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北大版金融数学引论第二章答案

第二章习题答案

1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。

解：

S = 1000s 20

7%+Xs 10

X =

50000 ? 1000s 20

7% s 10

?p7%

= 651.72

2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。

解：设首次付款为X ，则有

10000 = X + 250a 48

?p1.5%

解得

X = 1489.36

3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =1

。试计算该年金的现值。

解：

P V = na?n pi

1 ? v n

= n 1

(n + 1)n

n 2

? n n

+2 (n + 1)n

4．已知：a?n p

= X ，a 2

?n p

= Y 。

试用X 和Y 表示d 。

解： a 2

?n p

= a?n p

+ a?n

p (1 ? d)n

则

Y ? X

d = 1 ? ( X ) n

5．已知：a?7

= 5.58238, a 11

= 7.88687, a 18

= 10.82760。计算i 。

解：

a 18

?p = a?7

p + a 11

?p v 7

解得

6.证明： 1

1?v 10

10?p +a ∞?p

。

s 10?p

i = 6.0%

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证明：

s 10

?p + a ∞?p

(1+i)10?1+1

1 s 10

(1+i)10?1

= 10

7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。

解：

P V = 100a?8p3% + 100a 20?p 3% = 2189.716

8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然

后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，

后15年的年利率7%。计算每年的退休金。

解：设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日

1000¨25?p8%=

X¨15?

p7% 解得

9．已知贴现率为10%，计算¨?8

。

X = 8101.65

解： d = 10%，则 i

10.求证： (1) ¨?n

p = a?n

p + 1 ?

v n

；

1?d

? 1 =1

¨?8

p = (1 + i)

1 ? v 8

= 5.6953

(2) ¨?n

p = s? ?n

p 1 + (1 + i)n

并给出两等式的实际解释。

证明： (1)¨?n

p =1

v n

?v n

+ 1

? v n

所以

(2)¨?n

p =

(1+

i)n

1+i

¨?n

p = a?n

p + 1 ? v n

(1+i )n ?1=(1+i)n

? 1

d =

1+i

+ (1 + i)

所以

¨?n

p = s? ?n

p 1 + (1 + i)n

12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。

解：

P V = 100a49?p1.5% ? 100a?2p1.5% = 3256.88

AV = 100s49?p1.5% ? 100s?2p1.5% = 6959.37

13.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1－10年和第21－30年中每

年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金额为Y ，在第11－20年中没有。已知：v10=1，计算Y 。

解：因两种年金价值相等，则有

a30?p i+a10?p i v10=Y a30? ?p i Y a10?pi v10

所以Y =3?v10?2v30

1+v10?2v30

= 1.8

14.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i。

解：由题意知，

2a2?n pi+ 3a?n pi = 36

2a?n pi v n= 6

解得

a?7p a?3p + s X?p

i = 8.33%

15.已知a11?p

a Y?p + s Z?p 。求X，Y和Z。

解：由题意得

解得1 ? v7

1 ? v11

= (1 + i)X? v3

(1 + i)Z ? v Y

16.化简a15?p (1 + v15+ v30)。

解：

X = 4, Y = 7, Z = 4

a15?p (1 + v15+ v30) = a45?p

北京大学数学科学学院金融数学系第3 页

17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一

次2000元，半年结算名利率9%。

解：年金在4月1日的价值为P =

1+4

4.5%×

2000 = 46444.44 ，则

P V =

(1 + i)

= 41300.657

18.某递延永久年金的买价为P ，实利率i ，写出递延时间的表达式。

解：设递延时间为t ，有

解得

t = ? ln(1+

iP i )

P = i v t

19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额X ，直至永远。计算X 。

解：设年实利率为i ，由两年金的现值相等，有

X 1000¨ 20?pi =

v 29

解得

X = 1000((1 + i)30

? (1 + i)10

)

20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A 、B 、C 、和D ：前n 年，A 、B 和C 三人

平分每年的年金，n 年后所有年金由D 一人继承。如果四人的遗产份额的现值相

同。计算(1 + i)n

。

解：设遗产为１，则永久年金每年的年金为i ，那么A,B,C 得到的遗产的现值

为 i 3a

，而D 得到遗产的现值为v n

。由题意得

所以

1 ? v n

(1 + i)n

= 4

= v n

21.永久期末年金有A 、B 、C 、和D 四人分摊，A 接受第一个n 年，B 接受第二

个n 年，C 接受第三个n 年，D 接受所有剩余的。已知：C 与A 的份额之比为0.49，求B 与D 的份额之比。

那么P V C

P V A

P V B

a?n p

v2n

a?n p

v n

13n

= 0.49

= 0.61 P V D i v

22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。

100a?n p4.5%v4<1000

解：

100a n+1?p4.5%v4>1000

解得n = 17 列价值方程

解得100a16?p4.5%+Xv21 = 1000 X = 146.07

23.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。

解：两年金现值相等，则 4 × a

36?p i = 5× 18，可知v18= 0.25

由题意，(1 + i)n= 2 解得n = 9

24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k。

解：由题意可得方程

100a60?p1% = 6000(1 + i)?k

解得

25.已知a?2pi= 1.75，求i。解：由题意得

解得

k = 29

1 ? v2= 1.75i

i = 9.38%

26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。计算年利率。

解：

27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元，且第十年底的余额为一万元，计算K 。

解：由题意可得价值方程

10000 = 105Ka?2p4%v3+Ka?2p4% + 10000v10

则K = 10000?10000v10

105a?

2p4%v3+a?2p4%v5

= 979.94

28.贷款P 从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半，前四年半的年利率为i，后面的利率为j。计算首次付款金额X的表达式。

解：选取第一次还款日为比较日，有价值方程

P (1 + i)2= X + 2Xa?4pi+ 2Xa?5pj (1 + i)?4

所以

P (1 + i)12

X =

1 + 2a?4pi+ 2a?5pj (1 + i)?4

29.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付

款2000元，共计8次。

解：

30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知年利率为12%。（缺命令）

解：

P V = 4 × 400 + 4 × 600v5= 11466.14

31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现

值表达式。

解：

32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。解：

P V =

i a24?p i v3=(1 +i)24? 1

(1 + i)27[(1 + i)4 ? 1]

= a

28? ?p

a?4p

s?3p + s?1p

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33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R 元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求R 的表达式。

解：设年实利率为i ，则 (1 + 2%)2

= 1 + i 。有题意得

750 i + 750 20

pi i

=Ra 30?

解得

R = 1114.77

34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。

解：由题意知

解得

i = 20%

1 is?3

pi = 125 91

35.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R 元的永久期初年金，计算R 。

解：由题意得

解得

R = 1.95

20 = 1 d =

R 2

pi i

36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延时间。

(2)

解：设贴现率为d ，则1 +i

2 =

(1 ? d)1

2 设递延时间为t ，由题意得

10000 = 2 × 500v t ¨(2)

∞?p

解得

t =

ln 20 + ln(1 ? (1 ? d)2

) ln(1 ? d)

37. 计算：3a?(2)

= 2a

(2)

45s?(2)1p

，计算 i 。

解：

i i 3 ×a

pi = 2×

a?n

pi = 45 ×

s?1

解得：v n

=1 , i = 1 i (2)

。

i 2

2 30

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38.已知i(4)= 16%。计算以下期初年金的现值：现在开始每4个月付款1元，

共12年。（问题）

解：

39.已知：δt =1+1t。求ˉ?n p 的表达式。

解：

ˉ?n p = ∫n

e? R0t δs ds dt= ln(1 + n)

40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。

解：第一种年金的现值为

∫1

0 v t dt =

1 ? e?δ

第二种年金的现值为e?δt，

则

所以t = 1 +1δlnδ

i 1 ? e?δ

= e?δt

41.已知：δ = 0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现值。（结果和李凌飞的不同）

解：设季度实利率为i。因a(t) = eδt，则e14 δ= (1 + i) 所以

1 ? v80

P V = 100¨80?pi = 100(1 + i) i = 4030.53

42.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？

解：设年实利率为i，则i = eδ ? 1

设基金可维持t年，由两现值相等得

40000 = 2400a?t pi

解得t = 28

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43.已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，. . . 。另外，第6次和第7次付款的现值相等，计算该永久年金的现值。

解：由题意：11 13

(1+i)6=(1+i)7? i =112

P V = v + 3v2+ · · ·+ (2n ? 1)v n+ · · ·

= v[1 + P V + 2(v + v2+ · · ·)]

= v(1 + P V +

解得:P V = 66 1?v

)

44.给出现值表达式Aa?n p + B (Da)n|所代表的年金序列。用这种表达式给出如

下25年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。

解：年金序列：A + nB, A + (n ? 1)B, . . . , A + 2B, A + B

所求为25a

25?p

+ 3(Da)25|

45. 某期末年金（半年一次）为：800, 750, 700, . . . , 350。已知半年结算名利率

为16％。若记：A = a

10?p8%

，试用A表示这个年金的现值。

解：考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：

2 × (10 ? A)

300a10?p8% + 500(Da)10|8% = 300A + i(2) = 6250 ? 325A

46. 年利率8％的十年储蓄：前5年每年初存入1000元，然后每年递增5％。计算第十年底的余额。

解：由题意：

AV =1000s?5p8% (1 + 8%)6+ (1000 × 1.05 × 1.085+

1000 × 1.052× 1.084+ · · ·+ 1000 × 1.055× 1.08)

=100 0 (1 + 8%)5 ? 1

1.086+ 1000 × 1.05 × 1.085

1(1.05

1.08)5

11.05

1.08

=16606.72

47. 已知永久年金的方式为：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年底各300元，依此类推。证明其现值为:

100

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金融数学系i ? vd

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解：把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久年金. . .。从而

P V =v4100 1 1

= 100v4

1 1

= 100 v4 i a?

i i 1 ? v

2 i ? vd

48. 十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。证明其现值为：

1600¨10?p (I(4)¨)(4)1| 元

证：首先把一年四次的付款折到年初：m = 4, n = 1, R = 100m2= 1600 从而每年初当年的年金现值：

1600(I(4)¨)(4)元

再贴现到开始时：

1600¨10?p (I(4)¨)(4)1| 元

49. 从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3％，年利

率8％，计算现值。

解：半年的实利率：j = (1 + 8%)12 ? 1 = 3.923%

P V = 1 + 1.03

1 + j

1.03

+ 1.032

(1 + j)2

+ · · ·

= (1 ? 1 + j )?1

= 112.59

50. 某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。证明当前的准备金为：

6000¨?4p ¨(12)9/12|

证：首先把9个月的支付贴现到年初：m = 12, n = 9/12, R = 500m = 6000 从而每年初当年的年金现值：

6000¨(12)

贴现到当前：

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9/12|

6000¨?4p ¨(12)9/12|

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51. 现有如下的永久年金：第一个k 年每年底还；第二个k 年每年底还2R ；第三个k 年每年底还3R ；依此类推。给出现值表达式。

解：把此年金看成从第nk 年开始的每年为R 的永久年金(n = 0, 1, 2, · · · ):

每个年金的值为

Ra ∞?p

在分散在每个k 年的区段里：

Ra ∞| a k

再按标准永久年金求现值：

R(a ∞|)2 a k

52.X 表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X 表示首次付款

从第三年底开始的永久年金：1, 2, 3, · · · 的现值。计算贴现率。

解：由题意：

X =1

1 i 1+i

20X = (1

1 1

解得：i = 0.05

i +i 2)

(1+i)2

即：d =i

1+i = 0.04762

53. 四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，v 4

= 0.75，计算现值。与原答

案有出入

解： (期初年金)

P V = 1 + 6v 4

+ 11v 9

+ · · · =

(期末年金)

∑∞

(5n ? 4)v

n?4)=

i=1

(1 ? v 4)2

1 ? v 4

= 64

P V ¨ = v + 6v 5

+ 11v 10 + · · · = v · P V

59.5587

54. 永久连续年金的年金函数为:(1 + k)t

，年利率i ，如果：0 < k < i ，计算该年

金现值。与原答案有出入

解：由于0 < k < i ，故下列广义积分收敛：

P V = ∫ ∞ ∫ ∞ (1 + k)t

e ?δt dt = ( 0 0

1 + k 1 + i )t dt = 1 ln(1 + i) ? ln(1 + k)

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第 11 页

55. 递延一年的13年连续年金的年金函数为t 2

? 1 ，利息力为(1 + t)?1 ，计算该年金现值。与原答案有出入

解：

P V = exp(?

∫1

dt)

∫14

(t 2

? 1) exp(?

∫t ?1

ds)dt = 47.43

56. 给出下列符号的表达式:

∑n

(Ia)t |

和

t=1

解：由(Ia)t

|表达式有：

∑n

(Da)t

t=1

∑n

(Ia)t |

t=1

= ∑

n ¨tp

? ?tv t

t=1

1 ∑n

1 ∑

¨? ?t

ntv t

i t=1 i t=1

1 ∑n

[(1 + i) ? v t

?1]? i 2

i (Ia)n

展开求和即得

由(Da)t

|表达式有：

∑n

1 i 2

t=1 [n(1 + i) ? 2¨?n

p + nv n

]

∑n t ? a?t p

t=1

(Da)t

| =

t=1

= 1 i ∑n

t=1 t ? ∑ t=1

n 1 ? v t

= 1 n(n + 1) ?1

i 2 i 2

(n ? a?n

p )

(n + 1) ? n + a?n

i 2

57. 现有两种永久年金：A －金额为p 的固定期末年金；B －金额为q, 2q, 3q, · · · 的递增期末年金。分别对两种年金的现值之差为0和得到极大两种情况计算年利率。

北京大学数学科学学院金融数学系第12 页

P V A= pa∞?pi=p

q q

P V B= q(Ia)∞|= (1)当P V A= P V B时有：

ip = iq + q

i 2

解得：

p?q

不存在, p ≤ q

(2)令f(i) =p i ?q i ?i q2

f0(i) = ?

+ 2

= 0

解得：i

=2q

p?q p > q

58. 某零件的使用寿命为9年，单位售价为2元；另一种产品，使用寿命15年，单价增加X。如果某人需要35年的使用期，假定在此期间两种产品的价格均以年增4%的幅度增加，要使两种产品无差异的X为多少？(缺少利率?下面的计算年利率i = 5%)(与原答案有出入)

解：用9年一周期的产品，则有支付的现值为：

P V1= 2 × [1 + (

1.04

1.0

)9+ (

1.04

1.0

)18+ (

1.04

1.0

)27]

用15年一周期的产品，则有支付的现值为：

1.04 1

P V2= (2 + X) × [1 + (

由P V

1= P V2

有：X = 0.6992

1.0

)15+ ( 1.0

)30]

59. 计算m + n年的标准期末年金的终值。已知：前m年年利率7%，后n年年利

率11%，s

m?p7%

= 34, s?n p11% = 128。

解：由s?

p 的表达式有：(1 + 0.11)n= 0.11s?n p11%+ 1

AV = s m?p7%×(1 + 0.11)n+ s?n p11%

= s m?p7%×(0.11s?n p11% + 1) + s?n p11%

= 640.72

北京大学数学科学学院金融数学系第13 页

60. 甲持有A 股票100股，乙持有B 股票100股，两种股票都是每股10元。A 股票每

年底每股分得红利0.40元，共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。B 股票在前10年没有红利收入，从第11年底开始每年每股分得红利0.80元，如果乙也

是以年利率6%进行投资，并且在n 年后出售其股票。为了使甲乙在乙的股票出售时刻的累积收入相同，分别对n = 15, 20两种情况计算乙的股票出售价格。

解：设X 为买价，有价值方程：

0.4s 10

6% + 2 = 0.8s n

?10|6%+X(1 + 0.06)?(n?10)

从而有：

X = (0.4s 10

?p6%+ 2

? 0.8s n

?10|6%)(1 + 0.06)(

n?10)

5.22 n = 15

解得：X =

2.48

n = 20

61. 某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的6月30日和12月31日用半

年结算名利率8%结算利息。另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐

款5000元。(从1991年的7月开始？)每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖金。计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。

解：由题意：

AV = 100000(1 + 4%)20

+ 5000 s 20

?p 4% s?2

p4% ? 12000(1 + 4%)s 20?

p4% s?2

p4%

= 109926.021

62. 已知贷款L 经过N （偶数）次、每次K 元还清，利率i 。如果将还贷款次数减少

一半，记每次的还款为K 1

，试比较K 1

与2K 的大小。

解：由题意：

K 1

a m

?pi = Ka 2

m ?

? K 1

= K [1 + (1 + i)m ] < 2K

63. 已知贷款L 经过N 次、每次K 元还清，利率i 。如果将每次的还款额增加一倍，比较新的还款次数与N/2的大小。

解：由题意：

2Ka M

i =

Ka N

? v M

=1 +

> v 2

即：M < N/2

北京大学数学科学学院金融数学系 2

第 14 页

64. 从1990年的元旦开始在每年的1月和7月的第一天存款500元，年利率6%，问：什么时刻，余额首次超过一万元、十万元。

解：半年实利率：i = (1 + 6%)1/2 ? 1 = 2.9563% 余额首次超过X的时刻：

500¨2n|i ≥ X

X = 10000

从而解得：n ≈

35 X = 100000

65. 帐户A从1985年元旦开始每年初存款1000元，共计10年；帐户B从1985年元旦开始每年初存款500元；两帐户年利率均为5%。问：何时帐户B的余额首次超过帐户A。

解：由题意，设所求时间为n:

1000¨10?p5% ≤ 500¨?n p5%

解得：n ? 1 ≥ 30故在2015年的元旦B超过A。

66. 已知A = s n|i,B = s n+1|i。用A和B给出n和i的表达式。

解：由=(1+i)n?1 得：(1 + i)A = B ? 1

从而i =B?A?1

带入s

n |i

=A解得：n =

ln(A

B2?A?1

ln(B?1

+1)

)

67.分别对以下三种情况给出i的表达式:

1)A = a?n pi, B= s?n pi

2)A = a?n pi, B= a2?n pi

3)A = a?n pi, B= s2?n pi

√

解：1)Bv n= A ? i =n B

A ? 1

2)ia?n p +a a2n n||= 2 ? i =A2 √?A B2

3)v2n B= A + v n A ? i =n√ 2B

A+

A2+4AB ? 1

68. 对于固定的n和L，且L > n，证明：L = a?n p 在?1 < i < 1上有唯一解。

证：(斯图姆判别？) 考虑如下现金流：初始时刻投入L,而后的n年每年末得到回报1,从而此投资的内部收益率i满足

L = a?n pi

由于现金流只改变一次方向，从而由笛卡儿符号法则有，在?1 < i < 1,有

唯一的内部收益率。

69. 证明：(Ia)n pi+ (Da)ni= (n + 1)a n pi;s n+1pi=i(Is)n+ (n + 1)。并给出实际

背景解释。

n, n ? 1, · · ·, 1

证：1)实际意义：现金流拆分(n + 1), (n + 1), · · ·, (n +

1) ?1, 2, · · ·, n

(Ia)n pi+ (Da)ni=

= ¨? ?n p nv n+n? a?n p

i i

a?n p (i?d d) +n(1 ? v n)

= (n + 1)a?n p

2)实际意义：终值是本金(n + 1)和利息利滚利i(Is)n pi 的结果：

s n+1| ? (n + 1)

i(Is)n pi+ (n + 1) = i

= s n+1|

70. 当i > 0, n > 0时，有：

i + (n + 1)

(Ia)n pi < [(n + 1)/2]a?n pi < (Da)n pi

证：由69题有：[(Ia)

n pi

+ (Da)

]/2 = (n + 1)a?

/2从而，只要证：(Ia)n pi<(Da)n pi (?)

注意到：(Da)

pi ? (Ia)n pi ? (n ? 1), (n ? 3), · · ·, ?(n ? 3), ?(n ? 1) 这年金前后对称，而后面的贴现因子比较大，从而有(?)成立。

71. 某雇员在退休前的第37年参加企业养老金计划,当时年收入为18,000元，然后

每年以4％的速度增加(假定提薪恰好在每年的年中进行)。1)分别对以下两种退

休金方式计算年退休金占退休前一年年薪的比例：如果年退休金为工作期间年平均工资的70%；年退休金为年平均工资的2.5%再乘以工作年限。

2〕如果企业和个人分别将年工资的3%存入年利率6%的养老基金，试对以上两种

退休金方式计算退休金的领取年限。

北京大学数学科学学院金融数学系第16 页

解： 1)平均工资：$ = 18000(1 + 1.04 + · · · + 1.0436

)/37 = 39747.04

退休前一年的工资：18000 × (1 + 0.04)36

= 73870.79 法一：年退休金：0.7$ = 27822.93,比例为：37.66%

法二：年退休金：0.25$ × 37 = 36766.01,比例为：49.77% 2)企业和个人各存3%则一共存6%,从而这笔基金的终值为：

∑36

P = 18000 × 6% ×

(1 + 4%)t

(1 + 6%)

= 235871.7

t=0

设年退休金为R,则有：

R¨?n

p6% ≤ P

解得：

n =

12第一种方式 8第二种方式

72.已知永久期初年金为：首次1元；第二年初1 + 2元；第三年初1 + 2 + 3元；依此类推；第n 年初1 + 2 + · · · + n 元。证明该年金的现值为:¨∞p (I¨)∞p 。

解：进行现金流拆分：从第一年出发的一份标准永久年金，从第二年出发的两

份标准永久年金，· · · ,从第n 年出发的n 份标准永久年金· · · 。分别求各个子

现金流的现值得到如下的现金流：

¨∞p , 2¨∞p , · · · , n¨∞p , · · ·

其现值即为原年金的现值：¨∞p (I¨)∞p 。

73.已知连续年金函数为f(t)，0时刻的年金为F 0

，利息力δ，如果用F t

表示时刻t 的

年金终值，证明:

dF t

= δF t

+ f (t)

证：由定义

F t

dF t

∫t

f (s)e (

t?s)δds = e tδ

∫t

f (s)e ?s)δds

dt = δe δt

f (s)e ?δs ds + f(t) = δF t

+ f (t)

74. A 从B 处借得10,000元，年利率4%，计划分40次按季度等额偿还。在第6年

底，B 希望立即收回所有借款，因此将今后接受还款的权利转卖给C ，转卖价格

使C 今后几年的年收益率将达到6%，计算转卖价格。

北京大学数学科学学院金融数学系

第 17 页

解：A从B借款：季度实利率为i = (1 + 0.04)1/4 ? 1

10000 = Ra40?pi

B把后16次的还款卖给C：季度实利率为：i0= (1 + 0.06)1/4 ? 1

a40|i0

解得：P = 4303.1。P = Ra40|i0= 10000 a

40?pi

75. 现有两种年收益率相同的投资选择：A－第5年底收益800元，第10年底收

益100元；B－10年间每年底收益100元。如果投资A的成本为425元，计算投资B的成本。

解：投资A的价值方程：

C A= 425 = 800v5+ 100v10? v5= 0.5

投资B的价值方程：

1 ? v10

C B= 100a10?p= 100 i = 504.38

76. 已知: a?5p = 3.982, a10?p = 6.680, a15?p = 8.507，计算利率i (有必要给出a15?p = 8.507吗？)。

解：由a?

p 的表达式易见：

解得：v5=

10|

a5|

? 1 ? a?5p =

2 ?

10|

i =

a5|

?a10|

= 0.081

77. 某人有3700元的借款，今后在每月初还款325元，问：在一年内还清借款的可接受年利率为多少？

解：由题意：

325¨12?p i = 3700

解得：i = (1 + 0.00972)12? 1 = 12.31%

北京大学数学科学学院金融数学系第18 页

北大版金融数学引论第二章答案

版权所有，翻版必究 ~ 第二章习题答案 1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。解： S = 1000s 20 ?p 7%+Xs 10 ?p 7% X = 50000 ? 1000s 20 ?p 7% s 10 ?p7% = 2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解：设首次付款为X ，则有 10000 = X + 250a 48 ?% 解得 X = 3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =1 。试计算该年金的现值。解： P V = na?n pi 1 ? v n n = n 1 n = (n + 1)n n 2 ? n n +2 (n + 1)n 4．已知：a?n p = X ，a 2 ?n p = Y 。试用X 和Y 表示d 。解： a 2 ?n p = a?n p + a?n p (1 ? d)n 则 Y ? X d = 1 ? ( X ) 5．已知：a?7 p = , a 11 ?p = , a 18 ?p = 。计算i 。解： a 18 ?p = a?7 p + a 11 ?p v 7 解得 6.证明： 1 1?v =

s i = % ?+a?。 s? 北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页

版权所有，翻版必究证明： s 10 ?p + a ∞?p (1+i)?1+1 1 s 10 ?p = i (1+i)?1 i i = 1 ? v 10 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解： P V = 100a?8p3% + 100a 20?p 3% = 8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解：设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日 1000¨25?p8%=X¨15?p7% 解得 9．已知贴现率为10%，计算¨?8 p 。 X = 解： d = 10%，则 i =1 10.求证： (1) ¨?n p = a?n p + 1 ? v n ； 1?d ? 1 =1 9 ¨?= (1 + i) 1 ? v 8 i = (2) ¨?n p = s? ?n p 1 + (1 + i)n 并给出两等式的实际解释。证明： (1)¨?n p =1?d v =1 ?v =1 ?v i + 1 ? v n 所以 (2)¨?n p = (1+ i)?1 ¨?n p = a?n p + 1 ? v n (1+i )?1=(1+i)?1 n ? 1

北大版金融数学引论第二章答案,DOC

版权所有，翻版必究第二章习题答案 1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。计算X。解： S=1000s20?p7%+Xs10?p7% X= 50000?1000s20?p 7% s10?p7% =651.72 4年。 6.证明：1 1?v10=10?p+a∞?p 。 s 10 ?p 北京大学数学科学学院金融数学系第1页

版权所有，翻版必究证明： s 10 ?p +a ∞?p (1+i)10 ?1+1 1 s 10?p = i (1+i)10 ?1 i i = 1?v 10 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解： PV =100a?8p3% +100a 20?p 3% =2189.716 8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%， ¨?n p =s??n p 1+(1+i) n

12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。解： PV =100a49?p1.5% ?100a?2p1.5% =3256.88 AV =100s49?p1.5% ?100s?2p1.5% =6959.37 13.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1－10年和第21－30年中每年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金 36；另

金融数学引论答案第一章--北京大学出版[1]

第一章习题答案 1.解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是:a(t) =A(t)/A(0)=（t 2 + 2t + 3）/3 In = A(n) ? A(n ? 1) = (n 2 + 2n + 3) ? ((n ? 1)2 + 2(n ? 1) + 3)) = 2n + 1 2. 解:()n n-1t 11I A(n)A(t)I I I n(n 1)/2t(t 1)/2+=-=+++=+-+??? (2)1t 11 I A(n)A(t) 22n n k k t I ++=+=-= =-∑ 3.解: 由题意得 a(0) = 1, a(3) =A(3)/A(0)= ? a = , b = 1 ~ ∴ A(5) = 100 A(10) = A(0) ? a(10) = A(5) ? a(10)/ a(5)= 100 × 3 = 300. 4. 解：(1)i5 =(A(5) ? A(4))/A(4)=5120≈ % i10 =(A(10) ? A(9))/A(9)=5145≈ % (2)i5 =(A(5) ? A(4))/A(4) ()()()54410 9 109 100(1 0.1)100(1 0.1) 10% 100(1 0.1)100(1 0.1)100(1 0.1) i (A 10A 9)/A 9 10%100(1 0.1) +-+==++-+=-= =+ 5.解:A(7) = A(4)(1 + i5)(1 + i6)(1 + i7) ; = 1000 × × × = 6.解: 设年单利率为i 500(1 + = 615 解得i = % 设500 元需要累积t 年 500(1 + t × %) = 630 解得t = 3 年4 个月 } 7.解: 设经过t 年后，年利率达到% t 1 4%t (1 2.5%)+?=+ t ≈ 8. 解:(1 + i)11 = (1 + i)5+2*3 = XY 3 9. 解: 设实利率为i 600[(1 + i)2 ? 1] = 264 解得i = 20% ∴ A(3) = 2000(1 + i)3 = 3456 元 10.解: 设实利率为i

北大版高等数学第4章习题集解答

习题 4.1 3212121.()32[0,1][1,2]Rolle 0,(0)(1)(2)0,()[0,1][1,2]Rolle 620,33(0,1),(1,2),()()0.33 2.f x x x x f f f f f x x x x x x f x f x =-+==='-+===+''= ∈===2验证函数在区间及上满足定理的条件并分别求出导数为的点. 处处可导故在区间及上满足定理的条件.f (x)=3x 讨论下列解1111()[1,1]Rolle ,,(1,1),()0. (1)()(1)(1),,;(2)()1(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)()0,(1,1),()0.1 (2)(m n m n m n m n f x c f c f x x x m n f x f x m x x n x x m n x x m mx n nx c f c m f x -----∈-'==+-='=+--+--'=+----== ∈-=+'函数在区间上是否满足定理的条件若满足求使为正整数解1/32 ),(0). 3 3.()ln [1,],?11 (),()(1)ln ln11(1), 1. https://www.docsj.com/doc/5618076795.html,grange (1)|sin sin |||; (2)|tan tan |||,,(/2,/2); (3) ln x f f x x e c f x f e f e e c e x c y x x y x y y x x y b a b b b a ππ-'=-=='=-=-==-=--≤--≥-∈--<<不存在写出函数在区间上的微分中值公式并求出其中的应用中值定理,证明下列不等式:解222(0).(1)|sin sin ||(sin )|()||cos |||||.(2)|tan tan ||(tan )|()|sec ||||. (3)ln ln ln (ln )|()((,)).5.()(1)(4)x c x c x c a a b a x y x x y c x y x y y x x y x c y x y x b a b b a b a b a x b a c a b a a c a P x x x ===-<<'-=-=-≤-'-=-=-≥----'<=-=-=∈<=--证明多项式的导函数的证1,212,. ()1,2,Rolle ,,,()(2,1),(1,1),(1,2). 6.,,,:()cos cos 2cos (0,). n n P x P x c c c f x c x c x c nx π±±---=+++L L 三个根都是实根并指出它们的范围有四个实根根根据定理它的导函数有三个实根又作为四次多项式的导函数是三次多项式,最多三个实根,故的导函数的三个根都是实根,分别在区间设为任意实数证明函数在内必有根证

北大版金融数学引论答案

北大版金融数学引论答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

解： S = 1000s 20p 7% + Xs 10p 7% X = 50000 1000s 20p 7% s 10 p7% = 2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解：设首次付款为X ，则有 10000 = X + 250a 48% 解得 X = 3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =1 。试计算该年金的现值。解： P V = na n pi 1 v n n = n 1 n = (n + 1)n n 2 n n +2 (n + 1)n 4．已知：a n p = X ，a 2n p = Y 。试用X 和Y 表示d 。解： a 2n p = a n p + a n p (1 d)n 则 Y X d = 1 ( X ) 5．已知：a 7 p = , a 11p = , a 18p = 。计算i 。解： a 18p = a 7 p + a 11p v 7 解得 6.证明： 1 1v = s +a 。 s i = %北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页

版权所有，翻版必究证明： s 10p + a ∞p (1+i)1+1 1 s 10p = i (1+i)1 i i = 1 v 10 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解： P V = 100a 8p3% + 100a 20p 3% = 8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解：设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日 1000¨25p8%= X¨15p7% 解得 9．已知贴现率为10%，计算¨8 p 。 X = 解： d = 10%，则 i =1 10.求证： (1) ¨n p = a n p + 1 v n ； 1d 1 =1 9 ¨8 p = (1 + i) 1 v 8 i = (2) ¨n p = s n p 1 + (1 + i)n 并给出两等式的实际解释。证明： (1)¨n p =1 d v =1 v =1 v i + 1 v n 所以 (2)¨n p =(1+ i)1 ¨n p = a n p + 1 v n (1+i )1=(1+i)1 n 1 d = i + (1 + i) 所以 ¨n p = s n p 1 + (1 + i) n

金融数学引论答案第二章北京大学出版[1]

第二章习题答案 1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。解：20|7%10|7% 50000100020|7%10|7% 1000 651.72s s s S s X X -=+== 2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解：设首次付款为X ，则有 48|1.5%1000250X a =+ 解得X = 1489.36 3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i = 1 。试计算该年金的现值。解： 22 |1( 1)1( 1)n n n n i n v n n n PV na n n n +-+-===+ 4．解： ]]]2(1)n n n n a a a d =+-则1 1()n Y X d X -=- 5．已知：]]]71118 5.58238, 7.88687, 10.82760a a a ===。计算i 。解： ]]]718711a a a v =+解得i = 6.0% 6.证明：]]] 10101 110s a v s ∞+=- 证明： ]]]10101010 10(1)111(1)11i s a i i i s v i ∞+-++==+-- 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解： 8p]3%20]3%100100 2189.716a a PV =+=8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，

北大版高数答案

习题 1.1 22 22222222222222 22. ,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,. ,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b ====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,, .,..,: (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2). (2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4. ,| 1.(1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.: 6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z L 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数满足考虑有理数集合 = 若则中有最小数-=证 7.(,),(,).1/10.|}.10n n n n a b a b m n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数满足考虑无理数集合以下仿8题.8.证习题1.2

北大版高等数学课后习题答案完整版

习题 1.1 22 22222222222222 223. 33,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,. ,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p p a a p a b p a pb b b ====+=+=++=++======证明为无理数若不是无理数,则为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数证明是无理数设为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,, .,..,: (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2). (2)232,15,1||5,1||5,(1,5)(5,1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?--+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11n n n n x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a a n n a a b a a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><-<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若显然解(1)证5.: 6.120000(1)(1)(1). (,),(,).1/10.{|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n n n a b b n a a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m ---+++>-<-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数满足考虑有理数集合 = 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.{2|}.10n n n n a b a b m n b a A m <-=+ ∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数满足考虑无理数集合以下仿8题.8.证习题1.2

北大版高等数学第5章习题解答

习题5.1 1.,,,,,().11 ,,().22 ABCD AB AD AC DB MA M AC DB MA AM AC ===+=-=-=- =-+设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点解a b.a b a b a b a b () 2.,1 (). 2 11 22 1 ().2 M AB O OM OA OB OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+=+-=+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明证 3.,,1 (). 3 221 () 332 1 (), 3 1(),3M ABC O OM OA OB OC OM OA AM OA AD OA AB AC OA AB AC OM OB BA BC OM OC =++=+=+=+?+=++=++=设为三角形的重心为空间中任意一点证明证1 (). 3 1 3,(). 3 CA CB OM OA OB OC OM OA OB OC ++=++=++ 4.,1 ,(). 4 1 (), 2 11 (),(), 221 (). 2 4ABCD M O OM OA OB OC OD OM OA AM OA AB AD OM OB BA AD OM OC BA DA OM OD AB DA OM OA OB OC OD =+++=+=++=++=++=++=+++设平行四边形的对角线交点为为空间中的任意一点证明证1 ,(). 4 OM OA OB OC OD =+++

2222225.?(1)()();(2)();(3)()(). (1).:()().(2).:()0, 1.(3),6.==?=?======0对于任意三个向量与判断下列各式是否成立不成立例如,不成立例如,成立都是与组成的平行六面体的有向体积利用向量证明三角形两边中点的连线平行解a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b a b i c =j.a b c =j,b c a =a i b j,a b a b a,b c .,1122 11 ().22DE DA AE BA AC BA AC BC =+= +=+=于第三边并且等于第三边长度之半.证 2227.: (1),;(2).(1)()()()()||||0. ()cos |||||||||||||AC BD AB BC BC CD AB BC BC CD BC CD AB AC AB AB AD AB AB AB AD a AB AD AB AC AB AC AB AC α=++=+-=-=+++===利用向量证明菱形的对角线互相垂直且平分顶角勾股弦定理证2, ||()cos cos . ||||||||||| ,. a AC AD AB AD AD AB AD AD a AB AD AB AC AB AC a AC βααβαβ+++=====与都是锐角故 22 2 2 2 (2)||()()||||2||||. AC AC AC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC ==++=++=+ 2222222222222222228.()()||||. ()()||||cos ||||sin ||||(cos sin )||||.9..||.AB AC ABC ABC ABDC AB AC αααα?+=?+=+=+=?=?证明恒等式试用向量与表示三角形的面积11 的面积= 的面积22 证解a b a b a b a b a b a b a b a b a b 2222222 2 2210.,,,()()2(). ()()()()()()222(). =++-=+++-=+++--=-+给定向量记为即现设为任意向量证明证a a a a a a a.a b , :a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a +b b +a b +a a +b b a b =a b

教学大纲_金融数学

《金融数学》教学大纲课程编号：121333B 课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课 ?专业必修课□专业选修课 □学科基础课总学时：48讲课学时：32实验（上机）学时：16 学分：3 适用对象：金融数学先修课程：数学分析、概率论、数理统计、金融学一、课程的教学目标本课程为统计学院金融数学本科专业的专业选修课。设置本课程的目的是为了使学生掌握有关利息和利率的基本计算、年金终值和现值的计算、投资收益率分析、债务偿还方法等定量基础知识，能够运用上述理论知识进行固定收益证券定价、利率期限结构分析、利率风险分析和期权定价，并了解金融领域的随机分析原理。通过教学，使学生初步掌握金融领域的数量分析工具和应用方式，为后续的证券投资分析、风险理论分析等与金融分析相关的课程打下扎实的基础。二、教学基本要求（一）教学内容讲授要求本课程主要内容包括：（1）利息基本计算：利息基本函数、利息基本计算；（2）年金：标准年金、一般年金；（3）投资收益分析：基本投资分析、收益率计算、资本预算；（4）债务偿还：摊还法、偿债基金；（5）固定收益证券的定价；（6）实际应用：住房贷款分析、固定资产折旧分析、资本化成本分析；（7）

利率风险；（8）利率期限结构；（9）期权的二叉树定价；（10）随机利率模型。其中（1）（2）（3）（4）（5）五部分内容为本课程的基础知识部分，需要细讲精讲，这五部分内容涉及到较多概念，讲授过程中需通过大量的例题讲解练习，使学生充分理解并掌握各种概念的相关性和差异性，能够熟练地运用这些概念进行相关计算。（6）（7）（8）（9）（10）五部分内容为金融数学基础知识的相关应用，目的在于训练学生对所学知识的综合应用能力，其中固定收益证券定价、利率风险和期权的二叉树定价是重点，需要在精讲的基础上结合实际的金融产品进行应用训练，实际应用、利率期限结构和随机利率可根据教学进度和学生掌握情况进行选讲。（二）教学方法和教学手段本课程教学目标为通过本课程的学习，要求学生能够运用基本的数学方法和金融知识对金融产品进行综合定量分析、产品定价和风险的评估与管理。根据该目标的特征，主要采用演绎法进行知识讲解，用归纳法系统化知识点。首先根据金融经济背景引出需掌握的基本概念，通过例题讲解演示基本的计算方法，然后要求学生自行分析类似的问题，练习并掌握所学知识点，通过归纳法找出各个例题和习题中所蕴含的知识点，最后结合实际金融产品进行综合分析，以训练学生的应用能力，所用到的教学手段主要为课堂多媒体教学。（三）课后作业及学生自学要求教师可根据所授知识点的多少及相关性自行安排课后作业的布置，既可以从教材中选择相应的习题作为作业，也可以另外给出习题作为作业。对于课堂中未讲授的部分知识，分两种情况，一种是知识点比较简单，学生通过自学可以掌握的，教师为节约课时要求学生自学，学生需通过自学达到教学大纲对该知识点的要求。另一种是超过本课程教学大纲知识点要求范围的，学生可根据兴趣自行学习，对掌握程度不作要求。（四）课程考核方式本课程建议期末采用开卷方式考核，最终考核成绩=平时成绩×30%+期末考试成绩×70%，平时成绩综合作业、出勤和回答问题三种情况由教师酌情给

北大版高等数学第一章函数及极限答案第一章总练习题

第一章总练习题 221.:581 2. 3|58|1422.|58|6,586586,. 3552 (2)33,5 2 333,015. 5 (3)|1||2| 1 (1)(2),2144,. 2 2|2|,. 2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2. 解22231231 2,4,(2). 3 2,41 (2), 4.3 1 3.1. 2 2,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.22222 121 1,.22 123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤??=?->??<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++ 的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111 12 1 2 112 22 11231222222 2124(1)(1)3222,2222 1..1(1)(2)123(1). (1)1(11)1(1)1,(1)(1) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nx x x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===-- 即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1 21 2 .1(1)123(1)(1)(1) n n n n n n n x nx x x nx n x n x x +--++++++++=++- 等式成立设等式对于成立,则

金融数学引论第三章北大

第三章习题答案 1 已知某投资的内部回报率为r ，且在该投资中C0 = 3000 元，C1 = 1000 元，R 2 = 2000 元和R 3 = 4000 元。计算r 。解: 令v = 1 1+r ，由P(r) = 0 有 C0 + C1v ?R2v2 ?R3v3 = 0 代入数据，解得： v ≈0.8453 ∴r = 18.30% 2 十年期投资项目的初期投入100, 000 元，随后每年年初需要一笔维持费用：第一年3000 元，以后各年以6% 的速度增长。计划收入为：第一年末30,000 元，以后逐年递减4% ，计算R6 。解: 由i = 6%, j = 4% R6 = 30000(1 ?j)5 ?3000(1 + i)5 = 30000 ×0.965 ?3000 ×1.065 = 20446.60元 3 已知以下投资方式：当前投入7000 元，第二年底投入1000 元；回报为：第一年底4000 元，第三年底5500 元。计算：P(0.09) 和P(0.10) 。解: 净现值P(i) 为： P(i) = ?7000 + 4000(1 + i)?1 ?1000(1 + i)?2 + 5500(1 + i)?3 P(0.09) = 75.05元 P(0.10) = ?57.85元北京大学数学科学学院金融数学系第1 页版权所有，翻版必究 4 计算满足以下条件的两种收益率的差：当前的100 元加上两年后的108.1 5 元，可以在第一年底收回208 元。解: 设收益率为i ，其满足： ?100 + 208v ?108.15v2 = 0 解得 i = 2.03% 或6.03% 两种收益率的差为4.00% 5 每年初存款，第10 年底余额为1000 元，存款利率4% ，每年的利息收入以4% 的利率进行再投资。给出每年存款金额的表达式。解: 以第10 年底为比较日，有以下的方程 10R + 4%R(Is)10p3% ￢= 1000 解得 R = 1000 10 + 4%(Is)10p3% ￢ 6 现在10000 元贷款计划在20 年内分年度还清，每年还款1000 元。如果贷款方

(推荐)金融数学方向读书计划

金融数学方向读书计划 1.数学分析彭立中周民强方企勤《数学分析》O17/26 教参阅览室 2.高等代数丘维声《高等代数》O15/49.1教参阅览室 3.几何学丘维声《解析几何》O182/11 自然科学阅览室 4.抽象代数丘维声《抽象代数基础》O153/32 库本阅览室 5.概率论汪仁官《概率论引论》O211/36 教参阅览室 6.常微分方程李承治《常微分方程教程》O175.1/26 教参阅览室 7.利息理论与应用吴岚《金融数学引论》 F830/287 新书阅览室 8.实变函数郭懋正《实变函数与泛函分析》O174.1/46 石头有 9.偏微分方程谷超豪《数学物理方程》515.71/2647.2 教参阅览室 10.应用随机过程钱敏平《应用随机过程》O211.6/34 教参阅览室 11.数理统计陈家鼎《数理统计学讲义》O212/46 教参阅览室 12.寿险精算杨静平《寿险精算基础》F840.62/22教参阅览室 13.经济动力学基础龚德恩《动态经济学----方法与模型》F037/14 教参阅览室 14.数学模型雷功炎《数学模型讲义》O141.4/11 教参阅览室 15.测度论中山大学《测度与概率基础》O211.1/2 自然科学区 16.应用多元统计分析高惠璇《多元统计分析》 O212.4/23 库本阅览室 17.非寿险精算王静龙《非寿险精算》F840.4/24 人文社科区 18.时间序列分析安鸿志《时间序列分析》O211.61/10 自然科学区讨论材料： Extremes and Integreted Risk Management, Paul Embrechts, UBS Warbug, 2000 汇率导论1997年中国金融出版社作者王爱俭

北大版高等数学第一章-函数及极限答案-习题1.2

习题 1.2 2 22 2 22 ln(4);(2) 40,||4,||2,(,2)(2,). 1010 1 (2)0..11,(1,1). 1010 1 5 (3)1,540.540,( 4 y x y y y x x x D x x x x D x x x x x x x x x x =-=== ->>>=-∞-?+∞ ->-< ?? + >-<<=- ?? +>+< -?? - >--<-+= 求下列函数的定义域或 1.: (1) 解(1) 12 2 12 2 1)(4)0,1, 4. (1,4). (4)2530.(21)(3)0,3,1/2.(,3)(1/2,). (), ()1,(0,3).()(1,10). (2)()ln(1sin),(/2,],()(,ln2]. (3)( x x x D x x x x x x D f X X f x x X f X f x x X f X f x ππ --=== = +->-+==-==-∞-?+∞ =+== =+=-=-∞ 求下列函数的值域其中为题中指定的定义域 2.. (1) 22 12 2 )[1,3],320,230,(1)(3)0, 1,3,()[0,(1)][0,4]. (4)()sin cos,(,). ()cos(/4)cos sin(/3))/4),()[ ln (1)(),(1) ln10 X x x x x x x x x f X f f x x x X f x x x x f X x f x f πππ ==-+-=--=+-= =-=== =+=-∞+∞ =+=+= =- 求函数值：设求 3. 2 ,(0.001),(100); (2)()arcsin,(0),(1),(1); 1 ln(1),0, (3)()(3),(0),(5). , 0, cos,01, (4)()1/2,1,(0),(1),(3/2),(2). 2, 13 (1)()l x f f x f x f f f x x x f x f f f x x x x f x x f f f f x f x - =- + --∞<≤ ? =- ? -<<+∞ ? ?≤< ? == ? ?<≤ ? = 设求设求设求解264 og,(1)log10,(0.001)log(10)6,(100)log10 (2)(0)0,(1)arcsin(1/2)/6,(1)arcsin(1/2)/6. (3)(3)ln4,(0)0,(5) 5. (4)(0)cos01,(1)1/2,(3/2)(2) 4. 2 4.(), 2 x f f f f f f f f f f f f f x f x x x ππ - -==-==-= ===-=-=- -===- ===== + =≠ - =4.设函数 11 2,(),(1),()1,,. () 2213 (),2;(1),1,3, 2211 f x f x f x f x f x x x x f x x f x x x x x x ?? ±-++ ? ?? -+++ -=≠±+==≠≠- +--- 求解

金融数学引论答案 .docx

第一章习题答案 1.设总量函数为A(t) = t2 + 2/ + 3 o试计算累积函数a(t)和第n个吋段的利息【仇°解：把t =()代入得4(()) = 3于是： 4(t) t? + 2t + 3 啲=丽=3 In = 4(北)一A(n一1) =(n2 + 2n + 3) — ((n — I)2 + 2(n — 1) + 3)) = 2n+l 2.对以下两种情况计算从t时刻到冗(￡ < n)时刻的利息：(1)厶(0 < r < n);(2)/r = 2r(0

。(0) = 1, ?(3) = = L72 => a = 0.0& 6=1 4(5) = 100 >1(10) = 4(0) ? ?(10) = 4⑸? W = 100 x 3 = 300. a(5) 4.分别对以下两种总量函数计算订和讪: (1) A(t) = 100 + 5t; (2) A(t) = 100(1 + 0.1尸? 解： (1) _ 4(5) - 4(4) 5 _ 4(4) 5 二面-.17% . 4(10)-4(9) 210 =—4(9)— 5 =—^ 3.45% 145 ⑵ _ 4(5) - 4(4) 5 - 4⑷ _ 100(1 + 0.1)5 - 100(1 + 0.1)4 = 100(1+ 0.1)4 =10% . 4(10) —4(9) 皿= _ 100(1+ O.1)10-100(1+ 0.1)9 = 100(1 + 0.1)9 =10% 5?设4(4) = 1000, i n = O.Oln.试计算4(7)。解：虫⑺=人(4)(1 + %5)(1 + %)(1 + V) =1000 X 1.05 X 1.06 X 1.07

[经济学][数学] 数理金融引论

朋友你好，首先我要告诉你这是一则广告，广告都应该懂吧，卖东西的，所以如果你是不想花钱的那您可以走了，以免耽误您的宝贵时间！还有那些自以为很聪明的人，觉得我是骗钱的人也可以走了，以免看完后你会觉得我侮辱了你的智商。好了，声明已毕，不是以上两种人的感兴趣的朋友留下来接着往下看，下面就书归正题言归正传…. 朋友，在你的生活当中是否遇到过这样那样的不方便呢，你是否想过用什么方法去解决这些不便让我们的生活变得更加的轻松愉快呢！我是一个并不聪明的人，学上的也不多，但是我从小就喜欢琢磨研究，喜欢动手制作一些小制作，有什么东西坏了就兴致勃勃的想法修理，有什么东西不好用时我总是想着去改进，虽然没有什么大的发明创造但我还是对我的一些小小创意沾沾自喜。哈哈太自我感觉良好了吧，没办法谁让俺是凡间俗子呢嘿嘿还有就是自从我有了电脑接触了网络，真可以说是让我大开眼界如获至宝，也许你觉得我说的太夸张了吧，呵呵是的电脑对于很多人来说似乎只是一个很普通的家电一个娱乐消遣的工具，还有很多人把网络定义为网聊，说什么网络是虚拟的网络没真情什么的，什么伤心了要离开网络以后不上网了什么的，似乎网络仅仅只是给那些发骚男女勾搭的平台似的，真是让我气愤不已，哭笑不得，难道网络除了聊天游戏娱乐等就没别的用处了吗，很多人刚接触电脑和网络还有喜欢和兴趣，可是等新鲜劲儿一过就完了，甚至有些人把宽带给注销了，哈哈我觉得太好笑了，我不知道该怎么描述我对网络的好评，简单说吧，网络里什么都有，只有你想不到的，没有它没有的，如果说没有那只是你没找到罢了！！！好了不再多说了，下面我就把我最近琢磨出来的几个小小的窍门和我在网络发现的几样好东西拿出来有偿的和大家分享一下，呵呵又俗了，哎没办法经济社会嘛。当然也许你觉得并不好并不感兴趣，没事如果你没兴趣就一看而过吧哈哈我先说一下我的那几个小窍门吧（1）班中玩手机带来的启示，惊爆别人的耳膜，扭断别人的脖子，哈哈我可不想害人我只是想要回头率谁若不回头它准是聋子嘻嘻这就是惊世骇俗柔情似水荒唐的简直太不象话的……哈哈说什么呢有点乱啊哈哈这就是————手机QQ个性消息提示音。漫长的值班时间总是那么难熬，难熬的时候总是手机QQ与我相伴，聊天的时候总是会接到领导的电话，接电话的时候QQ滴滴滴的声音总是会通过长长地电话线传到领导的耳朵里，领导知道了我在班上玩手机总是会很不爽，领导要是不爽总是会让我很难过，哎咋办啊要是设置静音，不能及时的知道友友们给我发来了消息我又会觉得很不爽。把提示音设置成别的声音让领导不知道那是啥声就好了，拿起手机翻看QQ所有的设置，晕竟然没有这个功能，哎没办法就让它滴滴去吧。可是事情并没有就此完结，上天对我太眷顾了，一次摆弄手机的时候竟然让我发现了一个秘密，一下让我联想到了更改提示音，如果我这样这样这样做是不是就能更改提示音了呢，回到家马上把手机连上了电脑按我所想的方法一弄，天呐成功了哈哈趁着兴致我用了很多种稀奇古怪有趣的声音去做提示音，嘿嘿太有意思了聊天时手机竟然发出了这样的声音，靠太雷人了！刚才所说的是要回头率的，有点太不低调了，其实你也可以设置一些低调的温柔的柔情的比如男友温柔的低语，女友娇羞的呢喃或者撒娇时的话语都可以作为你的QQ提示音。这样说吧，只要是声音，不管是风声雨声打雷声，车声船声飞机声，手枪机枪大炮声，地雷导弹爆炸声，鸡声狗声蛤蟆声，喘气打呼放屁声，总之总之一句话只要是我们耳朵能够听到的声音就可以变成你的QQ提示音，资料里详细讲解了声音的采集制作和如何设置的方法，其实你也可以把这些有趣的喜欢的声音设置为你的短信息和来电铃声的，其实很简单一说就懂一看就会，只需在电脑上的几步普通的操作无需专业的电脑知识，谁都可以在几分钟之内完成你快乐的个性之旅！！！（2）《快速拆装式简易保温浴房》这个名字是我自己给我的这个小小设计取的名字，呵呵见笑了。注意了：如果你已经拥有了一个四季都能舒舒服服洗澡的浴室就不用看下去了。本设计只为解决那些没洗澡间或有洗澡间但因冬季气温低无法在家洗澡的朋友们的困扰。随着经济的发展太阳能热水器已经走进了千家万户，大家知道太阳能热水器是冬天也可以用的，只要在室外管道部分做好防冻措施。但是在大部分农村或者说居住平房的居民来说冬天在家洗澡还是个难题，由于房屋格局设计的缺陷和不能统一供暖的问题，

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