曲线积分与曲面积分备课教案
第十章曲线积分与曲面积分
一、教学目标及基本要求：
1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2、会计算两类曲线积分
3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。
4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。
5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。
6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。
二、教学内容及学时分配：
第一节对弧长的曲线积分2学时
第二节对坐标的曲线积分2学时
第三节格林公式及其应用4学时
第四节对面积的曲面积分2学时
第五节对坐标的曲面积分2学时
第六节高斯公式通量与散度2学时
第七节斯托克斯公式环流量与旋度2学时
三、教学内容的重点及难点：
1、二类曲线积分的概念及其计算方法
2、二类曲面积分的概念及其计算方法
3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式
4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。
5、两类曲线积分的关系和区别
6、两类曲面积分的关系和区别
7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用
五、思考题与习题
第一节习题10—1 131页：3（单数）、4、5
第二节习题10-2 141页：3（单数）、4、5、7（单数）
第三节习题10-3 153页：1、2、3、4（单数）、5（单数）6（单数）、7
第四节习题10-4 158页：4、5、6（单数）、7、8
第五节习题10-5 167页：3（单数）、4
第六节习题10-6 174页：1（单数）、2（单数）、3（单数）
第七节习题10-7 183页：1（单数）、2、3、4
第一节对弧长的曲线积分
一、内容要点
由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。
1、引例：求曲线形构件的质量
最后举例巩固计算方法的掌握。
2、s z y x f d ),,(?Γ
为第一类曲线积分，其中Γ为曲线，被积函数),,(z y x f 中的点),,(z y x 位于
曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。
若Γ是封闭曲线，则第一类曲线积分记为s z y x f d ),,(?Γ
3、第一类曲线积分的应用： 1）、曲线Γ的长s=s d ?Γ
2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ，Γ∈),,(z y x ，则其质量M ds z y x f ),,(?Γ
=;
质心坐标为),,(z y x ，其中M
ds z y x zf z M
ds z y x yf y M
ds
z y x xf x ),,(,),,(,),,(???Γ
Γ
Γ
=
=
=;
对x 轴的转动惯量ds z y x f z y Ix ),,()(22+=?
Γ
4、第一类曲线积分的计算方法：
若空间曲线Γ参数方程为：??
?
??===)()()(t z z t y y t x x ，βα≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=，
s z y x f d ),,(?Γ
=
?β
α
))(),(),((t z t y t x f t t z t y t x d )]('[)]('[)]('[222++。
例1 计算?
Γ
ds z y x )(222++，其中Γ：t x cos =，t y sin =，t z =，π20≤≤t
解 因为222z y x ++=222sin cos t t t ++=21t +，dt dt t t ds 21)(cos )sin (22=++-=, 所以?
Γ
ds z y x )(2
22++)3
82(22)1(3
2
20
πππ
+=+=?
dt t
例2
?Γds y ||，其中Γ为球面2222
=++z y x
与平面y x =的交线；
解 Γ的参数方程为t z t y x sin 2,cos ===，π20≤≤t ，dt dt z y x ds 2'''222=++=，根据对称性得到?
L
ds y ||=24d cos 2
42
0=?t t π
例3 计算?Γds z y x )(2
2
2
++，其中:Γ?????==+12
22z a y x )0(>a
解 Γ:??
?
??===1sin cos z t a y t a x ,π20≤≤t ,dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=adt dt t t a =+=)cos (sin 222
∴
?Γds z y x )(222++)1(2)1(2220
+=+=?
a a adt a ππ
或解：被积函数222z y x ++中的点),,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程 ，所以12222+=++a z y x ，?
Γ
ds z y x )(222++=?
Γ
ds a )1(2+=?
+=+Γ)1(2)
1(22a a ds
a π
二、教学要求和注意点
1、理解对弧长的曲线积分的概念，了解对弧长的曲线积分的性质
2、掌握计算对弧长的曲线积分的方法
3、对弧长的曲线积分与曲线方向无关，化弧长的曲线积分为定积分时，定积分的上限不能比下限小。
第二节 对坐标的曲线积分
一、内容要点
引例：变力沿曲线所作的功
由例子引入对坐标的曲线积分的定义，给出性质然后介绍将对坐标的曲线积分化为定积分的计算方法，并强调指出两类曲线积分化为定积分的计算方法，最后举例巩固计算方法的掌握。
一、?Γ
++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(为第二类曲线积分，其中Γ是一条定向曲线，
)),,(),,,(),,,((z y x R z y x Q z y x P F =
为向量值函数，=r d ),,(dz dy dx 为定向弧长元素（有向曲线元）
若曲线Γ的参数方程为：??
???===)()()
(t z z t y y t x x ，则
切向量))('),('),('(t z t y t x =τ ，单位切向量)cos ,cos ,(cos γβατ=e
弧长元素ds =dt t z t y t x 222)(')(')('++
定向弧长元素=r d
),,(dz dy dx =))(',)(',)('(dt t z dt t y dt t x dt t z t y t x ))('),('),('(= ds t z t y t x t z t z t y t x t y t z t y t x t x ))
(')(')(')
(,
)(')(')(')
(',
)
(')(')(')
('(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
++'++++=
=ds e ds τγβα
=)cos ,cos ,(cos
?Γ
++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(=??Γ
F r d =??Γ
F ds e τ
=ds z y x R z y x Q z y x P ?Γ
++]cos ),,(cos ),,(cos ),,([γβα=ds t z t y t x t z z y x R t y z y x Q t x z y x P ?
Γ
++'+'+'2
2
2
)
(')(')(')
(),,()(),,()(),,(
上面的等式表明第二类曲线积分可以化为为第一类曲线积分。
例1 把第二类曲线积分?Γ
++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(化成第一类曲线积分，其中Γ为
从点)0,0,0(到点)1,2
2
,22(
的直线段。 解 方向向量=τ
)1,22,22(，其方向余弦2
2cos ,21cos ,21cos =
==γβα， 原式=ds z y x R z y x Q z y x P ?Γ++]cos ),,(cos ),,(cos ),,([γβα=ds z y x R z y x Q z y x P ?
Γ++2
)
,,(2),,(),,(
例2.把第二类曲线积分?+L
dy y x Q dx y x P ),(),(化成第一类曲线积分，其中L 为
从点)0,0(沿上半圆周x y x 222=+到点)1,1(
解 L 的参数方程为10:22
→????
?-==x x
x y x
x ，切向量)','(y x =τ
)21,
1(2
x
x x --=
其方向余弦22cos x x -=α，x -=1cos β，
?+L dy y x Q dx y x P ),(),(=ds y x Q y x P L ?+]cos ),(cos ),([βα=ds y x Q x y x P x x L ?-+-)],()1(),(2[
2。
二、第二类曲线积分的应用：
若一质点从点A 沿光滑曲线（或分断光滑曲线）Γ移动到点B ，在移动过程中，这质
点受到力k z y x R j z y x Q i z y x P F
),,(),,(),,(++=，则该力所作的功
W=??Γ
F
r d
=?Γ
++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(
三、第二类曲线积分的计算方法：
1、若空间定向曲线Γ的参数方程b a t t z z t y y t x x →??
?
??===:)()()(，则
?Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(
=?++b
a dt t z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P )]('))(),(),(()('))(),(),(()('))(),(),(([
2、若平面定向曲线L 的参数方程：b a t t y y t x x →??
?==:)
()
(，则
?+L dy y x Q dx y x P ),(),(=?+b
a
dt t y t y t x Q t x t y t x P )]('))(),(()('))(),(([
例 1 计算?Γ
-+ydz zdy dx x 2，其中Γ为曲线θθθsin ,cos ,a z a y k x ===上从0=θ到πθ=的
一段弧。
解 ?Γ-+ydz zdy dx x 2
=θθθθπ
d a a k ]cos sin [02
22223?
--=
ππ23
33
a k -。 例2
计算曲线积分?-+-+-c
z y x y z x x y z d )(d )(d )(，其中C 是曲线
??
??
?=+-=+21
22z y x y x 从z 轴正向看去，C 取顺时针方向 分析 先写出曲线C 的参数方程，可令θcos =x ，θsin =y ，则θθs i n c
o s 2+-=z ，θ为参数，由题设，C 的起点、终点对应的参数值分别为π2和0；在代入计算公式。
解 曲线C 的参数方程为 θcos =x ，θsin =y ，θθsin cos 2+-=z ，02:→πθ，于是
原式?+--+--=0
2cos )sin 2cos 2()sin )(cos 2[(πθθθθθθθθθθd )]sin )(cos sin (cos +-
?--+=
π
θθθθ20
d )12cos 2cos 2sin 2(?-=-=π
πθ20
2d 0．
二、教学要求和注意点
1、二类曲线积分的定义及计算方法，并讲清楚它们的联系和区别。
2、曲线积分与二重积分由格林公式联系起来，并由此得出结果——可用曲线积分计算平面图形的面积。
在本章的讲述中，应提醒学生注意：
1、对坐标的曲线积分与曲线方向有关。
2、求曲线型构件的质量转动惯量，长度及重心坐标用对弧长的曲线积分；求变力沿曲线所作的功用对坐标的曲线积分。
第三节 格林公式及其应用
一、内容要点
先介绍单连通域，画图说明然后回忆牛顿–––菜布尼兹公式，由此推出格林公式（书上定理1）并证明。
提出格林公式将二重积分与曲线积分联系起来了。 举2个例子说明格林公式的用法
再介绍平面上曲线积分与路径无关的条件。
给出149页定理3，并证明，更重点讲151页公式，然后举2个例子说明该公式的用法。
该堂课讲153页习题3，再由此说明格林公式的条件。 二、教学要求和注意点
第四节 对面积的曲面积分
一、内容要点
引例：求空间曲面的质量
由例子引进对面积的曲面积分的定义，并给出性质
介绍将对面积的曲面积分化为二重积分的计算方法，该方法可概括为“一代二换三投影”。
举3个例子提出该积分与二重积分的区别
二、教学要求和注意点
了解对面积的面积分的定义，掌握其计算方法
在本章的讲述中，应提醒学生注意：
求空间曲面的质量、转动惯量，曲面面积及重心坐标用对面积的曲面积分；
第五节对坐标的曲面积分
一、内容要点
先介绍有向曲面
引例：稳定流体在单位时间流过曲面的流量
由例子引入对坐标的曲面积分的定义，给出性质重点说清楚对坐标的曲面积分与曲面的侧有关，同时提醒学生注意区别两类曲面积分。
再介绍对坐标的曲面积分化为二重积分的方法，举2个例子说明该方法。
最后给出两类曲面积分之间的联系。
二、教学要求和注意点
1、二类曲面积分的定义及计算方法，并讲清楚它们的联系和区别。
2、曲线积分与曲面积分计算空间立体的体积。
3、求稳定的流体在单位时间内通过曲面的流量用对坐标的曲面积分。
第六节高斯公式通量与散度
一、内容要点
提出高斯公式，并证明
指出高斯公式将三重积分与曲面积分联系起来了，再举2个例子说明高斯公式。
简单介绍通量与散度，讲几个习题
二、教学要求和注意点
曲面积分与三重积分曲高斯公式联系起来，并由此得出结果——可用曲面积分计算空间立体的体积。
第七节斯托克斯公式环流量与旋度
一、内容要点
介绍175页定理1，说明斯托克斯公式将曲线积分与曲面积分联系起来了，讲178页例1及例2。介绍环流量与旋度，本章小结。
二、教学要求和注意点
曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)
第十一章解题方法归纳 一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下： (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数 对为奇函数 其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数 对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数 对为偶函数 其中1L 是L 在上半平面部分.
（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则 ()()=??L L f x ds f y ds . （3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分. 若积分曲面∑关于yOz 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分. 若积分曲面∑关于zOx 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分. （4）若曲线弧() :()()αβ=?≤≤?=? x x t L t y y t ，则 [ (,)(),()()β α αβ=
曲线积分与曲面积分
第十章 曲线积分与曲面积分 一、 基本内容要求 1． 理解线、面积分的概念，了解线、面积分的几何意义及物理意义，能用线、 面积分表达一些几何量和物理量； 2． 掌握线、面积分的计算法； 3． 知道两类曲线积分及两类曲面积分的联系； 4． 掌握格林公式，并能将沿闭曲线正向的积分化为该曲线所围闭区域上的二重 积分； 5． 掌握曲线积分与路径无关的充要条件，并能求全微分为已知的某个原函数， 注意此时所讨论问题单连通域的条件不可缺少； 6． 掌握高斯公式，并能将闭曲面Σ外侧上的一个曲面积分化为由其所围空间闭 区间Ω上的三重积分。 二、 选择 1．设OM 是从O （0，0）到点M （1，1）的直线段，则与曲线积分I=ds e om y x ? +2 2不相等的积分是：（ ） A)dx e x 21 2? B) dy e y 21 02? C) dt e t ? 2 D) dr e r 21 ? 2．设L 是从点O(0,0)沿折线y=1-|x-1| 至点A(2,0) 的折线段，则曲线积分I= ? +-L xdy ydx 等于（ ） A)0 B)-1 C)2 D)-2 3．设L 为下半圆周)0(222≤=+y R y x ，将曲线积分I= ds y x L ? +)2(化为定
积分的正确结果是：（ ） A) dt t t R )sin 2(cos 0 2+? -π B) dt t t R )sin 2(cos 0 2 +?π C) dt t t R )cos 2sin (0 2+-?- π D) dt t t R )cos 2sin (232 2+-?π π 4．设L 是以A(-1,0) ,B(-3,2) ,C(3,0) 为顶点的三角形域的周界沿ABCA 方向， 则 ? -+-L dy y x dx y x )2()3(等于：（ ） A) -8 B) 0 C) 8 D) 20 5．设AEB 是由点A(-1,0) 沿上半圆 21x y -=经点E(0,1)到点B(1,0)， 则曲线积分I= dx y AEB ? 3等于：（ ） A) 0 B)dx y BE ? 32 C) dx y EB ? 32 D) dx y EA ? 32 三、 填空 1．γβαcos ,cos ,cos 是光滑闭曲面Σ的外法向量的方向余弦，又Σ所围的空间闭区域为Ω；设函数P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,z)在Ω上具有二阶连续偏导数，则由高斯公式，有 ds y P x Q x R z P z Q y R ]cos )(cos )(cos )[( γβα??-??+??-??+??-???? ∑ = 。 2．设L 是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且
第十一章曲线积分与曲面积分经典例题
第十一章 曲线积分与曲面积分 内容要点 一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质 性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα； 性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (),(βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ α d r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=??
最新曲线积分与曲面积分习题及答案
第十章 曲线积分与曲面积分 (A) 1．计算()?+L dx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。 2．计算? +L ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。 3．计算()?+L ds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=， ()π20≤≤t 。 4．计算?+L y x ds e 2 2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一 角限内所围成的扇形的整个边界。 5．计算???? ? ??+L ds y x 34 34，其中L 为内摆线t a x 3cos =，t a y 3sin =??? ??≤≤20πt 在第一象限内的一段弧。 6．计算 ? +L ds y x z 2 22 ，其中L 为螺线t a x cos =，t a y sin =，at z =()π20≤≤t 。 7．计算?L xydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。 8．计算?-+L ydz x dy zy dx x 2233，其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线 段AB 。 9．计算()?-+++L dz y x ydy xdx 1，其中L 是从点()1,1,1到点()4,3,2的一段直 线。 10．计算()()?---L dy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，() t a y cos 1-=的一拱(对应于由t 从0变到π2的一段弧)： 11．计算()()?-++L dy x y dx y x ，其中L 是： 1）抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧； 2）曲线122++=t t x ，12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。
曲线积分曲面积分总结
第十三章 曲线积分与曲面积分 定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分. 第一节 对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ． 如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为 n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ???．取其中的一小段弧i i M M 1-来分 析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点 (),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于 (),i i i s ρξη?．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即 ()∑=?≈n i i i i s y x M 1,ρ． 用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到 1 lim (,).n i i i i M s λρξη→∞ ==?∑ 即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义： 定义13.1 设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入 图13-1
曲线与曲面积分习题参考答案
十 曲线积分与曲面积分习题 (一) 对弧长的曲线积分 1. 计算ds y x L ?+)(22，其中L 为圆周t a y t a x sin ,cos == )20(π≤≤t . 解 320 32 2 2 2 20 2 2 2 2 2 2 2cos sin )sin cos ()(a dt a dt t a t a t a t a ds y x L ππ π==++=+???. 2. 计算ds x L ?，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界. 解 )12655(12 1 4121 021 0-+= ++=???dx x x dx x ds x L . 3．计算?L yds ,其中L 是抛物线x y 42=上从)0,0(O 到)2,1(A 的一段弧. 解 ?L yds ＝dy y y dy y y ??+=+2 22 2421)2(1 )122(3 4)4(4412202-=++= ?y d y . 4．计算?+L ds y x )(，其中L 为从点)0,0(O 到)1,1(A 的直线段. 解 ?+L ds y x )(＝23 2 11)(1 0= ++?x x . 5．计算?L xyzds ，其中L 是曲线232 1 ,232,t z t y t x == =)10(≤≤t 的一段. 解 ?L xyzds ＝??+=++1 31 02223)1(232 )2(121232dt t t t dt t t t t t ＝143 216. 6．计算L ?，其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第 一象限所围成的扇形的整个边界.
曲线积分与曲面积分(答案word
第十章 曲线积分与曲面积分 (一) 1．解：两点间直线段的方程为：x y -=1，()10≤≤x 故()dx dx dx y ds 21112 2=-+='+= 所以()()2211 =-+=+??dx x x dx y x L 。 2．解：L 的参数方程为??? ????=+=θθsin 212 1cos 21a y a a x ，()πθ20≤≤ 则()?θθcos 12||2 1 sin 2121cos 212 22+=??? ??+??? ??+=+a a a a y x 2cos ||12cos 212||212θθa a =??? ? ? -+= ||21cos 2sin 22 2 2 2 a a a d y x ds =?? ? ??+??? ??-='+'=θθθ 所以? ? =+πθθ 20 22 22 cos 21d a ds y x L ?? ? ??-= ??πππθθθθ0222cos 2cos 21d d a 220222sin 22sin 221a a =??? ? ??-=π ππθ θ 3．解：()()atdt dt t at t at dt y x ds =+= '+'=2222sin cos 故() ()()[] ? ?-++=+π20 2 2 222cos sin sin cos atdt t t t t t t a ds y x L ()()? +=? ??? ??+=+=ππ ππ20 2 3220 42 33321242a t t a dt t t a 4．解：如图? ? ? ?++++++=3 2 22 2 21 2 22 2L y x L y x L y x L y x ds e ds e ds e ds e
曲线积分与曲面积分总结
对弧长的曲线积分??+=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( ???==) ()(:t y y t x x L βα≤≤t dt t y t x t y t x f ?'+'βα)()())(),((22 (,,)((),(),(L L f x y z ds f x t y t z t =??():()()x x t L y y t z z t =??=??=? βα≤≤t ((),(),(f x t y t z t βα ? 22222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===? ?? 22=2(0)L x y y +≥为上半圆周 ?+L dy y x q dx y x p ),(),( ???==) ()(:t y y t x x L α=t β=t dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?βα (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++?
():()()x x t L y y t z z t =??=??=? α=t β =t ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt βα'''++? 11 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+?? 1( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? ??=??-??D dxdy y p x q )( ?+L dy y x q dx y x p ),(),( y p x q ??=?? ???+=+2 1212211),(),(),(),(21) ,(),(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=Q P x y ??? =?? 1、 ?? ??++= =∑xy D y x dxdy f f y x f y x ds z y x y x f z 221)),(,,(),,(),(μμ 2、 (,)(,,)(,(,),xz D y f x z x y z ds x f x z z μμ∑==???? 3、 (,)(,,)((,),,yz D x f y z x y z ds f y z y z μμ∑==???? ds ∑ =∑??面积。
第八章 曲线积分与曲面积分
第八章曲线积分与曲面积分 本章是把定积分概念推广到定义在曲线是的函数和定义曲面上的函数上去，就得到曲线积分和曲面积分。 §1对弧长的曲线积分 问题：设有一曲线形构件占xOy 面上的一段曲线L ，设构件的质量分布函数为),(y x ρ，设),(y x ρ定义在L 上且在L 上连续，求构件的质量。 ∑=→=n i i i i S M 10 ),(lim ?ηξρλ 定义：设L 为xOy 平面上的一条光滑的简单曲线弧，),(y x f 在L 上有界，在L 上任意插入一点列1M ，2M ，…，1-n M 把L 分成n 个小弧段 i i i M M L 1-=?的长度为i S ?，又),(i i ηξ是i L ?上的任一点，作乘积 i i i S f ?ηξ),(，),,2,1(n i =，并求和∑=n i i i i S f 1 ),(?ηξ，记}max {i S ?λ=，若 ∑=→n i i i i S f 1 ),(lim ?ηξλ存在，且极限值与L 的分法及),(i i ηξ在i L ?的取法无关， 则称极限值为),(y x f 在L 上对弧长的曲线积分，记为：?L s y x f d ),(，即 ?L s y x f d ),(∑=→=n i i i i S f 1 ),(lim ?ηξλ 。 其中),(y x f 叫做被积函数，L 叫做积分曲线。 对弧长曲线积分的存在性： 设),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则?L s y x f d ),(一定存在。 对弧长曲线积分的性质：
1、???±=±L L L s y x g s y x f s y x g y x f d ),(d ),(d )],(),([ 2、??=L L s y x f k s k y x kf d ),(d ),( 3、设21L L L +=，则???+=2 1 d ),(d ),(d ),(L L L s y x f s y x f s y x f 这里规定：若L 是封闭曲线，则曲线积分记为?L s y x f d ),( 有上述对弧长的曲线积分，则上面的问题就可以用对弧长的曲线积分表示为 ?=L s y x f M d ),( 对弧长的曲线积分的计算法： 在一定体积下化为定积分计算，首先要注意： 1、),(y x f 定义在曲线L 上， 2、s d 是弧长微分。 定理：设),(y x f 在光滑曲线L 上连续，L 由参数方程) ()() (βαψ?≤≤? ? ?==t t y t x 给出，其中)(t ?、)(t ψ在],[βα上具有连续导数且0)()(22≠'+'t t ψ?，则 ? L s y x f d ),(存在，且：??'+'=β α ψ?ψ?t t t t t f s y x f L d )()()](),([d ),(22。 若L 方程为：)(x y ψ=，b x a ≤≤，则??'+=b a L x x x x f s y x f d )(1)] (,[d ),(2ψψ。 若L 方程为：)(y x ?=，d y c ≤≤，则??'+=d c L y y y y f s y x f d )(1]),([d ),(2?? 例1、计算?L s y d ，其中L ：)20()cos 1() sin (π≤≤? ? ?-=-=t t a y t t a x
曲线积分与曲面积分总结
第十一章：曲线积分与曲面积分 一、对弧长的曲线积分 ?? +=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( 若 ? ? ?==)() (:t y y t x x L βα≤≤t 则 原式= dt t y t x t y t x f ?'+'β α)()()) (),((22 对弧长的曲线积分 (,,)((),(),L L f x y z ds f x t y t z t =? ?若 ():()()x x t L y y t z z t =?? =??=? βα≤≤t 则 原式 = ((),(),(f x t y t z t β α ? 常见的参数方程为： 特别的： 2 2 222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===? ?? 22=2(0)L x y y +≥为上半圆周 二、对坐标的曲线积分 ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 计算方法一： 若 ? ? ?==)() (:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则 原式= dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?β α 对坐标的曲线积分 (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++?
():() ()x x t L y y t z z t =?? =??=? 起点处 α=t ，终点处β=t 则 原式= ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt β α'''++? 计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。 1 1 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+? ? 1 ( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? 如图： 三、格林公式 ??=??-??D dxdy y p x q )( ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 其中L 为D 的正向边界 特别地：当 y p x q ??=??时，积分与路径无关， 且 ??? +=+2 1 21 2211),(),(),(),(21) ,() ,(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=是某个函数的全微分Q P x y ??? =?? 注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式。 四、对面积的曲面积分 1、 当曲面为 ????++==∑ xy D y x dxdy f f y x f y x ds z y x y x f z 221)) ,(,,(),,() ,(μμ 2、 当曲面为 (,) (,,)(,(,),xz D y f x z x y z ds x f x z z μμ∑ ==???? 3、 当曲面为 (,) (,,)((,),,yz D x f y z x y z ds f y z y z μμ∑ ==????
曲线积分与曲面积分备课教案
第十章曲线积分与曲面积分 一、教学目标及基本要求： 1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2、会计算两类曲线积分 3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。 4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。 5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。 6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。 二、教学内容及学时分配： 第一节对弧长的曲线积分2学时 第二节对坐标的曲线积分2学时 第三节格林公式及其应用4学时 第四节对面积的曲面积分2学时 第五节对坐标的曲面积分2学时 第六节高斯公式通量与散度2学时 第七节斯托克斯公式环流量与旋度2学时 三、教学内容的重点及难点： 1、二类曲线积分的概念及其计算方法 2、二类曲面积分的概念及其计算方法 3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式 4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。 5、两类曲线积分的关系和区别 6、两类曲面积分的关系和区别 7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用 五、思考题与习题 第一节习题10—1 131页：3（单数）、4、5 第二节习题10-2 141页：3（单数）、4、5、7（单数） 第三节习题10-3 153页：1、2、3、4（单数）、5（单数）6（单数）、7 第四节习题10-4 158页：4、5、6（单数）、7、8 第五节习题10-5 167页：3（单数）、4 第六节习题10-6 174页：1（单数）、2（单数）、3（单数） 第七节习题10-7 183页：1（单数）、2、3、4 第一节对弧长的曲线积分 一、内容要点 由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。 1、引例：求曲线形构件的质量
曲线积分与曲面积分习题答案
第十一章 曲线积分与曲面积分 第三节 Green 公式及其应用 1．利用Green 公式，计算下列曲线积分： (1) ? -L ydx x dy xy 2 2，其中L 为正向圆周922=+y x ； 解：由Green 公式，得 23 222230 81()22 L D xy dy x ydx x y dxdy d r dr ππ θ-=+== ? ????， 其中D 为2 2 9x y +≤。 (2) ?-++L y y dy y xe dx y e )2()(，其中L 为以)2,1(),0,0(A O 及)0,1(B 为顶点的三角形负向边界； 解：由Green 公式，得 ()(2)(1)1y y y y L D D e y dx xe y dy e e dxdy dxdy ++-=---==?????。 *(3) ? +-L dy xy ydx x 2 2，其中L 为x y x 622=+的上半圆周从点)0,6(A 到点)0,0(O 及x y x 322=+的上半圆周从点)0,0(O 到点)0,3(B 连成的弧AOB ； 解：连直线段AB ，使L 与BA 围成的区域为D ，由Green 公式，得 6cos 2222 22 320 3cos 44 4620()0 1515353cos 334442264 L D BA x ydx xy dy y x dxdy x ydx xy dy d r dr d π θ θ π θπθθπ-+=+- -+=-= =???=???????? ? *(4) ? +-L y x xdy ydx 2 2，其中L 为正向圆周4)1(2 2=++y x . 解：因为222 22 () x y P Q y x x y -??==??+，(,)(0,0)x y ≠。作足够小的圆周l :222 x y r +=,取逆时针方向，记L 与l 围成的闭区域为D ，由Green 公式，得 22 0L l ydx xdy x y +-=+? ，故 22222 2 2 2 2 22 sin cos 2L l l ydx xdy ydx xdy ydx xdy x y x y r r r d r π θθ θπ ---+=-=++--==-? ?? ?
曲线积分与曲面积分试题及解答
曲线积分与曲面积分 测试题B 一、选择（每题6分，共24分） 1、曲线弧上的曲线积分和上的曲线积分有关系( ) 2、C 为沿以)3,1(),2,2(),1,1(C B A 为顶点的三角形逆时针方向绕一周，则 I=? = ?+++c dy y x dx y x 2 2 2 )()(2( ) （A ）? ?--x x dy y x dx 42 1)( （B ）? ? --x x dy y x dx 4 21)(2 （C ）[ ] ? ??++ -+++1. 32 1 2 2 2 212 2 )1()4(2)2()2(2dy y dx x x dx x dx x （D ）{ }[ ]? ?? ++ +-+-++ 1 . 32 1 22 2 21 2 )1() 4()4(28dy y dx x x x x dx x 3、C 为沿2 2 2 R y x =+逆时针方向一周，则I=? +?-σ dy xy dx y x 2 2 用格林公式计算得( ) （A ）??R dr r d 03 20πθ （B ）??R dr r d 02 20πθ （C ）? ? -R dr r d 0 3 20 cos sin 4θθ π （D ）? ? R dr r d 0 3 20 cos sin 4θθ π 4、 ∑为) (22 2 y x z +-=在xoy 平面上方部分的曲面，则?? ∑ dS = ( ) (A)rdr r d r ??+πθ2002 41 (B)rdr r d ? ?+πθ202 02 41 (C)rdr r r d ? ? +-πθ 20 20 2 2 41)2( (D)rdr r d ? ? +πθ 20 20 2 41 二、填空（每题6分，共24分） 1、设 是M (1，3)沿圆(x －2)2+(y －2)2=2到点N (3，1)的半圆，则积分 . 2、设f (x )有连续导数，L 是单连通域上任意简单闭曲线，且 则f (x )= . 3、由物质沿曲线10,3 ,2 ,:3 2 ≤≤= = =t t z t y t x C 分布，其密度为y 2= γ，则它的质量= M . (化为定积分形式即可不必积出) 4、= ++?? S dxdy z dzdx y dydz x 3 33 ，S 为球面2 2 2 2 a z y x =++的外侧. 三、（18分）计算曲线积分 ，式中L 为由点O (0，0)沿直线y =x 到点A (1，1)再由点A 沿曲线 到点B (0，2)的路径. 四、（18分）设C 为由抛物线y =x 2的从(0，0)到(1，1)的一段弧和从(1，1)到(0，0)的直线段组成.试求曲线积分 . 五、（16分）求向量yz i +xz j +xy k 穿过圆柱体x 2+y 2≤R 2,0≤z ≤H 的全表面∑的外侧的通量.
曲线积分与曲面积分总结资料讲解
曲线积分与曲面积分 总结
第十一章：曲线积分与曲面积分 一、对弧长的曲线积分 ??+=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( 若 ???==) ()(:t y y t x x L βα≤≤t 则 原式=dt t y t x t y t x f ?' +'β α)()())(),((22 对弧长的曲线积分 (,,)((),( ),(L L f x y z ds f x t y t z t =?? 若 ():()()x x t L y y t z z t =??=??=? βα≤≤t 则 原式=((),(),(f x t y t z t β α? 常见的参数方程为： 特别的：22222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===??? 22=2(0)L x y y +≥为上半圆周
二、对坐标的曲线积分 ?+L dy y x q dx y x p ),(),( 计算方法一： 若 ???==) ()(:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则 原式=dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?β α 对坐标的曲线积分 (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++? ():()()x x t L y y t z z t =??=??=? 起点处α=t ，终点处β=t 则 原式=((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt β α'''++? 计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。 11 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+?? 1( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? 如图： 三、格林公式 ??=??-??D dxdy y p x q )( ?+L dy y x q dx y x p ),(),( 其中L 为D 的正向边界 特别地：当y p x q ??=??时，积分与路径无关，
曲线、曲面积分方法小结
曲线、曲面积分方法小结
求曲线、曲面积分的方法与技巧 一.曲线积分的计算方法与技巧 计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。 例一．计算曲线积分?+L xdy ydx ,其中L 是圆)0(222>=+y x y x 上从原点 )0,0(O 到)0,2(A 的一段弧。 本题以下采用多种方法进行计算。 解1：A O )的方程为?????-==, 2, 2 x x y x x L 由,A O →x 由,20→.212 dx x x x dy --= ? +L xdy ydx dx x x x x x x ?--+-=2 02 2 ]2)1(2[ dx x x x x dx x x x x x x x ? ? --+----=20 2 20 2 2 2)1(2)1(220 .00442=--= 分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为.x 因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。 解2：在弧A O ) 上取)1,1(B 点， B O )的方程为 ?? ???--==,11,2y x y y L 由,B O →y 由 ,10→.12 dy y y dx -= A B ) 的方程为 ?????-+==, 11,2y x y y L 由,A B →y 由 ,01→.12 dy y y dx -- =
第十一章曲线积分与曲面积分
第十一章 曲线积分与曲面积分 §1 对弧长的曲线积分 1．求下列对弧长的曲线积分 (1)()L x y ds +?,其中L 为连接（1，0）及（0，1）两点的直线. (2)22()n L ,x y ds +? 其中L 为圆周cos ,sin (02).x a t y a t t =π=≤≤ (3) 222 1,ds x y z Γ++?其中为曲线Γcos ,sin ,t t t x e t y e t z e ===上相应于t 从0变到 2的这段弧.
(4)其中 L 为摆线的一拱2,L y ds ?sin cos x a t t a t π≤≤.=(-),y=(1-)(0t 2) §2 对坐标的曲线积分 1. 计算下列对坐标的曲线积分 (1)22()L ,x y dx -?其中 L 是抛物线从点（0，0）到点（2，4）的一段弧. (2) 其中 L 为圆周,L ydx xdy +?cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到2π的一段弧.
(3)(1),xdx ydy x y dz Γ+++-?其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线. 2. 把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中L 为： (,)(,)L P x y dx Q x y dy +?(1)在xoy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)； (2)沿抛物线从点(0,0)到点(1,1)； 2 y x =(3)沿上半圆周22 2x y +=x 从点(0,0)到点(1,1).
§3 格林公式 一、计算题 1. 利用格林公式计算下列曲线积分 (1) 22L (2)d +(+)d xy x x x y y -? 其中是由抛物线L 2y x =和2y x =所围成的区域的正 向边界曲线； (2) 222(cos 2sin )(sin 2)x L ,x x y x xy x y e dx x x ye dy +-+-? 其中L 为正向星形线2 22333(0).x y a a +=> 2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： (1)星形线3cos ,sin 3x a t y a ==t ； (2)椭圆. 22 916144x y +=
曲线积分与曲面积分(4)
第十章 曲线积分与曲面积分 §10.1 对弧长曲线的积分 一、判断题 1．若f(x)在（-+∞∞,）内连续，则 ? b a dx x f )(也是对弧长的曲线积分。 （ ） 2．设曲线L 的方程为x=)(y ?在[βα,]上连续可导则 ? ?'+=L dy y y y f ds y x f β α ??2)]([1)),((),( （ ） 二、填空题 1.将 ?+L ds y x )(22 ，其中L 为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)()20π≤≤t 化为定积分 的结果是 。 2. ?+L ds y x )(= ，其中L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段。 三、选择题 1． ?+L ds y x )(2 2 =（ ） ，其中L 为圆周12 2 =+y x （A ）?0 2 π θd （B ）?π θ2 d （C ）?πθ2 2 d r （D ）?πθ2 2d 2．?L xds =（ ），L 为抛物线2 x y =上10≤≤x 的弧段。 （A ） )155(12 1- （B ）)155(- （C ）121 （D ）)155(81 - 四、计算?+C ds y x )(，其中C 为连接点（0，0）、（1，0）、（0，1）的闭折线。 五、计算?++L ds z y x )2(2 2 ，其中L 为? ??=++=++02222z y x R z y x
六、计算?+L n ds y x )(22 ，L 为上半圆周：)(222N n R y x ∈=+ 七、计算? +L y x ds e 2 2，其中L 为圆周222a y x =+，直线y=x 和y=0在第一象限内围成扇形的边界。 八、求半径为a ，中心角为?2的均匀圆弧（ρ=1）的重心。
第十一章 曲线积分与曲面积分
第十一章 曲线积分与曲面积分 一、基本要求 （1） 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 （2） 掌握计算两类曲线积分的方法。 （3） 熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原 函数。 （4） 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积 分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。 （5） 知道散度与旋度的概念，并会计算。 （6） 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。 二、 教学重点 （1） 两类曲线积分的计算方法； （2） 格林公式及其应用； （3） 两类曲面积分的计算方法； （4） 高斯公式、斯托克斯公式； （5） 两类曲线积分与两类曲面积分的应用。 三、 教学难点 （1） 两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系； （2） 对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算； （3） 应用格林公式计算对坐标的曲线积分； （4） 应用高斯公式计算对坐标的曲面积分； （5） 应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。 四、释疑解难 问题11.1 如何认识多元函数的几种积分的定义？ 答：多元函数的几种积分的定义可以用统一形式给出，统称为几何形体上的积分： 1 ()lim ()n i i i G f P dP f P P λ →==?∑?，其中i P ?是将积分区域G 任意分割为n 块后的任一块(1,2 ,)i n =，i P 为i P ?内的任一点，{}max i i P λ=?，它是定积分的推广。 若G 为平面域D ，则是二重积分 (,)D f x y d σ??。 若G 为空间区域Ω，则是三重积分 (,,)f x y z dv Ω ???。 若G 为曲线弧L ，则是对弧长的曲线积分(,)L f x y ds ?。 若G 为曲面∑，则是对面积的曲面积分 (,,)f x y z dS ∑ ??。 另外 还有对坐标的曲线积分(cos cos )L L Pdx Qdy P Q ds αβ+=+??