概率论习题及答案习题详解
222
习题七
( A )
1、设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，n X X X ,,,21 为取自
X 的一个样本，试求参数p 的矩估计量与极大似然估计量.
解：由题意，X 的分布律为： ()(1),0k N k
N P X k p p k N k -??==-≤≤
???
. 总体X 的数学期望为
(1)(1)
011(1)(1)
1N
N
k N k k N k k k N N EX k p p Np p p k k ----==-????=-=- ? ?-????
∑∑ 1((1))N Np p p Np -=+-=
则EX p N =
.用X 替换EX 即得未知参数p 的矩估计量为?X
p
N
=. 设12,,n x x x 是相应于样本12,,n X X X 的样本值，则似然函数为
11
1211(,,;)()(1)
n
n
i
i
i i n
n
x nN x n i i i i N L x x x p P X x p p x ==-
==∑
∑??===?- ???
∏∏
取对数
11
1ln ln ln ()ln(1)n
n
n
i i i i i i N L x p nN x p x ===??=+?+-?- ???∑∑∑，
11
ln (1)
n
n
i i
i i x nN x d L dp p p ==-=--∑∑.
223
令
ln 0d L
dp
=，解得p 的极大似然估计值为 11?n
i i x n
p
N
==∑. 从而得p 的极大似然估计量为
11?n
i i X X n
p N N
===∑.
2,、设n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,X 的概率密度为
2
2,0(;)0,
x
x f x θ
θθ?<，求θ的矩估计. 解：取n X X X ,,,21 为母体X 的一个样本容量为n 的样本，则
20
22
()3
x
EX xf x dx x dx θ
θθ+∞
-∞
==?
=?
? 3
2
EX θ?=
用X 替换EX 即得未知参数θ的矩估计量为3
?2
X θ
=. 3、设12,,,n X X X 总体X 的一个样本, X 的概率密度为
??
??
?≤>=--0
,0,
0,
);(1x x e x x f x α
λαλαλ 其中0>λ是未知参数，0>α是已知常数,求λ的最大似然估计.
解：设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为
224
1()
1121
(),0
(,,,;)0,n
i i n x n n i i n i x e x L x x x αλαλαλ=--=?∑??≥=??
?
∏ 其他 取对数 1
1
ln ln ln (1)(
ln )()n n
i
i
i i L n n x x αλααλ===++--∑∑
解极大似然方程 1ln 0n i i d L n x d α
λλ==-=∑
得λ的极大似然估计值为1
?n
i
i n
x α
λ
==∑
从而得λ的极大似然估计量为1
?n
i
i n
X α
λ
==∑.
4、设总体X 服从几何分布 ,10,,2,1,)
1()(1
<<=-==-p k p p k X P k
试利用样本值n x x x ,,,21 ,求参数p 的矩估计和最大似然估计.
解：因1
11
1
1
(1)
(1)k k k k EX k p p p k p p
∞
∞
--===
?-=?-=
∑∑, 用X 替换EX 即得未知参数p 的矩估计量为1
?p
X
=. 在一次取样下，样本值12(,,,)n x x x 即事件
1122{},{},,{}n n X x X x X x === 同时发生，由于12,,,n X X X 相
互独立，得联合分布律为
121122(,,,;)()(),,()n n n L x x x p P X x P X x P X x ====
225
12111(1)(1)(1)n x x x p p p p p p ---=-?-- ,
即得极大似然函数为
1
()(1)n
i i x n
n
L p p p =-∑=-
取对数 1
ln ()ln (
)ln(1)n
i i L p n p x n p ==+--∑
解极大似然方程 1ln ()01n
i i x n
d L p n dp p p =-=-=-∑ 得p 的极大似然估计值为1
1?1
n
i i p
x n ==∑
从而得p 的极大似然估计量为1
11?1n
i i p
X
X n ===
∑. 5、设总体X 的概率密度为()1;exp ,2x f x σσσ??
=
-????
0σ>为未知参数, n X X X ,,,21 为总体X 的一样本,求参数σ的最大似然估计.
解：设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为
1211
11
(,,,;)(;)(;)exp{||}(2)
n
n n i
n
i L x x x f x f x x σσσσσ
====-
∑ 取对数
121
1
ln (,,,;)ln(2)||n
n i
i L x x x n x σσσ
==--
∑
226
解极大似然方程 21ln 1||0n
i i d L n x d σσσ==-+=∑
得σ的极大似然估计值1
1?||n
i i x n σ
==∑ 从而得σ的极大似然估计量为1
1?||n
i i X n σ
==∑. 6、证明第5题中σ的最大似然估计量为σ的无偏估计量.
证明：由第5题知σ的最大似然估计量为1
1?||n
i i X n σ
==∑ 故 11
11?(||)||n n
i i i i E E X E X n n σ
====∑∑ 又1||||||exp{}2i x E X x dx σσ
+∞
-∞=
?
-? 0012exp{}exp{}()2x x x x dx x d σσσσ
+∞+∞=?-=?-??
00
[exp{}|exp{}]x x
x dx σσ
σ
+∞+∞=-?---=?
从而 ?E σ
σ=，即?σ是σ的无偏估计. 7,、设总体X 的概率密度为()2
2
22
20;0x x e x f x σσσ-??>=???
，，，其它.,20
σ>为未知参数, n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本,求参数2
σ的的矩估计量和最大似然估计量.
解：因2222
(;)2x x
EX x f x dx x e dx σσσ
-
+∞
+∞
-∞
=
?=?
?
?
2222
22
2220
2()[2|
2]x x x xd e xe
e
dx σσσ-
--
+∞
+∞+∞
=-=--?
?
227
2
22
2
220
2x x e dx e
dx σσ-
-
+∞
+∞
===?
用X 替换EX 即得未知参数σ
的矩估计量为?X σ
= 从而得未知参数2σ
的估计量为2
2?)X σ
= 设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为
212
1
1()
22221
1212(,,,;)(;)(;)n
i n
i
x i n n n
x
L x x x f x f x e
σ
σσσσ
=-
=∑==
∏
取对数
2
2
2
1
1
1ln ln ln 2n
n
i i
i i L x n x
σσ
===--
∑∑
解极大似然方程
2
224
1ln 102n
i
i d L n x
d σσσ==-+
=∑
得2
σ的极大似然估计值2
2
1
1?2n i i x n σ==∑
从而得未知参数2
σ的估计量为2
2
1
1?2n i i x n σ==∑. 8、设总体),(~2
σμN X ,μ已知,σ为未知参数, n X X X ,,,21 为
X 的一个样本,∑=∧
-=n
i i X c 1
||μσ, 求参数c ,使∧
σ为σ的无偏估计.
解：由无偏估计的定义，要使∧
σ为σ的无偏估计，则?E σ
σ=
228
又1
1
?(||)||n
n
i
i i i E E c X
u c E X u σ
===-=-∑∑
由题意知总体),(~2σμN X ，从而
22
()2||||x u i E X u x u dx σ--
+∞
-∞
-=-?
222
2
()()22[()]()x u x u u
u
x u dx x u dx σσ----+∞
-∞
=--+-??
且
22()220
()x u y x u y u
x u dx
dy σσ--=--
+∞
+∞
-=?
?
22
2220
()2y y e
d σ
σ-
+∞
=-=
由对称性有
||i E X u -=
从而有
σ=
，即2c n =.
9、设θ?是参数θ的无偏估计量,且有0)?(>θ
D ,试证22)?(?θθ=不是2θ的无偏估计量.
证明：因为θ?是参数θ的无偏估计量，故?E θ
θ=，且0)?(>θD 有22222?????()()()()E E D E D θ
θθθθθθ==+=+> 即22)?(?θθ
=不是2
θ的无偏估计量. 10、设总体),(~2
σμN X ,321,,X X X 是来自X 的样本,试证：估计量
32112110351?X X X ++=μ
;
321212
5
4131?X X X ++=μ
;
321321
6131?X X X ++=μ
229
都是μ的无偏估计,并指出它们中哪一个最有效.
证明：总体),(~2σμN X ,321,,X X X 是来自X 的样本，则
1123123131131
?()51025102E E X X X EX EX EX u μ
=++=++= 2123123115115
?()34123412E E X X X EX EX EX u μ
=++=++= 3123123111111
?()362362
E E X X X EX EX EX u μ
=++=++= 即估计量123???,,μ
μμ都是μ的无偏估计. 又
2
11231231311911?()510225100450D D X X X DX DX DX μσ=++=++=22123123115112525
?()341291614472D D X X X DX DX DX μσ=++=++=
231231*********
?()362936418
D D X X X DX DX DX μ
σ=++=++= 有 213???D D D μ
μμ<<，从而估计量2?μ最有效. 11,、设12,,,n X X X 是总体()
20,X N σ 的一个样本,2
0σ>,证
明：2
1
1n i i X n =∑是2σ的相合估计量.
证明：由题意，总体()
20,X N σ ，则22
0,EX EX σ==
由样本的独立同分布性知
222
1111()n n i i i i E X EX n n σ====∑∑，即211n i i X n =∑是2σ的无偏估计.
22
2
11
11
()()n n
i i
i i D X D X
n n
===∑∑
又2
4
22
()()i i i D X EX EX =-，且
230
222
222244
32222|3]x x x i EX x dx x e x e dx σσσ
---+∞
+∞+∞-∞-∞
-∞
==-?
?
22
2
2423x x e dx σσ-+∞
-∞
==
故2422444()()32i i i D X EX EX σσσ=-=-=，
有4
2112()0()n i i D X n n n σ==→→∞∑
故2
1
1n i i X n =∑是2σ的相合估计量 12、设总体X 的数学期望为μ,方差为2σ,分别抽取容量为1n 和2n 的两个独立样本,1X ,2X 分别为两样本均值,试证明:如果,a b 满足
1a b +=,则12Y aX bX =+是μ的无偏估计量,并确定,a b ,使得()
D Y 最小.
解：由题意，2
,EX u DX σ==，且1X ,2X 分别为容量为1n 和2n 的两个独立样本得样本均值，故2
111
,EX u DX n σ==
，2
222
,EX u DX n σ==
.
当1a b +=时，有12()EY aEX bEX a b u u =+=+=，即
12Y aX bX =+是μ的无偏估计量.
222
2
2
1212
()a b DY a DX b DX n n σ=+=+
令22
12
(1)()a a g a n n -=+
，由()0g a '=知函数()g a 的稳定点为
231
112n a n n =
+，且11212
11
()2()0n g n n n n ''=+>+，故112n a n n =
+为函数唯一极小值点，即当12
1212
,n n a b n n n n =
=
++时，()D Y 最小. 13、设12,,,n X X X 是总体X 的一个样本, X 的概率密度为
();f x θ,0θ>,未知，已知
()222nX
n χθ
,试求θ的置信水平为1α
-的置信区间.
解：由题意，统计量
()222nX
n χθ
，则给定置信度为1α-时，有
()()22
12
2(22)1nX
P n n ααχχαθ
-≤
≤=-
()(
)22
12
22(
)122nX nX P n n ααθαχχ-?≤≤=- 由置信区间的定义知，θ的置信水平为1α-的置信区间为
()()221222,22nX nX n n ααχχ-
?? ? ? ???
.
14、从大批彩色显像管中随机抽取100只,其平均寿命为10000小时,可以认为显像管的寿命X 服从正态分布.已知均方差40=σ小时,在置信水平0.95下求出这批显像管平均寿命的置信区间.
解：设12,,,n X X X 是母体X 的样本容量为n 的子样，则显像管平均寿命(10000,16)X N
构造统计量(0,1)X u
U N σ
-=
，有
232
1112
2
2
(||)1(1P U U
P X U U X U
ααααα
-
-
-
<=-?-<<+=-由题意10.950.05αα-=?=，查表可得0.975 1.96U =，故显像管平均寿命X 的置信度为95%的置信区间为：
(10000(100007.84)-+=±. 15、设随机地调查26年投资的年利润率(%),得样本标准差(%)15=S ,设投资的年利润率X 服从正态分布,求它的方差的区间估计(置信水平为
0.95).
解：由题意，构造统计量2
2
22
(1)(1)n S n χχσ
-=- ，则给定置信水
平为1α-，有
2
2
22
12
2
(1)((1)(1))1n S P n n ααχχασ
---<
<-=-
222
2212
2
(1)(1)()1(1)(1)
n S n S P n n αασαχχ---?<<=---
取26,0.15,10.95n S α==-=，查表可得2
0.025(25)13.120χ=， 20.975(25)40.616χ=，故方差的置信度为95%的置信区间为
22
2212
2
(1)(1)(,)(0.014,0.043)(1)(1)
n S n S n n ααχχ---=--. 16,、从一批钉子中抽取16枚,测得其长度为(单位:厘米)2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11.设钉子的长度X 服从正态分布,试求总体均值μ的置信水平为0.90的置信区间.
233
解：设1216,,,X X X 是母体X 的样本容量为16的子样，由题意知
2.215X =，242.933310S -=?.
构造统计量(1)X u
t t n S -=
- ，有
1112
2
2
(||)1(1P t t
P X t u X t ααααα
-
-
-<=-?-<<+=-由题意10.900.10αα-=?=，查表可得0.95(15) 1.7459t =，故显像管平均寿命X
的置信度为90%的置信区间为：
(2.1175,2.1325)
=±. 17、生产一个零件所需时间(单位：秒)),(~2σμN X ,观察25个零
件的生产时间得5.5=x ,73.1=s .试求μ和2
σ的置信水平为0.95的置
信区间.
解：设1225,,,X X X 是母体X 的样本容量为25的子样，由题意知
5.5X =， 1.73S =.
构造统计量(1)X u
t t n -=
- ，有
1112
2
2
(||)1(1P t t
P X t u X t ααααα
-
-
-<=-?-<<+=-由题意10.950.05αα-=?=，查表可得0.975(24) 2.0639t =，故参数μ的置信度为95%的置信区间为：(4.786,6.214)(5.50.714)=±.
234
构造统计量2
2
22
(1)(1)n S n χχσ
-=- ，则给定置信水平为1α-，
有
2
2
22
12
2
(1)((1)(1))1n S P n n ααχχασ
---<
<-=-
222
2212
2
(1)(1)()1(1)(1)
n S n S P n n αασαχχ---?<<=---
取16, 1.73,0.05n S α===，查表可得2
0.025(15) 6.2621χ=， 20.95(15)27.4884χ=，故方差的置信度为95%的置信区间为
(1.825,5.792).
18、产品的某一指标),(~2σμN X ，已知04.0=σ，μ未知.现从这批产品中抽取n 只对该指标进行测定,问n 需要多大,才能以95%的可靠性保证μ的置信区间长度不大于0.01?
19、设A 和B 两批导线是用不同工艺生产的,今随机地从每批导线中抽取5根测量其电阻,算得7
2
1007.1-?=A s ,6
2
103.5-?=B s ,若A 批导线的电阻服从),(2
11σμN ,B 批导线的电阻服从),(2
22σμN ,求2
22
1σσ的置信水平为0.90的置信区间.
20,、从甲乙两个蓄电池厂的产品中分别抽取6个产品,测得蓄电池的容量(A.h)如下:
甲厂 140 , 138 , 143 , 141 , 144 , 137;
乙厂135 , 140 , 142 , 136 , 138 , 140
设蓄电池的容量服从正态分布,且方差相等,求两个工厂生产的蓄电池的容量均值差的95%置信区间.
（ B ）
1、设总体X 的概率分别为
235
其中102θθ??
<<
???
是未知参数,利用总体X 的如下样本值: 3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3
求θ的矩估计值和最大似然估计值.
解：由题意可知总体X 为离散型随机变量，则总体X 的数学期望为
()3
20
()2123(12)34k EX kP X k θθθθθ====-++-=-∑
有34
EX
θ-=
，由样本值可知2X =，用X 替换EX 即得未知参数θ的 矩估计量为3?4
X θ
-=，矩估计值1?4θ
=. 设12340,1,2,3x x x x ====是相应于样本1234,,,X X X X 的样本值，则似然函数为
12341234(,,,;)(0)(1)(2)(3)L x x x x P X P X P X P X θ=====
462(12)4(1)θθθ=--
取对数 ln 4ln(12)6ln 42ln(1)L θθθ=-++- 解极大似然方程
ln 862
0121d L d θθθθ
-=+-=-- 有2
121430θθ-+=
，从而7?12
θ
=
又当?θ
=
1210θ-=<矛盾，故舍去. 所以θ
的最大似然估计值?θ
= 2、设()111?? ,,n X X θθ= 和()221??,,n
X X θθ= 是参数θ的两个相
236
互独立的无偏估计量,且方差()()
12
??2D D θθ=,试确定常数,a b ,使得12
??a b θθ+是θ的无偏估计量,且在一切这样的线性估计类中方差最小. 解：由题意，1? θ和2
?θ是参数θ的两个相互独立的无偏估计量，则 12
??,E E θθθθ==.要使得12??a b θθ+是θ的无偏估计量，有 1212
????()()E a b aE bE a b θθθθθθ+=+=+=恒成立，即1a b +=. 又1? θ，2
?θ相互独立，且()()
12??2D D θθ=，则 222212122
?????()()()(2)()D a b a D b D a b D θθθθθ+=+=+ 令2222()22(1)g a a b a a =+=+-，由()0g a '=知函数()g a 的稳定 点为13a =
，且1()03g ''>，故线性估计类中方差最小时13a =，2
3
b =. 3、在测量反应时间中,一心理学家估计的标准差为0.05秒,为了以
0.95的置信水平使他对平均反应时间的估计误差不超过0.01秒,应取多大的样本容量.
习题八
1．在正常情况下，某炼钢厂的铁水含碳量（%）2
(4.55,)X N σ .一日测得5炉铁水含碳量如下：
4.48，4.40，4.42，4.45，4.47
在显著性水平0.05α=下，试问该日铁水含碳量得均值是否有明显变化. 解：设铁水含碳量作为总体X ，则2
(4.55,)X N σ ，从中选取容量为5的样本，测得2
4.444,0.0011X S ==.由题意，设原假设为0: 4.55H u =
237
构造检验统计量
||
(4)X u t t -=
，则7.051t =
= 在显著性水平0.05α=下，查表可得0.97512
(4)(4) 2.77647.051t
t α
-
==<，
拒绝原假设0H ，即认为有显著性变化.
2．根据某地环境保护法规定，倾入河流的废物中某种有毒化学物质含量不
得超过3ppm.该地区环保组织对某厂连日倾入河流的废物中该物质的含量的记录为：115,,x x .经计算得知
15
1
48i
i x
==∑, 15
21
156.26i i x ==∑.
试判断该厂是否符合环保法的规定.（该有毒化学物质含量X 服从正态分布）
解：设有毒化学物质含量作为总体X ，则2(,)X N u σ ，从中选取容量为
15
的
样
本
，
测
得
15
1
1 3.2
15i i X x ===∑，
2
2
221111()()0.1911n n
i i i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑.由题意，设原假设为0:3H u <，备择假设为1:3H u >.
构造检验统计量||
(14)X u t t -=
，则 1.777t =
=，在显著性水平0.05α=下,查表可得10.95(14)(14) 1.7613 1.777t t α-==<，即拒绝原假设0H ，接受备择假设1H ，认为该厂不符合环保的规定.
3．某厂生产需用玻璃纸作包装，按规定供应商供应的玻璃纸的横向延伸率
238
不应低于65.已知该指标服从正态分布2(,)N μσ，
5.5σ=.从近期来货中抽查了100个样品，得样本均值55.06x =，试问在0.05α=水平上能否
接受这批玻璃纸？
解：设玻璃纸的横向延伸率为总体X ，则2(,5.5)X N u ，从中选取容量为100的样本，测得55.06x =.由题意，设原假设为0:65H u >，备择假设为1:65H u <.
构造检验统计量||
(0,1)X u U N σ
-=
，则|55.0665|
18.07275.5U -=
=
在显著性水平0.05α=下,查表可得10.95 1.644918.0727U U α-==<，即拒绝原假设0H ，接受备择假设1H ，不能接受该批玻璃纸..
4．某纺织厂进行轻浆试验，根据长期正常生产的累积资料，知道该厂单台布机的经纱断头率（每小时平均断经根数）的数学期望为9.73根，标准差为1.60根.现在把经纱上浆率降低20%，抽取200台布机进行试验，结果平均每台布机的经纱断头率为9.89根，如果认为上浆率降低后均方差不变，问断头率是否受到显著影响（显著水平α=0.05）？ 解：设经纱断头率为总体X ，则9.73u EX ==
， 1.6σ=
=，从中
选取容量为200的样本，测得9.89x =.由题意，设原假设为
0:9.73H u =，备择假设为1:9.73H u ≠.
构造检验统计量||
(0,1)X u U N σ
-=
，
则|9.89.73| 1.4142U -
=
=在
显著性水平0.05α=下,查表可得0.97512
1.96 1.4142U
U α
-
==>，即接受
原假设0H ，认为断头率没有受到显著影响.
239
5． 某厂用自动包装机装箱，在正常情况下，每箱重量服从正态分布2(100,)N σ.某日开工后，随机抽查10箱,重量如下（单位：斤）：99.3，98.9，100.5，100.1，99.9，99.7，100.0，100.2，99.5，100.9.问包装
机工作是否正常，即该日每箱重量的数学期望与100是否有显著差异?（显著性水平α=0.05）
解：设每箱重量为总体X ，则2
(100,
)
X N σ ，从中选取容量为10的样本，测得99.9x =，2
0.34S =.由题意，设原假设为0:100H u =，备择
假设为1:100H u ≠.
构造检验统计量||
(9)X u t t -=
，则0.5423t =
=，在显著性水平0.05α=下,查表可得0.97512
(9)(9) 2.26220.5423t
t α
-
==>，即
接受原假设0H ，认为每箱重量无显著差异.
6．某自动机床加工套筒的直径X 服从正态分布.现从加工的这批套筒中任取5个，测得直径分别为15,,x x (单位m μ:)，经计算得到
5
1
124i
i x
==∑, 5
21
3139i i x ==∑.
试问这批套筒直径的方差与规定的2
7σ=有无显著差别？（显著性水平
0.01α=）
解：设这批套筒直径为总体X ，则2
(,)X N u σ ，从中选取容量为5的样
本
，
测
得
15
1
124.8
15i i X x ===∑，
2
2
221111()()15.9511n n
i i i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑.由题意，设原假设为
240
20:7H σ=，备择假设为21:7H σ≠.
构造检验统计量2
2
22
(1)(4)n S χχσ-=
，则2415.95
9.11437
χ?=
=，在显著性水平0.01α=下,查表可得
22
0.99512
(4)(4)14.86αχχ-==，220.0052
(4)(4)0.2070αχχ==，从而2
2212
2
(4)(4)ααχχχ-<<，即接受原假设0H ，认为这批套筒直径的方差与规定的27σ=无显著差别.
7.甲、乙两台机床同时独立地加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布
211(,)N μσ、222(,)N μσ（12,μμ未知）.今从甲机床加工的轴中随机地任
取6根，测量它们的直径为16,,x x ，从乙机床加工的轴中随机地任取9根，测量它们的直径为19,,y y ，经计算得知：
6
1204.6i
i x
==∑, 6
21
6978.9i i x ==∑
9
1
370.8i
i y
==∑ 9
21
15280.2i i y ==∑
问在显著性水平0.05α=下，两台机床加工的轴的直径方差是否有显著差异？
解：设两台机床加工的轴的直径分别为总体,X Y ，则2
11(,)X N μσ 、
2
22(,)Y N μσ ，从总体X 中选取容量为6的样本，测得
61134.16i i X x ===∑22
22111
11()()0.40811n n
i i i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑
241
从总体Y 中选取容量为9的样本，测得
91141.29i i Y y ===∑22
22211
11()()0.40511n n
i i i i S y y y ny n n ===-=-=--∑∑ 由题意，设原假设为22012:H σσ=，备择假设为22112:H σσ≠.
构造检验统计量2
122
(5,8)S F F S = ，则0.408 1.0070.405F =
=，在显著性水平0.05α=下,查表可得
0.
97
512
(5,8)(5,8)6.76
F
F α
-
==，
0.0252
(5,8)(5,8)0.1479F F α==，从而12
2
(5,8)(5,8)F F F
αα
-
<<，即接受
原假设0H ，认为两台机床加工的轴的直径方差无显著差异.
8.某维尼龙厂根据长期正常生产积累的资料知道所生产的维尼龙纤度服从
正态分布，它的标准差为0.048.某日随机抽取5根纤维，测得其纤度为1.32，1.55，1.36，1.40，1.44.问该日所生产得维尼龙纤度的均方差是否有显著变化（显著性水平α=0.1）？
解：设维尼龙纤度为总体X ，则2
(,0.048)X N u ，从中选取容量为5
的样本，测得51
1 1.4145i i X x ===∑，2
211()0.00781n i i S x x n ==-=-∑.由题意，设原假设为0:0.048H σ=，备择假设为1:0.048H σ≠. 构造检验统计量2
2
22
(1)(4)n S χχσ-=
，则22
40.0078
13.542(0.048)χ?=
=
在显著性水平0.1α=下,查表可得22
0.9512
(4)(4)9.487713.542
αχχ-==<即拒绝原假设0H ，认为维尼龙纤度的均方差有显著变化.
9.某项考试要求成绩的标准差为12，先从考试成绩单中任意抽出15份，计算样本标准差为16，设成绩服从正态分布，问此次考试的标准差是否符
概率论与数理统计习题集及答案
概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤
（1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。
概率论课后习题答案
习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、
《概率论与数理统计》习题册答案
第一章 随机事件与概率 § 随机试验 随机事件 一、选择题 1. 设B 表示事件“甲种产品畅销”，C 表示事件“乙种产品滞销”，则依题意得A=BC .于是对立事件 {}A B C ==甲产品滞销或乙产品畅销，故选D. 2. 由A B B A B B A AB =?????=Φ，故选D.也可由文氏图表示得出. 二 写出下列随机试验的样本空间 1. {}3,420，， 2 []0,100 3. z y x z y x z y x z y x ,,},1,0,0,0|),,{(=++>>>=Ω分别表示折后三段长度。 三、（1）任意抛掷一枚骰子可以看作是一次随机试验，易知共有6个不同的结果.设试验的样本点 ""1,2,3,4,5,6i i i ω==出点点， ；则{}246,,A ωωω=，{}36,B ωω= （2）{}135,,A ωωω=，{}1245,,,B ωωωω=，{}2346,,,A B ωωωω=，{}6AB ω=， {} 15,A B ωω= 四、（1）ABC ；（2）ABC ；（3）“A B C 、、不都发生”就是“A B C 、、都发生”的对立事件，所以应记为ABC ；（4）A B C ；（5）“A B C 、、中最多有一事件发生”就是“A B C 、、中至少有二事件发生”的对立事件，所以应记为：AB AC BC .又这个事件也就是“A B C 、、中至少有二事件不发生”，即为三事件AB AC BC 、、的并，所以也可以记为AB AC BC . § 随机事件的概率 一、填空题 1. 试验的样本空间包含样本点数为10本书的全排列10！，设{}A =指定的3本书放在一起，所以A 中包含的样本点数为8!3!?，即把指定的3本书捆在一起看做整体，与其他三本书全排，然后这指定的3本书再全排。故8!3!1 ()10!15 P A ?= =。 2. 样本空间样本点7!5040n ==，设事件A 表示这7个字母恰好组成单词SCIENCE ，则因为C 及C, E 及E 是两两相同的，所以A 包含的样本点数是2!2!4A =?=，故
概率论与数理统计课后习题答案
习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：
概率论与数理统计课后习题答案
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示 下列事件：
概率论习题答案
第一章 随机事件与概率 1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？ 它们的联系与区别是： （1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。 （2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。 （3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，A A =、?=A A U 、φ=A A I 。 2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？ 两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件相互独立，其实质是事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率。而说两个事件互不相容，则是指事件发生必然导致事件A B 、A B 不发生，或事件B 发生必然导致事件不发生，即A φ=AB ，这就是说事件是否发生对事件A B 发生的概率有影响。 3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？ 所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作??φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质
随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”，都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子，“出现的点数之和为3点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如： （1）将一颗骰子连续抛掷三次，观察出现的点数之和，其样本空间为 ?={34}。 518，，，，L （2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ?={012}。 3，，， 在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。 4．频率与概率有何联系与区别？ 事件的概率是指事件在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为： A A 概率的公理化定义：设E 为随机试验，?为它的样本空间，对E 中的每一个事件都赋予一个实数，记为，且满足 A P A () （1）非负性：01≤≤P A ()； （2）规范性：P ()?=1； （3）可加性：若两两互不相容，有。 A A A n 12,,,,L L )P A P A i i i i ()(=∞=∞ =∑11U 则称为事件的概率。 P A ()A 而事件的频率是指事件在次重复试验中出现的次数与总的试验次数n 之比，即A A n n A ()n A n )(为次试验中出现的频率。因此当试验次数n 为有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件n A A 发生的可能性大小，并且在一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。
概率论习题及答案()
概率论习题 一、填空题 1、掷21n +次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是 . 2、把10本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率. 3、一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率 . 4、已知()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则().P AB = 5、已知()0.3,()0.4,()0.5,P A P B P AB === 则(|).P B A B ?= 6、掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为.. 7、设()0.4,()0.7,P A P A B =?= 若,A B 独立，则().P B = 8、设,A B 为两事件，11()(),(|),36 P A P B P A B === 则(|).P A B = 9、设123,,A A A 相互独立，且2(),1,2,3,3i P A i == 则123,,A A A 最多出现一个的概率是. 10、某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为 . 11、一枚硬币独立的投3次，记事件A =“第一次掷出正面”，事件B =“第二次掷出反面”，事件C =“正面最多掷出一次”。那么(|)P C AB = 。 12、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地 表示为互不相容事件的和是 。15、,,A B C 中不多于两个发生可表示为 。 二、选择题 1、下面四个结论成立的是（ ） 2、设()0,P AB =则下列说法正确的是（ ） 3、掷21n +次硬币，正面次数多于反面次数的概率为（ ） 4、设,A B 为随机事件，()0,(|)1,P B P A B >= 则必有（ ） 5、设A 、B 相互独立，且P (A )>0，P (B )>0，则下列等式成立的是（ ） .A P (AB )=0 .B P (A -B )=P (A )P (B ) .C P (A )+P (B )=1 .D P (A |B )=0 6、设事件A 与B 互不相容，且P (A )>0，P (B ) >0，则有（ ） .A P (AB )=l .B P (A )=1-P (B ) .C P (AB )=P (A )P (B ) .D P (A ∪B )=1
概率论与数理统计及其应用第二版课后答案
第1章 随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间： （1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录 投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次， 记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰 子，观察出现的各种结果。 解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求 )])([(),(),(),(___ ___ AB B A P AB P B A P B A P ??。 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ， 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ， 875.0)(1)(___ --=AB P AB P ， 5 .0)(625.0)])([()()])([()])([(___ =-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。
解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为 72.0900 648 = 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为 48344=??个，所以出现奇数的概率为 48.0100 48 = （2）该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?，所以该数大于330的概率为 48.0100 48 = 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。 解: （1）所求概率为338 4 12 1 31425=C C C C ；
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第一章概率论基本概念 一、填空 1.（1）AUBUC (2) (3) A B C A B C A B C -- - - -- ??A B B C AC -- -- -- ??2. 0.7 (注释: P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)= P(A)+P(B)-P(A)*P(B|A) ) 3. 3/7 (注释: ) ()()()()1()()()()P A B P A P B P A B P A P B P B P AB - - - ?=+-=-+-+4.77 221A ?- 5. 0.75 (注释: , 此时不能直接用BEYES 公式,因为要得到一个划分.)() (|)() P AB P B A P A = [掌握]二、选择 1.A 2.D 3.B 4.D 5.A 三、计算题 1.全概率公式求解： 设能开门记为事件A ，B0为取到0把能开门的锁，B1为取到一把能开门的锁，B2为取到两把能开门的锁 P(A)=P(B0)P(A|B0)+ P(B1)P(A|B1)+ P(B1)P(A|B1)=8/15 2.设3本一套放在一起记为A ，两套各自放在一起记为B ，两套中至少有一套放在一起记为C (1)13783710 101 ()=15 A A A P A A =(2) 35435410 101 ()=210 A A A P B A =(3) 3847354384735410 102 ()=21 A A A A A A A P C A +-=3.设购买空调记为A,购买电脑记为B,购买DVD 记为C (1) P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=0.15+0.12+0.2+-0.06-0.1-0.05+0.02 =0.28 (2)()()()()-2() P A B B C AC P A B P B C P AC P A B C -- -------- -- --- ??=++ (3)()1() P A B C P A B C --- =-??[掌握]4. 全概率公式求解：设取得正品记为A, 取到的产品来自甲厂记为B1, 取到的产品来自乙厂记为B2, 取到的产品来自丙厂记为B3, ()(1)(|1)(2)(|2)(3)(|3)0.92 P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=
概率论与数理统计课后习题答案
习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出 现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不 少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2） {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5） {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用 ,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 解 （1）ABC （2）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； （3）A B C U U 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ； （4）ABC ABC ABC U U ； （5）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； 3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3） 123123123A A A A A A A A A U U ；（4）121323A A A A A A U U 。 4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A =‘5只全是好的’，则 537540 ()0.662C P A C =B ；
概率论与数理统计课后习题答案
习题解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点 数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1(ΛΛΛΛ=Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1(Λ=+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：
概率论复习题册答案解析我国地质大学武汉
概率论习题册答案 第一章 随机事件及其概率 §1.1 样本空间与随机事件 一、 计算下列各题 1.写出下列随机实验样本空间： (1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和； (2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数； (3) 一只口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中抽取4只，观察它们具有哪种颜色； (4) 有C B A ,,三只盒子，c b a ,,三只球，将三只球，装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球情况； (5) 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 解 1（1）}18,,5,4,3{ ； （2）}10,,5,4,3{ ； （3）},,,,,,{RW B W B RB RW B W R ；其中B W R ,,分别表示红色，白色和蓝色； （4）{,,;,,;,,;,,;,,,,,}Aa Bb Cc Aa Bc Cb Ab Ba Cc Ab Bc Ca Ac Bb Ca Ac Ba Cb 其中Aa 表示a 求放在盒子A 中，可类推； （5）}1,0,0,0|),,{(=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示三段之长。 2. 设C B A ,,为三事件，用C B A ,,运算关系表示下列事件： （1）A 发生,B 和C 不发生； （2）A 与B 都发生, 而C 不发生； （3）C B A ,,均发生； （4）C B A ,,至少一个不发生； （5）C B A ,,都不发生； （6）C B A ,,最多一个发生； （7）C B A ,,中不多于二个发生； （8）C B A ,,中至少二个发生。 解 （1）C B A ；（2）C AB ；（3）ABC ；（4）A B C ++；（5）C B A ； （6）C B A C B A C B A C B A +++；（7）ABC ；（8）BC AC AB ++ 3．下面各式说明什么包含关系？ (1) A AB = ； (2) A B A =+； (3) A C B A =++ 解 （1）B A ?； （2）B A ?； （3）C B A +?
概率论与数理统计第三章课后习题答案
习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=???? ? ≤ ≤≤ ≤. , 020,20, sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ?? ≤<≤ <36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+
ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 4 3 4 6 3 6 1). 4 =--+= 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度 f （x ，y ）=?? ?>>+-. , 0, 0,0, )43(其他y x A y x e 求：（1） 常数A ； （2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由-(34) (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞ -∞ == =? ??? 得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞ -∞ = ?? ( 34 ) 3400 12e d d (1e )(1e ) 0,0, 0,0, y y u v x y u v y x -+--??-->>? ==?? ? ????其他 (3) {01,02}P X Y ≤<≤< 12(34) 38 {01,02} 12e d d (1 e )(1e )0.9499. x y P X Y x y -+--=<≤<≤= =--≈?? 5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=?? ?<<<<--. , 0, 42,20),6(其他y x y x k （1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有
概率论课后答案
习题1-2 1. 选择题 (1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生. 解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D). (2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C = , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间: (1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}； (4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n += }. 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A 发生； (2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生; (6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C . 4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2 3A A ； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标. 习题1-3 1. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ). (A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C)()()()P AB P A P B = . (D)()()()P A P AB P AB =+. 解 由文氏图易知本题应选(D). (2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解 本题答案应选(C). 2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ). 解 因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= , 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =- 3. 已知() 0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB .
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第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数 一、随机变量 随机试验的结果是事件，就“事件”这一概念而言，它是定性的。要定量地研究随机现象，事件的数量化是一个基本前提。很自然的想法是，既然试验的所有可能的结果是知道的，我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值，在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系，从而对一个随机试验进行定量的描述。 例2-1 将一枚硬币掷一次，观察出现正面H、反面T的情况。这一试验有两个结果：“出现H”或“出现T”。为了便于研究，我们将每一个结果用一个实数来代表。比如，用数“1”代表“出现H”，用数“0”代表“出现T”。这样，当我们讨论试验结果时，就可以简单地说成结果是1或0。建立这种数量化的关系，实际上就相当于引入一个变量X，对于试验的两个结果，将X的值分别规定为1或0。如果与样本空间 { } {H,T}联系起来，那么，对于样本空间的不同元素，变量X可以取不同的值。因此，X是定义在样本空间上的函数，具体地说是 1,当 H X X( ) 0,当 T 由于试验结果的出现是随机的，因而X(ω)的取值也是随机的，为此我们称 X( )X(ω)为随机变量。 例2-2 在一批灯泡中任意取一只，测试它的寿命。这一试验的结果（寿命）本身就是用数值描述的。我们以X记灯泡的寿命，它的取值由试验的结果所确定，随着试验结果的不同而取不同的值，X是定义在样本空间 {t|t 0}上的函数 X X(t) t,t 因此X也是一个随机变量。一般地有 定义2-1 设 为一个随机试验的样本空间，如果对于 中的每一个元素 ，都有一个实数X( )与之相对应，则称X为随机变量。 一旦定义了随机变量X后，就可以用它来描述事件。通常，对于任意实数集合L,X在 L上的取值，记为{X L}，它表示事件{ |X( ) L}，即 。 {X L} { |X( ) L} 例2-3 将一枚硬币掷三次，观察出现正、反面的情况。设X为“正面出现”的次数，则X是一个随机变量。显然，X的取值为0，1，2，3。X的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。 表2-1 表2-1
概率论重点附课后题答案
第1章随机事件与概率 一、大纲要求 （1）理解随机事件的概率，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算. （2）了解概率的统计定义和公理化定义，掌握概率的基本性质. （3）会计算古典概型的概率和几何概型的概率. 二、重点知识结构图 三、基础知识 1.随机试验的特征 （1）试验可以在相同的条件下重复地进行. （2）试验的可能结果不止一个，但明确知道其所有可能会出现的结果.
（3）在每次试验前，不能确知这次试验的结果，但可以肯定，试验的结果必是所有可能结果中的某一个. 2.样本空间 在讨论一个随机试验时，试验的所有可能结果的集合是明确知道的，称这个集合为该实验的样本空间，常用()S Ω或表示，其元素称为样本点，常用ω记之，它是试验的一个可能结果. 3.随机事件 在实际问题中，面对一个随机试验，人们可能会关心某些特定的事情在重复试验下是否会发生.例如，投资者关心明日收市股价是否上涨，即明日股价>今日收市价，它是样本空间的一部分.因此，称样本空间的一些子集为随机事件，简称事件，通常用大写英文字母A B C 、、记之. 4.事件的关系和运算 一个较为复杂的事件，通过种种关系，可使其与一些较为简单的事件联系起来，这时，我们就可设法利用这种联系，通过简单的事件去研究那些较为复杂的事件，用已知的事件去表示未知的事件. 5.事件的蕴含与包含 若当事件A 发生时B 必发生，则称A 蕴含B ，或者说B 包含A ，记作A B ?. 6.事件的相等 若A 与B 互相蕴含，即A B ?且B A ?，则称事件A 与B 相等，记为A B =. 7.事件的互斥(或称互不相容) 若事件A B 、不能在同一次试验中都发生(但可以都不发生)，则称它们是互不相容的或互斥的. 若一些事件中的任意两个事件都互不相容，则称这些事件是两两互不相容的，或简称互不相容的. 8.事件的对立（或称逆） 互不相容的一个重要特例是“对立”.称事件{}B A =不发生为A 的对立事件或逆事件，常记作A . 9.事件的并（或称和）
概率论习题答案
一．填空题（82142'=?'） 1．已知41)(=A P ,31)(=A B P ,2 1)(=B A P ,则=)(B A P Y 31。 2．有零件8件，其中5件为正品，3件为次品。从中任取4件，取出的零件中有2件正品2件次品的概率为7 3482325=?C C ； 3．抛掷均匀的硬币，直到出现正面向上为止，则抛掷次数X 的概率分布为K ,2,1,5.05.05.0)(1==?==-k k X P k k ，X 服从分布)5.0(G 。 4．设随机变量X 的密度函数为?????<≥=1 ,01,)(2x x x c x p ，则常数=c 1 ，X 的分布函数 =)(x F ?? ???>-≤1,111 ,0x x x 。 5．设随机变量X 的密度函数为???<<=其他 ,010,2)(x x x p X ，则随机变量2X Y =的密度函数=)(y p Y ???<< 其它,010,1y 。 6．已知),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则=≤<≤<),(d Y c b X a P ),(),(),(),(c a F d a F c b F d b F +--。 7．设)2,1(~N X ，)4,3(~N Y ，且X 和Y 相互独立，则Y X Z +=2的密度函数=)(z p Z +∞<<-∞--z e z ,621 24)5(2 π。 8．)5.0,9,4,0,1(~),(N Y X ，则~Y )9,0(N ，=-])[(2Y X E 8 。 9．设),(Y X 的联合概率分布为
则X 的概率分布为 相关系数=XY ρ3 2-。 10．设随机变量n X X X ,,21Λ独立同分布, μ=1EX , 81=DX ,记∑==n i i n X n Y 11，则用切比雪夫不等式估计≥<-)2(μn Y P n 21-。 二．简答题（6'） 叙述数学期望和方差的定义（离散型），并且说明它们分别描述什么？ 数学期望：i i i p x ∑∞=1绝对收敛，则i i i p x EX ∑∞ ==1。（2分） EX 描述X 取值的平均。（1分） 方差： 2)(EX X E -存在，则2 )(EX X E DX -=（2分） DX 描述X 相对于EX 的偏差。（1分） 三．分析判断题（判断结论是否正确，并说明理由，0125'=?'） 1．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，b a <，则=≤≤)(b X a P )()(a F b F -。 不一定正确。（2分） 如X 为连续型随机变量，则=≤≤)(b X a P )()(a F b F -；如X 为离散型随机变量，且 0)(≠=a X P ，则≠≤≤)(b X a P )()(a F b F -（或举反例） 。（3分） 2．若随机变量X 和Y 不相关，则DX Y X D ≥-)(。 正确。（2分） .) 1)(,(2)(分）（分（分） 11DX DY DX Y X Cov DY DX Y X D ≥+=-+=- 四．计算题（65018810101'='+'+'+'+'） 1．（01334'='+'+'）进行4次独立试验，在每次试验中A 出现的概率均为3.0。如果A 不出现，则B 也不出现；如果A 出现一次，则B 出现的概率为6.0；如果A 出现不少于两次，