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大学概率论习题一详解

（A ）

1、写出下列随机现象的基本事件空间

（1）一次（没有顺序）抛两枚完全相同的硬币，观察每枚硬币出现正面还是反面；（2）先后投两颗骰子，观察每颗骰子出现的点数；

（3）向某目标射击直到命中目标为止，观察射击的次数；

解（1）若=i ω“有i 枚正面朝上”2,1,0=i ，则),,{210ωωω=Ω （2）用),(y x 表示“第一次投出x 点，第二次投出y 点”，则

}6,,2,1,),{( ==Ωy x y x

（3）若=i ω“射击i 次才命中目标” ,2,1=i ，则+∈=ΩN i i ω{，+

N 为自然数集}。

2、在分别标有9,,1,0 数字的10张卡片中任取一张，令A 表示事件“抽得一张标号不大于3的卡片”；B 表示事件“抽得一张标号为偶数的卡片”；C 表示事件“抽得一张标号为奇数的卡片”。请用基本事件表示下列事件：

B A ，AB ，B ，B A -，A B -，B

C ，C B ，C B A )(

解令i 表示“抽得一张标号为i 的卡片”9,,1,0 =i ，则 }3,2,1,0{=A ，}8,6,4,2,0{=B ，}9,7,5,3,1{=C 。

因此，}8,6,4,3,2,1,0{=B A ，}2,0{=AB ，}9,7,5,3,1{==C B ，}3,1{=-B A ，

}8,6,4{=-A B ，Φ=BC ，Φ=C B ，}3,1{)(=C B A

3、某厂生产流水线上甲、乙、丙3部机床是独立工作的，并由一人看管，若用C B A ,,分别表示某段时间内甲、乙、丙机床不需要照顾。试用C B A ,,表示下列事件:

（1）这段时间内有机床需要看管；（2）这段时间内因机床故障看管不过来而停工。

解（1）ABC 或C B A ++

（2）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ 4、判断下列结论是否正确

（1）B A AB A B A =-=- （2）A B )B A (=-+

（3）A B )B A (=+- （4）)C B (A C )B A (+-=-- 解（1）√ （2）× （3）× （4）√

5、先用图示法简化下列各式，在利用定义或运算律证明（1）))((C B B A ++ （2）))((B A B A ++ （3）))()((B A B A B A +++

解（1）AC B C B B A +=++))((（图示略）证明：)()())((C B B C B A C B B A +++=++

B A

C AB ++= AC B AB ++= AC B AB ++=)( AC B +=

（2）A B A B A =++))((（图示略）

证明：)()())((B A B B A A B A B A +++=++

B B BA A ++= BA A += A =

（3）AB B A B A B A =+++

))()((（图示略）

证明：))(())()((B B A B AB A A B A B A B A B A ++++=+++

))((A B AB B A ++=

A B B BAB A B A AAB +++= AB AB += AB =

6、先后抛两枚匀称的硬币，求至少出现一个正面的概率。解 4

)(A P 7、盒中有a 个白球，及b 个黑球，从中任取m n +（b m a n ≤≤,），求所取的球恰有n 个白球和m 个黑球的概率。

解 m n b

a m

b n a C C C A P ++=

)(

8、盒中有a 个白球，及b 个黑球，从中任意接连取1+k 次（b a k +≤+1），球被取出

后不还原，求最后取出的球是白球的概率。

解 b a a P P C A P k b a k b a a +=

++-+1

1)( 9、有r 封信随机地投入n 个邮筒，求下列事件的概率: （1）某指定k )(r k ≤个邮筒中各只有一封信；（2）有k )(r k ≤个邮筒中各只有一封信；（3）某指定的一个邮筒中恰有)(r k k ≤封信.

解因为每一封信都有n 个邮筒可供选择，所以r 封信投放到n 个邮筒共有r

n 种。（1）某指定k )(r k ≤个邮筒中各只有一封信，其可能的总数为k r k r k n k C --)(!，于是，

所求的概率为

r k r n

k n k C P --=)(!1 （2）有k )(r k ≤个邮筒中各只有一封信，其可能的总数为k r k r k

n k n k C C --)(!，于是，所

求的概率为

r k r k

n n k n k C C P --=)(!2

（3）某指定的一个邮筒中恰有)(r k k ≤封信，其可能的总数为k

r k r n C --)(1，于是，所

求的概率为

r k r n n C P --=)(13

10、从正整数1、2、…、N 中有放回地抽取n 个数，求抽到的最大数恰好是k 的概率解 “所取数不大于k ”与“所取数不大于1-k ”的差额即“所取数的最大者k ”。因此，所求的概率

=p n

n N k k )1(--

11、自前n 个正整数中随意取出两个数，求两个数之和是偶数的概率p 。

解这是一道古典型概率的题．引进事件=A {取出的两个数之和是偶数}．若k n 2=为偶

数，则自前n 个正整数中随意取出两个数有2C n 种不同取法，其中导致事件A 的有2

C 2k 种（

“取到两个偶数”和“取到两个奇数”各2C k 种）

，因此 )1(22

C 2C )(22--=

=n n A n

k P ．若12+=k n 为奇数，则自前n 个正整数中随意取出两个数有2C n 种不同取法，其中导致事

件A 的有2

12C C ++k k 种（“取到两个偶数”的2C k 种，“取到两个奇数”的21C +k 种），因此 n n n n k A n

k k 21)1(2C C C )(222

2-=

-=+=+P ．于是，两个数之和是偶数的概率为

??????

?---=为奇数．，若为偶数，，若n n

n n n n p 21 )

1(22

12、从n 双不同的手套中任取k 2只，求其中恰有)(2k m m <只配成m 双的概率。

解 k

m k m k m n m n C C C p 22)(2)(22

---= 13、某地铁每隔五分钟有一列车通过，某乘客对列车通过该站时间完全不知道，求该乘客到站等车时间不多于2分钟的概率。

解设A={每一个乘客等车时间不多于2分钟}，乘客到该站时刻为],(21T T T ∈，1T 为前一列车开出时刻，2T 为后一列车到达时刻，512=-T T ，)2(2≤-=T T A ，由几何概型的概率得

2)(=

A P . 14、设事件A 与

B 互不相容，且p A P =)(，q B P =)(，求)(AB P ，)(B A P +，

)(B A P ，)(B A P

解 0=)(AB P ，q p B A P +=+)(，p B A P =)(，q p B A P --=1)(

15、盒中有10个球，6个白球，4个黑球，从中一次任取3球。求至少有一个白球的概率。

解记=A “至少有一个白球”，则=A “均为黑球”。

113103

-=-=C C A P A P )()( 16、投两颗匀称的骰子,求至少有一颗的点数大于3的概率。

解记=i A “第i 颗的点数大于3”21,=i ，2

16321==

=)()(A P A P ，41

32221==)(A A P 。

412121212121=-+=

-+=+)()()()(A A P A P A P A A P 。 17、设C B A ,,为事件,证明:

)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=++ )()()()(C P B P A P C B A P ++≤++

提示：利用两个事件的广义可加性

18、将一枚硬币重复掷12+=k n 次，试求正面出现的次数多于反面出现的次数的概率。解设=A {正面出现的次数多于反面}，则=A {正面出现的次数不多于反面}．由于掷的次数12+=k n 是奇数，可见=A {正面出现的次数小于正面}．于是，由对称性知A 和A 的概率相等：

1)()(=

=A A P P ． 19、在某铁路编组站需要编组发往三个不同地区1E ，2E 和3E 的各2节、3节和4节车皮。假设编组的顺序是完全随机的，求发往同一地区的车皮恰好相邻的概率α．

解用乘法公式来解．引进事件：=i B {发往i E 的车皮相邻})3,2,1(=i ．将发往21,E E 和3

E 三个不同地区统一编组，且使发往同一地区的车皮恰好相邻的总共有3!=6种不同情形，其中每种情形对应1B ,2B 和3B 的一种排列，且6种排列都是等可能的，因此)(6321B B B p P =．由乘法公式，有

.12601

1567! 389! 2)|()|()()(213121321=?????=

=B B B B B B B B B P P P P 0048.0210

12606)(6321≈===B B B P α．

20、某市一项调查表明:该市有30%的学生视力有缺陷。7%学生听力有缺陷,3%学生视力与听力都有缺陷,记=E “学生视力有缺陷”，=H “学生听力有缺陷”，=EH “学生视力与听力都有缺陷”。

（1）已知学生视力有缺陷，问他听力有缺陷条件概率；（2）已知学生听力有缺陷，问他视力缺陷条件概率；

（3）随意找一个学生，他视力没有缺陷但听力有缺陷的概率；（4）随意找一个学生，他视力有缺陷但听力没有缺陷的概率；（5）随意找一个学生，他视力和听力都没有缺陷的概率。

解（1）1.03.003

.0)()()(===

E P HE P E H P

（2）7

07.003.0)()()(===

H P EH P H E P （3）04.007.0)7

1()())(1()()()(=?-=-==H P H E P H P H E P H E P （4）270030101..).()()()(=?-==E P E H P H E P

（5）66.0)]()()([1)(1)()(=-+-=-==EH P H P E P H E P H E P H E P

21、 10件产品，其中6件合格品，4件次品，从中依次取两次，取后不还原，求第二次才取到正品的概率。

解令A=“第一次取到正品”，B=“第二次取到正品”，则“第二次才取到正品”=B A 15

496104)/()()(=?=

=A B P A P B A P 22、设10件产品中有4件不合格品，从中任意取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也不合格的概率。

解设i A 任取两件恰有i 件不合格品，2,1=i 。

)1/()()()())(()(210

262102

421221212212=-=+=++=+C C C C A A P A P A A P A A A P A A A P

或设i A 表示第i 件不合格，2,1i =。

)1/()()()(210

262102

421212121=

-=+=+C C C C A A P A A P A A A A P 23、10个考签中有4个难签，甲、已、丙3人依次参加抽签（不放回）求下列事件的概

率：（1）甲抽到难签；（2）甲、已都抽到难签；（3）甲没抽到难签，已抽到难签；（4）甲、已、丙都抽到难签。

解设C B A ,,分别表示甲、已、丙抽到难签。

（1）10

)(A P ；（2）15293104=?=

=)()()(A B P A P AB P （3）15

494106=?=

=)()()(A B P A P B A P （4）30

18293104=??==)()()()(AB C P A B P A P ABC P 24、盒中有一个红球和一个白球，先从盒中任取一球，若为红球，则试验终止，若取到白球，则把白球放回的同时再加进一个白球，然后再取下一球，如此下去，直到取得红球为止。求第n 次取到红球的概率

解设i A =“第i 次取球取得白球”n i ,,2,1 =

则=-n n A A A A 121 “第k 次取到红球”

，在第k 次取球时，盒中共有k 个白球和一个红球，所以

)(121n n A A A A P - )()()()(1212211121---=n n n n A A A A P A A A A P A A P A P

)

1(11113221+=+-=n n n n n 25、设C B A ,,是三个相互独立的随机事件，且1)(0<

是否相互独立：

（1）B A +与C （2） AC 与C

（3） B A -与C (4) AB 与C 解（1）独立；（2）不独立；（3）独立；（4）独立

26、设A 、B 相互独立，,3.0)(,2.0)(==B P A P 求下列条件概率：（1）)|(B A AB P +；（2）)|(B A A P +；（3）)|

(B A B A P +-；

（4）)|(B A B A P -+ 解（1）)|(B A AB P +=

223

)B A (P )AB (P =+

（2）)|(B A A P +=

)B A (P )A (P =+ （3）)|(B A B A P +-=227

)B A (P )B A (P =+-

（4）)|(B A B A P -+=

B A (P )

B A (P =--

27、一架飞机有二个发动机，向该机射击时，仅当击中驾驶舱或同时击中二个发动机时，飞机才被击落。又知击中驾驶舱概率为α，击中每个发动机概率为β，求飞机被击落的概率。

解记A =“击中驾驶舱”

=B “击中第一个发动机” =C “击中第二个发动机” =E “飞机被击落”

则)(BC A E +=

)()()()(ABC P BC P A P E P -+= 因C B A ,,相互独立，得

2αβ

-β+α=-+=)

()()()()()()(C P B P A P C P B P A P E P

28、甲、乙、丙3部机床独立的工作(流水线上)，由一人看管，某段时间内各机床不需要看管的概率分别是0.9，0.8，0.85。求下列事件的概率：

（1）在这段时间内有机床需要看管；（2）因机床看管不过来而停工。

解令C B A ,,分别表示甲、乙、丙机床不需要照顾。

E 表示有机床需要看管

F 表示机床看管不过来而停工

则ABC E = C B A C B A C B A C B A F +++=

（1）)()()()()()(C P B P A P ABC P ABC P E P -=-==11

388085080901....=??-= （2）)()()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P F P +++=

059

0.)

()()()()()()()()()()()(=+++=C P B P A P C P B P A P C P B P A P C P B P A P

29、某型号的高射炮，每门命中敌机的概率为0.4,现若干门炮同时射击,欲以99%的把握击中敌机,问至少要配置几门高射炮?

解设配置n 门炮同时射击，令=i A “第i 门射击命中”n i ,,, 21= 则“击中敌机”=

i i

n n

i i n

i n

i i i A P A P A P A P ).()()()()(6011111

-=-=-=-=∏====

欲以99%的把握击中敌机，须满足

990601.).(≥-n

即 01060.).(≤n

0292218

0260010...lg .lg =--=≥n

可见需要配置10门炮，才能以99%把握击中敌机。

30、用晶体管装配某仪表要用128个元器件，改用集成电路元件后，只要用12个就够了，如果每个元器件能用2000小时以上的概率是0.996，假如只有当每一个元器件都完好时，仪表才能正常工作，试分别求出上面两种场合下仪表能正常工作2000小时的概率。

解设事件A 为“仪表正常工作2000小时”，事件i A 为“第i 个元器件能工作到2000小时”。

（1）使用晶体管装配仪表时，应有

599

09960128

1282112821.).()()()()

()(====A P A P A P A A A P A P

（2）使用集成电路装配仪表时，应有

953

0996012

12211221.).()()()()

()(====A P A P A P A A A P A P

比较上面两个结果可以看出，改进设计，减少元器件数能提高仪表正常工作的概率。 31、甲、乙两人进行乒乓球比赛，根据以往经验每局甲胜的概率为p （2

p ），问对甲而言，采取三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利，设各局胜负相互独立。

解采用三局二胜制最终甲获胜的概率为

)(p p p p -+=12221

采用五局三胜制最终甲获胜的概率为

2432332)1()1(p p C p p C p p -+-+=

而012132212>--=-)()(p p p p p

可见，采用五局三胜制对甲有利。

32、有甲、乙两口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋任取一球。

（1）求取到白球的概率；

（2）若从乙袋取出白球，问从甲袋中取到哪种颜色的可能性大？解（1）令A=“从甲袋中取出的是白球”

B=“从乙袋中取出的是白球”

则12

5)/()()/()()(=+=A B P A P A B P A P B P （2）5

)()/()()/(==

B P A B P A P B A P

)()/()()/(==

B P A B P A P B A P

故从甲袋中取出的球是白球的可能性大。

33、玻璃杯成箱出售，每箱20只，设每箱含0，1，2，只残品的概率分别为0.8、0.1和0.1，顾客购买时，售货员随意取一箱，而顾客随意查看4只，若无残品，则买下，否则，退回。求（1）售货员随意取一箱，顾客买下的概率；（2）在顾客买下一箱中，没有残品的概率。解令i A =“任取一箱中有i 只残品”2,1,0=i ，B =“任取一箱，顾客买下”。

已知800.)(=A P ，101.)(=A P ，102.)(=A P ，且不难算出

10=)(A B P ，801.)(=A B P ，19

)(A B P 。（1）由全概率公式得

)(B P ＝9402

.)()(=∑=i i i A B P A P

（2）由逆概率公式得

8500000.)

()

()()()()/(===B P A B P A P B P B A P B A P

34、一大批产品，次品率为0.1，每次任取一件，取后不还原，求三次中恰有两次取到次

品的概率。

解 122