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13数学分析期末复习题03

数学分析(三)复习题

一、计算题

1．求二重极限y

x x a

y x x +→∞→?

?? ??

11lim ；

2．求椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角； 3．求函数z=xy 在条件x+y=1下的极值点。 4．求函数z=x 2+xy+y 2-4lnx-10lny 的极值。 5. 求函数z=4(x-y)-x 2-y 2的极值。 6．求函数z=x 4+y 4-x 2-2xy-y 2的极值。

7. 求函数z=x 3y 2(6-x-y)，(x>0，y>0)的极值。 8．求函数z=x 2+(y-1)2的极值。

9. 设u(x,y)=e 3x-y ，x 2+y=t 2，x-y=t+2，求

=t dt

du 。

10．求e z -z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。

11. 设f(x,y,z)=x+y 2+xz ，求f 在(1,0,1)点沿方向C

=(2,-2,1)的方向导数。

12．求函数u=xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。 13. 求函数u=x 2+y 2-z 2在点M(1,0,1)及P(0,1,0)的梯度之间的夹角。

14．在椭球面2x 2+2y 2+z 2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。

15．设函数f(x,y,z)=cos 2(xy)+2z

，试问它在点(0,2,1)处的什么方向上的变化率最大？求出这个方向上的单

位向量及函数在点(0,2,1)的最大变化率。

16．求函数z=arctg x y 在位于圆x 2+y 2-2x=0上一点(21

3)处沿这圆周切线方向的方向导数（设切线的倾角α

的范围为：0≤α<π）。

17. 设数量场u=

y x z ++，试求：（1）gradu ；（2）在域1

18. 求曲线x 2+y 2+z 2=4a 2，x 2+y 2=2ax 在点(a ，a ，2a)处的法平面方程。 19．求x 2+z 2=10，y 2+z 2=10在点(1,1,3)处的切线方程。

20. 设u=f(x,y,z)，?(x 2,e y ,z)=0，y=sinx ，其中f ，?都具有一阶连续偏导数，且0≠??z ?，求

。 21．求函数u=

2y x z +的全微分；

22．求函数u=f(x+2y,3x-5y)的二阶混合偏导数。（f 具有连续的二阶偏导数) 23．设f ，g 为连续可微函数，u=f(x,xy)，v=g(x+xy)，求

x u ?????。 24．设w=f(u,v)有连续二阶偏导数，u=y x ，v=x

，求y x w ???2。

25．设u+v=x+y ，

y x v u =sin sin ，求x

u ??，x v

??。

26. 设u=xyf(x-2y,x 2

y)，f(u,v)有二阶连续偏导数，求

2x u ??。

27．设x 3

-3xyz=10，求x

y z

???2。

28．设x=u+v ，y=uv ，z=u 2+v 2，求z x /，z y /。

29. 设函数z=z(x,y)由方程z=f(x+y+z)所确定，其中f 具有连续的二阶偏导数，试求y

x z

???2。

30. 设u=u(x,y)。已知du=(x 2+2xy-y 2)dx+(x 2-2xy-y 2)dy 求u 。 31．设z=f(sinx,cosy,e

x+y

)，而f(u,v,w)的二阶偏导数连续，求x z

??，22x

z ??。

32. 设z=φ(xy)+ψ(y

)，求：y x z ???2。

33. 设u=yf(y x )+xg(x y

)，其中函数f ，g 具有二阶连续导数，求y x u y x

u x ???+??222。

34. 设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dx

dz 。二、证明题

1. 用极限定义证明6)4(lim 221

=--→→y x y x 。

2. 用极限定义证明2)2(lim 221

0=+-→→y xy x y x 。

3. 设A ，B 是R 2中互不相交的有界闭集。求证：存在开集W ，V 满足W ?A ，V ?B ，W V=?。

4. 设G 1，G 2是R 2中两个不相交的开集。试证明：G 1 2G =?。（其中2G 表示G 2连同其边界所成集合，称其为G 2的闭包）

5. 设u=f(z)，其中z 是由方程z=x+yg(z)所确定的x 和y 的函数，求证x

z g y u ??=??)

(。 6. 证明由方程F(

z x ,z y )=0所确定的函数z=z(x,y)，满足方程y

y x z x ??+??=z 。 7. 设z=f(x,y)=??

??=≠+-)0,0(),( ,0)0,0(),( ,)

(y x y x y x y x x ，证明：（1）)0,0(x f '，)0,0(y f '存在；（2）f(x,y)在(0,0)处不可微。

8. 设f(x,y)=?

??=≠+)

0,0(),( 0)0,0(),( 223

y x y x y x x 。证明f(x,y)在(0,0)不可微。

9. 设z=f(x,y)=?

??=≠+)

0,0(),( ,0 )0,0(),( ,222y x y x y x y

x 。证明：(1)f(x,y)在原点(0,0)连续；(2)x f ??)0,0(，y f ??)0,0(存在；

(3)

x y x f ??),(，y

y x f ??)

,(在(0,0)不连续；(4)f(x,y)在点(0,0)不可微。 10. 设10

.φ(0,1)=0；20

.φ(x,y)在点(0,1)邻域内连续可微；30

.y φ(0,1)≠0。求证：存在δ>0，在[-δ,δ]存在唯一连续可微函数y=y(x)满足：0)sin ,(0=?y

xdx x φ，并求y /

(0)。

11. 设F(u,v)处处可微，试证明曲面F(l x-mz,l y-nz)=0（其中l ,m,n 均不为0）上所有切平面与一条固定直线平行。

12. 研究含参量积分?

∞

++021)sin(dx x x p (p ≥0)的一致收敛性。

13. 研究函数F(α)=dx x

e x ?

∞

+-0

，在(0,1)内的连续性。

14. 证明积分F(α)=?+∞

--0

)(2

dx e x α是参数α的连续函数。

15. 设F(y)=?+1

2)(dx y x x yf ，其中f(x)在[0，1]中取正值的连续函数。证明F(y)在0点不连续，在y ≠0的任一

点都连续。

16. 设f(x)在[0,+∞)可积，除+∞外只有x=0为瑕点。求证：??

+∞

-+→=

0)()(lim dx x f dx x f e x αα。

17. 研究函数F(α)=?

-π

π0

)

(sin dx x x x 在(0,2)内的连续性。

18. 设u(x,y)在平面区域D 上有二阶连续的偏导数。证明：u(x,y)满足

2≡??+

??y

u x

u （称u(x,y)为调和函数）

的充要条件是：对D 内任一圆周C ，且C 围成的区域包含于D ，都有0=???C ds n

(其中n 是圆周C 的外法向量)。

数学分析(三)复习题参考答案

一、计算题

1．求二重极限y

x x a

y x x +→∞→?

?? ??

11lim ；

解：原式=y

x x

x a y x x +→∞→??

?????

????

??+11lim =e 。

2．求椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角；

解：椭球面在点(-1,-2,3)处的切平面的法向量为n

=(-3,-2,3)，平面z=1的法向量为k =(0,0,1)。 ∴这两个平面的交角θ=arccos

3。 3．求函数z=xy 在条件x+y=1下的极值点。解：当x=

21，y=21时，函数z=xy 在极大值4

1。 4．求函数z=x 2+xy+y 2-4lnx-10lny 的极值。

解：在（1，2）有极小值7-10ln2。 5. 求函数z=4(x-y)-x 2-y 2的极值。

解：令z x =4-2x=0，z y =-4-2y=0，得x=2，y=-2，则A=z xx =-2，B=z xy =0，C=z yy =-2，

AC-B 2

>0，且A<0，∴(2，-2)是原函数的极大值点，其极大值为8。

6．求函数z=x 4+y 4-x 2-2xy-y 2的极值。

解：z(-1,-1)=-2与z(1,1)=-2均为极小值，z(0,0)非极值。 7. 求函数z=x 3y 2(6-x-y)，(x>0，y>0)的极值。

解：令z x =3x 2y 2(6-x-y)-x 3y 2=x 2y 2(18-4x-3y)=0，z y =2x 3y(6-x-y)-x 3y 2=x 3y(12-2x-3y)=0，

x>0，y>0，解得稳定点(3,2)。又A=z xx |(3,2)=-144，B=z xy |(3,2)=0，C=z yy |(3,2)=-162，∴AC-B 2>0，且A<0， ∴原函数在点(3,2)取得极大值108。

8．求函数z=x 2+(y-1)2的极值。

解：当x=0和y=1时，函数z=x 2+(y-1)2有极小值0。

9. 设u(x,y)=e 3x-y ，x 2+y=t 2，x-y=t+2，求

0=t dt

。解： ),(),(y x G F ??=1112-x =-2x-1，),(),(y t G F ??=1112---t =2t+1，)

,(),(t x G F ??=1122--t

x =-2x+2t ，

且t=0时由原方程组x 2+y=t 2，x-y=t+2，可得x 2+x-2=0，解得x=1或x=-2，对应地y=-1或y=-4。 ∴0

=t dt

=2e 4或

=t dt

du =22-e 。

10．求e z -z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。解：令f(x,y,z)=z e -z+xy-3=0，则f x =y ，f y =x ，f z =z e -1，

∴在点(2,1,0)处的切平面的法向量为n

=(1,2,0)，故

切平面方程：x+2y-4=0；法线方程：??

???

=-=

-0

212z y x 或写成??

?==-032z y x 。 11. 设f(x,y,z)=x+y 2+xz ，求f 在(1,0,1)点沿方向C

=(2,-2,1)的方向导数。

解： gradf|(1,0,1)=(1+z,2y,x)|(1,0,1)=(2,0,1)，=0C (32,-32,31)，∴)1,0,1(C

f ??=35

。

12．求函数u=xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。

解：1398)2,1,5(=??l

13. 求函数u=x 2+y 2-z 2在点M(1,0,1)及P(0,1,0)的梯度之间的夹角。解：在点M ，P 处的梯度之夹角为直角。

14．在椭球面2x 2+2y 2+z 2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。

解：设椭球面上点(a,b,c)为所求，则gradf(a,b,c)=(2a,2b,2c)，由题设(a,b,c)=λAB =λ(1,-1,0)，其中λ>0，∴a=λ，b=-λ，c=0，代入椭球面方程得：4λ2=1，?λ=

21，∴点(21,-21,0)为所求，且函数f 在点(21,-2

,0)沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值|gradf(

21,-2

,0)|=2。 15．设函数f(x,y,z)=cos 2(xy)+

，试问它在点(0,2,1)处的什么方向上的变化率最大？求出这个方向上的单

位向量及函数在点(0,2,1)的最大变化率。

解： gradf(0,2,1)=(-ysin(2xy)，-xsin(2xy)+

，-

y )|(0,2,1)=(0,1,-4)，

∴函数f 在点(0,2,1)处沿l =(0,1,-4)方向的变化率最大，这个方向上的单位向量为e

=(0,

1717,-17

174)，最大变化率为|gradf(0,2,1)|=17。

16．求函数z=arctg x

y 在位于圆x 2+y 2-2x=0上一点(21

,23)处沿这圆周切线方向的方向导数（设切线的倾角α

的范围为：0≤α<π）。

解：设a=

21，b=2

，

),(-

=??b a x z ，21),(=

??b a y

z ，又tg α=331)

,(=

-b a y

，∴α=6π，由此可得cos α=2

，cos β=

，∴方向导数=-2

1。 17. 设数量场u=2

y x z ++，试求：（1）gradu ；（2）在域1

解：（1）gradu=

[-xz i -yz j +(x 2+y 2)k

]。其中r=

y x ++。

2z p p +≤

z 21

||21=

，而1

2,,()

2,,(240

222)

,(),(a y z y z y G F a a a a a a -==

??，

022022)

,(),()

2,,()

2,,(=-=

??a a a a a a a

x x z x z G F ，

2,,()

2,,(422222)

,(),(a y

a x y x y x G F a a a a a a =-=

??。

则曲线在点(a,a,2a)处的法平面方程为：-42a 2(x-a)+4a 2(z-2a)=0，即2x-z=0。 19．求x 2+z 2=10，y 2+z 2=10在点(1,1,3)处的切线方程。解：

3131--=

-=-z y x 。 20. 设u=f(x,y,z)，?(x 2,e y ,z)=0，y=sinx ，其中f ，?都具有一阶连续偏导数，且0≠??z ?，求

。解：dx du =dx

z f dx dy y f x f ???+???+??，x dx dy cos =，

)cos 2(1213???'+''-=x e x dx dz y ，故

)cos 2(1cos 2sin 1

???'?+''???-??+??=x e x z f x y f

x f dx du x 。 21．求函数u=2

x z +的全微分；

解：du=2

22)(2y x xz +-

dx+2

22)(2y x yz +-dy+

21y x +dz 。

22．求函数u=f(x+2y,3x-5y)的二阶混合偏导数。（f 具有连续的二阶偏导数) 解：u x =f /1+3f /2，u xy =2f //11-5f //12+3(2f //21-5f //22)=2f //11+f //12-15f //22。 23．设f ，g 为连续可微函数，u=f(x,xy)，v=g(x+xy)，求x

v x u ?????。解：

v x u ?????=(f 1/+yf 2/)g /

(x+xy)(1+y)。 24．设w=f(u,v)有连续二阶偏导数，u=y x ，v=x

，求y x w ???2。

解：x w

??=f u ?y 1+f v ?(-2x y )，y x w ???2=3y x -f uu +xy 2f uv -3x y f vv -21y f u -21x

f v 。

25．设u+v=x+y ，

y x v u =sin sin ，求x

u ??，x v

??。解：原方程写为???=+=+v x u y y x v u sin sin ，方程两端分别对x 求偏导数，得：???

???????

+=???=??+??x v v x v x u u y x

x u cos sin cos 1，

解此方程组得：

u y v x v x v x u cos cos cos sin ++=??，u

y v x u y v x v

cos cos cos sin +-=??。 26. 设u=xyf(x-2y,x 2

y)，f(u,v)有二阶连续偏导数，求

u ??。

解：x u ??=yf+xy(f 1/+2xyf 2/

)，22x

u ??=2y(f 1/+2xyf 2/)+xy[f 11//+2xyf 12//+2yf 2/+2xy(f 21//+2xyf 22//)]，

整理后得：

u ??=xyf 11//+4x 2y 2f 12//+4x 3y 3f 22//+2yf 1/+6xy 2f 2/。

27．设x 3

-3xyz=10，求x

y z ???2。

解：=---=??xy xz y z 33-y z ，xy yz x xy yz x x z -=---=??22333，x z y x y z ??-=???12=2

xy x yz -。

28．设x=u+v ，y=uv ，z=u 2+v 2，求z x /，z y /。解：由z=u 2+v 2得：

v x u u x v v z x u u z x z ??+??=????+????=??22，又对x=u+v ，y=uv 两端分别对x 求偏导数。 ?

?'+'='+'=x x x x v u u v v u 01，解得u x =v u u -，v x =v u v --，故z x /=v u u

-2

2-v u v -22=2(u+v)。同理可得，u y /=

v u --1，v y /=v u -1，故z y /=-v u u -2+v

u v

-2=-2。 29. 设函数z=z(x,y)由方程z=f(x+y+z)所确定，其中f 具有连续的二阶偏导数，试求y

x z

???2。

解：令F(x,y,z)=z-f(x+y+z)=0，由隐函数求导公式，

z x =-

=z x F F -f f '-'-1=-1+f '-11

，z y =-f F F z

y '-+-=111，∴z xy =

1()1()1(f f f y

f '-''=

'-??+

?''。

30. 设u=u(x,y)。已知du=(x 2+2xy-y 2)dx+(x 2-2xy-y 2)dy 求u 。解： ???

-++

--+-+x

y x dx y xy x

dy y dy y xy x dx y xy x 022

2),()

0,0(2222)2()()2()2(

=-31y 3+3

x 3+x 2y-xy 2，

∴u(x,y)=31x 3+x 2y-xy 2-3

1y 3

+C ，其中C 为任意常数。

31．设z=f(sinx,cosy,e

x+y

)，而f(u,v,w)的二阶偏导数连续，求x z

??，22x

z ??。

解：x z ??=cosx ?f 1/+y

x e +f 3/；22x

z ??=cos 2x ?f 11//+2y x e +cosx ?f 13//+)(2y x e +f 33//-sinx ?f 1/+y x e +f 3/。

32. 设z=φ(xy)+ψ(y

)，求：y x z ???2。

解：x z ??=y φ/(xy)+y 1ψ/(y x )，y x z ???2=φ/(xy)+xy φ//(xy)-21y ψ/(y x )-3y

x ψ//

(y x )。

33. 设u=yf(y x )+xg(x y

)，其中函数f ，g 具有二阶连续导数，求y x u y x

u x ???+??222。

解：22x u

??=-)()(12x y g x y y x f y ''+''，y x u ???2=)()(22x y g x y y x f y x ''-''-，y x u y x

u x ???+??222=0。 34. 设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求

。

解：???

????=++'++=0)1(dx dz F dx dy F F f dx

dy x f dx dz

z y x ，由此解得：z y x y F f x F F f x F f x f dx dz '+'-'+=)(。

二、证明题

1. 用极限定义证明6)4(lim 22

=--→→y x y x 。

证：?ε>0，设|x-1|<1，则0

∴要使|4x 2-y-6|=|4x 2

-4-y-2|≤4|x+1||x-1|+|y+2|<12|x-1|+|y+2|<ε，只要取δ=min{1，

ε}，当|x-1|<δ，|y+2|<δ，且(x,y)≠(1,-2)时，恒有|4x 2-y-6|≤13δ<ε成立，

由极限的定义，故6)4(lim 22

1=--→→y x y x 。

2. 用极限定义证明2)2(lim 221

0=+-→→y xy x y x 。

证：?ε>0，设|x|<1，|y-1|<1，则0

∴要使|x 2-xy+2y 2-2|=|x(x-y)+2(y 2

-1)|≤|x||x-y|+2|y+1||y-1||<3|x|+6|y-1|<ε，只要取δ=min{1，

}，当|x|<δ，|y-1|<δ，且(x,y)≠(0,1)时，恒有|x 2-xy+2y 2-2|≤9δ<ε成立，由极限的定义，故2)2(lim 221

0=+-→→y xy x y x 。

3. 设A ，B 是R 2中互不相交的有界闭集。求证：存在开集W ，V 满足W ?A ，V ?B ，W V=?。证：设d=B

Q A P ∈∈,inf

{ρ(P,Q)}，ρ(P,Q)表示P 、Q 两点间的距离。则d ≠0。

否则，若d=0，由下确界的定义，?ε>0，?点P ∈A ，点Q ∈B ，使ρ(P ,Q )<ε。现依次取ε=

n 1(n=1,2,…)，可得点列{P n }?A ，点列{Q n }?B ，使得ρ(P n ,Q n )

1。由于A 是有界集，所以{P n }是有界点列，于是从中必可选出收敛的子列{k n P }，设k n P →P 0(k →∞)， ρ(P n ,Q n )→0(n →∞)，∴相应地取{Q n }的子列k n Q ，亦满足k n Q →P 0(k →∞)。 ∴P 0既是A 的聚点，又是B 的聚点。

又A 、B 都是闭集，∴P 0∈A B ，与A 、B 互不相交矛盾。故d ≠0。现令W= A

P d P U ∈)3

,(，V=

Q d Q U ∈)3,(，其中U(P,3d )表示点P 的3d 邻域。则W ，V 即为满足题设条件的开集W 、V 。

4. 设G 1，G 2是R 2中两个不相交的开集。试证明：G 1 2=?。（其中2表示G 2连同其边界所成集合，称其为G 2的闭包）

证：假设G 1 2≠?，则存在点P ∈G 1 2，∴点P ∈G 1且P ∈2， G 1 G 2=?，∴P ∈?G 2，又G 1是开集，所以存在P 的某个邻域U(P)?G 1，又P ∈?G 2，由边界点的定义知，在P 的任何邻域内都至少存在G 2中的一个点。于是在U(P)中至少存在G 2中的一个点，这与G 1，G 2不相交矛盾。故G 1 2G =?。

5. 设u=f(z)，其中z 是由方程z=x+yg(z)所确定的x 和y 的函数，求证

z g y u ??=??)

(。证：

)(1)()()(1)()()(z g y z f z g z g y z g z f y z z f y u '-'=??????'---'=??'=??，g(z)??

????'-'--=??)(1)()(z g y z f z g x u

=)(1)()(z g y z f z g '-'，故

z g y u ??=??)

(。 6. 证明由方程F(

z x ,z y )=0所确定的函数z=z(x,y)，满足方程y

y x z x ??+??=z 。证： F x =F 1?z 1，F y =F 2?z 1，F z =-21

z (F 1?x+F 2?y)，∴211yF xF zF F F x z z x +=-=??，2

12yF xF zF F F y z z y +=-=??。 ∴z yF xF yzF xzF y z y x z x

=++=??+??2

1。 7. 设z=f(x,y)=??

??=≠+-)0,0(),( ,0)0,0(),( ,)

(y x y x y x y x x ，证明：（1）)0,0(x f '，)0,0(y f '存在；（2）f(x,y)在(0,0)处不可微。

证：(1) f(x,0)=x ，f(0,y)=0，∴)0,0(x f '=1，)0,0(y

f '=0。 (2)

)

0,0(),(2

)

0,0(),()(2lim

)

(lim y

x y x xy y

x x y x y x x y x y x ++-=

+-+-→→，在该极限中，取y=kx ，x →0+得其极限为

1)1(2k

k k ++-与

k 有关，∴该二重极限不存在，故f(x,y)在(0,0)处不可微。

8. 设f(x,y)=?

??=≠+)

0,0(),( 0)0,0(),( 223

y x y x y x x 。证明f(x,y)在(0,0)不可微。

解： f x (0,0)=1，f y (0,0)=0，

232222

]

)()[()()

()()()()(y x y x y x x

y x x y

B x A f ?+

???-=

?+??-?+??=

?-?-?ρ

，

取?y=k ?x ，并令?x →0，可得ρ

B x A f ?-?-?→-

2322)

1(k k +

，∴

)

0,0(),(lim

→??y x ρ

B x A f ?-?-?不存在，

故f(x,y)在(0,0)不可微。

9. 设z=f(x,y)=?

??=≠+)

0,0(),( ,0 )0,0(),( ,222y x y x y x y

x 。证明：(1)f(x,y)在原点(0,0)连续；(2)x f ??)0,0(，y f ??)0,0(存在；

(3)

x y x f ??),(，y

y x f ??)

,(在(0,0)不连续；(4)f(x,y)在点(0,0)不可微。证：(1)

||2

2x y

x y x ≤+，∴

0,0(),(lim

x y x y x +→=0=f(0,0)，∴f(x,y)在原点(0,0)连续。

(2) f x (0,0)=f y (0,0)=0，∴

x f ??)0,0(，y

f ??)

0,0(存在。

(3) x y x f ??),(=2223)(2y x xy +，y y x f ??),(=222222)()(y x y x x +-。又2

22230)1(2)(2lim k k y x xy kx

y x +=

+=→， 2

222

2220

)

1(1)

()(lim

k k y x y x x kx

y x +-=

+-=→，

∴

x y x f y x ??→)

,(lim

)0,0(),(与y

y x f y x ??→),(lim )0,0(),(都不存在，故x y x f ??),(，y y x f ??),(在(0,0)不连续。

(4) f x (0,0)=f y (0,0)=0，又取?y=k(?x)，且?x →0时，

2222

22]

)()[()()

()(00)()()(y x y x y x y

x y x y x ?+

???=

?+??-?-?+???的极限为

232)

1(k k

，

∴

B x A f y x ?-?-?→??)

0,0(),(lim

不存在，故f(x,y)在点(0,0)不可微。

10. 设10

.φ(0,1)=0；20

.φ(x,y)在点(0,1)邻域内连续可微；30

.y φ(0,1)≠0。求证：存在δ>0，在[-δ,δ]存在唯一连续可微函数y=y(x)满足：0)sin ,(0=?y

xdx x φ，并求y /

(0)。

证：令F(x,y)=)sin ,(0

xdx x φ，由条件30

，

sin

)sin ,0(20

2)2

,0(π

φπ

?=???xdx y

=)1,0(y φ≠0，且φ(x,y)在点(0,1)

的邻域内连续可微，由隐函数存在定理，存在δ>0，在[-δ,δ]存在唯一连续可微函数y=y(x)，满足)sin ,(0

xdx x φ=0，

且y /(0)=-

)

1,0()

1,0(y x φφ。

11. 设F(u,v)处处可微，试证明曲面F(l x-mz,l y-nz)=0（其中l ,m,n 均不为0）上所有切平面与一条固定直线平行。

证：曲面F(l x-mz,l y-nz)=0上切平面的法向量n

=(l F 1/,l F 2/,-mF 1/-nF 2/)，取定向量α =(m,n,l )，

则n ?α =0，即n

⊥α ，故曲面F(l x-mz,l y-nz)=0（其中l ,m,n 均不为0）上所有切平面与一条方向向量为α

=(m,n,l )的直线平行。

12. 研究含参量积分?∞

++0

21)sin(dx x

x p

(p ≥0)的一致收敛性。

解： ?

+∞0

2)sin(dx x =?1

2)sin(dx x +?

+∞

2)sin(dx x =I+J ，其中I 是正常积分，J 可令t=x 2

，得J=?

+∞

2sin dt t

t ，

由狄利克雷判别法，J 收敛，∴?+∞

2)sin(dx x 关于p ≥0一致收敛。

又当p ≥0时，对固定的p ，函数

+11随x 单调且

111≤+p

x 一致有界，

由阿贝耳判别法，故原含参量积分?∞

++0

21)sin(dx x

x p

在p ≥0上一致收敛。

13. 研究函数F(α)=dx x e x ?∞

+-0

，在(0,1)内的连续性。解：F(α)=dx x e x ?

∞

+-0

=dx x e x ?

-10

+dx x e x ?

∞

+-1

=I(α)+J(α)，

?α∈(0,1)，?a ，b 满足0

e x -≤

1，又dx x

1收敛，

∴I(α)=dx x e x

-10

在[a,b]上一致收敛，从而I(α)在[a,b]上连续；

对于J(α)， 0≤α

x e x -≤

x x e -，∞

→x lim

x x e x -2=∞

→x lim

a e x -2=0，∴dx x e a

x ?

∞

+-1

收敛，从而J(α)=dx x e x ?

∞

+-1

在[a,b]上

一致收敛，∴J(α)在[a,b]上连续。

综上所述，F(α)在[a,b]上连续，由α∈(0,1)的任意性，故函数F(α)=dx x

e x ?∞+-0

在(0,1)内连续。

14. 证明积分F(α)=?

+∞--0

)(2

dx e x α是参数α的连续函数。

证：只要证明积分F(α)在任意有限闭区间[a,b]上连续即可。 F(α)=?

+∞

--0

)(2

dx e x α=?--b

x dx e 0

)(2

α+?

+∞

--b

x dx e 2

)(α=I(α)+J(α)，

?--b x dx e 0

)(2

α是被积分函数连续的含参量的正常积分，∴I(α)在[a,b]上连续。

对于J(α)=?

+∞

--b

x dx e 2)(α， 2

2)()(b x x e e ----≤α，而?

+∞

--b

b x dx e 2

)(收敛，

由M-判别法，∴J(α)=?+∞

--b

x dx e 2

)(α在[a,b]上一致收敛，从而J(α)在[a,b]上连续。

综上所述，F(α)=?+∞

--0

)(2

dx e x α是参数α的连续函数。

15. 设F(y)=?+10

2)(dx y x x yf ，其中f(x)在[0，1]中取正值的连续函数。证明F(y)在0点不连续，在y ≠0的任一

点都连续。

证：若y 0≠0，则存在y 0的一个邻域U(y 0)，使0?U(y 0)，于是2

2)(y x x yf +在区域[0,1]?U(y 0)上连续，所以含参量

y 的正常积分F(y)=?+1

)(dx y

x x yf 在U(y 0)上连续，从而在点y 0连续，由y 0≠0的任意性，故F(y)在y ≠0的任一点都

连续。

若y 0=0，则F(0)=0，由题意，设f(x)≥m>0，y>0，则F(y)≥m 10

2arctan

y m y x ydx -=+?=m(

-arctany)， ∴2arctan 2lim )(lim 00ππm y m y F y y =??

??-≥+

→+

→>0=F(0)，故F(y)在y=0处不连续。

16. 设f(x)在[0,+∞)可积，除+∞外只有x=0为瑕点。求证：??

+∞

-+→=

0)()(lim

dx x f dx x f e x αα。

证：?ε>0，当α∈[0,ε]时， ?+∞

)(dx x f 可积，

从而关于α在[0,ε]上一致收敛，又对于固定的α∈[0,ε]，x e α-在[0,+∞)内单调且一致有界，由阿贝耳判别法，∴含参量的非正常积分?+∞

-0

)(dx x f e x α关于α在[0,ε]上一致收敛。

由含参量非正常积分的连续性定理，∴?+∞-0

)(dx x f e x α在[0,ε]上连续。

故??

+∞

-+→=

0)()(lim

dx x f dx x f e x αα。

17. 研究函数F(α)=?

-π

απ0

)(sin dx x x x 在(0,2)内的连续性。

解：只需研究函数F(α)=?

-π

απ0

)

(sin dx x x x 在[a,b]?(0,2)内的一致收敛性。

F(α)=?

-π

απ0

)(sin dx x x x =?-1

)(sin dx x x x α

απ+?

-3

)(sin dx x x x

απ+

-π

απ3

)(sin dx x x x

=I(α)+J(α)+K(α)，

对于I(α)=?-?-10

11)(sin dx x x x x ααπ， 0≤

1-αx

≤

1-b x

，b-1<1，且

π)(s i n x x x -在[0,1]?[a,b]上一致有界，?

-1

1dx

b 收敛，∴I(α)=?

-1

)(sin dx x x x x

ααπ关于α在[a,b]上一致收敛；

对于J(α)，其为含参量的正常积分，连续。

对于K(α)=?-πα

απ3)(sin dx x x x

=?--?--πααπππ31)(1)()sin(dx x x x x ， )

()sin(x x x --ππα在[3,π]?[a,b]上一致有界，且1

)(1)(1---≤

-b x x ππα，?

--π

π3

)(1

dx x b 收敛，∴K(α)=

-π

απ3

)(sin dx x x x

关于α在[a,b]上一致收敛。

综上所述，函数F(α)=?

-π

απ0

)(sin dx x x x 在(0,2)的任意内闭子区间[a,b]上一致收敛，故函数F(α)在(0,2)的任

意内闭子区间[a,b]上连续，从而在(0,2)内连续。

18. 设u(x,y)在平面区域D 上有二阶连续的偏导数。证明：u(x,y)满足

2≡??+

??y

u x

u （称u(x,y)为调和函数）

的充要条件是：对D 内任一圆周C ，且C 围成的区域包含于D ，都有0=???

C ds n

(其中n 为圆周C 的外法向量)。证：必要性。设C 围成的区域G ?D ，又u(x,y)为D 上的调和函数。由方向导数及格林公式得

???C

ds n u

=?>

u x u )(2222=0 其中n 为圆周C 的外法线。

充分性。若0=???C ds n u

，下面用反证法证明02222≡??+??y

u x u 。

假设02

2≡??+

??y

u x

u ，那么至少存在一点(x 0,y 0)∈D ，它在这一点不为零。不妨设值为m>0，由连续性，?δ>0，

使

2y u x u ??+

??在(x-x 0)2+(y-y 0)2≤δ2上的值大于等于

m （只要δ足够小），取圆周C ：(x-x 0)2+(y-y 0)2=δ2，并记C 所围成的圆域为δG ，则

0222222>?≥???? ????+??=?????πδδ

m dxdy y u x

u ds n u G C 与已知矛盾。从而证明了u(x,y)是调和函数。

13数学分析期末复习题02

重积分复习题一、计算题 1．设f 在(-∞,+∞)上连续，化重积分I= ??≤≤+1 ||||22)( x y dxdy y x f 为定积分。 2. 计算???Ω -++dxdydz z y x |1|222，其中Ω是由z=22y x +与z=1所围成的立体。 3. 求I=? ? ++-AnB x x dy x y e dx y e x )3sin ()cos (2 ，其中? AnB 是由A(0,2)沿右半圆周到B(0,0)的路径。 4. 求I=??++S dS z y x )(，S ：x 2+y 2+z 2=R 2（z ≥0）。 5．求曲线积分?=+--+2 22 22 )2sin 2(cos ) (R y x y x xydy xydx e ，其中闭曲线取正向。 6. 计算??+ S xyzdxdy ，其中S ＋为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧，在x ≥0，y ≥0的部分。 7. ??∑ ++dxdy z dzdx y dydz x 222，其中∑是立方体0≤x,y,z ≤a 表面的外侧。 8. 化以下第二型曲线积分为定积分（不计算定积分）：I=? +C xydy dx y 2 ，C 为曲线：14 )2(9)1(2 2=-+-y x 上从点(1,4)到(4,2)的一段。 9. 计算??++S dxdy z dxdz y dydz x 333，其中S 为球x 2+y 2+z 2=a 2的外表面。 10. 试用格林公式计算I=?-++C y dy ye x dx x xy )()sin 3(2之值，其中C 是曲线y=x 2-2x 上以O(0,0)为始点，A(4,8) 为终点的曲线段。 11. 求????? ? ??+-D dxdy y x y x cos ，D 是由x+y=1，x 轴及y 轴围成的平面区域。 12．求由曲面z=22y x +，x 2-2x+y 2=0及平面z=0围成的立体之体积。 13. 2 ) ()2(y x ydy dx y x +++是否为某个函数u 的全微分？若是求u(x,y)。 14. 计算：??+-D dxdy y x y x )cos()(，其中D 由0≤x-y ≤ 2π，0≤x+y ≤2 π 所围成。 15. 计算??∑ +++++dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([，其中f(x,y,z)为连续函数，∑为平面 x-y+z=1在第四卦限部分的上侧。 16. 计算二重积分??D ydxdy x 2，其中D 为由y 2=x ，y=x+2，x=0及x=2所围成的平面区域。 17. 求积分值I=?+L ds y n y x n x )],cos(),cos([ ，其中L 为包围有界区域D 的闭曲线，n 为L 的外法线方向。 18．求曲线积分?=+--+2 22 22 )2sin 2(cos ) (R y x y x xydy xydx e ，其中闭曲线取正向。 19. 求：I=???++V dv z y x )(222，其中V ：x 2+y 2+z 2≤2z 。 z

数学分析期末考试题

数学分析期末考试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分） 1、函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（） A ?? =-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( B 0)(=?-a a dx x f C ?? -=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( D )(2)(a f dx x f a a =?- 3、下列广义积分中，收敛的积分是（） A ? 1 1dx x B ? ∞ +1 1dx x C ? +∞ sin xdx D ?-1 131dx x 4、级数 ∑∞ =1 n n a 收敛是 ∑∞ =1 n n a 部分和有界且0lim =∞ →n n a 的（） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（） A ∑∞ =1n n a 和 ∑∞ =1 n n b 收敛， ∑∞ =1 n n n b a 也收敛 B ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 C ∑∞ =1n n a 收敛和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 D ∑∞=1 n n a 收敛和∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =1 n n n b a 发散 6、 )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（） A )()('1'x a x a n n =∑∞ = B a （x ）可导 C ?∑? =∞ =b a n b a n dx x a dx x a )()(1 D ∑∞ =1 )(n n x a 一致收敛，则a （x ）必连续 7、下列命题正确的是（）

数学分析1-期末考试试卷(A卷)

数学分析1 期末考试试卷（A 卷）一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ，则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是，第二类间断点是。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（）。（A ）若n x 发散，则n y 必发散。（B ）若n x 无界，则n y 必无界。（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。（D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（）。（A ） 1。（B ）不存在。（C ） 0。（D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（）。（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。

（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（）。（A ）() )(x f e f e x x ----。（B ）() )(x f e f e x x +---。（C ） () )(x f e f e x x --- 。（D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3 π =x 处取得极值，则（）。（A ）)3(,1πf a =是极小值。（B ）)3 (,1π f a =是极大值。（C ）)3(,2πf a =是极小值。（D ）)3 (,2π f a =是极大值。三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。

数据分析期末试题及答案

数据分析期末试题及答案一、人口现状.sav数据中是1992年亚洲各国家和地区平均寿命(y)、按购买力计算的人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)的数据，试用多元回归分析的方法分析各国家和地区平均寿命与人均GDP、成人识字率、一岁儿童疫苗接种率的关系。(25分) 解： 1.通过分别绘制地区平均寿命(y)、按购买力计算的人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)之间散点图初步分析他们之间的关系上图是以人均GDP(x1)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间没有呈线性关系。尝试多种模型后采用曲线估计，得出表示地区平均寿命(y)与人均GDP(x1)的对数有线性关系

上图是以成人识字率(x2)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间基本呈正线性关系。上图是以疫苗接种率(x3)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间没有呈线性关系。 x）为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，上图是以疫苗接种率(x3)的三次方（3 3 由图可知，他们之间呈正线性关系所以可以采用如下的线性回归方法分析。

2.线性回归先用强行进入的方式建立如下线性方程设Y=β0+β1*（Xi1）+β2*Xi2+β3* X+εi i=1.2 (24) 3i 其中εi（i=1.2……22）相互独立，都服从正态分布N（0，σ^2）且假设其等于方差 R值为0.952，大于0.8，表示两变量间有较强的线性关系。且表示平均寿命(y)的95.2%的信息能由人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)一起表示出来。建立总体性的假设检验提出假设检验H0：β1=β2=β3=0，H1,：其中至少有一个非零得如下方差分析表上表是方差分析SAS输出结果。由表知，采用的是F分布，F=58.190，对应的检验概率P值是0.000.，小于显著性水平0.05，拒绝原假设，表示总体性假设检验通过了，平均寿命(y)与人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)之间有高度显著的的线性回归关系。

数学分析3期末试题

2012 –2013学年第一学期期末考试题 11数学教育《数学分析》（三）一、单项选择（将正确答案的序号填在括号内，每题2分，共20分） 1. 下列数项级数中收敛的是（） A. 211 n n ∞ =∑； B. 2 1n n n ∞ =+∑； C. 1 1 n n ∞ =∑； D. 0 1 23n n n ∞ =++∑. 2. 下列数项级数中绝对收敛的是（） A. 1(1)n n n ∞ =-∑ B. 1n n ∞= 1n n ∞=1sin n n n ∞ =∑ 3.函数项级数1n n x n ∞ =∑的收敛域是（） A. (1,1)- B. (1,1]- C. [1,1)- D. [1,1]- 4.幂级数021n n n x n ∞ =+∑的收敛半径是（） . A B C D 1 ．2　．1 ．02 5. 下列各区域中，是开区域的是（） 2. {(,)|}A x y x y > . {(,)|||1}B x y xy ≤ 22.{(,)|14}C x y x y <+≤ .{(,)|1}D x y x y +≥ 6.点集11{,|}E n N n n ?? =∈ ??? 的聚点是（） A. (){0,0} B.()0,0 C. 0,0 D.{}{}0,0 7.点函数()f P 在0P 连续，是()f P 在0P 存在偏导数（） A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微，则(,)f x y 在()00,x y 不一定 ( ) A.偏导数连续 B.连续 C. 偏导数存在 D. 存在方向导数 9. 设函数)()(y v x u z =，则z x ??等于（） A. ()()u x v y x y ???? B. ()()du x v y dx y ?? C. ()()du x v y dx D. ()() u x v y x y ??+ ?? 10. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微的充分必要条件是 ( ) A. 偏导数连续; B. 偏导数存在; C.存在切平面; D. 存在方向导数. 二、填空题（将正确答案填在横线上，每题2分，共20分） 11. 若数项级数1 1n p n n ∞ =-∑（）绝对收敛，则p 的取值范围是； 12. 幂级数0(1)n n n x ∞ =+∑的和函数是； 13．幂级数2 01 (1)n n x n ∞ =-∑ 的收敛域是 . ； 14．平面点集22{(,)|14}E x y x y =<+≤的内点是_________ ___ __ _______； 15．函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值点是 ______________________. 16．曲面221z x y =+-在点（2,1,4）的切平面是 ______________________ 17．函数y z x =，则 z y ?=? ______________________； 18．函数u xyz =在（1,1,1）沿方向(cos ,cos ,cos )l αβγ= 的方向导数是 ___________； 19．设cos sin x r y r ? ?=??=?，则 x x r y y r ??????=???? ； 20 ．若arctan y x =，则 dy dx =______________________。

数学系一年级《数学分析》期末考试题

（一）数学系一年级《数学分析》期末考试题学号姓名一、（满分10分，每小题2分）单项选择题： 1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n c ，则（） A {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界； 2、=)(x f ??? ? ???>+=<,0 ,2.( ,0 ,0, ,sin x x k x k x x kx 为常数）函数 )(x f 在点00=x 必（） A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、' 'f （0x ）在点00=x 必（） A. x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 02020 ； B. ' 000)()(lim ???? ???-?+→?x x f x x f x ; C. ' 000)()(lim ??? ? ???-?+→?x x f x x f x ; D. x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。则（） A. ∈?ξ（b a ,），使0)(' =ξf ； B. ∈?ξ（b a ,），使0)(' ≠ξf ; C. ∈?x （b a ,），使0)('≠x f ； D.当)(b f >)(a f 时，对∈?x （b a ,），有)(' x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有?+=c x F dx x f )()(， ?+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有（） A. ?=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=?)()()()( ；

数学分析(2)期末试题

数学分析（2）期末试题课程名称数学分析（Ⅱ）适用时间试卷类别 1 适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分） 1、下列级数中条件收敛的是（）． A ．1(1)n n ∞ =-∑ B ． 1n n ∞ = C ． 21(1)n n n ∞=-∑ D ． 11(1)n n n ∞ =+∑ 2、若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数在它的间断点x 处（）． A ．收敛于()f x B ．收敛于1 ((0)(0))2f x f x -++ C ．发散 D ．可能收敛也可能发散 3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（）． A ．有界 B ．连续 C ．单调 D ．存在原函数 4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（） A ． 1x B ．ln x x C ． 21 x - D ． x e 5、已知反常积分2 (0)1dx k kx +∞ >+? 收敛于1，则k =（） A ． 2π B ．22π C ． 2 D ． 24π 6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n x x x x --+-+-+L L 收敛，则（） A ． x e < B ．x e > C ． x 为任意实数 D ． 1e x e -<<

二、填空题（每小题3分，3×6＝18分） 1、已知幂级数1n n n a x ∞ =∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为． 2、若数项级数1 n n u ∞ =∑的第n 个部分和21 n n S n = +，则其通项n u = ，和S = ． 3、曲线1 y x = 与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为． 4、已知由定积分的换元积分法可得，1 ()()b x x a e f e dx f x dx =??，则a = ，b = ． 5、数集(1) 1, 2 , 3, 1n n n n ?? -=??+?? L 的聚点为． 6、函数2 ()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为． 65

数学分析期末考试试卷

中央财经大学2014—2015学年数学分析期末模拟考试试卷（A 卷）姓名：学号：学院专业：联系方式：一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ，则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是，第二类间断点是。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（）。（A ）若n x 发散，则n y 必发散。（B ）若n x 无界，则n y 必无界。（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。（D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（）。（A ） 1。（B ）不存在。（C ） 0。（D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（）。

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（）。（A ）() )(x f e f e x x ----。（B ）() )(x f e f e x x +---。（C ） () )(x f e f e x x --- 。（D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+ =在3 π =x 处取得极值，则（）。（A ）)3(,1πf a =是极小值。（B ）)3 (,1π f a =是极大值。（C ）)3(,2πf a =是极小值。（D ）)3 (,2π f a =是极大值。三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 3 x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。

数学系第三学期数学分析期末考试题及答案

第三学期《数学分析》期末试题一、选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 2、 =??),(00|) ,(y x x y x f （） A x y x f y y x x f x ?-?+?+→?),(),(lim 00000 ； B x y x x f x ??+→?) ,(lim 000； C x y x x f y y x x f x ??+-?+?+→?),(),(lim 00000 ； D x y x f y x x f x ?-?+→?) ,(),(lim 00000。 3、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ D ） A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微； B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续； C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在； D 以上全不对。 4、2 222 2) (),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限各为（ B ） A 、0，0，0； B 、不存在，0，0，； C 、0，不存在，0； D 、0，0，不存在。 5、设y x e z =，则=??+??y z y x z x （ A ） A 、0； B 、1； C 、-1； D 、2。二、计算题（50分，每小题10分） 1、证明函数?? ? ??=+≠++=0 00),(22222 2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微； 2、设 ??'=-x x t x f x f dt d e x f 0) (),(,)(2 求ττ； 3、设有隐函数,0 x y F z z ??= ???,其中F 的偏导数连续,求z x ??、z y ??； 4、计算 (cos sin ) x C e ydx ydy -? ，其中C 是任一条以为(0,0)A 起点、(,)B a b 为终点的光滑曲线； 5、计算 zdS ∑ ??，其中∑为22 z x y =+在 1 4z ≤ 的部分；三、验证或解答（满分24分，每小题8分）

上海财经大学数学分析测试题 (大一)

《数学分析》考试题一、（满分10分，每小题2分）单项选择题： 1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n c ，（） A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界； 2、=)(x f ??? ????>+=<,0 ,2.( ,0 ,0, ,sin x x k x k x x kx 为常数）函数 )(x f 在点00=x 必（） A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必（） A. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 02020 ； B. ' 000)()(lim ??? ? ???-?+→?x x f x x f x ; C. '000)()(lim ???? ???-?+→?x x f x x f x ; D. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。则（） A. ∈?ξ（b a ,），使0)('=ξf ； B. ∈?ξ（b a ,），使0)('≠ξf ; C. ∈?x （b a ,），使0)('≠x f ； D.当)(b f >)(a f 时，对∈?x （b a ,），有)('x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有?+=c x F dx x f )()(， ?+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有（） A. ?=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=?)()()()( ； C. ?+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ；

数学分析期末考试题1、2(第二份有答案)

一、判断题（每小题2分，共20分） 1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集．（） 2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等．（） 3.连续函数的全增量等于偏增量之和．（） 4. xy y x f =),(在原点不可微．（） 5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =．（） 6. dy y x xy y ) 1(sin 2 1 +? +∞ 在)1,0(内不一致收敛．（） 7.平面图形都是可求面积的．（） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （） 9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”．（） 10.二重积分定义中分割T 的细度 T 不能用}{max 1i n i σ?≤≤来代替．（）二、填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy +=，则其全微分=dz ． 2.设 3 2),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度= )(0P grad ． 3.设L 为沿抛物线 22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则?=+L ydx xdy ． 4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于． 5.曲面2732 22=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为．三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限 xy y x y x )(lim 22) 0,0(),(+→． 2．设),(y x z z =是由方程z e z y x =++所确定的隐函数，求xy z ． 3．设 ]1,0[]1,0[?=A ，求??++=A y x ydxdy I 2 322)1( . 4．计算抛物线) 0()(2 >=+a ax y x 与x 轴所围的面积.

数学分析期末考试题

数学分析期末考试题一、叙述题：(每小题5分，共10分） 1、叙述反常积分 a dx x f b a ,)(? 为奇点收敛的cauchy 收敛原理 2、二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)21 2111( lim n n n n +++++∞ →Λ 2、求摆线]2,0[)cos 1() sin (π∈? ??-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积 3、求?∞+∞-++dx x x cpv 211) ( 4、求幂级数∑∞ =-12 )1(n n n x 的收敛半径和收敛域 5、),(y x xy f u =，求y x u ???2 三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、y x y x y x f +-=2 ),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？ 2、讨论反常积分 ? ∞ +0 arctan dx x x p 的敛散性。 3、讨论∑∞ =-+1 33))1(2(n n n n n 的敛散性。四、证明题：（每小题10分，共20分） 1、设f （x ）在[a ,b ]连续，0)(≥x f 但不恒为0，证明0)(>? b a dx x f 2、设函数u 和v 可微，证明grad (uv )=ugradv +vgradu

参考答案一、1、,0.0>?>?δε使得δδδ<<?>?δε使得 D x x x x ∈<-?2,121,δ，成立ε<-)()(21x f x f 二、1、由于 x +11 在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分） )21 2111( lim n n n n +++++∞ →Λ=2ln 11)11211111( 1lim 10=+=+++++?∞→dx x n n n n n n Λ（6分） 2、、所求的面积为：220 23)cos 1(a dx x a ππ =-? （8分） 3、解：π=++=++??-+∞→∞ +∞-A A A dx x x dx x x cpv 2 211lim 11) ( (3分） 4、解：11 lim 2=∞ →n n x ，r=1（4分）由于x =0，x =2时，级数均收敛，所以收敛域为[0，2]（4分） 5、解： y u ??=221y x f x f -（3分）3 22112212y x f xy f y f f y x u -++=???（5分）三、1、解、 0lim lim lim ,1lim lim lim 2 02000200==+-==+-→→→→→→y y y x y x x x y x y x y x y x y x （5分）由于沿kx y =趋于（0，0）极限为k +11 所以重极限不存在（5分） 2、解：???∞+∞++=1100arctan arctan arctan dx x x dx x x dx x x p p p （2分），对?10arctan dx x x p ，由于 )0(1arctan 1+→→-x x x x p p 故p <2时?10arctan dx x x p 收敛（4分）；?∞+1arctan dx x x p ，由于)(2arctan +∞→→x x x x p p π （4分）故p >1?∞+1arctan dx x x p 收敛，综上所述1

(汇总)数学分析3试卷及答案.doc

数学分析(3)期末试卷 2005年1月13日班级_______ 学号_________ 姓名__________ 考试注意事项： 1.考试时间：120分钟。 2.试卷含三大题，共100分。 3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！ 4.遵守考试纪律。

一、填空题(每空3分，共24分) 1、设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ? =),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、在xy 面上，若圆{} 12 2≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2 _______。二、计算题(每题8分，共56分) 1、讨论y x y x y x f 1 sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。

13数学分析期末复习题01

13数学分析(三)复习范围一、计算题(每小题10分，共70分) 1. 全微分计算题 2. 求隐函数(组)的一阶偏导数 3. 求抽象函数的二阶偏导数 4. 求曲线的切线与法平面方程或求曲面的切平面与法线方程 5. 求函数的极值 6. 计算第一型曲面积分 7. 计算第二型曲面积分 8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 9. 二重积分的计算 10. 高斯公式与斯托克斯公式 11. 求多元函数的方向导数 12. 曲线积分与路径无关问题 13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示 14. 应用--求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分) 15. 利用余元公式B(p,1-p)=ππ p sin ，计算?+∞+01n x dx 类积分值二、解答与证明题(第小题10分，共30分) 1. 用定义证明多元函数的极限 2. 证明多元函数的连续性 3. 研究含参量积分的一致收敛性 4. 证明含参量非正常积分的连续性 5. 三重积分的证明题 6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题 7. 证明二重极限不存在 8. 多元函数的可微性证明

例题一、计算题 1. 全微分计算题公式：du=u x ??dx+u y ??dy+u z ??dz 。例1：求函数u=22 22 z x x y -+的全微分；例2：已知函数z=z(x,y)是由方程x 2+y 2+z 2-3x=0所确定的函数，求z(x,y)的全微分。 2. 求隐函数(组)的偏导数例3：设z y e z x +=，求y x z ???2。例4：设2x+y+3z=0，x+y+z=e -(x+y+z)，求dx dy ，dx dz 。 3. 求抽象函数的二阶偏导数例5：设u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求z x u ???2，22u y ??其中f 具有二阶连续的偏导数；例6：设u=f(x 2-y 2，xy e )，求y x u ???2，其中f 具有二阶连续偏导数。 4. 求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线例7：求曲线：x 2+y 2+z 2=6，x+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。例8：求曲线?? ???=-+-=-++045320 3222z y x x z y x 在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程。例9：求曲面x 2+2y 2+3z 2=21的平行于平面x+4y+6z=0的各切平面。 5. 求函数的极值或条件极值例10：求f(x,y)=e 2x (x+2y+2y 2)的极值。例11：求抛物线y=x 2和直线x-y-2=0之间的最短距离。 6. 计算第一型曲面积分例12：计算??++S dS zx yz xy )(，其中S 为锥面22y x z +=被曲面x 2+y 2=2ax 所截得的部分。例13：计算：xyzdS ∑ ??，∑是平面x+y+z=1在第一卦限中的部分。 7. 计算第二型曲面积分例14：求I=??-++S dxdy yz x dydz xy z )()2(22，其中S 是圆柱面x 2+y 2=1被平面y+z=1和z=0所截出部分的外侧。例15：计算??∑ +-yzdxdy dzdx y xzdydz 24，其中∑是平面x=0，y=0，z=0，x=1，y=1，z=1所围成的立方体的全表面的外侧。 8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 例16：计算曲线积分[][] ? -'+-AmB x x dy m e y dx my e y )()(??，其中?(y)和?/(y)为连续函数，AmB 为连接点A(x 1,y 1) 和点B(x 2,y 2)的任何路径，但与线段AB 围成的区域AmBA 的面积为已知常数S 。

数学分析试题及答案

（二十一）数学分析期终考试题一叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件二计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向，求f l (P 0) 三讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续，但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。四证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。参考答案一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。

13数学分析期末复习题03

数学分析(三)复习题一、计算题 1．求二重极限y x x a y x x +→∞→? ?? ?? +2 11lim ； 2．求椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角； 3．求函数z=xy 在条件x+y=1下的极值点。 4．求函数z=x 2+xy+y 2-4lnx-10lny 的极值。 5. 求函数z=4(x-y)-x 2-y 2的极值。 6．求函数z=x 4+y 4-x 2-2xy-y 2的极值。 7. 求函数z=x 3y 2(6-x-y)，(x>0，y>0)的极值。 8．求函数z=x 2+(y-1)2的极值。 9. 设u(x,y)=e 3x-y ，x 2+y=t 2，x-y=t+2，求 =t dt du 。 10．求e z -z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。 11. 设f(x,y,z)=x+y 2+xz ，求f 在(1,0,1)点沿方向C =(2,-2,1)的方向导数。 12．求函数u=xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。 13. 求函数u=x 2+y 2-z 2在点M(1,0,1)及P(0,1,0)的梯度之间的夹角。 14．在椭球面2x 2+2y 2+z 2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。 15．设函数f(x,y,z)=cos 2(xy)+2z y ，试问它在点(0,2,1)处的什么方向上的变化率最大？求出这个方向上的单位向量及函数在点(0,2,1)的最大变化率。 16．求函数z=arctg x y 在位于圆x 2+y 2-2x=0上一点(21 ,2 3)处沿这圆周切线方向的方向导数（设切线的倾角α 的范围为：0≤α<π）。 17. 设数量场u= 2 2 2 z y x z ++，试求：（1）gradu ；（2）在域1

数学分析下册》期末考试卷及参考答案

数学分析下册期末模拟试卷及参考答案一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分） 1、已知u =则u x ?=? ，u y ?=? ，du = 。 2、设22L y a +=2：x ，则L xdy ydx -=? 。 3、设L ???x=3cost ，：y=3sint.（02t π≤≤），则曲线积分ds ?22L （x +y ）= 。 4、改变累次积分32dy f dx ??3 y （x ，y ）的次序为。 5、设1D x y +≤：，则1)D dxdy ??= 。二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，共15分） 1、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续，则函数f （x ，y ）点p 00（x ，y ）必存在一阶偏导数。 ( ) 2、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）可微，则函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续。 ( ) 3、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）存在二阶偏导数00(,)xy f x y 和00(,)yx f x y ，则必有 0000(,)(,)x y y x f x y f x y =。 ( ) 4、(,)(,)(,)(,)L A B L B A f x y dx f x y dx =??。 ( ) 5、若函数f （x ，y ）在有界闭区域D 上连续，则函数f （x ，y ）在D 上可积。( ) 三、计算题（每小题9分，共45分） 1、用格林公式计算曲线积分 (sin 3)(cos 3)x x AO I e y y dx e y dy =-+-? ，其中AO 为由(,0)A a 到(0,0)O 经过圆22x y ax +=上半部分的路线。、计算三重积分 22()V x y dxdydz +???，是由抛物面22z x y =+与平面4z =围成的立体。、计算第一型曲面积分

13数学分析期末复习题03

13数学分析期末复习题02

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