4）第二次取出的是次品？解：设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1) 45 2897108)1|2()1()21(=?==A A P A P A A P (2) 45 191102)1|2()1()2,1(=?= =A A P A P A A P (3) 45 169810292108)1|2()1()1|2()1() 21()21(=???=+=+A A P A P A A P A P A A P A A P (4) 5 19110292108)1|2()1()1|2()1() 2(=???=+=A A P A P A A P A P A P 2．某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据~~~设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？解：设Bi （I=1,2,3）表示任取一只是第I 厂产品的事件，A 表示任取一只是次品的事件。（1）由全概率公式 0125 .003.005.001.080.002.05.0)3|()3()2|() 2()1|()1()(=?+?+?=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P （2）由贝叶斯公式 24 .00125.002.015.0) () 1|()1()|1(=?== A P B A P B P A B P 3．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。解：由等可能概型有：（1）12110 25== C C P ; （2） 1 10 24 ==C C P 4．6件产品中有4件正品和2件次品，从中任取3件，求3件中恰为1件次品的概率。解：设6件产品编号为1，2……6，由等可能概型 5336 1224== C C C P 5．设随机变量X 具有概率密度???? ?≤>-=0, 00 , 3)(x x x ke x f 。（1）确定常数k ；（2）求P （X>0.1）解：（1）由1)(=∞ -+∞ ?dx x f 有33 3303301==-+∞ =-+∞-??k k x d x e k dx x ke 所以（2） 7408 .0331 .0)1.0(=-+∞=>? dx x e x P 6．一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t ，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至多有3个设备被使用的概率是多少？（3）至少有1个设备被使用的概率是多少？解：由题意，以X 表示任一时刻被使用的设备的台数，则X~b(5,0.1)，于是（1） 0729.039.021.025 )2(===C X P （2） 9995 .051.0559.041.045[1)]5()4([1) 3(1)3()2()1()0()3(=+-==+=-=>-==+=+=+==≤C C X P X P X P X P X P X P X P X P

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案一、单选题 1. 在下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（）成立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（）．

《概率论与数理统计》课程练习计算题

三、解答题 1．设对于事件A 、B C 、有=)(A P 4/1)()(==C P B P ，0)()(==BC P AB P ， 8/1)(=AC P ，求A 、C B 、至少出现一个的概率。解：由于，AB ABC ?从而由性质4知，0)()(=≤AB P ABC P ，又由概率定义知 0)(≥ABC P ，所以0)(=ABC P ，从而由概率的加法公式得 )()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= 8 5 81341=-?= 2．设有10件产品，其中有3件次品,从中任意抽取5件，问其中恰有2件次品的概率是多少？解：设A 表示：“任意抽取的5件中恰有2件次品”。则5 10)(C n =Ω。5件产品中恰有2件次品的取法共有23C 37C 种，即23)(C A n =37C 。于是所求概率为 P A n A n ()()/()==Ω23C 37C /84/355 10=C 3．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。求：（1）第二次取出的是次品的概率；（2）两次都取到正品的概率；（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率。解：设i A 表示：“第i 次取出的是正品”（i =1，2），则（1）第二次取到次品的概率为 )(2121A A A A P 6 1 1221221221210=?+?= （2）两次都取到正品的概率为 )(21A A P )|()(121A A P A P =36 2512101210=?= （3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为 )(21A A P 36 51221210=?= 4．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：

概率统计习题及答案

1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ D ）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ） A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。（ C ） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ A ） A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本，下列哪一项是μ的无偏估计（ A ） A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为则常数C 为（ C ）（A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8

概率统计试题库及答案

、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为，事件“A 、B 、 C 都发生”可表示为， 5、设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三个事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现；至少有一个事件出现；至少有两个事件出现。（ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、以 A 表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销 ”，则其对立事件 A 表示。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3），试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否。（0，不成立） 14、设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ）。（0.7） 15、设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3，概率论与数理统计试题库不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ）；三个事件恰有一个发生为 ABC; ABC ABC ABC ）。；三个事件至少有一个发生为事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ）三个元件都正常工作；恰有一个元件不正常工作至少有一个元件正常工作。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）

概率论套练习题及答案

《概率论与数理统计》同步练习册学号＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿＿＿班级＿＿＿＿＿＿＿＿广东省电子技术学校继续教育部二O一O年四月

练习一一、选择题 1．设A ，B ，C 表示三个随机事件，则A B C 表示（A ）A ，B ，C 中至少有一个发生；（B ）A ，B ，C 都同时发生；（C ）A ，B ，C 中至少有两个发生；（D ）A ，B ，C 都不发生。 2．已知事件A ，B 相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.8，则P （A B ）＝ (A) 0.65 ; (B) 1.3; (C)0.9; (D)0.3。3．设X ～B （n ，p ），则有（A ）E （2X －1）＝2np ；（B ）E （2X ＋1）＝4np ＋1；（C ）D （2X ＋1）＝4np （1－p ）＋1；（D ）D （2X －1）＝4np （1－p ）。 4．X 的概率函数表（分布律）是 xi －1 0 1 pi 1/ 4 a 5/12 则a ＝（）（A ）1/3；（B ）0；（C ）5/12；（D ）1/4。 5．常见随机变量的分布中，数学期望和方差一定相等的分布是（A ）二项分布；（B ）标准正态分布；（C ）指数分布；（D ）泊松分布。二、填空题 6．已知:A={x|x<3} ,B={x|2a 有（1）-= -=-2 1)(1)(a F a F ? a dx x p 0 )(；（2）P （1 )(2)-=ξ。