高中数学课题教学设计案例

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-------数学建模、数学课题学习的教学设计的案例1．升旗中的数学问题

（一）问题情景和任务

问题情景：在不同地区，同一天的日出和日落时间不尽相同；对一个地区而言，日出日落时间又是随日期的变化而变化的。北京的天安门广场上的国旗每天伴着太阳升起、伴着太阳降落，下表给出了是天安门广场2003年部分日期的升、降旗时刻表：

任务1：试根据上表提供的数据，分析升、降旗时间变化的大致规律；建立坐标系，将以上数据描在坐标系中；

任务2：分别建立日出时间和日落时间关于日期的近似函数模型；利用你建立的函数模型，计算“五一”国际劳动节、“十一”国庆节的升、降旗时间；

任务3：利用年鉴、互联网或其它资料，查阅北京天安门2003年升旗时间表，检验模型的准确度，分析误差原因，考虑如何改进自己的模型。

任务4：你所生活地区（城市、省、乡村等）某年不同的日期的“日出和日落”的时间，建立一个函数关系。

（二）实施建议与说明

通过对升旗中数学问题的求解和讨论，进一步了解相关数学知识的意义和作用，体验数学建模的基本过程，增强数学知识的应用意识。理解用函数拟合数据的方法，提高对数

据的观察、分析、处理、从中获取有益信息的能力。

在这个探求活动中，要特别重视观察、分析、处理数据的一般方法、现代技术的合理使用、数学得到的结果与实际情况不同的原因分析。

1.组成学习探究小组，集体讨论，互相启发，形成可行的探究方案，独立思考，完成每个人的“成果报告”。

2. 任务1的建议：

为了便于在坐标系中观察表中数据，选择适当的计量单位，如升旗时刻以10分之为一个单位，日期可以天为单位，即1月1日为第0天，12月31日为第364天；可借助图形计算器或其它工具绘制各点，

3.任务2的建议：

利用自己的生活经验，或者访问家长、地理老师等，结合散点图，选择学过的适当函数，作为刻画该关系的模型；要应注意关键数据（如最早升（降）旗时间和最迟升（降）旗时间等）在确定拟合函数参数中的作用；

4．任务3的建议：

根据观察坐标平面上所绘制点的走向趋势，可以考虑分段拟合函数。

5．“成果报告”的书写建议

成果报告可以下表形式呈现。

表1：探究学习成果报告表年级班完成时间

5．成果交流：建议以小组为单位，选出代表，在班级中报告研究成果，交流研究体会。

6．评价建议：

在评价中，采用自评、互评、教师评价相结合的形式，善于发现别人工作中的特色，以下几个方面的内容可作为重点考虑：

（1）求解过程和结果：合理、清楚、简洁；

（2）独到的思考和发现；

（3）提出有价值的求解设计和有见地的新问题；

（4）发挥组员的特长，合作学习的效果；

（5）合理使用技术；

（6）查阅文献，获取信息的能力。

（三）教学参考信息

第七届数学知识应用初赛试题

题目：在不同地区，同一天的日出和日落时间不尽相同；对一个地区而言，日出日落时间有时虽日期的变化而变化的。北京的天安门广场上的国旗每天伴着太阳升起，伴着太阳降落。表1是天安门广场2003年部分日期的升旗时刻，表2是天安门广场2004年2月部分日期的升旗时刻。请回答下面的问题：

（1）建立坐标系，将表1数据描在坐标系中；

（2）根据已给数据建立数学模型，估算2004年“五一”国际劳动节的升旗时间；

（3）如果你打算在“五一”观看升旗，选择什么时间到达观看点？

表1

表2

解：（1）将数据描在坐标系中，如图1-23

（2）天体运动具有很强的周期性，所以日出日落时间成周期变化。

观察题内两表，2003年2月10日升旗时间是7：14，2004年2月9日是7：15，2月11日是7：13，可以认为，在这几天，两年的升旗时间是相同的；

2003年3月2日升旗时间是6：47，2004年2月27日是6：52，2月29日是6：49，再过两天就是3月2日，显见，在这几天，两年的升旗时间也是相同的。

于是可以进一步认为，2003年和2004年同期的升旗时间基本上是相同的。在观察2003年的图像，整体来看与余弦函数相象。但就局部来看，从2月末到5月中旬，这些点基本上是共直线的（5月1日正在这个范围内），从7月中旬到12月初也如此。因此，以线性函数为模型，用已知数值拟合出函数，估算五一节的升旗时间。

不妨设函数模型为 y=ax+b x ∈[3 , 5.5]

取4月28日的5：19和5月16日的4：59，因为升旗时间是早上，所以5月16日就记作31

155

，5月1日就记作5，于是有：

??????

?+=+=b a b a 3115560

59430

27460195 得 y=-0.5709x+8.114

对于 x=5，有 y=-0.5709?5+8.114=5.26 5.26月为5：15

所以，2004年“五一”国际劳动节的升旗时间约为5：15。

（3）因为5：15是个近似值，且是估值，为了确保不误事，所以，2004年“五一”观看升旗，就应该在4：59（2003年5月16日的升旗时刻）至5：15这段时间到达。

2． 正方体截面的形状

（一）问题情景与任务

用一个平面去截正方体，截面的形状是什么样的？ 1．给出分类的原则（例如：按截面图形的边数分类）。按照

你的分类原则，能得到多少类不同的截面？设计一种方案，找到截得这些形状截面的方法，并在正方体中画出示意图。

2． 如果截面是三角形，你认为可以截出几类不同的三角形？ 3． 如果截面是四边形，你认为可以截出几类不同的四边形？ 4*. 证明上面的结果。

5*. 截面多边形的边数最多有几条？请说明理由。 6*

. 截面可能是正多边形吗？可能有几种？画出示意图。 7*. 如果截面是三角形，其面积最大是多少？画出示意图。 8*. 你还能提出哪些相关的数学问题？

（二）实施建议与说明

图1—23

该课题学习设计的意图

1. 按课标要求，在高中阶段至少要有一次数学探究活动和数学建模活动，而活动的开展是要有一个渐近的过程的，学生需要一个逐步适应、了解和认识自主探究、学习的过程，所以在本模块设计该课题，是为实施更为完整的数学探究、数学建模活动做准备。

2. 该课题涉及内容：点、线、面的位置关系及直观图画法。涵盖了立体几何中的相当多的概念、定理，本课题学习的过程是对立体几何知识的一次全面的综合应用的过程。

3. 该课题的学习很好的体现了立体几何初步一章的基本要求：有助于认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。

4. 在本章末安排该课题学习，一方面给学生提供一个施展所学的舞台；另一方面，也达到了借此课题的研究促进学生对所学的应用和反思，加深对空间图形的认识和理解。

此外，该课题的学习有助于发展学生自主学习的能力，体验数学研究的过程，认识数学研究中直观和严谨、感性猜测和理性推理的关系，鼓励学生发挥自己的想像力和创造力。

课题学习的实施建议

采用形式：

形式一（能有效节省课时，但要求学生已初步具备一些自主探索、学习的经验和能力）：首先分组（2-3人）进行课下讨论研究，适学生情况，可建议学生通过实验操作进行研究，最后形成小组的学习报告。然后，根据学生的学习报告完成情况，在课上让部分小组报告他们所得到的结果，阐述理由。并回答教师或其他学生提出的问题，共同研究讨论。

形式二（需要较多课时，适合于没有自主探究、学习的习惯和经验的学生，有利于他们初步认识、了解自主学习的开展）：

让学生课前准备几个正方体模型，课堂上教师引导学生探索、讨论、发现。可以让学生前后桌四人一组，对引导问题逐一研究讨论，分组报告研究结果，阐述理由，并接受教师和学生的质疑。

对课上未能很好解决的问题，或是由此而引发的新的问题，可以布置给学生课下去探索、研究，并完成研究报告。根据情况，可以适当安排时间让学生报告。

教学实施中要注意的几个问题：

1．无论是课下指导，还是课上教学实施过程之中，教师都要注意引导学生从直观、感性的猜测，到严密、理性的思考和推理论证上来，帮助学生认识到两者在数学研究中的关系；注意引导学生积极地发现、吸纳他人的长处和优点，使学生学会欣赏别人，并从中吸取友谊

经验；注意帮助学生清楚、一致地表述自己的观点；注意帮助学生对自己的思维活动进行反思、调节自己的思维活动。

2．采用形式一时，教师应注意及时了解学生研究的进展情况，加强对学生自主研究、学习的指导；对没能在课上进行报告的小组，要进行及时鼓励性评价，积极肯定其长处，并指出不足之处，做到关注每一个学生。目的是让所有学生从中受益。

3．采用形式二时，教师除了要关注1.中要点外，要特别注意是引导学生进行主动研究、学习，而不是取而代之，自己给学生讲解。此外，在布置的课下任务中，可以适当拓宽一些，不必仅局限于该课题学习内容本身。如：

（Ⅰ）通过对正方体棱上点确定的截面的作图方法的了解，利用几何画板制作课件，通过课件进行研究。

（Ⅱ）研究满足某些特定条件的截面形状及性质：与棱平行的截面；与体对角线垂直的截面；等分正方体的截面等。

（Ⅲ）一个装有定量液体（不满）的封闭中空的正方体随着位置的某种规则（如：以一棱为轴旋转）变化，液体与正方体各接触面的面积有怎样的性质，各接触面之间有怎样的关系？处于何位置时接触面最小？何位置时液面面积最小？

（Ⅳ）研究其它几何体截面形状。

4．帮助、指导学生完成课题学习报告

特别是以下几个方面：

课题学习中发现的新问题，可拓展的或与其相关的问题；课题研究的自我评价，包括探究方法或原理的合理性、特色或创新点、不足之处等；课题学习的反思和体会，包括他人的哪些工作、研究方法是值得你学习借鉴的，某种特别的感受等。

（三）教学参考信息

1．课题学习报告的结构形式：

“正方体截面形状问题”课题学习报告年级班完成时间

若上表填写时地域不够，可以自己增加副页，也可以自己设计一个研究报告的报表。

2．课题研究的部分结论

（1）多边形的种类：三角形，四边形，五边形，六边形。

（2）截面三角形只能是锐角三角形（可以是等腰，等边）.如图1-21，22222

''

a b c b c

=+<

+，由预先定理

222

cos0

2

b c a

A

bc

+-

=>，所以边a所对角为

锐角，同理可得其余角也为锐角。或由图可知边a所对顶点在以a为直径的圆外，所以该角为锐角，同理其余角也为锐角。

（3）因为正方体的六个面中，有三对平行面，截面多边形的边是平面与正方体的面的交线，所以截面多边形最多是六边形，其中四边形截面至少与一组平行面相交，所以四边形中至少有一对边平行。截面多边形可以是正方形，矩形，菱形，平行四边形，等腰梯形，其它梯形。五边形截面至少与两组平行面相交，所以有两组平行边，所以必然有两内角相等。六边形截面一定与三组平行面都相交，所以必有三组平行边，所以有三组相等内角。

（4）截面多边形可以是正三角形，正四边形和正六边形。

建议教师提出下列相关引申的问题：

①满足特定条件的截面多边形形状：

*与正方体一棱垂直的平面，截得的截面多边形只能是正方形；

*与正方体的一条棱平行的平面，截出的截面多边形只能有正方形，矩形；

*与正方体的以体对角线垂直的平面，截得的截面多边形只能有正三角形，各内角相等

图1-21

的六边形；过正方体中心的平面，截得的截面都是中心对称的多边形，具体的只能有正方形，矩形，菱形，平行四边形，对边相等的六边形；

*与正方体的一面对角线平行的平面，截得的截面多边形只能是等边三角形，等腰三角形，等腰梯形，正方形，矩形，菱形，可拆分成一个等腰三角形和等腰梯形的五边形，可拆分成两个等腰梯形的六边形。

②截面一定不会是以下几种多边形。

*不可能是直角三角形和钝角三角形。（证略） *不可能是直角梯形。

证明：如图1-22，若90HEF ∠= ，又由正方体性质可得

AB H E ⊥，所以HE ABD ⊥面，所以//'H E AA ，所以

'//AA EFGH 面，所以'//A A G F ，所以//H E G F ，与是

梯形矛盾。

*不可能是正五边形。

证明：因为正方体有三对平行面，五条边是截面与正方体六个面中的五个面的交线，其中至少有两组平行面，

由“一平面与平行平面的两交线互相平行”知，至少有两组平行边，所以显然不可能是正五边形。

3.正方体水槽中的问题 侧面：

(1)侧面多边形的种类：三角形，四边形，五边形

(2)侧面多边形性质：三角形只能是直角三角形；四边形是直角梯形或矩形；五边形必有且仅有相邻三内角为直角

(3)正方体位置与侧面形状的关系

①正方体一面着地时：侧面多边形为矩形。 ②仅一条棱着地时：

a ．含该棱或与该棱平行的一组侧面为矩形，另一组侧面为全等直角三角形或直角梯形或五边形

b ．若水体积不变，形状为直角三角形或直角梯形或五边形的侧面面积不随倾斜度的变化而变化（即使形状由梯形变到五边形也不变）

B'

B

A

D

E

图1-22

c．若水体积不变，且一组侧面为直角梯形时，另一组侧面面积之和为定值，定值等于直角梯形面积的两倍，或者说此时各侧面面积之和不变。

d．若水体积不变且一组侧面为直角三角形时，另一组侧面面积的积为定值

③仅有一顶点着地时

a．若过着地顶点的体对角线与地面垂直时，水侧面多边形仅有两种：等腰直角三角形和五边形；

b．若仅三个侧面时，则三侧面都是直角三角形，且三个三角形的面积之积为定值（水体积不变条件下）。

水面与侧面关系:

正方体中水面面积的平方等于水侧面的三组相对面面积差的平方和（包括退化情形）。

相似拓展问题：

①正四面体的截面形状有三角形（锐角或直角），四边形；

②四边形截面只可以是正方形，矩形，等腰梯形，无平行边的四边形。

③当截面与一对棱平行时，四边形截面面积的最大值问题

设正四面体棱长为a，截面一边长为m，则由比例关系可得另一边为a－m，所以截面

面积＝m(a－m)＝

22

2

()

244

a a a

m

--+≤，此时截面为正方形。

④与不在同一平面内的四个顶点距离相等的截面有7个。

分类：

*三个顶点在截面的同一侧，另一顶点在平面另一侧时有4个平面；

*截面两侧各两个顶点时有3个平面。

3．打包问题

（一）问题情景和任务

问题情景：

有些商品是若干件被装在一起按包销售的，例如一包火柴中装有10盒火柴、一大包纸巾中装有10小包纸巾、一条香烟中装有10包香烟等。不同商品的打包形式常常不同，请同学们收集一些这样的商品，先看其外观，再打开包装看内部的摆放形式。

哪一种包装形式更能节省外包装材料呢？

为了讨论方便，我们先来定义一种“规则打包”法，这是指包内的物体都是长方体，打包时要求包内的相邻两物必须以全等的两个侧面来对接，打包后的结果仍是一个长方体。

这样，我们就可以更数学化地提问：火柴等长方体的物品，按“规则打包”的方法将10包打成一个大包，表面积何时最小？

任务1：请先就10包纸巾来讨论一下按“规则打包”的形式将10包纸巾打成一个长方体的大包，怎样打包可使表面积最小？

任务2：请根据得到的结果，分别给出将以下10件以下物品打包后，具有最小表面积的打包形式：

（1）一盒火柴：长＝46mm 宽＝36mm 高＝16mm （2） 一本书：长＝183mm 宽＝129mm 高＝20mm

任务3：解决下面的问题：

（1） 不给出待打包的“基本长方体”的长（a ）、宽（b ）、高（c ）的具体尺寸，而只给a ≥b ≥c ，你能知道按“规则打包”的形式将10个“基本长方体”打成一个长方体的大包，怎样打包可使表面积最小？

（2） 数学上得到的10包纸巾表面积最小的打包形式和纸巾实际的打包形式一致吗？为什么？

（3） 将６包纸巾按“规则打包”的形式打成一包，表面积不同的打包方式有几种？其中表面积最小的打包方式是怎样的？ （5*）将上题中的６包改成12包或８包，结果怎样？有没有一个更一般的处理这类问题程序？

（6*）你能设计一个其他类型的打包问

题吗？由打包问题你还能联想到那些相关的问题？你有解决这些问题的想法或方案吗？

（二）实施建议和说明

1．可以组成学习探究小组，集体讨论，互相启发，分工合作，形成具体可行的探究方案，再形成每一个人的“成果报告”。

2．对完成任务1的建议： （1）．初步观察：先把10包纸巾摆成图1-1的样子，再改摆成图1-2

的

图

1-2

图1-1

样子，哪一种摆法表面积小？

（2）．测量基本数据：一包纸巾的外形尺寸是多少？

（3）．分组讨论求解的方案：建议先试着摆出几种打包方案，对每一种打包方案由具体数据算出面积，再从中挑出最小的。这样，按规则打包的规定，10包纸巾打成一包，到底有几种不同的摆放方式，就是问题的难点和关键所在。不妨动手摆一摆、画一画。

3．对完成任务3的建议：

对应于每一种摆放形式，如果用a、b、c分别表示一个“基本长方体”的长、宽、高，其中a≥b≥c，可以得到表面积表达式，用代数的方法比较大小。

4．“成果报告”的书写建议

成果报告可以用下表的形式呈现。

表1：“打包问题”探究学习成果报告表年级班完成时间

5．成果交流：建议以小组为单位，选出代表，在班级中报告研究成果，交流研究体会。

6．评价建议：

采用自评、互评、教师评价相结合的形式，要善于发现别人工作中的特色，可主要考虑以下几个方面：

（1）求解过程和结果：合理、清楚、简洁、正确；

（2）独到的思考和发现；

（3）提出有价值的求解设计和有见地的新问题；

（4）发挥组员的特长，合作学习的效果。

（三）教学参考信息

打包问题的教学实况与说明

背景：这是一个在小学高年级、初中、高中课堂上做过多次的数学建模讨论课。比如以香烟盒的打包问题为背景，让学生体验面积极值问题的求解过程，对象可以是高一或高二的学生。事实上这个问题涉及的数学知识可多（如后面的扩充部分）可少（如只通过计算解决十包烟的打包问题），经过适当改造，也可以用于初中甚至小学高年级学生，若加上后面引申的问题，则可作成数学课外兴趣小组的活动素材，引导学生通过研究性学习的方式解决问题。

一、课堂实录与说明

１．教师在全班展示事先准备的一包（内装１０盒）火柴和一条香烟，可先看其外观，再打开包装看内部的摆放形式，然后教师向学生叙述下列问题：

一般地，市场上一包火柴内装１０盒火柴；一条香烟内装１０包香烟。它们打包作外包装的形式一样吗？哪一种包装形式更能节省外包装材料呢？为了讨论方便，我们先来定义一种“规则打包”法，这是指打包时要求包内的相邻两物必须以全等的两个侧面来对接。打包后的结果仍是一个长方体。我们可以更数学地提问：火柴、香烟或其它长方体的物品，按“规则打包”的形式将１０包打成一个大包，怎样打包可使表面积最小？为了节省时间，请大家先就１０包香烟来讨论一下求解的方案。

【说明】为了使低年级的学生对问题的意义更清楚，教师应注意问题描述的直观性。比如“规则打包”的实物演示，非“规则打包”的实物演示。为了使学生对“表面积最小”有所理解，

教师可以先把１０包香烟摆成图1－3的样子，再改摆成图1－4的样子，问学生哪一种摆法表面积小，再问表面积最小的摆法是什么，学生对问题的理解就清楚了。

学生A ：老师，您能告诉我们一包香烟盒的外形尺寸吗？

教师：可以，香烟盒的外形尺寸是a=88mm ，b=58mm ，c=22mm 。

２．讨论五分种以后，教师在教室中巡视发现大多数学生的草稿纸上都有了对几种摆放形式的表面积计算结果。

教师：谁来说说你们讨论的解题方案是什么？

学生B ：先试着摆出几种打包方案，对每一种打包方案由具体数据算出面积，再从中挑出最小的，它对应的打包方案就是我们所要的。

教师：小B 同学的想法很好，请问你已经找到了几种打包方案？ 学生C ：５种。

教师：你觉得找全了吗？ 学生C ：不清楚，好象还有。 教师：其它同学找到几种打包方案？ 学生众人：３种、４种、７种、．．．

教师：到底有几种呢？我们看到如果我们按照小B 同学的路子走，第一个要解决的问题就是，按规则打包的规定，１０包香烟打成一包，到底有几种不同的摆放方式。这才是问题的难点和关键所在。好，让我们一起先来攻破这个难点，谁想好了所有可能的打包形式，可以在黑板上画出打包摆放的示意图。

五分钟以后，教师请三位同学在黑板上画他们设计的９种不同的打包方案。

图1-3 图1-4

【说明】画出打包方案的立体摆放的示意图，对初中的学生是一个难点。可以改成用实物作各种摆放方案的演示，让其它学生记录摆放的种数。说明只有９种不同的打包方案对初中学生也是一个难点，下面是一个把作图和说明结合起来的方案。

一个长方体烟盒有三个大小不同的面，把它们分别标记为X 、Y 、Z ，如图1-5。在不混淆的情况下，可将这三个面的面积仍记为X 、Y 、Z ，Ｘ≥Ｙ≥Ｚ。现在我们把10写成3个因数的积，如１０＝1×１×１０，它可以表示X 、Y 、Z 方向上可以对接的烟盒的个数，于是：１０＝１０×1×１，对应图1-6，它表示X 方向上接10盒，而Y 、Z 方向上只是一盒；同理：１０＝1×１０×１，对应图1-7； １０＝1×１×１０，对应图1-8。

图1-5 图1-6

图1-7

图1－8 图1 - 9

图1– 10 （对应10 = 2×5×1） 图1- 11 （对应 10 = 2 × 1 ×

5）

Z

X

Y

“10”的另一种分解10 = 1×２×５型的打包方式中，“２”的方式就有三种，如图1-9。

图1-12（对应 10 = 5×2×1）图1-13 （对应 10 = 1×2×5）

图1- 14 （对应10 = 1×5×2）图1- 15 （对应 10 = 5×1×2）对于其中的每一种，“乘５”的方式还有两种，故总计有六种打包方式，见上图(图1-10至图1-15)

以上分析过程，教师可以稍做启发，引导学生自己找出所有不同的打包方式。

３．当黑板上已出现了９种打包摆放示意图后，教师问学生现在可以做什么？

学生众答：可以分别计算面积。其中Ｘ＝5104mm，Ｙ＝1936mm，Ｚ＝1276mm。

几分钟后，学生对上面的每一种摆放的方法，分别算出它们的表面积。结果如下：１×１０型：

Ｓ１＝２Ｘ＋２０Ｙ＋２０Ｚ＝７４４４８ｍｍ２；①

Ｓ２＝２Ｙ＋２０Ｚ＋２０Ｘ＝１３１８７２ｍｍ２；②

Ｓ３＝２Ｚ＋２０Ｘ＋２０Ｙ＝１４４１５２ｍｍ２；③

２×５型：

Ｓ４＝４Ｙ＋１０Ｘ＋２０Ｚ＝８４３０４ｍｍ２；④

Ｓ５＝４Ｚ＋１０Ｘ＋２０Ｙ＝９４８６４ｍｍ２；⑤

Ｓ６＝４Ｘ＋１０Ｙ＋２０Ｚ＝６５２９６ｍｍ２；⑥

Ｓ７＝４Ｚ＋１０Ｙ＋２０Ｘ＝１２６５４４ｍｍ２；⑦

Ｓ８＝４Ｙ＋１０Ｚ＋２０Ｘ＝１２２５８４ｍｍ２；⑧

Ｓ９＝４Ｘ＋１０Ｚ＋２０Ｙ＝７１８９６ｍｍ２。⑨

由计算发现：十包香烟表面积最小的打包方法是：第六种（如图2-10）所示，它对应的最小表面积是：65296ｍｍ２。

４．教师引导进一步的讨论。

教师：看起来我们的问题已经解决，但我还有几个问题想不明白，一个是不给出ａ、ｂ、ｃ的具体尺寸而只给ａ≥ｂ≥ｃ，你能知道哪一种打包形式表面积最小吗？还有一个问题是：是不是１０包长方体的物体打成一包，第六种打包形式一定是表面积最小的呢？再一个问题是，既然对香烟来说第六种打包形式的表面积最小，可为什么外面买的香烟都不是这样打包，而是用如（见图131）图所示的形式打包的呢？请你们帮助我把这几个问题想明白，告诉我好吗？

【说明】教师不是以“总是正确的指导者”的面目出现，而是表现出自己“也想不明白”。这样的问题引入方式更有利于调动学生主动思考的积极性，培养不迷信“权威”的进取精神和创造意识。

学生热烈讨论后提出多种想法：

学生D：我们可以写出各种打包形式下的９种表面积的代数式，如上面①－⑨式前半部分，不用计算出具体数字的结果，我们就可以看出大小。

教师：怎么看？我怎么看不出来？

学生D：因为Ｘ≥Ｙ≥Ｚ，所以Ｘ的正系数越小面积就越小。

学生E：面积大的面被对接的越多，面积被抵销的也越多，打包后的表面积就越小。

教师：想得很好，请你给大家说说，⑥式和⑨式不看计算的结果，哪个面积小？为什么？

学生E：因为⑥－⑨＝10（Ｚ－Ｙ）≤０。

教师：①式和⑥式呢？

学生E：①式……不，象是⑥式，一下子说不清。

学生F：要分情况讨论，①－⑥＝10Ｙ－２Ｘ＝10ｂｃ－２ａｂ＝２ｂ（５ｃ－ａ）；

当５ｃ≥ａ时，⑥式对应的面积小；当５ｃ≤ａ时，①式对应的面积小。

教师：想得漂亮，谁能把上面讨论的结果再归纳得更完整一些？

学生G：１０个一样的长方体的规则打包问题的最小表面积的打包方法可以这样确定，根据长方体的长、宽、高，确定a，b，c 的代表对象，使得a≥b≥c。这样Ｘ＝ａｂ，Ｙ＝ａｃ，Ｚ＝ｂｃ，当然就有Ｘ≥Ｙ≥Ｚ。根据前面的讨论，①②③式中①最小，（教师补充：这只要作差①－②，①－③，判断它们的正负号，就可以知道这个结论是正确的）。同理④⑤⑥⑦⑧⑨式中⑥式最小，最后再比较①式和⑥式就可以知道当５ｃ≥ａ时，⑥式对应的面积小，此时应按照图2-10的方式表面积最小；当５ｃ≤ａ时，①式对应的面积小。此时应按照图2-4的形式打包。

学生H：老师，他的结论已经回答了您说的第二个问题，⑥式所对应的打包形式不一定总是表面积最小的，当５c≤a时就不对。

学生I：我觉得您提的第三个问题应该这样考虑，表面积最小的打包方式不一定是美观和实用的，外面买的香烟的打的包比较长，我想主要是为了顾客好拿。

学生J：长条的烟拿着“有派”，……。

学生K：往大箱子里放比较方便……。

教师补充：我想打包的表面积最小和最省包装材料并不十分一致，因为外包装的两端都有粘贴部分，这些地方的面积就有重叠。另外，作外包装的盒子时，是从一张更大的纸上下的料，因此这时“节约”所考虑的问题不是打包的表面积小，而是下料后的残料尽可能的小。………

【说明】将问题的条件一般化，使结果有更好的适应性；数学建模的结果不一定和实际情况很吻合，分析其中的原因等都是教师在建模教学中引导学生思考发挥学生创造性的“用武之地”。

５．给学生提问题留出时间和机会

教师：大家的想法都很有道理，看起来只要我们认真去思考，还会有新的问题和发现。从这个问题的解决过程看，同学们还有什么问题，还有什么你自己的发现？

学生M：老师，我觉得打包后的立方体越接近于一个正方体，它的表面积就越小。

(教师插话：为什么？)

学生：我也只是“觉得”从这儿想是不是能很快解决打包问题。道理还没有想好。

【说明】多好的数学直觉！若是高中学生，就可以引导他们从这条路走下去，借助于不等式知识建立另一种解决问题的数学模型。

教师：你的想法非常好，也许你会找到一条解决问题的捷径，但首先要把“觉得”变成数学的事实，我给你提一个建议，课后找一些同学一起进一步研究讨论，也许需要看一点有关不等式的参考书，希望你们能把这“新路”走通，说不定还有更多的发现呢。

学生Ｌ：我想的另一个问题是，从香烟盒的外形数据来看８８＝４×２２，如果我把两

图1-16

盒香烟移到下图的位置，有没有可能使表面积变小？

教师：对小Ｌ同学提的问题，其它同学有什么看法？

学生P：我觉得表面积没有变化，只是多了两个Ｘ面积、少了８个Ｚ面积，而２Ｘ＝８Ｚ，所以表面积的不变。

教师：回答的很好，其实小Ｌ同学的问题给我们的另一个启示是，不必“规则”打包，只保证打包后的结果是一个长方体，怎样打包可使表面积最小？这是一类新的更复杂的打包问题，我想这是大家课后讨论研究的很好素材，希望看到大家的研究成果。

6．思维训练

教师：下面我们从思维层面来做几分钟提问题的练习，请同学们看屏幕：大家可以相互议论一下，有想法的同学可以站起来说

屏幕出现以下提示语：你能设计一个新的打包问题吗？

由打包问题你还能联想到那些相关的问题？

你有解决这些问题的初步想法或方案吗？

学生们热烈讨论，不少同学抢着发言，主要内容有：

----可以提出火柴打包、书籍打包面积表最小的问题；

----把长方体改成，圆柱就是一个“饮料罐的打包问题”，有几个同学认为解决这个问题可以化归成“规则打包”问题，因为只要把全等的饮料罐的外接长方体作为研究对象就可以了，更多的同学不同意这种观点，认为圆柱有特殊性，圆柱之间的空隙是可以被更有效地利用的。

----可以更一般地提出容积一定，表面积最小的极值问题，有学生猜想越接近于“球”的形状结果越好，有同学提出可以物理的表面张力的试验的办法确定一些特殊的最小表面积的结构和形状；

----可以提出反问题，表面积一定，怎样打包，容积最大？

----为什么要寻求容积一定的最小表面积？许多商品就不追求最小表面积，如饮料罐头，鱼罐头等等，这里面是不是还有其他的考虑？……

７．小结和作业

教师小结：同学们，刚才你们提出了许多很好的问题，我为你们积极思考的态度和快速提出问题的能力所感动。下课的时间很快就要到了，我知道大家还有很多问题要提，实际上学习的过程就是一个不断给自己提出新问题，不断挑战自己的过程，我希望大家在课后继续思考，努力解决它们，我还想把刚才一位同学提出的一个问题作为我们的作业之一：就是，我们常见的饮料罐内装355ml饮料，（如可乐、啤酒等），问题是，它是表面积最小的形状吗？（学生Z：感觉不是，与正方体或球的差别太大），那好，我们问，最小表面积的圆柱应该是什么样子？更进一步回答，现实中的饮料罐为什么不是这个样子？给出你的分析。

其他作业还有：

⑴根据上面的结果，给出十包以下物品打包后，具有最小表面积的打包形式。

火柴：ａ＝４６mm ｂ＝３６mm ｃ＝１６mm

书籍：ａ＝１８３mm ｂ＝１２９mm ｃ＝２０mm

⑵将６包香烟打成一包，表面积不同的打包方式有几种？其中表面积最小的打包方式是怎样的？

⑶选做：将上题中的６包改成１２包或８包，结果怎样？有没有一个更一般的处理这类问题程序？

⑷选做：你能设计一个新的打包问题吗？由打包问题你还能联想到那些相关的问题？你有解决这些问题的想法或方案吗？

教师：作为本课的结束，我给同学们几句话：留心处处皆学问、专心事事有收获、上心时时有问题。努力“做”、“学”、“问”就会让你的学习生活充满发现、创造的乐趣。

高中数学新课程创新教学设计案例等比数列

高中数学新课程创新教学设计案例等比数列 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

47 等比数列 教学内容分析 这节课是在等差数列的基础上，运用同样的研究方法和研究步骤，研究另一种特殊数列———等比数列．重点是等比数列的定义和通项公式的发现过程及应用，难点是应用． 教学目标 1. 熟练掌握等比数列的定义、通项公式等基本知识，并熟练加以运用． 2. 进一步培养学生的类比、推理、抽象、概括、归纳、猜想能力． 3. 感受等比数列丰富的现实背景，进一步培养学生对数学学习的积极情感． 任务分析 这节内容由于是在等差数列的基础上，运用同样的方法和步骤，研究类似的问题，学生接受起来较为容易，所以应多放手让学生思考，并注意运用类比思想，这样不仅有利于学生分清等差和等比数列的区别，而且可以锻炼学生从多角度、多层次分析和解决问题的能力．另外，与等差数列相比等比数列须要注意的细节较多，如没有零项、ｑ≠0等，在教学中应注意加以比较． 教学设计 一、问题情景 在前面我们学习了等差数列，在现实生活中，我们还会遇到下面的特殊数列： 1. 在现实生活中，经常会遇到下面一类特殊数列．下图是某种细胞分裂的模型． 细胞分裂个数可以组成下面的数列： 1，2，4，8，… 2. 一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过电子函件进行传播．如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，函件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推．假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么，在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是 1，20，202，203，…

（3）除了单利，银行还有一种支付利息的方式———复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”．按照复利计算本利和的公式是 本利和＝本金×（1＋利率）存期 例如，现在存入银行10000元钱，年利率是%，那么按照复利，5年内各年末得到的本利和分别是（计算时精确到小数点后2位）： 表47-1 时间年初本金（元）年末本利和（元） 第1年10000 10000× 第2年10000×10000× 第3年10000×10000× 第4年10000×10000× 第5年10000×10000× 各年末的本利和（单位：元）组成了下面的数列： １００００×１０１９８，１００００×１０１９８２，１００００×１０１９８３，１００００×１０１９８４，１００００×１０１９８５． 问题：回忆等差数列的研究方法，我们对这些数列应作如何研究 二、建立模型 结合等差数列的研究方法，引导学生运用从特殊到一般的思想方法分析和探究，发现这些数列的共同特点，从而归纳出等比数列的定义及符号表示： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列 叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示（ｑ≠0）．即 ［问题］ 1. ｑ可以为0吗有没有既是等差，又是等比的数列 2. 运用类比的思想可以发现，等比数列的定义是把等差数列的定义中的“差”换成了“比”，同样，你能类比得出等比数列的通项公式吗如果能得出，试用以上例子加以检验． 对于2，引导学生运用类比的方法：等差数列通项公式为ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ，即ａ１与（ｎ－１）个ｄ的和，等比数列的通项公式应为ａｎ等于ａ１与（ｎ－１）个ｑ的乘积，即ａｎ＝ａ１ｑｎ－１．上面的几个例子都满足通项公式． 3. 你如何论证上述公式的正确性．

高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二

二项式定理（第1课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理． （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用． （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养． 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法． （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利

高中数学必修五全套教案(非常好的)

（第1课时） 课题 §2.1数列的概念与简单表示法 ●教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ 3 1 ”是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 51 413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1 = 来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系

高中数学教学设计模版及案例

联系已学知识，可以解决这个问题。 对应问题1. 第三边c 是确定的，如何利用条件求之？ 首先用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c ()() 222 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b =?=--=?+?-?=+-? C a 从而2222cos c a b ab C =+-，同理可证2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+- 教学情境二 对余弦定理的理解、定理的推论 对应问题2 公式有什么特点？能够解决什么问题？ 等式为二次齐次形式，左边的边对应右边的角。主要作用是已知三角形的两边及夹角求对边。 对应问题3 从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论：（由学生推出）

222cos 2+-=b c a A bc ； 222cos 2+-=a c b B ac ； 222 cos 2+-=b a c C ba [理解定理]余弦定理及其推论的基本作用为： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角求第三边； ②已知三角形的三条边求三个角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若?ABC 中，C=90，则cos 0=C ，这时222=+c a b 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 教学情境三 例题与课堂练习 例题．在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ⑴解：2222cos =+-b a c ac B =222+-?cos 045=2121)+-=8 ∴=b 求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： ⑵解法一：∵cos 2221,22+-=b c a A bc ∴060.=A 解法二：∵0sin sin sin45a A B = 又 a ＜c ，即00＜A ＜090, ∴060.=A 评述：解法二应注意确定A 的取值范围。 课堂练习 在?ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=120°） 教学情境四 课堂小结 （1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。 （3）正、余弦定理从数量关系的角度解释了三角形全等，已知边角求做三角形两类问题，使其化为可以计算的公式。 习题设计 1． 在?ABC 中，a=3,b=4,?=∠60C ,求c 边的长。 2． 在?ABC 中，a=3,b=5，c=7,求此三角形的最大角的度数。 3． 若sin :sin :sin 5:7:8A B C =,求此三角形的最大角与最小角的和的大小。 4． △ABC 中，若()222tan a c b B +-=，求角B 的大小。 5． ?ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,求角C 的大小） （本案例由河北师大附中 刘建良设计，由汉沽五中 纪昌武 在目标设计和习题设计方面略作改动） 编写要求： 1、页面设置：A4，上、下、左、右边距都为2cm ；教学课题：小四宋体加粗；问题设计：课本上没有的有价值的情境、问题、例题、习题用五号黑体字，并简要说明设计意图。其他都用五号宋体。“目标设计、情境设计、问题设计、习题设计”要加粗。 2、目标设计主要写知识目标的设计。目标要具体明确、具有可操作性、可测性。

高中数学《方程的根与函数的零点》公开课优秀教学设计一

2016年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动交流课案 课 题：3.1.1 方程的根与函数的零点 教 材：人教A 版高中数学·必修1 【教材分析】 本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。 第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数 ()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零 点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的 教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。 【教学目标】 1.理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。 2.通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。 3.通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。 【学情分析】 1.学生具备的知识与能力 (1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系。 (2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。 2. 学生欠缺的知识与能力 (1)超越函数的相关计算及其图象性质. (2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出

2019高中数学必修1教案§1.1.1集合的含义与表示

第一章集合与函数概念 一. 课标要求： 本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力 . 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识 . 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力. 6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 . 7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 . 8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法 . 9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算. 教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2. 教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念. 教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。 3. 教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题，这一观点，一直贯穿到以后的数学学

高中数学优秀教学案例设计汇编(上册)

高中数学教学设计大赛获奖作品汇编 （上部）

目 录 1、集合与函数概念实习作业…………………………………… 2、指数函数的图象及其性质…………………………………… 3、对数的概念………………………………………………… 4、对数函数及其性质（1）…………………………………… 5、对数函数及其性质（2）…………………………………… 6、函数图象及其应用…………………………………… 7、方程的根与函数的零点…………………………………… 8、用二分法求方程的近似解…………………………………… 9、用二分法求方程的近似解…………………………………… 10、直线与平面平行的判定…………………………………… 11、循环结构 ………………………………………………… 12、任意角的三角函数（1）………………………………… 13、任意角的三角函数（2）…………………………………… 14、函数sin()y A x ω?=+的图象………………………… 15、向量的加法及其几何意义……………………………………… 16、平面向量数量积的物理背景及其含义（1）……………… 17、平面向量数量积的物理背景及其含义（2）…………………… 18、正弦定理（1）…………………………………………………… 19、正弦定理（2）…………………………………………………… 20、正弦定理（3）……………………………………………………

21、余弦定理……………………………………………… 22、等差数列……………………………………………… 23、等差数列的前n项和……………………………………… 24、等比数列的前n项和……………………………………… 25、简单的线性规划问题……………………………………… 26、拋物线及其标准方程……………………………………… 27、圆锥曲线定义的运用………………………………………

高中数学《排列与排列数公式》公开课优秀教学设计

《排列与排列数公式》（第1课时）教学设计 一．教学内容解析 本节课是人教版A版《数学选修2-3》第一章第2节的第一节课，排列是一类特殊而重要的计数问题，教科书从简化运算的角度提出了排列的学习任务，通过具体实例概括而得出排列的概念，应用分步计数原理得出排列数公式，对于排列，有两个想法贯穿始终，一是根据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法，就像乘法作为加法的简便运算一样；二是注意应用两个计数原理思考和解决问题。 本节课具有承上启下的地位，理解排列的概念是应用分步计数原理推导排列数公式的前提，对具体的排列问题的分析又为排列数公式提供了基础。排列数公式的推导过程是分布计数原理的一个重要应用，同时，排列数公式又是推导组合数公式的主要依据。 基于学生的认知规律，本节课只是对排列和排列数公式的初步认识，在后面知识的学习过程中，逐步加深理解和灵活运用。 本节课的教学重点是排列的概念、排列数公式，教学难点是排列的概念，排列的概念有一定的抽象性，本节课结合教科书的编排，采取了由特殊到一般的归纳思想来建构概念的理解过程，通过引导学生分析三个典型事例，从中归纳出共同特征，再进一步概括出本质特征，得出排列的定义，再跟进10个具体事例多角度加深对概念的理解，并多次强调一个排列的特点，n个不同的元素，取出m个元素，元素的顺序，奠定学生对排列定义的理解基础，为后面组合概念的提出埋下伏笔。同时通过有规律的展示分步计数原理得到的一长串排列数，为后面水到渠成得到排列数公式作好铺垫，排列数公式的简单应用体现了排列简化步骤的优点，让学生直观感受学习排列的必要。 二．教学目标设置 1.通过几个具体实例归纳概括出排列的概念，并能运用排列的判断具体的的计数问题是否为排列问题；能利用分步计数原理推导排列数公式，能简化分步计数原理解决问题的步骤。在排列数符号及其公式的产生过程中体现简化的思想。学生学习后能够对排列或非排列问题作出准确的判断，能够分析原因，能够简单应用排列数公式。 2.在教学过程中，通过排列的概念、排列数公式的得到培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力，以及解决与计数有关的问题时主动联系排列相关知识的能力，体会排列知识在实际生活中的应用，增强学生学习数学的兴趣。 3.让学生学会通过对各种事情现象、本质的分析，得出一般的规律，通过由简到繁的着色问题、由繁到简的数学符号的引入过程体会丰富的数学文化. 三．学生学情分析 学生对两个计数原理已很好的掌握，但凡计数的问题能够往分类或分步的方向进行思考，学生的层次决定了学生有较强的理解、分析、解决问题的能力，有着大量的生活中诸如设置密码、车牌号、排队、参加活动、接力赛...与计数问题有关的经验，对数学中归纳化归、有特殊到一般的思想方法比较敏感，但抽象概括的能力较弱，排列概念的得到，要独立将颜色、数字、人抽象为元素，对着色的方案抽象出顺序有一定的困难，需在独立思考加协作讨论的基础上再由老师引导突破教学难点。 四．教学策略分析 在本节课的教学过程中将数学文化和数学知识、实际生活有机的融合，让抽象的数学概念形成的过程丰富多元，避免单调枯燥。

高中数学必修一集合的含义及其表示教案

第一章 集合与函数概念 1.1集合 1.1.1 集合的含义及其表示 教学目的：（1）初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法； （2）初步了解“属于”关系的意义； （3）初步了解有限集、无限集、空集的意义； 教学重点：集合的含义与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。 教学过程： 一、问题引入： 我家有爸爸、妈妈和我； 我来自燕山中学； 省溧中高一（1）班； 我国的直辖市。 分析、归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义。 二、建构数学： 1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set ）。集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B …… 集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元。集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如a 、b 、c 、p 、q …… 指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。 （1）我国的直辖市； （2）省溧中高一（1）班全体学生；（3）较大的数 （4）young 中的字母； （5）大于100的数； （6）小于0的正数。 2．关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。 3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ?A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写） 4．有限集、无限集和空集的概念： 5．常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，， 210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数 =Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应 的=R

[复习]高中数学课题教学设计案例.docx

高中数学课程可选内容的资源 ——数学建模、数学课题学习的教学设计的案例 1.升旗中的数学问题 （一）问题情景和任务 问题情景：在不同地区，同一天的H出和H落吋间不尽相同；对一个地区而言，H岀日落时间又是随FI期的变化而变化的。北京的天安门广场上的国旗每天伴着太阳升起、伴着太阳降落，下表给出了是天安门广场2003年部分LI期的升、降旗时刻表： 任务1：试根据上表提供的数据，分析升、降旗时间变化的人致规律；建立坐标系，将以上数据描在坐标系中； 任务2：分别建立I」出时间和I」落时间关于I」期的近似函数模型；利用你建立的函数模型，计算“五一”国际劳动节、“十一”国庆节的升、降旗时间； 任务3：利用年鉴、互联网或其它资料，查阅北京天安门2003年升旗时间表，检验模型的准确度，分析误差原因，考虑如何改进口己的模型。 任务4：你所生活地区（城市、省、乡村等）某年不同的日期的“日出和FI落”的时间, 建立一个函数关系。 （二）实施建议与说明 通过对升旗中数学问题的求解和讨论，进一步了解相关数学知识的意义和作用，体验数学

建模的基木过程，增强数学知识的应用意识。理解用函数拟合数据的方法，捉高对数据的 观察、分析、处理、从中获取有益信息的能力。 在这个探求活动屮，要特别重视观察、分析、处理数据的一般方法、现代技术的合理使用、数学得到的结果与实际情况不同的原因分析。 1?组成学习探究小组，集体讨论，互相启发，形成可行的探究方案，独立思考，完成每个人的“成果报告”。 2.任务1的建议： 为了便于在坐标系中观察表中数据，选择适当的计最单位，如升旗时刻以10分之为一个单位，H期可以天为单位，即1月1 H为第0天，12月31日为第364天；可借助图形计算器或其它工具绘制各点， 3.任务2的建议： 利用自己的生活经验，或者访问家长、地理老师等，结合散点图，选择学过的适当函数, 作为刻画该关系的模型；要应注意关键数据（如最早升（降）旗时间和最迟升（降）旗时间等）在确定拟合函数参数小的作用； 4.任务3的建议： 根据观察坐标平而上所绘制点的走向趋势，对以考虑分段拟合函数。 5.“成果报告”的书写建议 成果报告可以下表形式呈现。 表1：探究学习成果报告表年级 ________ 班—完成时间_________

人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖

1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性；

(人教版)高中数学必修四优秀教案

第一章三角函数 1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）推广角的概念、引入大于360?角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（. 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 三、学法 回忆-观察-讲解-归纳-推广. 四、教学设想 【创设情境】 思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360 ?? ~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 【探究新知】 1．初中时，我们已学习了0360 ?? ~角的概念，它是如何定义的呢？ 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的

端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720?” （即转体2周），“转体1080?”（即转体3周）等,都是遇到大于360?的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360?的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? 如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750?；图1.1.3(2)中，正角210α?=，负角150,660βγ??=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α. 3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 如教材图1.1-4中的30?角、 210?-角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一

高中数学新课程创新教学设计案例 角的概念的推广

31 角的概念的推广 教材分析 这节课主要是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角．首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等．在这节课中，重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键． 教学目标 1. 通过实例，体会推广角的必要性和实际意义，理解正角、负角和零角的定义． 2. 理解象限角的概念、意义及表示方法，掌握终边相同的角的表示方法． 3. 通过对“由一点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成角”的认识过程，使学生感受“动”与“静”的对立与统一．培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量关系． 任务分析 这节课概念很多，应尽可能让学生通过生活中的例子（如钟表上指针的转动、体操运动员的转体、自行车轮子上的某点的运动等）了解引入任意角的必要性及实际意义，变抽象为具体．另外，可借助于多媒体进行动态演示，加深学生对知识的理解和掌握． 教学设计 一、问题情境 ［演示］ 1. 观览车的运动． 2. 体操运动员、跳台跳板运动员的前、后转体动作． 3. 钟表秒针的转动． 4. 自行车轮子的滚动．

［问题］ 1. 如果观览车两边各站一人，当观览车转了两周时，他们观察到的观览车上的某个座位上的游客进行了怎样的旋转，旋转了多大的角 2. 在运动员“转体一周半动作”中，运动员是按什么方向旋转的，转了多大角 3. 钟表上的秒针（当时间过了时）是按什么方向转动的，转动了多大角 4. 当自行车的轮子转了两周时，自行车轮子上的某一点，转了多大角 显然，这些角超出了我们已有的认识范围．本节课将在已掌握的0°～360°角的范围的基础上，把角的概念加以推广，为进一步研究三角函数作好准备． 二、建立模型 1. 正角、负角、零角的概念 在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个方向：顺时针方向和逆时针方向．习惯上规定，按逆时针旋转而成的角叫作正角；按顺时针方向旋转而成的角叫作负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫作零角． 2. 象限角 当角的顶点与坐标原点重合、角的始边与ｘ轴正半轴重合时，角的终边在第几象限，就把这个角叫作第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限． 3. 终边相同的角 在坐标系中作出390°，－330°角的终边，不难发现，它们都与30°角的终边相同，并且这两个角都可以表示成0°～360°角与k个（k∈Z）周角的和，即 390°＝30°＋360°，（k＝1）； －330°＝30°－360°，（k＝－1）． 设S＝｛β｜β＝30°＋k·360°，k∈Z｝，则390°，－330°角都是S中的元素，30°角也是S中的元素（此时k＝0）．容易看出，所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，都是S中的元素；反过来，集合S中的任一元素均与30°角终边相同．一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一与α终边相同的角，都可以表求成角α与整数个周角的和． 三、解释应用 ［例题］ 1. 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．

(新)高中数学教学设计

等比数列的前n项和 （第一课时） 一．教材分析。 （1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5），是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 （2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。 二．学情分析。 （1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。 （2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。 （3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三．教学目标。 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为： （1）知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。

高中数学必修一教案全套

高中数学必修一教案全套 Last revision date: 13 December 2020.

『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念 课题：§1.1 集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方 面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于” 关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不 同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8 月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高 一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新 的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P-P内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能 意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set）， 也简称集。 ——————————————第 1 页（共 70页）——————————————

高中数学教学设计模版及案例

教学情境一：（问题引入）在ABC中，已知两边a,b和夹角C，作出三角形。 联系已学知识，可以解决这个问题。

对应问题1. 第三边c 是确定的，如何利用条件求之 首先用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c ()() 222 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b =?=--=?+?-?=+-? C a 从而2222cos c a b ab C =+-，同理可证2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+- 教学情境二 对余弦定理的理解、定理的推论 对应问题2 公式有什么特点能够解决什么问题 等式为二次齐次形式，左边的边对应右边的角。主要作用是已知三角形的两边及夹角求对边。 对应问题3 从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角 从余弦定理，又可得到以下推论：（由学生推出） 222cos 2+-=b c a A bc ； 222cos 2+-=a c b B ac ； 222 cos 2+-=b a c C ba [理解定理]余弦定理及其推论的基本作用为： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角求第三边； ②已知三角形的三条边求三个角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系 （由学生总结）若?ABC 中，C=90，则cos 0=C ，这时222=+c a b 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 教学情境三 例题与课堂练习 例题．在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ⑴解：2222cos =+-b a c ac B =222+-?cos 045=2121)+-=8 ∴=b 求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： ⑵解法一：∵cos 2221,22+-==b c a A bc ∴060.=A 解法二：∵0sin sin sin45a A B b = 又 a ＜c ，即00＜A ＜090, ∴060.=A 评述：解法二应注意确定A 的取值范围。

高中数学教学设计大赛获奖作品汇编

对数函数及其性质（1） 一、教材分析 本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》（人教版）第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。 二、学生学习情况分析 刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。 三、设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。 四、教学目标 1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。 五、教学重点与难点 重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响． 六、教学过程设计