一元二次方程的根
初中数学竞赛专题选讲(初三.1)
一元二次方程的根
一 、内容提要
1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.
根公式是：x=a
ac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式
① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：
b 2－4a
c ≥0.
② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：
b 2－4a
c 是完全平方式⇔方程有有理数根.
③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.
3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么
① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；
② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=a
ac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=a
c (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件
整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.
特殊的例子有：
C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.
二、例题
例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.
求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.
（1990年泉州市初二数学双基赛题）
证明 （用反证法）
设 两个方程都没有两个不相等的实数根，
那么△1≤0和△2≤0.
即⎪⎩
⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b
由①得b ≥
41，b+1 ≥4
5代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，
即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.
既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.
∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.
本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.
例2. 已知首项系数不相等的两个方程：
（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)
有一个公共根. 求a, b 的值.
（1989年全国初中数学联赛题）
解：用因式分解法求得：
方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和1
2-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.
∴公共根是a=12-+b b 或b=1
2-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.
即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.
∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1
131b a ＝－. 解得⎩⎨
⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那么
⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++-- ②
（ ①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得
［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.
整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.
∵a ≠b
∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.
当x 0＝1时，由方程①得 a=1,
∴a －1=0，
∴方程①不是二次方程.
∴x 0不是公共根.
当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.
例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根
差相等.
求：m+n 的值. （1986年泉州市初二数学双基赛题）
解：方程①两根差是
21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-
同理方程②两根差是
21y y -＝m n 42-
依题意，得n m 42-＝m n 42-.
两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.
∴（m －n ）(m+n+4)=0
∵m ≠n ，
∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.
例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.
证明：设方程有一个有理数根
n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(n
m )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，
∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.
① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；
② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；
③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.
综上所述
不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(n
m )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.
∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.
例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和
面积比都等于k (k ≥1). （1983年福建省初中数学竞赛题）
证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.
根据题意，得 k ab
cd b a d c ==++. ∴c+d=(a+b)k, cd=abk.
由韦达定理的逆定理，得
c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.
△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk
＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk
=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］
∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,
∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.
∴△≥0.
∴一定有c, d 值满足题设的条件.
即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1).
例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？
①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.
解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=1
6－k . 由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.
由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.
它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.
答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.
②根据韦达定理
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 2
22221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，
∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.
答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.
三、练习
1. 写出下列方程的整数解：
① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.
② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.
③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.
2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.
3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.
4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么y
x 11+＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系
是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1986年全国初中数学联赛题）
6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.
（1987年泉州市初二数学双基赛题）
7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根
的个数是（ ）.
(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定 （1989年全国初中数学联赛题）
8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？
（1987年全国初中数学联赛题）
9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）
(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1 （1990年泉州市初二数学双基赛题）
10. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.
12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.
试求a, b 的值或取值范围. （1997年泉州市初二数学双基赛题）
13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等
于s 3.
求证：as 3+bs 2+cs 1=0.
14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.
（可用反证法）
15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0
的两个实数根.
求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.
16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛题）
17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m
的取值范围是 （ ）
（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43 3≤m ≤1 （1995年全国初中数学联赛题） 18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1， 1＜β＜2，那么k 的取值范围是( ) （A ）3 （1990年全国初中数学联赛题） 练习题参考答案 1. ①0， ②1， ③－1 2. 0 3. 1（舍去－2） 4. 5 2 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C 10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩ ⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=…… 14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1, m>1） 15. 由韦达定理,把左边化为 p, q 16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C 一元二次方程及根的定 义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及 的值. 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可. 解：将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口. 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式 的值. 思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题. 解：因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以. . 总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解：(1)由， 得， ， ， 所以， 故. (2)由， 得， ， ， 所以 故 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)这里 并且 所以， 所以，. (2)将原方程变形为， 则 ， 所以， 所以. (3)将原方程展开并整理得， 这里， 并且， 所以. 所以. 总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)； (3). 解：(1)将原方程变形为， 提取公因式，得， 因为，所以 所以或， 故 (2)直接提取公因式，得 所以或，(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得 一元二次方程的求根公式及根的判别式 主讲：黄冈中学高级教师余国琴 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实 根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)；(2)；(3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算， 解：(1)因为a=1，，c=10 所以 元二次方程及根的定义S 1.已知关于的方程—- . L + M的一个根为 2 ,求另一个根及J的值.? 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解程， 解方程求出另一个根即可? 解：将第=2代入原方程，得^" 1 /的值，再代回原方 解方程，得- 当『1二二-时，原方程都可化为 X2 -6x+S = O 解方程，得'二二： 所以方程的另一个根为 4 ,丁」或-1. 总结升华：以方程的根为载点?综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓 住根”的概念，并以此为突破口? 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程m .-:的一个根是「：，求代数式 -2004口 + 2005 思路点拨：抓住」为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题 ；-的值. 解：因为」是方程「「的一个根， 所以；'：-.∣L√∣1 H, -200? +所以2005 L r .. =-l + tι + 2005 2005Λ …丨. 总结升华：方程”即是一个等式”在等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验 类型二、一元二次方程的解法? 2.用直接开平方法解下列方程: 2 2 (1) 3-27x =O ；(2)4(1-x) -9=0. 2 解: (1)27x=3 丄 9 2 (2)4(1-x) =9 3.用配方法解下列方程：馬 ⑴_- : ；(2)「「—八u. 解：⑴由'-ι:'.'.'''， 得H-U 1匸—厂， 所以 --二, 故?「二一.二二 . ⑵由■ ■ ■ ■ - ^11 得「，「I-j x 3+272x+(√2)2 = (√2)a +4, (X +7∑)1 = 6, 所以-V CP 4.用公式法解下列方程：? 解：⑴这里r — ■- 并且- ■ -?±√?a -4αc 1±√5 X U ------------------------- = ------------ 所以 J.. - (2) 将原方程变形为 =^∣2r b 二 2工=-?7∑ 护—4 他二 2'-4χj∑χ(√∑)二 12, -?±√?2-?c -2±λ∕12 -1±√3 -√2±√6 所以 ；■ --■ - ∣?2 ；? _ J 炳 _ √2 √6 码二一—+—? ? --—- — 所以 J - - -. (3) 将原方程展开并整理得一二 .■--.， 故"1 ⑵匚.“ ^..?. - -.^ 所以 一元二次方程根的个数 一元二次方程形如ax^2+bx+c=0，其中a、b、c均为实数，其 中a不等于0。解一元二次方程，需要求解方程的根或解，即 方程中的变量x的数值，使得该方程右侧等号左边等于零。 根据一元二次方程的特点，其解的个数在非专业读者中容易产生模糊的印象，往往会认为一元二次方程只存在两个根，其实该结论不完整，存在的条件是： 1.当a不等于0时，一元二次方程的解的个数是2个； 2.当a等于0且b不等于0时，一元二次方程的解的个数是1个； 3.当a等于0且b等于0且c不等于0时，一元二次方程无解； 4.当a等于0且b等于0且c等于0时，一元二次方程任何实 数都是它的根。 下面分别对以上这四种情况进行详细的说明。 情况一：a不等于0 当a不等于0时，一元二次方程的根的个数为2个。求解二次 方程的根可以通过求解一元二次方程的求根公式来实现。求解一元二次方程的求根公式为： x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a) x2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a) 在求解该公式时，需要注意一些常见的问题。首先是该公式只适用于a、b、c都是实数的情况。其次是当b^2-4ac小于0时，方程无解，因为无法取其实数平方根。因为方程的根是关于b、c的函数，当b、c的值改变时，根的值也会改变。特别的， 当b^2-4ac=0时，方程只有一个根，这个根也被称为方程的一 个重根。 情况二：a等于0且b不等于0 当a等于0且b不等于0时，一元二次方程的根的个数为1个。此时，方程变为bx+c=0，解为x=-c/b。这个解也被称为方程 的判别式。该情况下的方程意味着方程的二次项系数为0，即 方程不含二次项，变为一次方程。 情况三：a等于0且b等于0且c不等于0 当a等于0且b等于0且c不等于0时，该一元二次方程无解。这是因为此时，方程变为c=0，因为c不等于0，所以该方程 无解。这种情况下，方程的根是关于c的函数，当c的值改变时，方程有可能有零个或者两个实根。 情况四：a等于0且b等于0且c也等于0 当a等于0且b等于0且c等于0时，该一元二次方程的所有 实数都是方程的根。这是因为方程变为0=0，任何实数都能使 一元二次方程的根的判定 一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，其一般形式可以表示为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。求解一元二次方程的根是数学中的一个重要问题，根的判定是解决这个问题的基础。 一元二次方程的根的判定依据是方程的判别式Δ（delta）= b² - 4ac 的值。根据Δ的不同取值，可以判断方程是否有实根以及实根的个数。 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。这是因为Δ的正值意味着方程的图像与x轴有两个交点，即方程有两个实根。这种情况下，方程的解可以用求根公式x₁,₂ = (-b ± √Δ) / 2a来计算，其中±表示两个相反的符号。 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根，也叫重根。这是因为Δ等于零意味着方程的图像与x轴只有一个交点，即方程有两个相等的实根。这种情况下，方程的解可以用求根公式x = -b / 2a来计算。当Δ < 0时，方程没有实根，只有复数根。这是因为Δ的负值意味着方程的图像与x轴没有交点，即方程没有实根。这种情况下，方程的解可以用复数表示，解的形式为x₁ = (-b + √(Δi)) / 2a，x₂ = (-b - √(Δi)) / 2a，其中i为虚数单位，i² = -1。 根据一元二次方程根的判定，可以利用判别式Δ的值来确定方程的根的性质。这个判定方法可以很好地帮助我们求解一元二次方程，从而解决实际生活中的问题。 举个例子，假设有一个一元二次方程x² - 4x + 4 = 0，我们可以根据判别式Δ = (-4)² - 4(1)(4) = 0来判断方程的根的性质。由于Δ等于零，所以方程有两个相等的实根。根据求根公式x = -b / 2a，可以计算出方程的解为x = -(-4) / (2*1) = 2。因此，方程x² - 4x + 4 = 0的解为x = 2。 在实际问题中，一元二次方程的应用非常广泛。例如，在物理学中，可以利用一元二次方程的根来求解抛体运动的问题；在经济学中，可以利用一元二次方程的根来求解成本、收益等问题。方程的根的判定为我们解决这些问题提供了有效的数学工具。 总结一元二次方程的根的判定是通过判别式Δ的值来确定方程的根的性质。根据Δ的不同取值，可以判断方程是否有实根以及实根的个数。这个判定方法在解决实际问题中起到了重要的作用，帮助我们求解一元二次方程从而解决实际生活中的各种问题。 初中数学竞赛辅导资料（45）一元二次方程的根 甲内容提要 1. 一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的. 根公式是：x=a ac b b 242-±－. (b 2 －4ac ≥0) 2. 根的判别式 ① 实系数方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是： b 2 －4ac ≥0. ② 有理系数方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是： b 2 －4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根. ③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2 －4q 是整数的平方数. 3. 设x 1, x 2 是ax 2 +bx+c=0的两个实数根，那么 ① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2 －4ac ≥0)； ② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=a ac b b 242-－－ (a ≠0, b 2 －4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b － , x 1x 2= a c (a ≠0, b 2 －4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件 整系数方程ax 2 +bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1. 乙例题 例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1. 求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2 +ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根. （1990年泉州市初二数学双基赛题） 证明 （用反证法） 设 两个方程都没有两个不相等的实数根， 那么△1≤0和△2≤0. 即⎪⎩ ⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412 c b a c a b 由①得b ≥ 41，b+1 ≥45 代入③，得 a －c=b+1≥4 5 ， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2 －4a+5≤0， 即（a －2）2 +1≤0，这是不能成立的. 既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0. ∴方程x 2+x+b=0与x 2 +ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根. 本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数. 一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进展配方，当b2－4ac≥0时的根为． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 〔1〕当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； 〔2〕当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 〔3〕当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的根底上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法〞一般解形如“〞类型的题目，如果用“公式 法〞就显得多余的了。 (2)“因式分解法〞是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法〞是一种非常重要的方法，一般不使用，但假如能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法〞之后，“公式法〞之前。如方程；用因式分解，如此6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；假如配方，如此方程化为，就易解，假如一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法〞是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数与常数项，假如 方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： 〔1〕b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； 〔2〕在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； 〔3〕根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解如下方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算， 精心整理一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及的值. 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可. 解：将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口. 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式的值. 思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题. 解：因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以. . 总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x2=0；(2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解：(1)由， 得， ， ， 所以， 故. (2)由， 得， ， ， 所以 故 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)这里 并且 所以， 所以，. (2)将原方程变形为， 则 ， 所以， 所以. (3)将原方程展开并整理得， 这里， 并且， 所以. 所以. 总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)将原方程变形为， 提取公因式，得， 因为，所以 所以或，一元二次方程及根的定义
一元二次方程的求根公式及根的判别式
一元二次方程及根的定义
一元二次方程根的个数
一元二次方程的根的判定
一元二次方程的根(含答案)
一元二次方程求根公式
一元二次方程及根的定义