量子力学作业习题
量子力学作业习题
第一章量子力学作业习题
[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明：
( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；
( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；
( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射．
[2] 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计：
( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）
经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂
[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，
( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0
介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．
[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．
( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；散射．
[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器
能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释．
( 1 ) A 缝开启，B缝关闭；
( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭；
( 3 ）两缝均开启．
[6]验算三个系数数值：（1
2
；（3）hc
第二章波函数与Schr ?dinger 方程
[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221
)(x m x V ω=
]
[2] 一维运动的粒子处在
<≥=-0,
00,
)(x x Axe x x 当当λψ
的状态，其中0>λ，求：
（1）粒子动量的几率分布函数；
（2）粒子动量的平均值。
[3] 平面转子的转动惯量为I ,求能量允许值
[4]. 有一带电荷e 质量m 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.
[5] 对高速运动的粒子(静质量m )的能量和动量由下式给出
2
22
1c v mc E -=
(1) 2
22
1c v mv p -=
(2)
试根据哈密顿量
2
242p c c m E H +== (3)
及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.
[6]. （1）试用Fermat 最小光程原理导出光的折射定律
α
α2211
sin sin n n = （2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：
如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理?=0
pdl δ 认为mv p =则?=0pdl δ
这将导得下
述折射定律
α
α13
3
1
sin sin n n =
这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：2c Ev
p =
仍就成立，E 是粒子能量，从一种
媒质到另一种媒质E 仍不变，仍有
=0
pdl δ，你怎样解决矛盾？
[7]. 当势能)(r V 改变一常量C 时,即c r V r V +→)()(
,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否?
[8]. 试证粒子势能的极小值是
>E n
V min
[9]. 设1ψ与2ψ是薛定谔方程式两个解，证明
τ
ψψ3
21*),(),(dx
t x t x
与时间无关。
[10]. 考虑单粒子的薛定谔方程式：
)
,()]()([),(2),(2122t x x iV x V t x m t x t i
ψψψ++?-=??
V 1，V 2为实函数，证明粒子的几率不守恒。求出在空间体积Ω内，粒子几率“丧失”或“增加”的速率。
[11]. 对于一维自由运动粒子，设)()0,(x x δψ=求2
)
,(t x ψ。
[12]. 证明从单粒子的薛定谔方程式得出的速度场是非旋的，即
()ρ /0j v v ==?? ψψ=*
ρ
第三章一维定态问题
[1]. 对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明
2
a
x=）
（
）
（
2
2
2
26
1
12π
n
a
x
x-
=
-
并证明当∞
→
n时上述结果与经典结论一致。
[2]. 试求在不对称势力阱中粒子的能级。
[3]. 设质量为ｍ的粒子在下述势阱中运动：∞
()0
()=
x
V
2
2
2
1
mω()0>x
求粒子的能级。
[4]. 考虑粒子
()0
〈
E在下列势阱壁（ｘ＝０）处的反射系数
[5]. 试证明对于任意势垒，粒子的反射系数Ｔ满足Ｒ＋Ｔ＝１。
[6]. 设在一维无限深势阱中运动的粒子的状态用：
()
a
x
a
x
a
x
π
π
2
cos
sin
4
=
ψ
描述，求粒子能量的可能植及相应的几率。
[7]. 设一谐振子处于基态，求它的
()2
2p
x?
，
（并验证测不准关系：
[8]. 设粒子处于无限深势阱中，状态用波函数
)
(
)
(x
a
Ax
x-
=
ψ
描述，
5
30
a
A=
是归一化常数，求（1）粒子取不同能量几率分布。（2）能量平均值及涨落。
[9]. 一维无限深势阱中求处于
)
(x
n
ψ
态的粒子的动量分布几率密度
2
)
(p
。
[10]. 写出动量表象中谐振子的薛定谔方程式，并求出动量几率分布
[11]. 一维谐振子处在基态
t
i
x
e
xω
α
π
α
ψ2
2
2
2
)
(-
-
=
，求：
(1)势能的平均值
2
2
2
1
x
Uμω
=
；
(2)动能的平均值
μ2
2
p
T=
；
(3)动量的几率分布函数。
[12]. 氢原子处在基态
/
3
1
)
,
,(a r
e
a
r-
=
π
θ
ψ
，求：
(1)r的平均值；
(2)势能r e 2-
的平均值；
(3)最可几半径； (4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。
[13]. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是
==θe er J J 2
sin m
n e r m e J ψθμ?=
[14]. 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是
I L H 22
=
，L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：
(1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动： [15]. 设t=0时，粒子的状态为
]
cos [sin )(212kx kx A x +=ψ
求此时粒子的平均动量和平均动能。 [16]. 一维运动粒子的状态是
<≥=-0 ,0 0 ,)(x x Axe x x 当当λψ 其中0>λ，求：
(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。
第四章力学量和表象变化
[1]指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
① 2224dx d x ；② []2 ；③ ∑=n
K 1
[2] 指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。
2
24 dx d dx d i dx
d ，， [3] 下列函数哪些是算符2
2
dx d 的本征函数，其本征值是什么？
①2
x ，② x
e ，③x sin ，④x cos 3，⑤x x cos sin +
[4] 试求算符
dx d ie F
ix -=?的本征函数。 [5] 设波函数x x sin )(=ψ，求?
][])[(
2=-dx d
x x dx d ψ
[6] 证明：如果算符A ?和B ?都是厄米的，那么(A ?+B ?
)也是厄米的。
[7] 问下列算符是否是厄米算符：①x p x
；②)(21x p p x x x +。
[8] 如果算符βα??、满足关系式1=-αββα，求证
①βαββα?222=-②233?3βαββα=- [9] 求 =-x x x x L P P L ； =-y x x y L P P L ； =-z x x z L P P L
[10] 设[])(,,q f ih p q =是q 的可微函数，证明下述各式：
（1）[
]
.2)(,2
hipf q f p q =（2）)(])(,[pf fq ih p q pf q +=（3）ihfp p q f q 2])(,[2
=
（4）
i f p i h q f p p 22)](,[=
（5）p pf i h p q pf p i =])(,[（6）22])(,[p f i h
p q f p i =
[11] 证明以下诸式成立： (1) (2)
(3)
22[(*)(*)]x x l x xl ih r x i r -=- (4) 22{(*)(*)}x x x x l p p l ih p l l p -=-
[12]l
为粒子角动量。F 为另一力学量，证明：
)(],[p F p r F r hi F l ??*+??*-= 其中r ??
表示空间坐标的梯度，p ??表示动量空间的梯度。
[13] 设算符A ，B 与它们的对易式[A ，B]都对易。证明 (1) (2)
[14] 证明
[15] 证明是厄密算符
[16] 证 (A 等是实数)是厄密算符
[17] 证明2?n m m n nm n m p x x p A +∑-（nm A 实数）是厄密算符。
[18]证明，若
当
大时并不趋于0，则
不一定
是厄密算符。
[19] 证明其中A(p,q),B(p,q)是正则动量和坐标的函数，上式左方是相应的算符。{A,B}是经典力学中的poisson 括弧在多变量情形i=1,2,3......i 自由度
[20] 设F(x ，p)是xk ，pk 的整函数，证明：
k k x F i F p ??=
],[ ⑴ ; k k p F
i p F ??=
],[ ⑵
整函数是指n
i
m k mn
ki mn ki p x C p x F ∑∑=123
],[，mn
ki
C 是数值系数
第五章力学量随时间的演化与对称性
[1]. 证明力学量A ?
（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为：
]?],?,?[[22
2
H H A A dt d -= （H
是哈密顿量）[2]. 证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。
[3]. 设粒子的哈密顿量为)(2??2r V p H +=μ。
（）证明V
r p p r dt d ??-=? μ/)(2。
（）证明：对于定态 V r T ??=2
[4]. 证明，对于一维波包：
)
(1
2px xp x dt d +=μ
[5]. 求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。 [6]. 求海森伯表象中中谐振子的坐标与动量算符。[7]. 多粒子系若不受外力，则其哈密顿算符可表成：
/][/?21?,2j j
i j
i i i i i r r V p m H
-+=∑∑< ⑴
证明：总动量
∑=i
i
p p ?? 为守恒。⑵
[8]. 多粒子系如所受外力矩为0，则总动量∑=i
l L ??
为守恒。
[9]. 证明：对经典力学体系，若A ，B 为守恒量，则{A ，B}即泊松括号也为守恒量，但不一定是新的守恒
量，对于量子体系若A ?
，B
是守恒量，则}?,?{B A 也是守恒量，但不一定是新的守恒量。
[10]. 对于平面转子（转动惯量I ），设：
ψ2si n )0,(A = （1）试求),(t ?ψ
[11]. 证明周期场中的Bloch 波函数 )
()(x e x k ikx Φ=ψ ，
)
()(x a x k k Φ=+Φ
是)(?a D x 的本征函数，相应的本征值是ika e 。
第六章中心立场
[1] 质量分别为 m 1,m 2
的两个粒子组成的体系，质心座标R 及相对坐标r
为：
R =212
211m m r m r m ++
(1) ；r 12r r r -= (2) 试求总动量21p p P +=及总角动量21l l L +=在R , r 表象中的算符表示。
[2] 证明r r r ??+=?1],[212 ，?
=?],[212r
[3] 中心力场)(r V 中的经典粒子的哈密顿量是
)
(222
2r V mr l
m p H r
++=其中p r r p r ?=1^。
当过渡到量子力学时，r p 要换为
)
1(]11[21^
r r i r r p p r r p r +??-=?+?= 问p r r r i ?=??-1是否厄米算符？
r p ^
是否厄米算符。
[4] 经典力学中
22222)()(p r p r p r l ?-?=?=
在量子力学中此式是否成立？在什么条件下此式成立？
[5] 求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式。利用所得结果，计算
2x
p 。用x 表象中的氢原子波函
数计算2
x ,并验证测不准关系式。
[6] 在动量表象中写出氢原子的能量本征方程式，并证明角动量的各个分量均为守恒量。
[7] 设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区（E —V ）=T 〈0 〉的几率。 [8] 证明，对于库仑场E V 2=，E T -=（V T E ==是总能量）
[9] 对于氢原子的，计算?+=dr
r R r r nl 22]()[λλ 2,1±±=λ
[10] 根据氢原子光谱理论，讨论（1）“电子偶素”（指e+—e-的束缚态）的能级。（2）μ介原子的能谱。（3）μ介子素（指μ+-e-束缚态）的能谱。
[11] 在（x l l ??2）表象中，1=l 的子空间是几维？求x l ?在此子空间的矩阵表示式，再利用矩阵形式求出x
l ?本征值及征矢。
[12] 证明)
,(),(),(),(1
1*
l n Y Y
lm m m lm
由此证明地无关与常数?θ?θ?θ=∑=-=能级上满布电子的情况下，
电荷分布是各向同性的。
[13] 证明一个球方势阱(半径a,深度V0)恰好具有一条l ≠0的能级的条件是：V0与a 应满足
0)2(
12
=-a V jl μ
[14] 采用平面极座标，求出轴对称谐振子势场中，粒子能量的本征值本征函数，读者讨论简并度。
[15] 设粒子在无限长的园简内运动，简半径是a ，求粒子的能量。
[16] 粒子在半径为a ，高为h 的圆筒中运动，在筒内粒子是自由的，在筒壁及筒外势能是无限，求粒子能量的本征值。
[17] 设
)0()(2>+-
=A a r A
r a r V 和，求粒子的能量本征值。
第七章粒子在电磁场中的运动 [1]. 证明在磁场B
中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系：
[]
z
y x c q i v v B ?,2μ
= （1）
[]
x
z y
c q i v v
B ?,2μ
= （2）
[]y
x z c q i v v B ?
,2μ =
（3）
[2] 利用上述对易式，求出均匀磁场中，带电粒子能量的本征值（取磁场方向为Z 轴方向） [3]. 证明在规范变换下
ψψρ*= （1） []
ψ
ψμψψψψμ***--=A c q p p j ??21 （2）
-=A c q p v ?μ （机械动量的平均值）都不变（3） [4] 若采用柱座标系，求解均匀磁场中带电粒子的能量本征值。 [5] 设带电粒子相互的均匀电场E 和均匀磁场B
中运动，求其能谱及波函数（取磁场方向为z 轴，电场方向为x 轴方向）
[6] 设带电粒子在均匀磁场B 及三维各向同性谐振子场
2
2
021)(r r V μω=
中运动，求能谱公式。
第八章：自旋
[1]在
x σ?表象中，求x σ?的本征态
[2]在z σ表象中，求n ?σ的本征态，
)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θn 是),(?θ方向的单位矢。 [3]在自旋态下
=01)(21z s χ，求2
x s ?和2y s ?
[4] 一个具有两个电子的原子，处于自旋单态（s=0）。证明自旋轨道耦合作用s )(γξ。L 对能量无贡献。 [5] 自旋为s 的两个粒子所具有的，对称和反对称的自旋波函数各有几个？
23,21=
=s s 情况下，对称和反对称自旋态各有几个？
[6]证明，σσσ ?=?a i a 2],[，a 是与σ 对易的矢量算符。
[7]证明：（1）ασ
αασ
Sin i Cos e
j j i ??+= （ z y,x,j =）
（2）θθσθθσ
Sin i Cos e
i +=?
其中
θ
θ =
θθθ
=?
θ
矢量与σ对易, θ表示θ方向的单位矢量。
[8]证明σσσσσ ?=?-=-?A i A A A A )()(, A 是与σ 对易的任何矢量算符。
[9]设θσ ?-=2
i e U 证明：（θ?是沿矢量θ
方向的单位矢量）
（1）1?
=+U U （1）
（2）
θσθθθσθθθσσsin ?cos ?)?(?)?(?? ?+??+?=+U U （2）
[10]证明不存在非0的二维矩阵，能和三个泡利矩阵都反对易，即设
0??=+A A σσ 则0?=A
[11]证明找不到一种表象，在其中（1）三个泡利矩阵均为实矩阵或（2）二个是纯虚矩阵，另一个为实矩
阵。
[12]求证与三个泡利矩阵都对易的2×2矩阵，只能是常数矩阵。
第九章力学量本征值的代数解法
[1]. 设非简谐振子的哈密顿量为：
2202
22212?x dx d H μωμ+-= （β为常数）
取 220220212?x dx d h H μωμ+-= ，2
x H β='，试用定态微扰论求其能量及能量本征函数。
[2]. 一维无限深势阱（a x <<0）中的粒子受到微扰：
<<-<<=)
0()
1(2)
20(2)(/
a x a x
a
x a x x H λλ
的作用，求基态能量的一级修正。
[3]. 一维谐振子的哈密顿为
2
2
220212-Kx dx d H +=μ
假设它处在基态，若在加上一个弹性力作用H ’=1/2 bx 2，试用微扰论计算H’对能量的一级修正，并与严格解比较。
[4]. 设有自由粒子在长度为L 的一维区域中运动，波函数满足周期性边界条件
)
2()2
(L L ψψ=-
波函数的形式可选作：
kx L k cos 2)0(=
ψ， kx L sin 2
)0(=-ψ
但),2,1,0(2 ==n L n k π。设粒子还受到一个陷阱作用，2
20)('a
x e V x H --=，a<<="">
算能量一级修正。
[5]. 在一维无限深势阱
<>∞<<=)0()
0(0)(x a x a x x V 中运动的粒子，受到微扰'H 的作用
讨论粒子在空间几率分布的改变。
<<<<-=)2()20()('a x a
b a x b x H
[6]. 类氢离子中，电子与原子核的库仑作用为：
r Ze r V 2)(-
= [Ze 为核电荷] 当核电荷增加e[Z Z+1]，互相作用能增加
r Ze H 2
量子力学作业习题
第一章量子力学作业习题 [1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅； ( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率； ( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射． [2] 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ） 经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂 [3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内， ( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0 介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命． [4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由． ( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；散射． [5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器 能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释． ( 1 ) A 缝开启，B缝关闭； ( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭； ( 3 ）两缝均开启． [6]验算三个系数数值：（1 2 ；（3）hc
量子力学练习题
量子力学练习题 1．要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV ． (B) 3.4 eV ． (C) 10.2 eV ． (D) 13.6 eV ． ［ ］ 2．要使处于基态的氢原子受激后可辐射出可见光谱线，最少应供给氢原子的能量为 (A) 12.09 eV ． (B) 10.20 eV ． (C) 1.89 eV ． (D) 1.51 eV ． ［ ］ 3．已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： a x a x 23cos 1)(π?=ψ, ( - a ≤x ≤a ) 那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a )． (B) 1/a ． (C) a 2/1 (D) a /1 ． ［ ］ 4．设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ ［ ］ 5．波长λ =5000 ?的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量?λ =10-3 ?，则利用不确定关系式h x p x ≥??可得光子的x 坐标的不确定量至少为 (A) 25 cm ． (B) 50 cm ． (C) 250 cm ． (D) 500 cm ． ［ ］ 6．下列各组量子数中，哪一组可以描述原子中电子的状态？ (A) n = 2，l = 2，m l = 0，2 1=s m ． (B) n = 3，l = 1，m l =-1，2 1-=s m ． (C) n = 1，l = 2，m l = 1，2 1=s m ． (D) n = 1，l = 0，m l = 1，2 1-=s m ． ［ ］ 7．在原子的L 壳层中，电子可能具有的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )是 (1) (2，0，1，21)． (2) (2，1，0，2 1-)． (3) (2，1，1，21)． (4) (2，1，-1，2 1-)． 以上四种取值中，哪些是正确的？ (A) 只有(1)、(2)是正确的． (B) 只有(2)、(3)是正确的． (C) 只有(2)、(3)、(4)是正确的． (D) 全部是正确的． ［ ］ 8．已知某金属的逸出功为A ，用频率为ν1的光照射该金属能产生光电效应，则该金属的红限频率ν0 =___________，ν1 > ν0，且遏止电势差|U a | =__________________． 9．分别以频率为ν1和ν2的单色光照射某一光电管．若ν1 >ν2 (均大于红限频率ν0)，则当两种频率的入射光的光强相同时，所产生的光电子的最大初动能E 1____ E 2；所产生的饱和光电流I s1____ x (A)x (B)x (C)x (D)
量子力学经典练习题及答案解析
1.设氢原子处于基态030,1),,(0a e a r a r -= πϕθψ为Bohr 半径，求电子径向概率密 度最大的位置（最概然半径）。 解 22)()(r r R r w nl nl ⋅= 230 10021)(r e a r w a r ⋅=-π ⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧+⋅-=--0202221203010a r a r re r e a a dr dw π 01120300 2=⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧+-=-r a re a a r π 由此得 0=r ， ∞→r ， 0a r = 2. 验证ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =是2ˆL 和z L ˆ的共同本征函数，并指出相应的本征值。 ( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1)(sin sin 1ˆϕθθθθ θ L ) 解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1)(sin sin 1ˆϕθθθθ θ L 将2ˆL 作用于所给函数上，得 ϕθϕθθθθθ332222 sin )(sin 1)(sin sin 1i e r f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂- ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡-∂∂-=ϕϕθθθθθθ332332sin )(sin 9cos sin )(sin 3i i e r f e r f ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡---=ϕϕθθθθθθ33222232sin )(sin 9)sin cos sin 3()(sin 3i i e r f e r f [] ϕϕθθθ332232sin )(3sin )1(cos )(9i i e r f e r f +⋅--=
ϕϕθθ332332sin )(3sin )(9i i e r f e r f += ϕθ332sin )(12i e r f = 上式满足本征方程ψψ22ˆL L =，可见θϕθψ3sin )(),,(r f r =ϕ3i e 是2ˆL 的本征函数，本征值为212 。 又ϕ ∂∂=i L z ˆ，将z L ˆ作用于所给函数上，得 ϕϕθθϕ33333sin )(sin )(i i ie r f i e r f i ⋅=∂∂ ϕθ33sin )(3i e r f ⋅= 可见满足本征方程ψψz L L =2ˆ，故ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =是z L ˆ的本征函数，本征值为 3。 3. 如果1ˆL 和2ˆL 是线性算符，证明它们的和1 ˆL +2ˆL 及解 解根据线性算符的定义 22112211ˆˆ)(ˆψψψψL C L C C C L +=+ 设1 ˆL 、2ˆL 是线性算符，则 ))(ˆˆ(2 21121ψψC C L L ++ )(ˆ)(ˆ2 211222111ψψψψC C L C C L +++= （分配律） )ˆˆˆˆ222121212111ψψψψL C L C L C L C +++= （定义） 2 2121211)ˆˆ()ˆˆ(ψψL L C L L C +++= （分配律） 显然，1ˆL +2ˆL 满足线性算符的定义，故1 ˆL +2ˆL 是线性算符。 )](ˆ[ˆ)(ˆˆ221121221121ψψψψC C L L C C L L +=+ （结合律） )ˆˆ(ˆ2221211ψψL C L C L += （定义） 22121211ˆˆˆˆψψL L C L L C += （定义） 显然，1ˆL 2ˆL 满足线性算符的定义，故1 ˆL 2ˆL 是线性算符。 积1 ˆL 2ˆL 也是线性算符。
量子力学练习题
量子力学练习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
一. 填空题 1．量子力学的最早创始人是 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设，解决了 的问题。 2．按照德布罗意公式 ，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为 λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。 3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量 E=kT 23 （k 为玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。 4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能量E n = ，相应的波函数 =)(x n ψ()a x a x n a n <<= 0sin 2πψ和 。 5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E= eV eV 51.13 6 .132-=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。 6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ?，当它们是玻色子时波函数为 ),(21q q s ψ= ；玻色体系 为费米子时 =),(21q q A ψ ；费米体系 7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是 E n =() () +-'+'+∑≠0 020m n n m mn mn n E E H H E ， )(x n ψ = () ) () +-'+∑≠000 2 0m m n n m mn n E E H ψψ， 其中微扰矩阵元 'mn H =()() ?'τψψd H n m 00?； 而 'nn H 表示的物理意义是 。该方法的适用条 件是 本征值， 。
量子力学习题与及解答
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -⋅ =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-⋅=⋅=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86' =⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛ -⋅+--⋅=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ⇒ 011 5=-⋅+--kT hc e kT hc λλ ⇒ kT hc e kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有
xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ⋅⨯=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ nm m m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.12296 6 2=⨯=⨯⨯⨯⨯= ==--μμ 在这里，利用了 m eV hc ⋅⨯=-61024.1 以及 eV c e 621051.0⨯=μ 最后，对 E c hc e 2 2μλ= 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。 1．3 氦原子的动能是kT E 2 3 = （k 为玻耳兹曼常数） ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波
量子力学习题
量子物理 一、选择题 1. 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金属的逸出电势是U 0 (使电子从金属逸出需作功eU 0)，则此单色光的波长λ必须满足： [ A ] (A) 0eU hc ≤ λ (B) 0 eU hc ≥λ (C) hc eU 0≤λ (D) hc eU 0≥λ 解：红限频率与红限波长满足关系式hv 0= λhc =eU 0，即0 0eU hc = λ 0λλ≤才能发生光电效应，所以λ必须满足0 eU hc ≤ λ 2. 在X 射线散射实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则入射光光子能量0ε与散射光光子能量ε之比ε0 为 [ B ] (A) 0.8 (B) 1.2 (C) 1.6 (D) 2.0 解： λ εhc = ，0 0λεhc = ，02.1λλ= ，所以 2.10 0==λλεε 3. 以下一些材料的功函数(逸出功)为 铍 -----3.9 eV 钯 ---- 5.0 eV 铯 ---- 1.9 eV 钨 ---- 4.5 eV 今要制造能在可见光(频率范围为3.9×1014 Hz ~ 7.5×1014Hz)下工作的光电管，在这些材料中应选 [ C ] (A) 钨 (B) 钯 (C) 铯 (D) 铍 解：可见光的频率应大于金属材料的红限频率0νh , 才会发生光电效应。这些金属的红限频率由A h =0ν可以得到： 1419 34 )(01086.101063.610 6.15.4?=???= --钨ν(Hz) 1419 34 )(01007.121063.610 6.10.5?=???= --钯ν(Hz) 1419 34 ) (01059.41063.610 6.19.1?=???= --铯ν(Hz) 1419 34 )(01041.91063.610 6.19.3?=???= --铍ν(Hz) 可见应选铯
量子力学课后习题
第一章 绪论 1. 在0K 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布洛意波长。 2. 氦原子的动能是32 E kT =（k 为玻耳兹曼常数），求T =1K 时，氦原子的德布洛意波长。 3. 利用玻尔-索末菲的量子化条件，求 （1） 一维谐振子的能量； （2） 在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 4. 两个光子在一定条件下可发转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 第二章 波函数和薛定谔方程 1. 证明在定态中，几率密度和几率流密度与时间无关。 2. 由下列两定态波函数计算几率流密度: （1）11ikr e r ψ=，（2）11ikr e r ψ-= 3. 求粒子在一维无限深势阱 中运动的能级和波函数。 4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是 5. 求一维线性谐振子处于第一激发态时几率最大的位置。 6. 试求算符ˆix d F ie dx =-的本征函数。 7. 如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函 数和能级的表达式。0,2 (),2 a x U x a x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪∞≥ ⎪⎩ ⎩⎨ ⎧≥≤∞<<=a x x a x x V 或0, 0,0)(a A 1='
第三章 量子力学中的力学量 1. 一维线性谐振子处于基态 ，求: （1）势能的平均值； （2）动能的平均值； （3）动量的几率分布函数。 2. 氢原子处于基态()0,,r a r ψθϕ-= ，求： （1）r 的平均值； （2）势能2 e r -的平均值； （3）最可几半径； （4）动能的平均值； （5）动量的几率分布函数。 3. 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是2 2L H I =，L 为 角动量。求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： （1）转子绕一固定轴转动； （2）转子绕一固定点转动。 4. 一维运动的粒子的状态是 ⎩⎨ ⎧=-0)(x Axe x λψ 00<≥x x 其中0>λ，求 （1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子的平均动量。 5. 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状 t i x e ωαπ αψ22102 2--= ) (x a Ax -=ψ
量子力学习题2
量子力学习题2 一、选择 1. 氢原子的能级为 A.- 22 22e n s μ.B.-μ22222e n s .C.2 4 2n e s μ -. D. -μe n s 4222 . 2. 在球坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为 A.r r R nl )(2. B.22)(r r R nl . C.rdr r R nl )(2. D.dr r r R nl 22 )(. 3. 在球坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为 A.),(ϕθlm Y . B. 2 ),(ϕθlm Y . C. Ωd Y lm ),(ϕθ. D. Ωd Y lm 2 ),(ϕθ. 4. 波函数ψ和φ是平方可积函数, 则力学量算符 F 为厄密算符的定义是 A.ψφτφψτ*** F d F d =⎰⎰. B.ψφτφψτ** ( )F d F d =⎰ ⎰. C.( ) **F d F d ψφτψφτ=⎰⎰. D. ***F d F d ψφτψφτ=⎰⎰. 5. F 和 G 是厄密算符,ˆˆ,0F G ⎡⎤≠⎣⎦ ,则 A. FG 必为厄密算符. B. FG GF -必为厄密算符. C.i FG GF ( )+必为厄密算符. D. i FG GF ( )-必为厄密算符. 6. 已知算符 x x =和 p i x x =- ∂ ∂,则 A. x 和 p x 都是厄密算符. B. xp x 必是厄密算符. C.()x p p x i x x ˆˆˆˆ+必是厄密算符. D. xp p x x x -必是厄密算符. 7. 自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为 A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 8. 二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数) A.1212/()/π . B.12/()π . C.1232/()/π . D.122/()π 9. 角动量Z 分量的归一化本征函数为 A. 1 2πϕ exp()im . B. )exp(21 r k i ⋅π. C.12πϕexp()im . D. )exp(21r k i ⋅π. 10. 波函数)exp()(cos )1(),(ϕθϕθim P N Y m l lm m lm -= A. 是 L 2的本征函数,不是 L z 的本征函数. B.不是 L 2的本征函数,是 L z 的本征函数.
量子力学作业习题
量子力学作业习题 第一章量子力学作业习题 [1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅； ( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率； ( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射． [2] 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ） 经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂 [3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内， ( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0 介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命． [4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由． ( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；散射． [5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器
第1章 量子力学基础-习题与答案
一、是非题 1. “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。对否 解：不对 2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。试用测不准关系判断该模型是否合理。 解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。 二、选择题 1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。正交性的数学表达式为 a ，归一性的 表达式为 b 。 () 0,() 1i i i i a d i j b ψψτψψ** =≠=⎰⎰ 2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E ) (A) dx d (B) ∇2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分 3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D ) (A) x ˆ 和 y ˆ (B) x ∂∂ 和y ∂∂ (C) ˆx p 和x ˆ (D) ˆx p 和y ˆ 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx (C) e -ikx (D) 2 e kx - (1) 哪些是 dx d 的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22 dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C ) (3) 哪些是22dx d 和dx d 的共同本征函数。------------------------------ (B, C ) 5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ） (A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大 6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）
量子力学练习题
1、 若?F 、?G 均为厄米算符，则??F G 也为厄米算符 （） 2、 不同定态的线性叠加还是定态 （） 3、 若?A 与?B 对易，且?B 与?C 对易，则必有?A 与?C 对易 （） 4、 若两力学量算符?F 与?G 对易，则在任意态中，它们都有确定的值 （） 5、 所谓全同粒子就是指所有性质均相同的粒子 （） 6、 归一化波函数的模方2|(,)|r t ψ 表示时刻，r 处粒子出现的概率 （） 7. 设为()n x ψ一维线性谐振子的归一化波函数，则有 *?()()n n x p x dx ∞ -∞ ψψ=? ；* 1?()()n n x p x dx ∞ +-∞ ψψ=? 8、 称为隧道效应； 9、在2?L 和?z L 的共同本征态lm Y 中，22??x y L L ???= 10、氢原子处于0 32 32020(,)r a A r e Y θ?-ψ=态，则其最可几半径r = 11、 Planck 的量子假说揭示了微观粒子能量的 特性。 12. 两个角动量11j =、212 j = 耦合的总角动量J = 和 13. 量子力学几率守恒定律的微分形式和积分形式分别为 14. 本征值方程的特点是什么？ 15. 全同性原理是 16. 已知?d F x dx + =+，?d F x dx - =-，求??[,]?F F +- = 17. 求??[,()]?x f p = 18. 如果电子的质量、电荷和加速电压分别为m 、-e 、U ，则其德布罗意波长。 19.若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加Ψ= C 1Ψ1 + C 2Ψ2 + ...+ C n Ψn + ... (其中 C 1 , C 2 ,...,C n ,...为复常数)也是体系的一个可能状态。（ ） 20.设氢原子处于态 求氢原子的能量、角动量平方、角动量z 分量取值的情况和相应的概率P 以及各力学量 的平均值。 ()()()()()1101111,,,,22 r R r Y R r Y ψθ?θ?θ?-=-22
量子力学作业参考答案(刘觉平)
习题一 1. 计算下列情况的Einstein-de Broglie 波长，指出哪种过程要用量子力学处理： （1）能量为0.025eV 的慢中子 24 n 1.6710g m -=?（）被铀吸收； （2）能量为5MeV 的α粒子穿过原子246.6410g m α-=?（）； （3）飞行速度为100m /s 质量40g 为的子弹的运动。 解：（1）由24 2220m c p c E += 注意到：2851.503109.3810n m c J Mev -=?=?>>0.025ev 得20 2k p E m = 利用Einstein-de Broglie 关系 h p λ = 得：0.181nm λ= 而吸收过程中作用距离（即核半径）约为飞米量级，比0.181nm 小，因此要用量子力学处理。 （2）由242220m c p c E += 注意到：2855.97610 3.7310m c J Mev α-=?=?>> 6.4fm λ= 得h εν= 利用Einstein-de Broglie 关系 h p λ = 得： 6.4fm λ= 这比原子半径小的多，因此不需用量子力学处理。 （3）显然子弹不是相对论的，故可利用p mv =。 代入Einstein-de Broglie 关系 h p λ = 得：341.6510m λ-=?，这比子弹的运动尺度小的多，不需用量子力学处理。 2. 两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对.如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 解：若会发生这种转化，由能量守恒的限制，两个光子的能量必须要大于正负电子对的静能即202 1.022e E m c Mev ==。 光子能量h εν=，得到min 2.42fm λ=。 3. 考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕。利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置。在下列各情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变
量子力学习题
一、 填空题 1．玻尔-索末菲的量子化条件为：pdq nh =?，（n=1,2,3,....)，其中p,q 分别表示力学系 统的广义坐标及其对应的广义动量，? 表示在坐标空间中沿闭合轨道积分一周期。 2．德布罗意关系为：h E h p k γωλ === =； 。 3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：21 2 mV h A υ=-，式中m 式电子的质量，V 是电子脱出金属表面后的速度，A 是电子脱出金属表面所需要做的功即脱出功。 4．波函数的统计解释：() 2 r t ψ ，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为 概率密度。这是量子力学的基本原理之一。波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。 5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。 6． ， 为单位矩阵，则算符 的本征值为：1± 。 7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。 8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。即 ()m n mn d d λλφφτδφφτδλλ**''==-??或 。 9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在() r t ψ ，所描写的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+范围内的几率。 10. i ； ?x i L ； 0。 11．如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则 _0__。 12．坐标和动量的测不准关系是： () () 2 2 2 4 x x p ??≥ 。 13．量子力学中的守恒量A 是指:?A 不显含时间而且与?H 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。 14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。
基本习题及答案_量子力学
量子力学习题
(一) 单项选择题 1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 A. 1.2A 0. B. 1.5A 0. C. 2.1A 0. D. 2.5A 0 . 2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是 A.1.3A 0. B. 0.9A 0. C. 0.5A 0. D. 1.8A 0 . 3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是 A.1.4A 0. B.1.9⨯1012 -A 0 . C.1.17⨯1012 -A 0. D. 2.0A 0. 4.温度T=1k 时，具有动能E k T B =3 2 (k B 为Boltzeman 常数) 的氦原子的 De Broglie 波长是 A.8A 0 . B. 5.6A 0 . C. 10A 0 . D. 12.6A 0 . 5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（ ,2,1,0=n ） A.E n n = ω. B.E n n =+()1 2 ω. C.E n n =+()1 ω. D.E n n =2 ω. 6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其De Broglie 波长是 A.5.2A 0 . B. 7.1A 0 . C. 8.4A 0 . D. 9.4A 0 . 7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500A 0 的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为 A. 0.25⨯1018-J. B. 1.25⨯1018-J. C. 0.25⨯1016-J. D. 1.25⨯1016-J. 8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为 A. 2μc . B. 22 μc . C. 2 2 2μc . D. 2 2μc . https://www.docsj.com/doc/5219338872.html,pton 效应证实了 A.电子具有波动性. B. 光具有波动性. C.光具有粒子性. D. 电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了 A. 电子具有波动性. B.光具有波动性.
量子力学习题
量子力学试题 1. 1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量p 的自由粒子，满足德布洛意关系：_____________________________ 2. 假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长：_____________________________ 3. 计算1K 时，60C 团簇（由60个C 原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长_____________________________ 4. 计算对易式)](,ˆ[x f p x 和)]ˆ(,[x p f x ，其中x p ˆ为动量算符的x 分量，)(x f 为坐标的x 函数. 5. 如果算符βα ˆˆ、满足关系式1ˆˆˆˆ=-αββα，求证 (1) βαββα ˆ2ˆˆˆˆ22=- (2) 233ˆ3ˆˆˆˆβαββα =- 6. 设波函数x x sin )(=ψ，求?][][( 22=ψ-dx d x x dx d ψ 7. 求角动量能量算符ϕ ∂∂ -= i L z ˆ的本证值和本征态 8. 试求算符dx d ie F ix -=ˆ的本征函数 9. 证明一维束缚定态方程的能量E 是非简并的 10. 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称 11. 一粒子在一维势场
⎪⎩ ⎪ ⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数 12. 设t=0时，粒子的状态为 ]cos [sin )(212kx kx A x +=ψ 求此时粒子的动量期望值和动能期望值 13. 一维运动粒子的状态是 ⎩ ⎨⎧<≥=-0 ,0 0 ,)(x x Axe x x 当当λψ 其中0>λ，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的动量期望值。 14. 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒 子的状态由波函数 )()(x a Ax x -=ψ 描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的期望值. 15.设粒子处于范围在],0[a 的一维无限深势阱中状态用函数 a x a x a x ππ2 cos sin 4)(= ψ，求粒子能量的可能测量值及相应的几率 16. 设氢原子处在0 3 1 ),,(a r e a r -=πφθψ的态（0a 为第一玻尔轨道半 径），求 (1) r 的平均值；(2)势能r e 2 - 的平均值 17. 质量为m 的一个粒子在边长为a 的立方盒子中运动，粒子所受
量子力学科恩课后习题答案
量子力学科恩课后习题答案 量子力学科恩课后习题答案 量子力学是现代物理学的重要分支，研究微观粒子的行为和性质。科恩是一位 著名的量子力学教授，他的课程内容深入浅出，为学生提供了丰富的知识和习题。本文将为读者解答一些量子力学科恩课后习题，帮助读者更好地理解量子 力学的概念和原理。 1. 习题：描述薛定谔方程的基本原理是什么？ 答案：薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了微观粒子的波函数随时间的 演化。薛定谔方程的基本原理是根据哈密顿量和波函数的关系，通过解薛定谔 方程得到粒子的波函数随时间的变化规律。薛定谔方程的一般形式为： iħ∂ψ/∂t = Hψ，其中i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，∂/∂t表示对时 间的偏导数，H是系统的哈密顿量。 2. 习题：什么是量子力学中的叠加态？ 答案：量子力学中的叠加态是指粒子处于多个可能的状态之间的叠加状态。根 据量子力学的叠加原理，一个粒子可以同时处于多个状态之间，直到被测量时 才会坍缩到其中一个确定的状态。叠加态可以用数学上的线性组合表示，例如：|ψ⟩= α|0⟩+ β|1⟩，其中|0⟩和|1⟩是两个可能的状态，α和β是复数系数。3. 习题：什么是量子纠缠？ 答案：量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在一种特殊的关联关系，无论它们 之间有多远，它们的状态仍然是相互依赖的。量子纠缠是量子力学的重要特性，它违背了经典物理学的局域性原理。例如，当两个纠缠态的粒子之间进行测量时，它们的结果是彼此相关的，无论它们之间的距离有多远。
4. 习题：什么是量子隧穿效应？ 答案：量子隧穿效应是指粒子在经典力学下无法通过势垒的情况下，通过量子力学的特性，在势垒中出现的概率。根据量子力学的波粒二象性，粒子不仅可以被视为粒子，还可以被视为波动。当粒子遇到势垒时，根据波动性质，它有一定的概率穿过势垒并出现在势垒的另一侧。这种现象在纳米技术和核物理学中具有重要应用。 5. 习题：什么是量子力学中的不确定性原理？ 答案：量子力学中的不确定性原理是由海森堡提出的，指出在某些物理量的测量中，无法同时准确测量这些物理量的取值。不确定性原理的数学表达为：ΔxΔp ≥ ħ/2，其中Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，ħ是约化普朗克常数。不确定性原理揭示了微观世界的固有不确定性和测量的局限性。 通过解答以上习题，我们可以更好地理解量子力学的基本原理和概念。量子力学是一门复杂而精密的学科，它为我们揭示了微观世界的奇妙和独特之处。希望读者通过对量子力学的学习和思考，能够深入理解其原理，并将其应用于实际问题的解决中。
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量子力学习题集 量子力学习题及答案 第一章黑体辐射，光的波粒二象性 1.什么是黑体？ （1）黑颜色的物体。 （2）完全吸收任何波长的外来辐射而无反射的物体。（3）完全吸收任何波长的外来辐射而无任何辐射的物体。（4）吸收比为1的物体。 （5）在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。 2.康普顿效应中入射光子的能量只有部分被电子吸收，这是否意味着光子在相互作用过程中是可分的？ 3.可以观察到可见光的康普顿效应吗？光电效应对入射光有截止频率的限制，康普顿效应对入射光有没有类似限制？ 4.光电效应中，对入射光有截止频率（红限）的限制是否必需？因为当一个电子同时吸收两个或几个频率低于截止频率的光子或电子可积累多次吸收光子的能量，则在任何频率光入射时都能形成光电流。 5.康普顿效应中作为散射体的电子是否一定是自由电子？光子被束缚电子散射时结果如何？
6.光电效应的爱因斯坦方程，在什么温度下才准确成立？第二章微观粒子的波粒二象性 1.德布罗意关系式是仅适用与基本粒子如电子、中子之类还是同样适用于具有内部结构的复合体系？ 2.粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短？二者之间是否有必然联系？ 3.关于粒子的波动性，某种看法认为：粒子运行轨迹是波动曲线，或其速度呈波动式变化，这种看法对不对？ 4.在电子衍射实验中，单个电子的落点是无规律的，而大量电子的散落则形成了衍射图样，这是否意味着单个粒子呈现粒子性，大量粒子集合呈现波动性？ 5.有人认为德布罗意波是粒子的疏密波，如同声波一样？这种看法对不对？ 6.波动性与粒子性是如何统一于同一客体之中的？物资在运动过程中是如何表现波粒二象性的？ 7.“电子是粒子，又是波”， “电子不是粒子，又是波”， “电子是粒子，不是波”， “电子是波，不是粒子”， 以上哪一种说法是正确的？ 8.以下说法是否正确？
量子力学初步-作业(含答案)
量子力学初步-作业(含答案) LT
3. 果计算此振子的量子数n ，并说明在此情况下振子的能量实际上可以看作是 连续变化的. （k =1.38×10-23 J·K -1，h =6.63×10-34 J·s ） 4. 一粒子被限制在相距为l 的两个不可穿透的壁之间，如图所示. 描写粒 子状态的波函数为()cx l x ψ=-，其中c 为待定常量. 求在0～13 l 区间发现该粒子的概率. 5. 威尔逊云室是一个充满过饱和蒸汽的容器。射入的高速电子使气体分子 或原子电离成离子。以离子为中心过饱和蒸汽凝结成小液滴，在强光照射下，可看到一条白亮的带状痕迹，即粒子的轨迹。径迹的线度是10-4 cm ，云室中的电子动能等于108 eV 。讨论威尔逊云室中的电子是否可以看成经典粒子? 6. 粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为 ()()()() 2,00,0,n n n x x x a a a x x x a πψψ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ =<> 试计算动量和动能的平均值. 7. 谐振子的归一化的波函数为()02311()()()32 x u x u x cu x ψ=++。其中，()n u x 是归一化的谐振子的定态波函数。求：c 和能量的可能取值，以及平均能量E 。 8. 氢原子的直径约10-10 m ，求原子中电子速度的不确定量。按照经典力学， 认为电子围绕原子核做圆周运动，它的速度是多少？结果说明什么问题？
答案 1. 粒子在t 时刻在(x , y , z )处出现的概率密度 单值、有限、连续 2 d d d 1x y z ψ=⎰⎰⎰ 2. 不变 3. a /6, a /2, 5a /6 4. 1.06×10-24 (或6.63×10-24或0.53×10-24或3.32×10-24) 参考解： 根据y y p ∆∆≥ （或y y p h ∆∆≥或12y y p ∆∆≥或12y y p h ∆∆≥），可得以上答案 5. 250 cm 6. 1λ 7. 微观粒子能量E 小于势垒U 0时，粒子有一定的几率贯穿势垒的现象 波动性 8. 222ma 9. nh ν （n =1, 2, ） 1 2n h ν⎛⎫+ ⎪⎝ ⎭ （n =0, 1, 2, ） 10. 12n E n h ν⎛⎫=+ ⎪⎝ ⎭ （n =0, 1, 2, ） 12h ν 11. 变小 变小 12. i x ∂-∂，222U m -∇+，i z x x z ∂∂⎛⎫-- ⎪∂∂⎝⎭ 13. i 14. 解：所谓归一化就是让找到粒子的概率在可能找到的所有区域内进行积分，
《量子力学》作业参考答案
《量子力学》作业参考答案 一 填空 1． 爱因斯坦，h ν或ω ，k n h P ==λ 2． Ψ=A ()Et r P i e -⋅ ,E h P h μλ2== 3. 归一化条件(⎰ =∙1τψψd )，相因子(δ i e ). 4. i ψψH t ˆ=∂∂ ,()()Et i e r t r -=ψψ,. ()()∑-=ψn t E i n n n e r C t r ψ, 5． 6, () 2,1,0±±=z L . 6． ()()() P P d r r P P '-=⎰∞ *' δτψψ， 1122 22 223 ==⎰⎰ ⎰⎰---* l l l l l l P P dz dy dx L d τψψ． 7．实物粒子也应该具有波动性．电子衍射 8．E=h ν=ω ,k n h P ==λ 9．波函数在空间各点的相对强度，强度的绝对大小。 10. i ψψH t ˆ=∂∂ , ψψE H =ˆ或()ψψψμ E r V =+∇-22 2 . 11． ()2 2 1 +=l l L , m L z =. 12．()()dr r r R dr r W nl nl 22 =，()()Ω=Ωd Y d W lm lm 2 ,,ϕθϕθ 13．C= () 2 3 21 π, C=2 3- L 14．()()dx x u x i x F x u F q q q q ⎰ '* '⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= ,ˆ, ()x x x i x F F x x '-⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∂∂='δ ,ˆ. 15．()()t i n mn n m mn e H t a dt t da i ω∑'= , ()⎰''='t t i mk m t d e H i t a mk 01ω , 16．mk ωω±=或ω ±=k m E E , ()ωωδπ±=-mk mk m k F w 2 22 , 或()ωδπ ±-= -k m mk m k E E F w 2 2 17．原子光谱线系的精细结构,塞曼效应, 斯特思-盖拉赫实验. 18． FS S 1 -， n λλλ+++ 21，