3计算下列对弧长曲线积分

曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

第十一章解题方法归纳 一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下： (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数 对为奇函数 其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数 对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数 对为偶函数 其中1L 是L 在上半平面部分.

（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则 ()()=??L L f x ds f y ds . （3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分. 若积分曲面∑关于yOz 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分. 若积分曲面∑关于zOx 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分. （4）若曲线弧() :()()αβ=?≤≤?=? x x t L t y y t ，则 [ (,)(),()()β α αβ=

空间曲线积分的计算方法

空间曲线积分的计算方法 (1)曲线积分的计算例1 计算，其中为平面被三个坐标平面所截三角形的边界，若从轴正向看去，定向为逆时针方向．方法一根据第二型曲线积分的定义化为定积分计算根据定义求曲线积分的关键是使被积函数满足曲线方程，即可将曲线方程代入被积函数．解法一：设，则，，，则．由曲线积分的定义，有．同理可得： ．所以．方法二将空间曲线积分转化为平面曲线积分后用格林公式计算 格林公式给出了平面上有限条逐段光滑封闭曲线上的积分与它们所包含的区域上的二重积分之间的关系．解法二：设，，则，是围成的区域．代入原积分由格林公式得原式．化为平面曲线积分后也可以由定义计算积分值，但比格林公式要复杂得多．用格林公式首先要验证问题是否满足定理条件，其次可用对称性简化计算．方法三根据对称性求曲线积分． 轮换对称性即当被积函数和积分域同步进行同一轮换时，积分的值不变．当被积函数和积分域都具有轮换对称性，这种情形称为双轮换对称性；当被积函数具有轮换对称性而积分域没有或积分域具有轮换对称性而被积函数没有时称为单轮换对称性．双轮换对称性把原题变成了原题，所以对我们解题没有任何帮

助．我们主要在讨论单轮换对称的情形．解法三：由题目特征可知该积分及曲线都具有轮换对称性，因此由对称性知原式．同样由对称性知原式．方法四根据公式求曲线积分 公式建立了空间曲线积分和曲面积分之间的联系，从而将曲线积分和曲面积分有机联系起来． 解法四: 设，方向为上侧，曲面上一点的外法线向量的方向余弦为由公式化为第一型曲面积分得原式．为解法一中所设的点组成的三角形．另解: 根据上面解法中所设，并设为在面上的投影．用公式化为第二型曲面积分得原式 ．用公式将曲线积分化为曲面积分时，若曲面为平面化为第一型曲面积分较简单．

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算 作者：钟家伟 指导老师：张伟伟 摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称 性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时, 求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点 ,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P

(整理)对弧长的曲线积分.

对弧长的曲线积分 一、概念的引进 假设xoy 面内有一段曲线弧L 具有质量,在L 上任一点(,)x y 处的线密度 为ρ(, )x y ,且ρ(,)x y 在L 上连续,A 与B 分别是弧L 的端点,现计算弧L 的 质量m 。 在L 上任意地插入n +1个分点 A M M M M M M B i i n n ==--0111,,,,,,, 将L 分划成n 个小弧段。对于第 i 个小弧段弧M i M i -1,由于线密度函数 ρ(,)x y 在L 上连续,当该小弧段的长度充分小时,它的质量近似地等于 ρξηξη(,)(,), i i i i i M i M i s i M i M i s ???--弧表示弧的长度11 于是,整个曲线弧L 的质量近似值为 m s i i i i n ≈?=∑ρξη(,)?1 用λ表示这n 个小弧段长度的最大者, 即 λ=≤≤max {} 1i n i s ? 为了得到质量m 的精确值,只需对上述和式取极限,令λ→0,

即 m s i i i i n =?→=∑lim (,)λρξη01 ? (1) 撇开上例的物理意义,我们引入对弧长的曲线积分的概念。 【定义】设L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧,函数f x y (,)在L 上有界,在L 内 任意地插入n +1点, A M M M M M M B i i n n ==--0111,,,,,,, 它把L 分成n 个小弧段,设第i 个小段弧M i M i -1的长度为?s i ,(,)ξηi i 为 弧M i M i -1上任取的一点,记 λ=≤≤max {} 1i n i s ? 作和式 f s i i i i n (,)ξη?=∑?1 如果极限 lim (,)λξη→=?∑01 f s i i i i n ? 存在, 这个极限值就叫做函数 f x y (,)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分,记作 f x y ds L (,)?。 亦即 f x y ds f s L i i i i n (,)lim (,)?∑=?→=λξη0 1 ? 其中: f x y (,)叫做被积函数, L 叫做积分弧段。 注记: 1、f x y ds L (,)?中的被积函数 f x y (,)的定义域为L 上的一切点。 2、上述定义可类似地推广到空间曲线的情形, 设Γ是空间的一条光滑曲线,函数 f x y z (,,)在Γ上有界,则

第十章 曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分 10.1 对弧长的曲线积分 一、求曲线 cos,sin, t t t x e t y e t z e ===从0 t=到任意点间的那段弧的质量，设 它各点的密度与该点到原点的距离的平方成反比，且在点(1,0,1)处的密度为1。 1 ) t e - ）二、计算下列曲线积分： 1. L ? ，其中L为旋轮线： (sin) (1cos) x a t t y a t =- ? ? =- ?（0tπ ≤≤2）。 （ 3 2 4a π） 2. () L x y ds + ? ，其中L是顶点为(0,0),(1,0),(0,1) O A B的三角形边界。 （1 3. L ? ，其中L是由极坐标曲线 ,0, r a π θθ === 4所围成的区域的边界曲线。 （ 2(1) a a e ae π -+ 4） 4. () L x y z ds ++ ? ，其中L由直线AB：(1,1,0),(1,0,0) A B及螺线 cos,sin,(02) x t y t z t tπ ===≤≤组成。 （ 3 2 2 + ）三、计算 L ? ，其中L 是由,0 y x y y ===所围成的第一象限部分的边界。 （ 2sin cos R R R π + 4） 四、计算 L，其中L是圆： 2222 x y z a x y ?++= ? = ?。（2a π2）

五、 计算 L xds ??，其中L 由直线0,x y x ==及曲线2 2y x -=所围成的第一象 限 部分 的 整 个 边 界 。 （+ ） 10.2 对坐标的曲线积分 一、设一质点处于弹性力场中，弹力方向指向原点，弹力大小与质点到原点的距离 成正比，比例系数为k 。若质点从点(0,)a 沿椭圆22 221x y a b +=在第一象限部 分 移 动 到 点 (0,) b ，求弹力所做的功。 （221 ()2k a b -） 二、计算曲线积分 22 (2)(2)L x xy dx y xy dy ++-?，其中L 是抛物线2(11) y x x =-≤≤沿 x 增加的 方 向 。 （14 15- ） 三、 计算 2 y L xe dy +?，其中L 是曲线y = 从点(0,0)O 到点(1,1)的一 段 弧 。 （2322） 四、 计算 2222 ()()L x y dx x y dy ++-?，其中L 是曲线 11y x =--从点(0,0)到 点 (2,0) 的一 段 。 （43） 五、 计算 ?ABC xdy ydx -? ，其中(1,0),(0,1),(1,0)A B C -，?AB 为圆 22 1x y +=的上半部分，? BC 为L 是一段抛物线2 1y x =-。 （ 43π - - 2 ）

空间曲线积分的计算方法

空间曲线积分的计算方法. (1)曲线积分的计算 例1 计算222222()()()C I y z dx z x dy x y dz =-+-+-?，其中C 为平面 1=++z y x 被三个坐标平面所截三角形的边界，若从x 轴正向看去，定向为逆时针方向． 方法一 根据第二型曲线积分的定义化为定积分计算 根据定义求曲线积分的关键是使被积函数满足曲线方程，即可将曲线方程代入被积函数． 解法一：设(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B D ，则0,1:==+z y x ，:1,0BD y z x +==，:1,0DA x z y +==，则:C AB BD DA ++．由曲线积分的定义，有 dz y x dy x z dx z y AB )()()(222222-+-+-? 32])1[(0122-=+-= ?dx x x ． 同理可得： 222222()()()BD y z dx z x dy x y dz -+-+-? 2222222()()()3 DA y z dx z x dy x y dz =-+-+-=-?． 所以 2AB BD DA I =++=-???． 方法二 将空间曲线积分转化为平面曲线积分后用格林公式计算 格林公式给出了平面上有限条逐段光滑封闭曲线上的积分与它们所包含的区域上的二重积分之间的关系． 解法二：设)0,0,0(O ，OA BO AB L ++:1，则dy dx dz y x z --=--=,1，D 是1L 围成的区域．代入原积分由格林公式得 原式))((])1[(])1([2222221dy dx y x dy x y x dx y x y L ---+---+---=? ??-=-=D dxdy 24． 化为平面曲线积分后也可以由定义计算积分值，但比格林公式要复杂得多．用格林公式首先要验证问题是否满足定理条件，其次可用对称性简化计算． 方法三 根据对称性求曲线积分． 轮换对称性即当被积函数和积分域同步进行同一轮换时，积分的值不变．当被积函数和积分域都具有轮换对称性，这种情形称为双轮换对称性；当被积函数具有轮换对称性而积分域没有或积分域具有轮换对称性而被积函数没有时称为单轮换对称性．双轮换对称性把原题变成了原题，所以对我们解题没有任何帮助．我们主要在讨论单轮换对称的情形． 解法三：由题目特征可知该积分及曲线C 都具有轮换对称性，因此由对称性知 原式dz y x dy x z dx z y )()()(3222222-+-+-=?

第一类曲线积分

§1 第一类曲线积分的计算 设函数(),,f x y z 在光滑曲线l 上有定义且连续，l 的方程为 ()()() ()0x x t y y t t t T z z t =?? =≤≤?? =? 则 ()()()() ,,,,T l t f x y z ds f x t y t z t =??? ?。 特别地，如果曲线l 为一条光滑的平面曲线，它的方程为()y x ?=，()a x b ≤≤，那么有 ((,) , ()b l a f x y ds f x x ?=? ?。 例：设l 是半圆周t a y t a x sin , cos ==, π≤≤t 0。求22 ()l x y ds +? 。 例：设l 是曲线x y 42 =上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段，计算第一类曲线积分l yds ?。 例：计算积分2l x ds ? ，其中l 是球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 截得的圆周。 例：求()l I x y ds =+?，此处l 为连接三点()0,0O ，()1,0A ，()1,1B 的直线段。 §2 第一类曲面积分的计算 一 曲面的面积 （1）设有一曲面块S ，它的方程为 (),z f x y =。 (),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。则该 曲面块的面积为 xy S σ=。 （2）若曲面的方程为 () ()() ,,,x x u v y y u v z z u v =?? =?? =?

令 222u u u E x y z =++，u v u v u v F x x y y z z =++，222 v v v G x y z =++， 则该曲面块的面积为 S ∑ =。 例：求球面2 2 2 2 x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。 例：求球面2 2 2 2 x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。 二 化第一类曲面积分为二重积分 （1）设函数(),,x y z φ为定义在曲面S 上的连续函数。曲面S 的方程为(),z f x y =。(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。则 ()( ),,,,,xy S x y z dS x y f x y σφφ=??????。 （2）设函数(),,x y z φ为定义在曲面S 上的连续函数。若曲面的方程为 () ()() ,,,x x u v y y u v z z u v =?? =?? =? 令 222u u u E x y z =++，u v u v u v F x x y y z z =++，222 v v v G x y z =++， 则 ()()()( ),,,,,,,S x y z dS x u v y u v z u v φφ∑ =??????。 例：计算 ()S x y z dS ++?? ，S 是球面2222 x y z a ++=，0z ≥。 例：计算 S zdS ??，其中S 为螺旋面的一部分：

悬链线方程及曲线弧长

第二章导线应力弧垂分析 第三节悬点等高时导线弧垂、线长和应力关系 一、悬链线方程及曲线弧长 1.悬链线方程 为了分析方便，我们先从悬挂点等高，即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的应力及几何关系。实际上，导线悬在空中的曲线形态，从数学角度用什么方程来描述是进行导线力学分析的前题。由于假定视导线为柔索，则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析，即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态，而由此导出的方程式为悬链线方程。 如图2－5所示，给出了悬挂于A、B两点间的一档导线，假定为悬挂点等高的孤立档，设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。 图2-5导线悬链线及坐标系 同时假定导线固定在导线所在的平面，可随导线一起摆动，显然这是一个平面力系。根据这个坐标进行导线的受力分析，可建立导线的悬链线方程。 我们先从局部受力分析开始，再找出其一般规律。首先在导线上任取一点D（x,y），然后分析OD段导线的受力关系，由图2－5所示，此OD段导线受三个力而保持平衡，其中D 点承受拉力为T x=σx S，它与导线曲线相切，与x轴夹角为α；O点承受拉力为T0=σ0S，T0为导线O点的切线方向，恰与x轴平行，故又称水平张力；此外还有OD段导线自身的荷载为G=gSL x，其中L x为OD段导线的弧长。 将OD段导线的受力关系画为一个三角形表示，如图2－6所示， 图2-6导线受力情况 由静力学平衡条件可知，在平面坐标系中，其水平分力，垂直分力的代数和分别等于零。

或沿x轴或y轴上分力代数和分别等于零。 垂直方向分力G=T x sinα=gSL x;水平方向分为T0=T x cosα=σ0S。其中σ0、T0为导线最低点的应力和张力，σx、T x为导线任一点的应力和张力，S、g为导线截面和比载。将上述二式相比，则可求得导线任意一点D的斜率为： (2-10) 由微分学知识可知，曲线上任一点的导数即为切线的斜率。 式（2－10）是悬链曲线的微分方程。我们要用坐标关系表示出导线受力的一般规律，还需要将不定量L x消去，因此，将式对x微分得： （微分学中弧长微分公式为dS2=(dx)2+(dy)2）将上式移项整理后，两端进行积分 这是个隐函数，因此，再进行分离变量积分，查积分公式有： （2－11） 再进行分离变量积分，有 于是，导线任一点D的纵坐标为： （2－12） 式（2－12）是悬链方程的普通形式，其中C1和C2为积分常数，其值可根据取坐标原点的位置及初始条件而定。如果将坐标原点于导线最低点处，则有下述初始条件：x=0, dy/dx=tgα=0 代入式（2－11）则C1＝0，将x=0,y=0,C1＝0 代入式（2－12），，如此，求得坐标原点最低点O处的悬链方程为： （2－13） 式中σ0—水平应力(即导线最低点应力)，MPa; g—导线的比载，N/m.mm2。 当坐标原点选在其它点（例如选在悬挂点处）时，悬链线方程的常数项将有所不同，可

练习111(对弧长的曲线积分) - 答案

练习册 111 对弧长的曲线积分（答案） 1、计算?+=L y x ds e I 22，其中L 是由圆周()0222>=+a a y x ，直 线x y =和x 轴在第一象限所围扇形的边界。 解：积分曲线L 可以分成直线段OA 、弧段? AB 和直线段OB （如图所示），分别记作1L ，2L 和3L 。 因为0:1=y L ，a x ≤≤0；?????==θθsin cos :2a y a x L ，40πθ≤≤；x y L =:2，a x 220≤≤； 所以????++++++==32222212222L y x L y x L y x L y x ds e ds e ds e ds e I ()()???+++-++=a x a a x dx e d a a e dx e 22024022011cos sin 01πθθθ ()()224141-+=-++ -=a a a a a e ae e ae e ππ。 2、计算?=L ds y I 2，其中L 为摆线的一拱()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=，π20≤≤t 。 解：()()()()()()()dt t a dt t a dt t a t a dt t y t x ds 2 sin 2cos 12sin cos 122222=-=+-='+'=， 所以()()dt t t a dt t a t a ds y I L ????-=?-==ππ20232022222 sin cos 122sin 2cos 1 ()???? =??? ??==?-=ππππθθ053205320532023sin 1622sin 162sin 82sin cos 12d a t d t a dt t a dt t t a 33205305315 2561325432sin 32sin 16a a d a d a =???===??ππ θθθθ。 3、计算()?+=L ds y x I ，其中L 是连接点()0,1和()1,0的直线段。 解：因为1=+y x ，10≤≤x ， ()()()dx dx dx x y ds 2111222=-+='+=， ()2210==+ = ??dx ds y x I L 。

最新对弧长的曲线积分

对弧长的曲线积分

对弧长的曲线积分 一、概念的引进 假设 xoy 面内有一段曲线弧L具有质量,在L上任一点 (,) x y 处的线密度为 ρ(,) x y,且ρ(,) x y 在L上连续,A与B分别是弧L的端点,现计算弧L的质量m。 在L上任意地插入n+1个分点 A M M M M M M B i i n n == -- 0111 ,,,,,,, 将L分划成n个小弧段。对于第i个小弧段弧M i M i -1,由于线密度函数 ρ(,) x y 在L上连续,当该小弧段的长度充分小时,它的质量近似地等于ρξηξη (,)(,), i i i i i M i M i s i M i M i s?? ?-- 弧表示弧的长度 11 于是,整个曲线弧L的质量近似值为 m s i i i i n ≈? = ∑ρξη (,)? 1 用 λ表示这n个小弧段长度的最大者, 即 λ= ≤≤ max{} 1i n i s? 为了得到质量m的精确值,只需对上述和式取极限,令λ→0,

即 m s i i i i n =?→=∑lim (,)λρξη01 ? (1) 撇开上例的物理意义,我们引入对弧长的曲线积分的概念。 【定义】设L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧,函数f x y (,)在L 上有界,在L 内任意地插入n +1点, A M M M M M M B i i n n ==--0111,,,,,,, 它把L 分成n 个小弧段,设第i 个小段弧M i M i -1的长度为?s i ,(,)ξηi i 为 弧M i M i -1上任取的一点,记 λ=≤≤max {} 1i n i s ? 作和式 f s i i i i n (,)ξη?=∑?1 如果极限 lim (,)λξη→=?∑01 f s i i i i n ? 存在, 这个极限值就叫做函数 f x y (,)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分,记作 f x y ds L (,)?。 亦即 f x y ds f s L i i i i n (,)lim (,)?∑=?→=λξη0 1 ? 其中: f x y (,)叫做被积函数, L 叫做积分弧段。 注记: 1、f x y ds L (,)?中的被积函数 f x y (,)的定义域为L 上的一切点。

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法汇编

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法 摘 要： 本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目. 关键词： 曲面积分；曲线积分 1 引 言 第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的 重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义. 2 第二型曲线积分 例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-?，其中a ，b 为正的常数，L 为从点A （2a ，0）沿曲线 o （0，0） 的弧. 方法一：利用格林公式法 L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ?? ??+=- ????????，P(x ，y)，Q （x ，y ）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L 是域D 的边界曲线，L 是按正向取定的. 解：添加从点o （0，0）沿y=0到点A （2a,0）的有向直线段1L , ()()()()()()1 1 sin cos sin cos x x L L x x L I e y b x y dx e y ax dy e y b x y dx e y ax dy =-++---++-?? 记为12I I I =- ， 则由格林公式得：()1cos cos x x D D Q P I dxdy e y a e y b dxdy x y ??????=-=---- ??????????? ()()22 D b a dxdy a b a π =-= -?? 其中D 为1L L 所围成的半圆域，直接计算2I ,因为在1L 时，0y =，所以dy =0

曲线积分的计算法

曲线积分的计算法 1.基本方法 f第一类(对弧长) 曲线积分J 1 转化 第二类(对坐标) C用参数方程 (1)选择积分变量用直角坐标方程 I用极坐标方程 对弧长曲线积分的计算 定理 设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续， L的参数方程为X (t),( t )其中 y (t), (t), (t)在[,]上具有一阶连续导数，且 L f(x,y)ds f[ (t), (t)h 2(t) 2(t)dt ( ) 汪意: 1. 定积分的下限一定要小于上限； 2. f(x,y)中x, y不彼此独立，而是相互有关的 特殊情形 (1) L : y (x) a x b. L f(x,y)ds f[x, (x)L.1 2(x)dx. (2) L:x (y) c y d. L f(x,y)ds : f[ (y), y] .,1 2(y)dy.定积分 (2)确定积分上下限下小上大 下始上终

x a cost, xyds L :椭圆 (第象限). L y bsi nt. 2 2 o 2 a cost bsi nt ( as int) (bcost) dt a b 2 sin t cost . a 2 sin 2 t b 2 cos 2 tdt ab ~ 2 a b 2 ab(a 解 [ 2 ,— a 2 cos sin k v a 2 I 1 ka 2 . a 2 k 2. 2 求1 x 2ds, 例4 其中 2 2 2 2 为圆周x y z a, 2 0. x y z z k ) k 2 d 解由对称性 故］1 (x 2 x 2ds z 2)ds y 2ds z 2ds. a 2 --------------------------------------- b u du (令u a 2sin 21 b 2 cos 21) ab b 2) 3( a b) 求 I l yds, 其中 L: y 2 4x,从(1,2)到(1, 2)一段. 2 dy °. - L 2 \ \ \ xyzds, 其中 的一段.(0 a cos , y a sin ,

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

第二类曲线积分的计算 作者：钟家伟 指导老师：张伟伟 摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F , 所做功W .

大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所 走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P 与),(y x Q ,那么()y x F , =()),(),,(y x Q y x P j y x Q i y x P ),(),(+=由于 ),,(), ,(111i i i i i i y x M y x M ---则有向小曲线段i i M M 1-),,2,1(n i =在x 轴和y 轴 方向上的投影分别为11---=?-=?i i i i i i y y y x x x 与.记i i M M L 1- =),(i i y x ??从而 力()y x F , 在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ?≈),(i F ηξ i i M M L 1- = ()i i P ηξ,i x ?+()i i Q ηξ,i y ? 其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力()y x F , 沿L 所作的功可近 似等于 i W =∑=n i i W 1 i n i i i i n i i i y s Q x S P ?+?≈∑∑==1 1 ),(),(ηη当0→T 时,右端积分 和式的极限就是所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分. 第二型曲线积分的定义 设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为

曲线积分的计算法

曲线积分的计算法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) ? ??转化 定积分 (1) 选择积分变量 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终 对弧长曲线积分的计算 定理 ) ()()()](),([),(,],[)(),()(), (),(, ),(2 2βαψ?ψ?βαψ?βαψ?β α <'+'= ≤≤?? ?==?? dt t t t t f ds y x f t t t t y t x L L y x f L 且 上具有一阶连续导数 在其中 的参数方程为 上有定义且连续在曲线弧设注意: ; .1βα一定要小于上限定积分的下限 . ,,),(.2而是相互有关的 不彼此独立中y x y x f 特殊情形 . ) (:)1(b x a x y L ≤≤=ψ. )(1)](,[),(2 dx x x x f ds y x f b a L ?? '+= ψψ. )(:)2(d y c y x L ≤≤=?. )(1]),([),(2 dy y y y f ds y x f d c L ? ? '+= ??1. 基本方法

). (, sin , cos :,象限第椭圆求I ???=== ? t b y t a x L xyds I L 解 dt t b t a t b t a I 2 2 2 )cos ()sin (sin cos +-?= ? π dt t b t a t t ab 2 22220 cos sin cos sin +=?π ? -= a b du u b a a b 2 2 2 ) cos sin (2 222t b t a u += 令. ) (3) (2 2b a b ab a ab +++= 例2 . )2,1()2,1(,4:, 2 一段到从其中求-== ? x y L yds I L x y 42 =解 dy y y I 2 2 2 )2 (1+= ? -. 0=例3 ) 20(. ,sin ,cos :,πθθθθ≤≤===Γ= ? Γ 的一段其中求k z a y a x xyzds I 解 θ θ θθd k a k a 2 22 sin cos +?? = π 20 I . 2 12 22 k a ka +- =π例4 ?? ?=++=++Γ= ? Γ . 0, , 22222 z y x a z y x ds x I 为圆周其中求解 由对称性, 知 . 2 2 2 ? ? ?Γ Γ Γ = = ds z ds y ds x ?Γ ++= ds z y x I )(3 1 2 22故例1

求曲线、曲面积分的方法与技巧概要

求曲线、曲面积分的方法与技巧 一.曲线积分的计算方法与技巧 计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。 例一．计算曲线积分其中是圆上从原点到的一段弧。 本题以下采用多种方法进行计算。 解1：的方程为由由 分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。

解2：在弧上取点， 的方程为由由 的方程为由由 分析：解2是选用参变量为利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在方法类型上与解1相同。不同的是以为参数时，路径不能用一个方程表示，因此原曲线积分需分成两部分进行计算，在每一部分的计算中都需选用在该部分中参数的起始值作为定积分的下限。 解3：的参数方程为由 由 解4：的极坐标方程为因此参数方程为

由由 分析：解3和解4仍然是通过采用变量参数化直接计算的。可见一条曲线的参数方程不是唯一的，采用不同的参数，转化所得的定积分是不同的，但都需用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。 解5：添加辅助线段，利用格林公式求解。因 于是 而 故得 分析：在利用格林公式将所求曲线积分转化为二重积分计算时，当所求曲线积分的路径非封闭曲线时，需添加辅助曲线,采用“补路封闭法”进行计算再减去补路上的积分，但必须在 补路后的封闭曲线所围的区域内有一阶连续偏导数。是的正向边界曲线。解5 中添加了辅助线段使曲线为正向封闭曲线。

第19讲 对弧长的曲线积分

§11.1 对弧长的曲线积分 1、主要教学目标 (1)对弧长的曲线积分的概念与性质 (2)对弧长曲线积分的计算 (3)对弧长曲线积分的几何与物理意义及应用 2、重点内容 对弧长曲线积分的计算 3、难点分析 对弧长曲线积分的计算中，参数方程的确定及直角坐标、极坐标、参数方程三种情形下曲线积分计算公式 4、对教材的处理及其教学提示 (1)注意教材在该部分的淡化，要注意考研的需求，介绍参考书； (2)注意线、面积分的性质局限在线性、可加、符号范畴； (3)曲线、曲面积分重在讲授转化成定积分的思想方法，定积分计算不宜过难； (4)注意构建第一类线、曲积分计算法与曲线长度、曲面面积计算的知识结构体系； 5、作业布置 P190：3(2，3，5) 教案内容 一、问题的提出 实例：曲线形构件的质量匀质之质量.s M ?=ρ 分割,,,,121i n s M M M ?→-Λ ,),(i i i s ?∈ηξ取.),(i i i i s M ??≈?ηξρ 求和.),(1 ∑=??≈ n i i i i s M ηξρ近似值 取极限.),(lim 1 ∑=→??=n i i i i s M ηξρλ精确值 二、对弧长的曲线积分的概念与性质 1.平面上对弧长的曲线积分 y

上对弧长的曲线积分 在曲线弧则称此极限为函数这和的极限存在时长度的最大值如果当各小弧段的并作和作乘积点个小段上任意取定的一为第又个小段的长度为设第个小段分成把上有界在函数面内一条光滑曲线弧为设L y x f s f s f i s i n L L y x f xoy L n i i i i i i i i i i ),(,, 0,),(,),(,),(,..),(,1→?????∑=ληξηξηξ.),(lim ),(,),(1 ∑? ?=→??=n i i i i L L s f ds y x f ds y x f ηξλ即 记作 2.空间中对弧长的曲线积分 上对弧长的曲线积分为 在空间曲线弧函数Γ),,(z y x f .),,(lim ),,(1 i n i i i i s f ds z y x f ??=∑? =→Γ ζηξλ 3.曲线积分的存在性 .),(,),(存在对弧长的曲线积分上连续时在光滑曲线弧当?L ds y x f L y x f 4.分段光滑的曲线上对坐标的曲线积分 ) (,)(21L L L L +=Γ是分段光滑的或若 .),(),(),(2 1 2 1??? +=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 5.闭曲线积分 .),(),(?L ds y x f L y x f 为上对弧长的曲线积分记在闭曲线函数 6.对弧长的曲线积分的性质 .),(),()],(),([)1(???±=±L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ).(),(),()2(为常数k ds y x f k ds y x kf L L ??= .),(),(),()3(2 1 ???+=L L L ds y x f ds y x f ds y x f ).(21L L L += 三、对弧长的曲线积分的计算法 1.定理(计算曲线积分的公式) 的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设L L y x f ,),( ))((),(βαψ?≤≤==t t y t x ) ()()()](),([),(,],[)(),(2 2βαψ?ψ?βαψ?β α <'+'=?? dt t t t t f ds y x f t t L 则 上具有一阶连续导数在其中