大一数学分析复习题
3322
1221
132
1.lim _____
21
2.lim _____
3(5)33.lim _____
(5)34
4.lim ______
31
1234....(21)25.lim _____
1
(2)6.lim ______
124...(2)7.lim(
n n n n n n
n n n n n n n n n n
n n n
n n n n n
n →∞→∞++→∞→∞
→∞+-→∞→∞+=++=+-+=-+=+-+-+-++--=--=-+-+-数列极限练习题
21213
)______
2
1
1118.lim ....(1)______
3927319.lim 0,____,_____
110.(1)lim(12),_____
(2)4,__11.lim(2)5,lim n n n n n
n n n n n n n n n an b a b n x x a a b -→∞→∞
→∞
→∞
→∞
--=+??-+++-=??????+--=== ?+??
-+=则若存在则实数范围已知无穷等比数列的各项和是则首项的取值范围是已知{}1
(3)1,lim()113(1)
12.,1342(1)lim (2)lim n n n n n n n n n n n
n n a b a b n n n a S a n n a S →∞
-→∞
→∞
-=-??
≤≤?+?=?
??≥??求的值
若为数列的前项和求
{}{}12123101511113.,9,27,,lim 31
14.,1,,,32
lim 15.,321111lim 4lim 1....(1),323927316.{},{}0n n n
n n n n
n n n
n n n n n n n n a a a a a a n S S S a a n S S S a R a a a a b →∞
→∞
++--→∞→∞+===-=∈-?
?=-+-++-??+??
数列为等比数列前项和为求数列为等比数列前项和为求已知且求范围
数列都是公差不为的等差数列12211212
22
1121
,lim 2, (i)
17.{},1,(...)18.{}(0),,,lim
,lim ...19.{},,lim
n
n n
n
n n
n n n n n n n
n n n n n n n n n n
a b a a a nb a a a k a a k a q q a a S S n S S a a a a q n S a S →∞
→∞
++→∞
→∞++→∞
=+++==++>=++=求数列为无穷等比数列求实数的范围数列是公比为的无穷等比数列前项和为求无穷等比数列公比为前项和为2423521111,1...20.lim
...1
21.{},lim(
)12
n
n n n n n q q a a a a a a a a a q q q a -→∞→∞
-++++++++-=
+求范围求等比数列公比为求取值范围
1122
24122213212
22.{},1,3
(1)lim (2)lim(...)
23.{},4,16,lg lg ...lg lim
24.{},53,lim(...)25.()222(2n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n n a n S S a S a S a S a S a a a a a a n a n S a S a a a f x x x x →∞
→∞
++→∞-→∞
=-+++==+++=-+++=-+≥数列前项和为且求设正数等比数列求数列前项和为求
已知函数1
1
1122
11)
(1)()
(2){}1()2,{}{},
2lim()n n n n n n n n
n n n n
n n f
x a n S n S f S a a a a n T a a T n ---++→∞
==+=-求反函数若正数数列前项和对所有大于的自然数都有且求通项公式
(3)设C 又设数列C 前项和为求的值
方法一：应用数列极限的定义(证明题)
用定义求数列极限有几种模式：
（1）0>?ε，作差
a a n
-，解方程ε<-a a n
，解出()εf n >，则取()εf N =或() ,1+=εf N
（2）将
a a
n
-适当放大，解出()εf n >；
（3）作适当变形，找出所需N 的要求。
方法二：常用方法：约去零因子求极限，分子分母同除求极限，分子(母)有理化求极限
方法三（迫敛性）设收敛数列
{}{}b a n n ,都以a 为极限，数列{}c n 满足：存在正整数N 0
,当
N n 0
> 时有： b c a n n n ≤≤ 则数列{}c n
收敛，且a c n
n =∞
→lim 。
方法四：（单调有界定理）在实系数中，有界的单调数列必有极限。
方法五：两个重要极限是1sin lim
0=→x x x 和e x n
x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1
0)1(lim )1
1(lim )11(lim 方法六：（柯西收敛准则）数列{}a n 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在正整数
N ，使得当n ，m N >时，有
ε≤-a
a m
n
方法七：Stolz 定理：设n>N 时，y
y
n n
1
+<
且
+∞=∞
→y
n
n lim ，若l
y
y x
x n n
n n n =----∞
→1
1lim
（l 为有限数或无穷大），则
l y
y x x y
x n n
n n n n
n n =--=--∞
→∞
→1
1lim
lim
方法八：形如
)(1
x x
n n f =+数列极限
方法九：用等价无穷小量代换求极限（等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．），常见等价无穷小有：当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x
-,
()abx ax x x b
~11,2
1~
cos 12-+-； 方法十：用罗必塔法则求极限，用对数恒等式求)
()(lim x g x f 极限，数列极限转化成函
数极限求解。
算术－几何－调和平均不等式： 对,,,,21+∈?R n a a a 记
,1 )(1
21∑==+++=n
i i n i a n n a a a a M (算术平均值)
,)(1121n
n
i i n n i a a a a a G ???
?
??
==∏= (几何平均值) .1111111)(1121∑∑===
=
+++=
n
i i
n
i i
n
i
a n a n a a a n
a H (调和平均值)
有均值不等式: ),( )( )(i i i a M a G a H ≤≤等号当且仅当n a a a === 21时成立. （3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对,0x ?> 由二项展开式 23
(1)(1)(2)(1)
1,2!3!
n
n n n n n n x nx x x x ---+=++
+++ )1(,
1)1(>+>+?n nx x n
（４）Cauchy －Schwarz 不等式: k k b a ,?(n k ,,2,1 =),有
≤??
?
??∑=21n k k k b a ≤
??? ??∑=2
1n k k k b a ∑=n k k a 1
2
∑=n
k k
b
1
2
（５）N n ∈?，
n
n n 1)11ln(11<+<+ )1(21321+=++++n n n ； )12)(1(6
1
3212222++=++++n n n n
22
3333)1(41321+=
++++n n n ； )133)(12)(1(30
132124444-+++=++++n n n n n n
)122()1(12
1321222
5555-++=
++++n n n n n ； )1363)(12)(1(42
1
321346666
+-+++=
++++n n n n n n n )2463()1(24
1321
23422
7777
+--++=
++++n n n n n n n )1(2642+=++++n n n 2)12(531n n =-++++
)14(3
1
)12(53122
2
2
2
-=
-++++n n n )12()12(531223333-=-++++n n n
导数微分及应用习题
判断:
1、若)(x f 可微，且为],[l l -上的偶函数，则)(x f '必为],[l l -上的偶函数；（ ） 2 若 ()x f 是[]l l ,-上的奇函数，则)(x f '必为[]l l ,-上的偶函数；（ ） 3、如果函数()x f y = 在0x 点 的左、右 极限都存在，则函数在0x 点的极限存在（ ） 4、若函数)(x f 在点0x x =连续，则)(x f 在0x 点可导 ； （ ） 5、若函数)(x f 在点0x x =连续，则)(x f 在0x 点的极限一定存在；（ ） 6、若函数)(x f 在点0x x =可微，则)(x f 在0x 点可导 ； （ ）
7、如果函数()x f y = 在 0x 点 的左、右 极限都存在，则)(x f 在0x 点可导 ；（ ） 8、若函数)(x f 在点0x x =连续，则函数()x f y = 在 0x 点 的左、右 极限都存在且相等；（ ）
9、若)(x f 在0x 点不可导，则函数)(x f 在点0x x =一定不连续；（ ） 10、若函数)(x f 在点0x x =不可微，则)(x f 在0x 点不可导 ； （ ） 11、若函数)(x f 在点0x x =不可微，则)(x f 的左、右 极限一定不存在；（ ） 12、设函数)(x f 在0x 点可导，导数为)(0x f '，则)()
()(lim
0000x f x
x x f x f x '-=??--→? （ ）
13、设函数)(x f 在0x 点可导，导数为)(0x f '，则)(2)
()(lim
0000x f x
x x f x x f x '=??--?+→? （ ）
14、设函数)(x f 在0x 点可导，导数为)(0x f '，则)()
()2(lim 0000x f x
x f x x f x '=?-?+→? （ ）
15、函数1-=x y 在1=x 处不可导；（ ） 16、函数1-=x y 在1=x 处不连续；（ ） 17. 若)(0x f '存在，且0)(0≠'x f ，则1)()
()(lim
0000
=??'-?+→?x
x f x f x x f x （ ）
18、若)(x f 在],[b a 上可导，则)(x f 在],[b a 上有界； （ ）
19、若)(x f 在0x 点导数不存在，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处没有切线；（ ）
20、曲线x y cos =上点??
?
??π21,3处的法线的斜率为32；（ ）
21.设)(x f y =在0x x =可微，则当0→?x 时，
x x f x f x x f ?'--?+)()()(000是关于x ?高阶的无穷小；（ ） 22、若)0()()
()(lim
2
+∞<<=--→l l a x a f x f a
x ，则)(x f 在a x =处不可导；
（ ） 23、若)0()
()
()(l
i m 2
+∞<<=--→l l a x a f x f a
x ，则)(x f 在a x =处可导但0)(≠'a f ；（ ） 24、若)0()
()
()(l
i m 2
+∞<<=--→l l a x a f x f a
x ，则)(x f 在a x =处可导且0)(='a f ；（ ） 25、若2sin
ln π+=x y ，则2
cos 1π
+='x y ； （ ） 1.设)(x f 在0x x =的某个邻域内具有二阶连续导数，则=-'-+'→h
h x f h x f h )
()(lim
000
（ ）.
A 、0；
B 、)(0x f '；
C 、)(0x f ''；
D 、)(20x f ''；.
2、设)(x ?在0x 的邻域内连续，且有)()()(0x x x x f ?-=，则=')(0x f （ ）.
A 、0；
B 、)(0x ?；
C 、)(0x ?'；
D 、∞. 3.设x x f 22cos )(sin ='，则=)(x f （ ）.
A 、2
sin x ； B 、c x +2
cos ； C 、c x +-1； D 、c x x +-2
2
. 4.设)(x f 在1=x 点处可微，1)(2+=x x e e f ，则=→)(lim 1
x f x （ ）.
A 、2；
B 、1；
C 、0；
D 、12+e . 5.设)(x f e y =，其中)(x f 为二阶可导函数，则=''y （ ）.
A 、)(x f e ；
B 、)]()([)(x f x f e x f ''+'；
C 、)]())([(2)(x f x f e x f ''+'；
D 、2)()]([x f e x f '. 6.如果在区间),(b a 内，)()(x x f ?'='，则在),(b a 内)(x f 与)(x ?（ ）. A 、仅相差一个常数； B 、完全相等；C 、均为常数； D 、c c x x f ()
()
(=?为常数）. 7.设)(x f 为可导的偶函数，则)(x f '为（ ）.
A 、偶函数；
B 、可能是偶函数；
C 、奇函数；
D 、非奇非偶函数.
8、设()x f 在0x x =处可导，则 =--+→h
bh x f ah x f h )
()(lim
000
（ ）.
A 、0；
B 、)()(0x f b a '+；
C 、)()(0x f b a '-；
D 、)(0x f '. 9、设3)(0='x f ，则=?-?-→?x
x f x x f x )
()(lim
000
（ ）.
A 、－3；
B 、3；
C 、0；
D 、∞. 10、设()x f 在区间),(b a 内连续，),(0b a x ∈，则在点0x 处()x f （ ）.
A 、极限存在且可导；
B 、极限不存在，但可导；
C 、极限存在，但不一定可导；
D 、极限不一定存在.
11.设()???≥<=0,0
,2x x x x x f ，则在0=x 处()x f （ ）.
A 、 无定义；
B 、不连续；
C 、连续且可导；
D 、连续但不可导.
12、设()???>-≤=0
,)1(0
,2
x x b x e x f ax ，在0=x 可导，则必有（ ）. A 、1,2==b a ； B 、1==b a ； C 、2==b a ； D 、1,2=-=b a . 13、x y =，则在0=x 处()x f 的导数=')0(f （ ）.
A 、0；
B 、－1；
C 、不存在 ；
D 、1. 14、可微的周期函数其导数（ ）.
A 、一定是周期函数，且周期不变；
B 、一定是周期函数，但周期可能发生变化；
C 、不一定是周期函数；
D 、一定不是周期函数.
15、设()x f 为可微的偶函数，且对任意的2
1
)(),0(000='≠x f x x ，则=-')(0x f （ ）.
A 、21；
B 、21
-； C 、2； D 、－2.
16.曲线x x y 42-=上，切线平行于直线032=+-y x 的点的坐标为（ ）.
A 、（1，－3）；
B 、（3，－3）；
C 、（－1，5）；
D 、（2，0）. 17、设)(ln x f y =，其中)(u f 为可微函数，则=''y （ ）.
A 、)(ln x f ''；
B 、21
x -
； C 、)(ln 1
)(ln 12x f x
x f x '-''； D 、)](ln )(ln [12x f x f x '-''.
18、设x x y ln =，则=)10(y （ ）. A 、91x -
； B 、91x ； C 、9
!8x ； D 、9!
8x -. 19.设)(u f 为可微函数，若)2(cos x f y =，则=dy （ ）.
A 、dx x f )2(cos 2'；
B 、xdx 2sin -；
C 、()x d x f 2cos ]2cos ['；
D 、()xdx x f 2sin 2cos 2'-.
20、下列函数中导数等于x 2sin 2
1
的是（ ）.
A 、x 2cos 21；
B 、x 2sin 21；
C 、x 2cos 21；
D 、x 2cos 4
1
.
21、曲线22-+=x x y 在点M 处的切线与直线034=++y x 垂直，则此曲线在点
M 处的切线方程为（ ）.
A 、017416=--y x ；
B 、021416=-+y x ；
C 、01182=+-y x ；
D 、
01782=-+y x . 22.设???+==)
1ln(arctan 2
t y t x ，则=22dx y
d （ ）. A 、212t +； B 、)1(22
t +； C 、2； D 、2
22)
1()1(2t t +-. 23、设)2ln(2x x y -+=，则=''y （ ）.
A 、2
2x
x +-
； B 、2
32)
2(x x +-
； C 、
2
2x
x +； D 、
2
32)
2(x x +.
24、下列函数中在点0=x 连续且可导的是（ ）.
A 、32)(x x f =；
B 、x x f sin )(=；
C 、???≥<=00,)(x x x xe x f x ；
D 、???<-≥+=0,10
,12)(2x x x x x f .
25、设方程xy e e y x =-确定y 是x 的函数，则=')0(y （ ）.
A 、y e -；
B 、1；
C 、
y
e y
-1； D 、0. 26.??
?
??=x xf y 1其中f 为可微函数，则=22dx y d （ ）.
A 、x 1-
；B 、??? ??''-x f x 112；C 、??? ??''x f x 113；D 、??
?
??''-x f x 113. 27.设 l a x a f x f a
x =--→2
)
()
()(lim
，其中l 为有限值，则()x f 在a x =处（ ）. A 、可导且0)(='a f ； B 、可导但0)(≠'a f ；C 、不一定可导； D 、肯定不可导. 28.曲线42-+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则M 点的坐标为（ ）.
A 、（1，0）；
B 、（0，1）；
C 、（1，3）；
D 、（1，－2）. 29、设221)1ln(a x y -+-=，则=dy （ ）.
A 、dx a x ???? ??-+-2212111；
B 、dx x x 212--；
C 、dx a x x ???
? ?
?-+-221112； D 、212x x
--. 30.设)(u ?具有二阶导数，()x x y ?=，则=''y （ ）.
A 、()x ?''；
B 、()()x x x ?'+?''；
C 、()()x x x x ?'+?''；
D 、()()x x x ?'+?''2.
31、函数()??
???=≠-=0
,00,)
1ln(2x x x x x f ，则()x f 在0=x 处（ ）.
A 、间断；
B 、连续但不可导；
C 、连续且导数为0；
D 、连续且导数为－1.
32.设()???<+≥=0
,2sin 0
,x x b x e x f ax ，在0=x 可导，则b a ,的值为（ ）.
A 、1,0==b a ；
B 、1,2=-=b a ；
C 、1,2==b a ；
D 、2,1==b a .
33、2
ln 11x t e y t ?=+?
?=
?-?
，则==2122|t dx y d （ ）.
A 、83；
B 、8
3
-； C 、6； D 、－6.
34.若)(x f 在0x 处不可导，则)(x f 在0x 点（ ）.
A 、无意义；
B 、左、右极限不相等；
C 、不一定可导；
D 、不可微.
35、若???
?
??????? ??+?=∞
→tx t t x x f 211lim )(，则=')(x f ( ).
A 、x e x 2)12(+；
B 、x e 2；
C 、x e x 2)1(+；
D 、x xe 2.
36.若x x e e x f 1
)(+
='，且0)0(=f ，则=)(x f （ ）. A 、2)1(x x e e -； B 、21-+x x e e ； C 、x x e e 1-； D 、x x e
e 1
+-．
37、设函数t
t tx x f 1
)1(lim )(+=→ ，则=')0(f （ ）.
A 、-1；
B 、e ；
C 、1；
D 、e
1
．
38.?????=≠=0,
00
,1sin )(2
x x x
x x f ，在0=x 处（ ）. A 、不可导； B 、连续且可导； C 、不连续但可导； D 、不连续.
39、设???
??<-=>=0,0,00
,)(x x x x x x f ，则)(x f 的有关论证正确的是（ ）.
A 、)(x f 在点0=x 处可微；
B 、()f x '1,00,
01,0
x x x >??
==??-
， C 、()??
?
??<-=>=0
,10,
,1x x x x f 不可导， D 、)(x f 在点0=x 处可导. 40.设n n n n a x a x a x y ++++=-- 2211 （其中 n a a a ,,,21 为常数），则=+)1(n y （ ）.
A 、!n ；
B 、0；
C 、1；
D 、x .
41、设n n n n a x a x a x y ++++=-- 2211 （其中 n a a a ,,,21 为常数），则=)(n y （ ）.
A 、!n ；
B 、0；
C 、1；
D 、x . 42.设2
2)(x e
x f -
=，则=--→1
)
1()(lim
1
x f x f x （ ）.
A 、2
1
e -； B 、2
1--e ； C 、2
1e ； D 、0.
43.设函数?????
=≠=0,
00
,1sin )(x x x
x x f ，则函数)(x f 在0=x 处（ ）. A 、不连续； B 、连续，不可导；
C 、可导，但不连续；
D 、可导且导数也存在.
44、设???-=-=)
cos 1()sin (t a y t t a x ，则=22dx y
d （ ）.
A 、
t t cos 1sin -；B 、2
)
cos 1(1
t a --；C 、t cos 11--；D 、t cos 11-. 45.已知函数???≥<=0
,0
,)(3x x x x x f ，则函数)(x f 在点0=x 处的导数（ ）.
A 、0)0(='f ；
B 、1)0(='f ；
C 、3)0(='f ；
D 、不存在. 46.设2ln )(x x f =，则='])2([f （ ）.
A 、
21； B 、4
1
； C 、1； D 、0. 47.设)3()2)(1(2+++=x x x y ，则=-')1(f （ ）.
A 、0；
B 、1；
C 、－1；
D 、2. 48、设x n e x y +=，则=+)1(n y （ ）.
A 、x e n ++)!1(；
B 、x e ；
C 、x e n +!；
D 、0. 49、设x x y =，则='y （ ）.
A 、)1(ln +x x x ；
B 、x x x ln ；
C 、1-x x ；
D 、1-?x x x . 50.下列命题中正确的是（ ）.
A 、若)()(x g x f '='，则有)()(x g x f =；
B 、若)()(x g x f =，则有)()(x g x f '='；
C 、若0)(0='x f ，则0)(0=x f ；
D 、若0)(0=x f ；则0)(0='x f .
51.)(x f y =在点0x 处的左、右导数存在且相等是)(x f 在点0x 处可导的 （ ）.
A 、必要条件；
B 、充分条件；
C 、充分必要条件；
D 、无关条件.
52.设函数()???≤-<≤+=x x x x x f 1,
1310,12，则()1f '为（ ）.
A 、2；
B 、3；
C 、－1；
D 、不存在.
1. × ；
2.∨；3、×；4、×；5、∨；6、∨；7、 × ；8、 ∨ ；9、 × ；10、 ∨ ；11、×；12、×；13、 ∨ ；14、×；15、∨ ；16、×；17、 ∨ ；18、∨ ；19、×；20、∨ ；21、 ∨ ；22、×；23、×；24、∨；25、× ； 1、D ；2、B ；3、D ；4、A ；5、C ；6、A ；7、C ；8、B ；9、A ；10、C ；11、D ； 12、D ；13、；C ；14、A ；15、B ；16、B ；17、D ；18、C ；19、D ；20、B ；21、A ；22、B ；23、D ；24、C ；25、B ；26、C ；27、A ；28、D ；29、B ；30、D ；31、D ；32、C ；33、C ；34、D ；35、A ；36、C ；37、C ；38、B ；39、C ；40、B ；41、A ；42、B ；43、B ；44、B ；45、D ；46、D ；47、D ；48、B ；49、A ；50、B ；51、C ；52、D.
中值定理和罗比达法则
★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值
ξ。
（1）
]511[32)(2.,,x x x f ---=；
（2）
]30[3)(,,x x x f -=。
★2.验证拉格朗日中值定理对函数
25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。
★3.已知函数
4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ
。
★★4.试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ
总是位于区间的正中间。
★5.函数
3)(x x f =与1)(2+=x x g 在区间]21[,上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请
求出满足定理的数值ξ。
★★★6.设
)(x f 在]10[,上连续，在)10(,内可导，且0)1(=f 。求证：存在)10(,ξ∈，使()
()f ξf ξξ
'=-。 ★★7.若函数
)(x f 在)(a,b 内具有二阶导函数，且)()()(321x f x f x f ==
)(321b x x x a <<<<，证明：在)(31,x x 内至少有一点ξ
，使得
()0f ξ''=。
★★8.若4次方程
043223140=++++a x a x a x a x a 有4个不同的实根，证明：
023*******=+++a x a x a x a 的所有根皆为实根。
★★★9.证明：方程
015=-+x x 只有一个正根。
★★10.不用求出函数
)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程()0f x '=有几个实根，
并指出它们所在的区间。
★★★11.证明下列不等式：
（1）
b a b a -≤-arctan arctan ； （2） 当 1>x
时，ex e x > ；
（3） 设 0>x
，证明x x <+)1(ln ； （4） 当0>x 时，x
x +>
+11
)11(ln 。
★★12.证明等式：)1(12arcsin arctan 22
≥=++x πx
x
x . ★★★13.证明：若函数
)(x f 在)(∞+∞,-内满足关系式()()f x f x '=，且1)0(=f ，则x e x f =)(。
★★★14.设函数
)(x f 在][a,b 上连续，在)(a,b 内有二阶导数，且有
b c a c ,f b f a f )(0)(0)()(<<>==，试证在)(a,b 内至少存在一点ξ
，使
()0f ξ''<。
15.设
)(x f 在][a,b 上可微，且()0()0()()f a ,f b ,f a f b A,+-''>>==试证明)(/x f 在)(a,b 内至少有两个零点。
★★★16.设
)(x f 在闭区间][a,b 上满足()0f x ''>，试证明存在唯一的b c c,a <<，使得
()()
()f b f a f c b a
-'=
-。
★★★17.设函数
)(x f y =在0=x 的某个邻域内具有n 阶导数，且
(1)
(0)(0)(0)0n f f f ,-'==== 试用柯西中值定理证明：
)10()
()()(<<=θn!θx f x
x f n n
。 ★★1.用洛必达法则求下列极限：
（1） x e e x
x
x sin lim 0-→-； （2） x-a a x a x sin sin lim -→； （3）22
)
2(sin ln lim x π-x πx →； （4）x arc x x cot )
1
1ln(lim ++∞→；
（5）x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→； （6）e
e x
x x x -+-→ln 1lim 31； （7）
x x-x x x sin tan lim 0-→； （8）x x x 2cot
lim 0
→；
（9） 2
1
2
lim x
x e x
→； （10）)1(lim 1
-∞
→x
x e
x ； （11）)1
11(lim 0--→x x e x ； （12）)ln 11(lim 1x x-x x -→；（13）x x x a )1(lim +∞→； （14）x
x x sin 0lim +→； （15）x x x tan 0)1(lim +→； （16）x x-x e x x arctan 1)1ln(lim 0--+→； （17）x
x x 1
0)sin 1(lim +→； （18）x x x )1(ln lim 0+→； （19）x x x x 1
2)1(lim +++∞→； （20）2)1tan (lim n n n
n ++∞→。
数学分析期末考试题
数学分析期末考试题 一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分， 共20分） 1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ?? =-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( B 0)(=?-a a dx x f C ?? -=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( D )(2)(a f dx x f a a =?- 3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A ? 1 1dx x B ? ∞ +1 1dx x C ? +∞ sin xdx D ?-1 131dx x 4、级数 ∑∞ =1 n n a 收敛是 ∑∞ =1 n n a 部分和有界且0lim =∞ →n n a 的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A ∑∞ =1n n a 和 ∑∞ =1 n n b 收敛， ∑∞ =1 n n n b a 也收敛 B ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 C ∑∞ =1n n a 收敛和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 D ∑∞=1 n n a 收敛和∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =1 n n n b a 发散 6、 )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ ） A )()('1'x a x a n n =∑∞ = B a （x ）可导 C ?∑? =∞ =b a n b a n dx x a dx x a )()(1 D ∑∞ =1 )(n n x a 一致收敛，则a （x ）必连续 7、下列命题正确的是（ ）
数学分析试题库--证明题
数学分析题库（1-22章） 五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <； （2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明： （1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞ →lim 的正面陈述？并验证|2n |和|n )1(-|是发散数列. 5.用δε-方法验证： 3) 23(2lim 221-=+--+→x x x x x x . 6． 用M -ε方法验证： 2 11lim 2- =-+-∞ →x x x x . 7 . 设a x x x =→)(lim 0 ?，在0x 某邻域);(10δx U ?内a x ≠)(?，又.)(lim A t f a t =→证明 A x f x x =→))((lim 0 ?. 8.设)(x f 在点0x 的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列{}n x ， （1）)(0x U x n ?∈，0x x n →， （2）0010x x x x n n -<-<+，都有A x f n n =∞ →)(lim ， 则A x f x x =→)(lim 0 . 9. 证明函数 ? ? ?=为无理数为有理数x ， x x x f ,0,)(3 在00=x 处连续，但是在00≠x 处不连续.
13数学分析期末复习题02
重积分复习题 一、计算题 1．设f 在(-∞,+∞)上连续，化重积分I= ??≤≤+1 ||||22)( x y dxdy y x f 为定积分。 2. 计算???Ω -++dxdydz z y x |1|222，其中Ω是由z=22y x +与z=1所围成的立体。 3. 求I=? ? ++-AnB x x dy x y e dx y e x )3sin ()cos (2 ，其中? AnB 是由A(0,2)沿右半圆周到B(0,0)的路径。 4. 求I=??++S dS z y x )(，S ：x 2+y 2+z 2=R 2（z ≥0）。 5．求曲线积分?=+--+2 22 22 )2sin 2(cos ) (R y x y x xydy xydx e ，其中闭曲线取正向。 6. 计算??+ S xyzdxdy ，其中S ＋ 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧，在x ≥0，y ≥0的部分。 7. ??∑ ++dxdy z dzdx y dydz x 222，其中∑是立方体0≤x,y,z ≤a 表面的外侧。 8. 化以下第二型曲线积分为定积分（不计算定积分）：I=? +C xydy dx y 2 ，C 为曲线：14 )2(9)1(2 2=-+-y x 上从点(1,4)到(4,2)的一段。 9. 计算??++S dxdy z dxdz y dydz x 333，其中S 为球x 2+y 2+z 2=a 2的外表面。 10. 试用格林公式计算I=?-++C y dy ye x dx x xy )()sin 3(2之值，其中C 是曲线y=x 2-2x 上以O(0,0)为始点，A(4,8) 为终点的曲线段。 11. 求????? ? ??+-D dxdy y x y x cos ，D 是由x+y=1，x 轴及y 轴围成的平面区域。 12．求由曲面z=22y x +，x 2-2x+y 2=0及平面z=0围成的立体之体积。 13. 2 ) ()2(y x ydy dx y x +++是否为某个函数u 的全微分？若是求u(x,y)。 14. 计算：??+-D dxdy y x y x )cos()(，其中D 由0≤x-y ≤ 2π，0≤x+y ≤2 π 所围成。 15. 计算??∑ +++++dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([，其中f(x,y,z)为连续函数，∑为平面 x-y+z=1在第四卦限部分的上侧。 16. 计算二重积分??D ydxdy x 2，其中D 为由y 2=x ，y=x+2，x=0及x=2所围成的平面区域。 17. 求积分值I=?+L ds y n y x n x )],cos(),cos([ ，其中L 为包围有界区域D 的闭曲线，n 为L 的外法线方向。 18．求曲线积分?=+--+2 22 22 )2sin 2(cos ) (R y x y x xydy xydx e ，其中闭曲线取正向。 19. 求：I=???++V dv z y x )(222，其中V ：x 2+y 2+z 2≤2z 。 z
数学分析1-期末考试试卷(A卷)
数学分析1 期末考试试卷（A 卷） 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。
（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3 π =x 处取得极值，则（ ）。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。
数据分析期末试题及答案
数据分析期末试题及答案 一、人口现状.sav数据中是1992年亚洲各国家和地区平均寿命(y)、按购买力计算的人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)的数据，试用多元回归分析的方法分析各国家和地区平均寿命与人均GDP、成人识字率、一岁儿童疫苗接种率的关系。(25分) 解： 1.通过分别绘制地区平均寿命(y)、按购买力计算的人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)之间散点图初步分析他们之间的关系 上图是以人均GDP(x1)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间没有呈线性关系。尝试多种模型后采用曲线估计，得出 表示地区平均寿命(y)与人均GDP(x1)的对数有线性关系
上图是以成人识字率(x2)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间基本呈正线性关系。 上图是以疫苗接种率(x3)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间没有呈线性关系 。 x）为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，上图是以疫苗接种率(x3)的三次方（3 3 由图可知，他们之间呈正线性关系 所以可以采用如下的线性回归方法分析。
2.线性回归 先用强行进入的方式建立如下线性方程 设Y=β0+β1*（Xi1）+β2*Xi2+β3* X+εi i=1.2 (24) 3i 其中εi（i=1.2……22）相互独立，都服从正态分布N（0，σ^2）且假设其等于方差 R值为0.952，大于0.8，表示两变量间有较强的线性关系。且表示平均寿命(y)的95.2%的信息能由人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)一起表示出来。 建立总体性的假设检验 提出假设检验H0：β1=β2=β3=0，H1,：其中至少有一个非零 得如下方差分析表 上表是方差分析SAS输出结果。由表知，采用的是F分布，F=58.190，对应的检验概率P值是0.000.，小于显著性水平0.05，拒绝原假设，表示总体性假设检验通过了，平均寿命(y)与人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)之间有高度显著的的线性回归关系。
数学分析大一上学期考试试题 B
数学分析第一学期期末考试试卷（B 卷） 一、叙述题（每题5分，共10分） 1.上确界； 2.区间套的定义。 二、填空题（每题4分，共20分）1.函数|3|ln 3)(--=x x x f 的全部间断点是. 2.定义在]1,0[区间上的黎曼函数的连续点为. 3.)1ln()(2 x x f +=,已知5 6)2()(lim 000=--→h h x f x f h ,=0x .4.正弦函数x y sin =在其定于内的拐点为.5.点集}1)1({n S n +-=的所有聚点为.三、计算题(每题4分，共28分)（1）求]1 21 11[lim 222n n n n n ++++++∞→ ；（2）求30sin tan lim x x x x -→；（3）求)1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→；（4）求2210)21(e lim x x x x +-→；（5）求)1ln(2x x y ++=的一阶导； （6）求3)(sin )(+=x x x f 的一阶导； （7）求???==; cos ,sin 22t t y t t x 的一阶导。四、讨论题（共12分）1.极限x x 1sin lim 0 →是否存在，说明原因。2.设000)()(=≠?????-=-x x x e x g x f x ,其中)(x g 具有二阶连续导数,且
1)0(,1)0(-='=g g .求)(x f '并讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 五、证明题（共30分）1.证明.x x f 2cos )(=在),0[+∞上一致连续. 2.设f 在],[b a 上连续,],[,,,21b a x x x n ∈ ，另一组正数n λλλ,,,21 满足121=+++n λλλ .证明：存在一点],[b a ∈ξ，使得 )()()()(2211n n x f x f x f f λλλξ+++= . 3.设函数)(x f 在[]b a ，上连续,在),(b a 内可导,且0>?b a .证明存在),(b a ∈ξ，使得)()()()(1 ξξξf f b f a f b a b a '-=-.
数学系一年级《数学分析》期末考试题
（一）数学系一年级《数学分析》期末考试题 学号 姓名 一、（满分10分，每小题2分）单项选择题： 1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n c ，则（ ） A {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界； 2、=)(x f ??? ? ???>+=<,0 ,2.( ,0 ,0, ,sin x x k x k x x kx 为常数） 函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ） A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、' 'f （0x ）在点00=x 必 （ ） A. x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 02020 ； B. ' 000)()(lim ???? ???-?+→?x x f x x f x ; C. ' 000)()(lim ??? ? ???-?+→?x x f x x f x ; D. x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。则（ ） A. ∈?ξ（b a ,），使0)(' =ξf ； B. ∈?ξ（b a ,），使0)(' ≠ξf ; C. ∈?x （b a ,），使0)('≠x f ； D.当)(b f >)(a f 时，对∈?x （b a ,），有)(' x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有?+=c x F dx x f )()(， ?+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有（ ） A. ?=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=?)()()()( ；
数学分析(2)期末试题
数学分析（2）期末试题 课程名称 数学分析（Ⅱ） 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业 一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分） 1、 下列级数中条件收敛的是（ ）． A ．1(1)n n ∞ =-∑ B ． 1n n ∞ = C ． 21(1)n n n ∞=-∑ D ． 11(1)n n n ∞ =+∑ 2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数 在 它的间断点x 处 （ ）． A ．收敛于()f x B ．收敛于1 ((0)(0))2f x f x -++ C ． 发散 D ．可能收敛也可能发散 3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（ ）． A ．有界 B ．连续 C ．单调 D ．存在原函 数 4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ ） A ． 1x B ．ln x x C ． 21 x - D ． x e 5、已知反常积分2 (0)1dx k kx +∞ >+? 收敛于1，则k =（ ） A ． 2π B ．22π C ． 2 D ． 24π 6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n x x x x --+-+-+L L 收敛，则（ ） A ． x e < B ．x e > C ． x 为任意实数 D ． 1e x e -<<
二、填空题（每小题3分，3×6＝18分） 1、已知幂级数1n n n a x ∞ =∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为 ． 2、若数项级数1 n n u ∞ =∑的第n 个部分和21 n n S n = +，则其通项n u = ，和S = ． 3、曲线1 y x = 与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为 ． 4、已知由定积分的换元积分法可得，1 ()()b x x a e f e dx f x dx =??，则a = ，b = ． 5、数集(1) 1, 2 , 3, 1n n n n ?? -=??+?? L 的聚点为 ． 6、函数2 ()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为 ． 65
数学分析试题集锦
June21,2006 2002 1.(10) lim x→0( sin x1?cos x . 2.(10)a≥0x1=√2+x n n=1,2,... lim n→∞ x n 3.(10)f(x)[a,a+α]x∈[a,a+α]f(x+α)?f(x)= 1 1?x2+arcsin x f′(x). 5.(10)u(x,y)u ?2u ?x?y + ?2u x2+y2dx dy dz,?z=
x2+y2+z2=az(a>0) 8.(10) ∞ n=1ln cos1 ln(1+x2) 2 √ (2).{n . ?x (4). L(e y+x)dx+(xe y?2y)dy.L O(0,0),A(0,1),B(1,2) O B OAB. √ 2.(15)f(x)=3
4. 15 f (x )[0,1] sup 0 (5).e x=1+x+x2 n1 4≤e x+y?2. 5.(12)F(x)= Γf(xyz)dxdydy,f V={(x,y,z)|0≤x≤t,0≤y≤t,0≤z≤t}(t>0), F′(t)=3 a+n √ 2 n(a>0,b>0) (2).lim n→∞ 10x n√ 2 0dx 3 . (5).F(t)= x2+y2+z2=t2f(x,y,z)dS, f(x,y,z)= x2+y2,z≥ x2+y2 中央财经大学2014—2015学年 数学分析期末模拟考试试卷（A 卷） 姓名： 学号： 学院专业： 联系方式： 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+ =在3 π =x 处取得极值，则（ ） 。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 3 x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 第三学期《数学分析》期末试题 一、 选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 2、 =??),(00|) ,(y x x y x f （ ） A x y x f y y x x f x ?-?+?+→?),(),(lim 00000 ； B x y x x f x ??+→?) ,(lim 000； C x y x x f y y x x f x ??+-?+?+→?),(),(lim 00000 ； D x y x f y x x f x ?-?+→?) ,(),(lim 00000。 3、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ D ） A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微 ； B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续； C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在 ； D 以上全不对。 4、2 222 2) (),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限各为（ B ） A 、0，0，0； B 、不存在，0，0，； C 、0，不存在，0； D 、0，0，不存在。 5、设y x e z =，则=??+??y z y x z x （ A ） A 、0； B 、1； C 、-1； D 、2。 二、计算题（50分，每小题10分） 1、 证明函数?? ? ??=+≠++=0 00),(22222 2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导， 但它在该点不可微； 2、 设 ??'=-x x t x f x f dt d e x f 0) (),(,)(2 求ττ； 3、 设有隐函数,0 x y F z z ??= ???,其中F 的偏导数连续,求z x ??、z y ??； 4、 计算 (cos sin ) x C e ydx ydy -? ，其中C 是任一条以为(0,0)A 起点、(,)B a b 为终点 的光滑曲线； 5、 计算 zdS ∑ ??，其中∑为22 z x y =+在 1 4z ≤ 的部分； 三、验证或解答（满分24分，每小题8分） 2012 –2013学年第一学期期末考试题 11数学教育《数学分析》（三） 一、单项选择（将正确答案的序号填在括号内，每题2分，共20分） 1. 下列数项级数中收敛的是 （ ） A. 211 n n ∞ =∑； B. 2 1n n n ∞ =+∑； C. 1 1 n n ∞ =∑； D. 0 1 23n n n ∞ =++∑. 2. 下列数项级数中绝对收敛的是 （ ） A. 1(1)n n n ∞ =-∑ B. 1n n n ∞=1n n n n ∞= D. 1 sin n n n ∞ =∑ 3.函数项级数1n n x n ∞ =∑的收敛域是 （ ） A. (1,1)- B. (1,1]- C. [1,1)- D. [1,1]- 4.幂级数0 21n n n x n ∞ =+∑的收敛半径是 （ ） . A B C D 1 ．2 ．1 ．02 5. 下列各区域中，是开区域的是 （ ） 2. {(,)|}A x y x y > . {(,)|||1}B x y xy ≤ 22.{(,)|14}C x y x y <+≤ .{(,)|1}D x y x y +≥ 6.点集11{,|}E n N n n ?? =∈ ??? 的聚点是 （ ） A. ){0,0} B.()0,0 C. 0,0 D.{}{}0,0 7.点函数()f P 在0P 连续，是()f P 在0P 存在偏导数 （ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 条件 8. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微，则(,)f x y 在()00,x y 不一定 ( ) A.偏导数连续 B.连续 C. 偏导数存在 D. 存在方向导数 9. 设函数)()(y v x u z =，则 z x ??等于 （ ） A. ()()u x v y x y ???? B. ()()du x v y dx y ?? C. () ()du x v y dx D. ()()u x v y x y ??+?? 10. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微的充分必要条件是 ( ) A. 偏导数连续; B. 偏导数存在; C.存在切平面; D. 存在方向导数. 二、填空题（将正确答案填在横线上，每题2分，共20分） 11. 若数项级数1 1n p n n ∞ =-∑（） 绝对收敛，则p 的取值范围是 ； 12. 幂级数0(1)n n n x ∞ =+∑的和函数是 ； 13．幂级数2 01 (1)n n x n ∞ =-∑ 的收敛域是 . ； 14．平面点集22{(,)|14}E x y x y =<+≤的内点是_________ ___ __ _______； 15．函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值点是 ______________________. 16．曲面221z x y =+-在点（2,1,4）的切平面是 ______________________ 17．函数y z x =，则 z y ?=? ______________________； 18．函数u xyz =在（1,1,1）沿方向(cos ,cos ,cos )l αβγ= 的方向导数是 ___________； 19．设cos sin x r y r ? ?=??=?，则 x x r y y r ?? ????=???? ； 20．若22arctan y x y x +=，则dy dx =______________________。 三、判断题（请在你认为正确的题后的括号内打“√”，错误的打“×”，每题 1分，共10 题号 一 二 三 四 五 总分 复核人 分值 20 20 10 32 18 100 得分 评卷人 得分 得分 得分 《数学分析》考试题 一、（满分10分，每小题2分）单项选择题： 1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n c ， （ ） A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界； 2、=)(x f ??? ????>+=<,0 ,2.( ,0 ,0, ,sin x x k x k x x kx 为常数） 函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ） A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必 （ ） A. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 02020 ； B. ' 000)()(lim ??? ? ???-?+→?x x f x x f x ; C. '000)()(lim ???? ???-?+→?x x f x x f x ; D. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。则 （ ） A. ∈?ξ（b a ,），使0)('=ξf ； B. ∈?ξ（b a ,），使0)('≠ξf ; C. ∈?x （b a ,），使0)('≠x f ； D.当)(b f >)(a f 时，对∈?x （b a ,），有)('x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有?+=c x F dx x f )()(， ?+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有 （ ） A. ?=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=?)()()()( ； C. ?+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ； 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院班级学号（后两位）姓名 一. 1.若f 2.. . . 二. 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（） A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定 2.若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（） A.()x f 在[]b a ,上一定不可积； B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C.()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4. A.B.C.D.5.A.B.C.D.三.1.()()()n n n n n n n +++∞→ 211lim 2.()?dx x x 2cos sin ln 四.判断敛散性（每小题5分，共15分） 1.dx x x x ? ∞ +++-0 2 113 2.∑ ∞ =1 !n n n n 3.()n n n n n 21211 +-∑ ∞ = 五.判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1.()()+∞∞-=== ,,2,1,sin D n n nx x f n 2. 求七.八. 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》B 卷?答案 学院班级学号（后两位）姓名 一、 二.三. 而n 分 2.解：令t x 2sin =得 ()dx x f x x ? -1=()() t d t f t t 222 2sin sin sin 1sin ? -----------------2分 =tdt t t t t t cos sin 2sin cos sin ? =?tdt t sin 2-----------------------------------4分 数学分析期末考试题 一、叙述题：(每小题5分，共10分） 1、 叙述反常积分 a dx x f b a ,)(? 为奇点收敛的cauchy 收敛原理 2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续 二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)21 2111( lim n n n n +++++∞ →Λ 2、求摆线]2,0[)cos 1() sin (π∈? ??-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积 3、求?∞+∞-++dx x x cpv 211) ( 4、求幂级数∑∞ =-12 )1(n n n x 的收敛半径和收敛域 5、),(y x xy f u =， 求y x u ???2 三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、y x y x y x f +-=2 ),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为 什么？ 2、讨论反常积分 ? ∞ +0 arctan dx x x p 的敛散性。 3、讨论∑∞ =-+1 33))1(2(n n n n n 的敛散性。 四、证明题：（每小题10分，共20分） 1、 设f （x ）在[a ,b ]连续，0)(≥x f 但不恒为0，证明0)(>? b a dx x f 2、 设函数u 和v 可微，证明grad (uv )=ugradv +vgradu 参考答案 一、1、,0.0>?>?δε使得δδδ<<?>?δε使得 D x x x x ∈<-?2,121,δ，成立ε<-)()(21x f x f 二、1、由于 x +11 在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分） )21 2111( lim n n n n +++++∞ →Λ=2ln 11)11211111( 1lim 10=+=+++++?∞→dx x n n n n n n Λ（6分） 2、 、所求的面积为：220 23)cos 1(a dx x a ππ =-? （8分） 3、 解：π=++=++??-+∞→∞ +∞-A A A dx x x dx x x cpv 2 211lim 11) ( (3分） 4、解：11 lim 2=∞ →n n x ，r=1（4分） 由于x =0，x =2时，级数均收敛，所以收敛域为[0，2]（4分） 5、解： y u ??=221y x f x f -（3分）3 22112212y x f xy f y f f y x u -++=???（5分） 三、1、解、 0lim lim lim ,1lim lim lim 2 02000200==+-==+-→→→→→→y y y x y x x x y x y x y x y x y x （5分）由于沿kx y =趋于（0，0）极限为k +11 所以重极限不存在（5分） 2、解：???∞+∞++=1100arctan arctan arctan dx x x dx x x dx x x p p p （2分），对?10arctan dx x x p ，由于 )0(1arctan 1+→→-x x x x p p 故p <2时?10arctan dx x x p 收敛（4分）；?∞+1arctan dx x x p ，由于)(2arctan +∞→→x x x x p p π （4分）故p >1?∞+1arctan dx x x p 收敛，综上所述1 数学分析(3)期末试卷 2005年1月13日 班级_______ 学号_________ 姓名__________ 考试注意事项： 1.考试时间：120分钟。 2.试卷含三大题，共100分。 3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！ 4.遵守考试纪律。 一、填空题(每空3分，共24分) 1、 设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ? =),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、 在xy 面上，若圆{} 12 2≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关 于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2 _______。 二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论y x y x y x f 1 sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。 2014 —--201５学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分,共２１分)（正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?( ） ． ２．若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[] ????= dx x g dx x f dx x g x f （ )． 3． 若()? +∞a dx x f 绝对收敛，()? +∞ a dx x g 条件收敛，则()()?+∞-a dx x g x f ][必然条件收敛（ )。 ４． 若()? +∞1 dx x f 收敛，则必有级数()∑∞ =1 n n f 收敛（ ) 5． 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛,则{}n n g f +也在区间Ｉ上内闭一致收敛（ ）。 ６。 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发 散于正无穷大( ). 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ). 二. 单项选择题（每小题3分，共15分) 1．若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上( ) A.不连续 Ｂ． 连续 C ．可微 D 。不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积,而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不 相等,则（ ） Ａ． ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C 。 ()x f 在[]b a ,上一定可积,并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D 。 ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 Ｂ．绝对收敛 C.条件收敛 D ． 不确定 4。设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是( ） A ．若0lim =∞ →n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B 。 若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ,则级数∑n u 一定收敛; C ． 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D 。 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当,则级数∑n u 一定发散; 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是( ) A 。 ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B ． ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的; C ． ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； 13数学分析(三)复习范围 一、计算题(每小题10分，共70分) 1. 全微分计算题 2. 求隐函数(组)的一阶偏导数 3. 求抽象函数的二阶偏导数 4. 求曲线的切线与法平面方程或求曲面的切平面与法线方程 5. 求函数的极值 6. 计算第一型曲面积分 7. 计算第二型曲面积分 8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 9. 二重积分的计算 10. 高斯公式与斯托克斯公式 11. 求多元函数的方向导数 12. 曲线积分与路径无关问题 13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示 14. 应用--求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分) 15. 利用余元公式B(p,1-p)=ππ p sin ，计算?+∞+01n x dx 类积分值 二、解答与证明题(第小题10分，共30分) 1. 用定义证明多元函数的极限 2. 证明多元函数的连续性 3. 研究含参量积分的一致收敛性 4. 证明含参量非正常积分的连续性 5. 三重积分的证明题 6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题 7. 证明二重极限不存在 8. 多元函数的可微性证明 例题 一、计算题 1. 全微分计算题 公式：du=u x ??dx+u y ??dy+u z ??dz 。 例1：求函数u=22 22 z x x y -+的全微分； 例2：已知函数z=z(x,y)是由方程x 2+y 2+z 2-3x=0所确定的函数，求z(x,y)的全微分。 2. 求隐函数(组)的偏导数 例3：设z y e z x +=，求y x z ???2。 例4：设2x+y+3z=0，x+y+z=e -(x+y+z)，求dx dy ，dx dz 。 3. 求抽象函数的二阶偏导数 例5：设u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求z x u ???2，22u y ??其中f 具有二阶连续的偏导数； 例6：设u=f(x 2-y 2，xy e )，求y x u ???2，其中f 具有二阶连续偏导数。 4. 求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线 例7：求曲线：x 2+y 2+z 2=6，x+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。 例8：求曲线?? ???=-+-=-++045320 3222z y x x z y x 在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程。 例9：求曲面x 2+2y 2+3z 2=21的平行于平面x+4y+6z=0的各切平面。 5. 求函数的极值或条件极值 例10：求f(x,y)=e 2x (x+2y+2y 2)的极值。 例11：求抛物线y=x 2和直线x-y-2=0之间的最短距离。 6. 计算第一型曲面积分 例12：计算??++S dS zx yz xy )(，其中S 为锥面22y x z +=被曲面x 2+y 2=2ax 所截得的部分。 例13：计算：xyzdS ∑ ??，∑是平面x+y+z=1在第一卦限中的部分。 7. 计算第二型曲面积分 例14：求I=??-++S dxdy yz x dydz xy z )()2(22，其中S 是圆柱面x 2+y 2=1被平面y+z=1和z=0所截出部分的外侧。 例15：计算??∑ +-yzdxdy dzdx y xzdydz 24，其中∑是平面x=0，y=0，z=0，x=1，y=1，z=1所围成的立方体的全表 面的外侧。 8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 例16：计算曲线积分[][] ? -'+-AmB x x dy m e y dx my e y )()(??，其中?(y)和?/(y)为连续函数，AmB 为连接点A(x 1,y 1) 和点B(x 2,y 2)的任何路径，但与线段AB 围成的区域AmBA 的面积为已知常数S 。数学分析 期末考试试卷
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