自主学习01教材内容第四章中心力场中的粒子
自主学习01 教材内容
第四章中心力场中的粒子
知识框架重点难点第一节第二节第三节第四节
第五节本章习题本章自测
知识框架
重点难点
两体问题化为单体问题，无限深球方势阱，氢原子的求解，以及库仑势,汤川势,谐振子势等其他中心力势的薛定谔求解F-H定理解决问题为重点。氢原子，类氢离子，三维各向同性谐振子势为难点。
4.1中心力场中粒子运动的一般性质
[本节要求]
本节使学生掌握中心力场中运动的一些共同特点，在这里，角动量守恒起了重要作用。
[本节的重点与难点]
重点：两体问题化为单体问题；角动量守恒与径向方程。并列出：库仑势,汤川势,谐振子势
难点：径向波函数在邻域的渐近行为。
[本节教学内容]
4.1.1．两体问题化为单体问题
中心力场问题通常是两体问题.设两个粒子的坐标分别为和,质量分别为和,而相互作用仅依赖于两粒子之间的相对距离,则两粒子的能量本征方程可表达为
(1)
式中为系统的总能量.引入质心坐标和相对坐标为
,或(2)
（在此要强调质心坐标以及相对坐标在解决多体问题中广泛应用，二体，三体等）可证明
(3)
式中为总质量,为约化质量,
, (4) 这样,方程(1)化为
(5)
此方程显然可分离变量,
（即与经典力学一样,可把质心运动与相对运动分开）
令
(6)
分离变量后,得
(7a)
(7b) 式(7a)是一个自由粒子的能量本征方程,它描述质心运动,是质心运动能量.
（这一部分与我们研究的体系的内部结构无关,不予考虑.）
式(7b)描述两粒子的相对运动部分,是相对运动能量.两粒子相对运动相
当于一个质量为μ的粒子在中心力场中的运动.
4.1.2角动量守恒与径向方程
（中心力场中,粒子运动的能量、动量和角动量守恒,最重要的特征是角动量守恒.）在经典力学中,粒子角动量守恒是非常明显的.这是因为中心力场是保守力场,所受作用力与势场的关系可表示为
(8)
从而角动量随时间的变化为
(9)
其物理含义是,粒子所受到的力矩为零.又,,中心力场中经典粒子的
运动必为平面运动.运动平面的法线方向即守恒量的方向.在选择合适的参考系后,中心力场中经典粒子的运动即可简化为在一个平面上的运动.
在量子力学中,角动量也是守恒量.这是因为角动量算符与哈密顿算符
(10)
对易,即
(11)
但与经典力学有一个明显的不同,即守恒量的三个分量彼此不对易,中心力场中粒子
的角动量的三个分量一般而言不能同时具有确定值（除角动量为0的态外）,因此,中心力场中粒子的运动在量子力学中不能简化为一个平面运动.
（比较经典力学力学量和量子力学和力学量算符的含义和不同,算符贯穿量子力学体系）
此外,考虑到存在三个不对易的守恒量,中心力场中粒子的能级一般是简并的。因此,仅考虑能量本征值,还不足以把本征态完全确定下来,而需要寻找另一组守恒量完
全集,用它们的共同本征态来标记一个定态.尽管的三个分量彼此不对易,但
,而且,通常选用作为守恒量完全集,
用它们的共同本征态来对定态进行分类.此时,属于同一能级的诸简并态可以完全标记清楚,它们的正交归一性也自动得到保证.
考虑的能量本征方程为
(12)
中心力场是球对称性,采用球坐标系,以便于将径向部分与角度部分分开处理.在球坐标系中,拉普拉斯算符可表示为
(13)
能量本征方程化为
(14)
上式左边第二项称为“离心势能”,角动量愈大,则离心势能愈大.第一项可以表为,称为径向动能,其中
(15)
是径向动量.如取为的共同本征态,即
, (16) 则得到径向方程
(17)
不同的中心力场就决定了不同的径向波函数及能量本征值.径向方程中不含磁量子数m,因此,能量本征值与m无关.这是容易理解的,因为中心场的球对称性,粒子的能量显然与z轴的取向无关.但中心力场中运动的粒子的能量与角量子数有关,在给定下,m有个可能值.因此,一般而言,中心力场中粒子的能级是重简并的.在求解径向方程(17)时,有时作下述替换是方便的.令
(18)
则
(19)
求解径向方程(17) 或(19),即可得出粒子能量的本征值E及径向波函数R或约化径向波函数.
4.1.3径向方程的解在邻域的行为
（中心力场的势的类型多样性:库仑势,汤川势,谐振子势等;注意区别径向方程势能部分）
通常遇到的中心力场,如：库仑势,汤川势,线性势,谐振子势,对数势等,都满足条件：
(20)
当时,径向方程(20) 的渐近形式为
(21)
显然,是渐近方程(21) 的正则奇点.在点邻域,令,并代入上式,就得所谓指标方程
(22)
其解为
, (23)
这样,当时,方程(21) 的两个渐近解为
, (24)
是物理上不允许的,理应抛弃.按照波函数的统计诠释,在邻域任意体积元中找到粒子的几率应为有限值.令,则当时,必须有<3/2.因此,当
时,是不许的.对的渐近解,尽管不违反统计诠释的要求,但解
(25)
并不满足薛定谔方程.这是因为
(26)
从而
(27)
与方程(12) 比较,即知不是薛定谔方程的解.由此得出结论：径向方程(17) 的径向波函数当时只能取的渐近解.由此,求解约化径向方程(19) 时要求
(28)
考察时的约化径向方程(19) 是很有意思的.此时约化径向方程(19) 化为
(29)
(30)
方程(29) 与一维势场中的薛定谔方程相似,但变量变化不同,前者,而后者.因此,把中心力场中的结果外推到一维势场中的运动时要特别注意这一点.
4.2无限深球方势阱
[本节要求]
本节使学生掌握经典无限深球方势阱的推导，课余进一步了解和比较有限深球方势阱。[本节的重点与难点]
重点及难点：一维定态波函数的求解，注意特殊函数的运用。
[本节教学内容]
考虑粒子在半径为的球形刚性匣子中运动, 这相当于粒子在一个无限深球方势阱中运动, 势场为
(1)
径向方程为
(2)
径向波函数满足的边界条件为
(3)
引入无量纲变量
(4)
则式(2) 化为
(5)
令
(6)
则
(7)
此为半奇数阶的贝塞尔(Bessel) 方程.
（一般介绍贝塞尔(Bessel) 方程，球纽曼(Neumann) 函数，亦可一带而过。）
它的两个线性独立解为与.定义球贝塞尔和球纽曼(Neumann) 函数
(8)
它们在时的渐近行为是
(9)
当时,解是物理上不能接受的. 因此, 在无限深球方势阱内的解应取
(10)
其中是归一化常数,或由束缚态边界条件(3) 确定, 即
(11)
当取有限值时,只能取一系列分立值. 令的根依次记为
,则粒子的能量本征值表为
(12)
特例: 对s态(),,利用式(12), 粒子的能量本征值为
(13)
利用球贝塞尔函数的积分公式及边条件(3), 可求出径向波函数(10) 的归一化常数
(14)
此时
(15)
（特例选讲）
思考题
1.证明的根可由解出.
2.证明的根可由解出.
4.3氢原子及类氢离子
[本节要求]
本节使学生掌握氢原子的薛定谔方程严格求解，一般了解复杂原子及分子结构的基础。
[本节的重点与难点]
重点及难点：氢原子的求解，即，库仑势的中心力场求解；类氢离子。
1.有关能级的讨论
2.有关波函数的讨论
3.电流密度与磁矩
[本节教学内容]
(具体解出氢原子和类氢离子的薛定谔方程,可得出氢原子和类氢离子的能级与波函数,从而定量地解释其光谱线规律及其它一些重要特征.同时,对氢原子和类氢离子的定量认识也是理解复杂原子及分子结构的基础.)
（重点讲解氢原子，让学生掌握氢原子的求解）
氢原子和类氢离子的原子核带正电荷+Ze (对氢原子,而对类氢离子) ,而核
外只有一个带负电荷的电子.取无穷远处为势能的零点,则原子核与电子之间的库仑作
用能为
, (1)
式中Z为原子序数.氢原子和类氢离子的约化径向方程为
(2)
式中为折合质量,M和m分别是原子核和电子的质量.令
,, (3)
则方程可简化为
(4)
显然是方程的两个奇点.我们首先考察其在这两个奇点邻域的行为.首先考虑时的渐近行为.当时,方程(4) 的物理上可接收的渐近解为
(5)
其次考虑时的渐近行为.对束缚态,当时,方程(4) 化为
(6)
其解为.考虑到束缚态边界条件,即当时,只能取
(7)
于是,让方程(4) 的解具有如下形式
(8)
代入方程(4) ,得
(9)
(对合流超几何方程做一般性的介绍)
这个方程属下列合流超几何方程,即
(10)
参数
(正整数) , (11)
方程(10) 在邻域有界的解为合流超几何函数
(12)
无穷级数解在时行为.这样的解代入式(8) ,不能满足无穷远处的束缚态边界条件.为了得到物理上允许的解,要求无穷级数(12) 必须在有限项中断.从式(12) 可以看出,只要等于0或负整数即可满足这一要求,于是
, (13)
令,则.将式(3) 代入,得
(14)
式中称为玻尔半径,称为玻尔第n轨道速度,称为精细结构常数,它表征电磁相互作用的强度.相应于的径向波函数为
(15a)
(15b)
式中,为归一化常数,它的形式保证
(16)
在表5.3中列出了属于较低的几个能级的径向波函数.可以看出,径向波函数,除原点和无穷远点外,有个节点数目.氢原子及类氢离子的定态波函数是守恒量完全集
的共同本征态,且属于能级的定态波函数表示为
(17)
1.有关能级的讨论
（关于能级的讨论做一般性的介绍）
(a) 能级是简并度的.这是因为给定主量子数n,有n个值,而对每一个角量数的
值,又有个磁量子数的值.这样,能级对应的波函数的个数,即简并度为
(18)
能级对磁量子数m简并,即与m无关,其原因是势场为中心力场,它是球对称的,电子
的能量与空间取向无关；能级对角量子数简并,即与无关，这是源于库仑场的作用.碱金属中价电子所处的势场也是中心力场,但原子实中其它电子的屏蔽作用,价电子所受力场不是简单的库仑场,尽管它所受力场仍只与r有关,而与取向无关.这时,碱金属电子能级为
(19)
与有关,从而能级与有关.例如,在中心力场中,.
因此,在一般中心力场中,电子的能级是度简并的,仅对库仑场,电子的能级才是n2度简并的.
(b) 从式(14) 可见,能级随n的增大而增大,而相邻能级的间距
(20)
随n的增大而减小.对氢原子
(21)
基态能级为.当时,能量为,电子可脱离
原子核而电离,电离能为.
(c) 利用能级公式(14),可解释氢原子和类氢离子的光谱线的规律.
（可以在适当介绍物理学家得到氢原子和类氢离子的光谱线的物理背景，使增添趣味性，加深学生对抽象内容的形象化，助于记忆）
2．有关光谱的讨论
电子从高能级向低能级跃迁时,发射出的光线的波数为
, (22a)
(Rydberg常数) (22b)
与光谱规律的里兹并合原则完全一致.所有的到同一低态的跃迁频率组成一个谱系.对氢原子,到m=1的态的跃迁构成Lyman线系,处于紫外光谱区；到m=2的态的跃迁构
成对应Balmer线系,处于可见光区,首先被发现；到m=3的态的跃迁构成Paschen线系；到m=4的态的跃迁构成Brackett线系；到m=5的态的跃迁构成Pfund线系.
对类氢离子,应特别提及著名的Pickering线系,该线系是E.C.Pickering于1896年在船舻座星的可见光谱线中发现的,并与氢原子光谱中的Balmer线系很相似,具有相同的极
限.后来Fowler在氢和氦混合气体中也观测到了这个线系.若把此线系归入氢原子光谱,则会出现分数量子数.N.Bohr把它解释为He+发出的光谱线.按类氢离子能级公式
(14) ,He+能级公式为
(23)
从跃迁到发出的光的波数为
(24)
对,,有
(25)
这里是He+的Redberg常数,它与氢原的略有差异.从式(22b) 可知
(26)
即略大于.如果忽略这种微小差异,式(25) 与Balmer线系很相似,特别是其极限位置几乎相同.
3. 有关波函数的讨论
（讲授中结合电子的轨道模型s,p,d,f,g,…，强调量子力学中电子运动没有所谓的轨道）
氢原子和类氢离子的定态波函数是三个可同时测量的量的本征态.也就是说,彼此对易的力学量的数目与电子的自由度相同,因此的本征值相应的三个好量子数足以确定波函数.按光谱学上的习惯,把
的态记为.有时还借用玻尔的量子论观点,习惯上称为轨道,轨道,等等.
（知氢原子和类氢离子的定态波函数,就可讨论氢原子和类氢离子在空间各点的几率分布.）
当氢原子或类氢离子处于定态时,在点周围体积元
内找到电子的几率为
(27)
(1)径向几率分布
式(27)对从0到,而对从0到积分,并注意到的正交归一性,便得到在的球壳内找到电子的几率为
(28)
表4.3.1 氢原子(Z=1) 和类氢离子(Z>1)径的向波函数.
n l nr 光谱符号()
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如图4.3.2所示,电子处于比较低的几条能级时的径向几率分布.从曲线可更清楚地看到,径向波函数除原点和无穷远点外的确有个节点,而且有个极大值,其
中一个主极大和一些辅极大.与玻尔的量子论不同,量子力学中电子无轨道概念,只能确定其位置的分布几率.值得注意的一个有趣的事实是,属于各能级的所谓圆轨道,即给定
下,的轨道,其径向几率分布的最大值对应的半径,即最概然半径,可由径向波函数(15a) 计算的极值点位置求出为
(29)
即氢原子和类氢离子的最概然半径与玻尔的量子论给出的半径相同.
(2)角向几率分布
式(27) 对从0到积分,并注意到的正交归一性,可得在方向附近立体角内的几率为
(30)
它与无关,这是因为是守恒量的本征态,角分布将保持对z轴的旋转对称性.因此,可用通过z轴的任何一个平面上的曲线来刻画几率密度随的变化曲线,而在全空间的分布曲面,只需用此曲线绕z轴旋转一周即可得到.如图6.3.3所示,给出了在一些态中对的函数关系.值得注意的是,尽管氢原子和类氢离子哈密顿算符是
球对称的,但还不能说在一切状态下的电子分布都是球对称的.事实上,仅在s态下,电子的几率分布才是球对称的.
4. 电流密度与磁矩
在态下,电子的几率流密度为
(31)
利用球坐标系中梯度算符的表达式
《带电粒子在匀强磁场中的运动》教学设计
《带电粒子在匀强磁场中的运动》教学设计 一、设计思路 科学探究倡导学习的建构，建构主义理论认为：学习不是消极被动的过程，而是一个主动的积极建构的过程，这种建构过程是在学习主体与环境相互作用中产生和完成的，教师的作用不是“填压”而是“点燃”，教师的责任在于创设好学习环境和问题情境，让学生融入学习中，通过自己的分析、思考和交流，从而建构出相关的知识和规律，在高三第一轮复习中，学生已经存储了模糊的基本知识和基本技能，但没有形成系统，这时教师能够把知识以问题的形式，问题以情境的形式表现出来，即所谓的知识问题化，问题情境化，把学生置于问题境况中，让他们去经历智力的探险，在合作探究的过程中最终掌握知识，形成自主学习水平. 本节课的教学中，能够采用“基于问题”的研究性学习模式，将活动单自制成PPT文件格式表现，能够利用flash动态互动，展示粒子运动径迹，丰富教学，带来感受.该模式主要以几个情境为依托，通过小组活动让学生自主学习和小组合作来掌握知识和形成水平. 活动单内容主要有以下特点：1．问题引入，完成基本知识与技能训练.2．小组合作提炼思想方法，变式拓展提升水平.3．相关模型触类旁通，思想方法巩固提升. 二、教材分析 “带电粒子在匀强磁场中的运动”是物理学科中最突出的综合问题，它将力学、电磁学重点知识融为一体，通过对物理情景的设置，综合考查学生对物理模型的建构水平;考查学生分析推理物理问题的思维方法和水平;考查学生使用数学知识处理物理问题的水平等，是高考命题的热点，是最能体现区分度的地方. 三、学情分析 高中学生的认知水平的发展已接近于成熟水准，求知欲与好奇心强烈，能逐步使用抽象的适于演绎的或归纳的推理方式解决问题，乐于参加各种自主的研究性学习活动，对学习有较强的责任感.在高三一轮复习中，学生已经储备了前期的基本知识与技能，但没有形成系统的规律和方法，对于问题的解决仍受数理基础、元认知水平、问题的熟悉水准、问题的情境特征等方面的影响，坡度很大. 四、教学目标 知识与技能 1．进一步熟悉洛伦兹力方向的判断、洛伦兹力大小的计算. 2．知道常见的有界磁场，即直线边界磁场、平行边界磁场和圆形边界磁场. 3．掌握“找圆心”、“定半径”和“画轨迹”的基本思路与方法. 过程与方法 1．经历画出粒子运动轨迹的过程，培养学生建构模型的水平. 2．通过设问、讨论与交流，培养学生大胆质疑的科学态度，提升学生对比分析和交流合作的水平. 3．通过自主学习过程，提升学生的审题水平，强化“规范答题”训练. 情感、态度与价值观 1．通过基本知识的变迁与拓展，让学生体验与分享学习经历中的乐趣. 2．通过交流与合作，培养学生将自己的见解与他人分享的团队精神.
第9章_散射理论
自主学习01 教材内容 第九章散射理论 知识框架重点难点第一节第二节第三节第四节 本章习题本章自测 知识框架 本章目标：通过学习，理解散射截面和相移的物理含义，掌握处理散射问题中常用的分波法和波恩近似法，并能熟练运用这些方法处理一些简单的势场散射问题，了解全同粒子散射中的一些基本性质。 重点难点 1、掌握求解散射截面和相移的分波法和波恩近似法 2、能应用分波法、波恩近似法于一些势场散射问题的求解 3、了解全同粒子的散射 9.1 散射现象的一般描述 本节目标：掌握散射截面与振幅的物理意义，能从基本关系推导得出散射振幅 重点难点：1、散射振幅的物理意义 2、明确散射振幅与截面的关系 本节内容：
在近代物理研究中，研究一个粒子或多个粒子与散射中心作用是很重要的。原子和分子物理，原子核物理以及粒子物理的建立和发展，都离不开散射实验及其理论分析。著名的Rutherford 的α粒子对原子的散射实验，肯定了原子有一个核，即原子核，从此揭开了人类研究原子结构的新领域。50年代后，高能电子散射对研究原子核及核子的电荷分布都取得了重要成果。 如用散射资料推出核力的一些知识，如强子结构，原子核和基本粒子的电荷分布等等，甚至给出核子或核子对处于原子核某状态的几率。 在束缚态问题中，我们是解本征值问题，以期与实验比较。而在散射问题中，能量是连续的，初始能量是我们给定的（还有极化），这时有兴趣的问题是粒子分布（即散射到各个方向的强度）。所以散射问题（特别是弹性散射），主要关心的是散射强度，即关心远处的波函数。 1.散射截面定义： 用散射截面来描述粒子被一力场或靶散射作用是很方便的。反之，知道散射截面的性质，可以推出力场的许多性质。而我们对原子核和基本粒子性质，很多是这样推出的。这也是量子力学中的逆问题。 一束不宽的（与散射区域比较），具有一定能量的粒子，轰击到一个靶上（当然与散射中心尺度比较起来，是宽的）。为简单起见，达到散射中心时，可用一平面波t i r k i e ω-?描述。设：入射粒子通量为 λ Φ（单位时间，通过与靶相对静止的垂直于传播方向上的单位面积的入射粒子数）（对于单粒子，显然即为几率流密度）。 这时，单位时间，经散射而到达 ),(?θ方向Ωd 中的粒子数 Ω Φ∝d dn λ （1） 即 Ω Φ=d dn λ?θσ),( （2）
人教版高中生物学《遗传与进化》新旧两版教材中章节变化的比较与解读
人教版高中生物学《遗传与进化》新旧两版教材中章节变化 的比较与解读 随着教育改革深化，高中生物教材从教学实情出发进行改编创新，有利于教师对教材资源的 深入研究及学生对生物学知识的深入学习。以下将从人教版高中生物学《遗传与进化》新旧 两版教材中章节变化进行比较及解读。针对教师如何正确利用新教材中的栏目教学提出优化 策略。 关键词：人教版;高中生物；教材变化；比较 引言： 传统教育中，教师注重教材内容教学，容易忽略学生个人思维能力发展。新课标的要求，为 了提高学生的自主学习、自主探究的意识和能力，在新版的高中生物学科教材上已经着重明 确体现，要进一步提高学生生物科学核心素养的要求。新版生物教材中在各栏目的设计上更 全面渗透了新课改教学理念。"技能训练"、"思考题"等探究教学项目便于在综合性教学的过 程中及时引导教师和学生对问题进行深入探讨和分析[1]。高中生物教师一定要重视开展好高 中生物教材中各栏目的综合性教学，深入地挖掘教师在各栏目中所设置的教学关键性，分析 问题引导学生以正确的方式及思维能力使用各栏目，提高学生生物学科核心素养。 一、新旧教材比较 （一）目录比较 人教版高中生物教材《遗传与进化》与旧版在目录设置上大致相同。新教材的内容增加了科 技发展的模块，如表： （二）插图比较 新旧版教材在文章插图变化甚微，新教材的插图图示更注重细节。图片的位置及内容进行了 微调，如必修二旧教材里第四章的中心法则图例换到了第二节，而新教材换到了第一节，图 示及图片内容发生改变。新教材中将“遗传密码的破译”删除，增加了“表观遗传”的内容。 （三）栏目设置 高中生物教材中栏目的设置给教师及学生指明章节学习方向，有利于教师把握教材内容走向，正确引导学生的学习方向，利于锻炼学生的思维逻辑。栏目设置对比如表： 前四个栏目保留，说明的确有一定作用。其栏目的改变，如生物科学史话的增加是为了弥补 之前的“遗传密码的破译”，将技能改为思维，说明新教材注重学生思维能力的培养。 （四）课后习题 课后习题用来巩固学生所掌握的知识，培养思维及运用能力。新教材在改编上增加了我国科 技成果，与时代发展联系在一起，促进学生了解国家科研实力，增长民族自信心。新教材的 的主观题型更倾向于开放应用型，如新教材中的P78的一道题考察学生的实验探究设计能力，利于全面培养学生学科核心素养。 以第四章为例课后习题对比如表： 二、优化策略
自主学习01教材内容第四章中心力场中的粒子
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此方程显然可分离变量, （即与经典力学一样,可把质心运动与相对运动分开） 令 (6) 分离变量后,得 (7a) (7b) 式(7a)是一个自由粒子的能量本征方程,它描述质心运动,是质心运动能量. （这一部分与我们研究的体系的内部结构无关,不予考虑.） 式(7b)描述两粒子的相对运动部分,是相对运动能量.两粒子相对运动相 当于一个质量为μ的粒子在中心力场中的运动. 4.1.2角动量守恒与径向方程 （中心力场中,粒子运动的能量、动量和角动量守恒,最重要的特征是角动量守恒.）在经典力学中,粒子角动量守恒是非常明显的.这是因为中心力场是保守力场,所受作用力与势场的关系可表示为 (8) 从而角动量随时间的变化为
自主学习01 教材内容 第三章 力学量与算符
自主学习01 教材内容 第三章力学量与算符 知识框架重点难点第一节第二节第三节第四节 第五节第六节第七节第八节本章习题本章自测
重点难点
通过本章的学习，应使学生掌握量子力学中的力学量用算符表示的基本原理， 表示力学量的算符，动量算符和角动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符与力学量的关系，算符的关系，两力学量同时有确定值的条件，不确定性关系，力学量平均值随时间的变化，守恒定律，掌握力学量随时间的演化规律。 §3.1 力学量的平均值，力学量用算符表示 [本节要求] 理解力学量的平均值的概念，掌握力学量的算符表示 [重点难点] 力学量的算符表示 [本节内容] 粒子处于波函数 )(r ψ所描述的状态下,虽然不是所有的力学量都有确定的观测值,但它们都有确定 的几率分布,因而有确定的平均值. 粒子处于归一化状态 )(r ψ,其位置坐标的几率密度为ψψ*.这样,位置坐标的平均值为 ()()()()x d r r r x d r r r r 33 ψψ ψψ ??* * == (1) 波长是用以刻画波动在空间变化快慢的,是属于整个波动的量.因此,“空间某一点的波长”的提法是没有意义的.再根据德布罗意关系式p=h/λ,“微观粒子在空间某点的动量”的提法也是没有意义的.因此, 不能像求位置的平均值那样求动量的平均值.按前面所述,给定波函数)(r ψ后,测得粒子的动量在p 到p d p +之间的几率为 p d p 3 2 )( ?,其中 x d e r p r p i 32 3)() 2(1)( ?-?∞ -∞ += ψπ? (2) 其逆变换为 ()()()p d r p i e p r 32 321 ?∞+∞ -?= ?πψ (3)
量子力学粒子在中心场中运动,证明其角动量守恒量
量子力学粒子在中心场中运动，证明其角动量守恒量 在量子力学中，角动量可由角动量算符表示，其定义为： \[ \hat{{L}} = \hat{{r}} \times \hat{{p}} \] 其中， \( \hat{{r}} \) 是位置算符， \( \hat{{p}} \) 是动量算符。 如果一个粒子在中心场中运动，表示该粒子受到一个只与 \( r \) 有关的中心力场作用，那么该中心场满足以下条件： \[ V(\hat{{r}}) = V( r ) \] 考虑一个粒子在给定状态 \( \psi \) 下的角动量期望值： \[ \langle \hat{{L}} \rangle = \langle \psi | \hat{{L}} | \psi \rangle \] 由于算符 \( \hat{{L}} \) 是位置算符和动量算符的乘积，我们 可以将它分为两部分： \[ \langle \hat{{L}} \rangle = \langle \psi | \hat{{r}} \times \hat{{p}} | \psi \rangle \] 根据算符的乘积性质，可以将这个期望值展开为两个期望值的差： \[ \langle \hat{{L}} \rangle = \langle \psi | \hat{{r}} \times \hat{{p}} | \psi \rangle - \langle \psi | \hat{{p}} \times \hat{{r}} | \psi \rangle \] 我们可以进一步展开这两个期望值： \[ \langle \hat{{L}} \rangle = \langle \hat{{r}} \times \hat{{p}} \rangle - \langle \hat{{p}} \times \hat{{r}} \rangle \] 由于位置和动量算符之间的对易关系为： \[ [ \hat{{r}}, \hat{{p}} ] = i \hbar \] 其中， \( i \) 是虚数单位， \( \hbar \) 是约化普朗克常数。
量子力学讲义III.中心势场中的粒子
III.中心势场中的粒子 1.经典力学中，角动量。量子力学中，轨道角动量算符是否仍有呢？ 解：算符与的矢量积中，不出现有不对易因子，的项。例如， ，而 ， 由于，，故 其他两个分量和也有类似的结果。 因而，在量子力学中仍有。 2. 质量为的粒子在中心力场 （1） 中运动，证明存在束缚态的条件为，再进一步证明在附近存在无限条束缚态能级。 证明：当势能取式（ 1）时，根据维里定理，在任何束缚态中，有下列平均值关系， ，（2） 所以
（3） 由于，而束缚态，所以存在束缚态的条件为 （4） 在这个条件下，式（ 3）还可以写成 （5） 如能构造一个波包，其径向分布几率集中在附近的范围内，而且，则 （6） 只要足够大，就可以小于任意指定正数，这样就得到无限多条密集在附近的能级。 另外，波包的构成必须受测不准关系的制约， （7） 由于束缚定态，所以 （8） （9） 由于必须小于，如，则对于足够大的，上式将给出，不能成为束缚态；反之，如，对于
足够大的，式（9）中的第二项起主要作用，将给出，而且当，，各能级密集在附近 3. 粒子在中心势场中运动，处于能量本征态 （1） 如果已经归一化，则势能平均值等于 （2） 试证明：如为单调上升函数，即，则对于任意给定的距离，均有 （3） 证明：由于是单调上升的，显然对于粒子的任何状态，总可以找到某个，使得 （4） 而且，当时，；当时，。因此，如，式（3）显然成立。如，则 但因 （5） 所以仍得
4. 对于氢原子的基态，求，，验证测不准关系。 解：氢原子基态波函数为 (1) 宇称为偶。由于均为奇宇称算符，所有 （2） 由于各向同性，呈球对称分布，显然有 （3） 容易算出 （4） （5） 因此 （6） （7）
物理学中的基本粒子与力场
物理学中的基本粒子与力场 物理学是一门研究物质世界本质和规律的学科。它以实验和理 论研究为基础，解释和预测自然现象。在细分的领域中，基本粒 子物理学是研究所有物质和力场的最基本成分和相互作用的学科。本文将介绍物理学中的基本粒子和力场。 一、基本粒子 物理学中的基本粒子可以分为两类：费米子和玻色子。费米子 包括夸克、轻子和质子，是组成常见物质的最基本的粒子。玻色 子包括强相互作用介质、弱相互作用介质和电磁力介质，是媒介 相互作用的粒子。 1.费米子 费米子是半整数自旋的基本粒子。夸克是组成质子和中子的粒子，共有六种不同的味道：上、下、奇、反上、反下和反奇。轻 子包括电子、中微子等，它们不参与强相互作用。
质子是最常见的费米子。它由两个上夸克和一个下夸克组成， 带有电荷。中子由一个上夸克和两个下夸克组成，不带电荷。夸 克和质子之间的相互作用是强相互作用。质子和中子是核子的重 要成分，而核子是原子核的组成部分。 2.玻色子 玻色子是整数自旋的基本粒子。它们包括强相互作用介质、弱 相互作用介质和电磁力介质。强相互作用介质包括胶子和夸克。 弱相互作用介质包括W玻色子和Z玻色子。电磁力介质包括光子、W玻色子和Z玻色子。 胶子是组成强相互作用的介质。它们携带色荷，使强相互作用 具有颜色和大于电荷的作用力。胶子之间的相互作用使夸克结合 成质子和中子。 光子是电磁力的介质。它们携带电荷，可以产生电磁相互作用。W玻色子和Z玻色子是弱相互作用的介质，它们参与了核反应和 粒子反应。
二、力场 力场是描述相互作用的场。在物理学中，力场包括重力场、电磁场和弱相互作用场。 1.重力场 重力场是描述物体的吸引力的场。它由大质量物体产生，会影响任何质量。重力场可以用牛顿万有引力定律来描述：两个物体之间的引力正比于它们的质量，反比于它们之间的距离的平方。 2.电磁场 电磁场是描述电荷和电流相互作用的场。它由静电场和磁场组成。静电场由静止电荷产生，磁场由运动电荷产生。 爱迪生的发明和迈克尔·法拉第的定律揭示了电场和磁场之间的相互关系。麦克斯韦方程式是描述电磁场的方程。 3.弱相互作用场
中心力场名词解释
中心力场名词解释 中心力场（Central Force）： 1、概念：是一种向心力，它是粒子之间本源力学作用的主要特点之一，表示在粒子互相施加力的同时，其运动轨道以某一点为中心，可以通 过简单的几分法求解几何形状。 2、影响范围：中心力场在物体的运动中扮演着非常重要的角色，不论 是在宇宙尺度、星系尺度、星系内尺度、类星体尺度或者行星尺度， 都有其各自的我们重要的力学动力影响，构成了宇宙物理学的基本力 学要素。此外，中心力场还印象宇宙中数量繁多的天体形态、运动轨迹、运动引力以及物质结构等。 3、基本原理：中心力场通过对形成它的单位格子节点的相互影响和作用，能在物体上形成各种规则感知，以及普遍存在的定向力，这种力 是一种非常有效的向心力，控制着物体之间的作用。而这种力量主要 来自于向心的力学动能，又叫做归中力。 4、应用：在物理学上，中心力场的应用非常广泛，可以用来说明物体 运动的轨迹及其力学性质，如场中的物体如何运动以及两个物体之间 的作用机制。它是确定运动轨迹、确定运动率和建立各种工程设计模 型等重要计算方法的基础。如在物理学的范畴里，物体的质量比例为
不同的中心力场，旋转引力学定律，双星系统，三个质点系统等概念 也是通过中心力场阐述的。另外中央力场也可以用于分析和预测不同 的天体间的相互作用，帮助我们了解宇宙的动力学行为。 5、求解方法：比如说定性地给出解析解，将力学问题转化为微分方程 来求解，或者用向量分析方法来求解，以及使用坐标转换技术，等等。此外，还可以使用蒙特卡罗技术来求解不同参数情况下的力学测试结果，以期找到更准确的中心力场运动规律。在求解中心力场动力学问 题时，可以采用方位解办法，解决非线性中心力场的运动结果及力学 性质。
粒子在中心力场中的运动特性
粒子在中心力场中的运动特性 自从人类开始研究物理学以来，科学家们就一直试图理解各种力对物体运动的 影响。其中，中心力场是一种特殊的力场，它的方向与物体与力场中心的连线方向始终保持一致。通过研究粒子在中心力场中的运动特性，我们能够更好地理解和揭示自然界的规律。 首先，让我们来了解一下什么是中心力场。中心力场的特点是力的方向始终指 向力场的中心点，这种力称为中心力。在这种力场下，一个粒子受到的合力的方向总是指向中心点。最常见的中心力场便是万有引力场，质点之间的引力就是中心力。此外，静电力和磁力也可以是中心力。当然，这并不是说中心力只有这几种形式，还有其他形式的中心力等待我们去发现和研究。 在研究粒子在中心力场中的运动特性时，我们可以运用牛顿定律、动量守恒定 律和能量守恒定律等物理原理。通过综合运用这些定律，我们可以推导出粒子在中心力场中的运动规律。下面，我们将重点介绍一些有关粒子运动的基本特性。 首先是粒子的轨道形状。根据粒子在中心力场中的运动情况，轨道有可能是椭圆、抛物线或双曲线。其中，椭圆轨道是粒子在中心力场中最常见的轨道形状。当粒子的能量小于等于零时，它将绕中心点做速度足够小的椭圆轨道运动。而当粒子的能量为正时，轨道将变为双曲线形状，粒子会离开中心点远去。当粒子的能量为零时，轨道将是一条抛物线，粒子将沿着抛物线运动。 其次是粒子的角动量守恒。在中心力场中，粒子的角动量守恒是一个很重要的 性质。角动量是指物体围绕某一点旋转时所具有的动量，它与物体的质量、速度和旋转半径有关。在中心力场下，粒子的角动量大小和方向均保持不变，但随着粒子在轨道上运动的位置的不同，角动量的方向可能会改变。这个性质在分析行星运动、原子结构等领域都起到了重要作用。
粒子系统中的力场应用 Blender力场设置指南
粒子系统中的力场应用：Blender力场设置 指南 力场是Blender中粒子系统中非常重要的一个功能，它可以模拟物 体之间的相互作用以及各种力的影响，使得粒子系统的动画效果更加 逼真和有趣。本文将为您介绍Blender力场的设置指南，以帮助您在使 用粒子系统时更好地应用力场。 在Blender中，力场可以通过多种方式进行设置，包括吸引、排斥、引力、斥力以及涡流等。下面将逐一介绍这些力场设置的具体方法。 1. 吸引力场：吸引力场可以使粒子朝着其设置的节点或对象移动。 首先，选择一个对象，进入物体属性面板，然后在“力场”选项卡中选 择“吸引”。接下来，在力场设置选项中，可以调整吸引力的范围、强 度以及影响半径。您可以选择多个吸引力场对象来控制粒子的运动。 2. 排斥力场：排斥力场可以使粒子远离其设置的节点或对象。设置 方法与吸引力场基本相同，只需将力场类型设置为“排斥”即可。 3. 引力场：引力场可以模拟物体之间的引力作用，使得粒子围绕着 物体旋转。设置方法同样与吸引力场相似，只需将力场类型设置为“引力”即可。可以通过调整引力场的强度和半径来控制粒子的行为。 4. 斥力场：斥力场与引力场相反，它可以模拟物体之间的斥力作用，使得粒子远离物体。设置方法同样简单，将力场类型设置为“斥力”。 您可以通过调整斥力场的强度和半径来控制粒子的影响范围和行为。
5. 涡流：涡流力场可以模拟旋转的环境，可以使得粒子在环绕旋涡中运动。设置方法也很简单，将力场类型设置为“涡流”，然后调整涡流力场的强度和半径来影响粒子的运动。 在设置力场时，还需要注意以下几点： 1. 力场的强度和半径可以根据实际情况进行调整。如果力场强度过大或半径过小，可能会导致粒子运动过于剧烈或范围不够，影响效果的真实性。 2. 可以通过设置多个力场对象来控制粒子的运动。例如，您可以设置一个吸引力场和一个排斥力场来实现粒子围绕物体旋转并保持一定的距离。 3. 力场的位置和方向也是影响粒子运动的重要因素。可以在3D视图中调整力场对象的位置和旋转来改变力场的影响范围和方向。 总之，力场是Blender粒子系统中非常有趣和强大的功能。通过合理设置各种力场，可以实现丰富多样的动画效果，使动画更加逼真和生动。希望本篇文章的内容对您的Blender使用有所帮助，能够更好地应用力场功能。
人教版高中物理选修3-5第十八章 原子结构(自主学习学案)
第十八章原子结构 课前自主学习（学案） 一、请学生自主复习教材第十八章原子结构P46至P63。 二、结合复习的内容思考如下问题： 1、人类对原子结构认识的历史是从电子的发现开始的。1890年英国物理学家汤姆孙研究阴极射线发现了电子。在研究原子结构时，他提出了枣糕模型，请说出这种模型的特点。 2、1909年--1911年，英国物理学家卢瑟福和他的助手做α粒子轰击金箔的实验，即著名的“α粒子散射实验”，该实验的结果是什么？（注意几个关键词） 3、请绘制一幅简图，描绘原子核式结构模型的α粒子散射的图景。 4、原子核式结构模型与经典电磁理论的矛盾主要体现在哪两个方面？1913年丹麦的物理学家玻尔提出了原子结构的三个基本假设，建立了玻尔原子模型，请说出玻尔原子模型的三个基本假设的内容。 5、请用玻尔理论解释：为什么原子的发射光谱都是一些分立的亮线？如果大量氢原子处在n=4能级，可辐射出几种频率的光？其中波长最短的光是在哪两个能级之间跃迁时发出的？ 三、自主解答几道题目： 1、卢瑟福原子核式结构理论的主要内容有（） A．原子的中心有个核，叫原子核 B．原子的正电荷均匀分布在整个原子中 C．原子的全部正电荷和几乎全部质量都集中在原子核里 D．带负电的电子在核外绕着核旋转
2、α粒子散射实验中，不考虑电子和α粒子的碰撞影响，是因为（） A．α粒子与电子根本无相互作用 B．α粒子受电子作用的合力为零，是因为电子是均匀分布的 C．α粒子和电子碰撞损失能量极少，可忽略不计 D．电子很小，α粒子碰撞不到电子 3、卢瑟福通过_______________实验，发现了原子中间有一个很小的核，并由此提出了原子的核式结构模型，平面示意图中的四条线表示α粒子运动的可能轨迹，在图中完成中间两条α粒子的运动轨迹． 4．一个氢原子中的电子从一半径为r a的轨道自发地直接跃迁至另一半径为r b的轨道，已知r a>r b，则在此过程中（） A．原子发出一系列频率的光子 B．原子要吸收一系列频率的光子 C．原子要吸收某一频率的光子 D．原子要辐射某一频率的光子 参考答案： 1．ACD 2．C 3 ．4．D 课堂主体参与（教案） 【学习目标】 1、知道并理解原子核式结构模型，了解科学家探究原子结构的过程
高中物理第一章带电粒子在电场中的运动教案
9 带电粒子在电场中的运动 本节分析 在前面学习静电场性质的基础上，本节学习处理带电粒子在电场中运动的问题．本节内容主要培养学生综合应用力学知识和电学知识的能力．内容由“带电粒子的加速”“带电粒子的偏转”“示波管的原理”三部分组成．这样安排学习内容梯度十分明显，也符合学生的认知规律．由于力学与电学的综合程度逐渐提高，学生学习出现一些困难也属正常现象．教师应该帮助学生铺设合理的台阶，逐步提高他们的综合分析能力． 教材是通过例题的形式来研究带电粒子的加速和偏转问题的．这样的处理可以避免出现“加速度公式、位移公式、速度公式、偏转角公式”等，因为记忆这些公式不仅加重学生负担,更会严重冲击学生研究问题时的物理意识． 示波管原理部分不仅对力学、电学知识的综合能力的要求较高，而且要求有一定的空间想象能力．为此,教材第36页“思考与讨论”栏目中设计了四个问题，实际上是设置了四个台阶．教学中要循序渐进，给学生足够的思考空间． 教材中带电粒子做匀加速运动，但没有用匀加速运动的公式来处理，而是用动能定理来处理．这是因为在电场中应用动能定理有
特别的优越性（静电力做功与路径无关)． 学情分析 1．学生处理带电粒子在电场中运动的问题时,常常因“重力是否可以忽略”这一问题感到迷茫．教师处理这个问题时，要给学生总结归纳． 2．带电粒子的偏转 教材给出了电子垂直电场线方向射入匀强电场的情景．由于静电力方向与电子的初速度方向垂直,且静电力是恒力,所以学生可以据此判定电子只能做匀变速曲线运动，进而思考，用什么样的方法分析处理此类曲线运动的问题． 3．示波管的原理 学生没有根据沙摆实验得到振动曲线的基础，且本节也不宜用三角函数引入,因而本部分内容的学习难度较大，所以应该根据控制变量的思想逐步推进． 教学目标 错误!知识与技能 (1）学习运用静电力、电场强度等概念研究带电粒子在电场中运动时的加速度、速度和位移等物理量的变化．
量子力学补充习题
量子力学补充习题集 物理系理论物理教研室 2010年3月
第一章 量子力学的实验基础 1-1 求证：﹙1﹚当波长较短(频率较高)。温度较低时，普朗克公式简化为维恩公式；﹙2﹚当波长较长(频率较低)，温度较高时，普朗克公式简化为瑞利—金斯公式。 1-2 单位时间内太阳辐射到地球上每单位面积的能量为1324J.m -2 .s -1 ，假设太阳平均辐射波长是5500A ，问这相当于多少光子？ 1-3 一个质点弹性系统，质量m=1.0kg ，弹性系数k=20N.m -1 。这系统的振幅为0.01m 。若此系统遵从普朗克量子化条件，问量子数n 为何？若n 变为n +1，则能量改变的百分比有多大？ 1-4 用波长为2790A 和2450A 的光照射某金属的表面，遏止电势差分别为0.66v 与1.26v 。设电子电荷及光速均已知，试确定普朗克常数的数值和此金属的脱出功。 1-5 从铝中移出一个电子需要4.2ev 能量，今有波长为2000A 的光投射到铝表面，试问：（1）由此发射出来的 光电子的最大动能是多少？（2）铝的红限波长是多少？ 1-6 康普顿实验得到，当x 光被氢元素中的电子散射后，其波长要发生改变，令λ为x 光原来的波长，λ'为散射后的波长。试用光量子假说推出其波长改变量与散射角的关系为2 sin 42θ πλλλmc =-'=∆ 其中m 为电子质量，θ为散射光子动量与入射方向的夹角（散射角） 1-7 根据相对论，能量守恒定律及动量守恒定律，讨论光子与电子之间的碰撞：（1）证明处于静止的自由电子是不能吸收光子的；（2）证明处于运动状态的自由电子也是不能吸收光子的。 1-8 能量为15ev 的光子被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子吸收而形成一光电子。问此光电子远离质子时的速度为多大？它的德布罗意波长是多少？ 1-9 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化光子的波长最大是多少？ 1-10 试证明在椭圆轨道情况下，德布罗意波长在电子轨道上波长的数目等于整数。 1-11 讨论受热He 原子束为简单立方晶格（2= d Å）所衍射。在什么温度下He 原子的衍射才是明显的。 第二章 波函数和薛定谔方程 2-1 设粒子的波函数为),,(z y x ψ，求在（dx x x +,）范围内发现粒子的几率。 2-2 设在球坐标系中粒子的波函数可表为：),,(ϕθγψ。试表出在球壳（γγγd +,）中找到粒子的几率。 2-3 沿直线运动的粒子的波函数2 11)(ix ix x ++=ψ。（1）试将ψ归一化。（2）画出几率分布曲线。（3）在何处最易 发现粒子，而该处的几率密度为何？
第六章中心力场习题
一． 选择题 37.氢原子的能级为D A.- 222 2e n s μ.B.-μ22222e n s .C.24 2n e s μ -. D. -μe n s 4222 . 38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为B A.r r R nl )(2 . B.22 )(r r R nl . C.rdr r R nl )(2 . D. dr r r R nl 2 2 )(. 39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为D A.),(ϕθlm Y . B. 2 ),(ϕθlm Y . C. Ωd Y lm ),(ϕθ. D. Ωd Y lm 2 ),(ϕθ. 40.波函数ψ和φ是平方可积函数,则力学量算符 F 为厄密算符的定义是C A.ψ φτφψτ * ** F d F d =⎰⎰ . B.ψ φτφψτ * * ( )F d F d =⎰⎰ . C.( ) **F d F d ψφτψφτ=⎰⎰. D. ***F d F d ψφτψφτ=⎰ ⎰. 41. F 和 G 是厄密算符,则D A. FG 必为厄密算符. B. FG GF -必为厄密算符. C.i FG GF ( )+必为厄密算符. D. i FG GF ( )-必为厄密算符. 42.已知算符 x x =和 p i x x =- ∂ ∂,则A A. x 和 p x 都是厄密算符. B. xp x 必是厄密算符. C. xp p x x x +必是厄密算符. D. xp p x x x -必是厄密算符. 43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为B A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 44.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数)A A.1212/()/π . B.12/()π . C.1232 /()/π . D.122 /()π 45.角动量Z 分量的归一化本征函数为C A.1 2πϕ exp() im . B. ) ex p(21r k i ⋅π . C. 1 2πϕexp()im . D. )ex p(21 r k i ⋅π. 46.波函数)ex p()(cos )1(),(ϕθϕθim P N Y m l lm m lm -= C A. 是 L 2的本征函数,不是 L z 的本征函数. B.不是 L 2的本征函数,是 L z 的本征函数.