一元二次方程的根的判定

一元二次方程的根的判定

一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为已知常数，且a ≠ 0。解一元二次方程的关键在于判定方程是否有实根，即方程的解是否存在于实数范围内。

要判定一元二次方程的根的情况，可以通过计算方程的判别式来进行推断。方程的判别式Δ = b^2 - 4ac，其中b、a、c分别是方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。根据判别式的值，可以得到以下结论：

1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。判别式大于零意味着方程的平方项和一次项的系数平方之和大于二次项系数与常数项的乘积的四倍，表明方程的图像与x轴有两个不同的交点，即有两个实根。

2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。判别式等于零意味着方程的平方项和一次项的系数平方之和等于二次项系数与常数项的乘积的四倍，表明方程的图像与x轴有一个重合的交点，即有两个相等的实根。

3. 当Δ < 0时，方程没有实根。判别式小于零意味着方程的平方项和一次项的系数平方之和小于二次项系数与常数项的乘积的四倍，表明方程的图像与x轴没有交点，即没有实根。

通过判别式的计算和分析，可以确定一元二次方程的根的情况。根据判别式的正负与零的关系，可以得到方程的解的个数和性质。

举例来说，对于方程x^2 + 2x + 1 = 0，其中 a = 1，b = 2，c = 1。计算判别式Δ = 2^2 - 4*1*1 = 4 - 4 = 0。由于Δ = 0，所以方程有两个相等的实根。解方程得到x = -1为方程的解。

再举例来说，对于方程2x^2 + 3x - 4 = 0，其中a = 2，b = 3，c = -4。计算判别式Δ = 3^2 - 4*2*(-4) = 9 + 32 = 41。由于Δ = 41大于零，所以方程有两个不相等的实根。解方程可以使用求根公式或其他方法得到方程的解。

需要注意的是，判别式只能判断方程的解的情况，而不能直接求解方程的根。求解方程的根需要使用求根公式或其他解方程的方法。判别式的作用在于帮助判断方程是否有实根以及实根的性质。

在实际问题中，一元二次方程的根的判定常用于求解抛物线的顶点、解决物理问题中的运动方程以及经济学中的成本、收益等相关问题。对于这些问题，通过判别一元二次方程的根的情况，可以得到解的个数和性质，进而对问题进行分析和求解。

一元二次方程的根的判定是通过计算方程的判别式来推断方程的解的情况。根据判别式的值与零的关系，可以确定方程的解的个数和性质。判别式大于零时，方程有两个不相等的实根；判别式等于零时，方程有两个相等的实根；判别式小于零时，方程没有实根。判

别式的计算和分析在求解一元二次方程以及实际问题中具有重要的作用。

一元二次方程的根的判定

一元二次方程的根的判定 一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为已知常数，且a ≠ 0。解一元二次方程的关键在于判定方程是否有实根，即方程的解是否存在于实数范围内。 要判定一元二次方程的根的情况，可以通过计算方程的判别式来进行推断。方程的判别式Δ = b^2 - 4ac，其中b、a、c分别是方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。根据判别式的值，可以得到以下结论： 1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。判别式大于零意味着方程的平方项和一次项的系数平方之和大于二次项系数与常数项的乘积的四倍，表明方程的图像与x轴有两个不同的交点，即有两个实根。 2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。判别式等于零意味着方程的平方项和一次项的系数平方之和等于二次项系数与常数项的乘积的四倍，表明方程的图像与x轴有一个重合的交点，即有两个相等的实根。 3. 当Δ < 0时，方程没有实根。判别式小于零意味着方程的平方项和一次项的系数平方之和小于二次项系数与常数项的乘积的四倍，表明方程的图像与x轴没有交点，即没有实根。

通过判别式的计算和分析，可以确定一元二次方程的根的情况。根据判别式的正负与零的关系，可以得到方程的解的个数和性质。 举例来说，对于方程x^2 + 2x + 1 = 0，其中 a = 1，b = 2，c = 1。计算判别式Δ = 2^2 - 4*1*1 = 4 - 4 = 0。由于Δ = 0，所以方程有两个相等的实根。解方程得到x = -1为方程的解。 再举例来说，对于方程2x^2 + 3x - 4 = 0，其中a = 2，b = 3，c = -4。计算判别式Δ = 3^2 - 4*2*(-4) = 9 + 32 = 41。由于Δ = 41大于零，所以方程有两个不相等的实根。解方程可以使用求根公式或其他方法得到方程的解。 需要注意的是，判别式只能判断方程的解的情况，而不能直接求解方程的根。求解方程的根需要使用求根公式或其他解方程的方法。判别式的作用在于帮助判断方程是否有实根以及实根的性质。 在实际问题中，一元二次方程的根的判定常用于求解抛物线的顶点、解决物理问题中的运动方程以及经济学中的成本、收益等相关问题。对于这些问题，通过判别一元二次方程的根的情况，可以得到解的个数和性质，进而对问题进行分析和求解。 一元二次方程的根的判定是通过计算方程的判别式来推断方程的解的情况。根据判别式的值与零的关系，可以确定方程的解的个数和性质。判别式大于零时，方程有两个不相等的实根；判别式等于零时，方程有两个相等的实根；判别式小于零时，方程没有实根。判

一元二次方程的求根公式及根的判别式

一元二次方程的求根公式及根的判别式 主讲：黄冈中学高级教师余国琴 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。

(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实 根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)；(2)；(3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算， 解：(1)因为a=1，，c=10 所以

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 一、知识点：1.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式： 2.一元二次方程根与系数的关系： （1）如果1x ，2x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，那么 a b x x -=+21，a c x x =?21 （2）如果1x ，2x 是方程02=++q px x 的两个根，那么 p x x -=+21，q x x =?21 二、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式的应用： 1. 不解方程，判断方程根的情况： （1）；05432=--x x （2）；01322 =+-x x （3）26232-=+y y 2. 证明方程根的情况： （1）已知关于x 的方程0)12(2)12(2=-++-k x k x . ①求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实数根； ②若等腰△ABC 中有两边的长恰好是这个方程的两个根，且这两边和为6，求△ABC 的周长.

（2）小明说：“关于x 的方程)1.(0)1(4)1(222±≠=++-+m m mx x m 一定没有实数根”。小明的说法对吗？说明你的理由. （3）求证：无论m 取何值，关于x 的方程01)32(2=++++m x m x 总有两个不相等的实数根。 （4）已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，试判断关于x 的方程)(02)(2 c b c b ax x c b ≠=-+--的根的情况. （5）已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且关于x 的方程0)()(2)(2=-+-+-b a x a b x b c 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状. 3. 已知方程根的情况，求字母系数的取值范围： （1）已知：关于x 的一元二次方程：0)1(22=+++k x k kx 有两个实数根，求k 的取值范围.

一元二次方程根的判别式知识点

一元二次方程根的判别式知识点及应用 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)中，Δ=b24ac 若△＞0则方程有两个不相等的实数根 若△=0则方程有两个相等的实数根 若△＜0则方程没有实数根 2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理： 在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b24ac 若方程有两个不相等的实数根，则△＞0 若方程有两个相等的实数根，则△=0 若方程没有实数根，则△＜0 特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。 一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。 例1、判断下列方程根的情况 2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0 二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。 例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？ 三、证明方程根的性质。 例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。 四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。 例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围 内因式分解。 五、判定二次三项式为完全平方式。 例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。 例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。 六、利用判别式构造一元二次方程。 例7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y） 求证：2y=x+z 七、限制一元二次方程的根与系数关系的应用。

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

2021年中考专题复习 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系回忆与思考 1．一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的情况可由△=b2－4ac来判定： (1)当b2–4ac>0时，方程有实数根，即x1=，x2=． 当b2–4ac=0时，方程有实数根，即x1=x2=． 当b2–4ac<0时，方程实数根． 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的判别式． (2)一元二次方程根的判别式的应用： ①不解方程，判别根的情况，特别是判别含有字母系数的一元二次方程根的情况，可通过配方法把b2–4ac变形为±(m±h)2＋k的形式，由此得出结论，无论m为何值，b2–4ac≥0或b2–4ac<0，从而判定一元二次方程根的情况．一般步骤是：先计算△，再用配方法将△恒等变形，然后判断△的符号，最后得出结论． ②根据方程的根的情况，求待定系数的取值范围； ③进展有关的证明． (3)关于根的判别式的应用： ①对于数字系数方程，可直接计算其判别式的值，然后判断根的情况； ②对于字母系数的一元二次方程，假设知道方程根的情况，可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值范围； ③运用配方法，并根据一元二次方程根的判别式可以证明字母系数的一元二次方程的根的有关问题. (4)应用根的判别式须注意以下几点： ①要用△，要特别注意二次项系数a≠0这一条件． ②认真审题，严格区分条件和结论，譬如是△＞0，△≥0还是要证明△＜0． ③要证明△≥0或△＜0，需用配方法将△恒等变形为±(m±h)2＋k的形式，从而得到判断． 2．一元二次方程的根与系数的关系 (1)如果方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根是x1和x2，那么x1+x2=，x1x2=． 特别低，如果方程x2＋px＋q = 0的根是x1和x2，那么x1+x2=，x1x2=． (2)一元二次方程根与系数关系的应用． ①验根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：一 要先把一元二次方程化成标准型，二不要漏除二次项系数a≠0；三还要注意–b a中的符号． ②方程一根，求另一根． ③不解方程，求与根有关的代数式的值．一般步骤：先求出x1+x2，x1x2的值，再将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示，然后将x1+x2，x1x2的值代入求值． ④两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程：以x1，x2为根的一元二次方程可写成x2－(x1+x2)x+x1x2=0． (3)应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意： ①根的判别式b2–4ac≥0； ②二次项系数a≠0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.

一元二次方程的根的判别式

一元二次方程的根的判别式 【学习目标】 1.知道什么是一元二次方程的根的判别式. 2.会用判别式判定根的情况. 【主体知识归纳】 1.一元二次方程的根的判别式：b2—4ac叫做一元二次方程ax2+bx+ c =0 (a^O)的根的判别式.通常用符号“△”来表示. 2.对于一元二次方程ax2 + bx+ c= 0 (a z 0),当4> 0时，方程有两个不相等的实数根；当△ = 0时，方程有两个相等的实数根；当△< 0 时，方程没有实数根.反过来也成立. 【基础知识讲解】 1 .根的判别式是指△= b —4ac,而不是指△ =、、b 2 4ac . 2.根的判别式是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况.要注意方程中各项系数的符号. 3.如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2—4ac>0,不要丢掉等号. 4.判别式有以下应用： (1)不解方程，判定一元二次方程根的情况； (2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围； (3)应用判别式进行有关的证明. 例题精讲】

例1 ：不解方程，判别下列方程的根的情况： 2 (1)3x —2x —1 = 0; (2)y2= 2y—4; (3)(2k2＋1) x2—2kx＋1=0； ( 4) 9x2—( p＋7) x＋p—3= 0． 解：(1) •「△=( —2) —4 x 3x( —1 )= 4+ 12> 0，—原方程有两个不相等的实数根． (2)原方程就是 y —2y + 4 = 0.T △=( —2) —4x 1 x4 = 4 —16 v 0,二原方程无实数根. (3)v 2k2 + 1工0,二原方程为一元二次方程. 又•/ △=( —2k) 2—4 (2k2 + 1)x 1 = —4k2—4v0,二原方程无实数根. (4)△=[—( p+ 7)]2—4x 9x( p—3)=( p—11) 2+ 36， v不论p取何实数，(p—11) 2均为非负数， •••(p—11)2 + 36>0, 即卩△ >0, •••原方程有两个不相等的实数根. 说明：(1) 运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况时，要把不是一般形式的化为一般形式. (2)判别式的应用是以方程ax2 + bx+ c = 0中0为前提条件的，对于含字母系数的二次方程要特别注意这一点. ⑶ 要判断含字母(代表实数)的二次式的正负等情况，配方是个有效的方法，如(4)小题.

一元二次方程的根的判别式

一元二次方程的根的判别 式 Ting Bao was revised on January 6, 20021

一元二次方程的根的判别式学习指导 一、基本知识点： 1.根的判别式： 对于任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其变形为:(x+)2= 因为a≠0，所以4a2＞0，这样一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由b2－4ac来判定。 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿=b2－4ac。 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当⊿=b2－4ac＞0时，有两个不相等的实数根； 当⊿=b2－4ac=0时，有两个相等的实数根； 当⊿=b2－4ac＜0时，没有实数根。 上述性质反过来也成立。 2.判别式的应用 (1)不解方程，判断方程的根的情况； (2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围； (3)证明方程的根的性质； (4)运用于解综合题。 二、重点与难点

一元二次方程的根的判别式的性质是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有重要应用。正确理解判别式的性质，熟练灵活地运用它，是本节的重点，同时也是难点。 三、例题解析 例1不解方程，判断下列方程根的情况 (1)2x2－5x+10=0 (2)16x2－8x+3=0 (3)(－)x2－x+=0 (4)x2－2kx+4(k－1)=0(k为常数) (5)2x2－(4m－1)x+(m－1)=0(m为常数) (6)4x2+2nx+(n2－2n+5)=0(n为常数) 解：(1)⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0∴方程没有实数根 (2)⊿=(－8)2－4×16×3=0∴方程有两个相等的实数根 (3)⊿=（－)2－4(－)×=5－4+8＞0∴方程有两个不相等实根 (4)⊿=(－2k)2－4×1×4(k－1)=4k2－16k+16 =4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0∴方程有实数根 (5)⊿=〔－(4m－1)〕2－4×2×(m－1) =16m2－8m+1－8m+8

一元二次方程的根的判定

一元二次方程的根的判定 一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，其一般形式可以表示为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。求解一元二次方程的根是数学中的一个重要问题，根的判定是解决这个问题的基础。 一元二次方程的根的判定依据是方程的判别式Δ（delta）= b² - 4ac 的值。根据Δ的不同取值，可以判断方程是否有实根以及实根的个数。 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。这是因为Δ的正值意味着方程的图像与x轴有两个交点，即方程有两个实根。这种情况下，方程的解可以用求根公式x₁,₂ = (-b ± √Δ) / 2a来计算，其中±表示两个相反的符号。 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根，也叫重根。这是因为Δ等于零意味着方程的图像与x轴只有一个交点，即方程有两个相等的实根。这种情况下，方程的解可以用求根公式x = -b / 2a来计算。当Δ < 0时，方程没有实根，只有复数根。这是因为Δ的负值意味着方程的图像与x轴没有交点，即方程没有实根。这种情况下，方程的解可以用复数表示，解的形式为x₁ = (-b + √(Δi)) / 2a，x₂ = (-b - √(Δi)) / 2a，其中i为虚数单位，i² = -1。

根据一元二次方程根的判定，可以利用判别式Δ的值来确定方程的根的性质。这个判定方法可以很好地帮助我们求解一元二次方程，从而解决实际生活中的问题。 举个例子，假设有一个一元二次方程x² - 4x + 4 = 0，我们可以根据判别式Δ = (-4)² - 4(1)(4) = 0来判断方程的根的性质。由于Δ等于零，所以方程有两个相等的实根。根据求根公式x = -b / 2a，可以计算出方程的解为x = -(-4) / (2*1) = 2。因此，方程x² - 4x + 4 = 0的解为x = 2。 在实际问题中，一元二次方程的应用非常广泛。例如，在物理学中，可以利用一元二次方程的根来求解抛体运动的问题；在经济学中，可以利用一元二次方程的根来求解成本、收益等问题。方程的根的判定为我们解决这些问题提供了有效的数学工具。 总结一元二次方程的根的判定是通过判别式Δ的值来确定方程的根的性质。根据Δ的不同取值，可以判断方程是否有实根以及实根的个数。这个判定方法在解决实际问题中起到了重要的作用，帮助我们求解一元二次方程从而解决实际生活中的各种问题。

一元二次方程的根的判别式

一元二次方程的根的判别式学习指导 一、基本知识点： 1. 根的判别式： 对于任何一个一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其 变形为: (x+b 2a )2=b 2–4ac 4a 2 因为a≠0，所以4a 2＞0，这样一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的情况可由b 2－4ac 来判定。 我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿=b 2－4ac 。 一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a≠0)， 当⊿=b 2－4ac ＞0时，有两个不相等的实数根； 当⊿=b 2－4ac=0时，有两个相等的实数根； 当⊿=b 2－4ac ＜0时，没有实数根。 上述性质反过来也成立。 2. 判别式的应用 (1) 不解方程，判断方程的根的情况； (2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围； (3) 证明方程的根的性质； (4) 运用于解综合题。 二、重点与难点 一元二次方程的根的判别式的性质是初中数学中的一个重要内

容，在高中数学中也有重要应用。正确理解判别式的性质，熟练灵活地运用它，是本节的重点，同时也是难点。 三、例题解析 例1 不解方程，判断下列方程根的情况 (1) 2x2－5x+10=0 (2) 16x2－83x+3=0 (3) (3－2)x2－5x+10=0 (4) x2－2kx+4(k－1)=0 (k为常数) (5) 2x2－(4m－1)x+(m－1)=0 (m为常数) (6) 4x2+2nx+(n2－2n+5)=0 (n为常数) 解：(1) ⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0 ∴方程没有实数根 (2)⊿=(－83)2－4×16×3=0 ∴方程有两个相等的实数根 (3) ⊿=（－5)2－4(3－2)×10=5－430+85＞0 ∴方程有两个不相等实根 (4) ⊿=(－2k)2－4×1×4(k－1)=4k2－16k+16 =4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0 ∴方程有实数根 (5) ⊿=〔－(4m－1)〕2－4×2×(m－1) =16m2－8m+1－8m+8 =16m2－16m+9=4(2m－1)2+5＞0 ∴方程有两个不相等实根

一元二次方程的判定

一元二次方程的判定 一元二次方程是数学中常见的一种形式，它由一个未知数的平方项、一次项和常数项组成。一元二次方程的一般形式可以表示为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。 判定一元二次方程的根的个数，可以根据方程的判别式来进行。一元二次方程的判别式Δ可以通过以下公式计算：Δ = b^2 - 4ac。根据判别式的值，可以得出以下三种情况： 1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。 当判别式大于0时，说明方程的根是实数且不相等的。此时，方程的两个根可以通过求解公式x1 = (-b + √Δ) / (2a)和x2 = (-b - √Δ) / (2a)来得到。这两个实数根分布在坐标轴的两侧，对称于抛物线的顶点。 2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。 当判别式等于0时，说明方程的根是相等的实数。此时，方程的两个根可以通过求解公式x = -b / (2a)来得到。这两个实数根重合在坐标轴上的一个点，即抛物线的顶点。 3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。 当判别式小于0时，说明方程的根是共轭复数，即不是实数。此时，方程的两个根可以通过求解公式x1 = (-b + i√|Δ|) / (2a)和x2 = (-b - i√|Δ|) / (2a)来得到。这两个共轭复数根分布在复平面

上的两侧，对称于实数轴。 通过判定一元二次方程的根的个数，我们可以对方程的解的情况有一个清晰的了解。根据判别式的值，我们可以判断方程的解的类型，进而进行问题的求解和分析。 除了判定方程的根的个数，一元二次方程还有其他一些重要的性质和应用。例如，方程的系数a、b、c与方程的根之间存在着一定的关系。通过方程的根，我们可以进一步推导出顶点坐标、对称轴等重要的几何信息。 一元二次方程还有广泛的应用。在物理学、经济学、工程学等领域，一元二次方程都被广泛地运用。通过建立数学模型，我们可以利用一元二次方程对现实世界中的问题进行建模和求解，从而得到实际问题的解决方案。 一元二次方程的判定是数学中的重要内容，通过判别式的计算，我们可以判断方程的根的个数以及根的性质。这对于解决实际问题和深入理解方程的性质具有重要意义。同时，一元二次方程还有丰富的应用领域，通过建立数学模型，我们可以将其应用于各个领域，解决实际问题。

一元二次方程的根的判别式

一元二次方程的根的判别式 一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。 举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k- 1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。对于方程2x²-(4m- 1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。对于方程 4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。 解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号

情况，得出结论。对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。 在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。 例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题： 1)有两个不相等实根，求m的范围。 2)有两个相等实根，求m的值，并求此时方程的根。 3)有实根，求m的最大整数值。 解：Δ=-(m-2)^2+4m^2=2m-4.当Δ>0时，方程有两个不相 等的实根，解得m<1.因此，当m<1时，方程有两个不相等实根。 当Δ=0时，方程有两个相等实根，解得m=1.因此，当 m=1时，方程有两个相等实根，为x1=x2=-2/(2m-3)。

一元二次方程的求根公式及根的判别式

主讲：黄冈中学高级教师余国琴 一、一周知识概述 将一元二次方程ax1 2 3 4+ bx + c=O(a丰0)进行配方，当b2—4ac>0时的根为. 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法. 说明：(1) 一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程2 ax + bx + c=0(a 丰 0); (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式• 2、一元二次方程的根的判别式 (1 )当b2—4ac > 0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当b2—4ac=0时，方程有两个相等的实数根； (3 )当b2—4acv 0时，方程没有实数根. 二、 重难点知识 6391 2 “开平方法” 一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。 3 “因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 4 “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思 考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则 这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般 也应考虑运用。

(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(>0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 (1)b2-4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c,求出b2-4ac; (2)在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； 2 (3)根的判别式是指b —4ac,而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1) ；(2) ；(3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算， 解：⑴因为a=1, , c=10 所以 所以 (2)原方程可化为 因为a=1, , c=2 所以 所以• (3)原方程可化为 因为a=1, , c= —1 所以 所以；所以. 总结：

一元二次方程根的判别式

初二下竞赛辅导资料 第十二讲 一元二次方程根的判别式 1、一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax 2+bx+c=0（a≠0）。 2、在系数a ≠0的情况下，Δ=b 2－4ac>0时，方程有2个不相等的实数根；Δ=b 2－4ac =0时，方程有两个相等的实数根；Δ=b 2－4ac <0时，方程无实数根。反之，若 方程有2个不相等的实数根，则Δ=b 2－4ac>0；若方程有两个相等的实数根，则Δ=b 2－4ac =0；若无实数根，则Δ=b 2－4ac <0。 3、因此，Δ=b 2－4ac 称为一元二次方程根的判别式。 4、 根的判别式b 2-4ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，解题过程中要注意隐含条件a≠0。使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a 、b 、c 的值。 5、一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用，也是中考必考内容，并占有一定的份量。直接应用包括①不解一元二次方程，判断（证明）根的情况、②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、③限制一元二次方程的根与系数关系的应用；综合应用包括④判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、⑤判断双曲线与直线的公共点个数、⑥判断抛物线与直线（含x 轴）的公共点个数。 例1、已知方程22+(2+1)+1=0m x m x 有实数根，求m 的取值范围. 例2、已知2-+3-=0x ax b 有两个不相等的实数根，2 +(6-)+6-=0x a x b 有两个相等的实数根，2+(4-)+5-=0x a x b 没有实数根，求,a b 的取值范围. 例3、设k 为整数，且0k ，方程2-(-1)+1=0kx k x 有有理根.，求k 的值.

一元二次方程根的判别式

一、一元二次方程根的判别式的定义 运用配方法解一元二次方程过程中得到 222 4()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b ac x a a -+=±．也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式． 二、判别式与根的关系 在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定． 设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-，则： ①0∆>⇔方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,2 42b b ac x a -±-=． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a ==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根； 若∆为完全平方式，同时24b b ac -±-是2a 的整数倍，则方程的根为整数根． 说明： (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有 两个不相等的实数根时，0∆>；有两个相等的实数根时，0∆=；没有实数根时，0∆<． (2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根． 三、习题类型 ①一元二次方程实数根个数的判定 ②利用判别式建立不等式或等式，求解参数取值 ③证明题 ④与三角形三边关系结合 一元二次方程根的判别式 知识精讲