金融数学引论答案
【篇一:金融数学引论答案第一章__北京大学出版[1]】解: 把t = 0 代入得a(0) = 3 于是:a(t) =a(t)/a(0)=(t2 + 2t + 3)/3 in = a(n) ? a(n ? 1)
= (n2 + 2n + 3) ? ((n ? 1)2 + 2(n ? 1) + 3))
= 2n + 1
2. 解:?1?i?a(n)?a(t)?in?in-1?????it?1?n(n? 1)/2?t(t? 1)/2
(2)i?a(n)?a(t)?
k?t?1?ink? 2n?1?2t?1
3.解: 由题意得
a(0) = 1, a(3) =a(3)/a(0)= 1.72? a = 0.08, b = 1
∴ a(5) = 100
a(10) = a(0) ? a(10) = a(5) ? a(10)/
4. 解:(1)i5 =(a(5) ? a(4))/a(4)=5120≈ 4.17%
i10 =(a(10) ? a(9))/a(9)=5145≈ 3.45%
(2)i5 =(a(5) ? a(4))/a(4)
100(1 ? 0.1)5?100(1 ? 0.1)4
?? 10%100(1 ? 0.1)4
i10?(a?10??a?9?)/a?9??100(1 ? 0.1)?100(1 ? 0.1)? 10%100(1 ?
0.1)9109
5.解:a(7) = a(4)(1 + i5)(1 + i6)(1 + i7)
= 1190.91
6.解: 设年单利率为i
500(1 + 2.5i) = 615
解得i = 9.2%
设500 元需要累积t 年
解得t = 3 年4 个月
7.解: 设经过t 年后,年利率达到2.5%
1 ? 4%?t? (1 ? 2.5%)tt ≈ 36.367
8. 解:(1 + i)11 = (1 + i)5+2*3 = xy 3
9. 解: 设实利率为i
600[(1 + i)2 ? 1] = 264
解得i = 20%
∴ a(3) = 2000(1 + i)3 = 3456 元
10.解: 设实利率为i
11??1 n2n(1?i)(1?i)
解得(1 + i)-n
=1 2
1?
23?)?22所以(1 + i)2n
于是pv =100001000010000 ??204060 (1 ?i)(1 ?i)(1 ?i) ?2
3?4
= 3281.25
12解:(1 + i)a = 2 (1)
3(1 + i)b = (2) 2
c(1 + i) = 5 (3)
3(1 + i)n = (4) 2
(4) ? n ? ln (1 + i) = ln 5 ? ln 3
故n = c ? (a + b)
13.解:???a ? i = 336
a ? d = 300
i ? d = i ? d
? a = 2800
14.解: (1)
d5 =
=a?5??a?4? a510% 1 ? 5?10%
= 6.67%
(2)a-1(t) = 1 ? 0.1t
? a(t) = 1= 1?0.1t
a?5??a?4?? d5 = a5= 16.67%
15.解:由
i(3)
3d(4)
(?4)(1?)?(1?)34 3(3)i??d(4)?4?[1?(1?)4]3
由
i(6)
6d(12)
(?12)(1?)?(1?)612 (12)d?i(6)?6?[(1?)?2?1]12
4*24 ) = 112.65元
17.解: 利用1/d(m)? 1/i(m) = 1/m? m = 8
aa(t)0.1?aa(t)1?0.1t
(a
a?1b
?1
ba?1a(t)?1?0.05t??b?(t))0.05?(t)1?0.05t
t = 5
19.解: 依题意,累积函数为a(t) = at2 + bt + 1?? a(0.5) = 0.25a + 0.5b + 1 = 1.025
a(1) = a + b + 1 = 1.07
?a = 0.04
b = 0.03
由?a(t)??b(t)
2t2? 21 ?t1 ?t
? t 1 ?
d??? 8%,设复利下月实贴现率为d,单利下实利率为d0。21.解: 4__________全部采用复利:
8%(1?d)3? 1? 2
pv? 5000(1?d)25? 4225.25前两年用复利:
1?3d0? 1?8% 2
pv? 5000(1?d)24(1?d0) ? 4225.46
6%4)?1 ? 6.14% 4
设第3年初投入x,以第3年初为比较日,列价值方程 4 22.解:i??? 6%,则i? (1 ?
2000(1 ?i)2? 2000(1 ?i) ?x? 2000v2? 5000v8解得x = 504.67 元
23.解:对两种付款方式,以第5年为比较日,列价值方程: 200 ? 500v5? 400.94解得v5? 0.40188
所以
p? 100(1 ?i)10? 120(1 ?i)5? 917.762
24.解:1000?1 ? 6%?? 2?1000?1 ? 4%?解得: t = 36 年
25.解:列价值方程为100vn? 100v2n? 100解得n = 6.25
26.解:?t?
t
0tt1,得基金b的积累函数为 6tt2ab(t) ?exp(??sds) ?exp()欲使
aa(t) ?ab(t)则 12
1?12?12tt2
(1 ?i)?exp() 1212
解得t = 1.4
27解: 1000(1 + i)15 = 3000
12则i??? ((1 ?i)?1)?2 ? 7.46% 2
28.解:列价值方程为
300(1 ?i)2? 200(1 ?i) ? 100 ? 700解得i = 11.96%
29.解: ?t?kt则积累函数为
ka(t) ?exp?t
0ksds?exp(t2) 2
由a(10) = 2 得e50k? 2
解得k = 0.0139
30.解:(1 + i)3 + (1 ? i)3 = 2.0096
解得i = 0.04
31.解:一个货币单位在第一个计息期内的利息收入j,第二个计息期内的利息
收入j + j2,故差为j2,即第一期利息产生的利息。
32.解:设半年实利率为i,则有:
15(1 ?i) ? 13.65 ? 28(1 ?i)
i? 0.05故:i? (1 ?i)2?1 ? 0.1025 解得:
33.解:价值方程:
正常: 1000 ? 100(1 ?j)-1? 100(1 ?j)?2? 1000(1 ?j)?3 转让: 960 ? 100(1 ?k)?1? 1000(1 ?k)?2 解得:j = 6.98%, k = 7.4%
从而:j k
e-??e-2?
-??e -?1?e
35.证明:
??di??1lim2? lim2?证: d?0?i?0?2
??d??1?e??1?e??e??1lim2? lim? lim? lim?
2d?0???0??0??0?2?22limd?0i???2?
lim??0???1?e??2?1?e?e?1? lim? lim? ??0??022?2
36.解: 设货款为s,半年实利率为i,则有:0.7s(1 ?i) ? 0.75s 解得:1 ?i? 1.0714
故i? (1 ?i)2?1 ? 14.80%
37.解: 1)单利方式:x1(1 + (1 ? t)i) = 1
2)复利方式:x2(1 + i)1-t = 1
(1?ti)3)单利方式:x3? 1?i
由taylor展开易证:(1 ?i)1-t?1 ? (1?t)i (1 ?i)t?1 ?it故x1? x2? x3
38.解:设基金a,b的本金为a,b
【篇二:北大版金融数学引论第二章答案】
>第二章习题答案
1.某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元,后十年每年底存款1000+x 元,年利率7%。计算x 。
解:
s = 1000s?7%+xs?7%
20
p
10
p
20
p
x = 50000 ? 1000s?7% = 651.72
s?p7%
10
2.价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式:每月底还250元,期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。
解:设首次付款为x ,则有
10000 = x + 250a?p1.5%
48
解得
x = 1489.36
1
3.设有n年期期末年金,其中年金金额为n,实利率i =
n
解:
p v = na?npi
= 1
n
n
+2 =
(n + 1)n
n
2
n
4.已知:a?p
n= x,a?p
2
n= y 。
试用x和y 表示d 。
解: a?p
2
n= a?p
n+ a?p (1 ? d)则
n
n
y ? x
d = 1 ? ( x ) n
5.已知:a?p
7
= 5.58238, a?= 7.88687, a?= 10.82760。计算i。 11
p
18
p
解:
a?p = a?p + a?p v
7
18
7
11
解得
=
i = 6.0%
10?p +a∞?p
6.证明: 1
1?v10
s
。
s10?p
北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页
版权所有,翻版必究
证明:
10
s?p + a∞?p
=
s?
p
10+101 = 10
7.已知:半年结算名利率6%,计算下面10年期末年金的现值:
开始4年每半年200元,然后减为每次100元。
解:
p v = 100a?+ 100a20?8p3% p3% = 2189.716
8.某人现年40岁,现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元,共计25年。然
后,从65岁开始每年初领取一定的退休金,共计15年。设前25
年的年利率为8%,
后15年的年利率7%。计算每年的退休金。
解:设每年退休金为x,选择65岁年初为比较日
=
解得
x = 8101.65
8
。
1
解: d = 10%,则 i
=
1?d
? 1 =9
8
1 ? v
8
n
n
v;
n
n
n
n
1
n
n
1
n
n
i
+ 1
? v
n
n
1+i
所以
n
n
(1+
n
n
i)n
(1+i)n?1=(1+i)?1
n
d
=
? 1
i
1+i
i
+ (1 + i)
n
所以
n
n
版权所有,翻版必究
12.从1980年6月7日开始,每季度年金100元,直至1991年12月7日,季结算名利率6%,计算:1)该年金在1979年9月7日的现值;2)该年金在1992年6月7日的终值。
解:
p v = 100a49?p1.5% ? 100a?2p1.5% = 3256.88
av = 100s?1.5% ? 100s?p1.5% = 6959.37
49
p
2
13.现有价值相等的两种期末年金a和b。年金a在第1-10年和第21-30年中每
年1元,在第11-20年中每年2元;年金b在第1-10年和第21-30年中每年付款金
额为y ,在第11-20年中没有。已知:v=,计算y 。
10
2
解:因两种年金价值相等,则有
a?i+a?iv10=y a? ?iy a10?piv10
30
p
10
p
30
p
所以 y =3
10
30
.8
14.已知年金满足:2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36;另外,递延n年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i。
1+v10?2v30
= 1
解:由题意知,
pi+ 3a?pi = 36
2
n
n
2a?pivn= 6
n
解得
7
3
x
i = 8.33%
y
z
p a?p a?p + s?
= 15.已a?p a?p + s?p 。求x,y和z。
知
解:由题意得
=
1 ? v11 (1 + i)z ? vy
解得
x = 4, y = 7, z = 4
11
7
x
3
1530
16.化简a15?p (1 + v+ v)。
解:
a?p (1 + v+ v) = a?p
15
30
15
45
北京大学数学科学学院金融数学系第 3 页
版权所有,翻版必究
17.计算下面年金在年初的现值:首次在下一年的4月1日,然后每半年一
次2000元,半年结算名利率9%。
4.5%解:年金在4月1日的价值为p =
2000 = 46444.44 ,则
1+4
p
p v =
(1 + i)
2+
= 41300.657
3
18.某递延永久年金的买价为p ,实利率
解:设递延时间为t,有
1 p = i v
t
ln
解得
t = ? ln(1+
i)
19.从现在开始每年初存入1000元,一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额x,直至永远。计算x。
解:设年实利率为i,由两年金的现值相等,有
x ?=
i
29
解得
x = 1000((1 + i)? (1 + i))
30
10
20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代a、b、c、和d:前n年,
a、b和c三人
平分每年的年金,n年后所有年金由d一人继承。如果四人的遗产
份额的现值相
同。计算(1 + i)。
n
解: i,那么a,b,c得到的遗产的现值
为 i ,而d得到遗产的现值为v。由题意得 3?pi
n
n
1 ? v
= v 3
n
n
所以
(1 + i)= 4
n
21.永久期末年金有a、b、c、和d四人分摊,a接受第一
个n年,b接受第二
个n年,c接受第三个n 年,d接受所有剩余的。已知:c与a的
份额之比为0.49,求b与d的份额之比。
版权所有,翻版必究
解:由题意知
那么
p vc = a?n= 0.49
p vav2n
p vb =
a?p
n
= 0.61
n
a? n
3
v
n
p vd
i
22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元,直至还清,如果最后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。
v
np4.5%41000 100a?
解:
100an+1?p4.5%v41000
16
解得 n = 17
2
列价值方程解得
+
100a?p4.5%xv1 = 1000
x = 146.07
23.36年的期末年金每次4元,另有18年的期末年金每次5元;两者现值相等。如果
以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍,计算n。
由题意, (1 + i)= 2 解得 n = 9
18
36
p
n
24.某借款人可以选择以下两种还贷方式:每月底还100元,5年还清;k个月后一
次还6000元。已知月结算名利率为12%,计算k。
解:由题意可得方程
100a?p1% = 6000(1 + i)?k
60
解得
k = 29
25.已知a?pi= 1.75,求i。
2
解:由题意得
1 ? v= 1.75i
2
解得
i = 9.38%
26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每
年得到1538元,20年的期末年金为每年1072元。计算年利率。解:
【篇三:金融数学引论北大版第4章答案】
现有1000 元贷款计划在5 年内按季度偿还。已知季换算名利率6%,计算第2 年底的未结贷款余额。
解:设每个季度还款额是r ,有
ra(4)
5p6%
¬ = 1000
解得r ,代入b2 的表达式
b2 = ra(4)
3p6%
¬
= 635.32 元
2 设有10000 元贷款,每年底还款2000 元,已知年利率12% ,计
算借款人的还款总额等于原贷款额时的未结贷款余额。
解:
n =
10000
2000
= 5
= 4917.72 元
3 某贷款在每季度末偿还1500 元,季换算名利率10% ,如果已知第一年底的未结贷款余额为12000 元,计算最初的贷款额。
解:以季度为时间单位,i = 2.5% 。
b0 = b1 ? v + 1500a4pi ¬
= 16514.4 元
4 某贷款将在1
5 年内分期偿还。前5 年每年底还4000 元,第二个
5 年每年底还 3000 元,最后5 年每年底还2000 元。计算第二次3000 元还款后的未结贷款余额的表达式。
解:对现金流重新划分,有
b7 = 2000a¬8p + 1000a¬3p
北京大学数学科学学院金融数学系第1 页
版权所有,翻版必究
5 某贷款将以半年一次的年金方式在3 年半内偿还,半年名利率8% 。如果已知第4 次还款后的未结贷款余额为5000 元,计算原始贷款金额。
解:设原始贷款额为l ,每次还款为r ,以半年为时间单位,有 ??
?
5000 = ra3p4% ¬
l = ra7p4% ¬
整理得:
l = 5000 ? a¬7p
a¬3p
= 10814.16 元
6 现有20000 元贷款将在12 年内每年底分期偿还。若(1+i)4 = 2 ,计算第4 次还款后的未结贷款余额。
解:设第4 次还款后的未结贷款余额为l ,每次还款为r ,有 ??
?
20000 = r ? a12pi ¬
l = r ? a8pi ¬
把(1 + i)4 = 2 代入整理得:
l = 5000 ? 1 ? (1 + i)?8
1 ? (1 + i)?12
= 17142.86 元
7 20000 元抵押贷款将在20 年内每年分期偿还,在第5 次还款后,因资金短缺,随后的两年内未进行正常还贷。若借款人从第8 年底
重新开始还贷,并在20 年内还清。计算调整后的每次还款额。
解:设正常每次还款为r ,调整后每次还款x ,以当前时间和第5
年底为比较日,有
??
?
20000 = ra2¬0p
xa1¬3p ? v2 = ra1¬5p
整理得:
x = 20000 ? a15p ¬
a2¬0p
? (1 + i)2
a1¬3p
8 某贷款l 原计划在25 年内分年度等额还清。但实际上从第6 次到第10 次的还款中每次多付k 元,结果提前5 年还清贷款。试证明: k =
a2¬0p ? a1¬5p
a2¬5p a¬5p l
证:以第20 年年底为比较日,设每次还款为r ,有
??
?
l = ra2¬5p
ks¬5p (1 + i)10 = ra¬5p
整理即得。
9 设bt 表示未结贷款余额,证明:
(1) (bt ? bt+1)(bt+2 ? bt+3) = (bt+1 ? bt+2)2;
(2) bt + bt+3 bt+1 + bt+2
证: (1)
(bt ? bt+1)(bt+2 ? bt+3) = (
r + bt+1
1 + i
? bt+1) ? (bt+2 ? ((1 + i)bt+2 ? r))
=
r ? ibt+1
1 + i
? (r ? ibt+2)
= (r ? ibt+1) ? r ? i((1 + i)bt+1 ? r)
1 + i
= (r ? ibt+1)2
= (bt+1 ? bt+2)2
(2)
bt ? bt+1 = r ? ibt
r ? ibt+2
= bt+2 ? bt+3
) bt + bt+3 bt+1 + bt+2
默认每次还款额是相同的!
10 某贷款按季度分期偿还。每次1000 元,还期5 年,季换算名利率12%。计算第6 次还款中的本金量。
解:
p6 = b5 ? b6
= 1000a20?5p3% ¬ ? 1000a20?6p3% ¬
= 641.86 元
11 n 年期贷款,每年还款1元。试导出支付利息的总现值(去掉:之和)。解:设第t 年支付的利息为it ,有
it = ibn+1?t
= ian+1?¬tp
= 1 ? vn+1?t
支付利息的总现值为:
i =
t=1
itvt
=
t=1
(1 ? vn+1?t)vt
= a¬np ? nvn+1
12 设10000 元贷款20 年还清,年利率10%,证明第11 次中的利息为 1000
1 + v10
元。
此处有改动10000改成1000
证:设每期还款额为r ,由上题的结论有
i11 = r(1 ? v10)
=
10000
a2¬0p (1 ? v10)
= 10000 ? i
1 + v10
=
1000
1 + v10
13 设有20 次分期还贷,年利率9%。问:第几次还款中的本金量与利息量差额最小。
解:不妨设每次还款额为1。
pt ? it = vnt+1 ? (1 ? vn?t+1)
= 2vn?t+1 ? 1
由
2vn?t+1 ? 1 = 0 ? t ≈ 12.96
验证t = 12, 13 的情形易得第13 次本金量与利息量差额最小。
14 现有5 年期贷款,分季度偿还。已知第3 次还款中的本金为100 元,季换算的名利率10%。计算最后5 次还款中的本金量之和。解:以一季度为时间单位,设每次还款额为r,由题意得
rv20?3+1 = 100
? r =
100
v18
于是最后5 次本金总额为
r(v1 + ? ? ? + v5) = 724.59 元
15 现准备用20 年时间分期偿还一笔贷款,且已知前10 年的年利率为i ,后10 年的年利率为j 。计算:(1) 第5 次偿还中的利息量;
(2) 第15 次偿还中的本金量。
解:设初始贷款量为1 ,每年还款额为r ,有:
1 = ra10pi ¬ + ra10pj ¬ (1 + i)?10
) r =
1
a10pi ¬ + (1 + i)?10a10pj ¬
(1) i5 = ib4
= ir(a6pi ¬ + (1 + i)?6a10pj ¬ )
(2) p15 = b14 ? b15
= ra6pj ¬ ? ra5pj ¬
= r(1 + j)?6
16 原始本金为a 的抵押贷款计划在尽可能长的时间内每年偿还k ,且最后一
次将不足部分一次还清。计算:(1) 第t 次偿还的本金量;(2) 摊还表中的本金部分是否为等比数列?
解:设总还款次数为n ,最后一次还款中不足部分设为b 。
(1) 利用追溯法可得
bt =
??
?
a(1 + i)t ? ks¬tp , t n
0, t = n
故
pt =
??
?
(k ? ia)(1 + i)t?1, t n
(k ? ia)(1 + i)n?1 + b, t = n
(2) 显然前n ? 1 次本金呈等比数列,最后一次与前面没有等比关系。
17 现有20 年的抵押贷款分年度偿还,每次1元。如果在第7 次正
常还款的同时,额外偿还原摊还表中第8 次的本金,而且今后的还
款仍然正常进行。(正常的意思是依然按照摊还表进行,改变期限,每次还款的金额不变)。证明:还贷期间节约的利息为1 ? v13 。证:在第7 次额外多还以后,第n 次还款刚好对应原摊还表中第n + 1 次的还款。所以节约的利息为原摊还表中第8 次还款中的的利
息量,为1 ? v13 。 18 总量为l 的贷款分10 年偿还,已知v5 =
2
3
。计算:
(1) 前5 次偿还中的本金之和;
(2) 如果最后5 次还款因故取消,计算第10 年底的未结贷款余额。解: (1) 由题意得前5 次偿还本金之和为
r(v10 + ? ? ? + v6) = rv6 1 ? v5
1 ? v
=
l
a1¬0p
v
1 ? v
v5(1 ? v5)
=
l
1 ? v10 v5(1 ? v5)
= 0.4l
(2) 利用追溯法
b10 = l(1 + i)10 ? rs¬5p (1 + i)5