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概率论大题附答案

第一章随机事件及其概率

1.6 假设一批100件商品中有4件不合格品．抽样验收时从中随机抽取4件，假如都为合格品，则接收这批产品，否则拒收，求这批产品被拒收的概率p ．解以ν表示随意抽取的4件中不合格品的件数，则

496

4100

C {1}1{0}110.84720.1528C p P P =≥=-==-≈-=νν．

1.7 从0,1,2,,10…等11个数中随机取出三个，求下列事件的概率：1A ={三个数最大的是5}；2A ={三个数大于、等于和小于5的各一个}；3A ={三个数两个大于5，一个小于7}．

解从11个数中随机取出三个，总共有311C 165=种不同取法，

即总共有3

11C 个基本事件，其中有利于1A 的取法有25C 10=种（三个数最大的是5，在小于5的5个数中随意取两个有25C 10=种不同取法）

；有利于2A 的取法有5×5=20种（在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取一个，有5×5=25种不同取法）；

有利于3A 的取法有5×2

5C 70=种(在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取两

个)．于是，最后得

111

102550()0.06()0.15()0.30165165165

P A P A P A =

===== ，，． 1.8 考虑一元二次方程 02

=++C Bx x , 其中B , C 分别是将一枚色子接连掷两次先后出现的点数． (1) 求方程无实根的概率α， (2) 求方程有两个不同实根的概率β．

解显然，系数B 和C 各有1,2,3,4,5,6等6个可能值；将一枚色子接连掷两次，总共有36个基本事件．考虑方程的判别式C B 42-=?．事件{无实根}和{有两个不同实根}，等价于事件{0}?<和{0}?>．下表给出了事件{

由对称性知{0}?<和{0}?>等价，因此αβ=．易见，方程无实根的概率α和有两个不同实根的概率

β为

0.4736

αβ==

≈．

． ()1()1P AB P AB r =-=-，

()()1P A B P AB r +==-， ()1()1[]P A B P A B p q r +=-+=-+-， ()()1[]P A B P A B p q r =+

=-+-，

([])()()P A A B P A AB P A p +=+==．

1.18 假设箱中有一个球，只知道不是白球就是红球．现在将一个白球放进箱中，然后从箱中随机取出一个

球，结果是白球．求箱中原来是白球的概率α．

解引进事件：=A {取出的是白球}，1H ={箱中原来是白球}，2H ={箱中原来是红球}，则12,H H 构成完全事件组，并且12()()0.5P H P H ==．由条件知

12(|)1(|)0.5P A H P A H ==，．

由贝叶斯公式，有

1111122()(|)2

(|)()(|)()(|)3

P H P A H P H A P H P A H P H P A H α==

=+．

1.21 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.30需进一步进行调试，经调试以概率0.90可以出厂，以概率0.10定为不合格品不能出厂．现在该厂在生产条件稳定的情况下，新生产了20台仪器．求最后20台仪器 (1) 都能出厂的概率α； (2) 至少两台不能出厂的概率β．

解这里认为仪器的质量状况是相互独立的．设1H ={仪器需要调试}，2H ={仪器不需要调试}，A ={仪器可以出厂}．由条件知

1212()0.30 ()0.70 (|)0.80(|)1P H P H P A H P A H ====，，

，．

(1) 10台仪器都能出厂的概率

0112210

100()()(|)()(|)

0.300.800.700.940.940.5386P A P H P A H P H P A H ααα==+=?+===≈　；

．

(2) 记ν——10台中不能出厂的台数，即10次伯努利试验“成功(不能出厂)”的次数．由(1)知成功的概率为p =0.06．易见，10台中至少两台不能出厂的概率

{2}1{0}{1}

10.94100.940.060.1175P P P βννν=≥=-=-==--??≈．

1.23 设B A ,是任意二事件，证明：

(1) 若事件A 和B 独立且B A ?，则()0P A =或()1P B =；

(2) 若事件A 和B 独立且不相容，则A 和B 中必有一个是0概率事件．

证明 (1) 由于B A ?，可见

()()()()()()()()P AB P A P B P AB P A P A P A P B ===，，．因此，若()0P A ≠，则()1P B =；若()0P B ≠，()0P A =．

(2) 对于事件A 和B ，由于它们相互独立而且不相容，可见

()()()0P A P B P AB ==，

因此，概率()P A 和()P B 至少有一个等于0．

补充：

第二节事件的关系和运算

1. 设A ,B ,C 是三个随机事件,用事件A ,B ,C 的运算关系表示下列事件：

⑴ A ,B ,C 三个都发生；⑵ A 发生而B ,C 都不发生；⑶ A ,B 都发生, C 不发生； ⑷ A ,B ,C 恰有一个发生；⑸ A ,B ,C 恰有两个发生；⑹ A ,B ,C 至少有一个发生； ⑺ A ,B ,C 都不发生.

解：（1）ABC （2）ABC （3）ABC （4）ABC ABC ABC ++ (5)ABC ABC ABC ++ (6) A B C ++ (7) ABC

第三节事件的概率

解：由()()()()P A B P A P B P AB +=+-知，

()()()(P A B P A P B P A B =+-+0.40.30.=+-=0.1

()1()10.10.9P A B P A B =-=-= ()()1()10.60.4P A B P A B P A B =+=-+=-= ()()()

0.4

0.10.3

P A B P A P A B =-

=-=

解：由P A B P A P AB -=-，得)()()P A B P A P AB -=-

()()()0.70.30.4P AB P A P A B =--=-=，

()1()10.40.6P AB P AB =-=-=

3. 已知()09.P A =,()08.P B =,试证()07.P AB ≥. 解：由()()()()P A B P A P B P AB +=+-知，

()()()()P AB P A P B P A B =+-+0.90.81≥+-0.7=

解：由条件()()0P AB P BC ==，知()0P ABC =，

()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+

11115

00044488

++---+= 5. 设A ,B 是两事件,且()06.P A =,()07.P B =,问

⑴ 在什么条件下,()P AB 取到最大值,最大值是多少？ ⑵ 在什么条件下,()P AB 取到最小值,最小值是多少？

解：由()()()()P A B P A P B P AB +=+-知，()()()()P AB P A P B P A B =+-+ 又因为()()P A P A B ≤+，()()P B P A B ≤+，所以(){}

max (),()P A P B P A B ≤+，所以0.7()1P A B ≤+≤，所以0.3()0.6P AB ≤≤.

第四节条件概率及与其有关的三个基本公式

1．设有对某种疾病的一种化验，患该病的人中有90%呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈阳性反应，设人群中有1%的人患这种疾病，若某病人做这种化验呈阳性反应，则他患有这种疾病的概率是多少？解：设{}A =某疾病患者，{}A =非某疾病患者，{}B =检查结果为阳性.依条件得,

B A A ?+=Ω，且()0.01,P A = ()0.99P A =,(|)0.9P B A =(|)0.05P B A =

所以()

()()()()

()()

()

0010901500109099005B P A P P AB ..A A P .B P B ....B B

P A P P A P A A

?===≈?+?+

第五节事件的独立性和独立试验

1．设有n 个元件分别依串联、并联两种情形组成系统I 和II ,已知每个元件正常工作的概率为p ，分别求系统I 、II 的可靠性（系统正常工作的概率）

解：{}A I =系统正常工作，{}B II =系统正常工作，{}B II =系统不正常工作 {}1,2,,i C i n == 每个元件正常工作，，且()i P C p =， {}i C =每个元件都不正常工作，()1i P C p =- 由条件知，每个元件正常是相互独立的，故

1212()()()()()n n n P A P C C C P C P C P C p === ，

()1i P C p =-，1212()()()()()(1)n n n P B P C C C P C P C P C p ===- ()1()1(1)n P B P B p =-=--

2. 设有六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件通达的概率为 p ，求这个装置通达的概率.假定各个元件通达、不通达是相互独立的. 解: 设{}i A i =第条线路通达，

1,2,3,i = {}A =代表这个装置通达,

{}i A i =第条线路不通达， 1,2,3,i = {}A =代表这个装置不通达，由条件知，2

()i P A p =，2()1i P A p =-，

23123()1()1()1(1)P A P A P A A A p =-=-=--

第二章随机变量及其分布

2.8 口袋中有7个白球，3个黑球，每次从中任取一球且不再放回． (1) 求4次抽球出现黑球次数X 的概率分布；

(2) 抽球直到首次出现白球为止，求抽球次数Y 的概率分布．

解 (1) 随机变量X 有4个可能值0,1,2,3，若以W 和B 分别表示白球和黑球，则试验“4次抽球”相当于

“含7个W 和3个B ”的总体的4次不放回抽样，其基本事件总数为4

10C 210=，其中有利于{}X k = (0,1,2,3)k =的基本事件个数为：437C C k k -，因此

C C {}(0,1,2,3)C k k P X k k -===，

或

01230123~35

1056371131210210210210621030X ???? ? ?= ? ? ? ?????

． (2) 随机变量Y 显然有1,2,3,4等4个可能值；以W k 和B k 分别表示第(1,2,3,4)k k =次抽到白球和黑球，则“不放回抽球直到首次出现白球为止”相当于“自含7个白球3个黑球的总体的4次不放回抽样”，其基

本事件总数4

10P 10987120=???=．易见

7843728

{1}{2}10120109120P Y P Y ?==

====?，，

327732171

{3}{4}109812010987120

P Y P Y ?????======?????，．

234~84

2871120

120

120Y ?? ? ? ???

． 2.11 设X 服从泊松分布，且已知{1}{2}P X P X ===，求{4}P X =．

解以X 表示随意抽取的一页上印刷错误的个数，以)4,3,2,1(=k X k 表示随意抽取的第k 页上印刷错误的个数，由条件知X 和)4,3,2,1(=k X k 服从同一泊松分布，未知分布参数λ决定于条件：

{1}{2}e

e 2!

P X P X λ

λλλ--====

，．

于是λ=2．由于随机变量)4,3,2,1(=k X k 显然相互独立，因此

422

22{=4}=e =e 0.090243

P X --≈ ！

2.14 设随机变量X 服从区间25[，

]上的均匀分布，求对X 进行3次独立观测中，至少有2次的观测值大于3的概率α．

解设Y 3次独立试验事件{3}A X =>出现的次数，则Y 服从参数为(3,)p 的二项分布，其中23p =．因此

234820

(){2}{3}3(1)92727

P B P Y P Y p p p ===+==-+=+

=α．

2.17 设随机变量X 服从正态分布(3,4)N ，且满足 {}{}P X C P X C <=≥和{}2{}P X C P X C <=≥ ，分别求常数C

解（1）由{}X C <与{}X C ≥为对立事件，又{}{}P X C P X C <=≥得 1

{}2

P X C <=所以C=3 (2) 由题意可知23{}=32

C P X C Φ-<=（）所以反查表可得 3.88C ≈

2.22 设随机变量X 服从[1,2]-上的均匀分布，求随机变量Y 的分布律，其中

10 00 10X Y X X -<==>??

???，若，，若，

，若．

解由于X 服从[1,2]-上的均匀分布，知随机变量Y 的概率分布为

{1}{0}{10}{0}{0}03

{1}{0}{02}3

1~1233P Y P X P X P Y P X P Y P X P X Y =-=<=-≤<=======>=<≤=?? ? ? ???

，，

；

-1．

补充：

第二节离散随机变量

解：由条件知，随机变量X 的分布列如下：

设{}A =至多遇到一次红灯，则54()(0)(1)64

P A P X P X ==+==

2.设每分钟通过交叉路口的汽车流量X 服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆通过与恰好有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率。

解：A={在一分钟内至少有两辆车通过}，A ={在一分钟内至多有一辆车通过} 由条件知，(),0,1,2,,!

k e P X K k l k λ

λ-==

= ，且(0)(1)P X P X ===，

即

e e λλλλ

--=

，求出，1λ= 故：1(0)P X e -==，1(1)P X e -==，

1(A)(0)(1)2P P X P X e -==+== 1()1(A)12P A P e -=-=-

3.计算机硬件公司制造某种特殊型号的芯片，次品率达0.1%，各芯片成为次品相对独立，求在1000只产品中至少有2只次品的概率。以X 记产品中的次品数。

解：设{10002}A =在只产品中至少有只次品，{1000}A =在只产品中至多有1只次品，

B={生产的产品是次品}，B ={生产的产品不是次品}

由条件知，()0.001P B =，)0.999B =P(，)0.999P B =(

010001999

10001000()(0)(1)(10.001)0.001(10.001)P A P X P X C C ==+==-+-

1000999(10.001)(10.001)=-+-

1000999()1[(10.001)(10.001)]P A =--+-

第三章随机向量及其概率分布

3.6设随机变量X

和Y 的联合密度为

(1) 试求X 的概率密度)(1x f ；

(2) 试求事件“X 大于Y ”的概率{}P X Y >；

解 (1) 易见，当)1,0(?x 时)(1x f =0；对于10<

222

102

166()(,)d d (2)727

6(2)01()7

0 xy f x f x y y x y x x x x x f x +∞

-∞

??==

+=+ ????+<

?，若，，若不然．

．

(2) 事件“X 大于Y ”的概率

112

300066515{}(,)d d d d d 727456

x x y

xy P X Y f x y x y x x y x x >??>=

+=?= ?

????

??? ．．

3.11 设随机变量X 和Y 的联合密度为

22e 00(,) 0 0 0x y x y f x y x y --?>>=?

≤≤?

或，若，，

，若．求随机变量X 和Y 的联合分布函数和概率{1,1}P X Y >>．

解设(,){,}F x y P X x Y y =≤≤是X 和Y 的联合分布函数．当0≤x 或0≤y 时0),(=y x F ；设

00>>y x ，，则

220

(,)2e e d d (1e )(1e )x y u x y F x y u ----==--?

v v ．

于是

{}

223

1,1(1e )(1e )00(,) 0 0 0{1,1}(,)d d 2e

d e d e x y x

x y x y F x y x y P X Y f x y x y x y --+∞

+∞

--->>?-->>=?

≤≤?>>=

==????

或，若，，

，若．

．

3.12 设G 是曲线2y x =和直线4y =所围成的封闭区域，而随机向量),(Y X 在区域G 上均匀分布，求X 和

Y 的概率密度)()(21y f x f 和．

解设G 是x y =和2x y =所围区域，其面积G S 为

d 3

G S x x ==

?（4-），因此X 和Y 的联合概率密度为

(,)(,)16

0(,)x y G f x y x y G ?∈?=????，若，

，若．

(1) X 的密度对于(02)x ∈，

，24

2133

()d 1616

f x y x ==?(4-)；

于是

13(4)()16 x x f x ?-≤

，若０2

．0，其他．

(2) Y

的密度对于04y ≤<，

3()d 16f y x == 于是

24() y f y ≤<=??

．0，其他．

补充：

第一节二元随机向量及其分布

1.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为：(,)(arctan )(arctan )F x y A B x C y =++，求常数

,,.A B C ,,x y -∞<<+∞-∞<<+∞

解: 由条件知，(,)1F +∞+∞=，(,)0F x -∞=,(,)0F y -∞=,即：

()()122(arctan )()02()(arctan )02A B C A B x C A B C y ππππ?++=??

+-=??

?-+=??

求出，2

1A π=，2B C π== 2．设X Y 和的联合概率密度函数为26,0,x y x

f ?≤≤=??

（x,y ），其他，求x 和y 的边缘密度函数。

解：设(,)x f x y 为f （x,y ）

关于x 的边缘密度函数，(,)y f x y 为(,)f x y 为关于y 的边缘密度函数，且，()(,)X f x f x y dy +∞

-∞

，()(,)Y f y f x y dx +∞

-∞

当

01x ≤≤时，2

()66()x

X x

f x dy x x ==-?，当0,1x x <>时，()0X f x = 当01y ≤≤

时，())Y y

f y dx y =

当0y <，1y >时，()0Y f y =

第四章随机变量的数字特征

4.3 设随机变量X 的概率密度为

01()0kx x f x α?<<=?

?，若，

，　其他．已知0.75EX =，求未知常数k 与α的值．解由题设知

()d d 0.7522k k

EX xf x x kx x x αααα+∞++-∞

=====++?

?，

另一方面，由于

100

()d d 111k k

f x x kx x x αααα+∞+-∞

====++?

?，

于是，得关于k 与α的方程组

0.752

k αα?=??+?

?=?+?，，其解为2,3k α==．

4.5 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，求(32)E X -．解熟知，参数为2的泊松分布的数学期望2EX =，故

(32)323224E X EX -=-=?-=．

4.6 求EX ，已知随机变量X 具有概率密度为

01()2120x x f x x x <≤??

=-<≤???

，

若，，若，

，其他．解由数学期望的定义，知

2323101

()d (2)d 11

133EX xf x x x dx x x x

x x x +∞-∞

==+-=+-=?

??．

4.7 设随机变量X 具有概率密度如下，

2(1)12() 0 x x f x -<

?，若，

，其他.

解由随机变量函数的数学期望，知

111

1()d 2(1)d 2ln 2ln 2EZ zf x x x x x x x

+∞-∞

==-=-=-?

．

4.11 设随机变量123X X X ,,相互独立，且1X 服从区间(0,6)上的均匀分布，而22~(0,2)X N ，3X 付出参数为3的泊松分布，试求12323Y X X X =-+的方差．

解由条件知1233,4,3DX DX DX ===，而由方差的性质可得

123123

(23)493449346DY D X X X DX DX DX =-+=++=+?+?=．

4.12 设随机变量X Y 与相互独立，且~(1

2)~(01)X N Y N ，，，，试求随机变量23Z X Y =-+的数学期望、方差以及概率密度．

解由条件知，~(1,2),~(0,1)X N Y N ．从而由期望和方差的性质得

23549EZ EX EY DZ DX DY =-+==+=，

．

由于Z 是X 和Y 的线性函数，且,X Y 是相互独立的正态随机变量，故Z 也为正态随机变量，而正态分布完全决定于其期望和方差，因此~(5,9)Z N ，于是，Z 的概率密度为

(5)29

() ()z Z f z z --

-∞<<+∞．

4.16 已知随机向量(,)X Y 的概率密度

0101(,) 0 x y x y f x y +≤≤≤≤?=?

?，若，

，，若不然．

求cov()XY EX EY DX DY EXY X Y ρ,,,,,,,．解 (1) 求EX EY DX DY ,,,。

11100011122220002

2217

(,)d d d ()d d 21215(,)d d d ()d d 2125711

()1212144

EX xf x y x y x x x y y x x x EX x f x y x y x x x y y x x x DX EX EX +∞+∞

-∞-∞+∞+∞-∞-∞??==+=+= ????

?==+=+= ???

??=-=-= ????

?????????；；

．

由对称性，有

711

12144

EY DY =

=，．

(2) 求cov()XY EXY X Y ρ,,,．

11100011

(,)d d d ()d d 2331771

cov(,)31212144

114411114411XY x EXY xyf x y x y x x y x y y x x X Y EXY EX EY +∞+∞

-∞-∞??==+=+= ???

=-=-?=-==-=-?

????ρ；；．

第六章数理统计的基本概念和抽样分布

6.4 假设总体X 服从参数为λ的泊松分布, ，而12(,,,)n X X X …是来自总体X 的简单随机样本．求12(,,,)n X X X …的概率函数．

解总体X 的概率函数为

e (;) ! 0 x x p x x x λ

λλ-??=???若为自然数若不是自然数，，．

由于12,,,n X X X …独立同服从参数为λ的泊松分布，可见12(,,,)n X X X …的概率函数为

121211221

12(,,,){,,,}e ()(0,1,2,)!!!n n n n n n

x x x i i i n p x x x P X x X x X x p x x x x x λλλλ-+++========∏ …；；………．

6.5 假设总体),(~2

σμN X ，而12(,,,)n X X X …是来自总体X 的简单随机样本．求12,,,n X

X X …的概率函数.

解由于12,,,n X X X …独立同分布，可见12(,,,)n X X X …的密度为

2()

212i 1

221(,,,)1exp ()2i x n

n n

i i f x x x x μσμσ--===??=--????∑ ．

其中12,,,n x x x -∞<<+∞…．

第七章参数估计

7.4 设总体X 的概率分布为

解 (1) θ的矩估计量由样本值(3,1,3,0,3,1,2,3)，得样本均值

(022134)28

X =++?+?=

用X 估计数学期望EX ，可得关于未知参数θ矩估计量?Θ

的方程；总体X 的数学期望为 21???????2(1)23(12)2434104

EX x =-++-==-+-==，，，．θ

θθθθθθ 于是，θ

的矩估计值为１４．

(2)

θ的最大似然估计量易见，在12(,,,)n X X X … 中0,1,2和3各出现1，2，1和4次，因此未知参数θ似然函数和似然方程为

22242212()[2(1)](12)ln ()ln 6ln 2ln(1)4ln(12)d ln ()62861)1212)81)

d 1121)12121430 1214301)12?L L C L =--=++-+----+-=--=----+==+=--==，

；（（）-2（（

（（）

-，-，（（）

θθθθθθθθθθθθθθθ

θθθθθθθθθθθθθθθθθ 其中C 是常数，而似然方程的解

?θ=≈10.88>2

显然不合题意。于是，参数θ的最大似然估计值为

?θ

≈0.28． 7.6 设总体X 的密度函数为

其中0θ>为未知参数

, 12,,,n X X X …为来自总体

X 的一个样本，求θ的矩估计量和最大似然估计量. 解 (1) 矩估计量总体X 的数学期望为

()d

EX xf x x x +∞-∞===

将EX 换成样本均值X ，得参数θ的矩估计量?Θ

： 2

?1X X X Θ==-（）．

(2) θ的最大似然估计量参数θ的似然函数?Θ为

()

ln()ln1)ln

ln()

ln0

ln0ln

ln0

n n

i i

n n

i i

L X

L n

X X

X n

θθ

θθΘ

=+=

?==-

??-==

????

∏

∑

∑∑

∑

，

，，

，．

7.10假设总体X的概率密度为

(;)112

f x x

θθ

=-≤<

，若，

，其他，

其中θ是未知参数（1

<θ）．

,,,

X X X

…为来自总体X的简单随机样本，记N为样本的n个观测值中小于1的个数．

(1) 求θ的矩估计量；(2) 求θ的最大似然估计量．

解(1) 求θ的矩估计量总体X的数学期望为

(;)d d(1)d

EX xf x x x x x x

θθθθ

+∞

-∞

==+-=-

???．

用样本均值X估计EX，得θ的矩估计量?Θ：

X X

ΘΘ

=-=-

，．

于是，?Θ就是θ的矩估计量．

(2) 求θ的最大似然估计量参数θ的似然函数为

，

；

，

)

(

)

ln(

)

(

)

(

)

;

(

)

(

∏

L N

(1)

N n N

θθθΘ

-=-=

，．

于是，θ的最大似然估计量是?N n

Θ=．

概率论与数理统计习题集及答案

概率论与数理统计习题集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

（1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

统计学统计学概率与概率分布练习题

第5章概率与概率分布练习题 5.1 写出下列随机事件的基本空间：（1）抛三枚硬币。（2）把两个不同颜色的球分别放入两个格子。（3）把两个相同颜色的球分别放入两个格子。（4）灯泡的寿命（单位：h ）。（5）某产品的不合格率（%）。 5.2 假定某布袋中装有红、黄、蓝、绿、黑等5个不同颜色的玻璃球，一次从中取出3个球，请写出这个随机试验的基本空间。 5.3 试定义下列事件的互补事件：（1） A ={先后投掷两枚硬币，都为反面}。（2） A ={连续射击两次，都没有命中目标}。（3） A ={抽查三个产品，至少有一个次品}。 5.4 向两个相邻的军火库发射一枚导弹，如果命中第一个和第二个军火库的概率分别是、，而且只要命中其中任何一个军火库都会引起另一个军火库的爆炸。试求炸毁这两个军火库的概率有多大。 5.5 已知某产品的合格率是98%，现有一个检查系统，它能以的概率正确的判断出合格品，而对不合格品进行检查时，有的可能性判断错误（错判为合格品），该检查系统产生错判的概率是多少 5.6 有一男女比例为51：49的人群，已知男人中5%是色盲，女人中%是色盲，现随机抽中了一个色盲者，求这个人恰好是男性的概率。根据这些数值，分别计算：（1）有2到5个（包括2个与5个在内）空调器出现重要缺陷的可能性。（2）只有不到2个空调器出现重要缺陷的可能性。（3）有超过5个空调器出现重要缺陷的可能性。 5.8 设X 是参数为4=n 和5.0=p 的二项随机变量。求以下概率：（1）)2(

5.9 一条食品生产线每8小时一班中出现故障的次数服从平均值为的泊松分布。求：（1）晚班期间恰好发生两次事故的概率。（2）下午班期间发生少于两次事故的概率。（3）连续三班无故障的概率。 5.10 假定X 服从12=N ，7=n ，5=M 的超几何分布。求：（1）)3(=X P 。（2）)2(≤X P 。（3）)3(>X P 。 5.11 求标准正态分布的概率：（1）)2.10(≤≤Z P 。（2）)49.10(≤≤Z P 。（3）)048.0(≤≤-Z P 。（4）)037.1(≤≤-Z P 。（5）)33.1(>Z P 。 5.12 由30辆汽车构成的一个随机样本，测得每百公里的耗油量数据（单位：L ）如下：试判断该种汽车的耗油量是否近似服从正态分布 5.13 设X 是一个参数为n 和p 的二项随机变量，对于下面的四组取值，说明正态分布是否为二项分布的良好近似（1）30.0,23==p n 。（2）01.0,3==p n 。（3）97.0,100==p n 。（4）45.0,15==p n 。

概率论复习题及答案

概率论与数理统计复习题一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。解：12153 101 12 C C P C ==。

概率与统计大题练习3(含解析)

概率与统计大题练习3 1．某校决定为本校上学所需时间超过30分钟的学生提供校车接送服务(所有学生上学时间均不超过60分钟)．为了解学生上学所需时间，从全校600名学生中抽取50人统计上学所需时间(单位：分)，将600人随机编号，为001,002，…，600，将抽取的50名学生的上学所需时间分成六组：第一组(0,10]，第二组(10,20]，…，第六组(50,60]，得到如图所示的频率分布直方图． (1)若抽取的50个样本是用系统抽样的方法得到的，且第一个抽取的编号为006，则第5个抽取的编号是多少？ (2)若从50个样本中属于第四组和第六组的所有人中随机抽取2人，设他们上学所需时间分别为a 分钟，b 分钟，求满足|a －b |>10的概率． (3)设学校配备的校车每辆可搭载40名学生，请根据抽样的结果估计全校应有多少辆这样的校车？解析：(1)因为600÷50＝12，且第一个抽取的编号为006，所以第5个抽取的数是6＋(5－1)×12＝54，即第5个抽取的编号是054. (2)第四组的人数为0.008×10×50＝4，设这4人分别为A ，B ，C ，D ，第六组的人数为0.004×10×50＝2，设这2人分别为x ，y ，随机抽取2人的可能情况有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，xy ，Ax ，Ay ，Bx ，By ，Cx ，Cy ，Dx ，Dy ，共15种，其中他们上学所需时间满足|a －b |>10的情况有Ax ，Ay ，Bx ，By ，Cx ，Cy ，Dx ，Dy ，共8种．所以满足|a －b |>10的概率P ＝8 15 . (3)全校上学所需时间超过30分钟的学生约有600×(0.008＋0.008＋0.004)×10＝120(人)，所以估计全校应有120÷40＝3辆这样的校车． 2．某教师统计甲、乙两位同学20次考试的数学成绩(满分150分)，根据所得数据绘制茎叶图如图所示． (1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数； (2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)； (3)现从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个，设事件A 为“选出的2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A 发生的概率．解析：(1)甲同学成绩的中位数是116＋1122＝119，乙同学的中位数是128＋128 2 ＝128. (2)从茎叶图可以看出，乙同学成绩的平均值比甲同学成绩的平均值高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定．

大学概率统计复习题(答案)

第一章 1.设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21 ，且A 与B 互不相容，则P （B ）=____6 1_______. 2. 设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21 ，且A 与B 相互独立，则P （B ）=______4 1_____. 3．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，则P （B A ）=___0.5_____. 4．已知P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，且A ，B 相互独立，则P （A B ）=________1/3________. 5．设P （A ）=0.5，P （A B ）=0.4，则P （B|A ）=___0.2________. 6．设A ，B 为随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.25，则P(A|B)=____ 0.5______． 7．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________ 0.6________． 8．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同颜色的球，若连取两次，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于____12/55____. 9．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=___0.21_____. 10．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率； 3.5% （2）该件次品是由甲车间生产的概率. 35 18

概率论练习题

概率论练习题一、在某城市中，共发行三种报纸A 、B 、C 。在这城市的居民中，订购A 的占45%, 订购B 的占35%,订购C 的占30%，同时订购A 、B 的占10％，同时订购A 、C 的占8％，同时订购B 、C 的占5％，同时订购A 、B 、C 的占3％，试求下列百分率：（1）只订购A 的；（2）订购A 及B 的；(3) 只订购一种报纸的；（4）正好订购两种报纸的；（5）至少订购一种报纸的；（6）不订购任何报纸的。二、在区间（0，1）中随机地取两个数，试求取得的两数之积不大于9 2，且该两数之和不大于1的概率。三、某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品。各个车间的产量分别占全厂总产量的25％、35％和40％，各车间产品的次品率分别是5％、4％和2％。（1）求全厂产品的次品率；（2）如果从全厂产品中抽取一种产品，恰好是次品，问这件次品是甲车间生产的概率是多少？四、四、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记为事件A ）的概率为 154，刮风（记为事件B ）的概率为 157，既刮风又下雨的概率为10 1。求)|(B A P 、)|(A B P 和)(B A P . 五、甲、乙、丙三人同时独立地向某飞机射击。设击中的概率分别是0.4、0.5和0.7。如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2，如果有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。六、已知15件同类型的零件中有两件次品。在其中取3次，每次取1件，作不放回抽样。以ξ表示取出次品的件数。（1）求ξ的分布律；（2）求ξ的分布函

数。七、设连续型随机变量X 的分布函数为 2 2,0,()0,0.x A Be x F x x -??+>=??≤? 试求（1）系数A 和B ；（2）随机变量X 的概率密度；（3）随机变量X 落在区间内的概率。八、连续型随机变量ξ的概率密度为 ?????≥<-=1||01||1)(2 x x x A x f 试求：(1)系数A ； (2)ξ落在)2 1,21(-内的概率； (3)ξ的分布函数。九、设随机变量X 在（0，1）内服从均匀分布，（1）求X e Y =的概率密度（2）求X Y ln 2-=的概率密度

概率论复习题及答案

复习提纲（一）随机事件和概率（1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。（2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。（3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式，以及应用这些公式进行概率计算。（4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。（5）掌握Bernoulli 概型及其计算。（二）随机变量及其概率分布（1）理解随机变量的概念。（2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。（3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。（4）会求简单随机变量函数的概率分布。（三）二维随机变量及其概率分布（1）了解二维随机变量的概念。（2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。（3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。（4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。（5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。（6）理解二维均匀分布和二维正态分布。（四）随机变量的数字特征（1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。（2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。（3）会计算随机变量函数的数学期望。（4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。（五）大数定律和中心极限定理（1）了解Chebyshev 不等式。（2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。（3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。

概率统计大题题型总结(理)学生版

统计概率大题题型总结题型一频率分布直方图与茎叶图例1.（2013广东理17）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有名优秀工人的概率. 例2.（2013新课标Ⅱ理）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t 该产品获利润500 元,未售出的产品,每t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率; 1 7 9 2 0 1 5 3 0 第17题图

(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望. 变式1. 【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下： 08912 58 200338312 则这组数据的中位数是（） A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23 /频率组距0.010 0.0150.0200.0250.030100110120130140150需求量/x t

概率统计试题和答案

题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投

概率论套练习题及答案

《概率论与数理统计》同步练习册学号＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿＿＿班级＿＿＿＿＿＿＿＿

省电子技术学校继续教育部二O一O年四月

练习一一、选择题 1．设A，B，C表示三个随机事件，则A B C表示（A）A，B，C中至少有一个发生；（B）A，B，C都同时发生；（C）A，B，C中至少有两个发生；（D）A，B，C都不发生。2．已知事件A，B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.8，则P（A B）＝ (A) 0.65 ; (B) 1.3; (C)0.9; (D)0.3。3．设X～B（n，p），则有（A）E（2X－1）＝2np；（B）E（2X＋1）＝4np＋1；（C）D（2X＋1）＝4np（1－p）＋1；（D）D（2X－1）＝4np（1－p）。4．X的概率函数表（分布律）是 xi －1 0 1 pi 1/ 4 a 5/12 则a＝（）（A）1/3；（B）0；（C）5/12；（D）1/4。5．常见随机变量的分布中，数学期望和差一定相等的分布是（A）二项分布；（B）标准正态分布；（C）指数分布；（D）泊松分布。二、填空题 6．已知:A={x|x<3} ,B={x|2

7．已知电路由电池A 与两个并联电池B 和C 串联而成，各电池工作与否相互独立。设电池A ，B ，C 损坏的概率均为0.2。则整个电路断电的概率是______________________. 三、证明题 8. 设随机变数ξ具有对称的分布密度函数)(x p ，即),()(x p x p -=证明：对任意的,0>a 有（1）-= -=-2 1)(1)(a F a F ? a dx x p 0 )(；（2）P （1 )(2)-=ξ。